Číslo projektu Z.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium rno s.r.o. utor Tematická oblast Mgr. Marie hadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Ročník 2. Datum tvorby 8. 2. 2013 notace 1) Pro žáky jako text látky, do kterého si mohou po vytisknutí psát poznámky podle výkladu učitele (nezdržují se opisováním pouček a mohou se soustředit na výklad). 2) Pro učitele k promítnutí na tabuli a názornému výkladu. 3) Postup řešení příkladů je možno na tabuli zakrýt (např. jiným oknem, do kterého je možno psát, příklad vyřešit a pak postup řešení opět odkrýt a zkontrolovat). Při tomto postupu si žáci vytištěný text (pokud ho mají) zavřou a píšou do sešitů nebo odpovídají ústně. 4) Pro žáky, kteří chyběli (nemusí si látku opisovat od spolužáků). 5) Základní učivo je na boku zvýrazněno dvojitou modrou čárou.
TROJÚHELNÍKY Rozdělení trojúhelníků podle stran: Rozdělení trojúhelníků podle úhlů: -různostranný -rovnostranný.(všechny úhly 60 o ) -rovnoramenný...(základna a dvě ramena ; úhly při základně mají stejnou velikost) -ostroúhlý (všechny úhly ostré) -pravoúhlý..(jeden úhel pravý; tvoří ho odvěsny, proti pravému úhlu leží přepona) -tupoúhlý (jeden úhel tupý) Součet vnitřních úhlů trojúhelníka - je vždy 180 o (pozn. V Euklidově geometrii.) Vnitřní a vnější úhly trojúhelníka - vnitřní úhly:,, - vnější úhly:,, - vnější úhel trojúhelníka tvoří s příslušným vnitřním úhlem trojúhelníka dvojici úhlů vedlejších (součet jejich velikostí je 180 o ):, + = 180 o, + = 180 o, + = 180 o Vnitřní úhly v trojúhelníku mají velikosti v poměru : : = = 2 : 3 : 4. V jakém poměru jsou velikosti jeho vnějších úhlů? Řešení: + + = 180 o 2x + 3x + 4x = 180 o 9x = 180 o x = 20 o = 40 o, = 60 o, = 80 o = 140 o, = 120 o, = 100 o : : = 140 o : 120 o : 100 o = 7 : 6 : 5
Trojúhelníková nerovnost: V každém trojúhelníku platí: Součet libovolných dvou stran je větší než strana třetí. a + b c a + c b a + b c a - b b + c a Jinými slovy (podmínky pro to, aby dané tři úsečky mohly být stranami trojúhelníka): Úsečky o délkách a,b,c mohou být stranami trojúhelníka, právě když platí: a + b c a - b. Určete, zda úsečky k,l,m mohou tvořit trojúhelník: a) k = 5, l = 6, m = 12 b) k = 2, l = 5, m = 6 c) k = 4, l = 5, m = 9 Řešení: a) nemohou, 5 + 6 12 b) mohou, 2 + 5 6 2 + 6 5 5 + 6 2 c) nemohou, 4 + 5 = 9 Střední příčka trojúhelníka - je úsečka, která spojuje středy stran trojúhelníka S 1 S 2 S 3 Vlastnosti střední příčky: - spojuje středy dvou stran a je rovnoběžná se stranou třetí - její velikost je rovna polovině velikosti strany, se kterou je rovnoběžná Jakou část obsahu S trojúhelníka tvoří obsah S s trojúhelníka, vytvořeného z jeho středních příček? Zdůvodněte. Řešení: S = c.v c S s = 21.( 21 c).( 21 v c ) = 1 2 c.v c S : S s = 4 Obsah trojúhelníku tvořeného středními příčkami tvoří ¼ obsahu původního trojúhelníka.(základna je poloviční a výška také). 1 8
Výška trojúhelníka - je kolmice vedená z vrcholu trojúhelníka na protější stranu. Všechny výšky (popř. přímky, na nichž výšky leží u tupoúhlého trojúhelníku) se protínají v jednom bodě. Tento bod se nazývá ortocentrum. v c Kde leží výšky trojúhelníku ostroúhlého, pravoúhlého a tupoúhlého? V ostroúhlém - leží všechny výšky uvnitř trojúhelníku; průsečík výšek leží uvnitř trojúhelníka; v pravoúhlém - jedna uvnitř a dvě na odvěsnách; všechny výšky se protínají ve vrcholu pravého úhlu; v tupoúhlém - jedna uvnitř a dvě vně trojúhelníka; průsečík přímek, na nichž výšky leží, je vně trojúhelníka. Těžnice trojúhelníka - je spojnice vrcholu trojúhelníka a středu protější strany. Těžiště - je průsečík těžnic. Leží vždy uvnitř trojúhelníka (na rozdíl od průsečíku výšek). Těžiště dělí každou těžnici v poměru 2:1 delší částí k vrcholu trojúhelníku. T t c S 3 Může být těžnice shodná s výškou trojúhelníka? Řešení: Pouze v rovnostranném jsou všechny těžnice shodné s výškami. Pouze v rovnoramenném je jedna těžnice shodná s výškou (je to ta, co vychází z hlavního vrcholu).
Osy stran - osa strany je kolmá na tuto stranu a prochází jejím středem Kružnice opsaná - je kružnice, která prochází vrcholy trojúhelníka; - průsečík os stran je střed O kružnice opsané trojúhelníku ; - poloměr kružnice opsané se značí r a je roven r = O = O = O. o 1 Tupoúhlý - střed kružnice opsané leží vně trojúhelníka. o 3 +O Pravoúhlý - střed kružnice opsané leží ve středu přepony. Je to tzv. Thaletova kružnice. o 2 Ostroúhlý - střed kružnice opsané leží uvnitř trojúhelníka. Osy úhlu - osa úhlu půlí vnitřní úhel. Kružnice vepsaná - je kružnice, která se dotýká stran trojúhelníka; - průsečík os úhlů je střed S kružnice vepsané trojúhelníku ; - poloměr kružnice vepsané se značí a je roven vzdálenosti (měříme na kolmici!) středu S kružnice od stran trojúhelníka, od tzv. bodů dotyku. Poznámka : na rozdíl od poloměru kružnice opsané musíme u kružnice vepsané sestrojit všechny tři body dotyku kružnice se stranami trojúhelníku. T 1 o 1 o 2 T 2 S T 3 o 3