Slovní úlohy n sjenoení vou množin s neprázným průnikem Vennův igrm ( John Venn 1834 (Hull, Anglie) 1923 (Cmrige, Anglie) ) A V Životopis John Venn: http://www-groups.s.st-n..uk/ history/mthemtiins/venn.html A - = { x : x A x }..A = { x : x A x } - A = { x : x A x } V (A ) = A = { x : x A x } V teorii vyučování mtemtie je možné využít termínu entropie, ož je le Slovníku spisovné češtiny pro školu veřejnost (2.) mír neurčitosti nějkého systému. O pojmu entropie v iktie mtemtiky se zmiňuje Do. Pvel Květoň ve své puliki Kpitoly z iktiky mtemtiky (str. 10) (3.). Poívejme n zání úloh n sjenoení vou množin s neprázným průnikem n míru neurčitosti při jejih řešení. Npříkl záme-li slovní úlohu n sjenoení vou množin s neprázným průnikem : Ve tříě je 37 žáků. Kžý z nih umí lyžovt neo umí ruslit. yžovt umí 20 žáků, ruslit umí 31 žák. názorněte určete, kolik je ve tříě žáků, kteří umějí lyžovt umějí ruslit (oojí). Úlohu můžeme vizulizovt: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Názorně viíme, že všihni žái tříy, kteří umějí lyžovt ruslit, náleží o průniku množin lyžujííh ruslííh žáků. Celkem je jih 14. Úloh má právě jeno řešení. áme-li úlohu s vyneháním věty Kžý z nih umí lyžovt neo umí ruslit tey: Ve tříě je 37 žáků. yžovt umí 20 žáků, ruslit umí 31 žák. názorněte určete, kolik je ve tříě žáků, kteří umějí lyžovt umějí ruslit (oojí), musíme zvžovt, kolik je ve tříě
žáků, kteří neumějí lyžovt neumějí ruslit. Tkovýh žáků není, pk je o půvoní úlohu. Tkový žák může ýt jeen, mohou ýt v, tři, čtyři, pět, šest. Víe jih ýt nemůže. Úlohu můžeme vizulizovt: o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Úloh má při tomto zání úlohy elkem sem řešení. ze tey opověět, že záleží n počtu žáků, kteří neumějí lyžovt neumějí ruslit počet žáků, kteří umějí lyžovt ruslit je 14 neo 15 neo 16 neo 17 neo 18 neo 19 neo 20. V přípě, že 6 žáků neumí lyžovt neumí ruslit jsou lyžujíí žái pomnožinou žáků ruslííh. První slovní úloh má menší entropii, neoť řešení úlohy je právě jeno, Druhá slovní úloh má větší entropii, neoť mír neurčitosti je větší úloh má 7 možnýh řešení. Poíváme se n slovní úlohu n které si ukážeme rozmnitost možnýh otázek, které násleují z pomínkmi úlohy: 33 žáků tříy jih 14 ruslí, 22 lyžuje. 6 žáků tříy neruslí nelyžuje. Kolik žáků tříy: ) lyžuje ruslí, )lyžuje neo ruslí, ) lyžuje neruslí, ) nelyžuje ruslí. Kolik žáků tříy provozuje: e) právě jeen z těhto sportů, f) nejvýše jeen z těhto sportů, g) nejvýše v z těhto sportů, h) právě v z těhto sportů, spoň jeen z těhto sportů? Postup řešení: je množin všeh žáků tříy { x : x ruslí } = { x : x lyžuje } = V 3) Chrkterizujeme množiny, n jejihž počet prvků se ptáme: { x : x lyžuje x ruslí } = { x : x x } = A..část { x : x lyžuje neo x ruslí } = { x : x x } = A.,.. část
{ x : x lyžuje x neruslí} = { x : x x }. část { x : x nelyžuje x ruslí } = { x : x x }.. část Jenouše určíme, že = 5, = 9, = 13 z pomínky úlohy víme, že = 6. Opovíme n otázky úlohy: ) Ve tříě 9 žáků lyžuje ruslí. ) Ve tříě 27 žáků lyžuje neo ruslí. ) Ve tříě 13 žáků lyžuje neruslí. ) Ve tříě 5 žáků nelyžuje ruslí. e) Ve tříě 18 žáků provozuje právě jeen z těhto sportů. f) Ve tříě 24 žái provozují nejvýše jeen z těhto sportů. g) Ve tříě 33 žái provozují nejvýše v z těhto sportů. h) Ve tříě 9 žáků provozuje právě v z těhto sportů. i) Ve tříě 27 žáků provozuje spoň jeen z těhto sportů. Slovní úlohu lze řešit i soustvou lineárníh rovni: V estovní kneláři proli 234 zájezy. Největší zájem se soustřeil n zájezy o tálie n tříenní utousové zájezy. ájezů o tálie, které neyly tříenní utousové, ylo 28. ylo jih právě tolik, jko tříenníh utousovýh zájezů, které neyly o tálie. 78 zájezů neylo o tálie neylo tříenníh utousovýh. Kolik ylo tříenníh utousovýh zájezů o tálie? T V je množin všeh zájezů { x : x je zájez o tálie } = { x : x je tříenní utousový zájez} = T 3) Chrkterizujeme množinu, n jejihž počet prvků se ptáme: { x : x je zájez o tálie x tříenní utousový zájez} = { x : x x T} = = T Řešení: + + + = 234 = 28 = 28 = 78 = 100 Tříenníh utousovýh zájezů o tálie ylo 100.
Úlohu lze zt i tkto: 145 žáků se zúčstnilo přijímíh zkoušek n stření školu. Všihni žái konli přijímí zkoušky z českého jzyk z mtemtiky yli honoeni. Aspoň jenu zkoušku vykonlo úspěšně 125 žáků. Nejvýše jenu zkoušku vykonli úspěšně 53 žái. koušku jen z mtemtiky vykonlo úspěšně 18 žáků. ) Kolik žáků vykonlo úspěšně oě zkoušky? ) Kolik žáků vykonlo úspěšně jen zkoušku z českého jzyk? ) Kolik žáků nevykonlo úspěšně zkoušku z mtemtiky nevykonlo úspěšně zkoušku z českého jzyk? M Č V je množin všeh žáků, kteří konli přijímí zkoušky { x : x je žák, který konl úspěšně přijímí zkoušku z mtemtiky} = M { x : x je žák, který konl úspěšně přijímí zkoušku z českého jzyk} = T 3) Chrkterizujeme množiny, n jejihž počet prvků se ptáme. { x : x M x Č} = M Č..část { x : x Č x M } = Č M. část { x : x M x Č } = Č M.V. část Pozorně čteme pomínky úlohy zpisujeme: + + + = 145 + + = 125 + + = 53 = 18 O 1. rovnie oečteme 2. rovnii ostneme = 20. Doszením o 3. rovnie ( = 20, = 18) ostneme = 15 oszením o 2. rovnie( = 18, = 15) ostneme = 92. Opověďi: ) Oě zkoušky vykonli úspěšně 92 žái. ) koušku jen z českého jzyk vykonlo úspěšně15 žáků. ) 20 žáků nevykonlo úspěšně zkoušku z mtemtiky nevykonlo úspěšně zkoušku z českého jzyk. V učenii mtemtiky pro 4. ročník záklní školy (1979) je uveen tto úloh:
Pvel počítl hrnečky, které yly n stole řekl: N stole je 12 velkýh hrnečků. vn řekl: N stole je 9 červenýh hrnečků. Kolik mohlo ýt n stole velkýh neo červenýh hrnečků? Řešení: je množin všeh hrnečků, které jsou n stole. { x : x je velký hrneček, který je n stole} = V { x : x je červený hrneček, který je n stole} = Č 3) Chrkterizujeme množiny, n jejihž počet prvků se ptáme. { x : x V x Č } = V Č Počet prvků ve sjenoení množin V neo Č je závislý n počtu prvků v průniku množin V Č. Poku ue průnik těhto množin prázný je ve sjenoení 21 hrneček. Poku ue v průniku 1 hrneček ue ve sjenoení 20 hrnečků, t. Pou ue ve sjewnoení mximální možný počet, tj. 9 hrnečků ue ve sjenoení 12 hrnečků. Opověď: N stole mohlo ýt 9 ž 21 hrnečků. jimvá je i tto ektektivní úloh: Ve tříě se hlelo, ko rozil o polení přestáve okno. Učitel zjistil, že v této oě yl všehn ěvčt n školním pozemku mimo tříu yli všihni hlpi, kteří hoí n oě o školní jíelny. Ve tříě je elkem 38 žáků, z toho 16 ívek. elkového počtu žáků ve tříě se strvuje ve školní jíelně 30 žáků, z těhto strvujííh se žáků je vkrát víe hlpů než ívek. Kolik žáků zůstává v poezření, že rozili okno? Řešení: je množin všeh žáků ve tříě { x : x je žák strvujíí se ve školní jíelně} = J { x : x je ívk} = D 3) Chrkterizujeme množiny, n jejihž počet prvků se ptáme. { x : x J x D} = J D Poezřelí uou všihni hlpi, kteří nehoí n oě o školní jíelny. Opověď: Poezřelí jsou 2 hlpi, kteří nehoí n oě o školní jíelny. itertur: 1. MECHAR J. kol. Mtemtik pro 4. ročník záklní školy. 1.vy. Prh: Státní pegogiké nkltelství, 1979. 160 s. 14-546-79 2. Slovník spisovné češtiny pro školu veřejnost. 1. vy. Prh: Aemi, 1978. 800 s. 21-001-78 3. KVĚTOŇ P., Kpitoly z iktiky mtemtiky. 1. vy. Ostrv: Pegogiká fkult, 1986. 217 s. 60-265-86 4. MECHAR J. kol., Cvičení z mtemtiky pro 5. ročník záklní školy, Státní pegogiké nkltelství Prh, 1979, 14-580-79