Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: 2014 16 6 Odezva číslicových systémů pro zpracování hudebních signálů při skokové změně jejich parametrů Response of discrete systems with jump change of their parameters Tomáš Pavlíček, Miroslav Balík pavlicektomas@phd.feec.vutbr.cz, balik@feec.vutbr.cz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Abstrakt: Článek popisuje odezvy číslicových systémů se skokovou změnou jejich parametrů. Tyto systémy jsou popsány pomocí vnitřního popisu. V článku jsou použity souvislosti mezi vnitřním a vnějším popisem jednotlivých forem. Systémy jsou realizovány pomocí přímé formy a kanonických forem. Zkoumány jsou odezvy na skokovou změnu koeficientů pouze v čitateli, dále pouze ve jmenovateli a nakonec jak v čitateli, tak ve jmenovateli přenosové funkce jednotlivých realizací systému. Přechodové děje jednotlivých realizací jsou popsány a vzájemně porovnány. Uvažovány jsou systémy pro zpracování hudebních signálů. Přechodové děje jsou porovnány i subjektivně, vzhledem ke tvorbě zvukových artefaktů v hudebních signálech. Abstract: This article describes responses of digital systems with step change of their parameters. These systems are described in state-space representation. Relations between state-space representation and transfer function representation are used in this article. The systems are implemented by direct-forms I and II, their transposed forms, their second-order sections forms, and parallel secondorder sections forms. The responses of systems with step changes of only numerator, then only denominator and finally numerator as well as denominator of transfer functions of individual system implemetations are investigated. The systems for music signal processing are taken into account. The transient responses of individual forms are described in detail and mutually compared with regard to the audio artefacts creation.
Odezva číslicových systémů pro zpracování hudebních signálů při skokové změně jejich parametrů Tomáš Pavlíček, Miroslav Balík Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Email: pavlicektomas@phd.feec.vutbr.cz,balik@feec.vutbr.cz Abstrakt Článek popisuje odezvy číslicových systémů se skokovou změnou jejich parametrů. Tyto systémy jsou popsány pomocí vnitřního popisu. V článku jsou použity souvislosti mezi vnitřním a vnějším popisem jednotlivých forem. Systémy jsou realizovány pomocí přímé formy a kanonických forem. Zkoumány jsou odezvy na skokovou změnu koeficientů pouze v čitateli, dále pouze ve jmenovateli a nakonec jak v čitateli, tak ve jmenovateli přenosové funkce jednotlivých realizací systému. Přechodové děje jednotlivých realizací jsou popsány a vzájemně porovnány. Uvažovány jsou systémy pro zpracování hudebních signálů. Přechodové děje jsou porovnány i subjektivně, vzhledem ke tvorbě zvukových artefaktů v hudebních signálech. 1 Úvod Nejčastěji používanými číslicovými systémy jsou lineární časově invariantní systémy (LTI - Linear Time Invariant). Pokud se v čase změní některý z parametrů systému, jedná se o lineární časově variantní systém (LTV - Linear Time Variant). Tento článek se zabývá zpracováním hudebního signálu pomocí LTV systému. Při změně parametrů systému zpracovávajícího hudební signály mohou vznikat zvukové artefakty. Snahou je tyto artefakty potlačit. Během změny parametrů systému mohou nastat dva případy. První z nich je vznik nespojitosti výstupního signálu v časové oblasti díky skokové změně modulové nebo fázové kmitočtové charakteristiky systému. Druhým případem je vznik přechodového děje, neboli vznik signálu, který neodpovídá ustálené odezvě systému. Oba případy mohou nastat současně. U přechodového děje se předpokládá, že po čase odezní. Přechodový děj je součet přirozené odezvy a přechodné části vynucené odezvy [1]. Přechodná část vynucené odezvy je dále označována zkráceně jako přechodový signál. Po změně koeficientů přenosové funkce rekurzivního číslicového systému může dojít ke vzniku přechodového signálu. Amplituda výstupního signálu pak může přesáhnout amplitudu vstupního signálu [2]. Přechodový děj závisí na použité realizaci číslicového systému [3]. Článek [4] popisuje jednoduché zobecnění všepropustných filtrů vzhledem k časově variantnímu systému. Je zde uvedena změna přenosové funkce pro potlačení přechodového signálu druhého řádu všepropustného filtru s minimálním navýšením výpočetní náročnosti. V článku [5] je přechodový signál minimalizován pomocí vektoru potlačující přechodový signál, který je funkcí předchozích vzorků vstupního signálu. Počet relevantních vzorků vstupního signálu je závislý na tvaru impulzní odezvy. Článek [6] se zabývá minimalizací přechodového signálu základních filtrů. Obsahuje objektivní a subjektivní porovnání přechodových dějů jednotlivých typů filtru. Uvedené publikované práce zabývající se minimalizací přechodových dějů systému neobsahují popis, ani porovnání přechodových dějů různých realizací systémů. Cílem tohoto článku je vytvoření přehledu přechodových dějů vyskytujících se u jednotlivých nejčastěji používaných realizací číslicových systémů. Dále jejich popis a porovnání na základě testů LTV systémů se skokovou změnou parametrů. V článku jsme se soustředili na změnu typu parametrického filtru z dolní propusti na horní a z horní propusti na dolní, což odpovídá změně čitatele přenosové funkce. Druhým případem byla změna vlastností poslechového prostoru, který se simuluje pomocí IIR (IIR - Infinite Impulse Response) hřebenového filtru, což odpovídá změně jmenovatele přenosové funkce. Posledním případem byla obecná změna přenosové funkce, tedy změna čitatele a zároveň jmenovatele. 2 Skoková změna parametrů sytému Pro jednoduchost jsou uvažovány pouze systémy s jedním vstupem a jedním výstupem (SISO - Single-Input Single- Output). LTV systém se skokovou změnou parametrů je nelineárním systémem a je vhodné je popisovat pomocí vnitřního popisu. SISO LTV systém je popsán vnitřními stavovými rovnicemi v(n + 1) y(n) = A(n)v(n) + b(n)x(n) = c(n)v(n) + d(n)x(n), kde A(n) je matice systému, b(n) je vektor buzení, c(n) je výstupní vektor a d(n) je skalár převodu, v(n) je vektor stavů, x(n) vstupní posloupnost, y(n) výstupní posloupnost. A(n), b(n), c(n) a d(n) jsou parametry proměnné v čase. (1) 195
Pro vektor stavů LTI systému, systému s konstantními parametry, platí podle [7] n 1 v(n) = A n v(0) + A n k 1 bx(k), (2) k=0 kde v(0) je vektor počátečních stavů. Po dosazení do druhé stavové rovnice se získá rovnice výstupu SISO LTI systému n 1 y(n) = ca n v(0) + ca n k 1 bx(k) + dx(n). (3) k=0 V potaz je brána pouze skoková změna parametrů systému. V čase před i po skokové změně parametrů, se systém chová jako LTI systém. Pro skok v čase n c z rovnice (2) podle [3] platí v(n) = A n 1 v(0)+ + n 1 k=0 An k 1 1 b 1 x(k), 0 < n n c A n nc 2 v(n c )+ + n 1 k=n c A n k 1 2 b 2 x(k), n > n c. kde A 1 a b 1 jsou parametry před skokem, A 2 a b 2 jsou parametry po skoku. Dosazením n c za n v první rovnici (4) se nalezne vektor stavů v čase n c : k=0 (4) nc 1 v(n c ) = A nc 1 v(0) + A nc k 1 1 b 1 x(k) (5) Dosazením rovnice (5) do druhé části (4) se získá vektor stavů v(n) v čase po skokové změně parametrů a po úpravě vypadá rovnice následovně v(n) = A n nc + A n nc 2 2 A nc nc 1 k=0 Anc k 1 1 v(0) + + n 1 k=n c A n k 1 1 b 1 x(k) + 2 b 2 x(k), n > n c. (6) Pro výstup při skokové změně parametrů v čase n c platí { c1 v(n) + d y(n) = 1 x(n), 0 < n n c (7) c 2 v(n) + d 2 x(n), n > n c, kde c 1 a d 1 jsou parametry systému před skokovou změnou, c 2 a d 2 jsou parametry po skokové změně. Dosazením rovnice (6) do druhé části rovnice (7) se získá výstup SISO LTV systému v čase po skokové změně parametrů y(n) = c 2 A n nc +c 2 A n nc 2 2 A nc nc 1 k=0 Anc k 1 1 v(0) + 1 b 1 x(k) + n 1 +c 2 k=n c A n k 1 2 b 2 x(k)+ +d 2 x(n), n > n c. Výstup systému v čase po skokové změně parametrů je definován jako soustava čtyř paralelních systémů. První systém produkuje odezvu na počáteční podmínky. Tento systém je možné zanedbat, pokud platí n c >> 0. Druhý systém produkuje odezvu na vektor stavů v čase n c, neboli generuje přechodový signál. Třetí a čtvrtý systém produkuje přirozenou odezvu na vstupní signál. (8) Pokud parametry A a b zůstanou shodné po skokové změně, rovnice (6) po úpravě odpovídá rovnici (2) pro n > n c. Dosazením rovnice (2) pro n > n c do druhé části rovnice (7) se získá výstup tohoto systému v čase po skokové změně y(n) = c 2 A n v(0) + n 1 k=0 c 2A n k 1 bx(k) +d 2 x(n), n > n c. Při porovnání s rovnicí (8) je zřejmé, že tento systém neprodukuje žádný přechodový signál. Na vznik přechodového signálu má tedy vliv pouze změna parametru A a b. Parametry c a d mohou způsobit pouze nespojitost výstupního signálu v čase n c, nemají ale vliv na vznik přechodového signálu. 3 Popis realizací Realizace systémů jsou popisovány nejčastěji pomocí vnejšího popisu. Časově variantní systém se skokovou změnou parametrů se dá popsat pomocí dvou přenosových funkcí (9) H 1 (z) = b 01 + b 11 z 1 + b 21 z 2 + + b I1 z I a 01 + a 11 z 1 + a 21 z 2 + + a I1 z I (10) H 2 (z) = b 02 + b 12 z 1 + b 22 z 2 + + b I2 z I a 02 + a 12 z 1 + a 22 z 2, (11) + + a I2 z I kde a i1 a b i1 jsou koeficienty před skokovou změnou a a i2 a b i2 jsou koeficienty po skokové změně. Mezi těmito sadami přenosových funkcí H 1 a H 2 dojde ke skokové změně v čase n c. Dále je popsáno pět základních realizací systémů, kterými jsou první, druhá, třetí a čtvrtá kanonická forma a přímá forma. Všechny realizace budou popisovány primárně pomocí první nebo druhé kanonické formy. Pomocí Frobeniova rozkladu lze získat z přenosových funkcí parametry vnitřních stavových rovnic. Pro dvě přenosové funkce tak tedy dostáváme dvě sady parametrů stavových rovnic, jako tomu bylo v předchozí kapitole. Pro první kanonickou formu platí 0 0 a I 1 0 a I 1 A =....., b = 0 0 1 a 1 c = [0 0 0 1], d = b 0. b I a I b 0 b I 1 a I 1 b 0. b 1 a 1 b 0 (12) Pro první kanonickou formu lze tedy očekávat přechodový signál při změně jak jmenovatele tak čitatele přenosové funkce. Pro druhou kanonickou formu platí a 1 a 2 a I 1 0 0 A =....., b = 0 0 1 0 1 0. 0 c = [b 1 a 1 b 0 b 2 a 2 b 0 b I a I b 0 ], d = b 0. (13) 196
U druhé kanonické formy lze očekávat přechodový signál při změně koeficientů jmenovatele přenosových funkcí. Změna čitatele ovlivní pouze parametry c a d vnitřního popisu systému, tudíž nedojde ke vzniku přechodového signálu. Třetí kanonická forma je sériovým zapojením systémů druhého řádu realizovaných jako první kanonická forma (dále jako typ I ) nebo druhá kanonická forma (dále jako typ II ). Pro jednoduchost je zde popisován systém čtvrtého řádu složen ze dvou systémů druhého řádu. Takový LTV systém se skokovou změnou parametrů je tedy popsán pomocí čtyř přenosových funkcí, tedy pomocí čtyř sad parametrů vnitřích stavových rovnic dílčích systémů. Pro výstupy sériového zapojení dílčích systémů platí y 1 (n) = c 2,1 v 1 (n) + d 2,1 x 1 (n), 0 < n n c y 2 (n) = c 2,2 v 2 (n) + d 2,2 x 2 (n), n > n c, (14) kde c 2,1 a d 2,1 jsou parametry prvního systému, c 2,2 a d 2,2 jsou parametry druhého systému, x 1 (n) a y 1 (n) jsou vstupní a výstupní posloupnost prvního systému a x 2 (n) a y 2 (n) druhého systému. Dosazením (6) za v 2 v rovnici výstupu systému začne figurovat x 2 (k), 0 k n c. Platí, že vstup druhého systému v sérii je výstupem prvního systému v sérii x 2 (n) = y 1 (n). Po dosazení prvního řádku (7) zahrnuje část výstupní rovnice systému popisující přechodový signál všechny parametry stavových rovnic dílčích systémů kromě c 1,2 a d 1,2. Proto lze očekávat přechodový signál u třetí kanonické při změně jakéhokoliv parametru kromě parametrů c a d posledního dílčího systému v sérii. Čtvrtá kanonická forma je paralelní zapojení systémů druhého řádu. Stejně jako u třetí kanonické formy existuje typ I a typ II. Přechodový signál systému je součtem přechodových signálů dílčích systémů druhého řádu. Přímou formu lze popsat jako sériové zapojení dvou systémů. Prvním z dílčích systémů v sérii je druhá kanonická forma s jmenovatelem rovným jedné a druhým je druhá kanonická forma s čitatelem rovným jedné. Stejně jako u sériového zapojení třetí kanonické lze očekávat přechodový signál při změně jakéhokoliv parametru kromě parametrů c a d posledního dílčího systému v sérii. Při změně čitatele přenosové funkce dochází ke změně parametrů c 1,2 a d 1,2 prvního dílčího systému. Při změně jmenovatele dochází ke změně parametru A. Takový systém může být definován pouze jednou přenosovou funkcí, jelikož jsou v dílčích přenosových funkcích jedničky. Lze tedy očekávat přechodový signál jak při změně čitatele, tak při změně jmenovatele. 4 Postup testování skokových změn LTV systém s jedním vstupem a jedním výstupem se skokovou změnou koeficientů přenosové funkce lze realizovat jako LTI systém se dvěma vstupy a jedním výstupem. Jeden ze vstupů je pouze řídící a přepíná mezi sadami koeficientů přenosové funkce. Příklad schématu takového systému je na obrázku 1. Je přepínáno vždy mezi dvěmi sadami koeficientů přenosové funkce. Testuje se jak skoková změna z H 1 na H 2, Obrázek 1: Blokové schéma LTV SISO systému druhého řádu realizovaného první kanonickou formou transformovaného na LTI MISO systém tak z H 2 na H 1. Mezi přeskoky je dostatečně dlouhá doba k odeznění přechodového signálu. Jsou zde řešeny tři případy změny koeficientů, nejprve změna pouze čitatele, dále změna pouze jmenovatele a nakonec změna jak čitatele, tak jmenovatele přenosové funkce. Jedná se o systémy s nekonečnou impulzní odezvou. Amplituda vstupních signálů je vždy rovna jedné. Měření bylo provedeno pro více vstupních signálů s různými frekvencemi a pro systémy s různými modulovými frekvenčními charakteristikami. V článku jsou uvedeny pouze nejnázornější příklady, které jsou popsány v následujících odstavcích. Bylo přepínáno mezi takovými systémy, u kterých dochází k výrazné změně koeficientů přenosové funkce. Při změně čitatele reprezentuje první přenosová funkce H 1 dolní propust a druhá H 2 horní propust. Mezní kmitočty horní i dolní propusti jsou f m = 2 khz. Vstupním signálem je harmonický signál s frekvencí shodnou s mezními kmitočty f vst = 2 khz. Modulové kmitočtové charakteristiky systému před a po změně parametrů jsou vyneseny na obrázku 2. Obrázek 2: Modulová kmitočtová charakteristika IIR systému 4. řádu před a po změně parametrů při změně čitatele přenosové funkce Při změně jmenovatele obě přepínané přenosové funkce představují IIR hřebenový filtr. Modulové přenosové charakteristiky systému před a po změně parametrů jsou na obrázku 3. Vstupním signálem je harmonický signál o frekvenci rovné šesnáctině vzorkovacího kmitočtu pro čtvrtý řád a dvanáctině pro třetí řád. Na těchto kmitočtech jsou moduly obou přepínaných kmitočtových charakteristik stejné. Při změně čitatele i jmenovatele první sada koeficientů představuje dolní propust s mezním kmitočtem 197
Obrázek 3: Modulová kmitočtová charakteristika IIR systému 4. řádu před a po změně parametrů při změně jmenovatele přenosové funkce f m(dp) = 1 khz a druhá sada koeficientů horní propust s mezním kmitočtem f m(hp) = 3 khz. Vstupním signálem je součet dvou harmonických signálů na kmitočtech 1 khz a 3 khz. Modulové kmitočtové charakteristiky systému před a po změně parametrů jsou vyneseny na obrázku 4. Obrázek 6: Výstupní signál 2. kanonické formy 4. řádu při změně čitatele přenosové funkce Obrázek 4: Modulová kmitočtová charakteristika IIR systému 4. řádu před a po změně parametrů při změně čitatele i jmenovatele přenosové funkce 5 Výsledky testů 5.1 Změna čitatele přenosové funkce systému Výstupní signál v okolí skokových změn první kanonické formy je na obrázku 5. Obrázek 5: Výstupní signál 1. kanonické formy 4. řádu při změně čitatele přenosové funkce Zelená čára označuje první vzorek po skokové změně parametrů. U skokové změny koeficientů přenosové funkce systému realizovaného pomocí první kanonické formy dochází k vytvoření přechodového signálu. Změna koeficientů čitatele přenosové funkce b i se projeví změnou parametru b z vnitřního popisu systému. Na této změně závisí přechodový signál. Výstupní signál druhé kanonické formy v okolí skokových změn parametrů systému čtvrtého řádu je na obrázku 6 a třetího řádu na obrázku 7. Obrázek 7: Výstupní signál 2. kanonické formy 3. řádu při změně čitatele přenosové funkce U realizace druhou kanonickou formou nedochází k tvorbě přechodového signálu, jelikož změna koeficientů b i se projeví pouze změnou parametrů c a d. Na těchto změnách však nezávisí přechodový signál. Jelikož je kmitočet vstupního signálu stejný jako mezní kmitočty dolní a horní propusti, modulové kmitočtové charakteristiky systému před i po skokové změně jsou na této frekvenci shodné. U této realizace dochází pouze k nespojitosti způsobené rozdílnou fázovou kmitočtovou charakteristikou systému před a po skokové změně parametrů na kmitočtu vstupního signálu. Nespojitost nelze zaznamenat pro případ dolní a horní propusti řádu čtvrtého nebo násobku čtyř se shodným mezním kmitočtem, jelikož je zde rozdíl fázových kmitočtových charakteristik nulový. Proto se signály na obrázku 6 překrývají. Pro případ dolní a horní propusti třetího řádu lze zaznamenat nespojitost odpovídající rozdílu fázové kmitočtové charakteristiky o π/2 před a po skokové změně. Při realizaci třetí kanonickou formou může dojít ke tvorbě nejvýraznějšího přechodového signálu. Záleží však na výpočtu koeficientů dílčích systémů druhého řádu. Při váhování přenosových funkcí dílčích systémů dochází k výraznému zmenšení přechodového signálu. Testovány byly tři případy váhování a to bez váhování, váhování dvěma a nekonečnem. Váhování bylo provedeno podle vztahů [8] 198
) 1 p ( 1 2π H p = 2π H(e jω ) p dω 0 { H = max 0 Ω 2π H(e jω ) }, (15) kde p je v našem případě rovno dvěma. Výstupní signál třetí kanonické formy typu I bez váhování je na obrázku 8. dosaženo, pokud první systém v sérii obsahuje póly s větší vzdáleností od jednotkové kružnice než druhý systém v sérii. Přechodový signál je tvořen i u třetí kanonické typu II, přestože je systém tvořen pomocí druhých kanonických. Je to způsobeno změnami paramentrů c a d prvního dílčího systému, které mají vliv na vznik přechodového signálu. Výstupní signál čtvrté kanonické formy typu I je shodný s výstupním signálem první kanonické a výstupní signál čtvrté kanonické formy typu II je shodný s výstupním signálem druhé kanonické. Na obrázku 10 je vynesen výstupní signál v okolí skokových změn koeficientů přenosové funkce systému třetího řádu implementovaného pomocí přímé formy. Obrázek 8: Výstupní signál 3. kanonické formy typu I 4. řádu při změně čitatele přenosové funkce bez váhování Amplituda výstupního signálu je v případě skokové změny z horní na dolní propust několikanásobně větší než amplituda vstupního signálu. Pokud je amplituda výstupního signálu větší než dovoluje dynamika systému, dochází k omezení signálu. Při dlouhodobém omezení signálu dochází ke vzniku nežádoucích zvukových artefaktů. Díky sériovému zapojení dílčích systémů dochází k největší degradaci výstupního signálu v okolí přeskoku v důsledku dlouhodobého omezení signálu. Výstupní signál třetí kanonické formy typu I při váhování nekonečnem je na obrázku 9. Obrázek 10: Výstupní signál přímé formy 3. řádu při změně čitatele přenosové funkce Při realizaci přímou formou nedochází pro čtvrtý řád ke vzniku přechodového signálu ani nespojitosti, stejně jako tomu bylo u druhé kanonické formy. Rozdílem oproti druhé kanonické formě je však ten, že při použití jiného řádu než násobku čtyř nedochází k nespojitosti. Vytvoří se přechodový signál, který vyhlazuje výstupní signál. Jedná se tedy o uchem nepostřehnutelný přechodový signál. 5.2 Změna jmenovatele přenosové funkce systému Byly testovány všechny zmiňované formy. Na obrázku 11 je výstupní signál první kanonické formy. Obrázek 9: Výstupní signál 3. kanonické formy typu I 4. řádu při změně čitatele přenosové funkce při váhování nekonečnem Po váhování dvěma nebo nekonečnem dojde k výraznému potlačení přechodového signálu. Rozdíl mezi amplitudami v okolí skokové změny parametrů při změně pouze čitatele přenosové funkce je pro oba typy váhování minimální a pohybuje se řádově v procentech. Jelikož je systém v době skokové změny nelineárním, záleží také na pořadí dílčích systémů. Lepších výsledků je Obrázek 11: Výstupní signál 1. kanonické formy 4. řádu při změně jmenovatele přenosové funkce Z obrázku je zřejmé, že tvar přechodového signálu závisí 199
na tvaru impulzní odezvy, zde konkrétně IIR hřebenového filtru čtvrtého řádu. Při změně jmenovatele dochází ke vzniku přechodového signálu u všech zmíněných realizací systému. U třetích kanonických obou typů a čtvrté kanonické typu I, dochází ke tvorbě přechodového signálu s amplitudou výrazně přesahující amplitudu vstupního signálu. Výstupní signál všech zmíněných realizací je po změně parametrů značně degradován nespojitostmi způsobenými specifickým rozdílem mezi odezvou na jednotkový impulz systému před a po změně parametrů. Změna koeficientů jmenovatele a i vždy ovlivní parametr A, který má vliv na vznik přechodového signálu. Výstupní signál čtvrtých kanonických forem již není shodný s první ani druhou kanonickou formou. Výstupní signál přímé formy nemá hladký průběh a je shodný s výstupním signálem druhé kanonické formy. 5.3 Změna čitatele i jmenovatele přenosové funkce systému Při změně čitatele i jmenovatele dochází ke spojení dříve zmiňovaných vlastností jednotlivých realizací systému. Ke vzniku přechodového signálu dochází ve všech případech realizace systému. Ke vzniku nespojitosti dochází ve všech případech realizace systému kromě přímé formy. Amplituda přechodového signálu závisí na rozdílu mezních frekvencí dolní a horní propusti. Amplituda může přesahovat amplitudu vstupního signálu ve všech případech realizace systému. Na obrázku 12 je výstupní signál první kanonické formy. Obrázek 13: Výstupní signál 2. kanonické formy 4. řádu při změně čitatele i jmenovatele přenosové funkce Při skokové změně z H 2 na H 1 dochází ke vzniku přechodového signálu s malou amplitudou. U obou typů třetí kanonické formy dochází při skokové změně z H 1 na H 2 ke vzniku přechodového signálu s amplitudou, která není příliš výrazná. Amplituda u typu II bývá zpravidla větší než u typu I. Při skokové změně z H 2 na H 1 je výstupní signál značně degradován a u typu I značně převyšuje amplitudu vstupního signálu. Na obrázku 14 je výstupní signál třetí kanonické formy typu II při váhování dvěma a na obrázku 15 při váhování nekonečnem. Obrázek 14: Výstupní signál 3. kanonické formy typu II 4. řádu při změně čitatele i jmenovatele přenosové funkce při váhování dvěma Obrázek 12: Výstupní signál 1. kanonické formy 4. řádu při změně čitatele i jmenovatele přenosové funkce Při skokové změně z H 1 na H 2 je amplituda přechodového signálu minimální a vzniká mírná nespojitost. Při skokové změně z H 2 na H 1 dochází ke vzniku přechodového signálu s amplitudou několikanásobně převyšující vstupní signál. Na obrázku 13 je výstupní signál druhé kanonické formy. Při skokové změně z H 1 na H 2 u druhé kanonické formy dochází ke vzniku přechodového signálu s amplitudou několikanásobně převyšující vstupní signál. Přechodový signál je kratší než u první kanonické, ale má větší amplitudu. Obrázek 15: Výstupní signál 3. kanonické formy typu II 4. řádu při změně čitatele i jmenovatele přenosové funkce při váhování nekonečnem 200
Tabulka 1: Přehled vlastností všech realizací 4. řád 3. řád Změna čitatele 1k 2k 3k1 3k2 4k1 4k2 pf 1k 2k pf Vznik nespojitosti ANO NE ANO ANO ANO NE NE ANO ANO NE Vznik přechodového signálu ANO NE ANO ANO ANO NE NE ANO NE ANO Poslechový test 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 Změna jmenovatele 1k 2k 3k1 3k2 4k1 4k2 pf 1k 2k pf Vznik nespojitosti NE ANO ANO ANO NE ANO ANO NE ANO ANO Poslechový test 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Změna čitatele i jmenovatele 1k 2k 3k1 3k2 4k1 4k2 pf 1k 2k pf Vznik nespojitosti ANO ANO ANO ANO ANO ANO NE ANO ANO NE Poslechový test 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 0 - bez zvukového artefaktu, 1 - mírný zvukový artefakt, 2 - silný zvukový artefakt Stejně jako při změně pouze čitatele u třetí kanonické záleží na volbě váhování přenosových funkcí. Bez váhování dochází opět k nejhorším výsledkům. Při váhování dvěma dochází při skokové změně z H 2 na H 1 k výrazně lepším výsledkům, kdy amplituda výstupního signálu je výrazně menší než při váhování nekonečnem. Na obrázku 16 je výstupní signál čtvrté kanonické formy typu II. Obrázek 17: Výstupní signál přímé formy 4. řádu při změně čitatele i jmenovatele přenosové funkce Obrázek 16: Výstupní signál 4. kanonické formy typu II 4. řádu při změně čitatele i jmenovatele přenosové funkce U čtvrtých kanonických obou typů dochází ke vzniku podobných přechodových signálů jako u první kanonické pro typ I a druhé kanonické pro (typ II ). Přechodový signál u čtvrtých kanonických má zpravidla menší amplitudu než u první a druhé kanonické. Na obrázku 17 je výstupní signál přímé formy. U přímé formy jako u jediné nedochází ke vzniku nespojitosti. Při skokové změně z H 1 na H 2 nepřesahuje amplituda výstupního signálu amplitudu vstupního signálu. Při skokové změně z H 2 na H 1 dochází ke vzniku přechodového signálu, který je amplitudou a délkou trvání podobný přechodovému signálu první kanonické. V tabulce 1 je přehled vlastností přechodových dějů všech realizací pro změnu pouze čitatele, dále změnu pouze jmenovatele a nakonec změnu jak čitatele, tak jmenovatele přenosové funkce. Přehled je sestaven z výsledků testu všech realizací čtvrtého a některých realizací třetího řádu. Přechodový signál při změně pouze jmenovatele a jak čita- tele, tak jmenovatele vzniká u všech realizací. Poslechový test je čistě subjektivním testem. Zvukový vjem všech artefaktů se jevil podobně, jelikož byly výstupní signály ve většině případů omezeny. Jako mírný zvukový artefakt jsou označeny ty artefakty, u kterých byla subjektivní hlasitost výrazně menší, než u silných zvukových artefaktů. 5.4 Systémy s konečnou impulzní charakteristikou Byly testovány i systémy s konečnou impulzní charakteristikou (FIR - Finite Impulse Response). U FIR systémů vznikají také přechodové děje a jejich vlastnosti odpovídají analogicky přechodovým dějům IIR systémů při změně čitatele přenosové funkce. To je způsobeno tím, že jmenovatel přenosové funkce FIR systému je vždy roven jedné. Délka přechodového signálu je vždy totožná s délkou impulzní odezvy systému. 6 Závěr Délka a tvar přechodového signálu je závislá na délce a tvaru impulzní odezvy systému před a po změně jeho parametrů. V době skokové změny může docházet k nespojitosti v závislosti na rozdílu modulových a fázových kmitočtových charakteristik přepínaných sad koeficientů přenosové 201
funkce. Pro hudební signály je vhodné, aby v době změny parametrů nebyl slyšet žádný zvukový artefakt. Nespojitost a výrazný přechodový signál způsobují takový zvukový artefakt. Při změně pouze čitatele dochází u realizací k následujícím jevům. U první kanonické formy dochází vždy ke vzniku přechodového signálu, ten však způsobuje pouze nevýrazný zvukový artefakt. U druhé kanonické formy nedochází ke vzniku přechodového signálu v případě, pokud je použit systém řádu čtyři nebo jeho násobku. Jinak dochází k nespojitosti v době skokové změny parametrů. U realizace třetí kanonickou formou může docházet k nejvýraznějšímu přechodovému signálu. Ten je možné minimalizovat pomocí váhování. Dále pokud má první dílčí systém póly nejdále od jednotkové kružnice, přechodový signál dosahuje menších amplitud. Výstupní signály čtvrtých kanonických se shodují s první a druhou kanonickou v závistosti na realizaci dílčích systémů. U přímé formy vzniká vždy hladký výstupní signál a pokud nedojde k jeho omezení, změna parametrů systému je potom uchem nepostřehnutelná. Při změně pouze jmenovatele dochází u všech realizací ke tvorbě výrazných přechodových signálů. Výstupní signály všech realizací jsou značně degradovány. K největší degradaci dochází u třetích kanonických. U první kanonické formy a čtvrté kanonické formy typu I nedochází ke vzniku nespojitosti v místě skokové změny parametrů. Při změně čitatele a zároveň jmenovatele dochází opět ke vzniku přechodového signálu ve všech případech realizace. Výstupní signál první a druhé kanonické dosahuje několikanásobně větších amplitud, než vstupní signál. Váhované třetí kanonické mají menší amplitudy přechodových signálů, ovšem zvukové artefakty jsou výrazné zejména díky nespojitosti a nehladkosti v oblasti skokové změny parametrů. Výstupní signály čtvrtých kanonických jsou podobné a zpravidla s menší amplitudou jako výstupní signály první a druhé kanonické. Přímá forma má opět hladký výstupní signál s amplitudou podobnou jako u třetích kanonických. Přechodový signál je ale delší, což se negativně projevuje při omezení signálu, kdy může vzniknout výrazný zvukový artefakt. Ke tvorbě přechodového signálu dochází také u nerekuzivních FIR systémů realizovaných jako první kanonická forma. U FIR systémů realizovaných jako druhá kanonická může dojít pouze k nespojitostem. Délka přechodového signálu je vždy shodná s délkou impulzní odezvy systému. Výhodou přímé formy je hladkost výstupního signálu. Nevýhodou je ovšem dlouhotrvající přechodový signál s amplitudou přesahující amplitudu vstupního signálu v případě změny čitatele i jmenovatele přenosové funkce. Tento problém částečně řeší čtvrtá kanonická forma. Její přechodový signál je kratší a zpravidla menší amplitudy. Výstupní signál ale není v době skokové změny parametrů při obecné změně přenosové funkce spojitý a způsobuje nepříjemný zvukový artefakt. Literatura [1] PROAKIS,J.G.; MANOLAKIS, D.G. Digital Signal Processing - Third edition. Prentice Hall, ISBN 0-13- 373762-4, 1996. [2] RABENSTEIN, R. Minimization of transient signals in recursive time-varying digital filters. Circuits, Systems and Signal Processing 1988, Volume 7, Issue 3, pp 345-359 [3] Välimäki, V. Discrete-Time Modeling of Acoustic Tubes Using Fractional Delay Filters. Thesis for the degree of Doctor of Technology 1995. Helsinki University of Technology [4] BILBAO, S. Time-Varying Generalizations of All-Pass Filters. IEEE signal processing letters, vol. 12, no. 5, may 2005. [5] Välimäki, V., Laakso, T.I. Suppression of transients in tine-varying recursive filters for audio signals. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP 98), vol. 6, pp. 3569 3572, Seattle, Washington, May 12 15, 1998 [6] WISHNICK, A. Time-varying filters for musical applications. Proc. of the 17th Int. Conference on Digital Audio Effects (DAFx-14), Erlangen, Germany, September 1-5, 2014 [7] BOOM, T. Discrete-time systems analysis, 2006. Additional Lecture Notes for the course SC4090. [8] DEHNER, G.F. Noise optimized IIR digital filter design tutorial and some new aspects Signal Processing, Volume 83, Issue 8, pp. 1565 1582, 2003 202