balancování: koště vs. tužka Nestabilní = nebezpečný

balancování: koště vs. tužka Nestabilní = nebezpečný

koště jednoduchý model obrácené kyvadlo, hmotnost v těžišti, linearizace v horní poloze, má 2 reálné póly: stabilní a nestabilní gl gl koště regulátor řídicí algoritmus nás nezajímá dovnitř nevidíme a je nám to jedno

základní fakta Základní fakta o nestabilních soustavách I. Nestabilní soustavy jsou fundamentálně a měřitelně obtížnější k řízení než stabilní II. Regulátory pro nestabilní soustavy jsou kritické pro provoz a proto nesmí selhat III. Uzavřené smyčky s nestabilními komponentami včetně regulátorů jsou jen lokálně stabilní Nestabilní soustava je nebezpečná!

H norma norma přenosu (c-t) L = sup L(jω) ω

neurčitost neurčitost v otevřené smyčce (vlivem zanedbané dynamiky, nelinearit, omezení,...) L(s) = L (s) 1 +W(s)Δ(s), Δ(s) 1, L = G K 0 0 0 0 n. je v soustavě, ale i v regulátoru (např. je-li číslicový) neurčitost je obvykle velká na větších frekvencích, tj. W(jω) je velké pro velké ω

robustní stabilita na větších ω tedy nemůžeme řídit přesně jsme rádi, když tam aspoň zachováme stabilitu podmínka robustní stability ω: T 0(jω)W(jω) <1 W(jω)L 0(jω) < 1+ L (jω) z podmínky plyne: pro W(jω) musí být 0 1 T(jω) 0 d = 1+L 0(jω) r = L 0(jω)W(jω) T (s)w(s) 1 0 L 0(jω) < L(jω)

ne-využitelné pásmo kde je W(jω) 1 ω ( Ω, ) a kde proto využitelné pásmo nemůžeme řídit přesně (což by bylo S(jω) 0 ) jsme rádi, když tam zachováme stabilitu tím, že zajistíme T(jω) 0 neboli S(jω) 1 2 navrhneme L 0(jω) < δ ω tj. s relativním řádem aspoň 2 využitelné pásmo ω [ 0,Ω] 1 S(s) = kde je W(jω) 0 1+L(s) kde si můžeme dělat co chceme kde za to také musíme nést důsledky ( S+T=1) Ω není předmětem návrhu (nezáleží na L 0(jω) ), ale je dáno fyzikálními vlastnostmi použitého HW

zákon zachování plochy - efekt vodní postele když L má relativní řád 2 a n p nestabilních pólů p i, platí Bodeho integrální omezení : 0 0 log S(jω) dω = π Repi loge speciálně pro stabilní L(s) n p ln S(jω) dω = π Rep 0 ln S(jω) dω = 0 0 n p 0 když měřítko log. u amplitudy a lin. u ω, musí se obě plochy rovnat nestabilní póly plocha zesilování je dokonce větší i 0

4 příklad 2 Pro L= nestabilní je -2+s+s S= stabilní (s + 2)(s -1) 2+s+s 2 ale 0 ln S(jω)dω = π a dokonce -2+s+s S= 2+s+s 2 2 S(jω) >1 ω celá plocha je nad nulou pochopitelné: za stabilizaci musíme něco zaplatit

při návrhu regulátoru platí zákon zachování (Bodeho integrál) hlína nemůže zmizet, může se jen přemístit a to platí pro všechny metody návrhu!!!

ale navíc hlínu smíme přemisťovat jen uvnitř využitelného pásma mimo něj musí být S(jω) 1, tj. ln S(jω) 0 a příspěvek integrálu je tam skoro nulový takže ve skutečnosti pro nestabilní Ω n p 0 0 ln S(jω) dω = π Rep + ε a pro stabilní Ω ln S(jω) dω = ε 0 0 Ω i zhoršení musí být uvnitř využitelného pásma i

balancování vliv délka s stab =- g l s nestab = gl l = 2 l = 0.5 l = 0.1 l =1 l = 0.2 l = [m] s nestab 2 1 0.5 0.2 0.1 2 3 4.5 7 10 kratší koště nestabilnější pól

koště využitelné pásmo koště samotné je OK je dost tuhé, aerodynamický odpor je zanedbatelný, nelinearita tu nehraje roli v čem je tedy problém? v regulátoru HW, fyzikální implementace lidským operátorem má mnoho složitých omezení vnímání, výpočet, pohyb ruky,. experimentální studie na vojenských pilotech ukazují, že člověk jako regulátor je dobrý asi tak do 2 Hz neboli asi do 10-15 rad/s využitelné pásmo pro tento systém je tedy ω 0,Ω, Ω 10-15rad/s [ ]

koště řídicí algoritmus protože přenos poruchy na výstup je právě citlivost, rozumné řízení zajistí co nejmenší citlivost ve využitelném pásmu S=S min [ ] ω 0,Ω, Ω 10-15rad/s jednotkovou citlivost S=1 mimo využitelné pásmo ( ) ω Ω, nezabývejme se algoritmem, který člověk používá, stejně to nezjistíme ale prozkoumejme jeho omezení, tj. jakého nejlepšího výsledku může dosáhnout bez ohledu na použitou metodu

předpoklady: koště citlivost relativní řád L(s) 2 (kvůli robustní stabilitě) citlivost (kvůli robustní stabilitě a pro jednoduchost) [ ] ( ) Smin ω 0,Ω S= 1 ω Ω, Ω =10-15rad/s S 1 S min ln S 0 ln S min Ω ω hodnotu najdeme z Bodeho integrálu S min 0 ln S(jω) dω = πres nestab

obecně (pro jeden nestabilní pól) pro koště Ω 0 ln S(jω) dω = πres min 0 Ω koště Bodeho integrál nestab lns dω+ ln(1)dω = π g l Ω lns min + 0 = π g l π g lns min = Ω l S =e min π Ω g l

koště Bodeho integrál minimální citlivost ve využitelném pásmu pro koště S =e min π Ω g l S min Ω=10 l=[0.1:0.01:1.5]; plot(l,exp((pi/10).*sqrt(10./l)),l,exp((pi/12). *sqrt(10./l)),l,exp((pi/15).*sqrt(10./l))) Ω=15 l

koště Bodeho integrál minimální citlivost ve využitelném pásmu pro koště S =e min π Ω g l S min Ω=10 l=[0.1:0.01:1.5]; plot(l,exp((pi/10).*sqrt(10./l)),l,exp((pi/12). *sqrt(10./l)),l,exp((pi/15).*sqrt(10./l))) Ω=15 tužka l koště

koště citlivost [ 0, 2] [ 2, ] ( ) S1 ω Ω S = S2 ω Ω Ω 1 ω Ω, Ω 10 rad/s ln S 2 0 ln S 1 Ω 2 Ω ω ln S 2π g = ln S Ω l 2 1 >> l=0.1; g=10; OM=10; lns1=-1; >> lns2=(2*pi/10)*sqrt(10./l)-lns1 lns2 = 7.2832 >> exp(lns1),exp(lns2) ans = 0.3679 ans = 1.4556e+003 logarithmic scale linear scale

koště - shrnutí nevadí, že nestabilní pól je velký, ale to, že je velký vzhledem k využitelnému pásmu regulátor s rychlejším HW by to zvládl

X-29

X-29 experimentální letadlo vyrobené Grumman Aircraft Comp. sponzorované USAF, DARPA a NASA řízení: HW+SW Honeywell, návrh Grumman+Honeywell zlepšené aerodynamické vlastnosti díky novým materiálům a tvaru křídel křídla zahnutá dopředu (při velkém úhlu náběhu posiluje vztlak) blízko nich kachní křídla

statická nestabilita statická nestabilita: nastane když centrum vztlaku cp (bod, kde působí vztlakové síly) leží před těžištěm cg vztlaková síla roste nepřímo úměrně náběhu, každá počáteční změna náběhu změní vztlak. vzdálenost mezi cp-cg vytváří moment ve stejném směru a poloha diverguje linearizovaný model je podobný koštěti: přenos má dva kořeny zhruba stejné velikosti, jeden stabilní a druhý nestabilní nestabilní stabilní C p C g C p C g

X-29 v dobách, kdy se nevěřilo automatickému řízení, byla většina letadel stabilní při všech režimech letu a všech naloženích (výjimka: první letadlo bratří Wrightů) teď se toho využívá (stabilní letadlo musí mít ocasním plochy a závaží na zádi) nestabilní letadlo má lepší manévrovací schopnosti a rychleji reaguje

X-29 X-29 bylo úmyslně navrženo mírně nestabilní v transsonickém a supersonickém režimu bohužel základní aerodynamický jev: cp zvedajícího se povrchu se dramaticky posouvá na záď při překročení rychlosti zvuku tedy X-29 bylo mírně nestabilní při velkých rychlostech ale dramaticky nestabilní při podzvukových rychlostech: nestabilní pól +6 rad/s což odpovídá koštěti délky asi 30 cm což pilot manuálně řídit nezvládne (aspoň ne dlouho) supersonic: mírně nestabilní subsonic: dramaticky nestabilní C g C p C g C p

Hlavní HW prvky ve smyčce, které omezují využitelné pásmo: využitelné pásmo senzory (accelerometry, rate gyros použité pro stabilizaci vnitřní smyčky): pásmo (měřené v klas. smyslu 3-dB-zes.) typicky 120 rad/s řídicí procesory (čísl. poč.+vzork., řídicí povely 80Hz), rozumě věrné signály do 30-40 rad/s (2-3 vzorky na rad) akční členy (hydraulické systémy s velkým tlakem se servy ovládajícím řídicí aerodynamické povrchy) asi 70 rad/s aerodynamika (obtékání kolem povrchu letadla, které mění polohu řídicích povrhů na síly a momenty) 100 rad/s (při větších ω je závislost složitá a neznámá) kostra letadla (pro nás: mechanické struktury spojující akční členy a senzory, pro nízké frekvence tuhá, ale pro vyšší kmitá) pro trup stíhačky asi 7Hz 40 rad/s (nad touto frekvencí je vše neurčité, závisí na rozložení hmotnosti (palivo, náklad) a typu manévru) Celkem tedy: využitelné pásmo X-29 je asi do 40 rad/s je omezeno hlavně mechanickými strukturami a rychlostí vzorkování počítačů.

omezení využitelné pásmo do 40 rad/s ln S a přitom má nestabilní pól 6 rad/s S min Ω = 40rad/s Ω 1 ωs Ω min ln dω + lns 0 Ω mindω = πresnestab 1 Ω1 -Ω +Ω lns + Ω -Ω lns = -Ω +ΩlnS = πres ( ) Ω 1 lnω 1 1 min 1 min 1 min nestab πres +Ω nestab 1 lns min =, Ω S =e min πres nestab +Ω1 Ω

S min S min Ω1 = Ω 1 = Ω = 1 10 3 1 GM < 2= 6dB p = 6 rad/s, Ω 1 = 3rad/s o S = 1.75 PM = 37 min o PM<45 S = 1.3 PM = 45 min PM GM S S min min 1 1 2arcsin 2 Smin hraniční hodnoty: norma pro vojenská letadla požaduje PM 45º, GM 6 db (=2)

prototyp realizovatelná aproximace S (4. řád): výsledná Bodeho charakteristika největší dosažitelné PM = 35 o nestačí S min

frekvenční charakteristika naměřená za letu X-29

X-29 závěr neudělali jsme žádný návrh přesto jsme ukázali, že omezení daná HW jsou příliš přísná a také to tak dopadlo: žádný z týmů nenavrhl vyhovující řízení X-29 létá jen proto, že dostalo výjimku z norem v současné době ještě nelze navrhovat tak divoce nestabilní letadla praktické pravidlo: u letadel by mělo být aspoň Ω > 10 p