Rovnice s neznámou pod odmocninou a parametrem

Transkript

1 .8.10 Rovnie s neznámou pod odmoninou a parametrem Předpoklady: 806, 808 Budeme postupovat stejně jako v předhozíh hodináh. Nejdříve si zopakujeme obený postup při řešení rovni s neznámou pod odmoninou a pak se pustíme na jednotlivé příklady. postup při řešení rovni s neznámou pod odmoninou: stanovíme podmínky pro výrazy pod odmoninami (pak je budeme kontrolovat) umoníme rovnii (v případě potřeby i víekrát) vyřešíme rovni bez odmonin zkontrolujeme podmínky z prvního kroku provedeme zkoušku Upozornění:, ale Pedagogiká poznámka: Zkontrolování podmínek z úvodu je nutné zopakovat. Při řešení rovni bez parametrů tyto podmínky kontrolujeme mimoděk, ale z výrazu obsahujíího parametr není nesplnění podmínek příliš dobře vidět. Př. 1: Vyřeš rovnii + + s neznámou a parametrem. Podmínky kvůli odmoninám: Obě podmínky budeme muset na závěr zkontrolovat. + + / + + ještě musíme zkontrolovat, zda vyhovuje podmínkám ze začátku: 4 4 Z obou podmínek vyšlo to samé (není to náhoda). Hodnoty parametru : Řešení pro : 4 K { } > 4 K 1

2 Př. : Vyřeš rovnii 3p p + + s neznámou a parametrem p. Podmínky kvůli odmoninám: + 3p 0, součet druhýh monin vždy nezáporný, platí vždy. Podmínku budeme muset na závěr zkontrolovat. + 3 p + p / + 3p + p + p p p, heme dělit p musíme rozdělit výpočet: p 0 nemůžeme dělit, ale můžeme dosadit zdá se, že platí K R, ale zbývá udělat zkoušku. L + 3p P + p + 0 zkouška vyjde, pokud bude platit p 0 můžeme dělit. / : p p p p Opět musíme provést zkoušku: L + 3p p + 3p 4 p p P + p p + p p, ož platí pokud 0 K 0; ). zkouška vyjde, pokud bude platit p p, ož platí pokud p 0. p > K { p} 0 p < 0 K Hodnoty parametru p: Řešení pro : p 0 K 0; ) p > 0 K { p} p < 0 K Pedagogiká poznámka: Předhozí příklad pro mě byl trohu zklamáním. Studenti jsou trohu překvapení tím, že musí pro větev p 0 dělat zkoušku, takže jim ji budete muset vnutit. Přesto mají obrovské problémy i se zkouškou v další části příkladu a pro velkou část z nih je problémem rozpoznat, že z nerovnosti p > 0 neplyne K ( 0; ), ale to, že pro p > 0 platí, řešení, které před hvílí spočítali pro K { p}. Zajímavou hybou, kterou studenti často dělají, je umoňování zkoušky. Když se pod odmoninou objeví písmenko, studenti mají poit, že není možné se odmoniny zbavit jinak než umoněním (čímž zkouška ztráí smysl).

3 Př. 3: Vyřeš rovnii a y + a a s neznámou y a parametrem a. a y + a a Pod odmoninou musí být nezáporné číslo y + a 0 y a musíme zkontrolovat u výsledků. Cheme vydělit rovnii a, ale nesmíme dělit nulou vyzkoušíme a 0. Dosadíme a 0. a y + a a 0 y K R, ale musíme splnit podmínku: y a 0 a 0 K 0; ) Když a 0 můžeme dělit. y + a a y + a a y a a { } K a a / Musíme zkontrolovat podmínku: y y a a a a a a a. Dosadíme za a 0 - tohle platí pro každé a podmínku splníme vždy. Umoňovali jsme musíme udělat zkoušku. L y + a a a + a a a P a Kdy platí L a a P? a > 0 : platí a a L P Zkouška vyšla { }. K a a a < 0 : platí a a a L P neplatí y a a. Zkouška nevyšla K. Hodnoty parametru a: Řešení pro y: a 0 K 0; ) a > 0 K { a a} a < 0 K Pedagogiká poznámka: Někteří studenti umoňují rovnii ještě před vydělením a. Pedagogiká poznámka: Většina studentů nedokáže spočítat ani předhozí příklad, takže následujíí příklad zbývá pro ty opravdu nejlepší. 3

4 Př. 4: Vyřeš rovnii 1. p Podmínka kvůli odmoninám: 1 0 zatím ji nebudeme řešit, uvidíme, až vypočteme. 1 p / 1 p + p p p 1 + heme dělit p musíme rozdělit výpočet: p 0 nemůžeme dělit, ale můžeme dosadit K p 0 můžeme dělit + 1 / : p p p p + 1 p Musíme zkontrolovat podmínku ze začátku příkladu: p + 1 p + p + 1 p + p p p p + 1 p p 4 p 4 p 4 p p platí vždy (druhá monina je nezáporná) Ještě zkoušku: p + 1 p 1 p 1 L 1 1 (už jsme to počítali při kontrole p p p podmínky) p + 1 p + 1 p 1 p p 1 P p p p p p p pokud má zkouška vyjít musí platit: p 1 p 1 číslo uvnitř absolutní hodnoty p p p 1 musí být záporné nebo nula nerovnie 0 p p 1 ( p )( ) rozložíme čitatel na součin: 1 p nerovnie v součinovém tvaru: p p p + 1 p ( ; 1 ( 0;1 zkouška vyhází K p p zkouška nevyhází K ( 1;0 ) ( 1; ) Hodnoty parametru p: Řešení pro : p 1;0 1; K ( ( ) 4

5 p ( ; 1 ( 0;1 p + 1 K p Př. 5: Petáková: strana 1/vičení 6 b) d) Shrnutí: Při řešení rovni s odmoninou a parametrem musíme dodržet postup, kontrolovat všehny podmínky a provádět zkoušky pro všehna získaná řešení. 5