Západočeská univerzita v Plzni Katedra matematiky Matematika a byznys Příklady odhadů a předpovědí časových posloupností Jméno: Číslo: Email: Martin Procházka A6525 m.walker@centrum.cz
Úvod V tomto textu se zaměřím na ukázky mnou sestavených odhadů časových posloupností pro nezaměstnanost v České republice. Pozastavím se nad otázkami existence a dostatečnosti dat. Se zdroji dat bývá obvykle velký problém, protože organizace, které tato data sbírají, mohou mít odlišnou metodiku (například úřady práce versus Český statistický úřad) a ne vždy je snadné nalézt důvod, proč se data liší. Setkal jsem se i s tím, že to ani zaměstnanci úřadu pravděpodobně nevěděli, nebo pravý smysl tajili. Dále také mohou být data měřena v různých okamžicích, ačkoliv spolu úzce souvisejí a mohou být také upravena (například sezónně očištěna, vyjádřena v průměrech, v různých jednotkách atd.). Je tedy důležité upravit data tak, aby byla navzájem srovnatelná (např. stejné jednotky). Nezaměstnanost v České republice a několika regionech jsem odhadoval na 3 roky dopředu. Dále v textu bude ukázáno, jak je možné předpovídat časové posloupnosti na základě různých, hlavně ekonomických předpokladů. 2
Nezaměstnanost Data nezaměstnanosti jsou znázorněna na následujícím grafu a byla získána z regionálních úřadů práce a Ministerstva práce a sociálních věcí (pozn.: pro odhad nez. v Chomutově a Plzni). Data pro odhad nezaměstnanosti v ČR byla použita data z Českého statistického úřadu. Je zřejmé, že se průběhy časových posloupností nezaměstnaností v ČR, Chomutově a Plzni-město velmi podobají. Tím pádem je možné pro odhad použít podobný matematický model. Pro odhad nezaměstnanosti také využijeme posloupnosti zaměstnaností a volných pracovních míst. Důvodem je svázání modelu s další veličinou, na které může nezaměstnanost záviset. Proto byly vytvořeny tabulky korelací nad těmito daty (viz níže). 14 13 12 11 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 6 55 5 45 4 35 3 25 2 15 1 5 Nezaměstnanost Chomutov Nezaměstnanost Plzeň-město Nezaměstnanost ČR v tis. 3
Na následujícím grafu je srovnání nezaměstnanosti se zaměstnaností (případ ČR). 5 5 5 4 95 4 9 4 85 4 8 4 75 4 7 4 65 4 6 525 5 475 45 425 4 375 35 325 3 275 25 225 2 175 15 Q1/1993 Q3/1993 Q1/1994 Q3/1994 Q1/1995 Q3/1995 Q1/1996 Q3/1996 Q1/1997 Q3/1997 Q1/1998 Q3/1998 Q1/1999 Q3/1999 Q1/2 Q3/2 Q1/21 Q3/21 Q1/22 Q3/22 Q1/23 Q3/23 Q1/24 Q3/24 Q1/25 Q3/25 Q1/26 Q3/26 Q1/27 Q3/27 Zaměstnaní v tis. osob Nezaměstnaní v tis. osob Odhad korelační matice CŘ Zaměstnaní v tis. osob Nezaměstnaní v tis. osob Ekonomicky aktivní HDP v běžných cenách mil. HDP ve stálých cenách mil. Zaměstnaní v tis. osob -,91,56,8,23 Nezaměstnaní v tis. osob -,91 -,16 -,1 -,23 Ekonomicky aktivní,56 -,16 -,1,9 HDP v běžných cenách mil. HDP ve stálých cenách mil.,8 -,1 -,1,98,23 -,23,9,98 Podle tabulky výše vyplývá, že pro odhad nezaměstnanosti využijeme data zaměstnanosti. Mezi hrubým domácím produktem a nezaměstnaností nebyla nalezena lineární závislost. 4
Srovnání nezaměstnanosti s počtem volných pracovních míst (Chomutov a Plzeň-město). 14 12 1 8 6 4 2 18 16 14 12 1 8 6 4 2 Nezaměstnanost Chomutov Volná pracovní místa Chomutov 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Q1/1998 Q3/1998 Q1/1999 Q3/1999 Q1/2 Q3/2 Q1/21 Q3/21 Q1/22 Q3/22 Q1/23 Q3/23 Q1/24 Q3/24 Q1/25 Q3/25 Q1/26 Q3/26 Q1/27 Q3/27 Nezaměstnanost Plzeň-město Volná pracovní místa Plzeň Odhad korelační matice Nezaměstnanost PL Nezaměstnanost ČR v tis. Volná pracovní místa PL Nezaměstnanost CV Nezaměstnanost ČR v tis. Volná pracovní místa CV Nezaměstnanost PL,5 -,92 Nezaměstnanost CV,94 -,91 Nezaměstnanost ČR v tis.,5 -,62 Nezaměstnanost ČR v tis.,94 -,78 Volná pracovní místa PL -,92 -,62 Volná pracovní místa CV -,91 -,78 V případě Chomutova a Plzně nebyly záznamy o zaměstnanosti k dispozici, proto byly využity záznamy o volných pracovních místech, protože vykazují s nezaměstnaností vysokou míru negativní korelace. 5
Řešení pomocí polynomů Teoretický základ: Trend vyjádřený obecně polynomem k-tého stupně + + + + tvaru): Kde koeficienty β, β 1 až β k odhadneme pomocí následující rovnice (zapsáno v maticovém, kde matice [,,,, ], je složená z odhadů koeficientů β, β 1 až β k, matice y je složená z jednotlivých pozorování a jejím odhadem je matice, která se vypočte. 1 1 1 1 1 2 4 2 1 Řešení daného problému pomocí polynomu je možné uvažovat od stupně 2, jelikož se časová řada nezaměstnanosti chová nelineárně. Polynomy by bylo v naší situaci možné použít jen pro modelaci stávající nezaměstnanosti. Obecně čím vyšší stupeň polynomu bychom použili, tím vyšší by byl koeficient spolehlivosti (determinace). Pro odhad nezaměstnanosti se tyto modely nehodí, jelikož člen s nejvyšší mocninou by odhadovanou nezaměstnanost strhl do nepravděpodobných hodnot. Řešení pomocí exponenciálního trendu Problém by se také dal řešit pomocí exponenciálního trendu. Trend by potom vypadal následovně: + Kde a k-i (i 1, 2,, k) jsou odhadované parametry, k a A jsou zvolené parametry tak, aby se minimalizoval reziduální součet čtverců mezi odhadem a skutečnými daty, X t-i (i 1, 2,, k) jsou hodnoty v minulých časech (v našem případě nezaměstnanost) a ε je odchylka, u které předpokládáme nulovou střední hodnotu, konstantní rozptyl a řídí se normálním rozdělením (, ). Po převodu tohoto modelu na lineární model můžeme odhadnout parametry lineární regresí. Převod na lineární tvar: Tento model má potom při odhadu konvexní klesající křivku. Model také není zcela vhodný, protože umí modelovat jen stále klesající nebo stále rostoucí průběh. 6
Lineární regresní model Lineární regresní model má obecně následující tvar: + Nutné předpoklady: je náhodná odchylka, u které předpokládáme nulovou střední hodnotu ( ) a řídí se normálním rozdělením (, ). ( ), konstantní rozptyl Výraz lze přepsat pro více rovnic do maticového tvaru: [ ] [ ] k počet koeficientů X v regresi n počet měření (počet řádků matice) A matice odhadovaných koeficientů X reg matice složená z nezaměstnaností; sloupce vyjadřují, do jaké délky ovlivňují minulé hodnoty hodnotu současnou (vysvětlující proměnné); řádky vyjadřují počet rovnic modelu (n-k) X matice složená z nezaměstnaností (obsahuje vysvětlované proměnné); řádky vyjadřují počet rovnic modelu (n-poč. kroků do minulosti) Potom řešíme soustavu: Jednotlivé koeficienty byly vysvětleny výše. Tento model je vhodný pro odhad nezaměstnanosti za předpokladu, že budeme mít k dispozici dostatek dat. 7
Úprava lineárního modelu: Výsledky odhadů: Model pro ČR a Plzeň-město V našem případě bude lineární model složen z nezaměstnanosti a zaměstnanosti (resp. volných pracovních míst) s tím, že do minulosti půjdeme o 4 kroky (4 čtvrtletí). Aby bylo možné odhadovat nezaměstnanost, musíme odhadovat také zaměstnanost (volná pracovní místa), což provedeme také tímto modelem pro ČR (odhadem lineární regresí pro Plzeň-město). Potom náš model bude vypadat následovně: Lineární regresní model pro odhad nezaměstnanosti a zaměstnanosti bude mít tvar: + + nezaměstnanost v čase t zaměstnanost (volná pracovní místa) v čase t a 7... a regresní koeficienty k 1 počet koef. a u X t (4) k 2 počet koef. a u Y t (4) Výraz lze přepsat pro více rovnic do maticového tvaru: Matice vysvětlovaných proměnných (X nezaměstnanost, Y zaměstnanost (resp. volná pracovní místa)): Matice regresních koeficientů: Matice vysvětlujících proměnných: [ ] [ ] [ ] n počet měření (počet řádků matice) 8
Potom řešíme soustavu pro nezaměstnanost: Řešením soustavy je matice A pro nezaměstnanost: A také řešíme soustavu pro zaměstnanost: Řešením soustavy je opět matice A pro nezaměstnanost: Pozn.: Pro odhad volných pracovních míst v Plzni byla použita lineární regrese pro data Q1/25 Q4/27 s koeficientem determinace,834 a rovnicí přímky y 524,7x + 623,9. 5 495 49 485 48 475 47 465 46 525 5 475 45 425 4 375 35 325 3 275 25 225 2 175 15 Q1/1997 Q3/1997 Q1/1998 Q3/1998 Q1/1999 Q3/1999 Q1/2 Q3/2 Q1/21 Q3/21 Q1/22 Q3/22 Q1/23 Q3/23 Q1/24 Q3/24 Q1/25 Q3/25 Q1/26 Q3/26 Q1/27 Q3/27 Q1/28 Q3/28 Q1/29 Q3/29 Q1/21 Q3/21 Zaměstnaní v tis. osob Nezaměstnaní v tis. osob 9
8 7 6 5 4 3 2 1 14 12 1 8 6 4 2 Q1/1999 Q3/1999 Q1/2 Q3/2 Q1/21 Q3/21 Q1/22 Q3/22 Q1/23 Q3/23 Q1/24 Q3/24 Q1/25 Q3/25 Q1/26 Q3/26 Q1/27 Q3/27 Q1/28 Q3/28 Q1/29 Q3/29 Q1/21 Q3/21 Nezaměstnanost Plzeň Volná pracovní místa Plzeň Lin. Regrese VPM Úprava lineárního modelu: Model pro Chomutov Lineární model bude složen z nezaměstnanosti a volných pracovních míst s tím, že do minulosti půjdeme opět o 4 kroky (4 čtvrtletí). Volná pracovní místa budeme odhadovat modelem jako v případě ČR, ale nezaměstnanost budeme odhadovat upraveným exponenciálním modelem. Lineární regresní model pro odhad volných pracovních míst bude mít tvar: + nezaměstnanost v čase t zaměstnanost (volná pracovní místa) v čase t a 7... a regresní koeficienty k 1 počet X t (4) k 2 počet Y t (4) Výraz lze přepsat pro více rovnic do maticového tvaru: Matice vysvětlovaných proměnných (Y volná pracovní místa): [ ] Matice regresních koeficientů: [ ] 1
Matice vysvětlujících proměnných: n počet měření (počet řádků matice) Potom řešíme soustavu: Řešením soustavy je matice A: Tímto postupem jsme odhadli koeficienty pro odhad volných pracovních míst Nezaměstnanost odhadujeme pomocí upraveného exponenciálního modelu: + nezaměstnanost v čase t zaměstnanost (volná pracovní místa) v čase t a 7... a regresní koeficienty k 1 počet X t (4) k 2 počet Y t (4) k a A zvolené parametry tak, aby se minimalizoval reziduální součet čtverců mezi odhadem a skutečnými daty Po převodu tohoto modelu na lineární model můžeme odhadnout parametry lineární regresí. Upravený tvar je potom: + Tento model má potom při odhadu konvexní klesající křivku. Model také není zcela vhodný, protože umí modelovat jen stále klesající nebo stále rostoucí průběh. Výraz opět přepíšeme do maticového tvaru: Matice vysvětlovaných proměnných:, kde [ ] 11
Koeficienty A a k byly zpočátku libovolně zvoleny tak, aby byla zachována podmínka řešitelnosti logaritmu <, nebo >. Matice regresních koeficientů: Matice vysvětlujících proměnných: [ ] Potom řešíme soustavu tak jako výše: Získané koeficienty dosadíme zpět do rovnice: + Po zhotovení odhadu řady X t byly vypočítán reziduální součet čtverců (RSS). n počet měření nezaměstnanost v čase t odhad nezaměstnanosti v čase t Pomocí funkce řešitel v Excelu se měnily koeficienty A a k tak, aby se RSS minimalizovalo. Výsledný graf odhadu nezaměstnanost a volných pracovních míst v Chomutově: 14 12 1 8 6 4 2 25 2 15 1 5 Nezaměstnanost Chomutov Volná pracovní místa Chomutov 12
Úspěšnost prognózy: Na následujících tabulkách je zřejmé, že předpověď nebyla úspěšná. Již v prvních třech čtvrtletích jsou velké odchylky mezi odhady a skutečností. Modely nebraly v úvahu světovou hospodářskou krizi, což může být příčina nepřesností hned ze začátku. Zajímavé by bylo, jak by si tyto modely vedly, kdyby žádná krize nenastala a jaká by byla jejich přesnost. Toto se dozvědět bohužel nemůžeme a tento příklad nám ukázal, že není možné předpovídat makroekonomická data (a i ekonomická) jednoduchými způsoby. Ve skutečnosti se jistě používají komplexnější metody pro krátkodobější odhady. Q1/28 Q3/28 Odhad ČR Plzeň Chomutov Odhad ČR Plzeň Chomutov Zaměstnaní: 4 961 Zaměstnaní: 4 975 Nezaměstnaní: 255 3949 6649 Nezaměstnaní: 246 3679 6552 VPM 7445 1373 VPM 797 1393 Skutečnost Skutečnost Zaměstnaní: 4958 Zaměstnaní: 53,3 Q2/28 Nezaměstnaní: 244 3816 6586 Nezaměstnaní: 22,1 3596 5615 VPM 8811 1194 VPM 9453 1531 Odchylka v % Odchylka v % Zaměstnaní: % Zaměstnaní: 1% Nezaměstnaní: -5% -3% -1% Nezaměstnaní: -12% -2% -17% VPM 16% -15% VPM 16% 9% Odhad ČR Plzeň Chomutov Zaměstnaní: 4 974 Nezaměstnaní: 258 3565 6332 VPM 8494 1558 Skutečnost Zaměstnaní: 514 Nezaměstnaní: 224 3994 5754 VPM 8116 1322 Odchylka v % Zaměstnaní: 1% Nezaměstnaní: -15% 11% -1% VPM -5% -18% 13
Zdroje: Data ČR: Data Chomutov: Data Plzeň: http://portal.mpsv.cz/sz/stat/nz/qrt http://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/zam_cr http://portal.mpsv.cz/sz/local/cv_info/antp/stat_25 http://portal.mpsv.cz/sz/local/pm_info/stat/pm11 Metody matematické statistiky, Jiří Reif, ZČU Plzeň Studijní materiály k předmětu MRF, F. Vávra, ZČU Plzeň Studijní materiály k předmětu SA2, Jiří Reif, ZČU Plzeň Studijní materiály k předmětu MME, Blanka Šedivá, ZČU Plzeň 14