M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D

Transkript

1 M - Příprava na 2. zápočtový test pro třídu 2D Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na

2 ± Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice s absolutní hodnotou Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x +2 < 8 Řešení: 1. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-2) 2. Nulové body znázorníme na číselné ose 3. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ; -2); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko: (-x - 2) < 8 -x - 2 < 8 -x < 10 x > -10 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy otevřený interval (-10; -2) (1) 4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-2; + ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + 2) < 8 x + 2 < 8 x < 6 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-2; 6) (2) 5. Nyní uděláme sjednocení výsledků (1) a (2), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-10; 6). Příklad 2: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x x < 2 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1. 1 z 42

3 1. x Î (- ; 1) (-x + 1) + x < 2 -x x < 2 0x < 1 0 < 1... platí vždy Celkovým řešením první části je tedy K 1 = (- ; 1) (1) 2. x Î <1; + ) (x - 1) + x < 2 x x < 2 2x < 3 x < 1,5 Celkovým řešením druhé části je tedy K 2 = <1; 1,5) (2) 3. Provedeme sjednocení výsledků (1) a (2): Celkovým řešením je tedy K = (- ; 1,5) Příklad 3: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici: 1 ³ 5 2x - 3 Řešení: Nulovým bodem je číslo 1,5 1. x Î (- ; 1,5) 1 ³ 5-2x ³ 0-2x ( -2x + 3) ³ 0-2x x -15 ³ 0-2x x -14 ³ 0-2x + 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 5x - 7 ³ 0 3-2x a) 5x - 7 ³ 0 Ù 3-2x > 0 b) 5x Ù 3-2x < 0 x ³ 7/5 Ù x < 3/2 x 7/5 Ù x > 3/2 x Î <7/5; 3/2) x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; 3/2); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ; 1,5), proto musíme provést průnik: Tím je K 1 = <7/5; 3/2) 2. x Î (1,5; + ) 1 ³ 5 2x ³ 0 2x z 42

4 1-5.(2x - 3) ³ 0 2x x + 15 ³ 0 2x x ³ 0 2x - 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 8-5x ³ 0 2x - 3 a) 8-5x ³ 0 Ù 2x - 3 > 0 b) 8-5x 0 Ù 2x - 3 < 0 x 8/5 Ù x > 3/2 x ³ 8/5 Ù x < 3/2 x Î (3/2; 8/5> x Î { } Celkovým řešením částí a), b) je x Î (3/2; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (1,5; + ), proto musíme provést průnik: Tím je K 2 = (3/2; 8/5> 3. Celkovým řešením je tedy sjednocení K 1 a K 2, což je K = <7/5; 3/2) È (3/2; 8/5> ± Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady K = R K = R K = { } 3 z 42

5 K = { } K = {2,5} K = R K = { } ± Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice 4 z 42

6 Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte soustavu rovnic: x 2 + y 2 = 74 3x - 2y = 1 Řešení: x 2 + y 2 = 74 3x - 2y = y x = æ + 2y ö ç è 3 ø ( + 2y) 9 + y y + 4y + 4y 9 = 74 = y (1) = y + 4y 2 + 9y 2 = y 2 + 4y = 0 y 1,2 - = 4 2 ± æ ç è 2 4 ö ø 13 (- 665) y 1 = 7 y 2 = -95/13 Dosadíme do rovnice (1) a vypočteme x: x x = 5 3 æ 95 ö ç - è 13 = ø = 3 1 = 2 - Závěr: ì P = í î [ 5;7 ], Příklad 2: é 59 95ùü ê - ;- úý ë 13 13ûþ Řešte soustavu rovnic: x 2 - y 2 = 640 x : y = 7 : 3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: - 2 ± 8649 = 13 = - 2 ± z 42

7 x = 7y/3 (1) Dosadíme do rovnice první: 2 æ 7 y ö ç - y 2 = 640 è 3 ø 49 2 y - y 2 = y 2-9y 2 = y 2 = y 2 = 576 y 2 = 144 y 1 = 12 y 2 = -12 Dosadíme do rovnice (1) a dopočteme x: x 1 = : 3 = 28 x 2 = 7. (-12) : 3 = -28 Závěr: K = {[ 28;12 ]; [- 28; -12]} ± Soustava lineární a kvadratické rovnice - procvičovací příklady K = {[3; 0]} z 42

8 5. Řešte soustavu rovnic: K = {[0; -1]} K = {[0; 0], [2; 4]} ± Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou. Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad 1: 7 z 42

9 Řešte rovnici: x 2 Řešení: - 2x + 10 = x -10 Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x 2-2x + 10 = (x - 10) 2 x 2-2x + 10 = x 2-20x po úpravě: x = 5 Zkouška: L = = 5 P = 5-10 = -5 L ¹ P Daná rovnice tedy nemá řešení. Příklad 2: Řešte rovnici: x + 7 = x - 5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: x + 7 = (x - 5) 2 Po úpravě x + 7 = x 2-10x + 25 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny 2 a 9. Zkouška: L(2) = = P(2) = 2-5 = -3 L(2) ¹ P(2) 9 = 3 Kořen 2 tedy není řešením. L(9) = = 16 = 4 P(9) = 9-5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici: 5-5x = 3x z 42

10 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5-5x) = (3x - 11) Po úpravě: x = 2 Zkouška: L = = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici: x x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x x x x = 49 Po ekvivalentních úpravách: 3 x x + 9 = 20-5x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 9x x = x + 25x 2 Po úpravě: 16x 2-281x = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 16 a 25/16 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 25/16. Příklad 5: Řešte rovnici: x = 5 Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x = 25 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x = 25 má dvě řešení, a to x 1 = 4 a x 2 = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u 2 = v 2. ± Iracionální rovnice - procvičovací příklady 9 z 42

11 ± / Nemá řešení P = {9; -1/3} , P = {8; 4} Nemá řešení ,5 10 z 42

12 14. Řešte rovnici: x + 1. x x = ( )( ) P = {0; 2} 16. Řešte rovnici: x + 3. x -1 - x. 1- x = ( )( ) ( ) Řešte rovnici: Řešte rovnici: 1617 P = {0; 3} ± Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.). Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru. Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět nebudeme. Ukázkové příklady: Příklad 1: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x. m. (x - 1) = x + m Řešení: 11 z 42

13 Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku: mx - m = x + m mx - x = 2m Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku: x. (m - 1) = 2m Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m ¹ 1 2m x = m -1 Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m: Příklad 2: Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y: 3 = 5 - y m - 2 Řešení: Za podmínky m ¹ 2 můžeme odstarnit zlomek: 3 = (5 - y). (m - 2) Roznásobíme závorky: 3 = 5m my + 2y Na levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající: my - 2y = 5m - 13 Na levé straně rovnice vytkneme y: y. (m - 2) = 5m - 13 Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno: 5m -13 y = m - 2 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 3: Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x: (x + 3). (x - c) = x 2 +3c - 18 Řešení: x 2 - cx + 3x - 3c = x 2 + 3c x - cx = 6c z 42

14 x. (3 - c) = 6. (c - 3) Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3: x = -6 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 4: Řešení: Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky: 12y + 16y - 18y = 5m - 10my 10y + 10my = 5m Celou rovnici vydělíme číslem 5: 2y + 2my = m 2y. (1 + m) = m Uvážíme-li m ¹ -1, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit: m y = 2.(1 + m) Provedeme diskusi vzhledem k parametru: ± Rovnice s parametrem - procvičovací příklady z 42

15 z 42

16 z 42

17 Rovnice nemá smysl x - = x 2 a a ( 4 1) z 42

18 ± Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu parametru má rovnice dvě různá reálná řešení, pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru 17 z 42

19 vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: (m - 3)x 2 - (3m + 9)x + 9m = 0 Řešení: 1. Pro m = 3... lineární rovnice 2. Předpokládejme, že m ¹ 3 Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: D = b 2-4ac = [-(3m + 9)] 2-4.(m - 3).9m = 9m m m m = = -27m m + 81 a) D > reálné různé kořeny... nastane tehdy, jestliže: -27m m + 81 > 0 :(-9) 3m 2-18m - 9 < 0 : 3 m 2-6m - 3 < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici m 2-6m - 3 = ± ( -3) 6 ± 48 6 ± ± 2 3 m1,2 = = = = = 3 ± m 1 = 3 + 2Ö3 m 2 = 3-2Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + 2Ö3)]. [m - (3-2Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + 2Ö3)] > 0 [m - (3-2Ö3)] < 0 Odtud: m > 3 + 2Ö3 m < 3-2Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + 2Ö3)] < 0 [m - (3-2Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + 2Ö3 m > 3-2Ö3 Závěr: m Î (3-2Ö3; 3) È (3; 3+2Ö3) b) D = 0... Jeden dvojnásobný kořen... nastane tehdy, jestliže: -27m m + 81 = 0 :(-9) 3m 2-18m - 9 = 0 : 3 m 2-6m - 3 = 0 [m - (3 + 2Ö3)]. [m - (3-2Ö3)] = 0 m 1 = 3 + 2Ö3 m 2 = 3-2Ö3 c) D < 0... V reálném oboru nemá řešení... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (- ; 3-2Ö3) È (3+2Ö3; + ) 3 ± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 18 z 42

20 z 42

21 dva reálné různé kořeny m = -0,4 nebo m = 6... jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R ± Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu. Ukázkové příklady: Příklad 1: Narýsujte graf funkce y = x z 42

22 Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo 1. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části: 1. x < 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - 1), neboli y = -x + 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x < 1 2. x ³ 1 V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x - 1, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x ³ 1 Závěr: Příklad 2: Narýsujte graf funkce y = 2x - 1 Řešení: Nulovým bodem je 0,5 1. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -2x + 1 a využíváme část, kde x < 0,5 2. x ³ 0,5 Rýsujeme graf funkce y = 2x - 1 a využíváme část, kde x ³ 0,5 Závěr: 21 z 42

23 ± Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady z 42

24 z 42

25 z 42

26 ± Exponenciální funkce Exponenciální funkce 25 z 42

27 Definice: Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a x, kde a > 0 a zároveň a ¹ 1 Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a > 1, pak je průběh následující: Je-li 0 < a < 1, pak je průběh následující: Je-li základ exponenciální funkce číslo 10, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 10 x Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální funkce. Má rovnici y = e x. Pozn.: Eulerovo číslo e = 2, Vlastnosti exponenciální funkce: ± Exponenciální funkce - procvičovací příklady 26 z 42

28 z 42

29 4. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) z 42

30 Narýsujte graf funkce y = 0,5 x z 42

31 10. Narýsujte graf funkce y = 0,5 x a > Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f(x) a > 2 30 z 42

32 z 42

33 17. Je dána funkce f: y = 0,5 x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) z 42

34 ± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = log ax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. Pozn.: Zápis y = log ax vyjadřuje totéž jako zápis x = a y Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: 33 z 42

35 Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady z 42

36 3. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f(x) Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f( x ) z 42

37 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x z 42

38 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x z 42

39 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x z 42

40 19. Je dána funkce f: y = log1/3(x + 2). Narýsuj graf funkce f( x ) z 42

41 z 42

42 Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x z 42

43 Narýsuj graf funkce y = log1/3(x + 2) z 42

44 Obsah Nerovnice s absolutní hodnotou 1 Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 3 Soustava kvadratické a lineární rovnice 4 Soustava lineární a kvadratické rovnice - procvičovací příklady 6 Iracionální rovnice 7 Iracionální rovnice - procvičovací příklady 9 Rovnice s parametrem 11 Rovnice s parametrem - procvičovací příklady 13 Kvadratické rovnice s parametrem 17 Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 18 Lineární funkce s absolutní hodnotou 20 Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady 22 Exponenciální funkce 25 Exponenciální funkce - procvičovací příklady 26 Logaritmická funkce 33 Logaritmická funkce - procvičovací příklady :23:25 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (