Zvyšování kvality výuky technických oborů

Transkript

1 Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV. Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma IV.. Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice Kapitola 3 Iracionální rovnice I PaedDr. Iveta Unzeitigová

2 Obsah ÚVOD - ANOTACE IRACIONÁLNÍ ROVNICE I PRACOVNÍ LIST - IRACIONÁLNÍ ROVNICE I... 4 DOPORUČENÁ LITERATURA POUŽITÁ LITERATURA A ZDROJE... 6

3 Úvod - anotace Výukový materiál Iracionální rovnice I se zabývá výkladem a řešením iracionálních rovnic. Pro úspěšné zvládnutí této kapitoly je nezbytné úspěšně zvládnout vzdělávací materiály: Ryze kvadratické rovnice I (Kapitola 10) Kvadratické rovnice bez absolutního členu I (Kapitola 1) Úplné kvadratické rovnice I (Kapitola 14) Ke každé kapitole je vypracován pracovní list sloužící k procvičení a upevnění učiva dle daného tématu. Každý pracovní list je kompletován i s výsledky. Výukový materiál Kvadratické funkce, rovnice a nerovnice je určen žákům prvních ročníků všech oborů ukončených maturitní zkouškou, včetně žáků nástavbového studia. Je vhodný ksamostudiu i jako podpora pedagogických pracovníků při jejich přípravě na vyučovací hodinu. Rozsah učiva je v souladu s ŠVP předmětu Matematika s ohledem na Katalog požadavků společné části maturitní zkoušky zmatematiky, platný od školního roku 014 i od roku 015/016. 1

4 1 Iracionální rovnice I Rovnice s neznámou pod odmocninou (tzv. iracionální rovnice) jsou rovnice, které obsahují výrazy s neznámou pod odmocninou. Tyto rovnice se řeší umocňováním, což je neekvivalentní úprava, proto je nutnou součástí řešení zkouška. Poznámka: 1. Umocňování je ekvivalentní úprava jen tehdy, jsou-li obě strany rovnice nezáporné. To nelze zaručit, jestliže se v rovnicích vyskytuje neznámá.. Zkoušku provádíme dosazením výsledku řešení do řádku před prvním umocňováním. 3. Před řešením vždy stanovíme definiční obor, zda má daná rovnice smysl, ten však nenahrazuje zkoušku. Doporučené vzorce: (a ± b) = a ± ab + b a b = (a + b) (a b)! Vzorce platí oběma směry! Postup úpravy při řešení iracionální rovnice: 1. a) Rovnice s jednou odmocninou odmocninu osamostatníme na jednu stranu rovnice. b) Rovnice s dvěma odmocninami vhodně je rozdělíme na obě strany rovnice a. Dle doporučených vzorců rovnici upravíme. umocňujeme dvakrát. 3. Další úprava vede na lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou vyřešíme. 4. Zkouška! 5. Určíme obor kořenů (definiční obor). Příklad 1 Řešte v R rovnici: 4 x 3 Řešení: Rovnici 4 x 3 / umocníme 4 x = 9 -x = 5 /.(-1) x = -5

5 Zkouška: L(-5) = 4 ( 5) = 9 = 3 P(-5) = -3 L P Výsledek: Zkouška vyloučila příslušný kořen. Obor kořenů (definiční obor): K = Ø Příklad Řešte v R rovnici: x 7 5 x Řešení: Rovnici x 7 5 x upravíme x 7 x 5 / umocníme x 7 x 5 (a - b) = a - ab + b dostaneme x + 7 = x 10x + 5 anulujeme -x + 11x 18 = 0 řešíme kv. rovnici x - 11x + 18 = 0 Zkouška: (x )(x 9) = 0 L() = 7 5 = 9 +5 = = 8 P() = L P L(9) = = = = 9 P(9) = 9 L = P x 1 = ; x = 9 Výsledek: Zkouška upřesnila, že rovnice má pouze jediný výsledek. Obor kořenů (definiční obor): K = 9 3

6 1.1 Pracovní list - Iracionální rovnice I Řešte rovnice v R: 1) x 8 0 ) x 4 3) x 7 4) x 3 5) 9 x 6) x 6 6 7) - x 3 3 8) 3x 4 5 9) 7 3x 1 10) x ) x 6x 9 3 1) x 4x 4 x 1 13) x 0 x 14) 16x 64 x 0 15) 7x x Výsledky: 1) 64 K kořen 64 ) 8 K kořen 8 3) K= Ø kořen 49 4) 7 K kořen 7 5) K= Ø kořen 5 6) K= Ø kořen 30 7) K= Ø kořen 6 8) 7 9) 10) K kořen K 3 kořen K kořen ) 0;6 1) K kořeny 0; K kořen 13) 5 K kořeny -4; 5 14) 8 K kořen 8 15) 0;7 K kořeny 0;7 4

7 Doporučená literatura ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN HUDCOVÁ, Milada a Libuše KUBIČÍKOVÁ. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium. Praha: Prometheus, 011, 415 s. ISBN

8 3 Použitá literatura a zdroje FENDT, Walter. Java aplety z Matematiky. [online] [cit ]. Dostupné z: ČERMÁK, Pavel a Petra ČERVINKOVÁ. Odmaturuj! z matematiky. 1. vyd. Brno: Didaktis, 00, 08 s. ISBN CHARVÁT, Jura, Jaroslav ZHOUF, Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: rovnice a nerovnice. 3. vyd. Praha: Prometheus, 005, 3 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN X. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: funkce. 3. upr. vyd. Praha: Prometheus, 005, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 556 s. ISBN HEJKRLÍK, Pavel. Matematika: sbírka řešených příkladů: rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou, soustavy rovnic. 1. vyd. Opava: Nakladatelství SSŠP, 006, 556 s. ISBN HALOUZKA, Alois. Přehled učiva k maturitní zkoušce z matematiky. 1. vyd. Praha: Fortuna, 00, 40 s. ISBN PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN CZUDEK, Pavel. Slovní úlohy řešené rovnicemi: pro žáky a učitele ZŠ, studenty a profesory SŠ: 555 úloh. 3. vyd. Praha: HAV, 005, 153 s. ISBN KUBÁT, Josef, Dag HRUBÝ a Josef PILGR. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: maturitní minimum. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996, 195 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN JANEČEK, František. Sbírka úloh z matematiky pro střední školy: výrazy, rovnice, nerovnice a jejich soustavy. 5. vyd. Praha: Prometheus,spol. s r. o., 009, 194 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN