Důkazové metody Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz
Matematický důkaz Jsou dány axiomy a věta (tvrzení, teorém), o níž chceme ukázat, zda platí. Matematický důkaz je nezpochybnitelné zdůvodnění pravdivosti určitého tvrzení za předpokladu platnosti daných axiomů
Typy matematických vět Dva typy matematických vět Obecná matematická věta: ( x)v(x) Existenční věta: ( x)v(x) V(x) je obvykle psána jako implikace P(x) Z(x), nebo ekvivalence P(x) Z(x) P je předpoklad (premisa) Z je závěr (konkluze)
Metody matematických důkazů Důkazy obecných vět Přímý důkaz Nepřímý důkaz Důkaz sporem Důkaz matematickou indukcí Důkazy existenčních vět Konstrukční důkaz Ryze existenční důkaz
Přímý důkaz Jediný formálně uznatelný důkaz Ostatní metody je ale vždy možno převést na přímý důkaz Posloupnost tvrzení T 1, T 2, T n, kde T i je buďto předpoklad P(x) axiom závěr odvozovacího pravidla s předpoklady T j, j<i T n = Z(x) Posloupnost formulí, které ze sebe logicky vyplývají
Přímý důkaz - příklad Dokažte, že na množině přirozených čísel platí ( x)((x 2) (6x + 3 > 13)) Vyjdeme z předpokladu, že x 2 a postupně dojdeme k závěru, že 6x+3>13 x 2 6x 12 6x + 1 12 + 1 6x + 1 13 6x + 3 > 13
Nepřímý důkaz Nepřímý důkaz je přímé dokázání obměny implikace Příklad: Dokažte, že pro všechna celá čísla platí: je-li n 2 liché, pak i n je liché. ( n)(l(n 2 ) L(n)) Obměna: ( n)(s(n) S(n 2 )) Což je snadné dokázat
Nepřímý důkaz příklad Dokažte, že pro libovolné prvočíslo p platí: p n 2 p n Obměna implikace p n p n 2 Pokud p nedělí n, pak n=pt+r pro vhodná celá t,r taková, že 0<r<p Pak n 2 = (pt+r) 2 = p(pt 2 +2tr)+r 2 Rozhodně p nedělí r 2, protože 0<r<p, z čehož plyne r 2 <p 2 p tedy nedělí n 2 Dokázali jsme obměnu implikace, původní implikace tedy musí platit také
Důkaz sporem Předpokládáme neplatnost dokazovaného tvrzení a poté přímým důkazem (tj. nezpochybnitelnými implikacemi) dojdeme k evidentní kontradikci. Dokazovaná věta tudíž musí (za předpokladu bezespornosti teorie) platit
Důkaz sporem příklad I. Dokažte, že pro všechna celá čísla platí: je-li n 2 liché, pak i n je liché. ( n)(l(n 2 ) L(n)) Vyslovíme negaci dokazovaného tvrzení ( n)(l(n 2 ) S(n)) Protože ale S(n) n = 2k, k N n 2 = (2k) 2 = 2*2*k 2 S(n 2 ) Dostáváme tedy spor L(n 2 ) S(n 2 ) Negace věty nemůže platit, musí tedy platit dokazovaná věta
Důkaz sporem příklad II. Dokažte, že nemůže existovat sudé prvočíslo větší než 2 Jinými slovy: Všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá. Předpokládejme, že existuje sudé prvočíslo X > 2. Pak platí: X není dělitelné žádným jiným číslem kromě 1 a X Tedy X není dělitelné dvěma X je sudé, tedy X je dělitelné dvěma X tedy zároveň je a není dělitelné dvěma
Důkaz matematickou indukcí Používá se při důkazu tvrzení platného pro všechna přirozená čísla Tvrzení dokážeme pro první prvek Dokážeme, že platí-li pro nějaký prvek, platí i pro jeho následníka Tím pádem víme, že platí pro všechny prvky
Matematická indukce příklad Dokažte, že pro všechna přirozená čísla platí 1+2+ +n = n(n+1)/2 Dokážeme platnost pro n = 1: 1 = 1*2/2 = 1 Dokážeme, že platí-li tvrzení pro k N, platí i pro k+1 1+2+ +k = k(k+1)/2 1+2+ +k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2 Upravujeme výraz na pravé straně implikace 1+2+ +k+(k+1) = (k+1)(k+2)/2 k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k+2)/2 k/2 + 1 = (k+2)/2 k + 2 = k + 2 Implikace je tedy pravdivá Uvedené tvrzení platí pro všechna přirozená čísla
Matematická indukce příklady Dokažte, že pro všechna přirozená n platí Dokažte, že je-li r libovolné, r 1, pak pro každé n 0 platí
Konstrukční důkaz Máme-li dokázat existenci určitého objektu, zkonstruujeme jej Příklad: Dokažte, že existuje pravoúhlý trojúhelník s celočíselnými délkami stran. Důkaz: Na základě Pythagorovy věty můžeme větu přeformulovat jako a,b,c : a 2 + b 2 = c 2 Pak snadno ukážeme, že pro a = 3, b = 4 a c = 5 uvedené tvrzení platí
Ryze existenční důkaz Dokážeme existenci požadovaného objektu, aniž bychom jej museli konstruovat Příklad: Je dán bílý čtverec 10x10cm a v něm je 101 bodů obarveno na červeno. Dokažte, že při libovolném obarvení těchto bodů existuje trojúhelník s obsahem 1cm2 který obsahuje alespoň dva červené body. Důkaz: Obsah čtverce je 100cm2, obsah trojúhelníka je 1cm2. Do čtverce lze vepsat právě 100 trojúhelníků. Kdyby v každém z nich byl 1 červený bod, museli bychom 101. bod umístit do trojúhelníka, kde už jeden červený bod je. Použili jsme tzv. Dirichletův princip
Ryze existenční důkaz příklad Algebraické číslo je takové komplexní číslo, které je kořenem žádné algebraické rovnice s racionálními koeficienty. Číslo, které není algebraické, se nazývá transcendentní. Věta: Existuje transcendentní číslo. Důkaz: Algebraických rovnic je spočetně mnoho, tedy algebraických čísel je spočetně mnoho. Reálných čísel je však nespočetně mnoho, musí mezi nimi být i taková, která jsou transcendentní. vysvětlení pojmů viz předáška o nekonečných číslech
Příklady Dokažte přímým důkazem n : 5 n 30 (n 3 n) n : 2 n 16 (n 4 1) Dokažte nepřímým důkazem n : 5 (n 2 +1) 5 n n : 3 (n 2 +1) 6 n Dokažte uvedená tvrzení sporem Dokažte, že aritmetický průměr dvou nezáporných reálných čísel je větší nebo roven jejich průměru geometrickému tj. Dokažte matematickou indukcí a + b 2 a b n : 6 (n 3 +11n) n : 9 (4 n +15n 1) n : 2 n > 2n + 1 Dokažte, že součet třetích mocnin každých po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný devíti. Turista zahájí při východu slunce výstup na horu a dosáhne vrcholu při západu slunce. Následujícího dne začne po východu slunce sestupovat po stejné cestě a sestup dokončí se západem slunce. Dokažte, že existuje míso, jímž turista projde ve stejnou denní dobu jak při výstupu, tak při sestupu.