Semestrální práce Deskriptivní geometrie II TAPETOVÉ VZORY Michal Holpuch FA ČVUT 2011/12 LS
OBSAH 02 Obsah Úvod 3 Třída p1 7 Třída p1m (pm) 10 Třída p1g (pg) 13 Třída c1m (cm) 16 Třída p2 19 Třída p2gg (pgg) 22 Třída p2mg (pmg) 25 Třída p2mm (pmm) 28 Třída c2mm (cmm) 31 Třída p3 34 Třída p31m 37 Třída p3m1 40 Třída p4 43 Třída p4gm (p4g) 46 Třída p4mm (p4m) 49 Třída p6 52 Třída p6mm (p6m) 55 Zdroje 58
ÚVOD 03 Tapetové vzory Tapetový vzor je druh ornamentu, u kterého se nějáká jeho část opakuje ve dvou na sobě nezávislých směrech. Tímto opakováním vzniká síť čtyřůhelníků - buněk. Podle tvaru buněk uřčujeme celkem 5 druhů sítí: obdélníkovou, čtercovou, kosodélníkovou a šestiúhlníkovou, které jsou tvořeny primitivními buňkami a vystředěnou obdélníkovou, která je tvořena vystředěnou obélíkovu buňkou, která v sobě obsahuje primitivní kosočtvercovou buňku.(viz. 4, Druhy sítí) Buňky v sobě podle svého tvaru mohou mít tři druhy symetrie, na které je vyšetřujeme: osovou souměrnost (zrcadlení), posunutou osovou souměrnost a n-četnou rotační symetrii. Díky těmto vlastnostem je možné buňky, pomocí výše uvedených operací, vyplnit nějákou menší částí. Té té budeme říkat generátor. Pokud bychom vyšetřili všechny možné kombinace čtyřúhelníků a symetrií, zjistili bychom, že nám může vzniknout přesně 17 různých kombinací, které budem nazývat třídy. Každý tapetový vzor lze do jedné z těchto tříd zařadit. Způsob značení Jméno každé třídy má v sobě skryté určité informace o tom jak tapetový vzor vzniká z generátoru. Celý název každé třídy se skládá ze 4 znaků. Písmeno na prvním místě nám říká, o jakou buňku se jedná. Najdeme zde "p", jestli se jedná o primitivní buňku (primitive cell) nebo "c" když se jendá o vycentrovanou obdélníkovou buňku (centred rectangular). Číslice na druhém místě nám říká kolika nejvícčetná rotační symetrie se v buňce vyskytuje. Písmeno na třetím místě nás informuje o tom, jaký druh symetrie se při prvotním rozložení buňky ve vzoru nachází. Pokud se ve vzoru nachází osová symetrie najdeme zde "m" (mirror reflection), pokud se ve vzoru nachází osová symetrie s posunutím, najdeme zde "g" (glide reflection) a pokud se zde nenachází žádná symetrie, najdeme zde "1". Na čtvrtém místě můžeme najít ty samé znaky jako na třetím, pouze popisují symetrie při dalším rozložení buňky. Pro zjednodušení se některé znaky ze jmen vypouští. Běžně to jsou třetí a čtvrtý znak u tříd které nemají žádnou symetrii (p1 místo p111 a pod.) a čtvrtý znak u všech tříd kromě p3m1 a p31m (p1m místo p1m1), protože jeho vynechání nezpůsobí žádnou duplicitnost označení. Také se ještě vynechávají znaky, jejichž užití je zbytečné, jelikož vlastnost jimi definovaná je již zřejmá z ostatních znaků. Například vzor p2mm se běžně zkracuje na pmm, protože z dvojice osových souměrnosí je zřejmé, že třída 2-četnou rotaci obsahuje. Například jméno třídy p31m nám říká, že buňka je primitivní, obsanuje 3-četnou rotaci, při prvním rozložení buňky nenalezneme žádnou osovou symetrii a při jejím dalším rozložení nalezneme osovou symetrii. Třídy Jak jsem již psal, tříd je 17. Každá jednotlivá třída může být konstruována jen na určitém typu sítě. Pouze tak mohou být zachovány všechny její vlastnosti (viz. 6, Tabulka sítí a tříd) Pokud určujeme třídu již existujícího vzoru, je potřeba vždy nejprve najít nejmenší část vzoru, která se opakuje pouhým posouváním, to je buňka, a v té pak hledat symetrie a určit tak třídu. Podle výše uvedeného, je ale jasné, že již samotný tvar buňky nám určité třídy z možností vyřadí. K určení lze s výhodou použít Schéma určování tříd (viz. 5)
ÚVOD 04 Druhy sítí obdélníková síť čtvercová síť kosodélníková síť obdélníková vystředěná síť šestiúhelníková síť
ÚVOD 05 Schéma určováni tříd 1 osová souměrnost? ANO kosočtvercová síť? NE osová souměrnost s posunutím? ANO NE ANO NE c1m p1m p1g p1 největší možná četnost rotační symetrie? 2 3 osová souměrnost? osová souměrnost? ANO NE osy souměrnosi ve dvou směrech? osová souměrnost s posunitím? všechny středy ANO otáčení na osách souměrnosti? ANO kosočtvercová siť? NE ANO NE ANO NE p2mg p2gg p2 p3m1 p31m ANO NE c2mm p2mm NE p3 4 osová souměrnost? ANO osy souměrnosti ve čtyřech směrech ANO NE p4mm p4gm NE p4 6 osová souměrnost? ANO NE p6m p6
ÚVOD 06 Tabulka sítí a tříd Síť čtvercová obdélníková kosodélníková šestiúhelníková vycentrovaná obdélníková Možné třídy p4, p4mm, p4gm p1m, p1g, p2mm, p2mg, p2gg p1, p2 p3, p3m1, p31m, p6, p6mm c1m, c2mm Na následujících stránkách jsou rozkreslené jednotlivé třídy tapetových vzorů. U každé třídy je vždy vyobrazen základní jednoduchý vzor, jeho tvorba a síť na které byl vytvořen, dále pak příklad již existujícího vzoru který je rozebrán a určen a nakonec jeden vlastní vzor. Ve všech vyobrazeních je použito následujícího značení: Použité značení - střed 2-četné rotační symetrie - střed 3-četné rotační symetrie - střed 4-četné rotační symetrie - střed 6-četné rotační symetrie provedeme osovou symetrii podle vyznačené osy osa symetrie osa posunuté symetrie naznačení generátoru hranice buňky hranice generátoru provedeme posunutou osovou symetrii podle vyznačené osy provedeme kopírování buňky ve dvou směrech n provedeme n-četnou rotaci kolem vyznačeného středu
P1 07
P1 08 Tapeta Anglie, 12.stol.
P1 09 Vlastní vzor
P1M (PM) 10
P1M (PM) 11 Vzor z látky hrobka ve Westminsteru, Anglie, 16.stol
P1M (PM) 12 Vlastní vzor
P1G (PG) 13
P1G (PG) 14 Daniel Wyllie - Journey to Infinity, 2004
P1G (PG) 15 Vlastní vzor
C1M (CM) 16
C1M (CM) 17 Vzor z oděvu Anglie, 16.stol
C1M (CM) 18 Vlastní vzor
P2 19 2
P2 Vzor z oblečení divokých kmenů Sandwichovy ostrovy, 16. stol. 20
P2 21 Vlastní vzor
P2GG (PGG) 22 2
P2GG (PGG) 23 Bronzová nádoba Nimrod, Izrael, 12.stol. př. n. l.
P2GG (PGG) 24 Vlastní vzor
P2MG (PMG) 25 2
P2MG (PMG) 26 Zdobení stropu Hrobka v Údolí králů, Egypt, 10.stol př.n.l.
P2MG (PMG) 27 Vlastní vzor
P2MM (PMM) 28 2
P2MM (PMM) 29 Zdobení stropu Hrobka v Údolí králů, Egypt, 10.stol př.n.l.
P2MM (PMM) 30 Vlastní vzor
C2MM (CMM) 31 2
C2MM (CMM) 32 Zdobení zdí vycházející ze vzoru rohoží pro panovníky hrobka, Egypt, 10.stol př.n.l.
C2MM (CMM) 33 Vlastní vzor
P3 34 3
P3 35 Trey Kirk - Fiddling Harlequin, 2004
P3 36 Vlastní vzor
P31M 37 3
P31M 38 Perský vzor Sbírka Britského národního muzea, 5.stol
P31M 39 Vlastní vzor
P3M1 40 3
P3M1 41 Ornament užitý na obrazu Čína, 14.stol
P3M1 42 Vlastní vzor
P4 43 4
P4 44 Obložení středového výklenku sálu velvyslanců Palác Alhambra v Granadě, Španělsko
P4 45 Vlastní vzor
P4GM (P4G) 46 4
P4GM (P4G) 47 Zdobení stropu Katedrála v Segovii, Španělsko
P4GM (P4G) 48 Vlastní vzor
P4MM (P4M) 49 4
P4MM (P4M) 50 Perský vzor sbírka Britského národního muzea, 5.stol
P4MM (P4M) 51 Vlastní vzor
P6 52 3 2
P6 53 Obložení zdí v domě Sancheze Palác Alhambra v Granadě, Španělsko
P6 54 Vlastní vzor
P6MM (P6M) 55 3 2
P6MM (P6M) 56 Mramorová dlažba kostel St. Maria Maggiore v Římě, Itálie
P6MM (P6M) 57 Vlastní vzor
ZDROJE 58 Zdroje obrázků vzorů: p1: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Middle Ages n 3, obr.19 p1m: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Elizabethan n 3, obr.9 p1g: http://www.peda.com/tess/contest.html ročník 2007, Daniel Wyllie - Journey to Infinity c1m: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Elizabethan n 3, obr.16 p2: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Savage Tribes n 1, obr.6 p2gg:owen Jones - The Grammar of Ornament, list Niniveh & Persia n 2, obr.10 p2mg: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Egytpian n 7, obr.14 p2mm: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Egytpian n 7, obr.24 c2mm: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Egytpian n 6, obr.19 p3: http://www.peda.com/tess/contest.html ročník 2004, Trey Kirk - Fiddling Harlequin p31m: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Persian n 2, obr.19 p3m1: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Chinesse n 1, obr.19 p4: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Moresque n 4, obr. 3 p4gm: http://lh3.ggpht.com/-ekvgesmmghq/tjapt3fribi/aaaaaaaahy4/ 1bHTqYLahzc/DSCN2919M.JPG p4mm: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Persian n 1, obr.8 p6: Owen Jones - The Grammar of Ornament, list Byzantine n 3, obr.19 Zdroje informací: S. J. Abas, Amer Shaker Salman - Symmetries of Islamic geometrical patterns, 1995 http://en.wikipedia.org/wiki/wallpaper_group http://en.wikipedia.org/wiki/list_of_planar_symmetry_groups http://is.muni.cz/th/106039/pedf_b/tapetove_vzory.pdf http://euler.slu.edu/escher/index.php/wallpaper_patterns http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/download/525/1484/file/ornament.pdf http://www.singsurf.org/wallpaper/wallpaper.php http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/projects/