Funkce pro studijní obory

Transkript

1 Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na

2 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému prvku nějaké zadané množiny M přiřazuje právě jedno reálné číslo. Množinu M nazýváme definiční obor - značíme D, případně D(f) Reálná čísla, která jsou takto přiřazena, nám tvoří další množinu, kterou nazýváme obor hodnot funkce - značíme H, případně H(f). Funkce může být zadána různými způsoby: tabulkou x y spojnicovým diagramem rovnicí y = 2x + 5 grafem 2. Funkce - procvičovací příklady 2

3 1. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x y Ano 2. Určete, zda jde o graf funkce: 1346 Ano 3. Určete, zda jde o zápis funkce: y = 2x Ano 4. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x y * o # $ Ne 5. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x y Ne 6. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x * o # o y Ne 3

4 7. Určete, zda jde o graf funkce: 1349 Ne 8. Určete, zda jde o tabulku představující funkci: x * o # $ y Ano 9. Určete, zda jde o graf funkce: 1347 Ne 4

5 10. Určete, zda jde o graf funkce: 1348 Ne 3. Definiční obor funkce Určování definičního oboru funkce je trochu podobná činnost jako určování podmínek řešitelnosti u lomených výrazů. Musíme tedy vždy určit, pro jaká čísla funkce nenabývá žádné funkční hodnoty - jinými slovy, pro jaké hodnoty nezávisle proměnné neexistuje odpovídající závisle proměnná. Z uvedeného tedy vyplývá, že pokud má být definiční obor funkce jiný než celá množina reálných čísel, je to zpravidla tehdy, pokud se v rovnici, představující zápis funkce, vyskytuje proměnná ve jmenovateli, pod sudou odmocninou, za logaritmem, apod. Definiční obor funkce f zapisujeme: D(f) = R D(f) = (- ; 0> D(f) = {2; 6; 8} D(f) = R \ {0} Při zápisu tedy používáme označení číselných oborů, intervaly, případně množiny. 4. Definiční obor funkce - ukázkové příklady 5

6 1. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1361!!!... V zápisu funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou nikdy nedosáhl záporné hodnoty. Proto musí platit, že 6x - (x ) 0 Znamená to tedy, že musíme vyřešit kvadratickou nerovnici. Nejprve si výraz na levé straně rozložíme na součin: 6x - (x ) = -x 2 + 6x - 11 = -(x 2-6x + 11) Trojčlen v závorce můžeme rozložit na součin tak, že si vyřešíme pomyslnou kvadratickou rovnici x 2-6x + 11 = 0 přes vzorec a diskriminant. D = b 2-4ac = (-6) = -8 Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení, proto neexistuje ani rozklad trojčlenu na součin na levé straně nerovnice. Proto mohou nyní nastat dvě možnosti: 1. Buď je zadaná nerovnice splněna pro jakékoliv reálné číslo 2. Nebo není zadaná rovnice splněna pro žádné reálné číslo Která z obou možností nastane, zjistíme snadno tak, že si dosadíme libovolné číslo a posoudíme-je-li v tu chvíli splněna rovnost. Např. pro x = 0 dostaneme To ale není splněno nikdy, proto definičním oborem není žádné reálné číslo, tedy definičním oborem je prázdná množina. D(f) = { } 2. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1360!!!... V zápisu se sice vyskytuje sudá odmocnina, proto se nabízí uvést jako definiční obor všechna nezáporná čísla. Vzhledem k tomu, že ale pod odmocninou je sudá mocnina, ta vlastně nikdy nedosáhne záporné hodnoty. Proto v tomto případě není omezení žádné a definičním oborem jsou všechna reálná čísla. D(f) = R 3. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1362!!!... V zápisu rovnice se vyskytují sudé odmocniny. Musíme tedy dohlédnout, aby výrazy pod nimi byly nezáporné. Řešení tedy bude mít dvě části: 1. Čitatel - proto x 0 2. Jmenovatel - proto 6-5x > 0 (rovnost vypadává, protože ve jmenovateli by jinak vyšla nula), odtud x < 6/5 Z obou závěrů uděláme nyní průnik, protože musí být splněny současně: Závěrem tedy bude uzavřený interval <0; 6/5) D(f) = <0; 6/5) 6

7 4. Určete definiční obor funkce f: 1363!!!... V zápisu rovnice funkce se vyskytuje sudá odmocnina, proto musíme dohlédnout, aby výraz pod touto odmocninou byl nezáporný. Tedy musí platit: (2x - 1). (x + 3) 0 Aby byl součin nezáporný, musí být buď oba činitelé nezáporní nebo naopak oba činitelé nekladní. Řešíme tedy dvě situace: 1. (2x - 1) 0 (x + 3) 0 2. (2x - 1) 0 (x + 3) 0 x 0,5 x -3 x 0,5 x -3 x <0,5; + ) x (- ; -3> Vzhledem k tomu, že stačí, aby nastala alespoň jedna ze situací, je celkovým řešením sjednocení obou intervalů, tedy x (- ; -3> <0,5; + ) x (- ; -3> <0,5; + ) 5. Definiční obor funkce - procvičovací příklady 1. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1352 x ( -2; 0) (0; 1) 2. Určete definiční obor funkce: 1359 D(f) = R 3. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1350 x (- ; -3) (0,5; + ) 4. Určete definiční obor funkce: 1358 D(f) = R 5. Určete definiční obor funkce: 1356 D(f) = (- ; 1) (1; 2) (2; + ) 6. Určete definiční obor funkce: Určete definiční obor D(f) funkce f: 1351 x { 3} 7

8 8. Určete definiční obor D(f) funkce f: 1353 x (- ; -3> <2; 5) (5; + ) 9. Určete definiční obor funkce: 1357 D(f) =(- ; 1> <3; + ) 10. Určete definiční obor funkce: 1354 D(f) = (- ; 2,5> 6. Vlastnosti funkce 1. Funkce rostoucí, klesající a konstantní Funkce je rostoucí, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá i vyšší funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x 2 > x 1 ) D f(x 2 ) > f(x 1 ) Příkladem rostoucí funkce je y = 2x Rostou-li hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru, rostou i jejich funkční hodnoty. Taková funkce je rostoucí Funkce je klesající, jestliže pro vyšší hodnotu nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá nižší funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x 2 > x 1 ) D f(x 2 ) < f(x 1 ) Příkladem klesající funkce je y = -2x + 3 Funkce je konstantní, jestliže pro libovolné dvě hodnoty nezávisle proměnné z definičního oboru nabývá vždy stejné funkční hodnoty. Jinými slovy plati: (x 2 x 1 ) D f(x 2 ) = f(x 1 ) Příkladem konstantní funkce je y = 6 8

9 Pozn.: Graf funkce rostoucí "jde do kopce", graf funkce klesající "jde z kopce", graf funkce konstantní je přímka (nebo její část) rovnoběžná s osou x. Pozn.: Funkce nerostoucí a funkce neklesající. 2. Funkce sudá a funkce lichá Funkce je sudá, jestliže pro x D platí, že f(x) = f(-x) Graf funkce sudé je vždy osově souměrný podle osy y. Příklad sudé funkce: y = x 2 Funkce je lichá, jestliže pro x D platí, že f(-x) = -f(x) Graf funkce liché je vždy středově souměrný podle počátku. Příklad liché funkce: y = 1/x 3. Funkce periodická Periodická je taková funkce, která ve svém definičním oboru nabývá pravidelně se opakující hodnoty. 9

10 4. Funkce prostá Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá prostá, jestliže pro dva libovolné body x i a x j patřící do množiny A, pro něž platí, že x i x j, zároveň platí f(x i ) f(x j ). Jsou-li různé nezávisle proměnné z definičního oboru a jsou-li jejich funkční hodnoty různé, jde o funkci prostou. Příkladem prosté funkce může být exponenciální funkce f: y = a x, kde a > Funkce shora omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá shora omezená (ohraničená), právě tehdy, když existuje takové číslo r R, že pro všechna x A je f(x) r. 10

11 Funkce y = -x 2 nabývá pro všechny hodnoty definičního oboru záporných funkčních hodnot. Proto je velmi snadné určit číslo, které dané podmínce o omezenosti funkce shora vyhovuje. Jsou to všechna kladná čísla (např. číslo 1). 6. Funkce zdola omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá zdola omezená (ohraničená), právě tehdy, když existuje takové číslo r R, že pro všechna x A je f(x) r. Funkce y = x 2 nabývá pro všechny hodnoty z definičního oboru kladných funkčních hodnot. Proto je velmi snadné určit číslo, které dané podmínce o omezenosti funkce zdola vyhovuje - jsou to všechna záporná čísla (např. číslo - 1). 7. Funkce omezená Funkce f definovaná na množině A, která je podmnožinou definičního oboru D(f), se nazývá omezená (ohraničená), právě tehdy, když je omezená shora i zdola. 11

12 Z oboru hodnot a grafu funkce plyne, že není problém nalézt číslo, které bude splňovat podmínku pro omezenost funkce shora (všechna čísla větší než 1, tedy např. číslo 2) a číslo, které bude splňovat podmínku pro omezenost funkce zdola (všechna čísla menší než 1, tedy např. číslo -2). 8. Inverzní funkce Z definice inverzní funkce plyne, že se inverzní funkce k dané (prosté) funkci dá určit záměnou definičního oboru za obor hodnot, tedy y za x. 9. Minimum funkce Nejmenší hodnotou, neboli absolutním minimem, funkce f na množině A se nazývá taková funkční hodnota f(a), pro kterou platí: f(x) f(a). 12

13 Z velikosti funkčních hodnot a z grafu funkce je vidět, že v bodě 0 je funkční hodnota nejmenší a f(0) = 1 je absolutním minimem této funkce. Funkční hodnoty v jiných bodech (např. 1; -1) jsou již vždy větší než absolutní minimum funkce. 10. Maximum funkce Největší hodnotou, neboli absolutním maximem, funkce f na množině A se nazývá taková funkční hodnota f(a), pro kterou platí: f(x) f(a). Z velikosti funkčních hodnot a z grafu funkce je vidět, že v bodě 0 je funkční hodnota největší a f(0) = 1 je absolutním maximem této funkce. Funkční hodnoty v jiných bodech (např. 1, -0,5) jsou již vždy menší než absolutní maximum funkce. 13

14 Průsečíky s osami u funkcí Průsečíky se souřadnicovými osami určíme tak, že vždy řešíme příslušnou rovnici. Příklad 1: Je dána funkce y = 2x - 3 Určete průsečík X s osou x a průsečík Y s osou y. Řešení: 1. Průsečík s osou x. Jedná se vlastně o bod ležící na ose x, tedy o bod, který má souřadnici y rovnu 0. Proto 2x - 3 = 0 a po vyřešení rovnice dostáváme x = 1,5 Bod X[1,5; 0] 2. Průsečík s osou y. Jedná se vlastně o bod ležící na ose y, tedy o bod, který má souřadnici x rovnu 0. Proto y = = -3 Bod Y[0; -3] 7. Vlastnosti funkce - procvičovací příklady 1. Zjistěte, zda je funkce f: y = x 2 + x sudá nebo lichá. Funkce není ani sudá, ani lichá. 2. Zjistěte, zda je funkce f sudá nebo lichá: Funkce je lichá. 14

15 3. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf: y = 2x + 1 Funkce je rostoucí

16 4. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, rozhodněte, zda je sudá nebo lichá, načrtněte graf: y = -2x Funkce je klesající, lichá Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete definiční obor a obor hodnot funkce, načrtněte graf: 1473 Funkce je rostoucí; D(f) = H(f) = <0; + ) 16

17 6. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf: f: y = -x 2 Funkce je rostoucí pro x (- ; 0> a klesající pro x <0; + ) Zjistěte, zda je funkce f: y = 2x - 3 sudá nebo lichá. Funkce není ani lichá, ani sudá. 8. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete definiční obor a obor hodnot funkce, načrtněte graf: Funkce je rostoucí; D(f) = H(f) = R \ {0} 17

18 9. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf: y = 3 Funkce je zároveň nerostoucí i neklesající; je totiž konstantní Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, určete její průsečíky s osami a načrtněte graf: f: y = x Funkce je rostoucí; průsečík s osou y je Y[0; 4], s osou x není žádný. 11. Zjistěte, zda je funkce f: y = -4x 2 sudá nebo lichá. Funkce je sudá Lineární funkce Lineární funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax + b, kde a, b jsou reálná čísla. Grafem lineární funkce je přímka (nebo její část). 18

19 Definičním oborem každé lineární funkce (pokud není omezen intervalem) jsou všechna reálná čísla. Oborem hodnot každé lineární funkce jsou všechna reálná čísla (pokud se nejedná o funkci konstantní nebo o funkci, jejíž definiční obor je omezený intervalem). Průsečíky grafu lineární funkce s osami: 1. s osou x: - v tomto případě je druhá souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za y = 0 a vypočteme první souřadnici průsečíku s osou x. Příklad 1: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou x. Řešení: Hledaný bod X[x; y] Dosadíme za y = 0, proto 0 = 2x - 1 Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme x = 0,5 Závěr: Hledaný průsečík je X[0.5; 0]. 2. s osou y: - v tomto případě je první souřadnice bodů rovna nule, proto do rovnice funkce dosadíme za x = 0 a vypočteme druhou souřadnici průsečíků s osou y. Příklad 2: Určete průsečík funkce y = 2x - 1 s osou y. Řešení: Hledaný bod Y[x; y] Dosadíme za x = 0, proto y = Vyřešíme vzniklou rovnici a dostáváme y = -1 Závěr: Hledaný průsečík je Y[0; -1]. Zvláštní případy lineární funkce: 1. Je-li v rovnici lineární funkce číslo a = 0, pak y = 0. x + b, neboli y = b - jedná se o tzv. konstantní funkci - grafem je přímka, která je rovnoběžná s osou x 19

20 2. Je-li v rovnici lineární funkce číslo b = 0, pak y = ax + 0, neboli y = ax - jedná se o přímou úměrnost - grafem je přímka (nebo její část), která vždy prochází počátkem souřadného systému Vlastnosti lineární funkce: 1. Lineární funkce je rostoucí, je-li a > Lineární funkce je klesající, je-li a < 0. Číslo a se také někdy nazývá směrnice přímky. Pozn.: Je-li a = 0, je funkce konstantní, tedy nerostoucí i neklesající. Určení rovnice lineární funkce ze zadaných bodů Vzhledem k tomu, že víme, že grafem lineární funkce je přímka, a přímka je vždy jednoznačně určena dvěma body, stačí nám pro zadání lineární funkce její dva body. Jedním z těchto bodů, případně i oběma body, může být klidně některý z průsečíků s osami, případně i počátek souřadného systému. Příklad 3: Určete rovnici lineární funkce, jejíž graf prochází body A[2; 3], B[-1; 2] Řešení: Obecná rovnice je y = ax + b. Dosadíme do ní postupně souřadnice obou bodů: 3 = 2a + b 2 = -a + b Dostali jsme soustavu rovnic, kterou vyřešíme sčítací nebo dosazovací metodou. Já použiji např. sčítací: První rovnici opíšu, druhou vynásobím dvěma: 20

21 3 = 2a + b 4 = -2a + 2b Obě rovnice sečtu: 7 = 3b b = 7/3 Vrátím se k původním rovnicím a tentokráte opět první rovnici opíšu a druhou vynásobím (-1): 3 = 2a + b -2 = a - b Opět obě rovnice sečtu: 1 = 3a a = 1/3 Dosadíme zpět do původní obecné rovnice lineární funkce a dostaneme: Tím jsme stanovili rovnici lineární funkce, která oběma body prochází. Grafické řešení soustavy lineárních rovnic Obě rovnice převedeme do tvaru y = ax + b a sestrojíme grafy obou nově vzniklých funkcí. Souřadnice průsečíku těchto funkcí představují řešení původní soustavy lineárních rovnic. 9. Lineární funkce - procvičovací příklady 1. Na obrázku je narýsován graf funkce. Určete souřadnice bodů K, L K[2; 5], L[-3; -7.5] 2. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf. y = -2x Funkce je klesající, lichá, D(f) = H(f) = R

22 3. Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf. y = 2x + 1 Funkce je rostoucí, neboť směrnice je kladná Řešte graficky soustavu rovnic: 3x + y = 9 6x + 2y = 18 Přímky jsou rovnoběžné splývající, proto soustava má nekonečně mnoho řešení typu [k; -3k + 9], k R libovolné 5. Načrtněte graf funkce g 2 : y = Určete, zda je daná funkce rostoucí nebo klesající, načrtněte graf. y = 3 Funkce je zároveň nerostoucí i neklesající, D(f) = R, H(f) = {3} Načrtněte graf funkce g 1 : y =

23 8. Řešte graficky soustavu rovnic: 3x - 2y = 4 x + 3y = 5 x = 2 y = 1 9. Určete všechny lineární funkce, do nichž patří tyto uspořádané dvojice: [0; -2], [3; 5] f: y = 7x/3-2; D(f) = H(f) = R 10. Určete všechny lineární funkce, do nichž patří tyto uspořádané dvojice: [1; 1], [3,5; -7] f: y = -16x/5 + 21/5; D(f) = H(f) = R 11. Na obrázku je narýsován graf funkce. Napište název funkce Jedná se o lineární funkci. 12. Řešte graficky soustavu rovnic: x + y = y = -3x Přímky jsou rovnoběžné různé, proto soustava rovnic nemá řešení 13. Načrtněte graf funkce g: y = 0,2x + 3; x < -5; 3) Načrtněte graf funkce f:

24 15. Na obrázku je narýsován graf funkce. Napište rovnici funkce Načrtněte graf funkce g 3 : y = 2x - 1, Kvadratická funkce Kvadratická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c jsou reálná čísla a číslo a 0. Grafem kvadratické funkce je parabola (nebo její část). Definičním oborem kvadratické funkce jsou všechna reálná čísla. 24

25 Je-li číslo a > 0, pak má funkce minimum (viz horní obrázek), je-li a < 0, pak má funkce maximum. Názvy členů funkce: ax 2... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen I. Kvadratická funkce bez lineárního a bez absolutního členu jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax 2 definičním oborem jsou všechna reálná čísla oborem hodnot je interval <0; + ), je-li a > 0 a interval (- ; 0> je-li a < 0 souřadnice maxima (resp. minima): M[0; 0] graf tedy protíná obě osy v počátku souřadného systému čím je absolutní hodnota čísla a větší, tím je graf užší, sevřenější. II. Kvadratická funkce bez lineárního členu jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax 2 + c definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla oborem hodnot je interval: pro a > 0... <c; + ) pro a < 0... (- c> souřadnice maxima (resp. minima): M[0; c] graf tedy protíná osu y v bodě, který nazýváme maximum (resp. minimum) je-li c > 0 a zároveň a < 0 nebo c < 0 a zároveň a > 0, pak graf protíná i osu x, a to ve dvou bodech, které jsou osově souměrné podle osy y. Souřadnice průsečíků s osou x mají v tomto případě souřadnice: 25

26 III. Kvadratická funkce se všemi členy jedná se o funkci, která je dána rovnicí y = ax 2 + bx + c definičním oborem jsou opět všechna reálná čísla Příklad 1: Je dána funkce y = 2x 2 + 3x + 4. Určete, zda má funkce maximum nebo minimum, zjistěte jeho souřadnice a určete souřadnice průsečíků s oběma osami. Řešení: 1. Zda má funkce maximum nebo minimum, to rozhodneme podle čísla a. Vzhledem k tomu, že a = 2, což je větší než nula, má funkce minimum. Jeho souřadnice určíme tzv. doplněním na čtverec. Postup: 2. Vytkneme číslo a... y = 2.(x 2 + 1,5x + 2) 3. Podíváme se, jaké znaménko je u lineárního členu a podle toho rozhodneme, zda použijeme vzorec (A+B) 2 nebo (A-B) 2. V tomto případě použijeme ten první. 4. Z kvadratického členu u trojčlenu v závorce určíme číslo A. V tomto případě je tedy x. 5. Z lineárního členu u trojčlenu v závorce určíme číslo B. V tomto případě je tedy 0,75 6. Použijeme vzorec a dostaneme y = 2.[(x + 0,75) 2-0, ] Pozn. 0,75 2 odečítáme proto, aby nebyla porušena rovnost, protože jsme to zahrnuli do závorky 7. Odstraníme hranatou závorku roznásobením číslem a: y = 2.(x + 0,75) 2 + 2, Určíme souřadnice hledaného minima: M[-0,75; 2,875]. Všimněme si, že první souřadnici určujeme vždy s opačným znaménkem než má člen v závorce a naopak u druhé souřadnice zůstává znaménko zachováno. 9. Určíme průsečíky s osami: a) s osou x V tomto případě y = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme x 2x 2 + 3x + 4 = 0 Diskriminant D = = 9-32 = -23 Vzhledem k tomu, že diskriminant vyšel záporný, nemá kvadratická rovnice řešení a neexistují tedy průsečíky s osou x. b) s osou y V tomto případě x = 0, dosadíme do rovnice funkce a vypočteme y y = = 4 Hledané souřadnice tedy jsou Y[0; 4] Pokud máme souřadnice průsečíků a souřadnice extrému (tj. minima nebo maxima), pak můžeme snadno určit průběh grafu a graf tedy načrtnout. Číslo 2 před závorkou nám ještě říká, že graf bude trochu užší. Ačkoliv to nebylo úkolem, můžeme nyní i určit obor hodnot funkce zadané v předcházejícím příkladu. Je to jednoduché. Funkce má minimum, tedy hodnoty se nedostanou pod druhou souřadnici tohoto bodu. Oborem hodnot je tedy interval <2,875; + ) 11. Kvadratická funkce - procvičovací příklady 1. Načrtněte graf funkce f: y = x 2 + 4x

27 2. Je dána funkce f: y = x 2-6x Rozhodněte, zda existuje aspoň jedno x D(f), pro které platí f(x) = Existuje - viz graf 3. Načrtněte graf funkce f: y = 2x 2 + 2x Načrtněte graf funkce f: y = -x 2 + 4x

28 5. Načrtněte graf funkce f: y = -x Načrtněte graf funkce f: y = x 2-4x Načrtněte graf funkce f: y = x 2 - x Načrtněte graf funkce f: y = -x 2 + 2x

29 Určete všechny kvadratické funkce, jejichž prvky jsou tyto uspořádané dvojice: [0; 0], [-2; 4], [3; 6]. Kvadratická funkce má rovnici y = 0,8x 2-0,4x. 10. Je dána funkce f: y = x x Rozhodněte, zda existuje alespoň jedno x D(f), pro které platí f(x) = 1. Neexistuje - viz graf 11. Načrtněte graf funkce f: y = 2x x Načrtněte graf funkce f: y = x 2 + 2x Určete všechny kvadratické funkce, jejichž prvky jsou tyto uspořádané dvojice: [-2; 26], [0; 4], [1; 2]. Kvadratická funkce má rovnici y = 3x 2-5x

30 14. Načrtněte graf funkce f: y = -(x + 5) Dokažte, že hodnota funkce m: y = x 2-4x + 5 je v každém bodě x D(m) kladné číslo Platí - viz graf 16. Načrtněte graf funkce f: y = x 2 + 2x Načrtněte graf funkce f: y = 2x

31 18. Načrtněte graf funkce f: y = x 2 + 6x Načrtněte graf funkce f: y = (x - 3) Mocninné funkce Mocninné funkce Mocninná funkce je taková funkce, ve které se vyskytuje obecně člen x n A. Uvažujme, že n je přirozené číslo: Nejjednodušším případem je funkce y = x n. Vlastnosti mocninné funkce y = x n : 1. Pro n - sudé: funkce je zdola omezená definičním oborem jsou všechna reálná čísla 31

32 oborem hodnot je interval <0; + ) funkce je sudá funkce je rostoucí v intervalu (0; + ) funkce je klesající v intervalu (- ; 0) graf funkce je souměrný podle osy y grafem je parabola 2. Pro n - liché (n 1): funkce není ani zdola, ani shora omezená definičním oborem jsou všechna reálná čísla funkce je v celém definičním oboru rostoucí, oborem hodnot jsou všechna reálná čísla graf funkce je středově souměrný podle počátku grafem je kubická parabola Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = x n + c, pak je graf tvarově shodný s grafem funkce y = x n, avšak je posunutý ve směru osy y o hodnotu c. Bude-li mít mocninná funkce rovnici y = (x - a) n, pak graf je tvarově shodný s grafem funkce y = x n, avšak je posunutý ve směru osy x o hodnotu a. Pozn.: Logicky lze odvodit, že graf může být posunut současně ve směru obou os. B. Nyní uvažujme, že číslo n je záporné celé číslo Nejjednodušším případem je funkce y = x -n, kde n je přirozené číslo Vlastnosti mocninné funkce y = x -n, kde n N 1. Pro n - sudé: definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 oborem hodnot jsou všechna kladná reálná čísla v záporné části definičního oboru je funkce rostoucí, v kladné části definičního oboru je funkce klesající graf funkce je souměrný podle osy y 2. Pro n - liché: definičním oborem jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 oborem hodnot jsou všechna reálná čísla s výjimkou 0 funkce je v celém definičním oboru klesající graf funkce je souměrný podle počátku Pozn.: I v tomto případě můžeme funkci různě modifikovat posouváním ve směru osy y, ve směru osy x, případně ve směru obou os. 13. Mocninné funkce - procvičovací příklady 1. Načrtněte graf funkce

33 2. Načrtněte graf funkce y = x Načrtněte graf funkce y = 3x Načrtněte graf funkce Načrtněte graf funkce y = (1 - x)

34 6. Načrtněte graf funkce y = (x - 1)

35 Obsah 1. Funkce 2. Funkce - procvičovací příklady 3. Definiční obor funkce 4. Definiční obor funkce - ukázkové příklady 5. Definiční obor funkce - procvičovací příklady 6. Vlastnosti funkce 7. Vlastnosti funkce - procvičovací příklady 8. Lineární funkce 9. Lineární funkce - procvičovací příklady 10. Kvadratická funkce 11. Kvadratická funkce - procvičovací příklady 12. Mocninné funkce 13. Mocninné funkce - procvičovací příklady