Přírodovědecká fakulta

MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Studijní program: Aplikovaná matematika Studijní obor: Statistika a analýza dat profesní Metody jednoduché korelace v systémech STATISTICA a MATLAB Bakalářská práce Vedoucí práce: RNDr. Marie Budíková, Dr. Autor: Radim Tomášek 2010

Poděkování Rád bych poděkoval vedoucí své bakalářské práce, RNDr. Marii Budíkové, Dr., za její čas, trpělivost a cenné rady na konzultacích v průběhu vypracovávání této práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Brně, dne 21.4.2010 Radim Tomášek

Název práce: Metody jednoduché korelace v systémech STATISTICA a MATLAB Autor: Radim Tomášek Ústav matematiky a statistiky Přírodovědecké fakulty MU Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Marie Budíková, Dr. Abstrakt: Tématem bakalářské práce je korelační analýza dvourozměrných náhodných veličin. Tato analýza zahrnuje zejména testování nezávislosti a určení síly závislosti náhodných veličin. Práce je zaměřena na praktické zpracování reálných dat, které je vždy uvozeno základní teorií. Výpočty jsou realizovány pomocí matematických programů STATISTICA 9 a MATLAB 7.8 (R2009a). Součástí práce je taktéž porovnání těchto programů při aplikaci na korelační analýzu. Klíčová slova: korelační analýza, korelace, Statistica, Matlab Title: Methods of simple correlation in MATLAB and STATISTICA systems Author: Radim Tomášek Department od Mathematics and Statistics, Faculty of Science, MU Supervisor: RNDr. Marie Budíková, Dr. Abstract: The topic of this bachelor thesis is correlation analysis of two-dimensional random variables. This includes particularly the testing of independence and determination of random variables's strength dependence. This paper is focused on practical real data processing, always preceded by basic theory. Mathematical software STATISTICA 9 and MATLAB 7.8 (R2009a) were used for calculations. Comparison of these programs used for the correlation analysis is also part of this thesis. Keywords: correlation analysis, correlation, Statistica, Matlab

Úvod Bakalářská práce je zaměřena na korelační analýzu dvourozměrných náhodných veličin, přičemž těžiště práce spočívá v provádění této analýzy v programech STATISTICA 9 a MATLAB 7.8 (R2009a). Práce je rozdělena na 5 kapitol, nejpodstatnější jsou prostřední tři, které pojednávají o korelační analýze nominálních, ordinálních a intervalových a poměrových veličin. Část textu také srovnává uvedené programy. Korelační analýza v programech STATISTICA a MATLAB je ukázána na konkrétních příkladech obsahujících reálná data. Ke každému příkladu je vždy na záznamovém médiu přiložen datový soubor, který tato data obsahuje. Při zpracovávání dat v programu MATLAB se často používá více příkazů, proto jsou tyto příkazy shrnuty do funkcí a tyto funkce jsou ve formě m-souborů taktéž přiloženy na záznamovém médiu.

Obsah 1. Načtení datového souboru...3 2. Testování nezávislosti nominálních veličin...5 2.1 Základní teorie...5 2.2 Zpracování dat v programu STATISTICA...6 2.3 Zpracování dat v programu MATLAB...9 2.4 Srovnání programů STATISTICA a MATLAB...13 3. Testování nezávislosti ordinálních veličin...14 3.1 Základní teorie...14 3.2 Zpracování dat v programu STATISTICA...15 3.3 Zpracování dat v programu MATLAB...17 3.4 Srovnání programů STATISTICA a MATLAB...19 4. Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin...20 4.1 Základní teorie...20 4.2 Zpracování dat v programu STATISTICA...22 4.3 Zpracování dat v programu MATLAB...25 4.4 Srovnání programů STATISTICA a MATLAB...28 5. Celkové srovnání programů STATISTICA a MATLAB...29 Přílohy...30 Seznam použité literatury...36

Načtení datového souboru 1. Načtení datového souboru Nejprve ukažme, jak načítat textové (*.txt) a excelovské (*.xls) soubory v programech STATISTICA a MATLAB. Pro představu, jak má daný soubor vypadat, je v textu vždy vložena část souboru, který se načítá, a v závorce je uveden název tohoto souboru. Tyto soubory jsou přiloženy na záznamovém médiu. 1.1 Načtení souboru v programu STATISTICA Textový soubor: V programu STATISTICA zvolíme záložku Soubor, položku Otevřít (zkratka Ctrl+O). Vybereme požadovaný soubor, OK. Následně zvolíme možnost Definovat, OK. Nyní můžeme definovat použitý oddělovač proměnných, zda chceme ignorovat více oddělovačů za sebou, vzít jména proměnných z prvního řádku a jiné. Po výběru stiskneme OK a tímto máme data načtená. Vzhled souboru (Rodiny.txt): rodina frekv cetnost delnic casto 22 delnic obcas 33 delnic jak kdy 30 delnic malo 15 delnic vubec 9 zamest casto 45... Excelovský soubor Opět přes Soubor Otevřít vybereme požadovaný soubor. Program se nás nejprve dotáže, který list souboru chceme otevřít, popř. jestli chceme otevřít všechny. Následně si můžeme zvolit, zda první řádek či první sloupec obsahují názvy případů náhodných veličin. Samozřejmě toto vždy zvolíme dle tabulky, kterou máme v souboru uloženou. Kliknutím na OK se již požadovaná tabulka otevře a zobrazí. Vzhled souboru (Korupce.xls): rok 2005 rok 2009 Island 1 6 Finsko 2 4,5 Dansko 3 1 Svedsko 4 2 Svycarsko 5 3......... 3

Načtení datového souboru 1.2 Načtení souboru v programu MATLAB Textový soubor Načtení souboru se provádí příkazem tblread, konkrétně >> [data,prom1,prom2]=tblread('filmy.txt','tab'), kde do prom1 se uloží první řádek souboru (tj. názvy případů první veličiny) a do prom2 první sloupec (tj. názvy případů druhé veličiny) a do data se uloží již konkrétní hodnoty. 'tab' v příkazu značí, že byl jako oddělovač v souboru použit tabulátor. Seznam všech možných oddělovačů nalezneme v nápovědě k příkazu tblread (>> help tblread) Je důležité, aby první řádek vždy označoval názvy proměnných a první sloupec názvy případů jednotlivých veličin, protože program MATLAB s tímto počítá. Pokud tam tento první řádek a sloupec nemáme, je třeba je doplnit. Vzhled souboru (Filmy.txt): CSFD IMDB Kmotr 93 92 Kolja 87 77 Shrek 88 80 Sedm 93 86 Pelisky 91 80... Excelovský soubor Pro načtení použijeme příkaz >> [data, tabulka]=xlsread('okres.xls') Do proměnné data se uloží matice obsahující zjištěné četnosti, do proměnné tabulka se uloží matice odpovídající zadané tabulce. Nutno podotknout, že MATLAB sám pochopí první řádek či první sloupec jako názvy případů náhodných veličin, pokud se jedná o text. Pokud by byly názvy případů označeny čísly, je potřeba daný sloupec/řádek z tabulky odstranit jedním z těchto příkazů: >> data(1,:)=[] (odstraní první řádek) >> data(:,1)=[] (odstraní první sloupec) Vzhled souboru (Okres.xls): I. II. III. Blansko 50 199 358 Brno-mesto 57 55 63 Brno-venkov 125 370 619............ 4

2. Testování nezávislosti nominálních veličin 2.1 Základní teorie Testování nezávislosti nominálních veličin 2.1.1 Popis testu Nechť X,Y jsou dvě nominální náhodné veličiny. Nechť X nabývá variant x [1],...,x [r] a Y nabývá variant y [1],...,y [s]. Získáme dvourozměrný náhodný výběr rozsahu n z rozložení, kterým se řídí dvourozměrný diskrétní náhodný vektor (X,Y). Zjištěné absolutní četnosti n jk dvojice variant (x [j],y [k] ) uspořádáme do kontingenční tabulky: x y y [1]... y [s] n j. n jk x [1]... x [r] n 11... n 1s......... n r1... n rs n 1.... n r. n.k n.1... n.s n Marginální četnosti n j., n.k, j = 1,...,r, k = 1,...,s, jsou vždy součtem absolutních četností v příslušném řádku, resp. sloupci. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : X,Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti hypotéze H 1 : X,Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Testová statistika má tvar: r K= j=1 s k=1 n n j. n.k jk n n j. n. k n Platí-li H 0, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ 2 ((r-1)(s-1)). Nulovou hypotézu o nezávislosti veličin X,Y zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, 2 když K χ 1 α ((r-1)(s-1)) 2.1.2 Podmínky dobré aproximace Definujme teoretickou četnost jako n n j.. k. n Rozložení statistiky K lze aproximovat rozložením χ 2 ((r-1)(s-1)), pokud teoretické četnosti aspoň v 80% případů nabývají hodnoty větší nebo rovné 5 a ve zbylých 20% neklesnou pod 2. Pokud tato podmínka není splněna, je vhodné sloučit některé varianty. 2 5

Testování nezávislosti nominálních veličin 2.1.3 Cramérův koeficient V= K n m 1, kde m = min{r,s}. Používá se pro měření síly závislosti náhodných veličin. Tento koeficient nabývá hodnot od 0 do 1. Čím blíže je jeho hodnota rovna 1, tím je závislost mezi náhodnými veličinami těsnější. Čím blíže je jeho hodnota 0, tím je závislost volnější. 2.2 Zpracování dat v programu STATISTICA 2.2.1 Příklad V průzkumu bylo dotázáno 776 lidí na typ jejich domácnosti a jak často se zajímají o dění ve 2. světové válce. Výsledky jsou uloženy v souboru Rodiny.txt a zobrazuje je následující tabulka: často občas jak kdy málo vůbec dělnická 22 33 30 15 9 zaměstnanecká 45 61 54 25 5 podnikatelská 6 14 16 8 3 smíšená 48 155 95 47 24 zemědělská 3 3 1 1 1 neúplná 7 18 11 11 5 (zdroj: [8]) Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujme nulovou hypotézu o nezávislosti zájmu o dění ve 2. sv. válce na typu domácnosti a vypočtěme Cramérův koeficient. 6

Testování nezávislosti nominálních veličin 2.2.2 Řešení příkladu Podmínky dobré aproximace Načteme soubor Rodiny.txt. Musíme ověřit podmínky dobré aproximace, proto vytvoříme kontingenční tabulku teoretických četností. Zvolíme záložku Statistiky, možnost Základní statistiky/tabulky. Z nabízených možností vybereme Kontingenční tabulky, OK. Kliknutím na Specif. tabulky vybereme proměnné: List1-Rodina, List2-Frekv. OK. Zapneme proměnnou vah Cetnost. OK. Na záložce Možnosti zaškrtneme Zvýraznit četnosti (větší než 5) a Očekávané četnosti. Výsledky zobrazíme kliknutím na Výpočet. Dostaneme tuto tabulku: Můžeme v ní vidět, že očekávané četnosti u zemědělské rodiny jsou velmi nízké a nejsou splněny podmínky dobré aproximace. Proto bude vhodné sloučit podnikatelskou a zemědělskou domácnost. V programu STATISTICA proto v datovém souboru zaměníme zemed za podnik a zobrazíme novou tabulku očekávaných četností. Máme zde již pouze dvě hodnoty nižší než 5, nicméně neklesají pod 2, takže již máme podmínky dobré aproximace splněny a můžeme pokračovat dále ve výpočtu. 7

Testování nezávislosti nominálních veličin Testování hypotézy o nezávislosti, Cramérův koeficient Přistupme k samotné hypotéze o nezávislosti. V programu STATISTICA se vrátíme do kontingenčních tabulek na záložku Možnosti, kde zaškrtneme Pearsonův & M-V chíkvadrát a Fí (tabulky 2x2) & Cramérovo V & C. Přejdeme na záložku Detailní výsledky a zvolíme Detailní 2-rozměrné tabulky. Získáme následující tabulku: Z prvního řádku vyčteme, že hodnota testové statistiky je rovna 25,1352, počet stupňů volnosti je 16 a p-hodnota je 0,0675. Poslední uvedené znamená, že nezamítáme nulovou hypotézu o nezávislosti zájmu o dění ve 2. sv. válce na typu domácnosti na asymptotické hladině významnosti 0,05. 2 Rozhodnout o této hypotéze můžeme také z hodnoty kvantilu chí-kvadrátu. Kvantil χ 0,95 (16) je roven 26,296. Protože K < 26,296, tak nezamítáme nulovou hypotézu o nezávislosti na asymptotické hladině významnosti 0,05. Na posledním řádku tabulky je uvedena hodnota Cramérova koeficientu rovna 0,08999. Tzn., že závislost je velmi slabá. Poznámka 1: Pokud chceme četnosti zobrazit graficky, je to v programu STATISTICA velmi jednoduché. Stačí se vrátit do Detailních výsledků kontingenčních tabulek a máme na výběr kategorizované histogramy, grafy interakcí mezi četnostmi a 3D histogramy. Ukažme si posledně jmenovaný: 8

Testování nezávislosti nominálních veličin Poznámka 2: Při vytváření datového souboru zapisujeme jednotlivé proměnné do sloupce pod sebe, přičemž jednotlivé hodnoty na řádku oddělujeme zpravidla mezerníkem, čárkou či tabulátorem. Na prvním řádku každého sloupce bývá napsaný název jeho proměnné. Poznámka 3: Data nemusí být zadána pouze kontingenční tabulkou. Může se stát, že máme k dispozici původní statistický soubor, tj. soubor vypadající následovně: Prom1 Prom2 x 1 y 1 x n kde Prom1 a Prom2 jsou názvy proměnných. Potom postupujeme stejným způsobem, jen nezapínáme proměnnou vah. y n 2.3 Zpracování dat v programu MATLAB 2.3.1 Příklad K 31.12.2008 bylo zjištěno, že v Jihomoravském kraji je 4511 km silnic. Jejich rozložení dle příslušnosti k okresu (Blansko, Brno-město, Brno-venkov, Břeclav, Hodonín, Vyškov, Znojmo) a typu silnice (dálnice+i. třída, II. třída, III. třída) je uloženo v souboru Okres.xls a je uvedeno v následující tabulce: Typ silnice Okres dálnice + I.třída II. třída III.třída Blansko 50 199 358 Brno - město 57 55 63 Brno - venkov 125 370 619 Břeclav 96 199 286 Hodonín 115 159 278 Vyškov 90 112 292 Znojmo 65 381 542 (zdroj: [9]) Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujme nulovou hypotézu o nezávislosti typu silnice na příslušnosti k okresu a vypočtěme Cramérův koeficient. 9

2.3.2 Řešení příkladu Podmínky dobré aproximace Načteme soubor Okres.xls. Nejprve vytvoříme tabulku četností pomocí následujících příkazů >> [m,n]=size(data); >> for i=1:m, soucet1(i)=sum(data(i,:)); end >> data1=[data,soucet1']; >> for i=1:(n+1), soucet2(i)=sum(data1(:,i)); end >> kont_tab=[data1;soucet2] Testování nezávislosti nominálních veličin a následně vytvoříme kontingenční tabulku očekávaných četností dle těchto příkazů >> for i=1:m, for j=1:n, tab_ocekav_cetn(i,j)=kont_tab(i,(n+1))*kont_tab((m+1),j)/kont_tab((m+1),(n+1)); end end Tabulka je bohužel bez popisků, které je v programu MATLAB obtížné přidat. Pro výsledek to však není důležité. V tomto případě můžeme ověřit podmínky dobré aproximace od pohledu; pokud bychom měli tabulku rozměrnější, ověřili bychom podmínky následovně: >> vice_nez_pet=0; >> mene_nez_dva=0; >> for i=1:m, for j=1:n, if tab_ocekav_cetn(i,j)>5 vice_nez_pet=vice_nez_pet+1; end if tab_ocekav_cetn(i,j)<2 mene_nez_dva=mene_nez_dva+1; end end end 10

>> if (vice_nez_pet>(4*m*n/5)) && (mene_nez_dva>=0) ans='podminky dobre aproximace jsou splneny.', else ans='podminky dobre aproximace nejsou splneny.', end Testování nezávislosti nominálních veličin Poznámka: Popišme ještě, jak vytvořit kontingenční tabulku, pokud máme k dispozici původní datový soubor, kde varianty náhodné veličiny jsou vždy reprezentovány číslem. První možnou variantu reprezentuje 1, druhou variantu 2 atd. Takovéto označení je pro MATLAB výhodné, protože jinak bychom potřebovali k vytvoření kontingenční tabulky mnohem více příkazů. Načtení provedeme standardně příkazem >> [tabulka]=xlsread('soubor.xls') a pro sestavení kontingenční tabulky postupujeme takto: >> n=length(tabulka(:,1)); >> r=max(tabulka(:,1)); >> s=max(tabulka(:,2)); >> data=zeros(r,s); >> for i=1:r, for j=1:s, for k=1:n, if (tabulka(k,1)==i) && (tabulka(k,2)==j) data(i,j)=data(i,j)+1; end end end end Tímto jsme vytvořili proměnnou s názvem data (právě tu, kterou bychom získali načtením tabulky ze souboru Okres.xls). Dále tedy postupujeme od bodu Podmínky dobré aproximace, pouze vynecháme načtení souboru. Testování hypotézy o nezávislosti, Cramérův koeficient Spočteme hodnotu testové statistiky K: >> K=0; >> for i=1:m, for j=1:n, K=K+((kont_tab(i,j)-tab_ocekav_cetn(i,j))^2)/tab_ocekav_cetn(i,j); end end 11

Testování nezávislosti nominálních veličin >> if K>=chi2inv(0.95,(m-1)*(n-1)) ans='zamitame hypotezu o nezavislosti na asymptoticke hladine vyznamnosti 0,05', else ans='nezamitame hypotezu o nezavislosti na asymptoticke hladine vyznamnosti 0,05', end Pokud bychom chtěli rozhodnout pomocí p-hodnoty, dopočítáme ji příkazem >> p_hodnota=1-chi2cdf(k,(m-1)*(n-1)) a dostaneme výsledek P-hodnota je menší než asymptotická hladina významnosti 0,05, takže zamítáme hypotézu o nezávislosti na asymptotické hladině významnosti 0,05. Dopočítejme ještě Cramérův koeficient: >> k=min(m,n); >> V=sqrt(K/(kont_tab((m+1),(n+1))*(k-1))); Shrnut í Zjistili jsme, že podmínky dobré aproximace jsou splněny. Hodnota testové statistiky K je rovna 184, což je větší než hodnota chí-kvadrátu s 12 stupni volnosti pro hladinu významnosti 0,05 (rovno 21). Proto zamítáme nulovou hypotézu o nezávislosti typu silnice na příslušnosti k okresu na asymptotické hladině významnosti 0,05. O zamítnutí hypotézy svědčí též vypočtená p-hodnota rovna 0. Hodnota Cramérova koeficientu je rovna 0,1428, což znamená, že závislost je velmi volná. 12

2.4 Srovnání programů STATISTICA a MATLAB Testování nezávislosti nominálních veličin Podívejme se teď na přednosti a nedostatky těchto programů při testování hypotéz o nezávislosti nominálních veličin. STATISTICA Jako první jsme načítali soubory. Načítání neskýtá žádné výhody ani nevýhody oproti MATLABu. Velký rozdíl ale poznáme v případě, kdy chceme zpracovat původní statistický soubor. V programu STATISTICA to pro nás neznamená žádné ztížení, v MATLABu už je to složitější. Největší předností tohoto programu je uživatelská přívětivost. STATISTICA se ovládá způsobem, na který jsme zvyklí z nejrůznějších počítačových programů, tj. nemusíme znát žádné příkazy a stačí se proklikat nabídkou a možnostmi. Uváděné možnosti jsou přehledně rozděleny, takže s menší pomocí nápovědy se velmi rychle dobereme výsledků. Všechny požadované výpočty jsou sdruženy v jednom okně, kde jen zatrhneme vše, co nás zajímá, a necháme si výsledky vypočítat. MATLAB Velmi dobrá vlastnost programu MATLAB umožňuje sloučit napsané příkazy do jedné funkce a nechat si automaticky vypsat pouze požadované konstanty (myšleno hodnotu testové statistiky, p-hodnotu, atd.) anebo rovnou slovní hodnocení výsledků (např., že vypočtená hodnota svědčí o zamítnutí hypotézy). Příklad takovéto funkce je uveden v příloze. Jak lze pochopit z výše napsaného, tuto funkci musíme sami vytvořit, což vyžaduje jisté znalosti. Nevyplatí se zpracovávat např. jen jedna data. Pokud se pro tuto funkci rozhodneme, potom jediný příkaz dokáže vypsat všechny výsledky, což velice urychlí práci. Při kontingenční tabulce o větších rozměrech máme zároveň tu výhodu, že nemusíme nikde bokem na papíře počítat, kolik procent políček v kontingenční tabulce má hodnoty nižší než 5. Opět stačí vytvořit příkaz, který vše zpracuje a vypíše, zda jsou podmínky splněny. 13

3. Testování nezávislosti ordinálních veličin 3.1 Základní teorie Testování nezávislosti ordinálních veličin Nechť X,Y jsou dvě ordinální náhodné veličiny. Pořídíme dvourozměrný náhodný výběr (X 1,Y 1 ),...,(X n,y n ) z rozložení, jímž se řídí náhodný vektor (X,Y). Označíme R i pořadí náhodné veličiny X i a Q i pořadí náhodné veličiny Y i, i=1,...,n. Testujeme nulovou hypotézu H 0 : X,Y jsou pořadově nezávislé náhodné veličiny proti oboustranné alternativě H 1 : X,Y jsou pořadově závislé náhodné veličiny (resp. proti levostranné alternativě H 1 : mezi X a Y existuje nepřímá pořadová závislost resp. proti pravostranné alternativě H 1 : mezi X a Y existuje přímá pořadová závislost). Testová statistika se nazývá Spearmanův koeficient pořadové korelace a má tento tvar: 6 r s =1 R n n 2 i Q i 2. 1 i=1 H 0 zamítáme na hladině významnosti α 1. ve prospěch oboustranné alternativy, když r s r s,1-α/2 (n) 2. ve prospěch levostranné alternativy, když r s r s,1-α (n) 3. ve prospěch pravostranné alternativy, když r s r s,1-α (n) Hodnotu r s,1-α (n) najdeme v tabulkách. Poznámka: Spearmanův koeficient současně měří sílu pořadové závislosti náhodných veličin X,Y. Nabývá hodnot v intervalu [-1;1]. Čím je jeho hodnota bližší -1, resp. 1, tím je silnější nepřímá, resp. přímá, pořadová závislost. Čím je jeho hodnota bližší 0, tím je pořadová závislost slabší. Programy STATISTICA a MATLAB používají asymptotickou variantu testu. Pokud n > 20, vypočteme testovou statistiku n T 0 = r s n 2 1 r s 2. Tato statistika se za platnosti nulové hypotézy řídí rozložením t(n-2). Kritický obor pro oboustrannou alternativu je W = (-, -t 1-α/2 (n 2)] [t 1-α/2 (n 2), ), pro levostrannou alternativu W = (-, -t 1-α (n 2)], pro pravostrannou alternativu [t 1-α (n 2), ). Nulovou hypotézu o pořadové nezávislosti náhodných veličin X a Y zamítáme na asymptotické hladině významnosti α, jestliže t 0 W. 14

3.2 Zpracování dat v programu STATISTICA Testování nezávislosti ordinálních veličin 3.2.1 Příklad V následující tabulce (a taktéž v excelovském souboru Korupce.xls) jsou uvedeny evropské státy a u každého státu je uvedeno jeho pořadí dle míry korupce. Udané hodnoty jsou v letech 2005 a 2009. Island Finsko Dánsko Švéds. Švýcar. Norsko Rakous Nizoz. VB Lucem. Němec. 2005 1 2 3 4 5 6 7 8,5 8,5 10 11 2009 6 4,5 1 2 3 7 11 4,5 12 8 9,5 Francie Belgie Irsko Španěl. Malta. Portug. Estons. Slovin. Kypr Maďar. Itálie 2005 12 13,5 13,5 15 16 17 18 19 20 21,5 21,5 2009 14 13 9,5 18 20 19 16 16 16 21 27 Litva ČR Řecko SR. Lotyš. Polsko 2005 23 25 25 25 27 28 2009 23,5 23,5 28 26 25 22 (zdroj: [10]) Vypočtěme Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujme nulovou hypotézu, že pořadí států dle korupce v letech 2005 a 2009 je nezávislé. 3.2.2 Řešení příkladu Načteme soubor Korupce.xls. Nejprve zobrazíme data kvůli orientačnímu posouzení závislosti korupce v daných letech. V záložce Grafy vybereme možnost Bodové grafy. V následujícím okně klikneme vlevo nahoře na prázdný trojúhelník, čímž se zobrazí dostupné listy načteného souboru. Vybereme List1 a dáme OK. Poté vybereme požadované proměnné, vypneme lineární proložení a opět dáme OK. 15

Testování nezávislosti ordinálních veličin Výsledkem bude tento graf. Je z něj patrné, že závislost korupce v jednotlivých letech je přímá a docela silná. Tuto domněnku ověříme výpočtem. Testování hypotézy o nezávislosti V záložkách zvolíme položku Statistiky a možnost Neparametrická statistika. Budeme dotázáni na výběr tabulky, přičemž se zobrazí soubor, který jsme načetli. Dvakrát na něj klikneme myší, aby se zobrazily dostupné listy. Vybereme požadovaný list a dáme OK. Z daných možností zvolíme Korelace (Spearman,...) a dáme OK. V následujícím výběru provedeme: jako položku Vytvořit vybereme Detailní report. Nastavíme proměnné na rok 2005 a rok 2009. Na záložce Zákl. výsledky klikneme na možnost Spearmanův koef. R. a dostaneme výsledek: V tabulce vidíme, že n = 28, Spearmanův koeficient pořadové korelace je roven 0,9298. To znamená, že pořadová závislost korupce v daných letech je přímá a silná. Jako poslední položka v tabulce je uvedena p-hodnota, která se blíží nule. Proto zamítáme nulovou hypotézu o nezávislosti na asymptotické hladině významnosti 0,05. Tuto úvahu můžeme využít pouze v případě, že n > 20, což je v tomto případě splněno. Poznámka: Korupce bývá často hodnocena na nějaké stupnici a vstupní tabulka tak nemusí obsahovat vždy pořadí, ale právě hodnocení na této stupnici. V programu STATISTICA to však ničemu nevadí. Postupujeme úplně stejně jako když máme daná pořadí. 16

3.3 Zpracování dat v programu MATLAB Testování nezávislosti ordinálních veličin 3.3.1 Příklad Na filmových databázích ČSFD (Česko-Slovenská filmová databáze) a IMDb (The Internet Movie Database) hodnotí uživatelé zhlédnuté filmy. Výsledné procentuální hodnocení filmů Kmotr, Kolja, Shrek, Sedm, Pelíšky, Pianista, Lví král, Provaz, Příšerky s.r.o. a Rocky je uvedeno v následující tabulce: Film Kmotr Kolja Shrek Sedm Pelíšky Databáze ČSFD 93 87 88 93 91 IMDb 92 77 80 86 80 Film Pianista Lví král Provaz Příšerky Rocky Databáze ČSFD 93 87 88 93 91 IMDb 92 77 80 86 80 (zdroj: [11]) Hodnoty jsou zároveň uloženy v souboru Filmy.txt. Vypočtěme Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujme nulovou hypotézu, že hodnocení filmů v databázích ČSFD a IMDb jsou pořadově nezávislá. 3.3.2 Řešení příkladu Načteme soubor Filmy.txt. Stejně jako v předchozím příkladu nejprve zobrazme data. >> plot(data(:,1), data(:,2),'.') >> axis([82 96 75 96]) >> xlabel('csfd'), ylabel('imdb') >> title('znazorneni dat') 17

Testování nezávislosti ordinálních veličin Dostaneme tento graf: Korelace není tak zřejmá jako v předchozím příkladu, zejména kvůli menšímu rozsahu dat. Avšak i tato data vykazují známky korelace, kterou můžeme očekávat střední a přímou. Ověřme tuto domněnku výpočtem. Testování hypotézy o nezávislosti testování nezávislosti v případě ordinálních veličin se na rozdíl od nominálních provede velmi jednoduše pouze jedním příkazem: >> [Spearman,p_hodnota]=corr(data,'type','Spearman') Zde dostaneme tabulku korelací typu 2x2, ve které jsou uvedeny všechny korelace veličin X,Y, tj. X a X, X a Y, Y a X a jako poslední Y a Y. Požadovaná hodnota je tedy uvedena v prvním řádku a druhém sloupci, resp. druhém řádku a prvním sloupci. 18

Testování nezávislosti ordinálních veličin Pokud bychom chtěli vypsat pouze dvě hodnoty, které nás zajímají, provedeme příkazy >> Spearman1=Spearman(1,2) >> p_hodnota1=p_hodnota(1,2) Kritická hodnota pro Spearmanův koeficient pořadové korelace pro n = 10 je rovna 0,6364. Vypočtená hodnota Spearmanova koeficientu je 0,5383 < 0,6364, proto nulovou hypotézu, že hodnocení filmů v databázích ČSFD a IMDb jsou pořadově nezávislá, nezamítáme na hladině významnosti 0,05. Protože máme n < 20, nemůžeme pro rozhodnutí o nulové hypotéze použít vypočtenou p-hodnotu. (Pokud by byl datový rozsah dostatečný, svědčila by vypočtená hodnota o nezamítnutí hypotézy na hladině významnosti 0,05, protože 0,1085 > 0,05.) 3.4 Srovnání programů STATISTICA a MATLAB V programu STATISTICA proběhl výpočet podobně jako v případě nominálních veličin, ale v programu MATLAB došlo k výraznému zjednodušení. Jedním příkazem, resp. dvěma, pokud uvažujeme i načtení souboru, se dostaneme ke všem hodnotám, které nás zajímají. MATLAB se tedy co do rychlosti dostává na stejnou úroveň jako STATISTICA. Navíc v programu MATLAB stále převažuje výhoda v možnosti napsání dodatečných příkazů, které přímo vyhodnotí získané hodnoty, a jejich shrnutí do funkce. 19

Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin 4. Testování nezávislosti intervalových a poměrových.veličin 4.1 Základní teorie 4.1.1 Koeficienty korelace Mějme dvě náhodné veličiny X a Y. Sílu lineárního vztahu mezi X a Y měříme pomocí Pearsonova koeficientu korelace, který definujeme jako C X,Y R X,Y = pro D X, D Y 0, jinak je roven 0. D X D Y Pro jeho výpočet musíme znát simultánní rozložení vektoru (X,Y), v praxi ho však většinou neznáme a jsme odkázáni na náhodný výběr (X 1,Y 1 ),...,(X n,y n ) z dvourozměrného rozložení. U tohoto náhodného výběru můžeme určit následující charakteristiky: 1. výběrové průměry n n 2. výběrové rozptyly S 2 1 = 1 n 1 i=1 3. výběrovou kovarianci M 1 = 1 X n i M 2 = 1 i=1 n i=1 n Y i X i M 1 2 S 2 2 = 1 n Y n 1 i M 2 2 i=1 S 12 = 1 X n 1 i M 1 Y i M 2 i =1 4. výběrový koeficient korelace n R 12 = S 12 S 1 S 2 pro S 1 S 2 0 Výběrový koeficient korelace R 12 slouží jako odhad Pearsonova koeficientu korelace R(X,Y). Označme ρ = R(X,Y). Je-li ρ 0, pak jsou náhodné veličiny X a Y korelované. Je-li ρ > 0, jsou kladně korelované, a je-li ρ < 0, jsou záporně korelované. Poznámka: Stochastická nezávislost složek X,Y normálně rozloženého vektoru je ekvivalentní jejich nekorelovanosti. 20

Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin 4.1.2 Testování hypotézy o nezávislosti Předpokládejme, že náhodný výběr (X 1,Y 1 ),...,(X n,y n ) pochází z dvourozměrného normálního rozložení. Pak testujeme nulovou hypotézu H 0 : ρ = 0 proti oboustranné alternativě H 1 : ρ 0 (popř. proti levostranné alternativě H 1 : ρ < 0 nebo proti pravostranné alternativě H 1 : ρ > 0). Testová statistika je tvaru T= R 12 n 2. 2 1 R 12 Platí-li nulová hypotéza, pak T t(n 2). Kritický obor pro test nulové hypotézy proti oboustranné alternativě je proti levostranné alternativě a proti pravostranné alternativě W = (-, -t 1-α/2 (n 2)] [t 1-α/2 (n 2), ), W = (-, -t 1-α (n 2)] W = [t 1-α (n 2), ). Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když testová statistika T W. 4.1.3 Meze intervalu spolehlivosti Mějme dvourozměrný náhodný výběr rozsahu n pocházející z dvourozměrného normálního rozložení. Je-li koeficient korelace ρ v intervalu (-0,5;0,5) a rozsah výběru větší než 100, pak 100(1 α)% interval spolehlivosti pro ρ má meze 2 1 R R 12 ±u 12 1 / 2 n 3. Pokud uvedené podmínky nejsou splněny a rozsah n 10, vypočítáme meze 100(1 α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro ρ jako tgh 1 2 ln 1 R 12 ± u 1 / 2 1 R 12 n 3. 21

Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin 4.2 Zpracování dat v programu STATISTICA 4.2.1 Příklad Bylo náhodně vybráno 15 potravin běžně používaných v domácnostech a u každého výrobku bylo zjištěno množství tuku a energie na 100g. Výsledky jsou uloženy v souboru Potraviny.txt a jsou zobrazeny v následující tabulce: chipsy hermelín ml. rýže měk. sýr jogurt eidam sušenky tuky/g 31 24 3 22 4 25 23 energie/kcal 510 298 115 242 77 331 500 piškoty sušenky2 polomáč. sýr tvarůžky parenica knedle tuky/g 5 16 26 18 1 18 1 energie/kcal 390 437 510 202 125 240 335 Margot Brumík hor. čokol salko tvaroh mléko tuky/g 19 10 10 8 0 9 energie/kcal 440 360 430 330 65 163 Vypočtěme hodnotu výběrového korelačního koeficientu, meze 95% asymptotického intervalu spolehlivosti pro tento koeficient a na hladině významnosti 0,05 otestujme nulovou hypotézu o nezávislosti množství tuku a množství energie v potravinách. 4.3.2 Řešení příkladu Ověření dvourozměrné normality dat Načteme soubor Potraviny.txt. Zvolíme záložku Grafy, možnost Bodové grafy. Vybereme proměnné a přejdeme na záložku Detaily. Zde změníme položku Proložení na Vypnuto a položku Elipsa na Normální. Dáme OK a zobrazí se dvourozměrná data. Abychom viděli celou elipsu, je třeba změnit měřítka. Dvojitým kliknutím levým tlačítkem myši se zobrazí možnosti grafu. V levém sloupci v položce Osa vybereme Měřítko. Vybereme osu X, mód Ručně a nastavíme Minimum a Maximum. Stejně vybereme osu Y a nastavíme ji. OK. 22

Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin V grafu vidíme, že všechny hodnoty leží uvnitř elipsy a tudíž můžeme považovat data za dvourozměrně normální. Je zřejmé, že hlavní osa elipsy má kladnou směrnici. Můžeme očekávat přímou závislost, což znamená, že čím více bude v potravině tuku, tím vyšší bude i její energetická hodnota. Sílu závislosti zjistíme následně výpočtem výběrového korelačního koeficientu. V praxi se dvourozměrná normalita často odhaduje pomocí ověření jednorozměrné normality veličin X a Y. Pro ověření použijeme Lillieforsův test. Zvolíme možnost Statistiky Základní statistiky Tabulky četností OK. Vybereme proměnné a na záložce Normalita zaškrtneme Lillieforsův test. Kliknutím na Testy normality se zobrazí následující tabulka: Vidíme, že obě hodnoty Lillieforsova testu jsou p > 0,20. Můžeme tedy předpokládat jednorozměrnou normalitu obou veličin. Původní dvourozměrná data můžeme považovat za dvourozměrně normální. 23