Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz."

Transkript

1 Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík

2 Obsah: Výběrová rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz

3 Výběrová rozdělení

4 Výběrové charakteristiky (opakování): číslné charakteristiky výběrového souboru výběrový průměr, výběrový rozptyl, relativní četnost,... náhodné veličiny (funkce pozorování)

5 Výběrové charakteristiky (opakování): číslné charakteristiky výběrového souboru výběrový průměr, výběrový rozptyl, relativní četnost,... náhodné veličiny (funkce pozorování) E[ X] = E[ 1 n n i=1 X i] = 1 n n E[X] = µ X D[ X] = D[ 1 n n i=1 X i] = 1 n D[X] = 1 n 2 n σ2 X centrální limitní věta: X ( ) N µ x, σ2 x n další aplikace CLV: rozdělení součtu náhodných veličin, rozdílu průměrů, rozdílu relativních četností,...

6 Výběrová rozdělení: rozdělení pravděpodobnosti důležitých výběrových charakteristik vyžití pro odhady parametrů, testování hypotéz,... 3 důležitá rozdělení: χ 2 -rozdělení Studentovo rozdělení Fisher-Snedecorovo rozdělení

7 χ 2 -rozdělení ( chí kvadrát ) Mějme Z 1, Z 2,..., Z n nezávislé náhodné veličiny s rozdělením N(0, 1). Označme X = n i=1 Z i 2. Potom X má rozdělení χ 2 s n stupni volnosti. Zapisujeme X χ 2 n. Důležitá vlastnost: Pro nezávislé X 1, X 2,..., X n N(µ, σ 2 ) platí kde S 2 je výběrový rozptyl, (n 1)S 2 S 2 = 1 n 1 σ 2 χ 2 n 1, n (X i X) 2. i=1

8 Studentovo (t) rozdělení Necht Z a X jsou nezávislé náhodné veličiny. Z N(0, 1) X χ 2 n Označme T = Z. X n Potom T má Studentovo t rozdělení s n stupni volnosti. Zapisujeme T t n. Důležitá vlastnost: Pro nezávislé X 1, X 2,..., X n N(µ, σ 2 ) platí X µ n tn 1. S

9 Fisher-Snedecorovo (F ) rozdělení Necht V a W jsou nezávislé náhodné veličiny. V χ 2 m W χ 2 n Označme F = V m W n. Potom F má Fisher-Snedecorovo rozdělení o m a n stupních volnosti. Zapisujeme F F m,n. Důležtá vlastnost: Pro nezávislé X 1, X 2,..., X m N(µ X, σ 2 X ) a Y 1, Y 2,..., Y n N(µ Y, σ 2 Y ) platí S 2 X m S 2 Y n F m 1,n 1.

10

11 Cílem odhadu je určení neznámého parametru rozdělení populace (náhodné veličiny X) na základě informace obsažené ve výběrovém souboru (realizacích náhodné veličiny, datech). Příklad: Hod nesymetrickou mincí lze modelovat jako Bernoulliovský pokus s alternativním (Bernoulliho) rozdělením. Parametrem rozdělení může být pravděpodobnost padnutí orla. Co můžeme říci o neznámém parametru, pokud při 10 hodech padne 3 krát orel?

12 Cílem odhadu je určení neznámého parametru rozdělení populace (náhodné veličiny X) na základě informace obsažené ve výběrovém souboru (realizacích náhodné veličiny, datech). Příklad: Hod nesymetrickou mincí lze modelovat jako Bernoulliovský pokus s alternativním (Bernoulliho) rozdělením. Parametrem rozdělení může být pravděpodobnost padnutí orla. Co můžeme říci o neznámém parametru, pokud při 10 hodech padne 3 krát orel? při 2 hodech orel nepadne ani jednou?

13 Cílem odhadu je určení neznámého parametru rozdělení populace (náhodné veličiny X) na základě informace obsažené ve výběrovém souboru (realizacích náhodné veličiny, datech). Příklad: Hod nesymetrickou mincí lze modelovat jako Bernoulliovský pokus s alternativním (Bernoulliho) rozdělením. Parametrem rozdělení může být pravděpodobnost padnutí orla. Co můžeme říci o neznámém parametru, pokud při 10 hodech padne 3 krát orel? při 2 hodech orel nepadne ani jednou? při 100 hodech padne 30 krát orel? při hodech padne orel? při 2 hodech nepadne ani jednou orel, přitom mince je běžná 1 Kč, jen lehce poškrábaná

14 Při odhadování se zajímáme o hodnotu odhadu (přibližnou hodnotu neznámého parametru), přesnost odhadu - odhad na základě konečného počtu dat bude vždy pouze přibližný.

15 Při odhadování se zajímáme o hodnotu odhadu (přibližnou hodnotu neznámého parametru), přesnost odhadu - odhad na základě konečného počtu dat bude vždy pouze přibližný. Rozlišujeme dva základní typy odhadu: Bodový odhad - neznámý parametr charakterizujeme jedinou hodnotou, pokud možno blízko skutečné hodnotě. Hodnota bodového odhadu nevypovídá nic o přesnosti odhadu. Intervalový odhad - neznámý parametr charakterizujeme intervalem, který s velkou pravděpodobností obsahuje skutečnou hodnotu. Délka intervalu vypovídá o přesnosti odhadu.

16 Bodový odhad

17 Bodový odhad Mějme X 1, X 2,..., X n náhodný výběr z neznámého rozdělení závislého na parametru Θ. Bodovým odhadem parametru Θ je obecně libovolná výběrová charakteristika (funkce náhodného výběru) T (X 1, X 1,..., X n ). Příklady T (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n i=1 X i

18 Bodový odhad Mějme X 1, X 2,..., X n náhodný výběr z neznámého rozdělení závislého na parametru Θ. Bodovým odhadem parametru Θ je obecně libovolná výběrová charakteristika (funkce náhodného výběru) T (X 1, X 1,..., X n ). Příklady T (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n i=1 X i (bodový odhad střední hodnoty) T (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n 1 i=1 (X i X) 2

19 Bodový odhad Mějme X 1, X 2,..., X n náhodný výběr z neznámého rozdělení závislého na parametru Θ. Bodovým odhadem parametru Θ je obecně libovolná výběrová charakteristika (funkce náhodného výběru) T (X 1, X 1,..., X n ). Příklady T (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n i=1 X i (bodový odhad střední hodnoty) T (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n 1 i=1 (X i X) 2 (bodový odhad rozptylu) T (X 1, X 2,..., X n ) = arctg(x 1 X 2... X n )

20 Bodový odhad Mějme X 1, X 2,..., X n náhodný výběr z neznámého rozdělení závislého na parametru Θ. Bodovým odhadem parametru Θ je obecně libovolná výběrová charakteristika (funkce náhodného výběru) T (X 1, X 1,..., X n ). Příklady T (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n i=1 X i (bodový odhad střední hodnoty) T (X 1, X 2,..., X n ) = 1 n n 1 i=1 (X i X) 2 (bodový odhad rozptylu) T (X 1, X 2,..., X n ) = arctg(x 1 X 2... X n ) (podle definice rovněž bodový odhad - mimo jiné čehokoliv)

21 Vlastnosti, které zaručují, že danný bodový odhad je v jistém smyslu dobrý: nestrannost (nevychýlenost) - odhad T ( ) parametru Θ je nestranný, jestliže E[T ] = Θ pro každé Θ

22 Vlastnosti, které zaručují, že danný bodový odhad je v jistém smyslu dobrý: nestrannost (nevychýlenost) - odhad T ( ) parametru Θ je nestranný, jestliže E[T ] = Θ pro každé Θ vydatnost, eficience - nejlepší nestranný (vydatný, eficientní)

23 Vlastnosti, které zaručují, že danný bodový odhad je v jistém smyslu dobrý: nestrannost (nevychýlenost) - odhad T ( ) parametru Θ je nestranný, jestliže E[T ] = Θ pro každé Θ vydatnost, eficience - nejlepší nestranný (vydatný, eficientní) konzistence - odhad T n (X 1,..., X n ) je konzistentní, pokud E[T n ] Θ a D[T n ] 0, tj.odhad se s rostoucím počtem dat zpřesňuje

24 Příklad: X 1, X 2,..., X n nezávislý náhodný výběr z rozdělení se stř. hodnotou µ a rozptylem σ 2. Snadno lze ukázat, že E[ 1 n n i=1 X i] = µ, E[ 1 n 1 n i=1 (X i X) 2 ] = σ 2. Odtud plyne, že výběrový průměr je nestranným odhadem střední hodnoty a výběrový rozptyl je nestranným odhadem rozptylu.

25 Intervalový odhad

26 Interval spolehlivosti (konfidenční interval) pro parametr θ se spolehlivostí 1 α, kde α 0, 1, je dvojice statistik (T D ( ), T H ( )) taková, že P(T D θ T H ) = 1 α. Poznámka: Meze intervalu spolehlivosti T D ( ), T H ( ) jsou náhodné veličiny

27 Interval spolehlivosti (konfidenční interval) pro parametr θ se spolehlivostí 1 α, kde α 0, 1, je dvojice statistik (T D ( ), T H ( )) taková, že P(T D θ T H ) = 1 α. Poznámka: Meze intervalu spolehlivosti T D ( ), T H ( ) jsou náhodné veličiny Intervalový odhad t D, t H je konkrétní realizace intervalu spolehlivosti.

28 Interval spolehlivosti (konfidenční interval) pro parametr θ se spolehlivostí 1 α, kde α 0, 1, je dvojice statistik (T D ( ), T H ( )) taková, že P(T D θ T H ) = 1 α. Poznámka: Meze intervalu spolehlivosti T D ( ), T H ( ) jsou náhodné veličiny Intervalový odhad t D, t H je konkrétní realizace intervalu spolehlivosti. Koeficient α nazýváme hladina významnosti.

29 Délka intervalového odhadu charakterizuje přesnost, kratší interval (při stejném α) představuje přesnější lokalizaci skutečné hodnoty parametru klesá s rostoucím počtem dat (odhad se zpřesňuje) roste s (1 α), vyšší spolehlivost vyžaduje širší interval

30 Délka intervalového odhadu charakterizuje přesnost, kratší interval (při stejném α) představuje přesnější lokalizaci skutečné hodnoty parametru klesá s rostoucím počtem dat (odhad se zpřesňuje) roste s (1 α), vyšší spolehlivost vyžaduje širší interval V praxi volíme α = 0.05 nebo α = 0.01 (při požadavku na vyšší spolehlivost).

31 Typy intervalových odhadů oboustranný P(θ < T D ) = P(θ T H ) = α 2 jednostranný - je-li pro nás důležitá pouze jedna mez levostranný P(T D θ) = 1 α pravostranný P(θ T H) = 1 α

32 Postup při tvorbě intervalového odhadu 1 Zvolíme vhodnou výběrovou charakteristiku T (X), jejíž rozdělení (závislé na θ) známe. 2 Určíme α 2 a (1 α 2 )-kvantily x α a x 1 α veličiny T Z podmínky x α T (X) x 1 α stanovíme meze pro θ Obdobně pro jednostranné odhady.

33 Příklad: Intervalový odhad střední hodnoty normálního rozdělění s neznámým rozptylem se spolehlivostí Máme vzorek velikosti n s výběrovým průměrem X a výběrovým rozptylem S 2. Statistika T (X) = X µ S n. Z vlastností Studentova rozdělení: T (X) t n 1. P ( t α X µ 2 S n t1 α 2 ) = 0.95 Úpravou nerovností dostaneme (využijeme t α = t 1 α ) 2 2 ( P X S t 1 α µ X + S ) t n 2 1 α = n 2

34 Výpočet intervalového odhadu Pro výpočet lze využít tabulky se vzorci (u zk. legální tahák), nejlépe však vhodný software (Statgraphics, R commander, applety ML,...). Nutný předpoklad pro získání smysluplného výsledku je správná volba typu odhadu a ověření předpokladů. Další odhady viz skripta a tabulky.

35 Testování hypotéz

36 Cílem testování hypotéz je ověřit, zda data nepopírají předpoklad (hypotézu), který jsme učinili o rozdělení populace před provedením testu. Terminologie: Statistická hypotéza - tvrzení o rozdělení náhodné veličiny Nulová hypotéza H 0 - výchozí (defaultní) stanovisko, které jsme ochotni akceptovat, pokud data nebudou mluvit výrazně proti; např: neexistuje závislost, systematická výchylka je 0,... Alternativní hypotéza H 1 (H A ) - popírá nulovou hypotézu Na základě výsledku testu pak bud zamítáme H 0, nebo nezamítáme H 0. H 0 nelze na základě testu potvrdit. Lze pouze říci, že data nesvědčí proti ní.

37 Typy testů Parametrické - tvrzení o parametru (parametrech) jedné, dvou, nebo více populací Neparametrické - tvrzení o jiné vlastnosti rozdělení populace - typ rozdělení, závislost mezi sledovanými znaky,...

38 Postup při testování hypotéz (klasický přístup) 1 Formulujeme nulovou H 0 a alternativní hypotézu H 1. 2 Zvolíme testovou statistiku. Rozdělení testové statistiky za předpokladu platnosti nulové hypotézy nazýváme nulové rozdělění. 3 Ověříme předpoklady testu! 4 Určíme kritický obor W, tj. množinu v níž se za předpokladu platnosti H 0 hodnoty testové statistiky vyskytují s velmi malou pravděpodobností. Doplňkem W je tzv. obor přijetí V. Hranici mezi W a V označujeme jako kritickou hodnotu t krit. 5 Na základě realizace výběru určíme pozorovanou hodnotu testové statistiky x OBS. 6 Na základě vztahu x OBS a t krit (tj. podle toho zda x OBS W nebo x OBS V ) rozhodujeme o výsledku testu (zamítnutí nebo nezamítnutí H 0 ).

39 V závislosti na platnosti H 0 a výsledku testu mohou nastat 4 situace: Nezamítáme H 0 Zamítáme H 0 Platí H 0 Správné rozhodnutí Chyba I. druhu: Pravděpodobnost: 1 α Pravděpodobnost: α Platí H 1 Chyba II. druhu Správné rozhodnutí Pravděpodobnost: β Pravděpodobnost: 1 β Chybám I. a II. druhu se z podstaty problému nelze vyhnout, protože rozhodujeme na základě náhodného výběru. α: hladina významnosti testu, v praxi volíme 0.05 nebo β: síla testu; nevolíme je určena hladinou významnosti a konstrukcí testu

40 Ideálně bychom chtěli testy s nízkou hladinou významnosti a vysokou sílou - protichůdné požadavky. Snížit α i β lze pouze zvýšením počtu dat.

41 Čistý test významnosti (pomocí p-hodnoty) 1 Formulace nulové a alternativní hypotézy. 2 Volba testové statistiky T (X). 3 Ověření předpokladů testu. 4 Výpočet pozorované hodnoty testové statistiky x OBS. 5 Výpočet p-hodnoty, tj. pravděpodobnosti alespoň tak extrémního výsledku jako x OBS za předpokladu nulové hypotézy.

42 tvar H 1 p-hodnota θ θ 0 p-hodnota = F 0 (x OBS ) θ θ 0 p-hodnota = 1 F 0 (x OBS ) θ θ 0 p-hodnota = 2min(F(x OBS ), 1 F 0 (x OBS )) Rozhodnutí o výsledku testu: p-hodnota Rozhodnutí p-hodnota < α Zamítáme H 0 ve prospěch H 1 p-hodnota > α Nezamítáme H 0 Výhodou čistého testu významnosti je, že rovnou vidíme, na jaké hladině významnosti lze ještě rozhodnout o zamítnutí H 0. Tento typ testu se v praxi používá častěji. Bývá výstupem statistického software.

43 Příklad: Spotřeba automobilu byla testována 11 řidiči s výsledky: 8,8; 8,9; 9,0; 8,7; 9,3; 9,0; 8,7; 8,8; 9,4; 8,6; 8,9 (l/100 km). Lze výrobcem udávanou spotřebu 8,8 l/100 km považovat za pravdivou? Náhodná veličina X... spotřeba l/100 km Předpokládáme: X N (µ, σ 2 ) Z dat vypočteme: X = 8.92, S 2 = H 0 : µ = 8.8 H 1 : µ > 8.8 T (X) = X µ S n, T t10 T OBS = 1.62 p-value: 2(1 F(T OBS )) = p-value > 0.05 na hladině významnosti 0.05 nezamítáme H 0. Nelze tvrdit, že spotřeba není rovna 8.8l.

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování

Více

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Úvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 11. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 27 Obsah 1 Testování statistických hypotéz 2

Více

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) .

Statistika. Teorie odhadu statistická indukce. Roman Biskup. (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at) . Statistika Teorie odhadu statistická indukce Intervalový odhad µ, σ 2 a π Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 8. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 8 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Centrální limitní věta Laplaceho věta (+ korekce na spojitost) Konfidenční intervaly

Více

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013

Testy. Pavel Provinský. 19. listopadu 2013 Testy Pavel Provinský 19. listopadu 2013 Test a intervalový odhad Testy a intervalové odhady - jsou vlastně to samé. Jiný je jen úhel pohledu. Lze přecházet od jednoho k druhému. Například: Při odvozování

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová

ÚVOD DO TEORIE ODHADU. Martina Litschmannová ÚVOD DO TEORIE ODHADU Martina Litschmannová Obsah lekce Výběrové charakteristiky parametry populace vs. výběrové charakteristiky limitní věty další rozdělení pravděpodobnosti (Chí-kvadrát (Pearsonovo),

Více

Testování statistických hypotéz. Obecný postup

Testování statistických hypotéz. Obecný postup poznámky k MIII, Tomečková I., poslední aktualizace 9. listopadu 016 9 Testování statistických hypotéz Obecný postup (I) Vyslovení hypotézy O datech vyslovíme doměnku, kterou chceme ověřit statistickým

Více

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B

TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STATISTICKÁ HYPOTÉZA Statistické testy Testovací kritérium = B B > B < B B - B - B < 0 - B > 0 oboustranný test = B > B TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Od statistického šetření neočekáváme pouze elementární informace o velikosti některých statistických ukazatelů. Používáme je i k ověřování našich očekávání o výsledcích nějakého procesu,

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017

12. cvičení z PST. 20. prosince 2017 1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace

Více

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace

Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi

Více

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ

STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ STATISTICKÉ ZJIŠŤOVÁNÍ ÚVOD Základní soubor Všechny ryby v rybníce, všechny holky/kluci na škole Cílem určit charakteristiky, pravděpodobnosti Průměr, rozptyl, pravděpodobnost, že Maruška kápne na toho

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Testy statistických hypotéz Statistická hypotéza je jakýkoliv předpoklad o rozdělení pravděpodobnosti jedné nebo několika náhodných veličin. Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem

Více

Charakteristika datového souboru

Charakteristika datového souboru Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex

Více

ÚVOD DO TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ. Martina Litschmannová

ÚVOD DO TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ. Martina Litschmannová ÚVOD DO TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ Martina Litschmannová Základní metody statistické indukce Intervalové odhady (angl. confidence intervals) umožňují odhadnout nejistotu v odhadu parametru náhodné veličiny Testování

Více

Aproximace binomického rozdělení normálním

Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

12. prosince n pro n = n = 30 = S X

12. prosince n pro n = n = 30 = S X 11 cvičení z PSI 1 prosince 018 111 test střední hodnoty normálního rozdělení při známém rozptylu Teploměrem o jehož chybě předpokládáme že má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 3 jsme provedli

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika

Pravděpodobnost a matematická statistika Pravděpodobnost a matematická statistika Příklady k přijímacím zkouškám na doktorské studium 1 Popisná statistika Určete aritmetický průměr dat, zadaných tabulkou hodnot x i a četností n i x i 1 2 3 n

Více

Náhodné veličiny, náhodné chyby

Náhodné veličiny, náhodné chyby Náhodné veličiny, náhodné chyby Máme náhodnou veličinu X, jejíž vlastnosti zkoumáme. Pokud známe její rozložení (např. z nějaké dřívější studie) nebo alespoň předpokládáme znalost rozložení, můžeme ji

Více

5. T e s t o v á n í h y p o t é z

5. T e s t o v á n í h y p o t é z 5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Matematika III. 3. prosince Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 3. prosince Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 3. prosince 2018 Úvod do testování hypotéz Základní metody statistické indukce Intervalové odhady (angl. confidence intervals) umožňují odhadnout nejistotu

Více

6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový.

6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého vektoru parametrů bodový a intervalový. 6. ZÁKLADY STATIST. ODHADOVÁNÍ X={X 1, X 2,..., X n } výběr z rozdělení s F (x, θ), θ={θ 1,..., θ r } - vektor reálných neznámých param. θ Θ R k. Θ parametrický prostor. Dva základní způsoby odhadu neznámého

Více

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)

You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com) Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

7.1. Podstata testu statistické hypotézy

7.1. Podstata testu statistické hypotézy 7. TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ 7.1. Podstata testu statistické hypotézy Statistická hypotéza určitý předpoklad o parametrech nebo tvaru rozdělení zkoumaného st. znaku. Testování hypotéz proces ověřování

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Intervalové Odhady Parametrů

Intervalové Odhady Parametrů Parametrů Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze

Více

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0.

11. cvičení z PSI prosince hodnota pozorovaná četnost n i p X (i) = q i (1 q), i N 0. 11 cvičení z PSI 12-16 prosince 2016 111 (Test dobré shody - geometrické rozdělení Realizací náhodné veličiny X jsme dostali následující četnosti výsledků: hodnota 0 1 2 3 4 5 6 pozorovaná četnost 29 15

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica

JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY. Komentované řešení pomocí programu Statistica JEDNOVÝBĚROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu

Více

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.

8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak. 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované

Více

8. Normální rozdělení

8. Normální rozdělení 8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá

Více

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně

Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 1: Opakování ze statistiky LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Z čeho studovat 1) Z KNIHY Krkošková,

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)

Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová

VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),

Více

Intervalové Odhady Parametrů II Testování Hypotéz

Intervalové Odhady Parametrů II Testování Hypotéz Parametrů II Testování Hypotéz Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Stručný úvod do testování statistických hypotéz

Stručný úvod do testování statistických hypotéz Stručný úvod do testování statistických hypotéz 1. Formulujeme hypotézu (předpokládáme, že pozorovaný jev je pouze náhodný). 2. Zvolíme hladinu významnosti testu a, tj. riziko, s nímž jsme ochotni se smířit.

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti

3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3 Bodové odhady a jejich vlastnosti 3.1 Statistika (Skripta str. 77) Výběr pořizujeme proto, abychom se (více) dověděli o souboru, ze kterého jsme výběr pořídili. Zde se soustředíme na situaci, kdy známe

Více

prosince oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti τ. X i. X = 1 n.. Podle CLV má veličina

prosince oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu životnosti τ. X i. X = 1 n.. Podle CLV má veličina 10 cvičení z PSI 5-9 prosince 016 101 intervalový odhad Veličina X, představující životnost žárovky, má exponenciální rozdělení s parametrem τ Průměrná životnost n = 64 náhodně vybraných žárovek je x =

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Testování hypotéz. testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace. tvrzení je nutno předem zformulovat

Testování hypotéz. testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace. tvrzení je nutno předem zformulovat Testování hypotéz testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace tvrzení je nutno předem zformulovat najít odpovídající test, podle kterého se na základě informace z výběrového souboru rozhodneme, zda

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test Párový Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 motivační příklad Párový Příklad (Platová diskriminace) firma

Více

Odhad parametrů N(µ, σ 2 )

Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný

Více

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření

TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Semestrální práce Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření Analýza výsledků dotazníkového šetření - fakultní dotazník Vypracovaly: Klára Habrová,

Více

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Problematika analýzy rozptylu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Problematika analýzy rozptylu Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému Již umíte testovat shodu dvou středních hodnot prostřednictvím t-testů. Otázka: Jaké předpoklady musí být splněny, abyste mohli použít

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním

Více

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému. Roman Biskup

Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému. Roman Biskup Statistika Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by Birom

Více

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3!

1 Klasická pravděpodobnost. Bayesův vzorec. Poslední změna (oprava): 11. května 2018 ( 6 4)( 43 2 ) ( 49 6 ) 3. = (a) 1 1 2! + 1 3! Výsledky příkladů na procvičení z NMSA0 Klasická pravděpodobnost. 5. ( 4( 43 ( 49 3. 8! 3! 0! = 5 Poslední změna (oprava:. května 08 4. (a! + 3! + ( n+ n! = n k= ( k+ /k! = n k=0 ( k /k!; (b n k=0 ( k

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33

Me neˇ nezˇ minimum ze statistiky Michaela S ˇ edova KPMS MFF UK Principy medicı ny zalozˇene na du kazech a za klady veˇdecke prˇı pravy 1 / 33 1 / 33 Méně než minimum ze statistiky Michaela Šedová KPMS MFF UK Principy medicíny založené na důkazech a základy vědecké přípravy Příklad Studie syndromu náhodného úmrtí dětí. Dvě skupiny: Děti, které

Více

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Pearsonůvχ 2 test dobré shody. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Př. : Ve vjezdové skupině kolejí byly sledovány počty přijíždějících vlaků za hodinu. Za 5 dní (tedy 360 hodin) přijelo celkem 87 vlaků. Výsledky sledování jsou uvedeny v tabulce.

Více

Přednáška VII. Úvod do testování hypotéz

Přednáška VII. Úvod do testování hypotéz Přednáška VII. Úvod do testování hypotéz Principy a pojmy testování hypotéz, chyba I. a II. druhu P hodnota a její interpretace Síla testu a souvislost s velikostí vzorku Statistická versus klinická/biologická

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Regresní analýza 1. Regresní analýza

Regresní analýza 1. Regresní analýza Regresní analýza 1 1 Regresní funkce Regresní analýza Důležitou statistickou úlohou je hledání a zkoumání závislostí proměnných, jejichž hodnoty získáme při realizaci experimentů Vzhledem k jejich náhodnému

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test

Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu

Více

Příklad datového souboru. Pravděpodobnost vs. statistika. Formální definice. Teorie odhadu

Příklad datového souboru. Pravděpodobnost vs. statistika. Formální definice. Teorie odhadu Pravděpodobnost vs. statistika Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými veličinami, jejichž rozdělení je známo Statistika odvozovali jsme charakteristiky těchto rozdělení

Více

Jednofaktorová analýza rozptylu

Jednofaktorová analýza rozptylu Jednofaktorová analýza rozptylu David Hampel Ústav statistiky a operačního výzkumu, Mendelova univerzita v Brně Kurz pokročilých statistických metod Global Change Research Centre AS CR, 5 7 8 2015 Tato

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,

Více

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu

Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO

Více

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ HELENA KOUTKOVÁ PRAVDĚPODOBNOST A MATEMATICKÁ STATISTIKA MODUL GA03 M4 ZÁKLADY TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU

Více

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin

Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin Parametrické testy hypotéz o středních hodnotách spojitých náhodných veličin EuroMISE Centrum Kontakt: Literatura: Obecné informace Zvárová, J.: Základy statistiky pro biomedicínskéobory I. Vydavatelství

Více