4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

Transkript

1 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické testy chí-kvadrát test dobré shody Testování statistických hypotéz Statistická hypotéza určitý předpoklad o parametrech či tvaru rozdělení Hypotézy se mohu týkat neznámých číselných parametrů rozdělení náhodné veličiny pak jde o testy parametrické. Ostatní typy jsou testy neparametrické. H0 nulová (testovaná) hypotéza hypotéza jejíž platnost ověřujeme; např. předpoklad že se průměr základního souboru rovná určité konkrétní hodnotě H1 alternativní hypotéza popírá nulovou hypotézu: Dvoustranná hypotéza - dvoustranný test Pravostranná hypotéza levostranná hypotéza - jednostranný test Chyba I. druhu = zamítnutí ve skutečnosti platné H0 Pravděpodobnost chyby I. druhu = α = hladina významnosti (volí se před provedením testu nejčastěji ) Chyba II. druhu = nezamítnutí H0 ačkoliv ve skutečnosti platí H1 Pravděpodobnost chyby II. druhu = β; pravděpodobnost 1-β = síla testu CHYBA I. A II. DRUHU Závěr testu Skutečnost H0 platí H0 neplatí H0 platí OK (1-α) chyba I. druhu (α) H0 neplatí chyba II. druhu (β) OK (1-β) 1

2 Testové kritérium = statistika jejíž hodnotu vypočítáme na základě výběrových (napozorovaných) dat a podle jejíž hodnoty pak posuzujeme platnost testované hypotézy Obor hodnot testového kritéria se rozděluje na dva neslučitelné obory obor přijetí (V) a kritický obor (W) obory od sebe oddělují tzv. kritické hodnoty Rozhodnutí činíme podle toho jestli hodnota testového kritéria padne do kritického oboru W (zamítnutí H0) či do oboru přijetí V (nezamítnutí H0) Doporučený postup při testování hypotéz 1) Formulace výzkumné otázky ve formě nulové a alternativní statistické hypotézy (Jakého parametru se hypotéza týká?) 2) Zvolení přijatelné úrovně chyby rozhodování (volba hladiny významnosti α) 3) Volba testovacího kritéria (ve vzorcích podle typu vhodného testu) 4) Výpočet hodnoty testovacího kritéria 5) Určení kritických hodnot testovacího kritéria (určení krajních hodnot kritického oboru W vzorce) 6) Doporučení (nezamítnutí nebo zamítnutí nulové hypotézy H0) Test hypotézy o střední hodnotě Testujeme nulovou hypotézu proti jedné z alternativních hypotéz: : = : (oboustranná alternativní hypotéza) : > (pravostranná alternativní hypotéza) : < (levostranná alternativní hypotéza) Při volbě testového kritéria a kritického oboru opět rozlišujeme podle toho zda je rozptyl základního souboru známý a jak velký je rozsah výběru: a) Velký rozsah výběru rozptyl v základním souboru je známý o testovým kritériem je náhodná veličina = která má při platnosti nulové hypotézy rozdělení N(0;1) o kritický obor závisí na tvaru alternativní hypotézy a na zvolené hladině významnosti: ( ; > > < < < ( ; > b) Velký rozsah výběru rozptyl v základním souboru není známý o testovým kritériem je náhodná veličina = která má při platnosti nulové hypotézy rozdělení N(0;1) o kritické obory mají stejný tvar jako v případě známého rozptylu 2

3 c) Malý rozsah výběru rozptyl v základním souboru není známý o testovým kritériem je náhodná veličina = o která má při platnosti nulové hypotézy rozdělení t(n-1) kritické obory mají tvar: ( ; > > < < < ( ; > Př. 7.1 V pivovaru došlo k opravě plnící linky. Po opravě se provedlo měření u 21 naplněných lahví průměrný objem v naplněné lahvi byl ml se směrodatnou odchylkou 178 (jde tedy o výběrové hodnoty). Předpokládáme že jde o výběr z normálního rozdělení. Na hladině významnosti α = 005 ověřte zda se oprava zdařila tj. zda linka plní do láhví pivo o objemu 500ml. (Jinak řečeno chceme ověřit zda zjištěný průměr se významně liší od požadované hodnoty 500ml) Stanovte nulovou a alternativní hypotézu zvolte vhodné testové kritérium a kritické hodnoty; Jak se změní postup a výsledek pokud směrodatná odchylka objemu náplně je známa tedy nejde o hodnotu zjištěnou z výběru a její hodnota je 078? Test hypotézy o relativní četnosti velké výběry Testujeme nulovou hypotézu proti jedné z alternativních hypotéz: Testovým kritériem je náhodná veličina která má při platnosti nulové hypotézy rozdělení N(0;1). Kritické obory: : = : : > : < = () Př. 7.2 ( ; > Strana pronikne do sněmovny jestliže její volební výsledek překročí 5 %. Byl proveden průzkum kde z 350 dotázaných respondentů by sledovanou stranu volilo 28 lidí. Můžeme na hladině významnosti 1 % předpokládat proniknutí strany do sněmovny ve volbách? > < < < ( ; > 3

4 Test o shodě středních hodnot velké nezávislé výběry Testujeme nulovou hypotézu : = proti jedné z alternativních hypotéz: : : > : < Testovým kritériem je náhodná veličina = která má při platnosti nulové hypotézy rozdělení N(0;1) Kritické obory: Př. 7.3 ( ; > > < < < ( ; > Na základě zadaných dat otestujte na hladině významnosti 005 a 001 hypotézu že chlapci a dívky dosahují u průběžného testu stejných výsledků. Data k příkladu jsou v souboru vysledky.xlsx. Testování hypotéz v MS Excel MS Excel má funkce pro testování střední hodnoty test o relativní četnosti nikoliv o Funkce ZTEST (matice = oblast dat; x = testovaná hodnota; [sigma] = hodnota směrodatné odchylky v základním souboru pokud je známá) umožňuje test o střední hodnotě pro velké výběry. o Funkce TTEST (matice1 = oblast dat prvního výběru; matice2 = oblast dat druhého výběru; chvosty = volba zda jde o jednostranný (1) nebo dvoustranný test (2); typ = volba zda jde o párové výběry (1) nezávislé výběry se stejnými rozptyly (2) nezávislé výběry s různými rozptyly (3)) umožňuje test o shodě dvou středních hodnot využívá kvantily t-rozdělení protože neobsahuje předpoklad o dostatečně velkých výběrech (oba s rozsahem větším než 30). o Modul ANALÝZA DAT umožňuje test o shodě středních hodnot pomocí voleb: Dvouvýběrový t-test s rovností / nerovností rozptylů slouží k testování shody středních hodnot dvou nezávislých výběrů (používá kvantily t-rozdělení protože nepředpokládá velké výběry) Dvouvýběrový z-test na střední hodnotu slouží k testování shody středních hodnot dvou nezávislých výběrů které pocházejí z normálního rozdělení přičemž známe rozptyl v základním souboru. Dvouvýběrový párový t-test na střední hodnotu testuje shodu středních hodnot v párových výběrech. 4

5 Výstupem testu je tzv. p-hodnota je-li p-hodnota menší než zvolená hladina významnosti pak testovanou hypotézu zamítáme a je-li větší pak testovanou hypotézu nezamítáme. Zamítli bychom ji až na hladině významnosti která by se rovnala právě p-hodnotě. Je-li p-hodnota vyšší než zvolená hladina významnosti pak testovanou hypotézu nezamítáme. Př. 7.4 a) Uvažujte soubor deti.xlsx z příkladu 6.3. Testujte na hladině významnosti 005 že průměrná porodní hmotnost dítěte je 3 kg. Využijte funkci ZTEST. b) Vypočtěte příklad 7.3 v MS Excel pomocí funkce TTEST a pomocí modulu Analýza dat. Neparametrické testy Chí-kvadrát (χ 2 ) test dobré shody Co testujeme? porovnání výběrového rozdělení četností (tj. četností které jsme skutečně vypozorovali při Příklad využití Test náhodném výběru) a teoretického rozdělení četností (tj. četností které v základním souboru předpokládáme již před provedením náhodného výběru) Chceme ověřit teoretický předpoklad o poměrném zastoupení skupin v základním souboru např. předpokládáme že z narozených dětí je 485 % dívek a 515 % chlapců. Provedeme náhodný výběr a testujeme zda poměr narozených dívek a chlapců odpovídá našemu předpokladu. Chceme ověřit zda data která máme k dispozici vykazují normální rozdělení. Porovnáváme pak četnosti jednotlivých hodnot v našich datech s četnostmi kterých by jednotlivé hodnoty nabývaly v případě normálního rozdělení. nulová hypotéza říká že v konečném základním souboru roztříděném podle nějakého znaku do k skupin jsou podíly jednotlivých variant rovny číslům π 01 π 02 π 0k. alternativní hypotéza nulovou popírá H : π =π = = : 0 testové kritérium G porovnává výběrové a teoretické četnosti v každé skupině (počet skupin = k) a za předpokladu velkého výběru (teoretické četnosti alespoň větší než 5 v každé skupině) má přibližně chí-kvadrát rozdělení s ν = k-1 stupni volnosti. 5

6 Testovým kritériem je náhodná veličina: = kde jsou teoretické (předpokládané) absolutní četnosti v základním souboru a jsou empirické (skutečné) absolutní četnosti ve výběrovém souboru. Testové kritérium má při platnosti nulové hypotézy rozdělení 1. Kritický obor: =< 1 Př. 7.5 Při opakovaném házení hrací kostkou byly z 60 hodů zjištěny tyto výsledky: Hodnota (x i) Četnost (n i) Ověřte na hladině významnosti α = 001 že kostka je v pořádku tj. že má těžiště v geometrickém středu. Chí-kvadrát test dobré shody v MS Excel Funkce CHITEST (aktuální = skutečné napozorované četnosti očekávané = teoretické četnosti v případě nezávislosti) výstupem je opět p-hodnota. Při interpretaci výsledku pozor na význam nulové hypotézy. Nulová hypotéza říká že empirické rozdělení četností odpovídá předpokládanému rozdělení četností. 6