POČÍTAČOVÁ FORMALIZACE MENTÁLNÍCH MODELŮ METODAMI JAZYKOVÉHO FUZZY MODELOVÁNÍ

POČÍTAČOVÁ FORMALIZACE MENTÁLNÍCH MODELŮ METODAMI JAZYKOVÉHO FUZZY MODELOVÁNÍ ON MENTAL MODELS FORMALIZATION THROUGH THE METHODS OF LINGUISTIC FUZZY MODELLING Miroslav POKORNÝ, Jan LAVRINČÍK, Jiří DOSTÁL Moravská vysoká škola Olomouc, o.p.s., Ústav informatiky miroslav.pokorny@mvso.cz, jan.lavrincik@mvso, dostalj@mvso.cz Abstrakt: Úroveň rozhodování ekonomických a manažerských problémů je závislá na znalostech, zkušenostech a často i na intuici oborníků. Počítačová realizace takových rozhodovacích procesů vyžaduje nalezení způsobu abstraktní reprezentace mentálních modelů rozhodovacích situací a realizaci počítačových procedur, které umožní využívat takové počítačové modely se stejnou efektivitou jako člověk expert v daném oboru. Tyto problémy řeší přístupy vědního oboru umělá inteligence. Příspěvek je věnován vysvětlení základních principů použití fuzzy množinové matematiky a fuzzy logiky ke konstrukci odpovídajících jazykových pravidlových modelů. Na řešení zjednodušeného problému odhadu zisku je prokázáno, že praktické sestavení fuzzy modelu a jeho používání je možno provádět i bez hlubší znalosti teorie fuzzy množinové matematiky a fuzzy logiky. Klíčová slova: mentální model, expertní znalosti, znalostní systémy, vágnost, fuzzy množina, jazykové podmíněné pravidlo, fuzzy model, fuzzy logika, přibližné usuzování Abstract: The quality of economical and managerial decision making depends on knowledge, experiences and often on experts intuition. The adequate computerized decision-making system requires solution of task of mental model abstract representation and solution of task of specific procedures capable to utilize such abstract models effectively like a human expert. Such problems are scope of interest of a special scientific field - artificial intelligence. This contribution is aimed on principles of fuzzy set and fuzzy logic theory explanation to construct of adequate linguistic rule based fuzzy models. The simple numerical case study argues the possibility of practical creation and exploitation of fuzzy a models without deep knowledge of fuzzy oriented theoretical fundamentals. Keywords: mental model, expert knowledge, knowledge systems, vagueness, fuzzy set, linguistic conditional rule, fuzzy model, fuzzy logic, aproximative reasoing ÚVOD Rostoucí výkon a kvalita informačních technologií a informačních systémů jsou zdrojem růstu množství dat a z nich plynoucích informací, které jsou při řešení složitých rozhodovacích problémů manažerům k dispozici. I když jsou relevantní informace podmínkou pro správné rozhodování, nejsou 17

podmínkou jedinou. Dalšími podklady, podmiňujícími výkon a kvalitu manažerů, jsou v naší souvislosti úroveň jejich manažerských schopností, plynoucí mj. z jejich odborných znalosti. Pod pojmem znalostí rozumíme jasnou a zaručenou představu odborníka o věci nebo události, nejčastěji ve formě studiem nabytých vědomostí, praktických zkušeností, dovedností, a poznání [1], [2]. Mezi znalostmi a informacemi můžeme nalézt vztah komplementarity. Ten je dán tím, že znalosti se formulují na základě informací, které získáváme procesem vnímání. Znalosti je přitom potřeba neustále modifikovat a aktualizovat, aby odrážely současnou realitu. V procesu rozhodování musíme uplatnit jak informace, tak i znalosti. Role informací spočívá v tom, že díky jim se dovídáme o nových a konkrétních faktech a skutečnostech, které jsou pro rozhodování nezbytné. Důležitost znalostí pak spočívá v tom, že teprve na jejich základě můžeme informacím přiřadit určitý význam. Aby informace splnily svoji roli, je nezbytné mít potřebné znalosti pro jejich vlastní interpretaci. Znalosti manažerů představují významný potenciál, který je možno považovat za zdroj zvýšení jejich výkonu. Otázkou je systematické využívání takového zdroje jeho řízení, správa a využívání takovým způsobem, aby přispíval k rychlejšímu a kvalitnějšímu řešení manažerských úloh. Tímto problémem se zabývá odvětví systémové vědy - management (správa) znalostí [1]. Z hlediska jejich zdrojů můžeme lidské znalosti rozdělit do dvou kategorií. V první jsou znalosti hluboké - objektivní, jejichž zdrojem je vlastní poznání přírodních a společenských dějů ve formě zákonů, které v těchto oblastech platí. Jsou to znalosti a vědomosti, dostupné více či méně široké odborné veřejnosti. Jsou produktem analytických, abstraktních a teoretických postupů zkoumání jevů reality. Objektivní znalosti jsou vyjadřovány formou analytických matematických vztahů rovnicemi, soustavami rovnic, nerovností a formulemi klasické logiky. Druhou kategorii znalostí označujeme jako znalosti mělké - subjektivní, (nikoli však povrchní!). Jsou to poznatky, jejichž zdrojem je dlouhodobá zkušenost, praxe a vlastní experimentování. Jsou to znalosti, které kvalifikují úroveň experta. Jsou představovány zkušenostmi, heuristikami, metaznalostmi, osobními názory a intuicí (obecně nazývané know-how), u nichž mnohdy ani nelze dokázat jejich obecnou platnost expert pouze ví, že jejich použití v mnohých případech vedlo k úspěchu. Subjektivní znalosti jako takové nejsou formalizovatelné matematickými prostředky, nýbrž prostředky nenumerickými, nejčastěji jazykovými. Z hlediska využití lidských poznatků je důležité, že praktické zkušenosti jsou základem daleko detailnějších a kvalitnějších modelů, než jaké lze získat a v paměti uchovat teoretickým učením. Znalosti z určité problémové oblasti jsou zdrojem vytvoření abstraktního mentálního modelu, který v naší mysli tuto oblast (realitu) reprezentuje. Charakteristiky objektů přitom vnímáme pomocí pozorování a měření. Proces mentálního modelování určité reality probíhá buď na základě systematické činnosti, nebo podvědomě. V prvním případě můžeme hovořit o procesu teoretického učení (využití objektivních znalostí), ve druhém o uplatnění expertních zkušeností (využití subjektivních znalostí). Mentální modely využíváme k myšlenkovému popisu vlastností objektu a k myšlenkové predikci jeho chování. Provádíme tak simulace v procesu myšlení. Manažer, který je vybaven takovým mentálním aparátem, může např. mnohem lépe předpovídat vliv jednotlivých alternativ rozhodnutí na vlastní objekt a tím s mnohem větší pravděpodobností pak vybrat alternativu optimální [2]. Podstatným závěrem je přitom skutečnost, že mentální model není v principu modelem numerickým, matematickým, nýbrž modelem nenumerickým jazykovým. Velký význam mají mentální modely zvláště dnes, kdy superturbulentní doba a doba náhlých nespojitých zvratů přináší stále častější a nečekané odchylky od obecných zákonitostí. Např. klasické metody predikce chování soustav (obecné statistické metody, založené na extrapolaci, trendech, 18

vlastnostech řad) jsou stále méně použitelné a stéle větší význam má využití znalostí, zkušeností, heuristik až intuice. V dalších částech příspěvku bude věnována pozornost fuzzy množinovým a fuzzy logickým přístupům. Tyto přístupy jsou zdrojem metod, které umožňují počítačovou formalizaci objektivních a hlavně subjektivních znalostí ve speciálních znalostních modelech, využitelných pro počítačovou podporu řešení složitých úloh ve všech oblastech expertního manažerského rozhodování. V důsledku se pak jedná o strojovou formalizaci expertních mentálních modelů a jejich využití pro uživatelsky přístupné počítačové simulace. ZNALOSTNÍ MODELOVÁNÍ Uvažujeme-li o problému vybudování takového programového systému, který by řešil daný problém stejně kvalitně jako expert, musíme vyřešit dvě základní úlohy. - jakým způsobem formalizovat v počítači subjektivní expertní znalosti, tedy jak formalizovat v počítači mentální model; - na jakých principech vybudovat logické algoritmy, které budou nad těmito znalostmi (nad formálním modelem) operovat, s cílem jazykový model využít obdobným způsobem, jakým používá svůj mentální model člověk. Řešení těchto problémů spadá do oblasti zájmu nekonvenčního vědního oboru umělá inteligence. V jejím rámci byly mj. vyvinuty metody znalostního modelování, na jejichž principech je možno budovat jazykové, slovní (a tudíž nenumerické) modely a realizovat nekonvenční lingvistické logiky [2], [3]. Počítačová reprezentace jazykových popisů vyžaduje použití takových metod, které umožňují formalizaci velmi důležité vlastnosti slov přirozeného jazyka, jejich přirozené neurčitosti - vágnosti. Zkušenost ukazuje, že jakoukoliv lidskou znalost lze vyjádřit pomocí jazykových pravidel typu JESTLIŽE-PAK (anglicky IF-THEN). V jejich počítačové (a tedy nutně numerické) reprezentaci se k formalizaci významu a vágnosti slov používá aparátu fuzzy množinové matematiky a jazykové fuzzy logiky. Množina takových pravidel se pak nazývá jazykový fuzzy model neboli báze znalostí. Fuzzy logické algoritmy, operující nad takovou bází znalostí a provádějící simulační výpočty, se nazývají inferenční nebo řídicí mechanizmy. [3], [4]. Obecný tvar pravidla jazykového modelu je IF ( A) THEN ( K ) (1) kde část A je výrok o velikosti vstupní proměnné a nazývá se antecedent (podmínka, předpoklad), část K je odpovídající výrok o velikosti výstupní proměnné a nazývá se konsekvent (důsledek, závěr). V případě modelu s více vstupními proměnnými jsou tvrzení o jejich velikosti v tzv. složném (vícenásobném) antecedentu vázána logickou spojkou konjunkce (and) IF A ) and( A ) and... and( An ) THEN( ) (2) ( 1 2 K Jako ilustrační příklad uvažujme fragment jednoduchého mentálního modelu závislosti zisku na velikosti odbytu a nákladů. Nechť takový model zahrnuje mj. takovou znalost: V situaci, kdy odbyt je vysoký a náklady jsou nízké, bude zisk vysoký. Pokud je však odbyt pouze střední vysoký a náklady zůstanou vysoké, bude zisk pouze střední. Označme dvě vstupní jazykové proměnné modelu ODBYT (ODB) a NÁKLADY (NAKL), jejich jazykové hodnoty (které budeme pro formalizaci naší znalosti v počítači potřebovat) VYSOKÝ (VYS), NÍZKÝ (NIZ) a STŘEDNÍ (STR). Výstupní jazykovou proměnnou ZISK označme identifikátorem Z a její 19

potřebné jazykové hodnoty VYSOKÝ (VYS) a STŘEDNÍ (STR). Taková znalost bude v jazykovém fuzzy modelu formalizována dvěma pravidly R 1 a R 2, která budou mít podle (2) tvar: R1: IF (ODB is VYS) and (NAKL is NIZ) THEN (Z is VYS) R2: IF (ODB is STR) and (NAKL is NIZ) THEN (Z is STR) (3) Pravidla R 1 a R 2 představují jen fragment fuzzy modelu úplný popis závislosti zisku na odbytu a nákladech je složitější a vyžadoval by zahrnutí dalších vstupních proměnných a vytvoření dalších pravidel, jejichž soustava pak bude tvořit model úplný. FUZZY MNOŽINY A FORMALIZACE VÁGNOSTI JAZYKOVÝCH POJMŮ Jak již bylo uvedeno, neurčitost chování složitých objektů, vyjadřovaná pojmy jako velmi velký, téměř nulový, asi deset má charakter slovní (pojmové, jazykové) neurčitosti - vágnosti. Její formalizace je pro konstrukci jazykových (slovních, lingvistických, nenumerických) popisů objektů základním problémem. Pro formalizaci vágnosti bylo vyvinuto několik metod, z nichž největšího rozšíření doznala metoda tzv. mlhavých, neostrých neboli fuzzy množin [3], [4]. Pokusme se formalizovat vágní pojmy malý zisk a velký zisk pomocí klasických matematických intervalů. Nechť je hranice intervalů malého a velkého zisku rovna 1milKč. Systém, používající intervalové metody, označí konkrétní zisk ve výši 1milKč za malý, kdežto zisk ve výši 1 000 001.-Kč již za velký. Jinými slovy suma 1milKč bude náležet do množiny zisků malých, kdežto částka 1 000 001.-Kč bude již náležet do množiny zisků velkých. Je evidentní, že takto žádný člověk ve svém mentálním modelu zisk neklasifikuje přístup je absolutně hrubý a systém, který by jej využíval, nebude zřejmě produkovat žádné sofistikované závěry. Takový přístup lidskému myšlení rozhodně neodpovídá a v žádném případě jej nelze považovat za inteligentní. Situace je dána tím, že klasická množinová teorie zná pouze dvě hodnoty náležení prvku x do množiny A a to 1 absolutní náležení, 0 absolutní nenáležení (odpovídající dvouhodnotové životní filozofii černý-bílý, ano-ne, platí-neplatí, pravda-nepravda ). μ ( x) 0; (4) A [ 1] V mentálních modelech používáme běžně klasifikaci typu ani velký ani malý, avšak spíše malý nebo ani velký, ani malý, spíše však velký. Takový přístup, který nám umožňuje velice snadno dané množství jazykově kvantifikovat a také v daném konceptu pojímat, je pro naše myšlení typický. Schopnost efektivní práce s takovými jazykovými kvanty je jedním ze základů kvality našeho uvažování. Počítačová formalizace takové kvantifikace je umožněna přechodem od množin obyčejným k fuzzy množinám (fuzzy znamená neurčitý, mlhavý, rozmazaný, ne zcela přesně vymezený). Tento přechod je dán tím, že stupeň příslušnosti prvku x do fuzzy množiny A je definován jako reálné číslo z uzavřeného intervalu <0,1>, tedy μ ( x) 0,1 (5) A Tímto krokem zachováme původní příslušení nebo nepříslušení absolutní (hraniční hodnoty 1 nebo 0), umožníme však i možnost příslušení částečného, které můžeme libovolně spojitě kvantifikovat reálným číslem mezi 0 a 1. Tak např. množství x 1, které je ani velké ani malé, avšak spíše malé je označeno stupněm své příslušnosti do fuzzy množiny M množství malých hodnotou 0,7 μ ( x 1 ) = 0,7 M a současně má stupeň příslušnosti 0,3 do fuzzy množiny V množství velkých. μ ( x 1 ) = 0,3. V 20

Situace je nakreslena na Obr.1. Fuzzy množiny M (Malý) a V (Velký) jsou zadány funkcí, které přiřazují každé hodnotě nezávisle proměnné x stupeň její příslušnosti μ M(x) a μ V(x) (jako číslo z intervalu <0,1>) k jejím jazykovým hodnotám M a V. Obr.1 Fuzzy množiny jazykových hodnot MALÝ a VELKÝ jazykové proměnné x Fuzzy množinová matematika nám takto umožňuje velmi jednoduše pomocí fuzzy množin - vyjadřovat stupeň vágnosti slovních pojmů. Hlubší pohled na tuto problematiku vyžaduje jejich podrobnější studium. V tomto příspěvku jsme se omezili pouze na vysvětlení základní role fuzzy množin v metodě počítačové formalizace vágnosti, nutné k vysvětlení konstrukce fuzzy modelů, tak jak to bude uvedeno v další kapitole. FUZZY LOGIKA A PŘIBLIŽNÉ USUZOVÁNÍ Základem počítačových systémů pro simulaci expertního usuzování je jazykový pravidlový fuzzy model, složený ze souboru pravidel (1). Jak již bylo uvedeno, fuzzy pravidlo IF (x is A) THEN (y is B) (6) vyjadřuje kauzální vztah mezi proměnnými x a y. Jestliže jazyková proměnná x nabude své jazykové hodnoty A, důsledkem je stav, kdy jiná jazyková proměnná y nabude své jazykové hodnoty B. Pravidlo (6) představuje prakticky nejjednodušší formu modelu závislosti velikosti y na x dokonalejším mdelem je soustava takových pravidel viz (3). Uvažujme nyní případ, kdy víme, že jazyková proměnná x nabude své jiné, modifikované jazykové hodnoty, např. A m, tedy (x is A m). Ptáme se, jaké jazykové hodnoty nabude nyní jazyková proměnná y? Tato úloha odpovídá využití pravidla (6) k simulačnímu experimentu. K odpovědi na tuto otázku je použit proces tzv. přibližného usuzování (aproximativní inference). Jde o postup logického usuzování a k jeho konstrukci je použito známé logické pravidlo modus ponens, v němž jsou místo obyčejných výroků použity fuzzy výroky: Podmínka: Jestliže (x je A) pak (y je B) Premisa: x je A m Závěr: y je Bm (7) Pro ilustraci uveďme jednoduchý v literatuře často uváděný příklad využití pravidla pro řešení konkrétního případu: Podmínka: Jestliže (Rajské jablíčko je Červené) pak (Rajské jablíčko je Zralé) Premisa: Rajské jablíčko je Velmi Červené Závěr: Rajské jablíčko je Velmi Zralé (8) 21

Fuzzy výroky A a B o velikosti jazykových proměnných x a y v (7) byly v našem případě (8) modifikovány jazykovým operátorem velmi. Odpovídá to konvenčnímu případu, kdy do obecného modelu (Podmínka) dosadíme vstupní hodnotu (Premisa) a vypočítáme odpovídající velikost hodnoty výstupní (Závěr). V případě popisu soustavy s n- vstupními a jednou výstupní proměnnou použijeme složitějšího fuzzy modelu - soustavy pravidel ve tvaru R 1: IF (x 1 is A 11) and (x 2 is A 21) and and (x n is A n1 ) THEN (y is B1 ) R 2: IF (x 1 is A 12) and (x 2 is A 22) and and (x n is A n2 ) THEN (y is B2 ) R R: IF (x 1 is A 1R) and (x 2 is A 2R) and and (x n is A nr ) THEN (y is BR ) (9) Použití takového modelu pro simulační experimenty se opět řídí pravidlem fuzzy modus ponens (7). Závěr, tj. tvar výstupní modifikované fuzzy množiny Bm při dosazení konkrétních hodnot vstupních proměnných x 1 až x n, získáme výpočtovým algoritmem, využívajícím zákonů fuzzy logiky. Vysvětlení a popis této operace, nazývané fuzzy kompozice, vyžaduje hlubší znalosti fuzzy množinových a fuzzy logických operací, které lze získat např. v [3], [4] (této problematice bude v příštím čísle časopisu EMI věnován zvláštní příspěvek). Praktické sestavení fuzzy modelu a jeho používání je možno provádět i bez znalosti teorie fuzzy logiky. Ukázka je obsahem následující části tohoto přípěvku. PŘÍPADOVÁ STUDIE Sestavme fuzzy model, vycházející ze zjednodušeného mentálního modelu pro odhad výše zisku na základě ceny výrobku, jeho kvality a úrovni konkurence na trhu. Model je z hlediska ekonomiky jednoduchý a nijak expertně náročný. Je však volen tak, aby byl naprosto srozumitelný postup jeho tvorby. Jeho vstupní proměnné jsou voleny tak, aby byly formalizovatelné jak numericky v korunách (zisk, cena) tak jazykovým ohodnocením kvalitativními slovními kvantifikátory (kvalita, konkurence). Uvažovaný systém má tedy tři vstupní jazykové proměnné a jednu jazykovou proměnnou výstupní s následujícími identifikátory, univerzy a jazykovými hodnotami Cena výrobku CV [tiskč] Nízká NI Vysoká VY Kvalita výrobku KV [0-100] Nízká NI Střední ST Vysoká VY Konkurence KO [0 100] Nízká NI Vysoká VY Zisk ZI [tiskč] Velmi nízký VN Nízký NI Střední ST Vysoký VY Velmi vysoký VV Implementace modelu je provedena v prostředí Fuzzy ToolBoxu balíku matematických programů MATLAB [5]. Na Obr.1 až Obr.4 jsou uvedena editační interaktivní okna pro návrh funkcí příslušnosti jazykových hodnot vstupních proměnných Cena výrobku, Kvalita výrobku a Konkurence a výstupní 22

proměnné Zisk. Z grafů lze odečíst parametry fuzzy množin hodnoty bodů zlomů jejich aproximačních přímek. Pro maximální možnou rozlišovací schopnost modelu jsou voleny trojúhelníkové funkční aproximace. Obr.1 - Tvary funkcí příslušnosti fuzzy množin jazykových hodnot proměnné KV Obr.2 - Tvary funkcí příslušnosti fuzzy množin jazykových hodnot proměnné CV 23

Obr.3 - Tvary funkcí příslušnosti fuzzy množin jazykových hodnot proměnné KO Obr.4 - Tvary funkcí příslušnosti fuzzy množin jazykových hodnot proměnné ZI Báze znalostí, formalizující mentální model pro odhad velikosti zisku, má 12 pravidel, jejichž podmínkové části představují všechny možné kombinace jazykových hodnot vstupních proměnných. Ohodnocení jednotlivých kombinací, tj přiřazení příslušných jazykových hodnot zisku, je evidentní. 24

Model je volen jako ilustrační, principiální a obecně pochopitelný, čtenář si může tvary pravidel sám zkontrolovat. Pravidla jsou uvedena v následujíc tabulce Tab.1. č. KV CV KO ZI 1 NI NI NI NI 2 NI VY NI ST 3 NI NI VY VN 4 NI VY VY NI 5 ST NI NI ST 6 ST VY NI VY 7 ST NI VY NI 8 ST VY VY ST 9 VY NI NI VY 10 VY VY NI VV 11 VY NI VY ST 12 VY VY VY VY Tab.1 - Jazyková pravidla fuzzy modelu Závislosti zisku na jednotlivých vstupních proměnných jsou uvedeny graficky na Obr.5 až Obr.7.. Obr.5 Závislost zisku na kvalitě a ceně výrobku 25

Obr.6 Závislost zisku na kvalitě výrobku a úrovni konkurence Obr.7 Závislost zisku na kvalitě výrobku Na Obr.8 až Obr.10 jsou uvedena simulační interaktivní okna, v nichž lze především nalézt tvary pravidel z Tab.1.Číselné velikosti hodnot vstupních proměnných při simulacích jsou nastavovány číselným zadáním (okno Input nebo záhlaví sloupců) nebo tahem kurzoru myší po osách nezávisle proměnných, tvar vyvozené výstupní fuzzy množiny je v pravém sloupci dole. Současně je červenou čarou uvedena poloha souřadnice těžiště plochy její funkce příslušnosti jako číselná deffuzifikovaná výstupní hodnota (uvedena opět v záhlaví slupce). 26

Obr.8 - Simulační interaktivní okno zisk Nízký Obr.9 - Simulační interaktivní okno zisk Střední 27

Obr.10 - Simulační interaktivní okno zisk Vysoký Ilustračně jsou uvedeny tři simulační experimenty,z nichž první vede k odhadu zisku spíše nižšího (383tisKč), druhý středního (500tisKč) a třetí spíše vyššího (652tisKč). Odpovídající nastavené numerické hodnoty vstupů a americkou hodnotu příslušného výstupu lze odečíst v okně Input nebo v záhlaví sloupců. Důležitou vlastností jazykového modelu je možnost vysvětlení, kterých znalostí bylo použito pro konkrétní vyvození tzv. vysvětlovací mechanizmus.. Ten je v případě matematického modelu nemožný. Jsou vždy použita ta pravidla, jejichž výstupní (modifikované) fuzzy množiny jsou v pravém sloupci ZISK vyznačeny modrou barvou. ZÁVĚR Kvalita procesu rozhodování je dána kvalitou mentálních modelů, které mají pro své rozhodování experti ve svém mozku k dispozici. Tyto modely jsou postaveny jak na jejich znalostech objektivních (obecně dostupných, např. přírodní či společenské zákony), tak hlavně na jejich znalostech subjektivních (zkušenostech, heuristikách, intuici know-how). Pro počítačovou formalizaci takových mentálních zřejmě nenumerických, jazykových modelů je potřeba vyřešit problém formální reprezentace lidských znalostí a problém realizace procedur, které by operacemi nad těmito znalostmi vyvozovaly obdobně kvalitní závěry, jako expert sám. Tato problematika je řešena v rámci vědního oboru umělá inteligence. Jedná se o znalostní modely a speciální vyvozovací mechanizmy, postavené na nekonvenčních principech nenumerického modelování. Příspěvek uvádí teoretické základy a příklad jazykového modelu, využívajícího principů fuzzy množinové matematiky a fuzzy logiky. Příspěvek ukazuje, že konstrukce a použití jazykových fuzzy modelů hlubší znalosti těchto speciálních disciplín od uživatele ani nevyžaduje. 28

Poděkování Tento příspěvek vznikl s využitím finanční podpory projektu CZ.1.07/2.3.00/09.0134: Aplikovatelný systém dalšího vzdělávání ve VaV. Literatura [1] WISNIEWSKI, M. Metody manažerského rozhodování. GRADA Publishing, 1996, ISBN 80-7169-089-9. [2] DOSTÁL, P. aj. Pokročilé metody manažerského rozhodování. GRADA Publishing, 2005, ISBN 80-247-1338-1. [3] POKORNÝ, M. Umělá inteligence v modelování a řízení. BEN Praha, 1996, ISBN 80- - 901984-4-9. [4] NOVÁK,V.: Základy fuzzy modelování, BEN Praha, 2000, ISBN 80-7300-009-1. [5] MATLAB Fuzzy ToolBox, Simulink, MathWorks, Inc. MATLAB 7.7, Natick, MA 2003. 29