FYZIKA II Petr Praus 7. Přednáška stacionární magnetické pole náboj v magnetickém poli
Osnova přednášky Stacionární magnetické pole Lorentzova síla Hallův jev Pohyb a urychlování nabitých částic (cyklotron, synchrotron) Ampérova síla Magnetický dipól Magnetické pole el.proudu, Biotův Savartův zákon Ampérův zákon Magnetické pole přímého vodiče (vně i uvnitř)
Stacionární magnetické pole Magnetické indukční siločáry tvoří uzavřené křivky, které uvniř magnetu procházejí od J k S, vynořují se ven ze S a zanořují zpět do J Ani na atomární úrovní se nikdy nepodařilo nalézt magnetický monopól Elektromagnety, permanentní magnety
Magnetické indukční siločáry
Definice magnetické indukce Magnetické pole: a) vzniká pohybem elektricky nabitých částic např. ve vodičích b) elementární částice (např. elektrony) mají také ve svém okolí magnetické pole Vektor magnetické indukce: Magnetická indukce je vektor o směru v F=0, přičemž pro rychlost kolmou (φ=90 ) je síla maximální Na nabitou částici, pohybující se v magnetickém poli, působí pole jistou silou Lorentzova síla: Síla působící na nabitou částici je rovna součinu jejího náboje Q a vektorového součinu její rychlosti v a magnetické indukce B Homogenní magnetické pole má magnetickou indukci 1 T, působí-li na přímý vodič s aktivní délkou 1 m kolmý k indukčním čárám a protékaný stálým proudem 1 A silou 1 N
Určení Lorentzovy síly působící na částici Velikost Lorentzovy síly, která působí na částici v magnetickém poli je úměrná jejímu náboji a rychlosti. Síla je nulová pokud má částice nulový naboj, nebo se nepohybuje, nebo jsou vektory rychlosti v a magnetické indukce B rovnoběžné. Síla je maximální jsou-li tyto vektory na sebe kolmé. Pravidlo pravé ruky:
Demonstrace Lorentzovy síly působící na částici Experiment v bublinkové komoře naplněné tekutým vodíkem a umístěné v silném magnetickém poli γ záření vyrazí elektron z vodíkového atomu a současně vzniká pozitron a elektron
Vychylování elektronů v katodové trubici Zkřížená pole E a B, jejichž silové působení se vzájemně ruší (objev elektronu, J.J. Thomson Cambridge University, 1897) Výchylka nabité částice v poli E: Thomsonův experiment: L délka destiček, m hmotnost částice, která vletěla do trubice rychlostí v Rychlost při kolmých polích: dosazením za v Zkřížená pole umožňují měřit rychlost nabitých částic, veličiny vpravo můžeme změřit a určit měrný náboj Q/m
Hallův jev Edwin H. Hall 1879 Ukázal, že elektrony, které se pohybují driftovou rychlostí v kovovém vodiči jsou vychylovány magnetickým polem podobně jako v katodové trubici. Umožňuje zjistit polaritu nosičů náboje, jejich počet v objemové jednotce vodiče (koncentraci) a také driftovou rychlost. Při zapnutém magnetickém poli B kolmém k rovině vodiče na náboje ve vodiči začne působit Lorentzova síla F B a tlačí je ke straně v závislosti na jejich polaritě a vznikne elektrické pole E. Ustaví se rovnováha, kdy elektrická síla působící na elektrony poroste tak dlouho, až se vyrovná opačně působící magnetické síle a nadále se pohybují driftovou rychlostí. Připojením voltmetru k okrajům vodiče můžeme Hallovo napětí změřit Je-li elektrická síla v rovnováze s magnetickou pak: přičemž Proužek Cu vodiče v kolmém magnetickém poli B a) Stav po zapnutí magnetického pole b) Ustálený stav záporně nabité nosiče c) Ustálený stav kladně nabité nosiče Kde J=I/S je hustota proudu v proužku, S obsah příčného průřezu a n počet nosičů náboje v objemové jednotce vodiče Koncentrace nosičů náboje :
Pohyb nabité částice po kružnici Pohybuje-li se částice rovnoměrně po kružnici, výsledná dostředivá síla musí mít stálou velikost, kolmou k rychlosti v částice. Parametry pohybu (pro rovnoměrný pohyb po kružnici dle Druhého Newtonova zákona platí: Frekvence nezávisí na velikosti rychlosti částice. Rychlé, resp. pomalé částice se pohybují po kružnicích o velkém resp. malém r, všechny částice se stejným poměrem Q/m potřebují stejnou periodu k vykonání oběhu. Kladné částice obíhají v kladném směru (proti hod.ručičkám) a záporné v opačném, pokud se díváme ve směru B
Princip hmotového spektrometru
Princip hmotového spektrometru
Pohyb nabité částice po šroubovici Nabitá částice letící v homogenním magnetickém poli s nenulovou složkou rychlosti ve směru B se pohybuje po šroubovici ve směru pole. Rovnoběžná složka určuje stoupání mezi závity a kolmá poloměr šroubovice Magnetická past (nádoba)
Polární záře Zemské pole se chová jako magnetická past Van Allenovy radiační pásy - elektrony a protony, zachycené mezi severním a jižním geomagnetickým pólem Země. V místech odrazu vzniká elektrické pole, které ruší odraz, kde se elektrony srážejí s molekulami kyslíku a dusíku a vyvolávají jejich záření. Polární záře nad Jupiterem v UV oblasti spektra Zemská polární záře, zelená kyslík, růžová dusík
Cyklotron a synchrotron Cyklotron - urychlování částic napětím v magnetickém poli (desítky MeV). Komora (průměr až několik m) s duanty se nachází mezi póly silného magnetu (1,5 T). Duanty s různým napětím, řízeným oscilátorem jsou z neferomagnetického elektricky vodivého materiálu (Cu). Vystřelený proton ze zdroje je urychlován na štěrbině a vzhledem k magnetickému poli se pohybuje po kruhové dráze jejíž poloměr je úměrný rychlosti, přičemž oscilátor řídí frekvenci a polaritu tak, aby byl urychlován. Frekvence obíhání protonu tedy musí být rovna frekvenci oscilátoru. (poloměr dráhy) Q a m jsou konstantní, f nastaveno konstantně cyklotron tedy ladíme pomocí B U cyklotronu nad 50MeV nastávají relativistické jevy, protony vypadávají z rytmu a rozměry magnetu by neúměrně narůstaly. Protonový synchrotron konstrukčně navržený tak, že B i f se mění aby částice byly v rezonanci a dráha je kruhová, pak stačí, aby magnetické pole bylo podél dráhy (pro vysoké energie je je však nutný velký poloměr dráhy (obvod typicky několik km)
Synchrotron
Ampérova síla Na elektrony ve vodiči působí v magnetickém poli boční síla (podobně jako u Hallova jevu) a protože jej nemohou opustit přenáší se na vodič. Síla působí v závislosti na směru proudu, nebo magnetického pole. = Síla, kterou působí mag. pole B na úsek vodiče L, protékaném proudem I, v rovině kolmé k B
Ampérova síla V případě, že magnetické pole B není kolmé k vodiči obecně platí: Nepřímý vodič můžeme rozdělit na úseky ds a pak platí: Výslednou sílu, působící na proudovodič libovolného tvaru získáme integrací a nazýváme ji Ampérova síla
Moment síly působící na proudovou smyčku Využití síly, kterou působí magnetické pole na vodič protékaný proudem v elektrických motorech, posuvech a měřicích přístrojích Výsledný moment působící na smyčku: Pro plochou cívku složenou z N závitů platí:
Magnetoelektrický měřící systém
Magnetický dipól Cívku protékanou proudem můžeme charakterizovat pomocí jejího magnetického dipólového momentu µ. Směr µ je stejný jako směr normálového vektoru n. Potom platí: Analogický vztah jako pro moment, kterým působí elektrické pole na elektrický dipól Silový moment způsobený jakýmkoliv vnějším polem je roven vektorovému součinu příslušného dipólového momentu (p nebo µ) s vektorem E nebo B. Protože magnetické pole působí na dipól (cívku) momentem síly, koná se při otáčení dipólu práce a má tedy určitou potenciální energii: Práce potřebná pro otočení magnetického dipólu o 180
Magnetické pole elektrického proudu Elektrické pole Magnetické pole Velikost vektoru de vyjádříme: Vektorově: Magnetické pole elektrického proudu: Infinitezimální proudový délkový element I.ds vytváří magnetické pole db v bodě P. Výsledné pole o indukci B vypočteme integrací příspěvků db od všech proudových elementů. Vzorec pro velikost db v libovolném bodě P vytvořené I ds: Vektor db má směr daný vektorovým součinem ds x r, kde r je polohový vektor směřující od bodu P Veličina popisující pole klesá se čtvercem vzdálenosti od zdroje (I ds)
Magnetické pole dlouhého přímého vodiče Na základě Biot-Savartova zákona je velikost magnetické indukce ve vzdálenosti R od nekonečně dlouhého přímého vodiče, protékaného proudem I je podle vyjádřena vztahem: Velikost magnetické indukce B je dána pouze velikostí proudu a vzdáleností bodu od vodiče Pro určení směru magnetického pole přímého vodiče používáme pravidlo pravé ruky Vizualizace magnetického pole Fe pilinami
Magnetické pole kruhového oblouku Příspěvek k magnetické indukci B v bodě S, vytvořený každým proudovým elementem ve tvaru oblouku má stejnou velikost. Příspěvky z kteréhokoliv místa vodiče mají tentýž směr. Úhel je udáván v obloukové míře Vztah platí pro magnetickou indukci ve středu kruhového oblouku vodiče
Magnetické pole dvou rovnoběžných vodičů Pro magnetickou indukci Ba v místě vodiče b a sílu, kterou působí toto pole na úsek vodiče o délce L platí: Definice ampéru:
Ampérův zákon Ampérův zákon (zákon celkového proudu): Integrujeme po uzavřené orientované křivce libovolného tvaru (tzv. Ampérově křivce) Spojuje cirkulaci vektoru B (levá strana rovnice) s proudy, které pole vytvářejí. Ic je součtem všech proudů obepnutých křivkou. Situace pro 3 dlouhé přímé vodiče kolmé k rovině křivky: V místě elementu ds je indukce magnetického pole, tvořeného 3 proudy, B Skalární součin B.ds je roven B cos θ ds Součin infinitezimální délky ds Ampérovy křivky se složkou B cos θ ds magnetické indukce B ve směru tečny k Ampérově křivce. Integrace vyjadřuje součet všech těchto součinů podél celé křivky
Ampérův zákon Celkový proud obepnutý smyčkou: Příspěvek proudu, který není obepnut Ampérovou křivkou (zde I 3 ) k cirkulaci magnetické indukce B je vždy nulový. K cirkulaci B přispívají pouze proudy obepnuté ampérovou křivkou
Magnetické pole vně dlouhého přímého vodiče Magnetická indukce B pole tvořeného proudem má stejnou velikost ve všech bodech, které jsou ve stejné vzdálenosti od vodiče. Indukční čáry mají tvar soustředných kružnic se středem ve vodiči (magnetické pole má válcovou symetrii kolem vodiče). Soustředná kruhová Ampérova křivka s poloměrem r okolo vodiče (B má pak stejnou velikost v každém bodě křivky, můžeme předpokládat i stejný směr). B a ds mají stejný směr, pak:
Magnetické pole uvnitř dlouhého přímého vodiče Vytvořené magnetické pole je válcově symetrické, využijeme Ampérovu křivku r<r Uvnitř vodiče je v důsledku homogenního rozložení proudu hustota proudu J konstantní a celkový proud je dán plochou ohraničenou Ampérovou křivkou: Velikost magnetické indukce B uvnitř vodiče protékaného proudem rozloženým homogenně v jeho průřezu je přímo úměrná vzdálenosti r od jeho osy. Je nulová v jeho středu a maximální na povrchu pro R=r