Predmet: Matematika Charakteristika učebného predmetu Učebný predmet matematika na gymnáziách je zameraný na rozvoj matematickej kompetencie tak, ako ju formuloval Európsky parlament: Matematická kompetencia je schopnosť rozvíjať a pouţívať matematické myslenie na riešenie rôznych problémov v kaţdodenných situáciách. Vychádzajúc z dobrých numerických znalostí sa dôraz kladie na postup a aktivitu, ako aj na vedomosti. Matematická kompetencia zahŕňa na rôznych stupňoch schopnosť a ochotu pouţívať matematické modely myslenia (logické a priestorové myslenie) a prezentácie (vzorce, modely, diagramy, grafy, tabuľky). Tento predmet zahŕňa matematické poznatky a zručnosti, ktoré študenti budú potrebovať v svojom ďalšom ţivote (osobnom, občianskom, pracovnom a pod.) a činnosti s matematickými objektmi rozvíjajúce kompetencie potrebné v ďalšom ţivote rozvoj presného myslenia a formovanie argumentácie v rôznych prostrediach, rozvoj algoritmického myslenia súhrn matematického, ktoré patria k všeobecnému vzdelaniu kultúrneho človeka informácie dokumentujúce potrebu matematiky pre spoločnosť. Ciele Cieľom matematiky na gymnáziách je, aby ţiak získal schopnosť pouţívať matematiku v svojom budúcom ţivote. Matematika má rozvíjať ţiakovo logické a kritické myslenie, schopnosť argumentovať a komunikovať a spolupracovať v skupine pri riešení problému. Ţiak by mal spoznať matematiku ako súčasť ľudskej kultúry a dôleţitý nástroj pre spoločnosť. Vyučovanie matematiky musí byť vedené snahou umoţniť študentom, aby získavali nové vedomosti špirálovite prostredníctvom riešenia úloh s rôznorodým kontextom tvorili jednoduché hypotézy a skúmali ich pravdivosť vedeli pouţívať rôzne spôsoby reprezentácie matematického obsahu (text, tabuľky, grafy, diagramy) rozvíjali svoju schopnosť orientácie v rovine a priestore. Matematika má napomôcť rozvoju algoritmického myslenia ţiakov, schopnosti pracovať s návodmi a tvoriť ich. Výsledkom vyučovania matematiky na gymnáziách je správne pouţívanie matematickej symboliky a znázorňovania schopnosť čítať s porozumením súvislé texty obsahujúce čísla, závislosti a vzťahy a nesúvislé texty obsahujúce tabuľky, grafy a diagramy študent by mal vedieť vyuţívať pochopené a osvojené postupy a algoritmy pri riešení úloh vyučovanie by malo viesť k budovaniu vzťahu medzi matematikou a realitou Matematika na gymnáziách sa podieľa na rozvíjaní schopností študentov pouţívať prostriedky IKT na vyhľadávanie, spracovanie, uloţenie a prezentáciu informácií. Pouţitie vhodného softvéru by malo uľahčiť niektoré namáhavé výpočty alebo postupy a umoţniť tak sústredenie sa na podstatu riešeného problému. 1
Obsah vzdelávania 1. ročník (4 hodiny týţdenne, 132 ročne) 1. Logika, dôvodenie, dôkazy Výrok, zloţený výrok, Zistiť pravdivostnú Rozhovor, Tlač 3 definícia, hypotéza, hodnotu výroku motivačná úloha J. Smida, J. tvrdenie, úsudok, v jednoduchých Šedivý: pravdivostná hodnota. prípadoch rozhodnúť, či Matematikaje výrok negáciou daného výroku, vytvoriť negáciu zloţeného výroku. Logické spojky (negácia, a Rozlíšiť pouţívanie a Seminárne práce J. Smida, J. 5 súčasne, alebo, buď význam spojok a, (logika, spájanie Šedivý: alebo, implikácia, vyplýva, alebo, ak, tak, práve viet-výrokov) Matematikaekvivalencia). vtedy a kvantifikátorov vo vyjadrovaní sa v beţnom ţivote a v matematike. Kvantifikátory (existenčný, J. Smida, J. 4 všeobecný, aspoň, najviac, Šedivý: najmenej, práve, Matematikaminimálne, maximálne) a vzťahy medzi nimi. Mnoţina, základné Seminárne práce J. Smida, J. 2 operácie s mnoţinami, (prezentácia, Šedivý: Zovšeobecňovať Vennove diagramy. diagramy) Matematikaniektoré jednoduché tvrdenia. Internet Číselné mnoţiny Písomná práca J. Smida, J. 7 Šedivý: Matematika- 2.Čísla a operácie, vzťahy, závislosti a zmena Desiatková ná Rozhovor J. Smida, J. 4 sústava. Zápis veľkých Šedivý: pomocou mocniny Matematika Počítať s presnými aj čísla 10. pribliţnými hodnotami, a to viacerými Informatika spôsobmi. Odhad a rádový odhad Test 2 výsledku. Iné né sústavy Písomne I. Kalaš 4 2
(rímska, dvojková, (overovanie a kolektív:infor hexadecimálna), zápis v počítači) matika pre SŠ prirodzených v týchto sústavách. Sčítanie a násobenie v dvojkovej sústave. Práca s kalkulačkou (beţné Efektívne pouţívať - 2 výpočty, pouţitie pamäti; zloţitejšie výpočty). kalkulačku. Riešiť problémy, ktoré môţu nastať pri výpočtoch a na kalkulačke. Vypĺňanie formulárov Pracovné listy Internet 2 Zdokonaliť poznatky s nými údajmi a práca a zručnosti, ktoré s údajmi vyjadrenými študenti budú v percentách (napr. úroky, potrebovať v svojom miera nezamestnanosti, ďalšom ţivote promile alkoholu v krvi). (osobnom, občianskom, Práca s jednotkami. Pracovné listy Internet 3 pracovnom a pod). Mierky máp a plánov. Kurzy a meny peňazí. Rozhodovať Seminárne práce Internet, tlač 4 Elementárna finančná o výhodnosti nákupu (výhodnosť matematika v domácnosti alebo zľavy, nákupu v OD) (poistenie, rôzne typy daní a ich výpočet, výpisy z účtov a faktúry). Rôzne (negrafické) metódy reprezentácie vzťahov (slovné, algebrické, tabuľkové). Algebrizácia a modelovanie Rozvíjanie Rozhovor, výklad J. Smida 4 jednoduchých algoritmického a kol.:matemati kvantitatívnych vzťahov myslenia, modelovania ka-algebra, (výrazy, vzorce, problémov z praxe Rovnice a nerovnosti). nerovnice Riešenie lineárnych rovníc Písomná práca J. Smida 10 a sústav a kol.:matemati ka-algebra, Rovnice a nerovnice 3. Funkcia Súradnicová sústava v Naučiť sa modelovať a O.Odvárko:Fun 4 rovine, graf funkcie (jednej algebrizovať jednoduché kcie I premennej). vzťahy. Opis základných vlastností Vytvárať a interpretovať Test O.Odvárko:Fun 4 funkcií na základe ich grafu grafickú reprezentáciu kcie I (rast, klesanie, lokálne a vzťahu dvoch veličín a globálne extrémy, vedieť tieto prostriedky ohraničenosť, periodičnosť, vyuţiť pri riešení úloh. rýchlosť zmeny). Lineárna funkcia Písomná práca O.Odvárko:Fun 6 kcie I 3
4. Planimetria Doplnenie poznatkov T. Hecht: 8 súvisiacich so základnými Matematika, 1 rovinnými útvarmi. Analyzovať z.3 Kruţnica a jej dotyčnice. charakteristické Prezentácia T. Hecht: 2 vlastnosti a vzájomné (tabuľa, DÚ Matematika, 1 vzťahy geometrických konštrukcia) z.3 Tálesova veta útvarov. Prezentácia T. Hecht: 2 (tabuľa, DÚ Matematika, 1 konštrukcia) z.3 Obvod a obsah rovinných Pouţiť vhodnú metódu, Seminárne práce T. Hecht: 8 útvarov. nástroje a vzorce pri (prehľad vzorcov Matematika, 1 určovaní dĺţok a rovinných z.3 obsahov. útvarov) Jednoduché konštrukčné Analyzovať vzájomné Písomná práca T. Hecht: 8 úlohy. vzťahy geometrických Matematika, 1 Meranie. útvarov. z.5 5. Stereometria Znázorňovanie do roviny, Rozvíjanie priestorovej Prezentácia Základy 3 rovnobeţné premietanie. predstavivosti. (tabuľa, DÚ geometrie konštrukcia) v priestore, 2. ročník Hranaté telesá, povrch a Pouţiť vhodnú metódu, Písomná práca Modely telies 106 objem. nástroje a vzorce pri určovaní dĺţok, obsahov a objemov 5. Kombinatorika a pravdepodobnosť Organizácia súboru Tlač - príklady zo J. Smida: 2 obsahujúceho veľký ţivota. Kombinatorika, počet dát. 2.ročník Pouţívať Spôsoby vyhľadávania, Rozhovor J. Smida: 6 a prispôsobovať rôzne systematické vypisovanie Kombinatorika, stratégie zisťovania moţností, objavovanie a 2.ročník počtu moţností. opis systému, algebraizácia systému alebo počtu moţností. Kombinatorické pravidlo Vyuţiť a algoritmus pri Písomná práca J. Smida: 6 súčtu a súčinu. riešení úloh zo ţivota. Kombinatorika, 2.ročník Kombinačné číslo. Test J. Smida: 7 Kombinatorika, 2.ročník 4
2. ročník (3 hodiny týţdenne, 99 za rok) Prehľad tematických celkov a ich obsahu Logika, dôvodenie, dôkazy Odlišnosti vyjadrovania v rôznych prostrediach (veda, legislatíva, beţný ţivot). Základy usudzovania, dôkaz, potvrdenie, vyvrátenie, kontrapríklad, protirečenie. Priamy dôkaz a dôkaz sporom. Čísla a operácie, vzťahy, závislosti a zmena Počítanie s nepresnými číslami, presný a pribliţný výsledok, zaokrúhľovanie, absolútna a relatívna chyba. Moţné problémy pri zaokrúhľovaní medzivýpočtov. Elementy finančnej matematiky (úrok, pôţička, umorená pôţička, splátky a umorovacia istina, lízing, hypotéka). Algebrické, pribliţné a grafické riešenie rovníc (aj kvadratických), ohraničenie a odhad riešenia. Riešenie nerovníc (aj kvadratických). Funkcia Lineárna a exponenciálna funkcia. Modely lineárnych a exponenciálnych závislostí (rast populácie, zloţené úrokovanie, rádioaktívny rozpad). Príklady iných funkcií (kvadratické, mocninové, goniometrické). Stereometria Rozvíjanie priestorovej predstavivosti. Rezy. Oblé telesá, povrch a objem. Pravdepodobnosť Šanca a porovnávanie šancí. Pojem pravdepodobnosti a niektoré vlastnosti pravdepodobnosti. Plošná a priestorová pravdepodobnosť. Pravdepodobnostné vyjadrovanie v ţivote, odhad rizika, pravdepodobnosť v športe, kurzy, pravdepodobnosť v súťaţiach (telefónne, ţreby, škrtacie tipovania, ruleta, kartové hry). Náhodné číslo. Pravdepodobnosť okolo nás (napr. genetika, dedičnosť). 3. ročník (3 hodiny týţdenne, 99 za rok) Prehľad tematických celkov a ich obsahu Planimetria Súmernosti, otočenie. Geometrické miesta bodov, konštrukcie. Meranie a odhady. Zhodnosť a podobnosť. Štatistika Čo je obsahom štatistiky (štatistika ako súbor metód, ktoré umožňujú robiť rozumné rozhodnutia v prípadoch neistoty ; východisko pre plánovanie, organizáciu). Štatistický súbor, rozsah súboru. Štatistický znak a jeho hodnota. nosť a relatívna početnosť pre jednotlivé hodnoty (intervaly hodnôt) štatistického znaku frekvenčné tabuľky. Grafické spracovanie dát (histogram, kruhový diagram, čiarové grafy lomené a hladké). Použitie vhodného softvéru (napr. EXCEL) pri grafickom spracovaní dát. Porovnávanie hodnôt štatistického znaku pre rôzne výberové súbory (napr. chlapci dievčatá), formulácia hypotéz a ich intuitívne hodnotenie. Čo vypovedajú o súbore stredná hodnota, modus, medián, rozptyl. Použitie kalkulačky a počítačového softvéru (napr. EXCEL) pri základných štatistických výpočtoch. Vážený priemer. Príklady situácií, v ktorých nie je vhodné použitie aritmetického priemeru (napr. priemerná rýchlosť). Normálne rozdelenie (situácie, v ktorých je vhodné, resp. nevhodné jeho použitie). Percentily. Príklady iných rozdelení početností (pravdepodobnosti). 5
4. ročník ( hodina týţdenne, 30 za rok) Prehľad tematických celkov a ich obsahu Štatistika Prieskum verejnej mienky a štatistické výskumy. Výberový súbor, kedy moţno výsledky získané z výberového súboru povaţovať za platné pre celý súbor a nakoľko. Moţné chyby pri interpretácii výsledkov. Význam matematiky a informatiky a jej potreba pre spoločnosť, matematika a informatika ako súčasť kultúry a histórie Táto časť vzdelávacej oblasti sa bude realizovať v priebehu celého štúdia formou a) historických poznámok b) zamestnaní napr. na niektorú z tém Matematika a umenie, Euklides, Matematika a vesmír, Matematika a ťaţisko, Matematika a biliard (a optika), c) informácií dokumentujúcich súčasné a historické pouţitie matematiky a informatiky PROCES Stupeň a kvalita dosiahnutia vytýčených cieľov vyučovania matematiky závisí najmä: od vyučovacích metód od postupov odovzdávania poznatkov ţiakom od organizácie vyučovania. Vo vyučovaní matematiky sa v podstate rovnocenne uplatňujú motivačné, expozičné, fixačné a diagnostické metódy. o Motivačné rozhovory, výzvy, úlohy, aktualizácia obsahu má byt vţdy na začiatku a podľa moţností aj v priebehu získavania a objavovania nových poznatkov, no i pred kontrolou a pri určovaní domácej úlohy. Pri motivácii sa vyuţíva skutočnosť, ţe matematické pojmy, operácie, vety a metódy vznikli pri riešení konkrétneho problému, ţe matematika vychádza predovšetkým zo skúseností a z potrieb riešiť reálne situácie. o Funkciou expozičných metód je oboznámiť ţiakov s novými pojmami, vzťahmi, zákonitosťami, pracovnými postupmi a s nimi spojenými metódami. Najúčinnejšie sú heuristické metódy a to nielen z hľadiska kvality osvojenia si nových poznatkov a zručnosti, ale i z hľadiska normatívneho, pretoţe rozvíjajú schopnosť samostatne sa vzdelávať. o Fixačné metódy vedú ţiaka od orientačného oboznámenia sa s poznatkami, cez ich reprodukčné ovládanie aţ k tvorivému zvládnutiu. Nesmie sa však zabúdať na systematické utváranie vzťahov medzi starým a novým učivom, na systematické hľadanie súvislostí medzi jednotlivými tematickými celkami. o Diagnostické metódy pomáhajú realizovať princíp diferencovaného prístupu, klasifikáciu a ďalšie plánovanie vyučovacieho procesu. Medzi najbeţnejšie metódy patrí pozorovanie a písomné skúšanie (testy, domáce úlohy, ročníkové práce, projekty,...). Vysoko hodnotíme aj zapájanie sa ţiakov do rôznych matematických súťaţí, pravidelné vypracovávanie domácich úloh a cvičení (úlohy časovo náročné napr. rôzne konštrukčné úlohy, úpravy výrazov, zloţitejšie grafy funkcií). Hodnotiť ţiaka budeme bodovacím systémom, pričom základ budú tvoriť body za tematické písomné práce na záver jednotlivých tematických celkov, body za test na konci kaţdého klasifikačného obdobia (1. a 2. polrok) ako aj body za seminárnu (ročníkovú prácu na zadanú tému). Neúspech pri povinných písomných prácach môţe vykompenzovať aktivitou navyše (nepovinné DÚ, zapájanie sa do matematických súťaţí a pod.). Aktivita ţiaka pri vyučovaní matematiky nemá byť orientovaná len na úsilie zapamätať si, ale má byť spojená s hľadaním podstaty problému, so samostatným myslením. Vyučovanie má do istej miery kopírovať objaviteľský postup. To si vyţaduje, aby sa učivo, pokiaľ je to moţné, predkladalo vo forme problémov a otázok, ktoré majú ţiaci riešiť. Pri riešení problémov sa majú ţiaci naučiť pouţívať rôzne pramene informácií, prehľady vzorcov, tabuľky, encyklopédie, internet a primeranú odbornú literatúru. Zdôrazňovanie aktivity ţiaka, jeho samostatnej práce, odporúčanie heuristických metód však ešte neznamená, ţe je potrebné zriecť sa metód a foriem typicky vyučovacieho charakteru.
Osnovy pre 2. ročník Matematika (4 hodiny týţdenne, 132 ročne) 1. Logika, dôvodenie, dôkazy Obsah Výstupy Spôsob Odlišnosti vyjadrovania v rôznych prostrediach (veda, legislatíva, beţný ţivot). Rozhovor, motivačná úloha 4 Základy usudzovania. Usudzovanie, dôkaz, potvrdenie, vyvrátenie, kontrapríklad, protirečenie Rozhovor J. Smida, J. Šedivý: Matematika Informatika 6 Dôkaz priamy, sporom. Odvodenie, zdôvodnenie, priamy dôkaz, dôkaz sporom Test 8 2.Čísla, premenné a počtové výkony s číslami Obsah Výstupy Spôsob Nepresné čísla Presný a pribliţný výsledok, zaokrúhľovanie, absolútna a relatívna chyba Rozhovor, motivačná úloha J. Smida, J. Šedivý: Matematika Informatika 6 3. Vzťahy, funkcie, tabuľky, diagramy Obsah Výstupy Spôsob
Elementárna finančná matematika Jednoduché a zloţené úrokovanie Rozhovor, overenie na jednoduchých úlohách zo ţivota Internet 4 Lineárna rovnica, lineárna nerovnica Test O.Odvárko:Fu nkcie I 6 Riešenie rovníc a nerovníc Kvadratická rovnica, kvadratická nerovnica, algebraické, pribliţné a grafické riešenie nerovníc Písomná práca 20 Funkcia Lineárna a exponenciálna závislosť, príklady iných funkcií (kvadratická, Písomná práca O.Odvárko:Fu nkcie II 10 mocninová, goniometrická, logaritmická). 4. Geometria a meranie Obsah Výstupy Spôsob Rezy. Oblé telesá, ich povrch a objem; myšlienka odvodenia pomocou Cavalieriho princípu Prienik roviny s telesom, voľné rovnobeţné premietanie, kocka, kváder Valec, kuţeľ, guľa, povrch, objem Test 10 Písomná práca M. Boţek: Základy geometrie v priestore 8
5. Kombinatorika, pravdepodobnosť a štatistika Obsah Výstupy Spôsob Opakovanie kombinatorických pojmov Algebraizácia systému alebo počtu moţností. Kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu. Pouţívať a prispôsobovať rôzne stratégie zisťovania počtu moţností. Vyuţiť a algoritmus pri riešení úloh zo ţivota. Tlač - príklady zo ţivota. Rozhovor J. Smida: Kombinatorika, 4 2.ročník Písomná práca 2 2 Kombinačné číslo. Test 6 Obsah Výstupy Spôsob Šanca a porovnávanie šancí Šanca, absolútna a relatívna početnosť Rozhovor, motivačná úloha *4 Pravdepodobnosť a niektoré jej vlastnosti Pravdepodobnosť, priaznivé a všetky moţné výsledky, doplnková pravdepodobnosť, nezávislosť udalosti, istý a nemoţný jav Test T. Hecht: Pravdepodob nosť, Štatistika,. Ročník, Zošit 3 14 Pravdepodobnosť okolo nás Napr. genetika, dedičnosť 2 Písomné práce a ich oprava: 8 Zhrnutie a opakovanie učiva po tematických celkoch: 8 V priebehu celého štúdia je potrebné zaraďovať: - problémové úlohy, - historické poznámky,
- rôzne malé projekty podporujúce medzipredmetové vzťahy, napr. Matematika a umenie, Euklides, Matematika a vesmír, Matematika a ťaţisko, Matematika a biliard, - informácie dokumentujúce súčasné a historické pouţitie matematiky