III. STRUKTURA A VLASTNOSTI PLYNŮ

III. STRUKTURA A VLASTNOSTI PLYNŮ 3.1 Ideální plyn a) ideální plyn model, předpoklady: 1. rozměry molekul malé (ve srovnání se střední vzdáleností molekul). molekuly na sebe navzálem silově nepůsobí (mimo vzájemné srážky) 3. vzájemné srážky a srážky molekul s molekulami stěny nádoby jsou dokonale pružné doba trvání srážky velmi krátká ve srovnání se střed. dobou pohybu většina molekul v rovnoměr. přímoč. pohybu vnitřní energie U: vnitřní potenc. en. Up soustavy nulová (molekuly na sebe vzájemně nepůsobí silami) pro jednoatom. molek. U = Uk pro víceatom. molek. U = Uk posuv. + Uk otáč. + Uk kmit. b) většina plynů při norm. podm. t = 0 C, p = 10 5 Pa lze považovat za id. plyn 3. Rozdělení molekul podle rychlostí, střední kvadratická rychlost a) rozdělení molekul plynu podle rychlostí v daném okamžiku nemají všechny molekuly stejnou rychlost, protože vzájemnými srážkami neustále mění svůj směr a velikost rychlosti (výsledky se zpracovávají graficky) graf rozdělení molekul podle rychlosti při různých teplotách (Maxwellovo [meksvel]) f střední relativní četnost molekul pohybujících se rychlostí v v p nejpravděpodobnější rychlost (rychlost, se kterou se pohybuje nejvíce molekul, např. pro kyslík při 0 C je v p = 377 m s 1 ) největší počet molekul má rychlost v okolí v p, velmi rychlých a velmi pomalých molekul je velmi málo tvar křivky závisí na teplotě okamžitá rychlost molekuly je náhodná a stále se měnící veličina používáme statistické veličiny b) střední kvadratická rychlost vk (statistická vel.) rychlost, kterou by musely mít všechny molekuly plynu, aby jejich celková kinetická energie E k byla rovna skutečné E k všech molekul pokud plyn v nádobě obsahuje N molekul stejné hmotnosti m0, z nichž N 1 má rychlost v 1, N má rychlost v,... (N = N 1 + N + + N i ), pak úhrnná kinetická energie střední kvadratická rychlost E k = 1 m 0 (N 1v 1 + N 1 v 1 + + N i v i ) = 1 Nm 0v k v k = N 1v 1 + N 1 v 1 + + N i v i N n [v k = N iv i ] N druhá mocnina střední kvadratické rychlosti v k je rovna součtu druhých mocnin rychlostí všech molekul dělených počtem molekul i=1

3.3 Teplota a tlak plynu z hlediska molekulové fyziky a) střední kinetická energie molekul je přímo úměrná termodynamické teplotě plynu T (z teor. úvah, vztah odvodil J. C. Maxwell) pro jednu molekulu E 0 = 3 kt = 1 m 0v k m 0 hmotnost jedné molekuly k Boltzmannova konstanta k 1, 38 10 3 J K 1 v k střední kvadratická rychlost celková E 0 = 3 NkT N počet molekul b) střední kvadratická rychlost závisí na termodynamické teplotě podle vztahu E 0 = 1 m 0v k = 3 kt m 0v k = 3kT v k = 3kT m 0 v k = 3kT m 0 c) dva plyny o stejné termodynamické teplotě T molekuly mají stejnou střední kinetickou energii E 0 = 3 kt, ale střední kvadratické rychlosti jejich molekul jsou různé E 01 = E 0 1 m 01v k1 = 1 m 0v k m 01 = v k m 0 molekuly s menší hmotností se pohybují rychleji, tj. m 01 < m 0 v k1 > v k d) tlak plynu současné nárazy molekul plynu na stěnu o obsahu S se projevují jako tlaková síla F plynu na stěnu tlak plynu v daném okamžiku je p = F S tlak plynu kolísá s časem τ kolem tzv. střední hodnoty p s v důsledku měnícího se počtu molekul dopadajících na stěnu nádoby tzv. fluktuace plynu skutečný tlak lze při velkém počtu molekul ztotožnit se střední hodnotou tlaku p s (odchylky jsou velmi malé) lze odvodit vztah tzv. základní rovnice pro tlak plynu e) příklady některé hodnoty v MFChT, např. dusík: při 0 C v k = 493 m s 1, při 100 C v k = 577 m s 1, při 300 C v k = 715 m s 1 p = 1 3 N Vm 0 v k N V hustota molekul N V = N [N V V ] = m 3 tlak plynu je přímo úměrný hustotě molekul N V, hmotnosti molekuly m 0 a druhé mocnině střední kvadratické rychlosti v k 1 Vypočítejte střední kinetickou energii jedné molekuly ideálního plynu při t = 0 C vyplývající z jejího neuspořádaného posuvného pohybu. [5,7 10 1 J] v k1 Vypočítejte střední kvadratickou rychlost molekul kyslíku při teplotách 100 C, 0 C a 100 C. [367 m s 1, 461 m s 1, 539 m s 1 ]

3 Určete poměr středních kvadratických rychlostí molekul vodíku a kyslíku při stejných teplotách. 4 Argon o hmotnosti 100 g má teplotu 0 C. Vypočítejte celkovou kinetickou energii všech jeho molekul při neuspořádaném posuvném pohybu. Které veličiny vyhledáte v MFChT? [9,1 kj] 5 Hustota molekul plynu uzavřeného v nádobě o objemu 10 l je 10 5 m 3. Určete počet molekul plynu v nádobě. [ 10 3 ] 6 Proveďte jednotkovou kontrolu základní rovnice pro tlak ideálního plynu. 7 Jaký je tlak kyslíku v uzavřené nádobě při teplotě 0 C, je-li jeho hustota 1,41 kg m 3? Střední kvadratická rychlost molekul kyslíku při teplotě 0 C je 461 m s 1. [0,1 MPa] 8 Ideální plyn uzavřený v nádobě o objemu 10 l má hmotnost 3,8 10 kg a tlak 0,49 MPa. Určete střední kvadratickou rychlost jeho molekul. [6 m s 1 ]

3.4 Stavová rovnice pro ideální plyn a) stavové veličiny, které charakterizují stav plynu v rovnovážném stavu: tlak ps (= p) objem V termodynamická teplota T počet molekul N, popř. látkové množství n nebo hmotnost plynu m b) stavová rovnice pro ideální plyn vyjadřuje vztah mezi stavovými veličinami stav plynu charakterizován p, T, V, N do základní rovnice pro tlak plynu p = 1 3 N Vm 0 v k dosadíme stř. kv. rychlost v k = 3kT N m 3kT V 0 m 0 p = 1 3 pv = NkT tvar pro p, T, V, N stav plynu charakterizován p, T, V, n a počet molekul N V = N V dosadíme N do pv = NkT ze vztahu pro látkové množství n = N N A N = nn A pv = nn A kt zavedeme novou konstantu R = N A k 6,0 10 3 mol 1 1,38 10-3 J K -1 8,31 J K -1 mol 1 tzv. molární plynová konstanta R = 8, 31 J K -1 mol 1, pro všechny id. plyny stejná (někdy se značí R m ) pv = nrt tvar pro p, V, T, n stav plynu charakterizován T, p, V a hmotností m m 0 dosadíme do pv = nrt za látkové množství M m = m n n = m M m pv = m M m RT tvar pro p, V, T, m uvedené tvary stavové rovnice platí přesně jen pro ideální plyn (který lze také definovat jako plyn, pro který platí přesně výše uvedené tvary stavové rovnice) tvary stavové rovnice lze přibližně použít i pro skutečné plyny, a to tím přesněji, čím je nižší jejich tlak a čím je vyšší jejich teplota c) při stavové změně id. plynu stejné hmotnosti, tj. m = konst. (plyn v uzavřené nádobě přejde ze stavu 1 do stavu např. zahřejeme ho nebo ochlazujeme, stlačíme nebo se rozpíná) p 1 V 1 = m M m RT 1 p V = m M m RT p 1 V 1 T 1 = m M m R p 1 V 1 T 1 = p V T p V T = m M m R tj. stále platí pv T = konst. m M m R = konst. d) Avogadrův zákon mají-li plyny stejný V, p, T ze stav. rce pv = N 1 kt pv = N kt N 1 kt = N kt N 1 = N Plyny o stejném objemu, teplotě a tlaku mají stejný počet molekul e) stavová rovnice pro reálný plyn Van der Walsova (1910 získal za ni Nobelovu cenu) předp., že molekuly mají vlastní objem V m a působí na sebe přitažl. silami pro plyn o látk. množ. 1 mol (p + a V ) (V m b) = RT a, b konst. záv. na druhu plynu m platí přesněji pro reálné plyny, lze užít při vysokých tlacích

f) příklady 1 Kolik molekul je za normálních podmínek (p n = 10 5 Pa, T n = 73 K) obsaženo v ideálním plynu o objemu 1 cm 3? Jak dlouho by trvalo jeho vyčerpání, kdybychom každou sekundu ubrali 10 6 molekul? [,7 10 19 ; asi 9 10 5 roků] Určete látkové množství kyslíku O v tlakové nádobě o objemu 0 l, teploty 0 C a tlaku MPa. [16,4 mol] 3 V nádobě o objemu 3,0 l je dusík N o hmotnosti 56 g a teplotě 7 C (uvaž. ideální plyn). Jaký je jeho tlak? [1,7 10 6 Pa] 4 Objem plynu za normálních podmínek (při t = 0 C, p n = 1,013 5 10 5 Pa) se nazývá normální molární objem V nm. Dokažte, že normální molární objem je pro všechny plyny stejný a má hodnotu V nm =,4 l mol 1.

5 Ideální plyn uzavřený v nádobě o objemu,5 l má teplotu 13 C. Jaký je jeho tlak, je-li v plynu 10 4 molekul? [1,4 MPa] 6 Určete v litrech objem oxidu uhličitého o hmotnosti 1,0 g při teplotě 1 C a tlaku 1,0 kpa (uvaž. ideální plyn). [56 l] 7 Jak se změní objem ideálního plynu, jestliže se jeho termodynamická teplota zvětší dvakrát a jeho tlak vzroste o 5 %? [zvětší se 1,6krát] 8 Vzduch má počáteční teplotu 10 C. Jestliže jej stlačíme na třetinu původního objemu, vzroste jeho tlak čtyřnásobně. Jaká je jeho teplota po stlačení? [104 C]

3.5 Tepelné děje s ideálním plynem stálé hmotnosti, izotermický děj a) tepelný děj přechod plynu ze stavu 1 do stavu tepelnou výměnou nebo konáním práce dále uvaž., že hmotnost plynu m = konst. a navíc zůstává stálá jedna z veličin p, V, T izotermický děj: T = konst. izochorický děj: V = konst. izobarický děj: p = konst. pokud nedochází k výměně tepla s okolím adiabatický děj: Q = 0 b) izotermický děj teplota plynu stálá T = konst. (nemění se), mění se objem V a tlak p p 1 V 1 ze stav. rce = p V pro T T 1 T 1 = T = T = konst. p 1 V 1 = p V T = konst. pv = konst. T = konst. Boylův-Mariottův zákon Při izotermickém ději je součin tlaku a objemu plynu stálý. (Pro skuteč. plyny platí přibližně.) c) grafické znázornění izotermického děje v pv diagramu (závislost p y x na V ) křivka tzv. izoterma (větev hyperboly V = konst. p = konst nepř. úm.) V d) energetické hledisko izotermická expanze plyn zvětší objem V a zmenší tlak p plyn přijme teplo Q a vykoná práci W z 1. term. zákona U = W + Q (Q = U + W ) T = konst. U = 0 Q = W = W Q T = W Teplo Q T přijaté id. plynem při izotermickém ději se rovná práci W, kterou plyn při tomto ději vykoná. izotermická komprese plyn zmenší objem V a zvětší tlak p práce W vykonaná okolními tělesy je rovna teplu Q T, které unikne změny musí probíhat pomalu (aby teplo stačilo uniknout)

e) příklady (další viz praktické cvičení 3) 1 Vzduch o atmosférickém tlaku p 1 = 10 5 Pa byl stlačen z V 1 = 10 l na V = l izotermicky. Určete konečný tlak. [5 10 5 Pa] V nádobě o objemu 30 l je stlačen plyn při tlaku 10 MPa. Jaký je jeho objem při normálním tlaku, přepokládáme-li, že teplota plynu je stálá a plyn ideální. 3.6 Izochorický děj a) izochorický děj děj, při kterém je objem plynu stálý mění se teplota T (zahříváním) a tlak p (zvětšuje se) p 1 V 1 ze stav. rce = p V V T 1 T 1 = V = V = konst. p 1 = p T 1 T V = konst. p = konst. T V = konst. Charlesův zákon (p = konst T) Při izochorickém ději s id. plynem stálé hmotnosti je tlak plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě. (Pro skut. plyny platí jen přibližně, velké odchylky při nízkých T a velkém p) y x b) grafické znázornění izochorického děje v pv diagramu (závislost p na V ) grafem tzv. izochora (úsečka rovnoběžná s osou p)

c) z energetického hlediska při zvýšení teploty plynu (o stálé m) o T = T T 1 za stálého V přijme plyn teplo Q V = c V m T c V měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu objem V = konst. plyn nekoná práci W = 0 (W = 0) z 1. termod. zákona U = W + Q (Q = U + W ) Q V = U Teplo Q V přijaté ideálním plynem při izochorickém ději se rovná přírůstku jeho vnitřní energie U. d) příklady (další viz praktické cvičení 3) 1 Plyn uzavřený v nádobě má při teplotě 11 C tlak 189 kpa. Při jaké teplotě bude mít tlak 1 MPa? Předp., že vnitřní objem nádoby je stálý a plyn je ideální. [1 503 K 1 30 C] V tlakové nádobě je kyslík o m = kg, p 1 = 1 MPa, t 1 = 0 C. Určete t, p po dodání tepla 0 kj, je-li V = konst. (c V = 651 J kg 1 K 1 ). [35,4 C, 1,05 MPa]

3.7 Izobarický děj a) izobarický děj děj, při kterém je tlak plynu stálý (p = konst.) pro plyn stálé hmotnosti m se mění objem V a teplota T p 1 V 1 ze stav. rce = p V p T 1 T 1 = p = p = konst. V 1 = V T 1 T p = konst. V = konst. T p = konst. Gay-Lussacův zákon [V = konst T] Při izobarickém ději s ideálním plynem stálé hmotnosti je objem plynu přímo úměrný jeho termodynamické teplotě. (Pro skut. plyny platí opět jen přibližně.) b) grafické znázornění izobarického děje v pv diagramu (závislost p na V ) y x grafem tzv. izobara (úsečka rovnoběžná s osou V) c) z energetického hlediska při zvýšení teploty plynu za stálého tlaku p (o stálé m) o T = T T 1 plyn přijme teplo Q p = c p m T c p měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku (p = konst.) teplota se změnila o T U 0 objem V se mění plyn koná práci W 0 z 1. termod. zákona U = W + Q (Q = U + W ) Q p = U + W Teplo Q p přijaté ideálním plynem při izobarickém ději se rovná součtu přírůstku jeho vnitřní energie U a práce W, kterou plyn vykoná. pokud máme totéž plynné těleso Q p > Q V o práci W c p > c V (c p = c V + R M m ) měrná tepelná kapacita plynu při stálém tlaku c p je větší než měrná tepelná kapacita plynu při stálém objemu c V Poissonova konstanta κ (kappa) κ = c p c V (udává, kolikrát je c p větší než c V )

d) příklady (další viz praktické cvičení 3) 1 Jaké teplo přijme kyslík o hmotnosti 30 g, zvýší-li se teplota z 10 C na 90 C a) izochoricky, b) izobaricky. Určete v obou případech U a W. Měrná tepelná kapacita kyslíku při stálém objemu je 651 J kg 1 K 1, při stálém tlaku 91 J kg 1 K 1. [a) 1,6 kj, 0 J, b), kj, 0,6 kj] 3.8 Adiabatický děj a) adiabatický děj neprobíhá tepelná výměna mezi plynem a okolím (při rychlých změnách nestihne teplo přejít do okolí) Q = 0 z 1. term. zákona U = W + Q (Q = U + W ) U = W W práce vykonaná okolními tělesy U = W W práce vykonaná plynem Změna vnitřní energie je rovna práci vykonané plynem nebo práci přijaté plynem. b) adiabatická komprese (stlačení) vnější síly působící na píst konají práci W teplota plynu a jeho vnitřní energie roste př. rychlé pumpování hustilkou adiab. komprese zahřívání, teplo nestihne přejít do okolí ale pomalé pumpování hustilkou izotermický děj teplo přejde do okolí u vznětových motorů: adiabatické stlačení vzduchu zvýšení teploty na zápalnou teplotu nafty po vstříknutí nafty do horkého vzduchu se nafta vznítí c) adiabatická expanze (rozpínání) plyn koná práci teplota plynu a jeho vnitřní energie se zmenšují př. rychlý únik CO ze sifonové bombičky adiabatická expanze prudké ochlazení bombičky užití: při získávání nízkých teplot

d) pro adiabatický děj platí Poissonův zákon [poasonův] pv κ = konst. p 1 V κ κ 1 = p V κ Poissonova konstanta (závisí na druhu plynu, hodnoty v MFChT) κ = c p c V κ > 1 (c p > c V ) např. pro jednoatom. molekuly plynu κ = 5 3 dále platí pv T = konst. pro dvouatomové κ = 7 5 e) grafické znázornění adiabatického děje v pv diagramu (závislost p na V ) y x grafem tzv. adiabata klesá strměji než izoterma téhož plynu f) příklady 1 V MFChT je uvedeno, že měrná tepelná kapacita kyslíku O při stálém tlaku je 91 J kg 1 K 1. Jaká je měrná tepelná kapacita kyslíku při stálém objemu, víte-li, že Poissonova konstanta pro plyn s dvouatomovými molekulami je přibližně 7 5? [asi 651 J kg 1 K 1 ] kyslík O c p 91 J kg 1 K 1 c c p V c p cv Při adiabatické kompresi vzduchu se jeho objem zmenšil na 1/10 původního objemu. Vypočítejte tlak a teplotu vzduchu po ukončení adiabatické komprese. Počáteční tlak vzduchu je 10 5 Pa, počáteční teplota 0 C, Poissonova konstanta pro vzduch je 1,40. [,5 MPa, 46 C]

3.9 Plyn při nízkém a vysokém tlaku a) plyn při nízkém tlaku při odčerpání molekul plynu z nádoby se zmenšuje hustota molekul N V a snižuje se tlak p [N V = N (N počet molekul v objemu V)] V při snižování tlaku plynu zvětšuje se střední volná dráha molekuly λ: statist. veličina, aritmetický průměr volných drah (délka přímočarého úseku mezi dvěma po sobě jdoucími srážkami molekuly s jinou molekulou) všech molekul (některé hodnoty v MFChT) λ ~ 1 p (stř. volná dráha molekul je nepřímo úměrná tlaku p) zmenšuje se střední srážková frekvence z: počet srážek jedné molekuly za časovou jednotku z ~ p (střed. srážková frekvence z je přímo úměrná tlaku p) při velmi nízkých tlacích střední volné dráhy molekul λ jsou větší než obvyklé rozměry nádoby molekuly se nesrážejí a narážejí jen na stěny nádoby b) plyn při vysokém tlaku při stlačování plynu při stálé teplotě se zvětšuje hustota molekul N V a roste tlak plynu p zmenšuje se střední volná dráha λ při vysokém tlaku již nelze zanedbat přitažlivé síly mezi blízkými molekulami ani vlastní objem molekul při dostatečně vysokých tlacích a nízkých teplotách vznikají vazby a plyn se mění v kapalinu (zkapalňuje) př. pro kyslík při 0 C p Pa 10 5 1 10 5 10 10 λ m 6,3 10 8 6,3 10 3 6,3 10 6,3 10 7 z s 1 6,7 109 6,7 10 4 6,7 10 1 6,7 10 6 c) vývěvy zařízení ke snižování tlaku v uzavřené nádobě pístová: válec objemu V má pohyblivý pístem se záklopkou při pohybu pístu dolů tyčinka t s kuželovitým zakončením se strhuje a uzavře otvor do recipientu (vyčerpávaný prostor), který má objemu V R plyn stlačený pod pístem otevře záklopku v pístu a proudí ven při pohybu vzhůru se tyčinka t zvedne, válec se spojí s recipientem a plyn z recipientu se rozpíná na V + V R všechen plyn pod pístem nelze odstranit https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/diaphragmpump.gif

rotační olejová: ve válcové komoře (1, tzv. stator) se otáčí výstředně umístěný válec (, tzv. rotor), který se dotýká v horní části statoru, po stranách míst dotyku má rotor zasunovatelné lopatky (3), které jsou pružinou přitlačovány ke stěně statoru při otáčení rotoru ve směru šipky vstupuje plyn do vývěvy vstupním otvorem (4), výstupním otvorem (5) je z vývěvy vytlačován (bublá olejem) celý systém je ponořen do oleje (zmenšuje tření a zlepšuje utěsnění mezi rotorem a statorem), lze dosáhnou mezního tlaku asi 1 Pa existují i vývěvy na jiných principech mezní tlak 10 1 Pa (plyny v kosmickém prostoru mají tlak menší) d) příklady 1 Kolik molekul plynu je v prostoru o objemu 1 cm 3, je-li teplota plynu 73 K a tlak a) 1 Pa, b) 10 5 Pa, c) 10 10 Pa? [,7 10 14,,7 10 9,,7 10 4 ] Střední volná dráha molekuly oxidu uhličitého CO při tlaku p n = 10 5 Pa je 3,9 10 8 m. Určete střední volnou dráhu CO při tlaku a) 1 Pa, b 10 7 Pa. [3,9 10 3 m, 3,9 10 10 m]