Úvod do problematiky výnosových křivek. Ing. Jan Bureš

Úvod do problematiky výnosových křivek Ing. Jan Bureš

Výnosová křivka... 4 Determinanty tvaru výnosových křivek... 5 Teorie vysvětlující tvary výnosových křivek... 8 Hypotéza očekávání... 8 Hypotéza preference likvidity... 9 Hypotéza oddělených trhů... 0 Hypotéza preferovaného umístění... 0 Konstrukce výnosových křivek... Konstrukce výnosových křivek ze strips bondů... Konstrukce výnosových křivek z dluhopisů... 3 Determinanty pohybu výnosových křivek... 8 2

Jedním z častých ekonomických nástrojů je aparát výnosových křivek. Ty v sobě nesou informace hojně využívané v celé škále oblastí. Rozsah oblastí, v nichž můžeme aparát výnosových křivek prakticky aplikovat bude snáze pochopitelný, provedeme-li v krátkosti dekompozici způsobu jejich konstrukce. Výnosové křivky, někdy též označované jako časová struktura úrokových sazeb, vyjadřují vzájemný vztah mezi výnosy dluhopisů identických vlastností (rating, likvidita) a dobou do jejich splatnosti. Spojnice bodů zanesených do prostoru nám poté formuje spojitou křivku, proto tedy výnosová křivka. Na níže uvedeném obrázku Obr. je znázorněna výnosová křivka zkonstruovaná z českých vládních dluhopisů. Na následujícím obrázku jsou poté uvedena zdrojová data, z nichž je tato výnosová křivka zkonstruována. Obr. Zdroj: Bloomberg Obr. 2 Zdroj: Bloomberg 3

I když se v praxi výnosové křivky běžně konstruují i z úrokových swapů, práce je zaměřena na analýzu výhradně dluhopisových křivek. Výnosová křivka Výnosová křivka, mnohdy označovaná též jako struktura úrokových sazeb, vyjadřuje vztah mezi výnosem aktiva (osa y) a dobou do jeho splatnosti (osa x). Přestože je můžeme konstruovat pro jakýkoliv typ dluhopisů (například i korporátních), jsou nejčastěji výnosové křivky konstruovány z vládních dluhopisů. Důvody, proč tomu tak je, pramení především z omezení datové základny, s kterou se setkáváme u korporátní sféry. Dluhopisy totiž, pro řádnou konstrukci výnosové křivky, musí splňovat řadu předpokladů tak, aby byl co nejlépe vystižen vztah mezi výnosem a splatností. V první řadě musíme mít k dispozici dostatečné množství dluhopisů co nejrozličnějších splatností, aktivně obchodované na trhu. Aktivní obchody s těmito dluhopisy zaručují, že cena, za kterou jsou na trhu obchodovány, odrážejí nejlépe představu investorů ohledně dění na trhu a ti jim tak přisuzují reálnou cenu 2. Dluhopisy musí mít dále stejný rating (čili bonitu emitenta) a musí podléhat stejným daňovým úpravám. Je zřejmé, že málokterá společnost korporátní sféry emituje takové množství dluhopisů rozmanitých maturit (splatností), aktivně obchodovaných na trhu, z kterých by bylo možné zkonstruovat výnosovou křivku. Přestože je technicky možné řešit nedostatečné množství splatností emitovaných dluhopisů jedné společnosti vzájemnou kombinací s dluhopisy jiných společností, s největší pravděpodobností se stanou limitujícím faktorem pro jakékoliv praktické použití a závěry rozdílné ratingy, velikosti a segment cílového trhu těchto společností. Vzhledem k tomu, že taková konstrukce výnosových křivek se setkává s řadou omezení 3, stává se její konstrukce složitou a v praxi se od ní upouští. Druhým z důvodů, proč jsou pro konstrukci výnosových křivek využívány vládní dluhopisy je skutečnost, že vládní bondy jsou vnímány jako aktiva s nulovým defaultem. Tedy riziko spojené s insolventností emitenta dluhopisu (státu) dostát svým závazkům je ve srovnání s korporátními dluhopisy mizivé a vnímáno jako nulové 4. Výnosová křivka zkonstruovaná z vládních dluhopisů potom tedy představuje časovou strukturu minimálních (bezrizikových) výnosových měr (risk free rates), jež je trhem požadována pro ocenění ostatních aktiv. Taková křivka tak vlastně představuje jakýsi benchmark, na základě něhož se racionálně uvažující investor rozhoduje o požadované míře výnosu spojené např. se zakoupeným korporátním dluhopisem. Stejně tak i korporátní emitent bude při emisi zohledňovat bezrizikovou míru na trhu. Bude nabízet ve srovnání s vládním bondem identické splatnosti dluhopis s vyšším výnosem, neboť v opačném případě by takový dluhopis (s vyšší mírou defaultu) na trhu nebyl ochoten nikdo koupit. Pokud výnosy na vládní křivce výrazně rostou (např. z titulu nadměrného se zadlužování státu), potom pro korporátní sektor je stále obtížnější si obstarat prostředky emisí dluhopisů, neboť musí své bondy zatraktivnit výnosem převyšujícím výnos ze státních dluhopisů. Tato situace je v ekonomické teorie známá pod pojmem vytěsňování investic vládním dluhem. Vládní sektor nabízí celou škálu dostatečně likvidních dluhopisů se splatností rok, 3 roky, 5, 0, 5 i 30let a v některých případech i déle. 2 Je třeba poznamenat, že stejně tak jako sporadické obchodování může generovat zkreslené údaje o ceně, i nadměrná obchodní aktivita může vést k zvyšování ceny dluhopisů a tlakům na pokles jejich výnosů mimo jakýsi průměrný výnos. 3 Snad nejzávažnějším problémem se stávají nízké objemy emisí, které korporátní sféra oproti vládní sféře emituje, čímž se snižuje i okruh investorů, kterým mohou být dluhopisy nabídnuty. 4 Představa ale, že vládní dluhopisy jsou zcela bez rizika není přesná. I v moderní historii jsou známy případy ekonomik, které byly nuceny vyhlásit státní bankrot. Řada z těch, kteří investovali do vládních dluhopisů, tak přišla o svěřené peníze. Také zcela plně neplatí předpoklad, že korporátní dluhopis je rizikovější než vládní (státní) dluhopis. Existuje celá řada renomovaných společností jejichž rating (rozuměj faktická schopnost dostát svým závazkům) je vyšší, než rating některých zemí. Nicméně na druhou stranu, pohybujeme-li se v rámci jedné ekonomiky, je vysoce pravděpodobné, že default governmentu bude vždy nižší než default korporátního bondu. Při mezinárodním srovnání již však není tento předpoklad tak závazný. 4

Determinanty tvaru výnosových křivek Tvar, či vzhled výnosové křivky můžeme popsat ze tří hledisek:. Úrovní 2. Sklonem 3. Zakřivením Úroveň výnosové křivky je definována bodem, kde začíná krátký konec výnosové křivky, tedy počátek, z nějž křivka vychází. Krátký konec výnosové křivky je pod přímým vlivem centrální banky (např. v ČR, je-li definován jako 2T Repo sazba), popřípadě je pod jejím silným vlivem (mezibankovní sazby). Sklon výnosové křivky je nejčastěji popsán rozdílem mezi dlouhodobými sazbami (0, eventuelně 30 let) a sazbami krátkodobými (3 měsíce, eventuelně 2 roky či rok). Sklon je tedy vyjádřen jako termínový spread mezi dvojící sazeb (dlouhý vs. krátký konec). Spread je ovlivněn celou řadou faktorů, které formují tvar křivky a které budou detailněji popsány v jedné z následujících kapitol. Zde si zatím jmenovitě uvedeme dva faktory, které mají na sklon zásadní vliv. Jsou jimi měnová politika centrální banky, determinující převážně krátký konec křivky a očekávání subjektů ohledně sazeb budoucích. Zakřivení reflektuje skutečnost, že vztah mezi výnosem a dobou do splatnosti není ve vzájemné lineární závislosti a výnosová křivka tak není přímkou. Podle tvaru, jež může křivka nabývat, v zásadě rozlišujeme čtyři základní tvary 5 :. Rostoucí výnosová křivka 2. Vyboulená výnosová křivka 3. Plochá výnosová křivka 4. Klesající výnosová křivka Pohybem výnosové křivky potom rozumíme jednak změnu jejího sklonu (tedy jako rozdíl mezi dlouhodobými a krátkodobými úrokovými sazbami), změnu její zakřivení, či její celý posun nahoru a dolů. Tvarů, které mohou výnosové křivky nabývat, je celá řada. Dominantním tvarem je ale tvar konkávní (s prodlužující se délkou splatnosti roste výnos, ovšem při stále nižších přírůstcích). V praxi se ale můžeme setkat i s jinými tvary konvexní (klesající výnosy s prodlužující se splatností) a zploštělá (výnosy jsou po celé délce výnosové křivky téměř identické). Další z atypických tvarů je např. vyboulená křivka. Jelikož výnosové křivky nejsou ničím jiným, než vyjádřením výnosů platných pro různé splatnosti, potom pohyby budou způsobeny kolísáním výnosů. Výnosy se potom mohou měnit v důsledku celé škály proměnných. Proto tedy, abychom řádně odpověděli na otázku, co determinuje sklon, zakřivení a pohyb výnosové křivky, je třeba si v prvé řadě uvědomit, čím vším jsou determinovány výnosy z dluhopisů, respektive výnos obecně. 5 Teorie zabývající se popisem výnosové křivky se mohou v interpretaci toho, co stojí za tím či oním tvarem výnosové křivky lišit. 5

Obr. 3 Tvar výnosové křivky Obr. 3 (Rostoucí výnosová křivka) Zdroj: Bloomberg 6

Obr. 4 (Klesající výnosová křivka) Zdroj: Bloomberg Obr. 5 (Zhoupnutá výnosová křivka) Zdroj: Bloomberg 7

Teorie vysvětlující tvary výnosových křivek K nejznámějším a nejvíce diskutovaným teoriím z oblasti výnosových křivek patří tyto čtyři:. Hypotéza očekávání 2. Hypotéza preference likvidity 3. Hypotéza oddělených trhů 4. Hypotéza preferovaného umístění Žádná z nich nevysvětluje chování výnosových křivek takovým způsobem, aby jej plně popsala beze zbytku. Teorie (hypotézy) se tak v zásadě spíše doplňují. Hypotéza očekávání Hypotéza očekávání ve své původní podobě (čistá hypotéza očekávání), vnímá dlouhodobé nominální sazby jako průměr sazeb krátkodobých (spotových sazeb a očekávaných sazeb). Jinými slovy, výnos, například z dlouhodobého dluhopisu do doby splatnosti, je roven sumě výnosů realizovaných při opakovaných investicích do krátkodobých dluhopisů, a to až do doby splatnosti dlouhodobého dluhopisu. Za takové předpokladu je investor indiferentní mezi tím, zda bude opakovaně investovat krátkodobě nebo své prostředky investuje rovnou dlouhodobě. Obě strategie mu přinášejí stejný výsledek. Tato skutečnost ovšem předpokládá, že dluhopisy jednotlivých splatností jsou dokonalými substituty a investor nepreferuje žádnou ze splatností. Výše uvedené definici vdechneme život prostřednictvím názorného příkladu. Předpokládejme, že máme k dispozici určitou výši volných finančních prostředků, které chceme nějakým způsobem 6 na dva roky zhodnotit. Jako investor máme tedy možnost zhodnotit své volné finanční prostředky pomocí dvou strategií. Strategie (i), nazveme ji třeba strategií opakovanou ( rolovanou ) a strategii (ii) dlouhodobou. Za předpokladu, že Y výnos, t současné období, IR t, spotová úroková sazba (od nynějška na jeden rok), IR t, forwardová úroková sazba (za jeden rok na jeden rok), IR t,2 spotová úroková sazba (od nynějška na dva roky), potom můžeme psát: (i) rolovaná strategie - peníze uložím na jeden rok, po roce je společně s výnosy vybereme a opět je uložíme na jeden rok celkem tedy dva roky. Tedy: Y=(IR t, )*(IR t, ) () (ii) dlouhodobá - peníze uložíme dnes na 2 roky po dvou letech peníze vybírám společně s výnosy. Tedy: Y=(IR t,2 ) 2 (2) 6 Budeme uvažovat pouze dvě strategie viz. dále. 8

Máme-li být v souladu s definicí Teorie očekávání indiferentní mezi strategii (i) a (ii), musí platit rovnost obou rovnic. Tedy: (IR t, )*(IR t, )=(IR t,2 ) 2 (3) Rovnost výrazů pravé a levé strany bude zajišťována arbitráží. Tzn. pokud by například strategie (i) přinášela vyšší výnosy, vyvolávala by zvýšená poptávka po krátkodobých investicích tlak na snížení jejich úrokových sazeb a opačně. Za povšimnutí stojí i výraz (IR t, ) v rovnici (3). Zatímco zbývající dva výrazy v rovnici známe (známe spotové úrokové sazby), výraz (IR t, ) představuje očekávanou hodnotu krátkodobé úrokové sazby v čase t, tedy za předpokladu, že rozhodování provádíme v čase t, je tento výraz neznámou. Roznásobením a úpravou můžeme přibližně psát 7 : IR t, = 2* IR t,2 - IR t, (4) Platí tedy, že očekávaná úroková sazba za jeden rok je přibližně rovna rozdílu dvojnásobku dlouhodobých nominálních sazeb a krátkodobé nominální sazby. Slabým předpokladem této teorie je současně její výchozí předpoklad a to, že investor je indiferentní mezi tím, zda bude investovat krátkodobě nebo dlouhodobě. Navíc za předpokladu, že nejběžnějším tvarem výnosové křivky na trzích je konkávní tvar, tedy i křivka rostoucí, odrážela by takováto křivka očekávání investorů ohledně neustálého růstu krátkodobých sazeb v budoucnu. Ty se ovšem ve skutečnosti nemění tak často, jak by za těchto okolností předpokládal sklon výnosové křivky. Znamená to, že do výše očekávaného výnosu musí být zakomponována i jiná složka, než pouhé očekávání zvýšení sazeb. Čistá hypotéza očekávání je tak později rozšířena (modifikována) o rizikovou prémii, která je investory přisuzována delším splatnostem. Rovnici modifikované hypotézy očekávání bychom tak podle dříve nastíněného příkladu mohli zapsat následovně: (IR t,2 ) 2 = (IR t, )*(IR t, ) rp t,2 Kde výraz rp t,2 značí rizikovou prémii, která je v tomto případě přisuzována dvouletým dluhopisům. Hypotéza preference likvidity Ve srovnání s teorií očekávání, stojí hypotéza preference likvidity na okraji zájmu. Důvodem je příliš jednoduché vysvětlení tvaru výnosové křivky. Podle této hypotézy je příčinou konkávního tvaru výnosových křivek přisuzovaná prémie za likviditu. Je současně jediným vysvětlujícím faktorem, ovlivňující sklon výnosové křivky. Investor, který své prostředky investuje dlouhodobě očekává, že mu bude nabídnuta vyšší míra výnosu, má-li se vzdát svých likvidních prostředků na delší dobu. Čím delší splatnost dluhopisu, tím vyšší míra výnosu. Hypotéza preference likvidity ovšem dokáže vysvětlit pouze pozitivní sklon, potažmo ještě hladkou výnosovou křivku, ovšem nedokáže již racionálně vysvětlit inverzní tvary (záporný sklon). Hypotéza tak například plně ignoruje nabídku dluhopisů na trhu. Přičemž lze logicky 7 Bez zjednodušujících úprav bychom dostali: IR t, = 2* IR t,2 - IR t, (IR t, )*(IR t, ) (IR t,2 ) 2. Vzhledem k tomu, že součiny úrokových sazeb a mocnina jsou hodnoty velice malé, můžeme od nich abstrahovat, aniž bychom snížili vypovídací schopnost rovnice. 9

předpokládat, že s růstem nabídky dluhopisů konkrétní splatnosti bude výnos růst, naopak snížením nabídky dluhopisů výnos při této splatnosti poklesne 8. Hypotéza oddělených trhů Předpokladem této hypotézy je striktní oddělení krátkodobých a dlouhodobých finančních instrumentů (dluhopisů), mezi kterými neexistuje pojítko v podobě forwardových sazeb. Tyto trhy jsou vnímány investory separovaně bez jakékoliv možnosti vzájemné substituce. Oddělenost trhů reflektuje investorovy potřeby. Na trhu je velké zastoupení těch, kteří preferují likvidní prostředky, ale současně i těch, kteří z principu své podnikatelské činnosti preferují dlouhodobé maturity. Takovými společnostmi jsou například pojišťovny, které svá dlouhodobá pasiva pokrývají ekvivalentními objemy dlouhodobých aktiv. Zde tak poptávka po dlouhodobých instrumentech vychází z potřeby řízení pasiv. Rostoucí sklon výnosové křivky hypotéza vysvětluje tím, že investoři jsou obecně rizikově averzní a dávají přednost tedy krátkodobým dluhopisům. Zvýšený zájem o tyto instrumenty vede k vyšší ceně a tedy i nižší míře výnosu. S prodlužováním splatnosti poptávka z řad investorů oslabuje, což snižuje jejich cenu a zvyšuje výnos. Kritika této hypotézy se upírá na fakt, že praxe ukazuje na vzájemnou provázanost krátkodobých a dlouhodobých instrumentů, zatímco tato hypotéza ji striktně odmítá. Dle této hypotézy bychom nemohli být svědky posunu celé křivky. Nicméně v reálu je tato situace zcela běžnou. Hypotéza preferovaného umístění Hypotéza v zásadě rozpracovává hypotézu oddělených trhů, jejíž předpoklady oslabuje a v lecčems se podobá hypotéze očekávání. Pojícím znakem hypotézy preferovaného umístění s hypotézou oddělených trhů je investorova preference příslušných maturit, respektive durací. Investor je nicméně ochoten přistoupit na aktivum s jinou splatností, je-li mu za to nabídnuta prémie. Podobnost s modifikovanou teorií očekávání je ta, že investor požaduje prémii za riziko. Prémie ovšem v jednotlivých hypotézách nabývá jiných interpretací. Zatímco v hypotéze očekávání je prémie vnímána jako odměna za podstoupené riziko, jež je spojené s dluhopisy delších splatností, v hypotéze preferovaného umístění je prémie vnímána jako odměna za to, že investor vstupuje do aktiva s jinou maturitou (respektive durací), než je v jeho primárním zájmu. Hypotéza preferovaného umístění dokáže vysvětlit jakýkoliv sklon výnosové křivky a to včetně plochého tvaru. Výnosy jsou tak podél celé křivky identické, což za předpokladu existence prémie interpretujeme jako očekávaný mírný pokles úrokových sazeb. Pokud pro srovnání použijeme příklad čisté hypotézy očekávání, tak ta interpretuje plochou výnosovou křivku jako období stabilních (stejných) sazeb po celé délce výnosové křivky. 8 Cena a výnos dluhopisu jsou ve vzájemném inverzním vztahu. Roste-li nabídka něčeho, při konstantní poptávce bude klesat cena takového aktiva (roste výnos). Opačně, je-li nabídka aktiva omezována, potom za předpokladu neměnné poptávky cena takového aktiva roste (klesá výnos). 0

Konstrukce výnosových křivek Konstrukce výnosových křivek se může na první pohled jevit jako velmi snadnou, nicméně při jejich konstrukci lze narazit na celou řadu omezení. Problematickým se stávají kupóny dluhopisů, jejichž výše ovlivňuje cenu dluhopisu a tím i výnos do splatnosti. Investory jsou obecně preferovány dluhopisy s vyšším kupónem, neboť ty i při stejné maturitě jako dluhopisy s nižším, či nulovým kupónem, zaručují investorovi kratší duraci a tím i nižší citlivost ceny dluhopisu na změnu úrokových sazeb během jeho životnosti. Ceny takových dluhopisů jsou tedy vyšší (vlivem vyšší poptávky po nich), což snižuje jejich výnos do splatnosti. Jinými slovy, investor tak tím, že je mu poskytnut dluhopis s vyšší mírou stability, platí za něj vyšší cenu. Velice vhodnou se stává konstrukce výnosové křivky ze zero-bondů, tedy dluhopisů s nulovým kupónem, čímž je eliminován kupónový efekt. Problémem se ale stává omezené množství zero-kupónových dluhopisů, které nejsou s to pokrýt dostatečné množství splatností, čímž by se stala výnosová křivka značně krátkou 9. I kdyby ovšem bylo takových zerokupónových dluhopisů na trhu dostatečné množství pokrývající celou délku výnosové křivky, je pravděpodobné, že by tyto zero-bondy (obzvláště na delším konci výnosové křivky) byly značně nelikvidní. V zásadě existují dva nejčastěji využívané způsoby konstrukce výnosových křivek 0.. konstrukce ze strips bondů 2. konstrukce z dluhopisů Konstrukce výnosových křivek ze strips bondů Strips bondy, český ekvivalent svlečené dluhopisy, jsou dluhopisy vytvořené z kupónového dluhopisu, rozdělením dluhopisu na kupónovou část a část nominálu. Obě takto vytvořené části jsou obchodovány zvlášť. Rovnici pro výpočet ceny kupónového dluhopisu je možné zapsat jako: P = C C2 i Cn JH... i 2 ( i ) ( ) ( ) n 2 n n,kde P - je cena dluhopisu C kupón v příslušném roce i úroková sazba, vnitřní výnosové procento, požadovaná míra výnosu, eventuelně výnos do splatnosti (jako průměr i až i n ) JH jmenovitá hodnota dluhopisu 9 Dluhopisy s nulovým kupónem se emitují ve většině případech do jednoho roku, eventuelně jako dvouleté. Výjimkou nejsou i delší splatnosti viz. kapitola Stripování dluhopisů. 0 Již dříve jsme si řekli, že tato práce je věnována konstrukci výnosových křivek z bondů, které ovšem nejsou jediným způsobem konstrukce výnosové křivky. Dalším, velmi hojně využívaným způsobem je konstrukce ze swapů, od níž v této práci abstrahujeme.

Zatímco rovnovážná cena akcie je stanovena jako diskontovaná hodnota budoucího cash flow plynoucího z dividend a potažmo i očekávané budoucí prodejní ceny, rovnovážná cena dluhopisu je vypočtena na základě diskontování kupónových plateb a nominálu 2. Předpokládejme, že jsme majitelem vládního bondu o nominální hodnotě 00 mil. CZK, kupónem 3,5% a splatností tří let. Abychom mohli určit současnou hodnotu, potřebujeme znát úrokové sazby, kterými budeme diskontovat budoucí cash flow. Na trhu jsou v daný okamžiky známy tyto sazby: letá spotová sazba 3,0 % 2letá spotová sazba 3,2% 3letá spotová sazba 3,5% PV 3500000 = 3500000 0350000 0,032 2 0, 035 ( 0,03) ( ) ( ) 3 PV = 00 035 439 Dluhopis by měl být na trhu obchodován za tuto cenu. Rovnici pro výpočet bezkupónového dluhopisu (zero-bondu, dluhopisu s nulovým kupónem, diskontovaný papír), lze úpravou rovnice pro výpočet ceny kupónového dluhopisu, za předpokladu nulových kupónů (C) přepsat následovně: ( JH n ) ( i ) n P = n Představme si, že byl emitován 5letý dluhopis o nominální hodnotě 00 mil. USD, kupónem 5%, vypláceným pololetně. Cash flow z takového dluhopisu vypadá následovně:. kupón 5 mil. USD v 6 měsících 2. kupón 5 mil. USD v 2 měsících 3. kupón 5 mil. USD v 8 měsících 4. kupón 5 mil. USD v 24 měsících 5. kupón 5 mil. USD v 30 měsících 6. kupón 5 mil. USD v 36 měsících 7. kupón 5 mil. USD v 42 měsících 8. kupón 5 mil. USD v 48 měsících 9. kupón 5 mil. USD v 54 měsících 0. kupón 5 mil. USD v 60 měsících. nominální hodnota 00 mil. USD v 60 měsících Na každou kupónovou platbu je emitován zero-bond příslušné splatnosti. Totéž platí i pro nominální hodnotu. Cena aktiva na trhu nemusí vždy odpovídat jeho rovnovážné ceně. Je-li rovnovážná cena vyšší než cena aktiva na trhu, potom je aktivum podhodnoceno (signál k nákupu), naopak je-li rovnovážná cena nižší než cena aktiva na trhu, potom je aktivum nadhodnoceno. V takovém případě bychom měli od nákupu upustit, popřípadě jsme-li držitelem tohoto aktiva, můžeme jej prodat. 2 Je-li dluhopis s nulovým kupónem (zero-bond), potom diskontujeme pouze nominální hodnotu. 2

Vytvořené zero-bondy z 5letého dluhopisu:. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 6 měsíců 2. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 2 měsíců 3. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 8 měsíců 4. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 24 měsíců 5. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 30 měsíců 6. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 36 měsíců 7. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 42 měsíců 8. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 48 měsíců 9. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 54 měsíců 0. zero bond o nominální hodnotě 5 mil. USD s maturitou (splatností) za 60 měsíců. zero bond o nominální hodnotě 00 mil. USD s maturitou (splatností) za 60 měsíců Z příkladu je patrné, že svlečením 5letého dluhopisu s pololetním kupónem vytvoříme celkem zero-bondů, vhodných ke konstrukci výnosové křivky. Metoda odvození výnosové křivky ze strip-bondů (běžně obchodovaných) je v zásadě jednoduchou a nenáročnou. Nicméně i ona má svá negativa. Vzhledem k tomu, že na trzích jsou investory preferovány a tedy i aktivněji obchodovány kupónové dluhopisy (jako takové podléhají nižšímu riziku plynoucích ze změny úrokových měr a skýtají investorovi pravidelné platby), může být cena ( výnos) zero-bondů zkreslen, a to právě v důsledku nižší likvidity. Konstrukce výnosových křivek z dluhopisů Druhou z možností konstrukce výnosových křivek je jejich konstrukce z tzv. zero-bondů a kupónových dluhopisů. Ideálním případem z pohledu konstrukce výnosových křivek, je mít pro jejich konstrukci dostatečné množství zero-bondů, a to takové, jež bude schopno pokrýt celou řadu maturit (splatností) viz. předchozí příklad stripování. Problémem tohoto přístupu ovšem je, že lze očekávat nízkou likviditu těchto diskontovaných dluhopisů, obzvláště ve střední a delší části výnosové křivky. S prodlužující se délkou splatnosti totiž roste durace, respektive citlivost ceny dluhopisu na změnu úrokových sazeb 3. Durace je kromě délky splatnosti dluhopisu závislá také na výši kupónu. Čím vyšší kupón, tím nižší durace a tím i citlivost ceny na změnu úrokových měr. Bezkupónový dluhopis tak má vyšší duraci (citlivost na změnu sazeb), než kupónový dluhopis stejné splatnosti. Jinými slovy dá se předpokládat, že dlouhodobé zerobondy by byly v důsledku jejich vyššího rizika méně likvidními, popřípadě by cena takových dluhopisů byla nižší (věřitel požaduje po emitentovi prémii k výnosu) 4. To by znamenalo, že by ceny (výnos) takových dluhopisů v určitém segmentu výnosové křivky byly zatíženy rizikovou přirážkou. Z výkladu logicky vyplívá, že kupónové dluhopisy (obzvláště ty s vyšším kupónem), budou čelit zcela opačnému problému. Tedy vykazují nižší duraci, tím i citlivost na změnu úrokových měr, čímž jsou pro investory atraktivnější, což zvyšuje poptávku po nich. To se promítá do vyšší ceny a tedy i nižšího výnosu. Tento vliv výše kupónu na cenu dluhopisu je znám pod pojmem kupónový efekt. 3 Z rovnice pro výpočet ceny kupónového dluhopisu je patrné, že vzroste-li úroková sazba, respektive diskontní faktor, potom současná hodnota dílčích cash flow v čase (kupóny a jmenovitá hodnota) klesá, a tedy klesá i cena dluhopisu (P). 4 Nižší kupní cena dluhopis totiž investorovi při garanci jmenovité hodnoty 00 v budoucnu, zaručuje vyšší míru výnosu, respektive zisku (rozdíl mezi nominální hodnotou 00 a kupní cenou). Z pohledu emitenta je prospěch opačný. Ten preferuje prodat dluhopis za cenu co nejvyšší (tedy s nejnižším možným výnosem, který garantuje věřiteli). 3

V praxi je tedy běžné, že na trhu jsou emitovány zero bondy při nižších splatnostech (krátký konec výnosové křivky) a to 3, 6 a 2 měsíců, zatímco kupónové dluhopisy jsou emitovány na dobu 2, 3, 5 a 0 let. Výjimku nejsou ale i delší splatnosti 5. Při konstrukci výnosových křivek, jež kombinuje zero-bondy a kupónové dluhopisy, se využívá tzv. metoda bootstrapping. Ta v zásadě vypočítává hypotetické výnosy zero-bondů z kupónových dluhopisů 6. Tato metoda je založena na předpokladu, že výnos z kupónového dluhopisu se musí rovnat sumě zero-bondů, které duplikují kupónové cash flow kupónového dluhopisu 7. Bootstrapping (metoda postupného výpočtu, metoda svépomocí) Tato metoda přepočítává výnosy z kupónových dluhopisů na odpovídající výnosy ze zero bondu. Takto vypočtené výnosy jsou poté seřazeny dle splatností, čímž zkonstruujeme výnosovou křivku. Výpočet je prováděn postupně, od dluhopisů s nejnižší maturitou k těm s nejdelší splatností. Základem celé metody jsou krátkodobé úrokové sazby. Pro zjednodušení budeme předpokládat, že vláda emituje dluhopisy následujících maturit (letý zero-bond, 2,3,5,8 a 0leté kupónové dluhopisy). Výchozí splatností naší výnosové křivky (a tedy i výchozím bodem) bude tedy letý zero-bond. V praxi jsou ovšem výnosové křivky konstruovány již z mezibankovních sazeb, respektive od dvoutýdenní repo sazby (4 dní), řízené centrální bankou. Druh dluhopisu Splatnost Výnos/Kupónový výnos Cena obchodovaného dluhopisu I. Zero-bond rok 3,466% 96,65 00 II. Fixní kupón 2 roky 3,8% 99,85 00 III. Fixní kupón 3 roky 6,4% 05,67 00 IV. Fixní kupón 5 let 3,55% 96,597 00 V. Fixní kupón 8 let 3,8% 96,27 00 VI. Fixní kupón 0 let 4% 95,8 00 Nominální hodnota dluhopisu Jak již bylo řečeno dříve, při odvození hypotetické míry výnosu zero-bondu z kupónových dluhopisů, budeme postupovat od nejnižších maturit směrem k nejdelším splatnostem. Ad I) Míra výnosu zero-bondu je zde již explicitně stanovena a není třeba ji zde počítat. Počáteční bod výnosové křivky je znám. Výnos 3% pro splatnost roku. Pokud bychom přeci jenom chtěli vypočítat výnosnost diskontovaného cenného papíru, postupujeme podle následujícího vzorce t BH = PV * i *, kde BH (budoucí hodnota, tedy v případě diskontovaného papíru T =00); PV (současná hodnota, tedy cena, za kterou je papír obchodován); i (diskontní faktor, úroková sazba); t (počet dní do splatnosti diskontovaného papíru); T (počet dní v roce, uzance je 360). 5 Například Ministerstvo financí ČR oznámilo v polovině září 2007 záměr emitovat extra-dlouhý bond se splatností 50let. To povede k prodloužení výnosové křivky ČR, která doposud končila rokem 2036 (emitován bond s touto splatností). 6 Těch, jak víme, máme k dispozici celou řadu různých splatností (2,3,5 a 0 let). Výjimkou samozřejmě nejsou i jiné maturity. De facto je plně v režii vlády, jakou maturitu bude emitovat. 7 Jinými slovy, kupónový dluhopis sestává ze série zero-kupónových výnosů. 4

Ad II) Rovnovážnou hodnotu kupónového dluhopisu s dvouletou splatností a 3,8% kupónem lze vypočíst jako současnou hodnotu budoucího cashflow. Ty jsou v jednotlivých letech následující:. rok 3,8 CZK 2. rok 03,8 CZK Diskontováním převedeme na současnou hodnotu, kde i tn je diskontní faktor v roce n. PV = 3,8 03,8 ( ) ( ) 2 i t i t 2 Položíme-li levou stranu rovnice ceně, za kterou je v daném okamžiku dluhopis obchodován, tedy PV = 99,85 a pro i t dosadíme výnos zero-bondu se splatností rok, jsme schopni vypočíst hypotetickou míru výnosu zero-bondu se splatností 2 let (i t2 ), tedy: 99,85 = i t2 = 3,8873% 3,8 03,8 ( 0,03466) ( ) 2 i t 2 Ad III) Postup zcela identický jako v předchozím případě s tím rozdílem, že předmětem diskontování jsou 6,4% kupónové výnosy, tedy: PV = 6,4 6,4 2 ( i ) ( i ) ( i ) 3 t t 2 06,4 t3 po dosazení: 05,67 = 6,4 6,4 06,4 2 ( 0,03466) ( 0,038873) ( ) 3 potom platí i t3 = 4,382% Ad IV) Pro výpočet míry výnosu 5letého zero-bondu potřebujeme nejdříve znát výnosovu míru 4letého zero-bondu. Pokud není takovýto dluhopis k dispozici, je potřeba pomocí lineární interpolace 8 stanovit alespoň jeho hypotetický výnos. Ten odvodíme ze znalosti ceny hypotetické ceny dluhopisu, která se stane předmětem kalkulace. i t 3 8 V praxi jsou používány sofistikovanější metody odhadu výnosů (exponential cubic splines). 5

Stanovení hypotetického výnosu lineární interpolací: Výpočet monitorované hodnoty (ceny) provádíme dle jednoduché vzorce R tt = R R R ( t ) tn t0 t0 * t t0 tn t0 Výnos (respektive cena) 4letého zero-bondu je tedy v našem případě neznámou Rtt. Dosazením vypočteme cenu 4letého dluhopisu při znalosti cen 5letého a 3letého dluhopisu. Cena 4letého dluhopisu = 0,355 Toutéž cestou zjistíme i kupónový výnos tohoto bondu. Kupónový výnos 4letého dluhopisu = 4,975% Dosazením takto vypočtených, hypotetických hodnot do funkce, vypočteme diskontní faktor pro 4. období. PV = 4,975 4,975 4,975 2 3 ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) 4 t t 2 t3 04,975 t 4 po dosazení: 0,335 = 4,975 4,975 4,975 2 3 ( 0,03466) ( 0,038873) ( 0,04382) ( ) 4 i t4 = 4,6445% Požadovaná míra výnosu 5letého depozita je tedy rovna: 6 04,975 i t 4

PV = 3,55 3,55 3,55 3,55 2 3 4 ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) 5 t t 2 t3 t 4 03,55 t5 96,597 = 3,55 3,55 3,55 3,55 03,55 2 3 4 ( 0,03466) ( 0,038873) ( 0,04382) ( 0,048546) ( ) 5 i t 5 i t5 = 4,387% Zbylé výnosy si je každý schopen dopočíst již sám. i t6 = 4,260% i t7 = 4,2649% i t8 = 4,370% i t9 = 4,5653% i t0 = 4,5653% Obr. 6 Výnosová křivka 6,0000 Yield Curve 5,0000 4,0000 Yield (% 3,0000 2,0000,0000 0,0000 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 maturita (splatnost v letech) derived yield 7

Determinanty pohybu výnosových křivek Ještě dříve, než přistoupíme k hodnocení těchto determinantů, vzpomeňme v krátkosti na hypotézu očekávání, která postuluje závěr, že dlouhodobé sazby jsou průměrem krátkodobých sazeb, respektive průměrem krátkodobých spotových a krátkodobých forwardových sazeb. Forwardová sazba potom v sobě odráží to, jak investoři formují svá očekávání ohledně budoucí sazby (sazeb). Zásadním způsobem tak budou ovlivňovat současné i budoucí události. Logiku lze vyjádřit podle aproximované rovnice nominálního výnosu. Ten je roven součtu reálného výnosu a očekávané inflace. I N = I R π e Je- li reálný výnos I R v čase stabilní, potom nominální výnos I N je plně určen inflačním očekáváním π e. Klade-li si investor otázku, jakou minimální výši výnosu bude požadovat z investice, kterou chce realizovat počátkem příštího roku, předpokládá-li, že jeho požadovaný reálný výnos je 2% a současně očekává inflace pro období, po něž bude investovat své prostředky bude 3%, potom jeho požadovaná nominální výnosnost bude rovna 5% 9. Očekávání tak zásadním způsobem určují sklon výnosových křivek. Je-li například v horizontu dvou a více let očekáván růst cenové hladiny, potom výnosy dvou a víceletých dluhopisů budou mít již v sobě tato inflační očekávání zanesena (jejich ceny poklesnou a výnosy vzrostou). Měnová politika Rozhodnutí centrální banky o nastavení klíčových úrokových sazeb, je prvním z významných hybatelů výnosových křivek. Zásadním způsobem ovlivňuje především krátký konec výnosové křivky, jinými slovy čím kratší je úroková sazba, tím silnější je její odezva na případnou změnu klíčové sazby centrální banky. Ta je tak de facto schopna ovlivnit krátký konec křivky přímo, zatímco ostatní splatnosti je schopna ovlivnit pouze zprostředkovaně přes očekávání. Pokud definujeme sklon výnosové křivky jako rozdíl mezi dluhopisem dlouhé splatnosti (např. 0 let) a dluhopisem krátkým ( rok), potom by se na první pohled mohlo zdát, že změna sklonu bude determinována nastavením sazeb k danému okamžiku. Korelace ovšem tuto závislost nepotvrzují. To ovšem neznamená, že měnová politika svými sazbami, respektive jejich změnou neovlivňuje sklon křivek. S největší pravděpodobností totiž bude změna sazby centrální banky účastníky trhu očekávána již dříve a její výše tak bude do výnosové křivky zapraisována ještě před faktickou změnou této sazby. Na změnu sazeb centrální banky tak trhy (výnosová křivka) nemusí již reagovat, protože tak již učinili dříve. Výnosová křivka a hospodářský cyklus Vývoj výnosové křivky je úzce korelován s hospodářským cyklem. Intenzita vzájemné závislosti je především odrazem rozvinutosti finančních trhů. Na trzích, kde jsou liberalizovány kapitálové toky, funguje likvidní trh s finančními instrumenty a je dostatečně rozvinutý finanční sektor je vzájemná korelace mezi pohybem výnosové křivky a hospodářským cyklem o to silnější. Empirií bylo dokázáno, že výnosová křivka dokáže predikovat vývoj hospodářského cyklu již několik kvartálů dopředu. 9 Hodnota 8% je hodnotou přibližnou. Chtěli bychom-li být přesní, potom bychom počítali dle rovnice: ( IN )= ( IR)*( πe). 8

Je tomu tak proto, že výnosová křivka v sobě odráží řadu faktorů:. měnovou politiku 2. poptávku po úvěrech 3. očekávání investorů 4. mezní produktivitu kapitálu Rostoucí výnosová křivka je odrazem očekávaného ekonomického růstu. Ten je totiž doprovázen rostoucí cenovou hladinou (inflací), která se následně odráží v růstu sazeb centrální banky, ve snaze zabránit inflačním tlakům. Očekávají-li tedy trhy prosperitu, očekávají tak vyšší inflaci, potažmo vyšší klíčovou sazbu. Výnosová křivka je v takové situaci rostoucí, jinými slovy sklon, vyjádřený například jako rozdíl mezi 0letým dluhopisem a letým dluhopisem je pozitivní. Klesající (invertovaná výnosová křivka) může být naproti tomu předzvěstí hospodářského poklesu. Jinými slovy, krátkodobé sazby jsou příliš vysokými (působí restriktivně) a do budoucna se očekává jejich pokles (tak jak postupně bude klesat inflace). Tento vzájemný vztah mezi inverzní výnosovou křivkou a vývojem produktu byl empirií potvrzen, nicméně dnes je jeho význam oslabován. Sám Alan Greenspan, bývalý guvernér Fedu toto označil za ztrátu predikční schopnosti výnosové křivky. Příčinou jeho výroku byla událost související se zvýšení sazeb Fedu, za účelem potlačení inflačního vzlínání. Jaké ale bylo překvapení trhů, když dlouhý konec výnosové křivky na toto opatření reagoval naopak poklesem sazeb. Za normálních okolností by se dalo očekávat růst sazeb na obou koncích a celkový sklon výnosové křivky by se snížil (růst sazeb na krátkém konci by byl vyšší, než růst sazeb na konci dlouhém). Ekonomové později přišli s vysvětlením, že výnosy cenných papírů na dlouhém konci výnosové křivky byly tlačeny dolů vlivem nákupů dlouhých papírů zahraničními (asijskými) centrálními bankami. Asijské státy v té době prováděly rozsáhlé operace na devizovém trhu za účelem znehodnocení jejich posilujících měn, což de facto znamenalo nákup dolarových rezerv (dluhopisů) za domácí měnu. Vyšší zájem o tyto dluhopisy z řad investorů zvyšoval jejich ceny a snižoval tak jejich výnos. Centrální banka tak v situaci výrazné poptávky po domácích dluhopisech ze strany zahraničních institucí de facto ztrácí kontrolu nad řízením střednědobých a dlouhodobých sazeb. Stejně problematickým se stává pro americkou výnosovou křivku i možnost ztráty zájmu těchto investorů o americké dluhopisy, především pak pokud diskutujeme situaci mohutných výprodejů. Důsledkem by byl výrazný vzestup cen dluhopisů příslušného segmentu křivky, které by se následně skrze inflační (depreciace měny) očekávání a zvýšenou míru rizika přelil do zbylých splatností. Z dynamického pohledu můžeme říci, že nacházejí-li se krátkodobé úrokové sazby nezvykle vysoko 20, potom je to v situaci, kdy se ekonomika nachází na vrcholu hospodářského cyklu, s kterým je spojena úroveň produktu převyšující potenciál, vyšší inflace, respektive vysoká cenová úroveň a nízká nezaměstnanost. 20 Zde myšleno ve srovnání s průměrem předchozího období. 9

Obr. 7 Hospodářský cyklus Ekonomickém prostředí To, jaká bude do budoucna očekávána inflace, a tedy jaký je investorem požadovaný výnos, je zásadně ovlivněno současným stavem. Ekonomické podmínky mohou být ovlivněny jak aktivními zásahy, tak pasivitou centrálních autorit (měnové i fiskální). Podmínky v otevřené ekonomice navíc mohou být do značné míry ovlivněny i vývojem na regionálním či světovém trhu. I. Měnově-politická a fiskální opatření - mohou působit na výnosnost po celé délce výnosové křivky. Měnová politika změnou klíčové úrokové sazby (v ČR např. dvoutýdenní repo) působí na krátký konec výnosové křivky a zprostředkovaně i na její dlouhý konec. Nadměrná emise vládních dluhopisů, za účelem pokrytí rostoucích výdajů, může tlačit na růst požadované míry výnosu, a to de facto dvěma kanály 2. Sklon výnosové křivky mohou ovlivnit i měnově-politická rozhodnutí dlouhodobého charakteru například rozhodnutí o vstupu do Evropské měnové unie (přijetí euro), může být ve výnosové křivce zapraizováno již dnes 22. II. Externí faktory rostoucí ceny nerostných surovin, silná spotřebitelská poptávka v okolních zemích, sentiment na světových finančních trzích 23, i ty mohou zásadním způsobem ovlivnit podobu výnosové křivky. III. Interní faktory ke změně výnosové křivky může dojít i z titulu změny požadované obecné míry výnosu. Ta například může růst v důsledku snižující se míry rizika, například vlivem zdokonalujících se systémů řízení rizik ve společnostech (interní, externí audit, risk management atd.). IV. Ostatní Jakákoliv další rizika, pramenící z podstaty trhu, s nimiž může být investor konfrontován a jež jsou mu známa (alespoň z části je lze pravděpodobnostně vymezit), budou hrát důležitou roli při stanovení požadovaného výnosu. 2 Jsou-li na trh umisťovány takové objemy vládních dluhopisů, jež převyšují poptávku, musí stát nabídnout vyšší míru výnosu, aby dluhopisy upsal v plné výši. Dále, rostoucí vládní výdaje mohou vést ke zvyšování cenové hladiny a tedy i nominálního výnosu, má-li být reálný výnos zachován. 22 Vstup do Evropské měnové unie je podmíněn řadou nominálních kritérií včetně úrokových sazeb a inflace. Znalostí alespoň zevrubného termínu vstupu ovlivní výši výnosu dluhopisů připadajících svou splatností do tohoto termínu. 23 Zvyšující se averze k riziku na světových trzích (spojená například s negativním výhledem globálního růstu), vede k přesunu prostředků z rizikovějších aktiv (akcie) do aktiv s profilem nižšího rizika (dluhopisy růst jejich cen a pokles výnosů). V případě pozitivního výhledu platí opačný závěr (pokles cen dluhopisů a růst jejich výnosů). 20

Obr. 8 Zplošťování výnosové křivky Zdroj: Bloomberg Obr. 9 Návrat výnosové křivky do normálu Zdroj: Bloomberg 2