MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA

MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA pro žáky základních škol a nižších ročníků víceletých gymnázií 60. ROČNÍK, 2010/2011 http://math.muni.cz/mo Milí mladí přátelé, máte rádi zajímavé matematické úlohy a chtěli byste si v jejich řešení zasoutěžit? Jestliže ano, zveme vás k účasti v matematické olympiádě(mo). Soutěž je dobrovolná a nesouvisí s klasifikací z matematiky. Mohousejízúčastnitžáci5.až9.ročníkůzákladníchškolažácijim odpovídajících ročníků víceletých gymnázií vždy ve svých kategoriích. Podrobnější rozdělení uvádí následující tabulka. ročník ZŠ 8letéG 6letéG kategorie 9 4 2 Z9 8 3 1 Z8 7 2 Z7 6 1 Z6 5 Z5 Se souhlasem svého učitele matematiky můžete soutěžit i v některé kategoriiurčenéprovyššíročníknebovněkterékategoriia,b,c,p,které jsou určeny pro studenty středních škol. Soutěžní úlohy pro kategorie A, B, C, P jsou uveřejněny v letáku Matematická olympiáda na středních školách. Průběh soutěže Soutěž v jednotlivých kategoriích probíhá ve dvou nebo ve třech kolech. Kategorie Z9 má školní, okresní a krajské kolo. KategorieZ8,Z7,Z6aZ5majíškolníaokresníkolo. Školní kolo: V tomto vstupním kole soutěže, organizovaném na školách, řeší žáci ve svém volném čase(doma) šest úloh uveřejněných v tomto 1

letáku. Do soutěže budou zařazeni žáci, kteří odevzdají svým učitelům matematiky řešení alespoň čtyř úloh. Všem soutěžícím však doporučujeme, aby se snažili vyřešit všechny úlohy, protože v dalším průběhu soutěže mohou být zadány podobné úlohy. Řešení úloh odevzdávejte svým učitelům matematiky v těchto termínech: KategorieZ5,Z9:prvnítrojiciúlohdo5.listopadu2010adruhou trojiciúlohdo7.ledna2011. KategorieZ6ažZ8:prvnítrojiciúlohdo10.prosince2010adruhou trojici úloh do 4. března 2011. Vašiučiteléúlohyopravíaohodnotípodlestupnice1 výborně,2 dobře, 3 nevyhovuje. Pak je s vámi rozeberou, vysvětlí vám případné nedostatky a seznámí vás se správným, popřípadě i jiným řešením. Úspěšnými řešiteli školního kola se stanou ti soutěžící, kteří budou mít alespoň u čtyř úloh řešení hodnocena výborně nebo dobře. Práce všech úspěšných řešitelů kategorií Z6 až Z9 zašle vaše škola okresníkomisimo.taznichvyberenejlepšířešiteleapozvejekúčasti v okresním kole soutěže. Výběr účastníků v kategorii Z5 provádějí po dohodě s okresní komisí MO školy, které okresní kolo pořádají(viz níže). Okresní kolo se uskuteční pro kategorii Z9 26. ledna 2011, prokategoriiz6ažz86.dubna2011, pro kategorii Z5 26. ledna 2011. OkresníkoloprokategorieZ6ažZ9sepořádázpravidlavokresním městě, v kategorii Z5 okresní kolo probíhá na několika školách okresu pověřených pořádáním. Žáci pozvaní do okresního kola kategorie Z9 budou řešit samostatně vprůběhu4hodin4soutěžníúlohy.pozvanížácikategoriíz6ažz8budou samostatně řešit 3 úlohy v průběhu 2 hodin. Pozvaní žáci kategorie Z5 budou samostatně řešit 3 úlohy v průběhu 90 minut. Ve všech kategoriích se řešení úloh obodují a podle součtu získaných bodů se sestaví pořadí účastníků okresního kola. Účastníci, kteří získají předepsaný počet bodů(zpravidla aspoň polovinu z dosažitelných bodů), se stanou úspěšnými řešiteli okresního kola a nejlepší z nich budou odměněni. KrajskékoloprokategoriiZ9sebudekonat23.března2011vněkterém městě vašeho kraje. Průběh soutěže a její vyhodnocení je stejné jako při okresním kole. Nejlepší účastníci krajského kola jsou vyhlášeni jeho vítězi. 2

Matematickou olympiádu pořádají Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy, Jednota českých matematiků a fyziků a Matematický ústav Akademie věd České republiky. Soutěž organizuje ústřední komise MO, vkrajíchjiřídíkrajskékomisemo připobočkáchjčmfavokresech okresní komise MO. Na jednotlivých školách ji zajišťují pověření učitelé matematiky. Vy se obracejte na svého učitele matematiky. Pokyny a rady soutěžícím Řešení soutěžních úloh vypracujte čitelně na listy formátu A4. Každou úlohu začněte na novém listě a uveďte vlevo nahoře záhlaví podle vzoru: Karel Veselý 8.B ZŠ,Kulaténám.9,62979Lužany okres Znojmo 2010/2011 Úloha Z8 I 3 Řešení pište tak, aby bylo možno sledovat váš myšlenkový postup, podrobně vysvětlete, jak jste uvažovali. Uvědomte si, že se hodnotí nejen výsledek, ke kterému jste došli, ale hlavně správnost úvah, které k němu vedly. Práce, které nebudou splňovat tyto podmínky nebo nebudou odevzdány ve stanoveném termínu, nebudou do soutěže přijaty. 3

NaukázkuuvedemeřešeníúlohyzII.kolakategorieZ8zjednoho z předcházejících ročníků MO: Úloha Z8 II-1. Je dán obdélník s celočíselnými délkami stran. Jestliže zvětšímejednujehostranuo4adruhouzmenšímeo5,dostanemeobdélník s dvojnásobným obsahem. Určete strany daného obdélníku. Najděte všechny možnosti. Řešení. Délky stran obdélníku označíme a, b. Nový obdélník má délky stran a+4, b 5.Podlepodmínkyúlohyproobsahyobouobdélníkůplatí Postupně upravíme: 2ab=(a+4)(b 5). ab 4b+5a= 20 ab 4b+5a 20= 40 (a 4)(b+5)= 40 (Odečteme 20, abychom levou stranu mohli rozložit na součin.) Řešenínajdemerozklademčísla 40na2činitele.Přitommusíbýt a >0, b >0,atedy a 4 > 4, b+5 >5.Jsoudvěmožnosti: ( 2) 20= 40 a ( 1) 40= 40. Vprvnímpřípadědostanemeobdélníkostranách a=2, b=15sobsahem S=30.Novýobdélníkpakmástrany a =6, b =10aobsah S =60, tj. S =2S. Vdruhém případědostanemeobdélníkostranách a = 3, b = 35 sobsahem S=105.Novýobdélníkpakmástrany a =7, b =30aobsah S =210.Opětje S =2S. 4

Z5 I 1 KATEGORIE Z5 Vítekmánapsánadvěčísla,541a293.Zšestipoužitýchčíslicmá nejprve vyškrtnout dvě tak, aby součet dvou takto získaných čísel byl největší možný. Poté má z původních šesti číslic vyškrtnout dvě tak, aby rozdíl dvou takto získaných čísel byl nejmenší možný(odečítá menší číslo od většího). Které číslice má vyškrtnout? (M. Petrová) Z5 I 2 V Trpasličím království měří vzdálenosti v pohádkových mílích(pm), v pohádkových sázích(ps) a v pohádkových loktech(pl). Na vstupní bráně do Trpasličího království je následující tabulka pro převody mezi jejich jednotkami a našimi: 1pm=3,85m, 1ps=105cm, 1pl=250mm. Král Trpaslík I. nechal přeměřit vzdálenost od zámecké brány k pohádkovému jezírku. Tři pozvaní zeměměřiči dospěli k těmto výsledkům: prvníuváděl4pm4ps18pl,druhý3pm2ps43platřetí6pm1ps1pl. Jedenznichsevšakzmýlil.Jakájevzdálenostvmetrechodzámeckébrány k pohádkovému jezírku? O kolik centimetrů se spletl nepřesný zeměměřič? (M. Petrová) Z5 I 3 Čtyři kamarádi Adam, Mojmír a dvojčata Petr a Pavel získali v hodinách matematiky celkem 52 smajlíků, každý alespoň 1. Přitom dvojčata dohromady mají 33, ale nejúspěšnější byl Mojmír. Kolik jich získal Adam? (M. Volfová) Z5 I 4 PanTikapanTakprodávalibudíkyvprodejnáchPředRohemaZa Rohem.PanTiktvrdil,žePředRohemprodalio30budíkůvícenež Za Rohem, zatímco pan Tak tvrdil, že Před Rohem prodali třikrát více budíkůnežzarohem.nakonecseukázalo,žetikitakmělipravdu. Kolik budíků prodali v obou prodejnách celkem? (L. Hozová) 5

Z5 I 5 Dokroužkůnaobrázkudoplňtečísla1,2,3,4,5,6a7tak,abysoučet čísel na každé vyznačené linii byl stejný. Žádné číslo přitom nesmí být použito víckrát. (M. Smitková) Z5 I 6 Paní Široká čekala večer hosty. Nejprve pro ně připravila 25 chlebíčků. Pakspočítala,žebysikaždýhostmohlvzítdva,třibysevšaknavšechny nedostaly. Řekla si, že kdyby vyrobila ještě 10 chlebíčků, mohl by si každý hostvzíttři,alečtyřinekaždý.tojípřišlostálemálo.nakonecuchystala dohromady 52 chlebíčků. Každý host by si tedy mohl vzít čtyři chlebíčky, ale pět by se na všechny nedostalo. Kolik hostů paní Široká očekávala? Onasamadržídietuavečernikdynejí. (L.Šimůnek) 6

KATEGORIE Z6 Z6 I 1 Když Bořek natíral vrata garáže, přetřel omylem i stupnici nástěnného venkovního teploměru. Trubička se rtutí však zůstala nepoškozená, a tak Bořek původní stupnici přelepil páskem vlastní výroby. Na něj pečlivě vyrýsoval dílky, všechny byly stejně velké a označené čísly. Jeho dílek měl však jinou velikost než původní dílek, který představoval jeden stupeň Celsia,ainuluBořekumístiljinam,nežkdebylo0 C.TaktozačalBořek měřit teplotu ve vlastních jednotkách: bořcích. Když by měl teploměr ukazovatteplotu11 C,ukazoval2bořky.Kdyžbymělukazovat 4 C, ukazoval 8 bořků. Jaká je teplota ve stupních Celsia, vidí-li Bořek na svém teploměru teplotu 2 bořky? (L. Šimůnek) Z6 I 2 Začínající písničkář prodával vždy po vystoupení CD se svou hudbou. VečtvrtekprodalosmstejnýchCD.DennatoužnabízelisvénovéCD alidésitakmohlikoupittosaméjakovečtvrteknebonové.vsobotu chtěli všichni posluchači nové CD a písničkář jich prodal ten den šest. Vjednotlivýchdnechutržil590Kč,720Kča840Kč,neprozradímevšak, která částka patří ke kterému dni. KolikstálostaršíCD? KoliknovýchCDprodalvpátek? (L. Šimůnek) Z6 I 3 Vojta napsal číslo 2010 stokrát bez mezer za sebou. Kolik čtyřmístných a kolik pětimístných souměrných čísel bylo ukryto v tomto zápise? (Souměrné číslo je takové číslo, které je stejné, je-li čteno zepředu i zezadu, např. 39193.) (L. Hozová) Z6 I 4 Součin věků dědy Vendelína a jeho vnoučat je 2010. Součet věků všech vnoučat je 12 a žádná dvě vnoučata nemají stejný počet let. Kolik vnoučat má děda Vendelín? (L. Hozová) 7

Z6 I 5 Natábořesedvavedoucísedvěmatáborníkyapsempotřebovalidostatpřesřekuakdispozicimělijenjednuloďkuonosnosti65kg.Naštěstí všichni(kromě psa) dokázali loďku přes řeku převézt. Každý vedoucí vážil přibližně60kg,každýtáborník30kgapes12kg.jaksimělipočínat? Kolikrát nejméně musela loďka překonat řeku? (M. Volfová) Z6 I 6 Karel obestavěl krabici s obdélníkovým dnem obrubou z krychliček. Použilprávě22krychličekohraně1dm,kteréstavěltěsněvedlesebe vjednévrstvě.meziobrubouastěnamikrabicenebylamezeraacelátato stavba měla obdélníkový půdorys. Jaké rozměry mohlo mít dno krabice? (M. Krejčová) 8

KATEGORIE Z7 Z7 I 1 Součin číslic libovolného vícemístného čísla je vždy menší než toto číslo. Pokud počítáme součin číslic daného vícemístného čísla, potom součin číslic tohoto součinu, poté znova součin číslic nového součinu atd., nutně po nějakém počtu kroků dospějeme k jednomístnému číslu. Tento počet kroků nazýváme perzistence čísla. Např. číslo 723 má perzistenci 2, neboť 7 2 3=42(1.krok)a4 2=8(2.krok). 1. Najděte největší liché číslo, které má navzájem různé číslice a perzistenci 1. 2. Najděte největší sudé číslo, které má navzájem různé nenulové číslice a perzistenci 1. 3. Najděte nejmenší přirozené číslo, které má perzistenci 3. Z7 I 2 (S. Bednářová) Ondranavýletěutratil 2 3 penězazezbytkudalještě 2 3 naškolupro dětiztibetu.za 2 3 novéhozbytkuještěkoupilmalýdárekpromaminku. Zděravékapsyztratil 4 5 zbylýchpeněz,akdyžzezbylýchdalpůlkumalé sestřičce, zůstala mu právě jedna koruna. S jakým obnosem šel Ondra na výlet? (M. Volfová) Z7 I 3 Šárka prohlásila: Jsmetřisestry,jájsemnejmladší,LíbajestaršíotřirokyaEliška oosm.našemamkarádaslyší,ženámvšem(isní)jevprůměru21let. Přitomkdyžjsemsenarodila,bylomamceuž29. Před kolika lety se Šárka narodila? (M. Volfová) Z7 I 4 Jindra měl napsáno čtyřmístné číslo. Toto číslo zaokrouhlil na desítky, nastovkyanatisíceavšechnytřivýsledkyzapsalpodtotočíslo.všechna čtyři čísla správně sečetl a dostal 5 443. Které číslo měl Jindra napsáno? (M. Petrová) 9

Z7 I 5 Libornarýsovalkružnicisestředem Sabody A, B, C, D,jakukazuje obrázek.zjistil,žeúsečky SCa BDjsoustejnědlouhé.Vjakémpoměru jsou velikosti úhlů ASC a SCD? (L. Hozová) C D A S B Z7 I 6 Najděte všechna trojmístná přirozená čísla, která jsou beze zbytku dělitelná číslem 6 a ve kterých můžeme vyškrtnout jakoukoli číslici a vždy dostaneme dvojmístné přirozené číslo, jež je také beze zbytku dělitelné číslem 6. (L. Šimůnek) 10

KATEGORIE Z8 Z8 I 1 Martin má na papíře napsáno pětimístné číslo s pěti různými číslicemi a následujícími vlastnostmi: škrtnutím druhé číslice zleva(tj. číslice na místě tisíců) dostane číslo, které je dělitelné dvěma, škrtnutím třetí číslice zleva dostane číslo, které je dělitelné třemi, škrtnutím čtvrté číslice zleva dostane číslo, které je dělitelné čtyřmi, škrtnutím páté číslice zleva dostane číslo, které je dělitelné pěti, neškrtne-li žádnou číslici, má číslo dělitelné šesti. Které největší číslo může mít Martin napsáno na papíře? (M. Petrová) Z8 I 2 Karel se snažil do prázdných polí na obrázku vepsat přirozená čísla od 1do14tak,abyžádnéčíslonebylopoužitovíckrátasoučetvšechčísel vkaždépříméliniibylstejný.pochvílisiuvědomil,žetonenímožné.jak byste Karlovo pozorování zdůvodnili vy?(přímou linií rozumíme skupinu všech sousedících políček, jejichž středy leží na jedné přímce.) (S. Bednářová) Z8 I 3 Cenaknížky Novéhádanky bylasníženao62,5%.matějzjistil,že oběceny(předsníženímiponěm)jsoudvojmístnáčíslaadajísevyjádřit stejnými číslicemi, jen v různém pořadí. O kolik Kč byla knížka zlevněna? (M. Volfová) 11

Z8 I 4 Rozděltekrychliohraně8cmnamenšíshodnékrychličkytak,aby součet jejich povrchů byl pětkrát větší než povrch původní krychle. Jaký bude objem malé krychle a kolik centimetrů bude měřit její hrana? (M. Volfová) Z8 I 5 Klára, Lenka a Matěj si procvičovali písemné dělení se zbytkem. Jako dělence měl každý zadáno jiné přirozené číslo, jako dělitele však měli všichni stejné přirozené číslo. Lenčin dělenec byl o 30 větší než Klářin. Matějův dělenec byl o 50 větší než Lenčin. Kláře vyšel ve výsledku zbytek 8,Lencezbytek2aMatějovizbytek4.Všichnipočítalibezchyby.Jaký dělitel byl žákům zadán? (L. Šimůnek) Z8 I 6 V rovnoramenném lichoběžníku ABCD jsou úhlopříčky AC a DB na sebekolmé,jejichdélkaje8cmadélkadelšízákladny ABjetaké8cm. Vypočítejte obsah tohoto lichoběžníku. (M. Krejčová) 12

KATEGORIE Z9 Z9 I 1 PanVlkčekalnazastávcepředškolounaautobus.Zoknaslyšelslova učitele: Jaký povrch může mít pravidelný čtyřboký hranol, víte-li, že délky všech jeho hran jsou v centimetrech vyjádřeny celými čísly a že jeho objem je... Toto důležité číslo pan Vlk neslyšel, protože zrovna projelo okolo auto. Zachvílislyšelžákahlásícíhovýsledek918cm 2.Učitelnatořekl: Ano,aleúlohamácelkemčtyřiřešení.Hledejtedál. Více se pan Vlk už nedozvěděl, neboť nastoupil do svého autobusu. Protože matematika byla vždy jeho hobby, vytáhl si v autobuse tužku apapírapočaseurčilizbylátřiřešeníučitelovyúlohy.spočítejtejeivy. (L. Šimůnek) Z9 I 2 Na obrázku jsou tečkovanou čarou znázorněny hranice čtyř stejně velkých obdélníkových parcel. Šedou barvou je vyznačena zastavěná plocha. 480 200 560 440 Ta má tvar obdélníku, jehož jedna strana tvoří zároveň hranice parcel. Zapsaná čísla vyjadřují obsah nezastavěné plochy na jednotlivých parcelách, atovm 2.Vypočítejteobsahcelkovézastavěnéplochy. (L.Šimůnek) Z9 I 3 Vlčkovi lisovali jablečný mošt. Měli ho ve dvou stejně objemných soudcích, v obou téměř stejné množství. Kdyby z prvního přelili do druhého 1litr,mělibyvoboustejně,aletobyanijedensoudeknebylplný.Tak radějipřelili9litrůzdruhéhodoprvního.pakbylprvnísoudekúplně plný a mošt v druhém zaplňoval právě třetinu objemu. Kolik litrů moštu 13

vylisovali, jaký byl objem soudků a kolik moštu v nich bylo původně? (M. Volfová) Z9 I 4 PanRychlýapanLoudavestejnoudobuvyšlinatutéžturistickou túru,jenpanrychlýjišelshorazhorskéchatyapanloudanaopak odautobusudolevměstečkunachatunahoru.v10hodinsenatrase míjeli.panrychlýspěchalajižve12hodinbylvcíli.naopakpanlouda postupovalpomalu,atakdorazilkchatěažv18hodin.vkolikhodin pánovévyrazilinacestu,víme-li,žekaždýznichšelceloudobusvoustálou rychlostí? (M. Volfová) Z9 I 5 Kružnici se středem S a poloměrem 12 cm jsme opsali pravidelný šestiúhelník ABCDEFavepsalipravidelnýšestiúhelník TUV XY Ztak,aby bod T byl středem strany BC. Vypočítejte obsah a obvod čtyřúhelníku T CU S. (M. Krejčová) Z9 I 6 Petr a Pavel česali v sadě jablka a hrušky.v pondělí snědl Petr o2hruškyvícenežpavelao2jablkaméněnežpavel.vúterýpetr snědlo4hruškyméněnežvpondělí.pavelsnědlvúterýo3hruškyvíce nežpetrao3jablkaméněnežpetr.pavelsnědlzaobadny12jablek avúterýsnědlstejnýpočetjablekjakohrušek.vúterývečerobachlapci zjistili, že počet jablek, která společně za oba dny snědli, je stejně velký jako počet společně snědených hrušek. Kolik jablek snědl Petr v pondělí a kolik hrušek snědl Pavel v úterý? (L. Hozová) 14