Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Transkript

1 Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy). Jakou teplotu vyjádří Evropan i Američan stejnou hodnotou? Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla0, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha3.MilošdostalnazkoušcezEsperanta0otázek,nakterélzeodpovídatpouzeANOneboNE. Test je připraven natolik fikaně, že odpoví-li Miloš na libovolných pět otázek ANO a na zbylých pět otázek NE, bude mít vždy alespoň čtyři správné odpovědi. Zjistěte, kolika způsoby lze takovýto test připravit. Úloha4.Najdětenejmenšímožnouhodnotuparametru atak,abynerovnice x 4 x aplatilapro všechna nezáporná čísla x. Úloha 5. Mějme krychli a uvažujme všechny trojúhelníky s vrcholy ve vrcholech krychle. Kolik různých vnitřních úhlů se v těchto trojúhelnících objeví? Úloha6.Kolikazpůsobylzeseřaditčísla 7, 6,...,6,7tak,abyabsolutníhodnotačíselvseřazené posloupnosti byla neklesající? Úloha 7. ABCDEF je pravidelný osmistěn o straně 3 tvořený čtyřbokými jehlany ABCDE a ABCDF. Určete obsah čtyřúhelníku EAF C. Úloha 8.Dopolíčektabulky5 5jsoupořádcích(avrámciřádkuzlevadoprava)vepsánačísla,2,...,25vtomtopořadí.Vyberemepětpolíčektak,abyžádnádvěnebylavestejnémřádkuanive stejném sloupci, a čísla na těchto políčkách sečteme. Jaké hodnoty součtu můžeme tímto způsobem dostat? Úloha9.Vypočítejte tan2 (20 ) sin 2 20 tan 2 (20 )sin Úloha 0. Káťa našla 2009 po sobě jdoucích přirozených čísel, která měla stejný součet jako 2008 po nich následujících čísel. Které z Kátiných čísel bylo nejmenší?

2 2 Úloha. Kterému celému číslu je roven součin ? Úloha2.Buď xreálnéčísloay 0, π 2 splňujícírovnice x+siny=2009 x+2009cos y=2008. Určetesoučet x+y. n Úloha3.Mějmeposloupnostčísel,prokterouplatí a 2 =5aa n = 2 pro n >2.Zjistětehodnotu a 999.Výraz x značínejvětšíceléčíslo,kterénepřesahuje x. a n Úloha4.Prokterápřirozenáčísla nnení n!násobkem n 2? Úloha 5. Mějme pravidelný pětiúhelník ABCDE. Sestrojme rovnostranný trojúhelník P AB tak, aby bod Pleželuvnitřpětiúhelníka.Kolikstupňůmáúhel PEC? Úloha 6. Nalezněte všechna reálná řešení rovnice x+ 4x+ 6x x+3 x=. Úloha7.Nechť a, bjsoutakovékonstanty,žebodyprostorudanésouřadnicemi(,a,b),(a,2,b)a(a,b,3) ležínajednépřímce.určete a+b. Úloha 8. Najděte největší přirozené číslo n takové, aby číslo(2004!)! bylo dělitelné číslem((n!)!)!.

3 Úloha9.Funkce fprokaždé x R + splňuje f(x)= x x.je-li f(x)celéčíslo,jakájejehonejvětší možná dvojciferná hodnota? Výraz x značí největší celé číslo, které nepřesahuje x. 3 Úloha 20. Jarda si upekl dokonale kulatou palačinku a z jejího středu vykrojil kruh, takže teď z palačinky zbylomezikruží.kdyžsenanichystaldátkečup,všimlsi,ženejdelšírovnáčára,kterouumíkečupem nakreslit,anižbyhovylilnastůl,jedlouhá2cm.jakýobsahmájardovapalačinka? Úloha 2. Spočtěte součet Úloha 22. Vojenský pluk dlouhý tři kilometry pochoduje. Jejich nadřízený plukovník podél nich jezdí v autě třikrát rychleji, než vojáci pochodují. Vyjel s posledním vojákem a jede vždy přímo k prvnímu, otočíseajedezpátkykposlednímu,paksezaseotočíajedekprvnímuatakpořáddokola.jakdaleko bude plukovník od posledního vojáka v momentě, kdy budou mít vojáci napochodováno 0 km? Úloha23.Mějmetrojúhelník ABCsúhly ABC = BCA =42.Nechť kjekružnicesestředem K,kteráprotínástranu ABvevnitřníchbodech P, Q,stranu BCvevnitřníchbodech R, Sastranu CA vevnitřníchbodech T, U.Najděteúhel CKB,jestliževíte,že PQ = RS = TU. Úloha24.Jakýzbytekdává poděleníčíslem2 7? Úloha25.Určetepočetpodmnožinmnožiny {,2...,63}takových,žesoučetjejichprvkůjeroven2009. Úloha26.Najdětenejvětšíceléčíslo,kterédělívýraz m 5 5m 3 +4mprokaždé m 0. Úloha 27.Dokružnicejevepsanýšestiúhelník ABCDEF,prokterýplatí AB = CD = EF = 2 BC =2 DE =2 AF.Určeteobvod ABCDEF,víte-li,že AD =8.

4 4 Úloha28.Nechť(s,s 2,...,s n )jelibovolnápermutacečísel,2,...,n.prokolikztěchtopermutací platí,že s k k 2prokaždé k=,2,...,n? Úloha29.Zjednodušte:2,5+ 2 (,5+ 2). Úloha 30. Určete počet obdélníků(včetně čtverců) v tomto obrázku. Úloha 3. Mřížový bod v rovině je takový, jehož obě souřadnice jsou celočíselné. Předpokládejme, že Pravoslav jde z bodu(0, 2009) přímou cestou(po přímce) do náhodného mřížového bodu se souřadnicemi ve čtverci(0, 0),(0, 99),(99, 99),(99, 0) včetně hranic(každý cílový bod má stejnou pravděpodobnost). Jaká je pravděpodobnost, že jeho cesta bude procházet sudým počtem mřížových bodů? Do cesty počítáme i počátek a konec. Úloha32.Označmesi m n= m+n mn+4.spočtěte (((( ) 2007) 2) ) 0. Úloha 33.Čtyřúhelník ABCDmádélkystran AB = 3, BC = 2, CD = 6, DA = 7aplatí ABC =90.Prozradímevám,žetentočtyřúhelníkmákružnicivepsanou.Dovedeteurčitjejípoloměr? Úloha34.Najdětevšechnapřirozenáčísla n,prokterájevýraz n 3 +2n 2 +9n+8třetímocninounějakého přirozeného čísla. Úloha35.Mějmečtverec ABCDsestranouauvnitřnějbod P tak,že PAC = PCD.Navíc víte,že AP = 2 2.Určetevzdálenost BP.

5 5 Úloha 36. Určete počet trojic přirozených čísel(a, b, c) splňující následující vztahy abc+2009=ab+bc+ca a+b+c=200. Úloha37.Mějmedesetpřirozenýchčíseluspořádanýchdokruhutak,žekaždéčíslojeojednavětšínež největší společný dělitel jeho dvou sousedů. Najděte největší možný součet takto rozestavených čísel. Úloha38.Jedánpravidelnýčtyřstěn ABCDsdélkouhrany2.Rovina ρrovnoběžnáshranami AB a CD procházející středem AC rozřízne ABCD na dva kusy. Najděte povrch jednoho z těchto kusů. Úloha39.Všechnapolíčkatabulky8 8vyplnímekřížkyakolečkytak,ževkaždémsloupciivkaždém řádku bude lichý počet křížků. Kolika způsoby můžeme tabulku takto vyplnit? Úloha 40. V PraSátkově je 0 měst. Nově zakládaná společnost Čuňas&spol. chce vytvořit letecké linky meziměstyvprasátkově.vívšak,ževládahodlározdělitprasátkovnadvastáty,obapopětiměstech. Ale bohužel neví, která města budou ve kterém státě. Při rozdělení státu se všechny linky mezi městy z různých států zruší. Poraďte Čuňasům, jaký nejmenší počet linek jim stačí vytvořit, aby po rozdělení PraSátkova mohli cestující s použitím leteckých linek Čuňas&spol. cestovat mezi libovolnými městy v rámci rozdělených států(klidně i s přestupy). Úloha4.Mějmetětivovýčtyřúhelník TUV W,jehožkružniceopsanámápoloměr5.Délkystranjsou TU =6, UV =7, V W =8.Určetedélkuposlednístrany. Úloha42.Buď Smnožinavšechtrojicpřirozenýchčísel(a,b,c),proněžplatí a+b+c=7.určete ijk (i,j,k) S Úloha 43.Jedántrojúhelník ABC ajehokružnicevepsanásestředem I.Tasedotýkástrany BC vbodě D.Označme lkružnicinadprůměrem AI.Buď Qjejídruhýprůsečíkspřímkou BIa Pjejídruhý ( průsečíkspřímkou CI.Víte-li,že BI =6, CI =5, DI =3,určete DP 2. DQ ) Úloha44.Jedánatabulka3x3,vjejímžlevémhornímrohuječísloavpravémdolnímječíslo2009. Rozhodněte, kolika způsoby lze vyplnit zbylá políčka tak, aby každé číslo dělilo číslo v políčku pod ním ičíslovpravoodněj.