PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

Transkript

1 PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní bod a neleží v téže přímce. Uzavřená lomená čára spolu s částí roviny, kterou ohraničuje, se nazývá mnohoúhelník. Pozn. Místo označení "mnohoúhelník" budeme používat termín n-úhelník. V dalším textu se budeme věnovat pouze konvexním n-úhelníkům. Otázka: Kolik je součet vnitřních úhlů v konvexním n-úhelníku? Úhlopříčka je spojnice dvou nesousedních vrcholů n-úhelníku. Otázka: Kolik úhlopříček má konvexní n-úhelník? Pravidelný n-úhelník Má všechny strany i všechny vnitřní úhly stejně veliké. Lze mu opsat i vepsat kružnici. Cvičení: Vepište do kružnice a) rovnostranný trojúhelník b) čtverec c) pravidelný šestiúhelník d) pravidelný osmiúhelník e) pravidelný pětiúhelník

2 Čtyřúhelníky Pozn. Budeme se zabývat pouze konvexními čtyřúhelníky. Dělení: 1) Různoběžníky nemají rovnoběžné strany. 2) Lichoběžníky mají dvě strany základny rovnoběžné, další dvě strany ramena jsou různoběžné. Zvláštními případy lichoběžníků jsou pravoúhlý lichoběžník a rovnoramenný lichoběžník. Úsečka S 1 S 2, kde body S 1, S 2 jsou středy ramen b, d, se nazývá střední příčka lichoběžníku. a c Její délka je rovna aritmetickému průměru délek základen a, c, S1S ) Rovnoběžníky mají dvojice protějších stran navzájem rovnoběžné. Rovnoběžníky jsou kosodélník, kosočtverec, obdélník a čtverec. Základní vlastnosti rovnoběžníků: 1) Protější strany jsou shodné. 2) Protější vnitřní úhly jsou shodné. 3) Úhlopříčky se navzájem půlí a jejich průsečík je středem rovnoběžníku. 4) Úhlopříčky pravoúhlých rovnoběžníků jsou shodné. 5) Úhlopříčky rovnostranných rovnoběžníků půlí jejich vnitřní úhly a jsou na sebe kolmé.

3 Kružnice, kruh Je dán bod S. Kružnice k = (S; r) je množina všech bodů v rovině, které mají od bodu S vzdálenost rovnu r. Bod S nazýváme střed kružnice, r je poloměr kružnice. Kruh K = (S; r) je množina všech bodů v rovině, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r. Bod S nazýváme střed kruhu, r je poloměr kruhu. Tětiva kružnice je úsečka, jejíž krajní body leží na kružnici. Prochází-li středem kružnice, zveme ji průměrem kružnice a značíme d. Body A, B rozdělí kružnici na dva kružnicové oblouky. Není-li AB průměrem kružnice, dostaneme menší a větší kružnicový oblouk. Části kruhu

4 Vzájemná poloha přímky a kružnice k n k s P 1 ; P 2 Body P 1 a P 2 zveme průsečíky přímky a kružnice, bod S 1 je střed tětivy P 1 P 2. T k t Bod T zveme bodem dotyku přímky a kružnice. Otázka: Jak najít střed kružnice, když jej neznáme?

5 Úhly příslušné k oblouku kružnice Přehled značení: ω 1... středový úhel příslušný menšímu oblouku (konvexní úhel) ω 2... středový úhel příslušný většímu oblouku (nekonvexní úhel) δ 1... obvodový úhel příslušný menšímu oblouku (ostrý úhel) δ 2... obvodový úhel příslušný většímu oblouku (tupý úhel) Věta 1: ω = 2δ Věta 2 (Thaletova): Všechny úhly nad průměrem kružnice jsou pravé. Pozn. Thaletova věta je přímým důsledkem věty 1. Je-li tětiva AB současně průměrem kružnice, rozdělí tuto kružnici na dva shodné oblouky, jejichž středové úhly jsou úhly přímé. Cvičení: 1) Bodem A veďte tečnu ke kružnici k, A k. 2) Určete velikost obvodového úhlu příslušného k oblouku, jehož délka je: a) 5 3 délky kružnice, b) 8 3 délky kružnice. 3) V pravidelném osmiúhelníku ABCDEFGH vypočtěte velikosti všech vnitřních úhlů v trojúhelníku: a) ABG, b) ACE, c) BEH. 4) Kružnice je rozdělena na dva oblouky tak, že obvodový úhel příslušný k většímu oblouku je roven středovému úhlu příslušnému k menšímu oblouku. Určete velikost obvodových úhlů příslušných k oběma obloukům.

6 5) Vypočtěte velikost vnitřních úhlů v trojúhelníku, který dostanete, spojíte-li na kruhovém ciferníku hodinek body vyznačující 1, 5, 8. 6) V čtyřúhelníku ABCD, jehož vrcholy leží na kružnici, je velikost úhlu BAD = 58, velikost úhlu ABC = 134. Vypočtěte velikosti zbývajících vnitřních úhlů čtyřúhelníku. 7) Dokažte, že spojnice bodů, které vyznačují na ciferníku hodinek 1, 6 a 5, 8, jsou k sobě kolmé. 8) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou c, je-li dáno: c = 5 cm, v c = 2 cm. 9) AB je menší oblouk kružnice, obvodový úhel k němu příslušný má velikost 65. V bodech A, B jsou sestrojeny tečny kružnice, bod X je jejich průsečík. Vypočtěte velikost úhlu AXB. 10) Sestrojte čtyřúhelník ABCD, který má dva protější úhly při vrcholech B, D pravé. Délka úhlopříčky AC = 6 cm, velikost úhlu CAD = 30, AB = AD. 11) Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno: a) b = 2,5 cm, c = 5 cm, γ = 75. b) a = 5 cm, b = 3,5 cm, v c = 3 cm. 12) Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB délky 5 cm, má-li výšku příslušnou k přeponě a) 2,5 cm, b) 2 cm, c) 3 cm.