CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 19 Mgr. Kateřina Nováková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete, kolikrát je rozdíl čísel 289 a 255 větší než jejich součet. 1 bod 2 Řešte v oboru reálných čísel rovnici a výsledek zapište jako množinu. ( + 3)( + 1) = (7 )( + 3) 1 bod 3 Určete, které přirozené číslo vyhovuje následující rovnici. = 3 100! 99! 98! V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Pravoúhlý lichoběžník ABCD je tvořen čtvercem APCD a pravoúhlým trojúhelníkem PBC (viz obrázek). Základny lichoběžníku jsou v poměru 4 : 7 a delší rameno měří 15 metrů. ma. 3 body 4.1 Vypočítejte délku kratšího ramene lichoběžníku ABCD. 4.2 Vypočítejte velikost úhlu BCA. Výsledek uvádějte s přesností na desítky minut. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Dětská skládací kostka, která slouží dětem ke hře a zároveň ke cvičení rozeznávání barev, se skládá z 8 různobarevných kostek tvaru krychle, které zapadají první do druhé, druhá do třetí, třetí do čtvrté atd. Můžete je stavět na sebe, do sebe, vedle sebe apod. Největší z kostek má hranu délky 140 mm, délky hran zbývajících krychlí se postupně zkracují vždy o 15 mm. 2 Maturita z matematiky 02

3 5.1 Určete délku hrany nejmenší kostky. 5.2 Určete výšku věže, která vznikne postavením všech kostek na sebe. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Školní model pravidelného čtyřbokého hranolu, jehož výška je dvojnásobkem podstavné hrany, má objem V = 128 cm 3. 6 Vypočítejte, jaké nejmenší množství kartonového papíru velikosti A0 je třeba na sestavení všech papírových modelů pro patnáctičlennou třídu tak, že pro každého žáka bude určen jeden model, jestliže papír velikosti A0 svými rozměry odpovídá ploše 1 m 2. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána přímka p: 2y + 1 = 0. 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Směrovým vektorem přímky p je vektor u = (1; 2). 7.2 Přímka p svírá s kladnou poloosou úhel menší než přímka q: y =. 7.3 Přímka r, která prochází počátkem souřadnicového systému Oy a která je kolmá na přímku p, má obecnou rovnici r: 2 y = Parametrická rovnice přímky p má tvar: p = {[2t 1; t], t R}. ANO NE VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Funkce f je dána předpisem y = k, kde R +, a prochází bodem A [ 1 2 ; 8 ]. 2 body Maturita z matematiky 02 3

4 8 Určete takovou hodnotu proměnné, pro kterou je funkční hodnota funkce f rovna proměnné, tj. f() =. A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) jiná hodnota 9 Přiřaďte ke každému výrazu ( ) jeho ekvivalentní zápis (A F) (1 3) 2 ma. 4 body A) (1 + 6)(1 6) B) (3 + 1)(3 + 1) C) (3 1)(3 1) D) (1 3)(1 + 3) E) (3 + 1)(3 1) F) žádný z uvedených VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Jsou dány přímky p, q, r a s, pro které platí: p q p r p s r s (viz obrázek). 10 Určete velikost úhlu φ. A) 35 B) 25 C) 15 D) 5 E) jiná velikost 2 body KONEC TESTU 4 Maturita z matematiky 02

5 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Určete, kolikrát je rozdíl čísel 289 a 255 větší než jejich součet. 1 bod Určíme rozdíl čísel 289 a 255: 289 ( 255) = = 544 Určíme součet čísel 289 a ( 255) = = 34 Určíme, kolikrát je rozdíl čísel větší než jejich součet = 16 Rozdíl čísel 289 a 255 je 16krát větší než jejich součet. Řešení: 16krát 2 Řešte v oboru reálných čísel rovnici a výsledek zapište jako množinu. ( + 3)( + 1) = (7 )( + 3) 1 bod Rovnici řešíme ekvivalentními úpravami. ( + 3)( + 1) = (7 )( + 3) ( + 3)( + 1) (7 )( + 3) = 0 ( + 3)[( + 1) (7 )] = 0 ( + 3)( ) = 0 ( + 3)(2 6) = = = 0 = 3 = 3 { 3; 3} Kdybychom se rozhodli řešit rovnici důsledkovou úpravou tak, že bychom obě strany rovnice vydělili výrazem + 3 a řešili ji jako lineární, je nutné si uvědomit, že tento postup není přípustný pro = 3. ( + 3)( + 1) = (7 )( + 3) /: ( + 3), = 7 2 = 6 = 3 Je třeba nyní zjistit dosazením, zda = 3, pro které jsme rovnici neřešili, není rovněž jejím kořenem. L = ( 3 + 3)( 3 + 1) P = (7 + 3)( 3 + 3) = 0 L = P Zjistili jsme, že = 3 je rovněž kořenem zadané rovnice. Řešení: { 3; 3} 3 Určete, které přirozené číslo vyhovuje následující rovnici. = 3 100! 99! 98! V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Maturita z matematiky 02 5

6 Upravíme faktoriály ve jmenovatelích zlomků tak, aby bylo názornější, jakým přirozeným číslem budeme rovnici násobit, abychom jmenovatele odstranili. = ! 99 98! 98! Rovnici tedy vynásobíme výrazem !. = / = 99 / :99 = = 300 Řešení: = 300 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Pravoúhlý lichoběžník ABCD je tvořen čtvercem APCD a pravoúhlým trojúhelníkem PBC (viz obrázek). Základny lichoběžníku jsou v poměru 4 : 7 a delší rameno měří 15 metrů. 4.1 Vypočítejte délku kratšího ramene lichoběžníku ABCD. ma. 3 body V pravoúhlém trojúhelníku PBC platí Pythagorova věta: (15 m) 2 = (4) 2 + (3) m 2 = m 2 = 25 2 / :25 9 m 2 = 2 / = 3 m Kratší rameno lichoběžníku ABCD je rameno AD. Určíme jeho velikost. AD = 4 = 4 3 m = 12 m Kratší rameno lichoběžníku ABCD je 12 m dlouhé. Řešení: 12 m 6 Maturita z matematiky 02

7 4.2 Vypočítejte velikost úhlu BCA. Výsledek uvádějte s přesností na desítky minut. Využijeme goniometrické funkce tangens k výpočtu úhlu α. tg α = 3 4 α = Odchylka β úhlopříčky AC od strany čtverce PC má velikost 45. BCA = α + β = Úhel BCA má velikost Řešení: VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 5 Dětská skládací kostka, která slouží dětem ke hře a zároveň ke cvičení rozeznávání barev, se skládá z 8 různobarevných kostek tvaru krychle, které zapadají první do druhé, druhá do třetí, třetí do čtvrté atd. Můžete je stavět na sebe, do sebe, vedle sebe apod. Největší z kostek má hranu délky 140 mm, délky hran zbývajících krychlí se postupně zkracují vždy o 15 mm. 5.1 Určete délku hrany nejmenší kostky. Délka hrany nejmenší kostky je první člen a 1 aritmetické posloupnosti s diferencí d = 15 mm. Určíme jej ze vzorce pro n-tý člen. a n = a 1 + (n 1)d a 1 = a 8 7d = 140 mm 7 15 mm = 35 mm Nejmenší kostka má hranu délky 35 mm. Řešení: 35 mm 5.2 Určete výšku věže, která vznikne postavením všech kostek na sebe. Výška věže je součet výšky všech osmi na sobě stojících kostek. Jedná se tedy o součet s 8 prvních osmi po sobě jdoucích členů této posloupnosti. s n = n 2 (a 1 + a n ) s 8 = 8 2 (a 1 + a 8 ) = 4 (35 mm mm) = 700 mm Výška věže je 700 mm. Řešení: 700 mm Maturita z matematiky 02 7

8 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Školní model pravidelného čtyřbokého hranolu, jehož výška je dvojnásobkem podstavné hrany, má objem V = 128 cm 3. 1 bod 6 Vypočítejte, jaké nejmenší množství kartonového papíru velikosti A0 je třeba na sestavení všech papírových modelů pro patnáctičlennou třídu tak, že pro každého žáka bude určen jeden model, jestliže papír velikosti A0 svými rozměry odpovídá ploše 1 m 2. Z objemu V hranolu vypočteme délku a podstavné hrany. V = S p v v = 2a V = a 2 2a = 2a 3 a = 3 V = cm3 2 = 4 cm 2 Nyní vypočteme povrch S hranolu. S = 2S p + S pl = 2S p + o p v = 2a 2 + 4a 2a = 2a 2 + 8a 2 = 10a 2 = 160 cm 2 Papírových modelů je třeba vyrobit S = cm 2 = cm 2 = 0,24 m 2 Na sestavení všech modelů stačí jediný kartonový papír formátu A0, protože potřebná plocha je 0,24 m 2, což je méně než 1 m 2. Řešení: 1 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána přímka p: 2y + 1 = 0. 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Směrovým vektorem přímky p je vektor u = (1; 2). 7.2 Přímka p svírá s kladnou poloosou úhel menší než přímka q: y =. 7.3 Přímka r, která prochází počátkem souřadnicového systému Oy a která je kolmá na přímku p, má obecnou rovnici r: 2 y = Parametrická rovnice přímky p má tvar: p = {[2t 1; t], t R}. ANO NE 7.1 Z obecné rovnice určíme normálový vektor n. Směrový vektor musí být na něj kolmý. p: 2y + 1 = 0 n = (1; 2) Protože u n = (1; 2) (1; 2) = 1 + ( 2)( 2) = = 5 0, není vektor u = (1; 2) směrovým vektorem přímky p. Tvrzení je nepravdivé. 8 Maturita z matematiky 02

9 7.2 Určíme směrnicový tvar přímky p. p: 2y + 1 = 0 2y = + 1 y = Pro směrnici k přímky y = k + q platí vztah k = tg φ, kde φ je úhel, který přímka svírá s kladnou poloosou k p = 1 φ 2 p = tg = 27 k q = 1 φ q = tg 1 1 = 45 φ p < φ q Tvrzení je pravdivé. 7.3 Určíme normálové vektory přímek p a q. p: 2y + 1 = 0 n p = (1; 2) r: 2 y = 0 n r = (2; 1) Jsou-li dvě přímky na sebe kolmé, pak jsou na sebe kolmé i jejich normálové vektory. Skalární součin dvou na sebe kolmých vektorů musí být nulový. n p n q = ( 2) ( 1) = = 4 0 Tvrzení je nepravdivé. 7.4 Určíme směrový vektor přímky p a sestavíme parametrickou rovnici přímky p. p: 2y + 1 = 0 n = (1; 2) u = (2; 1) A [ 1;?] p: 1 2y + 1 = 0 y = 0 p: X = A + tu = 1 + 2t y = t; t R Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Funkce f je dána předpisem y = k, kde R +, a prochází bodem A [ 1 2 ; 8 ]. 2 body 8 Určete takovou hodnotu proměnné, pro kterou je funkční hodnota funkce f rovna proměnné, tj. f() =. A) 1 B) 2 C) 4 D) 8 E) jiná hodnota Maturita z matematiky 02 9

10 Do předpisu funkce f dosadíme bod A, abychom určili hodnotu koeficientu k. k 8 = / 1 k = f() = y = = 4 / ; R + 2 = 4 / = 2 Správná je tedy možnost B. Řešení: B 9 Přiřaďte ke každému výrazu ( ) jeho ekvivalentní zápis (A F) (1 3) 2 A) (1 + 6)(1 6) B) (3 + 1)(3 + 1) C) (3 1)(3 1) D) (1 3)(1 + 3) E) (3 + 1)(3 1) F) žádný z uvedených ma. 4 body 9.1 Podle vzorce a 2 b 2 = (a + b)(a b) rozložíme výraz na součin = (3 + 1)(3 1) Správná je možnost E. 9.2 Výraz nejde rozložit na žádný součin z nabídky. Správná je možnost F. 9.3 Podle vzorce a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 = (a + b)(a + b) rozložíme výraz na součin = (1 + 3) 2 = (3 + 1)(3 + 1) Správná je možnost B. 9.4 Vyjádříme-li mocninu jako součin, lze u obou činitelů změnit znaménko, aniž by se změnilo znaménko celého výrazu, tj. (a b) 2 = (b a) 2. (1 3) 2 = (1 3)(1 3) = (3 1)(3 1) Správná je možnost C. Řešení: E, F, B, C 10 Maturita z matematiky 02

11 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Jsou dány přímky p, q, r a s, pro které platí: p q p r p s r s (viz obrázek). 10 Určete velikost úhlu φ. A) 35 B) 25 C) 15 D) 5 E) jiná velikost 2 body Na základě znalosti souhlasných, vedlejších úhlů a součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku platí: (φ + 30 ) + (180 5φ) = φ = 90 / + 4φ = 4φ / :4 30 = φ Správná je možnost E. Řešení: E KONEC TESTU Maturita z matematiky 02 11

12 12 Maturita z matematiky 02

13 III. KLÍČ 1) Maimální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 16krát 1 bod 2 { 3; 3} 1 bod 3 Upravíme faktoriály ve jmenovatelích zlomků tak, aby bylo názornější, jakým přirozeným číslem budeme rovnici násobit, abychom jmenovatele odstranili ! = ! 98! Rovnici tedy vynásobíme výrazem !. = / = 99 / :99 = = 300 Řešení: = m 1 bod mm 1 bod mm 1 bod bod NE 7.2 ANO 7.3 NE 7.4 ANO 8 B 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky 02 13

14 9 9.1 E 9.2 F 9.3 B 9.4 C 10 E 2 body ma. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 14 Maturita z matematiky 02

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maimální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 1 bod bod bod bod 6 1 bod body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky 02 15

16 body ma. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 16 Maturita z matematiky 02