Vliv dekoherence na kvantovou nelokalitu a komplementaritu

Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci Katedra optiky Vliv dekoherence na kvantovou nelokalitu a komplementaritu Vypracoval: iroslav Gavenda Vedoucí diplomové práce: Studijní obor: Datumodevzdání:..... gr. Radim Filip, PhD. Optika a optoelektronika Olomouc 004

c iroslav Gavenda, 004

Poděkování Na tomto místě bych chtěl poděkovat svému vedoucímu diplomové práce gr. Radimu Filipovi, PhD. za odbornou pomoc při našich četných konzultacích a za mnoho užitečných rad. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. V Přerově dne 14. dubna 005 iroslav Gavenda

Obsah Úvod 1 1 Kvantová komplementarita 5 1.1 Dualitajednohofotonu.... 5 1. Dualitapřiinterakciqubitusprostředím... 7 1.3 Kvantifikaceduality..... 8 1.4 Příklady... 14 1.5 Experimentálnítestyduality.... 16 Komplementarita, EPR argument a Bellovy nerovnosti 0.1 EPRargumentalokálněrealistickéteorie.... 0. Bellovynerovnosti... 1.3 Kvantováprovázanost.... 4.4 ExperimentálnítestyBellovýchnerovností.... 7 3 Dualita mezi komplementárními znalostmi a porušení Bellových nerovností 31 3.1 Komplementárníznalosti.... 31 3. ZnalostiaporušeníBellovýchnerovností... 33 3.3 Příklady... 39 3.4 Návrhexperimentu... 40 Závěr 46 Seznam literatury 47

Úvod Komplementarita je jedním ze základních principů kvantové fyziky, vyjadřující fakt, že kvantové systémy mají vlastnosti, které jsou reálně měřitelné, ale vzájemně se vylučují. Jedním z dokladů komplementarity je vlnově-částicová dualita ukazující, že v závislosti na experimentální situaci se kvantový objekt(např. elementární částice, foton, atom) chová buď jako vlna nebo jako částice. Klasickým příkladem, dokládajícím vlnově-částicové chování kvantových objektů, je Youngův dvouštěrbinový experiment. Tento experiment provedl Young v roce 180 s elektromagnetickými vlnami.jáhopopíšiproelektronytak,jaktoprovedlifeynman,leightonasandsv[58].zezdroje elektronů vylétávají elektrony směrem k překážce, ve které jsou zhotoveny dvě štěrbiny. V případě, že necháme obě štěrbiny otevřené, jako na Obrázku 1 vlevo, dochází v rovině detekce ke vzniku interferenčníhoobrazce 1,projevujícíhoseprostorověmodulovanouintenzitoudopadajícíchelektronů. Došlo k interferenci elektronů a tedy zcela jasnému vlnovému projevu elektronů. Ve druhém případě, kdy necháme jednu ze štěrbin uzavřenu(viz Obrázek 1 vpravo), interferenční obrazec zmizí. Získali jsme informaci o tom, kterou štěrbinou elektron prošel, tedy jistou částicovou vlastnost, ale zaplatili jsme za to ztrátou interference, která vyjadřuje vlnové vlastnosti. Projevila se vlnově-částicová dualita jedné a téže elementární částice. První, kdo se snažil teoretickým způsobem uchopit tento pozoruhodný jev, byl Niels Bohr. Ve svých pracích[1,, 4] představil pojem komplementarity a zavedl formulaci tzv. principu komplementarity: Kvantovému systému nelze připsat všechny klasické vlastnosti najednou. Některé se vzájemně doplňují ale zároveň vylučují, nelze je zároveň přesně změřit v jednom experimentálním uspořádání. Princip komplementarity tvrdí, že v kvantové fyzice existují komplementární pozorovatelné, tj. takové, že pokud precizně změříme jednu z nich, možné výsledky měření na druhé budou zcela náhodné. ějmedvěpozorovatelné AaBreprezentovanédvěmahermitovskýmioperátory Âresp. ˆBsvlastnímistavy A a B.Potom AaBjsoukomplementárnípozorovatelné,jestližepravděpodobnost A B,žesystémpřipravenývestavu B najdemevestavu A nakonkrétnímstavu A nezávisíatakénaopakpravděpodobnost,žesystémpřipravenývestavu A nezávisínakonkrétním stavu B.Příklademkomplementárníchpozorovatelnýchjsouortogonálníspinyčásticesespinem 1 vyjádřenéoperátoryspinu Ŝx= σ xaŝz = σ z nebohybnostapolohanapř.vesměru xs odpovídajícímioperátoryˆp x aˆx.vezměmesinapříkladměřenípolohyahybnostičástice.víme,že amplitudapravděpodobnosti,ženaměřímepolohu x,kdyžmáčásticeurčitouhybnost p x jedána x p x = 1 π e ix p x /. (1) Vidíme,žepravděpodobnost P,ženaměřímenějakouhodnotu x pokudznámehybnost p xje P= x p x = 1 π =konst..toznamená,žepravděpodobnost P jestejnáprolibovolné x.poloha a hybnost jsou komplementární pozorovatelné. Z principu komplementarity plynou Heisenbergovy relace neurčitosti, pomocí nichž Bohr vysvětluje komplementaritu. Říká, že při pokusu rozlišit, kterou dráhou se kvantový objekt vydal dochází k nekontrolovatelné výměně hybnosti mezi detektorem dráhy a objektem a tím ke zvýšení neurčitosti hybnosti. Jednoduše lze relaci neurčitosti mezi hybností p x apolohou xobjektuvyjádřitnerovností p x x, () 1 Korektněřečenovznikáidifrakčníobrazeczpůsobenýdifrakcíelektronůnaštěrbině.

Prekazka Detektor Prekazka Detektor Zdroj Zdroj detekovana intenzita detekovana intenzita Obrázek 1: Youngův experiment kde p x resp. xjsouneurčitostiměřeníhybnostiresp.polohyobjektuvesměru x.vsouvislosti s Youngovým experimentem lze říci, že neurčitost() mezi hybností a polohou nám nedovoluje (bez narušení elektronu vedoucí ke snížení vizibility interferenčních proužků) určit, kterou štěrbinou elektron prošel. Einstein, který byl odpůrcem kvantové fyziky jako nedeterministické teorie, obměnil experimentální uspořádání Youngova pokusu(více viz[7]) s cílem ukázat, že je možné zjistit dráhu elektronu a zároveň zachovat interferenci. Bohr ve své reakci však ukázal, že Einsteinovy předpoklady jsou mylné a princip komplementarity je platný. Další významný krok v oblasti kvantové komplementarity a interference udělal R.P. Feynman. Feynman představil ve dvou bodech tzv. zákon skládání amplitud[58], podle kterého můžeme zjistit, jestli bude kvantový systém interferovat či nikoli: Pokud kvantový objekt může procházet od zdroje k měřícímu aparátu po různých cestách, které nejsou ani principiálně rozlišitelné, potom výsledná pravděpodobnost detekce výskytu tohoto objektu se získá jako absolutní hodnota na druhou ze součtu amplitud pravděpodobnosti pro jednotlivé cesty. Nastává interference. Pokud jsou tyto cesty rozlišitelné(i v principu), potom se výsledná pravděpodobnost detekce výskytu objektu získá jako součet pravděpodobností pro jednotlivé dráhy. Interference je zničena. Zákonem skládání amplitud Feynman zobecnil pojem vlnově-částicové duality, která uvažovala jen komplementaritu mezi polohou a hybností, na obecnější dualitu mezi interferencí a znalostí dráhy. V souladu s Feynmanovým zákonem skládání amplitud můžeme zavést pojem duality: Pozorování interferenčních proužků a zjištění informace o dráze se vzájemně vylučují. Dalším krokem k porozumění komplementarity byl EPR argument. EPR argument byl výsledek myšlenkového experimentu fyziků A. Einsteina, B. Podolského a N. Rosena[3], ve kterém se snažili na zvláštním kvantovém stavu dokázat, že je možné současně změřit(přesně) polohu a hybnost částice. Chtěli tím vyvrátit princip komplementarity a dokonce kvantovou teorii. Jejich zvláštním kvantovým stavem byl entanglovaný pár dvou částic, který vznikl interakcí obou částic v minulosti. Poloha ani hybnost žádné z částic není v takovém stavu přesně definována, zatímco součet poloh a rozdíl hybností obou částic ano. ěřením polohy nebo hybnosti první částice okamžitě zjistíme i polohu nebo hybnost částice druhé. EPR říká, že obě částice mohou být od sebe vzdáleny velmi daleko a měření na první částici nemůže okamžitě ovlivnit částici druhou(podmínka lokality), a že výsledky měření musí být známé před provedením měření(podmínka reality), které musí být obsaženy ve fyzikální teorii(podmínka úplnosti fyzikální teorie). Protože kvantová teorie nedokáže předpovědět výsledky všech měření, EPR konstatuje, že kvantová teorie je neúplná a princip komplementarity není platný. Podívejme se konkrétně na původní verzi EPR argumentu. Uvažujme dvě částice, které interagovalyvnějakémčaseod t=0do t=t.včase t > Tužčásticeneinteragujíacelýsystém

obou částic se vyvíjí podle Schrödingerovy rovnice. Vlnová funkce obou částic je Ψ(x 1, x )= e (i/ )(x1 x+x0)p dp, (3) kde x 0 jekonstanta,kterájerovnasoučtupolohoboučástic.změříme-lihybnostprvníčástice,musí býtpodlekvantovéteoriejejívlnováfunkcerovnavlastnífunkcioperátoruˆp= i x 1 svlastní hodnotou p tj.ˆpα p (x 1 )=p α p (x 1 ) To,alebudeznamenat,žestavdruhéčásticebudedíky(3) α p (x 1 )=e (i/ )p x 1 (4) β p (x )=e (i/ )(x x0)p =konst. e (i/ )p x. (5) Stav(5)jetakévlastnístavoperátoru ˆp x alesvlastníhodnotouhybnosti p.podobněvíme, že při měření polohy první částice bude její vlnová funkce vlastní funkcí operátoru polohy ˆx tj. ˆxf x (x 1 )=x f x (x 1 ) f x (x 1 )=δ(x 1 x ) (6) To,alebudeznamenat,žestavdruhéčásticebudedíky(3) g x (x )= δ(x x x 0 ). (7) Stav(7)jetakévlastnístavoperátorupolohyˆxalesvlastníhodnotou x + x 0.Vidíme,žeměřením hybnostinajednéčásticizjistímeibezměřenínadruhéčásticijejíhybnostastejnětoplatíi v případě měření polohy. Výsledky měření buď mezi polohami nebo mezi hybnostmi částic jsou korelované. Avšak mezi polohou a hybností žádné korelace nejsou, protože poloha a hybnost jsou komplementární a nekompatibilní pozorovatelné. EPR pak tvrdí, že kvantová teorie je neúplná, protože nedokáže s jistotou určit všechny možné výsledky měření v EPR experimentu. Zastánci EPR však sami doufají, že je možné najít lokálně realistickou teorii navíc obsahující tzv. skryté parametry(tj. nám momentálně neznámé proměnné). Statistické předpovědi kvantové teorie by pak byly dosaženy pomocí středování přes tyto skryté parametry a lokální realismus by byl zachován. ReakcenaEPRargumentnasebenenechaladlouhočekatapřišlavpodoběčlánkuodN.Bohra[4],kterýobhajujekvantovouteoriitím,ženaoběčásticetvořícíEPRpársemusímedívat jako na společný systém. Po provedeném kvantovém měření na jedné částici se rozdělení pravděpodobnosti možných výsledků celého systému okamžitě změní. Jak už jsem uvedl výše, zavedl pojem komplementarity, aby zdůraznil, že měření např. polohy a hybnosti nelze provést s úplnou přesností v jednom experimentu, proto taková měření není možné slučovat. Avšak teprve v roce 1965 John S. Bell[5] představil ve formě nerovností možnost, jak experimentálním testem rozhodnout mezi lokálním realismem a kvantovou teorií. Bellovy nerovnosti byly od té doby mnohokrát experimentálně testovány a kvantová optika sehrála při těchto testech významnou úlohu. Výsledky testů Bellových nerovností dokumentovaly porušení Bellových nerovností o mnoho standardních odchylek. I když je komplementární chování kvantových objektů známo již téměř jedno sto let, přitahuje stále mnoho pozornosti fyziků. Důvodem jsou především nové přístupy ke kvantové komplementaritě z pohledu kvantových korelací(kvantového entanglementu) mezi kvantovými objekty, na které poprvé upozornil EPR argument. Snahou fyziků bylo kvantifikovat komplementaritu pomocí vhodných experimentálně měřitelných veličin, jak to například provedli B.-G. Englert a J. Bergou v[8]. Tyto přístupy vedly k hlubšímu poznání komplementarity a objevu kvantového smazávání(quantum erasing), které změnilo představu o ireverzibilitě kvantových procesů. Kvantové smazávání má využití v oblasti zpracování kvantové informace, kde dekoherence způsobuje ztrátu informace ze zkoumaného systému do prostředí(šum). Pomocí kvantového smazávání můžeme obnovit tuto informaci a tím umožnit fungování kvantových protokolů(o kvantových protokolech více v[55, 56, 51]). V kontextu kvantového smazávání se také začalo diskutovat o fyzikální příčině komplementarity a o rozdílném

vlivu náhodných klasických fluktuací a kvantového entanglementu na komplementaritu v různých experimentálních uspořádáních[15, 17]. Práce je pojata jako teoretická s využitím analytických výpočetních metod a opírá se o kvantovou teorii. Je rozdělena do tří kapitol. V první kapitole mojí práce podrobně představuji poznatky z oblasti kvantové komplementarity. Zabývám se zde kvantitativní analýzou duality pro dvoučásticové systémy výhradně s diskrétními proměnnými(tj. sleduji pozorovatelné jejichž příslušné operátory mají diskrétní spektrum vlastních hodnot). Představuji fenomén kvantové komplementarity- kvantové smazávání, které hraje klíčovou roli v oblasti kvantové dekoherence. Věnuji se dále základním pozorovatelným a nerovnostem kvantové komplementarity pro čisté i smíšené kvantové stavy. Dále uvádím některé z nejdůležitějších experimentů potvrzujících teoretické předpovědi chování komplementárních pozorovatelných. Ve druhé kapitole se věnuji EPR argumentu, Bellovým nerovnostem a kvantové provázanosti (entanglementu). Dále se věnuji nejdůležitějším testům Bellových nerovností. Diskutuji problémy s experimenty zabývajícími se porušením Bellových nerovností, které stále dávají prostor pro vysvětlení všech fyzikálních jevů pomocí lokálně realistických teorií. Ve třetí kapitole definuji nové pozorovatelné k popisu kvantové komplementarity pro obecné smíšené dvoučásticové stavy tak, abych mohl lépe vystihnout její souvislost s Bellovými nerovnostmi. Odvozuji nové nerovnosti mezi komplementárními pozorovatelnými a Bellovým faktorem. Na příkladě dvou konkrétních kvantových stavů demonstruji použitelnost zavedených pozorovatelných. Dále navrhuji experiment, pomocí něhož můžeme testovat navržené nerovnosti. Cílem mojí práce je analyzovat kvantovou komplementaritu a kvantové smazávání v jednoduchých dvoučásticových kvantových systémech a diskutovat možnost předpovědi výsledku měření na jedné částici při měření částice druhé s ní korelované. Za tímto účelem definuji zisky znalostí K(Π Π S )a K(Π Π S )vedvoukomplementárníchbázích,kteréudávajínárůstschopnostipředpovědětměřeníπ S,Π S nastavu S změřeníπ,π nastavu.dáleodvodímpro libovolnýsmíšenýdvouqubitovýstavaprojakékoliměřeníπ S,Π S,Π,Π nerovnost [ K(Π Π S )] +[ K(Π Π S )] ( Bmax ), (8) kde B max jebellůvfaktor.tatonerovnostomezujenašischopnostpředpovědětměřenívkomplementárníchbázích.prostejnáměřeníπ =Π dostávámenásledujícínerovnost[ K(Π Π S )] + [ K(Π Π S )] 1.V[45,46]byloukázáno,žekaždýsmíšenýdvouqubitovýstavmůžemepřevést pomocí lokálních filtračních operací na jedné kopii stavu stochasticky na stav diagonální v Bellově bázi, který má nulové apriorní znalosti. Znamená to, že těmito lokálními filtračními operacemimůžemedokoncenerovnost(8)provhodnáměřeníπ S,Π S,Π,Π převéstvrovnostsobecně jiným Bellovým faktorem na pravé straně. Na dvou konkrétních příkladech kvantových stavů analyzuji vliv dekoherence na dualitu mezi komplementárními zisky znalostí. Dále navrhuji experiment pro testování odvozených nerovností pro dva typy kvantových stavů:#1 maximálně entanglovaný Bellůvstav(singlet) Ψ a#wernerůvstav R Ψ Ψ + 1 Rˆ1 4 ˆ1.Experimentjezaloženna experimentech pro testování Bellových nerovností v Hongově-Ouově-andelově interferometru. Využívá se polarizačních stavů dvou EPR korelovaných fotonů k jejichž produkci je využito spontánní sestupné parametrické konverze typu I v nelineárním krystalu v kombinaci s děličem svazku. Pomocí měření koincidencí na dvou separovaných fotonech v různých polarizačních bázích získáváme experimentálníhodnotyziskůznalostí K(Π Π S )a K(Π Π S ). PrácijsemvypracovalvtypografickémsystémuL A TEXεpodoperačnímsystémemGNUSlackware Linux. Grafy a některé obrázky jsem vytvořil pomocí programu GLE verze 4.0 a ostatní obrázky systémem ETAPOST nebo Xfig.

1 Kvantová komplementarita 1.1 Dualita jednoho fotonu Kvantová optika umožňuje provést jednoduché a názorné testy kvantové komplementarity pomocí interferenčních experimentů s jednotlivými fotony. Takový druh experimentu může být proveden pomocí jednofotonové interference v achově-zehnderově interferometru(viz Obrázek 1.1), kde apriorní informaci o dráze fotonu měníme pomocí vstupního děliče svazku s proměnným dělícím poměrem. Podívejme se jaké předpovědi pro dualitu fotonu nám dává kvantová mechanika. Abychom mohli správně demonstrovat dualitu fotonu, musíme zajistit, aby se v každé chvíli v interferometru nacházel maximálně jeden foton. Z jednofotonového zdroje se šíří foton ve stavu Ψ na dělič svazku DS1(w) s nastavitelným dělícím poměrem(1 w): w. Dělič svazku nám vytvoří následující superpozici 1 w Ψ + w Ψ, (1.1) kterábudezávisetnazvolenémdělícímpoměru(1 w):w.stav Ψ resp. Ψ námudává,že foton jde horním resp. dolním ramenem interferometru. Tyto stavy jsou zřejmě ortogonální, protože jedokážemepřesněrozlišit Ψ Ψ =0.Vjednomramenizpůsobímerelativnífázovýrozdíl ϕmezi stavy Ψ a Ψ.Tomůžemeudělatnapř.posunemzrcadlaZ1adostanemenásledujícízměnustavu 1 w Ψ + w Ψ změna fáze 1 w Ψ +e iϕ w Ψ. (1.) V souladu s definicí duality se nyní pokusíme měřit dráhu, kterou foton prošel. Za tím účelem umístíme do obou ramen jednofotonové detektory D1 a D jako na Obrázku 1.1 vlevo. Pokud klikne detektor D1 víme, že foton prošel horním ramenem a podobně v případě kliknutí detektoru D víme, žešeldolnímramenem.aticehustotystavu ρ d předdetekcídráhyje ( ) 1 w w(1 w)e iϕ ρ d = w(1 w)e iϕ (1.3) w Kvantovéměřenívyjádřímepomocíprojektorů P 1 = Ψ Ψ ap = Ψ Ψ.Potompravděpodobnosti p 1 resp. p,žekliknedetektord1resp.dbudou p 1 =Tr(ρ d P 1 )=1 w p =Tr(ρ d P )=w (1.4) V reálném experimentu budeme měřit relativní četnosti detekcí a pravděpodobnosti odhadneme takto p 1 N1 N 0 a p N N 0,kde N 1 resp. N jepočetúspěšnýchdetekcídetektoremd1resp.dan 0 je počet vstupujících fotonů do interferometru. V experimentech Youngova typu se úvahy o dualitě teoreticky soustředily jen na extrémně komplementární situace, tj. buď pozorujeme jednotkovou vizibilitu interferenčních proužků a nevíme vůbec, kterou drahou částice prošla a nebo naopak nepozorujeme žádnou interferenci a známe přesně dráhu částice. Až v článku K.W. Wootterse a H.W. Zurka[7], se poprvé objevila myšlenka kvantifikovatinterferenciaznalostdráhyatakzjistitjakéjsouvztahymezinimivpřípadechkdyzískámejen částečnou znalost o dráze nebo interferenci. Informaci o dráze fotonu můžeme ohodnotit veličinou L=max {p 1, p }=max {1 w, w}, (1.5)

D Z 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 00000000 11111111 D1 D Z 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 0000000 1111111 DS D1 Ψ Ψ LASER DS1(w) Ψ 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 0000000000000 1111111111111 Z1 0000000000000 1111111111111 fáze LASER DS1(w) Ψ 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 00000000000000 11111111111111 Z1 00000000000000 11111111111111 fáze Obrázek 1.1: ěření duality jednoho fotonu kteránabýváhodnotmezi 1 a1.hodnotal=1námříká,ženašeznalostdráhybudedokonalá, zatímcoprol = 1 budounašepředpovědizcelanáhodné.výslednouinformaciodrázefotonu můžeme lépe ohodnotit pomocí předpověditelnosti P = L 1, která se rovná rozdílu mezi oběma pravděpodobnostmi P= p 1 p = 1 w 1 N 0 N 1 N (1.6) Abychom mohli měřit interferenci, umístíme před detektory D1 a D další dělič svazku DS s dělícím poměrem 1 : 1 (vizobrázek1.1vpravo),kterýzpůsobínásledujícízměnustavu 1 w Ψ +e iϕ w Ψ DS 1 { Ψ ( 1 w+e iϕ w)+ Ψ ( 1 w e iϕ } w). (1.7) Stav před detekcí bude dán maticí hustoty ( 1 ρ i = +cos(ϕ) 1 w(1 w) w+ isin(ϕ) ) w(1 w) 1 w isin(ϕ) 1 w(1 w) cos(ϕ). (1.8) w(1 w) Vyjádříme pravděpodobnost p(ϕ), že klikne detektor D1 Interferenci vyjádříme pomocí vizibility p(ϕ)=tr(ρ i P 1 )= 1 +cos(ϕ) w(1 w) (1.9) V 0 = p max p min p max + p min = w(1 w), (1.10) kde p max =max ϕ p(ϕ)ap min =min ϕ p(ϕ).experimentálněnejdřívezměřímečetnostdetekcí 1 (ϕ) na detektoru D1 v závislosti na změně fáze ϕ. Tím získáme aproximaci p(ϕ) pomocí relativní četnosti detekcí p(ϕ) 1(ϕ) 0,kde 0 jepočetfotonůvstupujícíchdointerferometru.ezipav 0 můžeme odvodit rovnost P +V0 =(1 w) +4w(1 w)=1 (1.11) Rovnost(1.11) vyjadřuje dualitu mezi zjištěním dráhy a interferencí. ůžeme ji experimentálně testovat pro různé hodnoty parametru w tím, že provedeme nejdříve experiment s měřením dráhy fotonu a potom za stejných podmínek druhý experiment s měřením interference. Pomocí relativních četnostívyjádřímepav 0 adosadímejedorovnosti(1.11).parametr wnámpřesněudávájakou informaci máme o dráze fotonu a zároveň jakou vizibilitu interferenčních proužků jsme schopni pozorovat. Dělící poměr w nám vyjadřuje účinnost detekce dráhy. Tento příklad ukazuje, že čím lépe víme, kterou dráhou se kvantový objekt vydal, tím horší interferenční obrazec dostaneme a naopak. Je zde zcela evidentní komplementární chování mezi znalostí dráhy, kterou objekt prošel a vizibilitou interferenčních proužků. Důležité je, že dualita

ρs ρs ρs ρ ρ = ρ0 ρs ρ před interakcí interakce po interakci Obrázek 1.: Dva interagující kvantové systémy vyjádřená relací(1.11) byla experimentálně testována jak pro polní částice(fotony[9, 14]) tak i částice hmotné(neutrony[10, 11], atomy[1]). Experimenty s neutrony potvrzující relaci(1.11) byly provedeny ve skupině H. Raucha ve Vídni[10, 11]. Bylo využito neutronové interferometrie, kde zdrojem neutronů je jaderný reaktor. Svazek neutronů letící ze zdroje je zeslaben tak, že se v interferometru nachází vždy jen jeden neutron. Interferometrem je monolitický křemíkový krystal. Pomocí absorpčního materiálu v jednom rameni interferometru se simuluje vliv detekce dráhy na vizibilitu interferenčních proužků(to odpovídá v případě fotonů výše popsanému děliči svazku s proměnným dělícím poměrem). Jejich experimentální data potvrzují rovnost(1.11). 1. Dualita při interakci qubitu s prostředím Při analýze duality v předchozích experimentech byl detektor uvažovaný jako klasický měřící přístroj. Jestliže budeme uvažovat detektor jako kvantový objekt, dostaneme kvalitativně jiný pohled na kvantovou komplementaritu. Umožní nám to v jistých případech pomocí vhodného měření na kvantovém stavu detektoru získat více informace o dráze nebo větší vizibilitu interferenčních proužků. Podívejme se na to, jak vyjádřit interakci stavu se dvěma stupni volnosti(qubitem) a prostředím. Tento plně kvantový model interakce nám bude sloužit jako základ pro studium kvantové komplementarity. Příkladem qubitu by mohl být spin elektronu( nahoru, dolů ), polarizace fotonu(vertikální, horizontální) nebo Ramseyho interferometr(přechod v první nebo druhé zóně) V následné analýze není důležité jakou konkrétní fyzikální realizaci qubitu zvolíme, všechny tyto systémy jsou kinematicky ekvivalentní. aticehustoty ρ S proobecnýsmíšenýstavsedvěmastupnivolnostisedávyjádřitjako ρ S = w 1 Ψ S Ψ +w Ψ S Ψ +ε w 1 w Ψ S Ψ +ε w 1 w Ψ S Ψ, (1.1) kde Ψ S a Ψ S jsoudvaortogonálnístavy,kterécharakterizujíqubit. Z kvantové teorie víme, jaké vlastnosti musí mít matice hustoty. Proto pro náš stav platí ρ S 0 zekterýchvyplynoupodmínkynakoeficienty w 1, w a εv(1.1) Tr(ρ S ) = 1, (1.13) 0 w 1, 1 w 1 + w =1 ε 1. (1.14)

Obrázek 1.3: ěřením na zvyšujeme znalost nebo vizibilitu na S měření na ρ S S měření na S příprava obecného stavu ρ S Pokud je ε = 1, dostáváme čistý stav. Pro takový obecný stav dostaneme následující hodnoty předpověditelnosti a apriorní vizibility P = w 1 w (1.15) V 0 = w 1 w ε. (1.16) Nyní se podívejme jak vyjádřit qubity, které interagují s okolním prostředím. Schéma takové interakcejenaobrázku1..předinterakcíjecelkovýstavqubituaprostředí ρ 0 = ρ S ρ.interakce takového systému znamená, že jeho podsystémy byli po určitou dobu v kontaktu. Stav se vyvíjel podle dynamických zákonů kvantové teorie. Obecně můžeme celkový systém po interakci vyjádřit jako ρ S = w 1 Ψ S Ψ ρ (1) + w Ψ S Ψ ρ () + w 1 w ( Ψ S Ψ χ + Ψ S Ψ χ ), (1.17) kde S označuje náš zkoumaný systém a prostředí. Všimněme si, že obecně nelze matici hustoty ρ S stavupointerakcivyjádřitjakodirektnísoučinmatichustotyjehopodsystémů Sa.Lzesi všimnout,žestavyprostředívyjádřenéoperátory ρ (1), ρ() a χ jsouzávislénazměněbázequbitu S. Pokud chceme vyjádřit stav systému S resp. prostředí provedeme stopu přes prostředí resp. sytém S. V průběhu interakce se dva systémy vzájemně provazují(entanglují) tak, že vzniká obecně neseparabilní(entanglovaný) stav. 1.3 Kvantifikace duality Uvažujme obecný smíšený stav(1.17), který vznikl po interakci qubitu S a nějakého prostředí, které nám bude sloužit jako pomocný systém monitorující zkoumaný systém S. Předpokládejme, že jsme schopni takový stav připravit. Budeme provádět měření na prostředí a snažíme se z výsledků měření co nejlépe předpovídat buď dráhu, kterou systém S prošel nebo zvýšit vizibilitu interferenčních proužků. Schéma takového měření je na Obrázku 1.3. UvažujmetedynějakéměřeníΠ vyjádřenéprojektory P (k) svlastností P (k) P(l) = δ klp (k), ěřením na stavu(1.17) budeme získávat různé výsledky s pravděpodobností k P (k) =ˆ1. (1.18) p (k) =Tr S (P (k) ρ S) (1.19) Tedyspravděpodobností p (k) dostanemevýsledekodpovídající P (k) amyvíme,žezkoumanýqubit sedostaldostavu,kterýjedánparciálnístopoupřessystém ρ (k) S = Tr (P (k) ρ S) Tr S (P (k) (k) ρ S) ρ S) =Tr (P. (1.0) p (k)

Netříděné qubity p () (w () 1, w(), ε() ) p (1) (w 1, w, ε) Π ěření (w (1) 1, w(1), ε(1) ) p (3) (w (3) 1, w(3), ε(3) ) Obrázek 1.4: Třídění qubitů do skupin podle výsledku měření Tím jsme stav qubitu roztřídili podmíněně do k skupin podle výsledku měření(viz Obrázek 1.4). Formálněmůžemezapsatstavy(1.0)podobnějakostav(1.1)snovýmiparametry w (k) 1, w(k) a ε (k).sohledemnazískáníconejvětšímožnéinformaceodrázefotonuvyjádřímevkaždéskupině předpověditelnostip(p (k) )= w(k) 1 w (k) asečtemejesváhamidanýmipravděpodobnostmi(1.19). Dostaneme veličinu znalost K(Π )= k p (k) P(P (k) )= k p (k) w (k) 1 w (k) = k Tr {P (k) (w 1ρ (1) w ρ () )}, (1.1) kteránabýváhodnotod0do1.znalostkvyjadřujerozdílmezisprávnýmašpatnýmodhadem dráhy,kterýjsmeprovedlipoměřeníπ.např.k=0.6znamená,ževe0%případůbudeme hádat špatně a v 80% případů správně. Naše schopnost předpovědět dráhu systému S závisí na provedenémměřenínaprostředí.největšíhodnotuk(π )nazývámerozlišitelnost D=maxK(Π )=Tr w 1 ρ (1) Π w ρ (), (1.) kde0 D 1.Všimněmesi,žesevdefinicirozlišitelnostivyskytujeabsolutníhodnotazoperátoru. Tupočítámejako ˆX = ˆX ˆX(víceviz[59]).yvšakchcemespočítatstopuzabsolutníhodnoty operátoru tj. Tr( ˆX ˆX),kdenavíc ˆX ˆXjematicekonečnéhorozměru.PotomTr ˆX = k λk,kde λ k jsouvlastníhodnotymatice ˆX ˆX.Nejmenšíhodnotaznalostiodpovídásituaci,kdyneprovádíme žádné měření a rovná se předpověditelnosti P=min Π K(Π )= w 1 w, (1.3) kde0 P 1.eziprávědefinovanýmiveličinamiplatízřejmánerovnost P K(Π ) D. (1.4) Rozlišitelnost D tedy odpovídá maximální možné znalosti o dráze systému S, kterou můžeme získat měřením na prostředí. Naopak předpověditelnost P odpovídá apriorní znalosti o dráze systému Sbezprovedeníměřenína. Abychom získali pomocí kvantového měření co největší vizibilitu interferenčních proužků, vyjádřímenynívkaždéskupiněapriornívizibilityv 0 (P (k) )= w (k) 1 w(k) ε(k) asečtemejesváhami danými pravděpodobnostmi(1.19). Dostaneme vizibilitu V(Π )= p (k) V 0 (P (k) )= p (k) w (k) 1 w(k) k k ε(k) = w 1 w k Tr (P (k) χ ), (1.5) která nabývá hodnot od 0 do 1. Největší hodnotu vizibility dosažitelnou kvantovým měřením budeme nazývatkoherencí 1 C=sup Π V(Π )= w 1 w Tr ( χ ). (1.6) 1 Výskytsupremavdefinicikoherencejevyjádřenímfaktu,žeproněkteréstavyneexistujeměření,kterébyji maximalizovalo. Více viz[8].

Obrázek 1.5: achův-zehnderův interferometr. Schéma experimentu provedeného Schwindtem et al.[14]. D Z 1 PD DS CD PD H V PDS D 1 DS 1 Z LASER NejmenšíhodnotuvizibilitypakpředstavujeapriornívizibilitaV 0,kterouzískámebezprovedení měření. ezi výše definovanými veličinami platí opět zřejmá relace V 0 V(Π ) C. (1.7) Získání větší vizibility interferenčních proužků odpovídá kvantovému smazávání jak už jsem zmínil dříve. Dualitu můžeme demonstrovat pomocí nerovností, které se dají odvodit mezi výše zavedenými veličinami. Nerovnost V 0 +D 1 (1.8) nazývaná relace duality, nám udává jakou největší informaci o dráze můžeme získat při dané apriorní vizibilitě. Další nerovnost P +C 1 (1.9) nazývaná relace smazávání, nám udává jakou největší koherenci můžeme získat při dané předpověditelnosti. Vyjadřuje tedy efektivitu kvantového smazávání. Z nerovností(1.8) a(1.9) snadno odvodímenerovnostmezipav 0 P +V0 1, (1.30) která vyjadřuje komplementární chování mezi apriorní vizibilitou a předpověditelností. S případem, kdysenerovnost(1.30)saturujejsmesesetkalivúvodutétokapitoly.dásevšakodvoditifundamentálnější nerovnost K (Π )+V (Π ) 1, (1.31) kteráukazujekomplementárnívztahmeziznalostíavizibilitouprozvolenéměřeníπ (určitézvolené třídění). Uvažujme achův-zehnderův interferometr jako na Obrázku 1.5. Ze zdroje fotonů se šíří jednotlivěnaděličsvazkuvertikálnělineárněpolarizovanéfotonyvestavu V.Poprůchoduděličem svazkuds 1 dostanemestav S = w 1 Ψ S V + w Ψ S V,kdestavy Ψ S resp. Ψ S charakterizujídolníresp.horníramenointerferometru.potomsefotonyodrážínazrcadlechz 1 az. VjednomrameniinterferometrujsmeumístilipůlvlnovoufázovoudestičkuPD,kterávzávislosti na jejím úhlu natočení θ mění polarizaci přicházejícího fotonu. Stav se za touto destičkou mění na S θ = w 1 Ψ S V + w Ψ S (cosθ V +sinθ H ). (1.3) Při θ=0sepolarizaceneměníapři θ=45 severtikálnípolarizaceměnínahorizontální( V H ).PotomnásledujedruhýděličsvazkuDS apolarizačníanalyzátorskládajícísezečtvrtvlnové fázové destičky ČD, půlvlnové fázové destičky PD, polarizačního děliče svazku PDS a dvou

Obrázek 1.6: Experimentální data a teoretické křivky vizibility V a znalosti K pro vertikálně polarizovaný vstup v závislostinaúhlu θnatočenípůlvlnovédestičkypd.(zdroj:schwindtetal.[14]) 1 V + K 0.8 0.6 0.4 0. 0 Znalost (optimalni baze) (ne optimalni baze) Vizibilita 0 7.5 15.5 30 37.5 45 θ jednofotonovýchdetektorůd 1 ad,kterýnámumožníprovádětkvantovéměřenínasystému v libovolné polarizační bázi. Toto měření můžeme vyjádřit projektory P (1) (α, β)=cos α V V +sin α H H + 1 sinα(e iβ V H +h.c.) P () (α, β)=sin α V V +cos α H H 1 sinα(e iβ V H +h.c.), (1.33) které splňují následující vztahy P (1) (α, β)p() (α, β)=0, P(1) (α, β)+p() (α, β)=1. (1.34) Prozatímuvažujme,žeměřímevbázi V, H (α=β=0).cosestanevpřípadě,že θ=0? Stav před druhým děličem svazku bude roven S 0 = w 1 Ψ S V + w Ψ S V. (1.35) To znamená, že v tomto případě nezjistíme pomocí měření polarizace fotonu, kterým ramenem foton prošel. Dráhy se stávají nerozlišitelné a my budeme pozorovat interferenci. Vpřípadě,že θ=45 sestavpředděličemsvazkuzměnína S 45 = w 1 Ψ S V + w Ψ S H. (1.36) Nyní měřením polarizace můžeme dokonale rozlišit, jestli šel foton horním nebo dolním ramenem, protože polarizace fotonu nám monitoruje dráhu fotonu. Interference vymizí. Položme si nyní otázku, jak můžeme předpovídat ještě před měřením, kterým ramenem foton projde. Vhodnou veličinou k popisu dráhy je předpověditelnost P= Ψ S Tr ( S θ S θ ) Ψ S Ψ S Tr ( S θ S θ ) Ψ S = w 1 w. (1.37) Jetorozdílpravděpodobností w 1 resp. w,žefotonprojdehornímresp.dolnímramenem.předpověditelnost je vyjádřením naší apriorní znalosti o dráze, kterou foton prošel. V našem případě souvisísvyváženostíděličesvazku.např.uvyváženéhoděličesvazku(w 1 = w = 1 )dostáváme P=0atedynemámežádnouapriorníznalostodrázefotonu.Pokudbybylonapř. w 1 =1(w =0), věděli bychom apriori, že foton projde dolním ramenem P = 1. Pro kvantifikaci interference zvolíme opět vizibilitu interferenčních proužků. Definujme pravděpodobnost p(ϕ), že systém S nalezneme v superpozici I ϕ = 1 ( Ψ +e iϕ Ψ ).Tedy p(ϕ)=tr S ( S θ S θ I ϕ I ϕ ).Fázi ϕměnímepomocí posuvnéhozrcadlaz.potomapriornívizibilitabude V 0 = p max p min p max + p min (1.38)

0.6 0.4 0. 0 1 0.8 0.6 0.4 0. (a) (b) Vizibilita Znalost V + K 0 0 7.5 15.5 30 37.5 45 θ (c) 1 V + K 0.8 0.6 0.4 0. 0 Exp. data Teorie Teorie + korekce 0 1/3 /3 1 F Obrázek1.7:Teoretickévýsledkyaexperimentální dataprokav.(a)úplněsmíšenýstav. (b)smíšenýstavs čistotou65%.(c)ěřeník +V vzávislostinačistotěstavuf.(zdroj:schwindtetal.[14]) Tato vizibilita je vyjádřením apriorní schopnosti kvantového systému interferovat. V našem konkrétnímpříkladědostanemev 0 = w 1 w cosθ.vidíme,ževpřípaděp=0apro θ=0(stav(1.35)) dostávámev 0 =1,alepro θ=45 (stav(1.36))jev 0 =0vsouladusnašímpředchozímrozborem. Půlvlnovádestičkavrameniinterferometrupřivhodnémnatočeníoznačícestu 1 fotonuatímovlivní apriorní vizibilitu. Qubit reprezentovaný v našem příkladě interferometrem se dvěma ortogonálními stavy Ψ S a Ψ S budeinteragovatsestavempolarizacefotonu.tímsevytvoříentanglovaný stav(1.3), jehož míra provázanosti(entanglementu, míra korelací) bude dána parametrem θ, který můžeme kontrolovat pomocí natočení půlvlnové destičky uvnitř interferometru. Uvažujmenynístav(1.36)sP=0,okterémvíme,žeV 0 =0.Ukážemesinyní,žejemožnédocílit pomocí kvantového měření polarizace fotonu v různých bázích buď zvýšení vizibility interferenčních proužků nebo zvýšení možnosti předpovědět dráhu fotonu interferometrem. Pokud budeme měřit v původníbázi α=0, β=0budemeschopnizískatúplnouinformaciotom,kterýmramenemfoton prošel.tedykliknebuďdetektord 1 nebod.pokudbudemeprovádětměřenívbázi α=45, β=0 tj. + =1/ ( V + H ), =1/ ( V H ),budesenámstav(1.36)jevitvtéto bázi jako w1 S 45 = ( Ψ w S+ Ψ S ) + + ( Ψ S Ψ S ). (1.39) Toznamená,žeměřenímvbázi +, nebudemeschopnirozlišitjestlišelfotonhornímramenem nebo dolním. Tímto měřením vlastně smažeme informaci o dráze fotonu, proto proceduru obnovení vizibility interferenčních proužků měřením na pomocném systému nazýváme kvantové smazávání.nyníjezřejmé,žepokudzvolímenějakédalšíměřenívbázi,kterájerůznáodvýše uvedených dvou budeme schopni v jednom experimentu(tzv. simultánní měření) získat nějakou informaci(neúplnou) o dráze fotonu, která se rovná znalosti K(α, β) i zvýšit vizibilitu interferenčních proužků V(α, β). aximální znalost bude dána rozlišitelností D a maximální vizibilita koherencí 1 Anglickytakovýelementoznačujemejako WhichWayaker

Obrázek1.8:Grafznázorňujícíznalostavizibilituvzávislostinaměření αprostav Ψ. K ( ), V ( ) 1. 1.0 0.8 0.6 0.4 K ( ) + V ( ) 0. V ( ) K ( ) 0.0 0 /16 /8 3 /16 /4 C.Vezměmestav(1.36)proP=0.PodívejmesejakvtomtopřípaděvypadajíznalostK(α)a vizibilitav(α)vzávislostinaprovedenémměření α(β=0)naprostředí,kteréjevyjádřeno pomocí projektorů(1.33). Dostaneme K(α) = cos(α) a jako limitní případy, pro žádné nebo optimální měření dostaneme V(α) = sin(α). (1.40) V 0 =P=0 (1.41) D=C=1 V relaci(1.31) dostáváme rovnost. Dále vidíme, že můžeme dostat jednotkovou vizibilitu tj. koherenci atakéjednotkovouznalosttj.rozlišitelnost,avšakprorůznáměření α.grafyk (α)av (α)pro β = 0jsouna Obrázku1.8.Nanichjezřetelněvidětkomplementárníchovánímeziznalostía vizibilitou. S měnícím se měřením(vzrůstajícím α) se znalost dráhy K(α) snižuje a naproti tomu se vizibilita V(α) zvyšuje. Kvantové smazávání je způsobeno existencí korelací mezi systémem a prostředím a je závislé na naší schopnosti najít vhodné měření a také takové měření provést. Obrázek 1.5 představuje uspořádání experimentálního testu duality a kvantového smazávání, který provedli Schwindt, Kwiat a Englert[14] s fotony o vlnové délce 670 nm. Pro detekci využili lavinové fotodiody použité v Geigerově režimu a jednofotonové moduly s účinností kolem 60%. Aby mohli produkovat fotony ve Fockově stavu, museli zeslabit vstupní pulzy tak, aby pravděpodobnost, že se v interferometru vyskytnou dva a více fotonů byla téměř nulová. Vizibilita byla měřena tak, že byly odstraněny následující elementy polarizační dělič svazku PDS a čtvrtvlnová ČD a půlvlnová destička PD a potom počítány relativní četnosti jednoho z detektorů v závislosti na měnící se fázi(provedli také redukci na okolní šum). Fáze byla měněna posouváním zrcadla piezoelektrickým měničem. Potom byly tyto elementy vráceny zpět a mohla být měřena znalost. Nejprve měřili znalost K a vizibilitu V v optimalizované bázi v závislosti na úhlu θ natočení půlvlnové destičky uvnitř interferometru. Pro případ kdy vstupní stav byl lineárně polarizovaný foton V experimentální data potvrdila teoretické předpovědi(na Obrázku 1.6) tj. vizibilita s rostoucím úhlem θ klesá a znalost naopak. Dále postavili zdroj, který byl schopný připravit libovolný smíšený stav. Využili diodový laser a zařízení, které bylo schopno kontrolovat relativní poměr vertikální a horizontální polarizace ve výstupním stavu. Provedli stejná měření i na smíšených stavech s různým stupněm čistoty a dostali opět shodu s teoretickými výsledky(obrázek 1.7). Dále provedli kvantové smazávání na čistém stavu pro různá θ a také na smíšeném stavu(1: čistý:smíšený). Potvrdili teoretické výsledky i v tomto případě(obrázek 1.9).

Obrázek 1.9: Experimentální data a teoretické křivky kvantového smazávání v závislosti na zvoleném měření α pro různévstupnístavy:(a)vertikálněpolarizovanývstupnístav,kterýbylotočenuvnitřinterferometruoúhel θ=45 (plnáčára)nebooúhel θ=10 (tečkovanáčára).(b)úplněsmíšenýstavpro θ=45.(c)smíšenýstav(33%čistoty) pro θ=,5 (plnáčára).prosrovnáníjsouzobrazenyiteoretickévýsledkypročistýstav(tečkovanáčára)aúplně smíšený stav(čárkovaná čára).(zdroj: Schwindt et al.[14]) 1 0.8 Vizibilita 0.6 0.4 0. (a) 0-90 -75-60 -45-30 -15 0 15 30 45 60 75 90 α 1 0.8 Vizibilita 0.6 0.4 0. (b) 0-90 -75-60 -45-30 -15 0 15 30 45 60 75 90 α 1 0.8 Vizibilita 0.6 0.4 0. (c) 0-90 -75-60 -45-30 -15 0 15 30 45 60 75 90 α 1.4 Příklady Podívejme se nyní na konkrétní příklady duality a kvantového smazávání v achově-zehnderově interferometru z Obrázku 1.5. Zkoumáme jakým způsobem je systém S monitorován systémem díky vzájemným korelacím. Budeme diskutovat případy bez dekoherence i s dekoherencí v systému S i, která je způsobena klasickou náhodnou fluktuací fáze nebo náhodnou změnou polarizace. Představmesiideálnípřípad,přikterémneuvažujemevexperimentužádnéfázovéfluktuaceani vestavusystému Sanivprostředí.Jetopřípadbezdekoherence.Vsouladusnotacízavedenou v sekci 1. vyjádříme obecný čistý stav jako ψ S = w 1 Ψ S V + w e iϕ Ψ S ( 1 D V + De iξ H ), (1.4) kde Djeexperimentálníparametr,kterýnámříká,jakdobřejsmeschopnirozlišitmezi Ψ S a Ψ S (vyjadřujenatočenípůlvlnovédestičkypd )aϕjerelativnífázemezistavysystému Sa ξjerelativnífázemezistavyprostředí.pokudzavedemedalšíparametr U= w 1 w můžeme

vyjádřitapriornívizibilituv 0,předpověditelnostP,rozlišitelnostDakoherenciC V 0 = U 1 D P = 1 U D = 1 U (1 D ) C = U (1.43) Pokud dosadíme uvedená vyjádření do relace duality(1.8) a smazávání(1.9) dostaneme v obou případech rovnost. To znamená, že v případě bez dekoherence dostáváme ideální případ duálního chování i kvantového smazávání. Víme přesně kolik informace můžeme získat o dráze fotonu při dané apriorní vizibilitě a také o kolik můžeme zvýšit koherenci při dané předpověditelnosti. Podívejmesenynínapřípaddekoherencejenvsystému S.Uvažujmeprojednoduchoststav(1.4) sp=0(tj. U=1).Nechámefluktuovatrelativnífázi ϕ(tumůžemeindukovatpomocífluktuacev nastavenízrcadlaz )vsystému Ssgaussovskýmpravděpodobnostnímrozdělením p(ϕ)= 1 σ π exp ( ϕ σ ), (1.44) kde σ jevariance.toznamená,ževýslednoumaticihustotymusímestředovatpřesfázovérozdělení. Zavedeme nový parametr R, který bude charakterizovat odolnost vůči dekoherenci R= p(ϕ)e ±iϕ dϕ=exp ( ) σ Rjetímmenšíčímvětšíjsoufázovéfluktuace(variance σ ).Dostaneme V 0 = R 1 D P = 0 D = D (1.45) C = R. (1.46) Vidíme, že se vzrůstající dekoherencí, klesá apriorní vizibilita i koherence. Zatímco rozlišitelnost není dekoherencí ovlivněna. Dekoherence také způsobila, že nedosáhneme rovnosti v relacích(1.8) a(1.9), protože matice hustoty stavu po dekoherenci pro R < 1 už nepředstavuje čistý stav. Podobněvyřešímesituaci,kdydekoherencepůsobíjenvprostředí.Toznamená,žesystém, který slouží k monitorování systému S je sám monitorován jiným prostředím. Podívejme se na dekoherenci v prostředí způsobenou náhodnou změnou polarizace fotonu. Neuvažuji fázovou fluktuaci.představmesi,žespravděpodobností 1 R dojde ještě před interakcí fotonu s půlvlnovou destičkoupd kezměněpolarizacezvertikálnínahorizontálníanaopak(tj. V H )as pravděpodobností 1+R ke změně nedojde. Potom dostaneme V 0 = 1 D P = 0 D = RD C = 1 (1.47) Náhodná změna polarizace nám způsobí snížení možnosti rozlišit dráhu fotonu, ale neovlivní nám možnost smazat informaci o dráze. V relaci smazávání dostaneme rovnost, ale v relaci duality rovnost pro R <1nedostaneme. Nynínechámefluktuovatjenrelativnífázi ξ mezipolarizačnímistavyfotonu V a H. Pokud předpokládáme stejné rozdělení pravděpodobnosti fluktuací a P = 0 jako v předchozím

000000 x B LS 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 111111 D0 D4 D A LASER BBO 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 000000 111111 GT BSB Z D3 BSA BS KOINCIDENCE D1 Z1 Obrázek 1.10: Schéma experimentu se zpožděnou volbou.(zdroj: Kim et al.[44]). příkladě dostaneme V 0 = 1 D P = 0 D = D D + R (1 D ) C = 1 D (1 R ) (1.48) Dekoherence v prostředí způsobená fluktuací fáze nám ovlivňuje rozlišitelnost i koherenci. Pro R=0,dostanemerozlišitelnostD=D,kteráklesárychlejinežvpřípadědekoherencevsystému (D=D).KoherenceCjepro R=0rovnavizibilitěV 0,toznamená,ženelzesmazatžádnou informaci. 1.5 Experimentální testy duality S rozvojem teorie o dualitě, vzrůstala potřeba provést experimentální testy dosažených teoretických výsledků. Některé testy jsem již uvedl v předcházejících podkapitolách. Další testy s fotony provedli Trifonovetal.v[9]aHerzogetal.v[16]. V této podkapitole se budu zabývat velice důležitým druhem experimentu tzv. experimentem se zpožděnou volbou(delayed choice experiment). To je druh experimentu, ve kterém systém S a systém jsou dva fyzicky separované systémy. V takovém experimentu můžeme nejdříve detekovat systém S a až potom se rozhodnout, jestli budeme zjišťovat dráhu nebo provádět kvantové smazávání systému S prostřednictvím měření na systému. Chceme tím dokázat, že volba okamžiku měření nemá vliv na dualitu. V experimentu v achově-zehnderově interferometru, který jsem popsal v podkapitole 1. není možné experiment se zpožděnou volbou provést, protože polarizační stav fotonu není možné odseparovat od fotonu samotného a v experimentu nám s detekcí fotonu zaniká i jeho polarizační stav! Experiment se zpožděnou volbou provedli Y.-H. Kim, R. Yu, S.P. Kulik, Y.H.Shiha.O.Scully[44].JehoschémajenaObrázku1.10.Světloovlnovédélce351,1nm

přichází z argonového-iontového laserového zdroje na dvouštěrbinovou překážku. Za překážkou se nachází nelineární krystal BBO, kde dochází buď v oblasti označené A nebo B ke spontánní sestupné parametrické konverzi typu II(SPDC-II), vstupního fotonu světla na dva fotony výstupní zvané signální a jalový. Výstupní pár fotonů z oblasti A nebo B je neklasicky korelovaný(entanglovaný) a tvořítzv.eprpár.oprodukcieprpárůsezmínímvdalšíkapitole.signálnífotonsešířísměrem kespojnéčočcels,kterávytvořívesvémohniskufourierůvobraz,signálnívlnyatímnámzajistí jednodušší výpočty ve Fraunhoferově aproximaci. Tento obraz můžeme zaznamenávat posuvem detektoru D0 ve směru x. Jalový foton přichází přes Glenův-Thompsonův hranol do vyváženého interferometru. Např. uvažme cestu jalového fotonu generovaného v oblasti B interferometrem. Foton B se s 50% pravděpodobností odrazí na děliči svazku BSB k detektoru D4. Kliknutí detektoru D4 námposkytneinformaci,žefotonvzniklvmístěbtj.získámeinformaciodrázefotonuaprotože jsou jalový a signálový foton entanglovány získáme dráhovou informaci i o signálovém fotonu! S 50% pravděpodobností však foton projde děličem svazku BSB a po odraze na zrcadle Z přichází nadalšíděličsvazkubs.opětsemůžeodrazitneboprojítatakzpůsobitkliknutídetektorud nebo D1. Ze symetrického uspořádání experimentu vidíme, že podobná analýza platí i pro foton, který vznikl v oblasti A. Informaci o jeho dráze zaznamenává detektor D3. Pokud projde foton A děličemsvazkubsapoodrazeodzrcadlaz1přicházínaděličsvazkubs,kdesebuďodrazínebo projde a klikne detektor D1 nebo D. Vidíme, že dělič svazku BS způsobí, že pomocí detektorů D1aDnejsmeschopnirozlišitfotonAodfotonuB.Děličsvazkusmažeinformaciocestěfotonu a obnoví interferenci. Dvoufotonová interference se měří pomocí koincidencí mezi detektorem D0, kterým procházíme ve směru x a vždy jedním z dalších detektorů. Předpokládáme, že v případě koincidencemezid3ad0(četnostkoincidencíoznačíme R 03 )nebod4ad0(r 04 )nebudedocházet kinterferenci,zatímcovpřípaděkoincidencemezid1ad0(r 01 )nebodad0(r 0 )budeme schopni pozorovat interferenci. Abychom mohli považovat tento experiment za experiment se zpožděnou volbou je optická dráha mezi krystalem BBO a detektorem D0 zvolena kratší než optická dráha mezi detektorem D0 a ostatními detektory. V experimentu činil tento rozdíl,5 m. To byl dostatečný rozdíl s ohledem na časovou odezvu detektorů(1 ns), aby mohli zajistit nejdříve detekci signálového fotonu detektorem D0 a teprve potom se zpožděním odpovídajícímu době, kterou světlo projde dráhu,5 m tj. 8 ns detekovat jalový foton některým z ostatních detektorů. Jinými slovy úspěšná koincidence nastala jestliže jalový foton byl detekován právě za dobu 8 ns od detekce signálovéhofotonu.teoreticképředpovědipročetnostkoincidencí R 01, R 0, R 03 a R 04 sedajíspočítats pomocí fotodetekční rovnice. Ve Fraunhoferově aproximaci a se započtením difrakce na štěrbině[61] dostaneme ( ) ( ) xπa xπb R 01 sinc cos fλ fλ ( xπa R 0 sinc fλ ( xπa R 03 sinc fλ ) ) sin ( xπb fλ ) R 04 = R 03, (1.49) kde aješířkakaždéštěrbiny, bjevzdálenostmezištěrbinami, λjevlnovádélkasvětlaafjeohnisková vzdálenostčočkyls.experimentálnídataateoretickévýsledkykoincidenčníchměření R 01, R 0 a R 03,kterájsouukázánanaObrázcích1.11,1.1a1.13,jsouveshodě.

Obrázek1.11:Koincidence R 01 mezidetektoryd0ad1vzávislostinapolozexdetektorud0.pozorujemeinterferenci. (Zdroj:Kimetal.[44]) 140 R01 10 100 Koincidence 80 60 40 0 0 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 x (poloha D0 ) (mm) Obrázek1.1:Koincidence R 0 mezidetektoryd0advzávislostinapolozexdetektorud0.pozorujemeinterferenci, kteráseodpřípadusr 01 lišíjenfázovýmposuvem.(zdroj:kimetal.[44]) 140 R0 10 100 Koincidence 80 60 40 0 0 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 x (poloha D 0 ) (mm)

Obrázek1.13:Koincidence R 03 mezidetektoryd0ad3vzávislostinapolozexdetektorud0.interferencejezničena. Stejnásituacevznikneipro R 04.(Zdroj:Kimetal.[44]) 140 10 R03 100 Koincidence 80 60 40 0 0 0.0 0.5 1.0 1.5.0.5 3.0 x (poloha D 0 ) (mm)

Komplementarita, EPR argument a Bellovy nerovnosti.1 EPR argument a lokálně realistické teorie Kvantová teorie byla již od svých počátků předmětem velkých diskuzí. Diskutovalo se o interpretaci vlnové funkce a dokonce i o úplnosti kvantové teorie. Dokladem jsou učené disputace mezi dvěma velkýmifyziky0.stoletía.einsteineman.bohrem[5].ztétodiskuzeatakézeinsteinovyvíry,že přírodní zákony jsou zcela deterministické(ze znalosti počátečních podmínek dokážeme přesně určit budoucí stav systému), realistické(výsledky všech měření jsou předem určeny a existují nezávisle na teorii) a lokální(neexistuje tzv. působení na dálku ) navrhl společně se svými dvěma kolegy B. Podolskym a N. Rosenem myšlenkový experiment, ve kterém se snažili dokázat, že kvantová teorie je neúplná[3]. Jeho původní verzi jsem popsal v úvodu. Nyní představím novější verzi( Gedankenexperiment ) jejich myšlenkového experimentu podle D.Bohma[49]zroku195.BohmpřeformulovalpůvodníEPRexperimentpročásticesespinem 1. Na tomto experimentu je vidět souvislost komplementarity a EPR argumentu. Prostřednictvím EPR experimentu dává komplementarita omezení na míru předpověditelnosti výsledků měření. Bohm uvažovalčásticisespinem0,kteráserozpadlanadvěčásticesespinem 1 (Obrázek.1).Protožese spin zachovává, celkový systém složený z obou částic má neustále nulový spin. Částice se po rozpadu šíří vzájemně opačným směrem, proto je můžeme jednoduše odlišit a označit jako částici L(šířící se vlevo) a částici R(šířící se vpravo). Celkový stav systému po rozpadu částice bude dán následujícím čistým stavem ψ = 1 ( z, L z, R z, L z, R ), (.1) kde zznačí,žespinčásticejevesměruosy z(bezújmynaobecnosti),šipkanahoru resp.dolů reprezentuje spin nahoru resp. dolů a L resp. R označení směru šíření částice vlevo resp. vpravo. Superpozici(.1) nazýváme EPR korelovaný pár. Tento stav je mimo jiné zajímavý tím, že ho není možné pomocí změny báze napsat jako součin dvou jednočásticových stavů. Ve směru šířících se částic byly umístěny Sternovy-Gerlachovy přístroje(s-g), které dokáží měřit spinový stav částice v libovolném směru. ěření spinu částice R ve směru osy z odpovídá následujícím projektorům P R z, P R z, = 1+σR z = 1 σr z spin nahoru spin dolů (.) Podívejme se, jaké budou výsledky měření spinů obou částic ve stavu(.1). S pravděpodobností Tr(Pz, R ψ ψ )=1/dostanememěřenímspinučástice Rvýsledek nahoru acelýsystémzkolabuje dostavu z, L z, R aspravděpodobnostítr(p z, R ψ ψ )=1/dostanememěřenímspinučástice Rvýsledek dolů acelýsystémzkolabujedostavu z, L z, R.Jevidět,žepokudnaměřímena jedné částici spin nahoru, na druhé částici musíme naměřit spin dolů a nebo naopak, protože po měření na jedné částici dochází k redukci stavu podle postulátu kvantového měření. Při měření spinu částic L a R ve směru z dostáváme úplně korelované výsledky a dokonce jsme schopni měřením na jedné částici s jistotou říci, jaký bude výsledek měření na částici druhé aniž bychomměřenínadruhéčásticivůbecprovedli!toplatínezávislenatom,jaksedalekoodsebe

S G na L z EPR pár S G na R z L R x x Obrázek.1: EPR experiment. částice nacházejí! Pokud budeme měřit spin obou částic ve stejném směru, vždy budeme dostávat korelované výsledky, protože při změně báze zachovává stav(.1) svůj neseparabilní tvar. To je rozdíl meziklasickouakvantovoukorelací.např.stav z, L x, R jetakékorelovaný,alejenklasicky,protože v jiné bázi již perfektní korelaci výsledků nedostaneme. Neplatí to však např. pro měření spinu částice Rvesměru zaměřeníspinučástice Lvesměru xnastavu(.1).pokudpoměřeníčástice R ve směru z dostaneme nějaký výsledek např. nahoru, nebudeme schopni s jistotou předpovědět výsledekměřeníspinuvesměru xnačástici L.Operátoryspinuvesměru xaztotižnekomutují tj.[σ x, σ z ]= iσ y 0.Pozoruhodnékorelacevestavu(.1)dávajívzniknoutnásledujícímuEPR argumentu(einstein-podolsky-rosen). EPR argument dává požadavky na úplnou fyzikální teorii: Lokalita: Neexistuje tzv. působení na dálku, tj. pokud subsystémy už dále neinteragují nemůže měření na jednom z nich žádným způsobem(okamžitě) ovlivnit měření na druhém. Realita: Jestliže můžeme předpovědět s jistotou(s jednotkovou pravděpodobností) výsledek měření nějaké fyzikální veličiny aniž bychom tím narušili měřený systém, potom existuje element fyzikální reality, který odpovídá měřené fyzikální veličině.(výsledek každého měření je předem určen.) Úplnost: Každý element fyzikální reality musí mít svůj obraz v úplné fyzikální teorii. Teorie splňující tyto požadavky nazýváme lokálně realistické. EPR dále argumentují, že podle požadavku lokality nemůže měření na první částici žádným způsobem ovlivnit druhou částici a také že jsou všechny možné výsledky měření určeny již při vzniku částic(požadavek reality) tj. existují elementy reality odpovídající měření spinu na druhé částici v libovolném směru. Pokud jsme na částici R měřili spin ve směru z a dostali nějaký výsledek( nahoru nebo dolů) nejsme schopni podle kvantové teorie předpovědět výsledek měření spinu např. ve směru x. Zastánci EPR na základě svých kritérií lokálního realismu tvrdí, že kvantová teorie je neúplná.. Bellovy nerovnosti Akademická debata o úplnosti či neúplnosti kvantové teorie se dramaticky změnila po tom, co v roce 1965 John S. Bell představil světu své nerovnosti[5], které vyjadřují omezení na míru korelací obsažených v systémech splňujících kritéria lokálního realismu. Takovéto nerovnosti potom můžeme experimentálně testovat a tím rozhodnout o úplnosti kvantové teorie. Podívejme se na tvar Bellovy nerovnosti představené J.F. Clauserem,.A. Hornem, A. Shimonym a R.A. Holtem(zkracované jako CHSH Bellovy nerovnosti) v[1], který je vhodnější k experimentálním testům, než původní Bellovo vyjádření. Představme si, že máme připravený ensamble