Operátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na
|
|
- Vladimíra Němcová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 4 Matematická vsuvka: Operátory na Hilbertově prostoru. Popis vlastností kvantové částice. Operátory rychlosti a polohy kvantové částice. Princip korespondence. Vlastních stavy a spektra operátorů, jejich fyzikální význam. Matematická vsuvka : Operátory v Hilbertově prostoru Teorie operátorů v Hilbertově prostoru je téma samozřejmě velmi široké a nelze sem vměstnat obsah mnoha knih, které o něm byly napsány. Shrneme zde pouze nejdůležitější fakta, která budeme potřebovat. V následujícím odkazuji na (SKM, 3.. a QMCA s. 88 a dále) Operátory konečněrozměrných prostorech, maticové reprezentace operátorů (QMCA.5). Matice jako reprezentace operátoru na konečněrozměrném vektorovém prostoru. Matice x, např. A=(3,+i:-i,) Determinant. Vlastnosti determinantu. (QMCA ) Vlastní čísla matice, vlastní vektory matice. Inverzní matice. Symetrická matice: Aij=Aji * Hermitovsky sdružená matice: Aij = A ji. Hermitovská matice má pouze reálná vlastní čísla. Např: Matice (3,+i:-i,). Proč tomu tak je? Klasický postup pro zjištění vlastních čísel je diagonalizace matice. To je ale pouze transformace matice do vhodné báze. A tím se pektrální vlastnosti matice nezmění! Matice stále hermitovská a tedy má na diagonále pouze reálná čísla, nikoli komplexní. U operátorů na nekonečněrozměrných prostorech ale maticová reprezentace neexistuje. Operátory obecně (viz QMCA s. 88) je matematický předpis který, pokud je aplikován na funkci, převádí ji na Operátor A jinou funkci ve stejném prostoru. Např: Jednotkový operátor I : I = Operátor Laplace : r = r r r x y z S dalšími operátory se setkáme později. B A Součin operátorů není obecně komutativní A B A B B C C = A Součin operárotů je asociativní A B C= Operátor je lineární jestliže komutuje s konstantou a je distributivní v působení na funkce: (QMCA.5 a.53) Střední hodnota operátoru (očekávání) A vzhledem k funkci je vyjádřená 36
2 , A = * A dx. následujícím skalárním součinem: A = Hermitovské sdružení: Už jsme probírali sdružení komplexního čísla c: c* H =, A * U operátoru je definice Hermitovského sdružení následující:, A O operátoru A říkáme že je Hermitovský (pro naše účely totéž co samosdružený), A H. pokud je totožný se svým Hermitovsky sdruženým operátorem A= Z technických důvodů používám pro označení Hermitovského (samosdruženého) operátoru písmeno H místo obvyklého symbolu dagger. Protože se ale v kvantové mechanice setkáváme téměr výhradně s Hermitovskými operátory, budu označení H v text vynechávat. * A H (viz. QMCA,.68). Pozor, A A je reálné číslo: Střední hodnota, očekávání Hermitovského operátoru *, A =, A A= A A =I. Pokud existuje inverzní operátor A k oper. A, je definován: A H A= A A H= I H, neboli A Lineární operátor nazýváme unitárním, pokud A = A Komutátorová algebra (viz QMCA, s. 9), B]= B A B A. Komutátor dvou operátorů, A a B je definován: [ A, B]= 0. Dva operátory komutují, pokud [ A V kvantové mechanice budeme operátory používat pro určení vlastností kvantové částice, tedy jako experimentální nástroje v teoretickém popisu. Z tohoto pohledu si můžeme operátory které spolu komutují představit jako experimentální nástroje, které jsou spolu kompatibilní, kterými mohu určovat vlastnosti kvantové částice současně. Pokud A komutuje s B, pak A komutuje také s libovolnou operátorovou funkcí, B]=, F B ]=0 0 [ A (QMCA.4.6.) B : [ A Různé důležité vlastnosti komutátorů jsou k nalezení např. v QMCA, s. 93. Relace neurčitosti mezi dvěma operátory Střední kvadratická odchylka, nejistota, operátoru A vzhledem k normalizovanému A A (srovnej s definicí střední hodnoty stavu je definována jako: A= operátoru) (QMCA.9). Platí [ A, B] A B (4) Vlatní hodnoty a vlastní funkce operátorů pokud aplikace A na O stavu říkáme, že je vlastním vektorem operátoru A =a, kde a je komplexní číslo, nazývané vlastní číslo operátoru A. dává A Vlastní hodnoty a vlastní čísla jsou v kvantové mechanice nesmírně důležité. Jednoduchý příklad: Najděte vlastní vektory a vlastní čísla operátoru identity. Všechna vlastní čísla jsou rovna jedné. Vlastní čísla inverzního operátoru jsou inverzní vlastní čísla původního operátoru. nazýváme spektrem operátoru A. Spektrum Množinu vlastních čísel operátoru A může být diskrétní nebo spojité. K detailům se dostanu později. [] Teorém: Všechna vlastní čísla Hermitovského operátoru jsou reálná a vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou ortogonální (QMCA, s. 98). 37
3 [] Teorém: Vlastní stavy Hermitovského operátoru tvoří ortogonální bázi. V této bázi je operátor diagonální a jeho diagonální elementy jsou rovny jeho vlastním stavům. Báze je určena jednoznačně pokud operátor nemá degenerované vlastní hodnoty (není určena jednoznačně pokud má degenerované vlastní hodnoty) (QMCA, s. 99). (toto platí pouze pro operátory s čistě bodovými spektry, viz SKM, s. 35) a B komutují, a pokud A nemá žádnou [3] Pokud dva Hermitovské operátory, A degenerovanou vlastní hodnotu, potom každý vlastní vektor A je také vlastní vektor B. Navíc, je možno zkonstruovat společnou ortonormální bázi, která je vytvořena a B. ze společných vlastních vektorů operátorů A Vlastní čísla unitárních operátorů jsou komplexní čísla s absolutní hodnotou rovnou jedné; Vlastní vektory unitárních operátorů nejsou degenerované a jsou vzájemně kolmé. Stavy a pozorovatelné veličiny v klasické mechanice (založeno na SKM) Stav systému (např. jedné či více částic) je určen bodem fázového prostoru polohou x a rychlostí v (to je ekvivalentni se znalostí polohy x a hybnosti p ), a fyzikální veličiny takzvané pozorovatelné (nebo vlastnosti částic/systému v daném stavu) jsou definovány jako reálné funkce na fázovém prostoru. Hodnotu každé mechanické veličiny (energie, momentu hybnosti,...) pro systém v daném stavu dostaneme vyhodnocením příslušné funkce v odpovídajícím bodu fázového prostoru. Množinu/spektrum hodnot, které pro klasickou částici můžeme naměřit je dáno oborem hodnot této funkce. Např. kinetická energie stavu jako funkce dvojice p, q je 3 3 (43) kin j j j= j= a její spektrum je R+, tedy kladná reálná čísla. Tento popis je nezávislý na časovém vývoji systému a je tak názorný, že se mu v klasické mechanice nevěnuje téměř žádná pozornost. Uvádíme jej zde proto, aby bylo možné sledovat jak podstatně odlišné matematické struktury se používají pro popis těchže kinematických pojmů v kvantové mechanice. Víme již, jak popsat stav kvantové částice. Jak ale měřit vlastnosti, jako například energii? m E p, x = m v = v = p m Stavy a pozorovatelné veličiny v kvantové mechanice (založeno na SKM) Schrödingerova rovnice je parciální lineární diferenciální rovnicí. řádu v čase a její řešení je (při daných okrajových podmínkách) určeno volbou počáteční podmínky x, t 0 =g x. tj. funkcí g x. Přijmeme-li předpoklad, že Schrödingerova rovnice (34) popisuje časový vývoj kvantové částice, pak docházíme k závěru, že okamžitý stav kvantové částice je určen komplexní funkcí tří proměnných (jak zvláštní!). Této funkci se obvykle říká stavová či vlnová funkce částice. Porovnejte počáteční podmínky pro řešení Schrödingerovy rovnice s klasickou mechanikou, kde potřebuji znát pro řešení Newtonových rovnic polohu a rychlost. Bornova interpretace řešení Schrödingerovy rovnice klade na stavové funkce jistá omezení. Podmínka (40) platí pro libovolný čas t, a musíme proto požadovat, aby každá funkce popisující stav kvantové částice splňovala podmínku integrability! Kvadraticky integrabilní funkce tvoří lineární vektorový prostor (díky Minkovského 38
4 nerovnosti). Kombinace existujících stavů je přípustným stavem. Otázka, na kterou chceme odpovědět v tomto paragrafu zní: Jaké matematické objekty přiřadíme v kvantové mechanice pozorovatelným (veličinám)? Jak bylo konstatováno dříve, stavový prostor kvantové částice je množina kvadraticky integrabilních funkcí tří proměnných. Kvantová teorie přiřazuje pozorovatelným samosdružené lineární operátory (proč samozdružené, to vysvětlím za chvíli) na prostoru stavových funkcí. Způsob přiřazení operátorů konkrétním fyzikálním veličinám je dán fyzikální intuicí, dlouholetým vývojem a následným experimentálním ověřováním teorie. Postulát [P]: Ke každé fyzikálně měřitelné veličině A (nazvěme jí také měřitelná, pozorovatelná nebo dynamická proměnná ) přísluší lineární Hermitovský operátor, jehož vlastní vektory tvoří úplnou bázi. A Pro sledování analogií s klasickou mechanikou jsou samozřejmě důležité operátory polohy a hybnosti. V kvantové mechanice hmotné částice je kartézským složkám polohy částice přiřazen operátor násobení nezávislou proměnnou Q j x := x j x, j {,,3} (44) a kartézským složkám hybnosti částice je přiřazen operátor parciální derivace P j x := i ℏ x, j {,,3} xj (45) Oba dva tyto operátory jsou Hermitovské (bude ukázáno na cvičení). místo X, aby se to nepletlo s malým x. Pro operátor polohy budu používat označení Q Vztahy (44) a (45) nelze odvodit. Existuje mnoho zdůvodnění přiřazení (44) a (45). V každém z nich je však třeba vyslovit nějaké předpoklady, které jsou s nimi více či méně ekvivalentní. Operátory odpovídající ostatním fyzikálním veličinám majícím klasickou analogii jsou konstruovány podle principu korespondence, tzn. jsou formálně stejnými funkcemi operátorů F Q j, P j jako odpovídající funkce F x j, p j na fázovém prostoru v klasickém případě. Např. Hamiltonián, operátor celkové energie částice v silovém poli potenciálu V x (kinetická + potenciální energie), že jsme definici operátoru hybnosti již použili při zápisu Schrödingerovy rovnice (34). ℏ E :=E Q j, P j = V x = H m (46) Protože vztah (46) je formálně shodný s pravou stranou Schrödingerovy rovnice, říká se mu bezčasová Schrödingerova rovnice. Definiční obory operátorů je třeba zejména zvolit tak, aby byl splněn požadavek kvantové mechaniky, totiž, že spektrum lineárního operátoru přiřazeného fyzikální veličině musí být shodné s množinou hodnot, které lze pro danou veličinu naměřit. Viz SKM s Důvod, proč v kvantové teorii požadujeme, aby pozorovatelným byly přiřazeny samosdružené operátory tkví v tom, že platí: Spektrum samosdruženého operátoru je podmnožinou R. To odpovídá tomu, že můžeme naměřit pouze reálné hodnoty pozorovatelných. Spektrum (čistě spojité) každého z operátorů polohy (44) a hybnosti (45) je R, což odpovídá experimentálnímu faktu, že pro kvantovou částici nebyla zjištěna žádná omezení na množinu 39
5 hodnot souřadnic a hybností. Pro hodnoty energie, jak jsme viděli na příkladu harmonického oscilátoru a Planckovy hypotézy jsou omezení podstatná (spektrum energie je diskrétní), a je proto velmi důležité zjistit, jak vypadá spektrum energie kvantové částice v silovém poli harmonického oscilátoru. Do toho se pustíme v příští přednášce. Uvidíme, že spektrum energie pro některé, tzv. vázané stavy je diskrétní. V jiných případech však může být spektrum energie spojité, uvidíme dále. Zajímavostí je že také čas je kvantovaný. Další fyzikální veličiny, které měříme, jako například teplota, jsou v klasické fycice odvozené z mechanických vlastností systémů. Jako příklad uveďme teplotu T. Kinetická teorie plynů v i atomů plynu v určité vztahuje teplotu k průměrné kinetické energii E k = m n R uzavřené oblasti. E k = k T, kde k = (n=avogadrovo číslo, R je konstanta ideálního n plynu), pro každý stupeń volnosti. Pro ideální plyn se třemy translačními stupni volnosti platí 3 mv aver = k T pv =nrt a z toho plyne Technický komentář k A x, A y, a z A, A, A3. Q, P, x, p používání a zaměňování značení r, x, x, x, x 3, x, y, z. Stacionární stavy: časově nezávislé potenciály (QMCA 3.6., s. 7) Celá kvantová mechanika je vlastně řešení Schrödingerovy rovnice, stejně jako celá klasická fyzika je o řešení Newtonových rovnic. Schrödingerova rovnice určuje časový vývoj kvantové částice. Nyní začneme systematicky probírat řešení SR pro různé speciální případy. Časově závislá Schrödingerova rovnice: iℏ x,t ℏ = x,t V x,t x, t t m (47) V tomto tvaru je zdůrazněno že funkce x,t závisí na prostorové proměnné a vyvíjí se v čase. Také je vidět, že potenciál může být v obecném tvaru závislý na čase. Potenciál totiž popisuje např. Interakci kvantové částice s jinými částicemi, které se mohou pohybovat, tím se vzájemné působení (a tedy i potenciál) mění v čase. Nyní však uvažujme konkrétní případ časové nezávislého potenciálu: V x, t =V x. V tomto případě je Hamiltonián (operátor energie) taktéž časově nezávislý, a tedy Schrödingerova rovnice má separabilní řešení, což znamená že její řešení se skládá ze součinu dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na poloze x a druhá pouze na čase t. x,t = x f t (48) Pokud dosadíme rovnici (48) do (47), dostáváme: [ df t ℏ iℏ = x V r x f t dt x m 40 ] (49)
6 Jelikož levá strana závisí pouze na čase a pravá strana rovnice závisí pouze na poloze x, obě strany se musí rovnat konstantě (pořádně promyslet). Tato konstanta, kterou nazveme E, má fyzikální rozměr energie (ukažte). Rovnici (49) tak rozdělíme na dvě rovnice, jednu závislou pouze ne čase iℏ df t = E f t dt (50) a druhou pouze na prostorové proměnné x, ℏ x V x x = H x = E x m. (5) Tato rovnice je nám již známa jako časově nezávislá Schrödingerova rovnice Tato rovnice je rovnicí pro nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů Hamiltoniánu H. Řešení rovnice (50) může být zapsáno ve tvaru f t =e ℏ t, a tedy časově závislý stav (48) nabyde tvar ie t. (5) ℏ ie x,t = x e Toto řešení Schrödingerovy rovnice (47) pro časově nezávislý potenciál se nazýva stacionárním stavem. Proč stacionární? Důvod je prostý: hustota pravděpodobnosti nalezení kvantové částice v nějakém konkrétním místě je nezávislá na čase, tedy stacionární: ie ie t t (53) ℏ ℏ x, t = x e = x e = x Každému takovému stavu přísluší konkrétní hodnota energie E ( E=ℏ ). Tedy: stacionární stavy, dané řešením rovnice (5), existují pouze pro časově nezávislé potenciály (je to problém nalezení vlastních čísel operátoru energie). Množina hodnot energie, které jsou řešením této rovnice, se nazývá spektrum energie systému. Stavy příslušející diskrétnímu spektru se nazývají vázané stavy. Stavy příslušné spojité části spektra se nazývají volné stavy. Příklady časově nezávislých potenciálů: harmonický potenciál, Coulombovský potenciál,... Situace v případě časově závislých potenciálů je komplikovanější, v této přednášce se jí věnovat nebudeme. 4
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných. Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti.
6 PŘEDNÁŠKA 6: Stav kvantového systému, úplná množina pozorovatelných Operátor momentu hybnosti a kvadrátu momentu hybnosti Víme už tedy téměř vše o operátorech Jsou to vlastně měřící přístroje v kvantové
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLehký úvod do kvantové teorie
1 Lehký úvod do kvantové teorie 1 Unitární prostory (prostory se skalárním součinem) Ve Fyzice 1 jsme rozšířili pojem vektoru na obecnější objekty,než jsou uspořádané trojice a zavedli lineární vektorový
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceKvantová mechanika ve 40 minutách
Stručný průvodce konečněrozměrnou kvantovou mechanikou České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Úvod do kryptologie 6. 5. 2010 Program 1 Od klasické mechaniky k mechanice
VíceOd kvantové mechaniky k chemii
Od kvantové mechaniky k chemii Jan Řezáč UOCHB AV ČR 19. září 2017 Jan Řezáč (UOCHB AV ČR) Od kvantové mechaniky k chemii 19. září 2017 1 / 33 Úvod Vztah mezi molekulovou strukturou a makroskopickými vlastnostmi
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceMatematické metody kvantové mechaniky
Matematické metody kvantové mechaniky Seminář současné matematiky Ing. Tomáš Kalvoda tomas.kalvoda@fit.cvut.cz KM FJFI & KTI FIT ČVUT místnost M102, FIT 11. listopadu 2010 Kalvoda (ČVUT) Seminář současné
VíceObsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD TEORETICKÁ MECHANIKA...15
Obsah PŘEDMLUVA...9 ÚVOD...11 1. TEORETICKÁ MECHANIKA...15 1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY... 16 1.1.1 Základní pojmy z mechaniky... 16 1.1.2 Integrální principy... 18 1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VícePříklad 1: Komutační relace [d/dx, x] Příklad 2: Operátor B = i d/dx
1 Příklad 1: Komutační relace [d/, x] Mějme na dva operátory: ˆ d/ a ˆ 5 D X x, například na prvek x působí takto Určeme jejich komutátor ˆ 5 d 5 4 ˆ 5 5 6 D x x 5 x, X x xx x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ d d [ DX, ] f
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceNástin formální stavby kvantové mechaniky
Nástin formální stavby kvantové mechaniky Karel Smolek Ústav technické a experimentální fyziky, ČVUT Komplexní čísla Pro každé reálné číslo platí, že jeho druhá mocnina je nezáporné číslo. Např. 3 2 =
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VícePráce, energie a další mechanické veličiny
Práce, energie a další mechanické veličiny Úvod V předchozích přednáškách jsme zavedli základní mechanické veličiny (rychlost, zrychlení, síla, ) Popis fyzikálních dějů usnadňuje zavedení dalších fyzikálních
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Více3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor
3 Posunovací operátory, harmonický oscilátor 3.1 Jednoduchý algebraický systém Mějme operátor  a operátor  k němu sdružený, které mezi sebou splňují komutační relace 1 [Â, = m, m R +. (3.1.1) Definujme
VíceLehký úvod do kvantové teorie II
1 Lehký úvod do kvantové teorie II 5 Harmonický oscilátor Na příkladu harmonického oscilátoru, jehož klasické řešení známe z Fyziky 1, si ukážeme typické postupy při hledání vlastních hodnot operátoru
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 14.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan 14. Vlastní vektory Bud V vektorový prostor nad polem P. Lineární zobrazení f : V
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Víceoznačme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,
Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
Více3.1. Newtonovy zákony jsou základní zákony klasické (Newtonovy) mechaniky
3. ZÁKLADY DYNAMIKY Dynamika zkoumá příčinné souvislosti pohybu a je tedy zdůvodněním zákonů kinematiky. K pojmům používaným v kinematice zavádí pojem hmoty a síly. Statický výpočet Dynamický výpočet -
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceVY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce
VY_32_INOVACE_M-Ar 8.,9.20 Lineární funkce graf, definiční obor a obor hodnot funkce Anotace: Prezentace zavádí pojmy lin. funkce, její definiční obor a obor hodnot funkce. Dále vysvětluje typy funkcí
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
Více1. Obyčejné diferenciální rovnice
& 8..8 8: Josef Hekrdla obyčejné diferenciální rovnice-separace proměnných. Obyčejné diferenciální rovnice Rovnice, ve které je neznámá funkcí a v rovnici se vyskytuje spolu se svými derivacemi, se nazývá
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceVybrané podivnosti kvantové mechaniky
Vybrané podivnosti kvantové mechaniky Pole působnosti kvantové mechaniky Středem zájmu KM jsou mikroskopické objekty Typické rozměry 10 10 až 10 16 m Typické energie 10 22 až 10 12 J Studované objekty:
VíceKvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)
1 Statistická fyzika Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Cíl statistické fyziky: vysvětlit makroskopické vlastnosti látky na základě mikroskopických vlastností jejích elementů,
VíceHamiltonián popisující atom vodíku ve vnějším magnetickém poli:
Orbitální a spinový magnetický moment a jejich interakce s vnějším polem Vše na příkladu atomu H: Elektron (e - ) a jádro (u atomu H pouze p + ) mají vlastní magnetický moment (= spin). Tyto dva dipóly
Více6.2.8 Vlnová funkce. ψ nemá (zatím?) žádný fyzikální smysl, fyzikální smysl má funkce. Předpoklady: 060207
6..8 Vlnová funkce ředpoklady: 06007 edagogická poznámka: Tato hodina není příliš středoškolská. Zařadil jsem ji kvůli tomu, aby žáci měli alespoň přibližnou představu o tom, jak se v kvantové fyzice pracuje.
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceŘešit atom vodíku znamená nalézt řešení Schrödingerovy rovnice s příslušným hamiltoniánem. 1 4πǫ 0. 2m e
8 Atom vodíku Správné řešení atomu vodíku je jedním z velkých vítězství kvantové mechaniky. Podle klasické fyziky náboj, který se pohybuje se zrychlením (elektron obíhající vodíkové jádro proton), by měl
Více2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení
2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků
VíceKinetická teorie ideálního plynu
Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na
VíceVEKTOROVÁ POLE Otázky
VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
VíceNetradiční výklad tradičních témat
Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VíceOddělení pohybu elektronů a jader
Oddělení pohybu elektronů a ader Adiabatická aproximace Born-Oppenheimerova aproximace Důležité vztahy sou 4, 5, 7, 0,,, udělal sem to zbytečně podrobně, e to samostatný okruh Separace translačního pohybu:
VíceDynamika soustav hmotných bodů
Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
Více1 Připomenutí vybraných pojmů
1 Připomenutí vybraných pojmů 1.1 Grupa Definice 1 ((Komutativní) grupa). Grupou (M, ) rozumíme množinu M spolu s operací na M, která má tyto vlastnosti: i) x, y M; x y M, Operace je neomezeně definovaná
Více31 SCHRÖDINGEROVA FORMULACE KVANTOVÉ MECHANIKY. Schrödingerova rovnice Kvantověmechanický formalismus
278 31 SCHRÖDINGEROVA FORMULACE KVANTOVÉ MECHANIKY Schrödingerova rovnice Kvantověmechanický formalismus Korpuskulární vlastnosti částic podmiňují jejich pohyb, který vyjadřuje "newtonovská" mechanika
VíceVEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE
Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) jako vektor s
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceDynamika vázaných soustav těles
Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceFakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR
DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y
VíceSkalární a vektorový popis silového pole
Skalární a vektorový popis silového pole Elektrické pole Elektrický náboj Q [Q] = C Vlastnost materiálových objektů Interakce (vzájemné silové působení) Interakci (vzájemné silové působení) mezi dvěma
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VíceElektronový obal atomu
Elektronový obal atomu Vlnění o frekvenci v se může chovat jako proud částic (kvant - fotonů) o energii E = h.v Částice pohybující se s hybností p se může chovat jako vlna o vlnové délce λ = h/p Kde h
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceNecht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme
Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární
Více