Kombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo

Kombinatorika Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 19. února 2008

Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických konfigurací 4 Princip inkluze a exkluze

Předmět kombinatoriky Co je kombinatorika Větev matematiky, která se zabývá problémy sestavení (konfigurování) skupin prvků konečné množiny, se nazývá kombinatorika. Jistá sestava nebo konfigurace prvků konečné množiny se nazývá kombinatorická konfigurace.

Historie kombinatoriky Historie kombinatoriky: Vznik kombinatoriky je spjat se jmény B. Pascale a P. (de) Fermata a jejich výzkumem v oblasti teorie her. K dalšímu rozvoji přispěl G. Leibniz, kterému vděčíme za slovo kombinatorika. J. Bernoulli použil kombinatoriku v teorii pravděpodobnosti. L. Euler je zakladatelem matematických metod výpočtu různých kombinatorických konfigurací.

Základní kombinatorické konfigurace Permutace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Permutace Permutace N je jedno možné uspořádání této množiny. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 (a, b, c) (a, c, b) (b, a, c) (b, c, a) (c, a, b) (c, b, a) jsou všechny možné permutace N = {a, b, c}.

Základní kombinatorické konfigurace Permutace s opakováním Permutace s opakováním Permutace s opakováním je uspořádání skupiny z n prvků, mezi nimiž je i 1 stejných prvků prvního typu, i 2 stejných prvků druhého typu atd. až i k stejných prvků k-ho typu, přičemž i 1 + i 2 + i k = n. Příklad Pro N = {a, a, b, c}, n = 4 a i 1 = 2, i 2 = 1, i 3 = 1 jsou všechny možné permutace s opakováním: (a, a, b, c) (a, b, a, c) (a, b, c, a) (a, a, c, b) (a, c, a, b) (a, c, b, a) (b, a, a, c) (b, a, c, a) (b, c, a, a) (c, a, a, b) (c, a, b, a) (c, b, a, a).

Základní kombinatorické konfigurace Variace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace Variace r-té třídy z n prvků (r n) je uspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, b) (a, c) (b, a) (b, c) (c, a) (c, b) jsou všechny možné variace 2. třídy ze 3 prvků.

Základní kombinatorické konfigurace Variace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Variace s opakováním Variace r-té třídy z n prvků s opakováním je variace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 (a, a) (a, b) (a, c) (b, a) (b, b) (b, c) (c, a) (c, b) (c, c) jsou všechny možné variace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.

Základní kombinatorické konfigurace Kombinace Vycházíme z konečné množiny N s n prvky. Kombinace Kombinace r-té třídy z n prvků (r n) je neuspořádaná sestava r prvků z daných n prvků množiny N. Příklad Pro N = {a, b, c}, n = 3 a r = 2 {a, b} {a, c} {b, c}. jsou všechny možné kombinace 2. třídy ze 3 prvků.

Základní kombinatorické konfigurace Kombinace s opakováním Vycházíme z konečné množiny N s prvky n typů, přičemž máme nekonečně mnoho prvků každého typu. Kombinace s opakováním Kombinace r-té třídy z n prvků s opakováním je kombinace, kde se prvky mohou opakovat. Příklad Pro množinu prvků s typy a, b, c, n = 3 a r = 2 (a, a) (b, b) (c, c) (a, b) (a, c) (b, c) jsou všechny možné kombinace s opakováním 2. třídy ze 3 prvků.

Pravidla součinu a součtu Pravidlo součinu Máme-li n možností pro výběr A a pak dalších m možností pro výběr B, potom výběr uspořádané dvojice (A, B) se uskuteční n m možnostmi. Example Počet K dvouciferných čísel dělitelných 2: K = 9 5 = 45.

Pravidla součinu a součtu Pravidlo součtu Máme-li n možností pro výběr A a pak nezávisle m dalších možností pro výběr B, potom výběr A nebo B se uskuteční n + m možnostmi. Example Počet K čísel od 1 do 99 dělitelných 2: A: jednociferné číslo dělitelné 2 B: dvouciferné číslo dělitelné 2 K A = 4 K B = 9 5 = 45 K = K AneboB = 4 + 45 = 49

Počet permutací, variací, kombinací Počet permutací množiny s n prvky P n = n (n 1)... 1 = n! Například pro n = 3: P 3 = 3 2 1 = 6. faktoriál

Počet permutací, variací, kombinací Počet permutací s opakováním množiny s n prvky P i 1,...,i k n = n! i 1! i k! Například pro n = 4,i 1 = 2,i 2 = 1,i 3 = 1: P 2,1,1 3 = 4! 2!1!1! = 24 2 1 1 = 12.

Počet permutací, variací, kombinací Počet variací r-té třídy z n prvků V r n = V (n, r) = n (n 1)... (n r + 1) = Například pro n = 3, r = 2: V 2 3 = 3 2 = 6. n! (n r)!

Počet permutací, variací, kombinací Počet variací r-té třídy z n prvků s opakováním Ṽn r = n } n {{... n} = n r r Například pro n = 3, r = 2: Ṽ 2 3 = 32 = 9.

Počet permutací, variací, kombinací Počet kombinací r-té třídy z n prvků C r n r! = V r n Cn r = V n r r! = n! n (n 1)... (n r + 1) = r!(n r)! r! Například pro n = 3, r = 2: C 2 3 = 3 2 1 2 = 3.

Počet permutací, variací, kombinací Počet kombinací r-té třídy z n prvků s opakováním C r n = C r n+r 1 Například pro n = 3, r = 2: C 2 3 = C2 4 = 4 3 1 2 = 6.

Vlastnosti kombinačních čísel C k n = C n k n C k n + C k+1 n = C k+1 n+1

Princip inkluze a exkluze Předpoklad: Máme N předmětů a vlastnosti A 1,..., A k. Označme: N i počet předmětů s vlastností A i, i = 1,..., k; N ij počet předmětů s vlastnostmi A i, A j, i, j = 1,..., k; atd. N i1,...i l počet předmětů s vlastnostmi A i1,..., A il. Potom počet ˆN 0 předmětů nemajících ani jednu z vlastností A 1,..., A k se rovná ˆN 0 = N S 1 + S 2 + ( 1) k S k, kde S l = N i1,...i l, 1<i 1 < <i l k l = 1,..., k

Demonstrace principu inkluze a exkluze Ve skupině je 25 studentů. Z nich 20 ukončilo semestr úspěšně, 12 navštěvuje sportovní klub, přičemž 10 z nich ukončilo semestr úspěšně. Kolik neúspěšných studentů nechodí do sportovního klubu? Řešení: N 1 = 20, N 2 = 12, N 12 = 10, ˆN 0 = 25 (20 + 12) + 10 = 3.