Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
|
|
- Blažena Valentová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz
2 Kombinatorika
3 Kombinatorika zkoumá počty různých výběrů z daného souboru. Příklady: Kolika způsoby lze seřadit balíček mariášových karet? Kolika způsoby lze vylosovat 6 z 49 čísel? Kolik je trojciferných čísel složených z číslic 1, 2 a 3? Využití: základní pravděpodobnostní úlohy,... Jaká je pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce?
4 Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž 1. člen lze vybrat n 1 způsoby, 2. člen n 2 způsoby atd., je roven n 1 n 2... n k.
5 Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž 1. člen lze vybrat n 1 způsoby, 2. člen n 2 způsoby atd., je roven n 1 n 2... n k. Příklad: Na jídelním lístku jsou 2 předkrmy, 3 polévky, 5 hlavních jídel a 2 moučníky. Kolik různých obědů lze z této nabídky sestavit?
6 Kombinatorické pravidlo součinu Počet všech uspořádaných k-tic, jejichž 1. člen lze vybrat n 1 způsoby, 2. člen n 2 způsoby atd., je roven n 1 n 2... n k. Příklad: Na jídelním lístku jsou 2 předkrmy, 3 polévky, 5 hlavních jídel a 2 moučníky. Kolik různých obědů lze z této nabídky sestavit? Řešení: 2 (předkrmy) 3 (polévky) 5 (hl. jídel) 2 (moučníky) = 60
7 Způsoby výběru: podle uspořádání prvků ( Záleží na pořadí? ) podle opakování prvků ( Mohou se prvky opakovat? )
8 Způsoby výběru: podle uspořádání prvků ( Záleží na pořadí? ) uspořádané (variace, permutace) neuspořádané (kombinace) podle opakování prvků ( Mohou se prvky opakovat? )
9 Způsoby výběru: podle uspořádání prvků ( Záleží na pořadí? ) uspořádané (variace, permutace) neuspořádané (kombinace) podle opakování prvků ( Mohou se prvky opakovat? ) s opakováním bez opakování
10 bez opakování s opakováním variace V (n, k) = n! (n k)! V (n, k) = n k permutace P(n) = V (n, n) = n! P (n 1, n 2,..., n k ) = (n 1+n n k )! n 1! n 2!... n k! kombinace C(n, k) = ( ) n k = n! C (n, k) = ( ) n+k 1 k = (n+k 1)! (n k)!k! (n 1)!k!
11 bez opakování s opakováním variace V (n, k) = n! (n k)! V (n, k) = n k permutace P(n) = V (n, n) = n! P (n 1, n 2,..., n k ) = (n 1+n n k )! n 1! n 2!... n k! kombinace C(n, k) = ( ) n k = n! C (n, k) = ( ) n+k 1 k = (n+k 1)! (n k)!k! (n 1)!k! Značení: faktoriál kombinační číslo n! = n (n 1) (n 2)... 1 ( ) n = k n! (n k)!k!
12 Příklad: Kolika způsoby lze obsadit stupně vítězů v závodě s 20 účastníky? Řešení: 1. místo lze obsadit 20 způsoby. 2. místo lze obsadit 19 způsoby (všichni kromě 1.). 3. místo lze obsadit 18 způsoby (všichni kromě 1. a 2.) celkem: = 6840 způsobů
13 Řešení s využitím vzorečku: Vybíráme 3 závodníky z 20. Záleží na pořadí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) (1. Tonda, 2. Franta, 3. Jarda) Bez opakování (Franta je unikát).
14 Řešení s využitím vzorečku: Vybíráme 3 závodníky z 20. Záleží na pořadí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) (1. Tonda, 2. Franta, 3. Jarda) Bez opakování (Franta je unikát). Jedná se tedy o variace 3. třídy z 20 prvků bez opakování. V (20, 3) = 20! = = (20 3)!
15 Příklad: Kolik různých trojic závodníků může stanout na stupních vítězů v závodě s 20 účastníky? Řešení: Už víme: Stupně lze obsadit = 6840 způsoby.
16 Příklad: Kolik různých trojic závodníků může stanout na stupních vítězů v závodě s 20 účastníky? Řešení: Už víme: Stupně lze obsadit = 6840 způsoby. Ale: Každá trojice může stupně obsadit = 6 způsoby a je tak v 6840 zapčítána 6 krát. Různých trojic tedy může na stupních stanout = = 1140.
17 Řešení s využitím vzorečku: Vybíráme 3 závodníky z 20. Nezáleží na pořadí: (1. Franta, 2. Jarda, 3. Tonda) = (1. Tonda, 2. Franta, 3. Jarda) Bez opakování. Jedná se tedy o kombinace 3. třídy z 20 prvků bez opakování. C(20, 3) = 20! (20 3)!3! = = ( )(3 2 1) 3 2 1
18 Příklad: Kolika způsoby lze umístit 10 knih vedle sebe na polici tak, aby určité 3 byly vedle sebe? Řešení: 3 vybrané knihy lze uspořádat do různých trojic. Trojici lze umístit 8 způsoby (1. kniha z trojice může být na místě na polici). 7 zbylých knih lze na 7 zbylých pozic rozmístit způsoby. Knihy lze uspořádat celkem 8 3! 7! = způsoby.
19 Řešení s využitím vzorečku: Není! Variace, permutace, kombinace představují pouze základní způsoby výběru. Nezbývá, než myslet...
20
21 Teorie pravděpodobnosti: Matematická disciplína zabývající se popisem zákonitostí týkajících se náhodných jevů. Náhodný pokus: Děj, jehož výsledek nejsme schopni předem jednoznačně určit. Náhodný jev: Tvrzení o výsledku náhodného pokusu. O jeho pravdivosti lze rozhodnout po skončení pokusu.
22 Příklad náhodného pokusu: Hod kostkou Průběh hodu je deterministický proces. Řídí se fyzikálními zákony. Neznáme však (dostatečně přesně): počáteční podmínky (orientace kostky, výchozí pozice a rychlost hodu, rotace kostky,... ) vnější podmínky (polohy překážek, rozložení hmoty kostky, síly působící na kostku... ) okolní vlivy (vítr,... )... I kdybychom znali všechny podmínky pokusu, neumíme vyřešit pohybové rovnice s dostatečnou přesností. Náhodnost je důsledkem nedostatku informací a omezených schopností.
23 Příklady náhodných jevů: Na kostce padne č. 3. Na kostce padne liché číslo. Na kostce padne číslo menší než 7 (jev jistý - nastane vždy). Na kostce padne číslo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy).
24 Příklady náhodných jevů: Na kostce padne č. 3. Na kostce padne liché číslo. Na kostce padne číslo menší než 7 (jev jistý - nastane vždy). Na kostce padne číslo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy). Počet příchozích požadavků na web server během následující hodiny bude větší než 300. Koruna zítra posílí vůči Euru.
25 Příklady náhodných jevů: Na kostce padne č. 3. Na kostce padne liché číslo. Na kostce padne číslo menší než 7 (jev jistý - nastane vždy). Na kostce padne číslo 9 (jev nemožný - nenastane nikdy). Počet příchozích požadavků na web server během následující hodiny bude větší než 300. Koruna zítra posílí vůči Euru. Poznámka: Náhodná veličina přiřazuje náhodným jevům číselnou hodnotu (počet příchozích požadavků, zítřejší kurz koruny), viz 2. tutoriál
26 Elementární jev ω: výsledek náhodného pokusu Prostor elementárních jevů (základní prostor) Ω: množina všech elementárních jevů (často nekonečná) Náhodný jev A: podmnožina základního prostoru, A Ω Jev A nastal, jestliže ω A.
27 Elementární jev ω: výsledek náhodného pokusu Prostor elementárních jevů (základní prostor) Ω: množina všech elementárních jevů (často nekonečná) Náhodný jev A: podmnožina základního prostoru, A Ω Jev A nastal, jestliže ω A. Jistý jev: A = Ω, nastane vždy Nemožný jev: A =, nikdy nenastane
28 Náhodné jevy reprezentujeme množinami operace s jevy jsou operace s množinami.
29 Náhodné jevy reprezentujeme množinami operace s jevy jsou operace s množinami. Rovnost jevů: A = B; A nastane, právě když nastane B A je podjev jevu B: A B; nastane-li A, nastane B Disjunktní (neslučitelné) jevy: A B = ; A a B nemohou nastat současně Doplněk jevu A: A = Ω\A; nastane-li A, nenastane A a naopak Sjednocení jevů: A B; nastane A nebo B (nebo oba) Průnik jevů: A B; nastane A a současně B Rozdíl jevů: A\B; nastane A a nenastane B
30 Pro náhodné jevy platí De Morganova pravidla. A B = A B A B = A B
31 Úplná množina vzájemně disjunktních jevů {A 1, A 2,..., A n }: A 1, A 2,..., A n Ω A i A j = pro i j (žádné dva jevy nenastanou současně) n i=1 A i = Ω (nastane právě jeden z jevů A 1..., A n )
32 Úplná množina vzájemně disjunktních jevů {A 1, A 2,..., A n }: A 1, A 2,..., A n Ω A i A j = pro i j (žádné dva jevy nenastanou současně) n i=1 A i = Ω (nastane právě jeden z jevů A 1..., A n ) Příklad: hod kostkou Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A 1 = {1, 2, 4}, A 2 = {3, 5}, A 3 = {6}
33 Pravděpodobnost vyjadřuje míru očekávatelnosti výskytu náhodného jevu. vyjadřujeme číslem z 0; 1 pravděpodobnost nemožného jevu: 0 pravděpodobnost jistého jevu: 1
34 Klasická definice pravděpodobnosti Ω se skládá z n elementárních jevů se stejnou šancí výskytu počet elementárních jevů příznivých jevu A je m P(A) = m n
35 Příklad: Jaká je pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce?
36 Příklad: Jaká je pravděpodobnost výhry prvního pořadí ve Sportce? Losuje se 6 z 49 čísel. počet elementárních jevů: n = ( 49 6 ) = každá šestice čísel je vylosována se stejnou šancí počet příznivých jevů: m = 1 P(A) =
37 Statistická definice pravděpodobnosti náhodný pokus probíhá opakovaně za stejných podmínek sledujeme počet n(a) výskytů jevu A počet všech opakování pokusu: n P(A) = lim n n(a) n
38 Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravděpodobnosti Definuje pojem pravděpodobnosti, ale neudává návod na její stanovení.
39 Axiomatická (Kolmogorovova) definice pravděpodobnosti Definuje pojem pravděpodobnosti, ale neudává návod na její stanovení. Pravděpodobnost je funkce P přiřazující každému náhodnému jevu A Ω číslo P(A) z intervalu 0; 1. P musí splňovat následující podmínky: P(Ω)=1 pro posloupnost vzájemně neslučitelných jevů A 1, A 2,... platí ( ) P A n = P(A n ) n=1 n=1
40 Z definice pravděpodobnosti přímo plyne řada vlastností: P( ) = 0 P(A) = 1 P(A) A B P(A) P(B) P(B\A) = P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)...
41 Z definice pravděpodobnosti přímo plyne řada vlastností: P( ) = 0 P(A) = 1 P(A) A B P(A) P(B) P(B\A) = P(B) P(A B) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B)... Poznámka: příklad
42 Podmíněná pravděpodobnost Předpoklad: A, B náhodné jevy; P(B) > 0. Pravděpodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jev B se nazývá podmíněná pravděpodobnost. Značí se P(A B), čteme pravděpodobnost jevu A za podmínky B.
43 Podmíněná pravděpodobnost Předpoklad: A, B náhodné jevy; P(B) > 0. Pravděpodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jev B se nazývá podmíněná pravděpodobnost. Značí se P(A B), čteme pravděpodobnost jevu A za podmínky B. Podmíněná pravděpodobnost P(A B) je definována vztahem P(A B) = P(A B). P(B)
44 Podmíněná pravděpodobnost Předpoklad: A, B náhodné jevy; P(B) > 0. Pravděpodobnost, že nastane jev A za podmínky, že nastal jev B se nazývá podmíněná pravděpodobnost. Značí se P(A B), čteme pravděpodobnost jevu A za podmínky B. Podmíněná pravděpodobnost P(A B) je definována vztahem P(A B) = P(A B). P(B) Odtud plyne: P(A B) = P(A B) P(B)
45 Nezávislost jevů Náhodné jevy A, B jsou nezávislé, právě když platí P(A B) = P(A) P(B).
46 Nezávislost jevů Náhodné jevy A, B jsou nezávislé, právě když platí P(A B) = P(A) P(B). Je li P(B) > 0, pak pro nezávislé jevy A, B platí: P(A B) = P(A B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A)
47 Nezávislost jevů Náhodné jevy A, B jsou nezávislé, právě když platí P(A B) = P(A) P(B). Je li P(B) > 0, pak pro nezávislé jevy A, B platí: P(A B) = P(A B) P(B) = P(A)P(B) P(B) = P(A) Skutečnost, že nastal jev B, nepřináší žádnou informaci o pravděpodobnosti výskytu jevu A.
48 Věta o úplné pravděpodobnosti Necht B 1, B 2,..., B n tvoří úplný systém vzájemně neslučitelných jevů. Pro náhodný jev A pak platí: P(A) = n P(A B i ) P(B i ). i=1
49 Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy?
50 Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný student má dlouhé vlasy? Řešení: D (vybrána dívka) a CH (vybrán chlapec) tvoří úplný systém disjuktních jevů P(DV ) = P(DV D) + P(DV CH) = P(DV D) P(D) + P(DV CH) P(CH) = = 0.31
51 Bayesův vzorec Necht B 1, B 2,..., B n tvoří úplný systém vzájemně neslučitelných jevů a A je náhodný jev takový, že P(A) > 0. Pak platí P(B k A) = P(A B k) P(B k ) n i=1 P(A B i) P(B i ).
52 Bayesův vzorec Necht B 1, B 2,..., B n tvoří úplný systém vzájemně neslučitelných jevů a A je náhodný jev takový, že P(A) > 0. Pak platí P(B k A) = P(A B k) P(B k ) n i=1 P(A B i) P(B i ). Poznámka: Obrázky
53 Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to chlapec?
54 Příklad: Ve třídě je 70% chlapců a 30% dívek. Dlouhé vlasy má 10% chlapců a 80% dívek. Náhodně vybraný student má dlouhé vlasy. Jaká je pravděpodobnost, že je to chlapec? Řešení: D (vybrána dívka) a CH (vybrán chlapec) tvoří úplný systém disjuktních jevů P(CH DV ) = = = P(CH DV ) = P(DV ) P(DV CH) P(CH) P(DV CH) P(CH) + P(DV D) P(D) =
55 Příklad: 1.Rodina Chocholouškova má papouška a dvě kočky Alenu a Bohouše. Alena má 20 % bílých chlupů, Bohouš 60 %. Včera se jedna z koček opět pokusila papouška sežrat. Chocholouškovi vědí, že kočky nikdy neloví společně a že Alena útočí na papouška dvakrát častěji než Bohouš. Na místě činu zůstal po pachateli jediný chlup. Která z koček se činu dopustila s větší pravděpodobností, víme-li že nalezený chlup je bílé barvy?
56 Příklad: 1.Rodina Chocholouškova má papouška a dvě kočky Alenu a Bohouše. Alena má 20 % bílých chlupů, Bohouš 60 %. Včera se jedna z koček opět pokusila papouška sežrat. Chocholouškovi vědí, že kočky nikdy neloví společně a že Alena útočí na papouška dvakrát častěji než Bohouš. Na místě činu zůstal po pachateli jediný chlup. Která z koček se činu dopustila s větší pravděpodobností, víme-li že nalezený chlup je bílé barvy?
57 Řešení: Náhodné jevy: A - útočila Alena, B = A - útočil Bohouš, C - nalezen bílý chlup
58 Řešení: Náhodné jevy: A - útočila Alena, B = A - útočil Bohouš, C - nalezen bílý chlup Ze zadání víme: P(A) = 2 3 P(B) = P(A) = 1 P(A) = 1 3 P(C A) = 0.2 P(C B) = 0.6
59 K rešení potřebujeme určit P(A C) a P(B C). P(A C) = P(C A)P(A) P(C) P(C A)P(A) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) = = 0.4
60 K rešení potřebujeme určit P(A C) a P(B C). P(A C) = P(C A)P(A) P(C) P(C A)P(A) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) = = P(B C) = 1 P(A C) = 0.6
61 K rešení potřebujeme určit P(A C) a P(B C). P(A C) = P(C A)P(A) P(C) P(C A)P(A) = P(C A)P(A) + P(C B)P(B) = = P(B C) = 1 P(A C) = 0.6 S větší pravděpodobností útočil Bohouš.
62 Příklad: Telegrafní zpráva se skládá z teček a čárek. V průměru je zkresleno 4 % teček (na čárky) a 2% čárek (na tečky). Ve vysílané zprávě se tečky a čárky vyskytují v poměru 5:3. Určete poměr teček a čárek v přijaté zprávě. Jaká je pravděpodobnost, že byla odeslána tečka, pokud byla tečka přijata?
63 Příklad: Telegrafní zpráva se skládá z teček a čárek. V průměru je zkresleno 4 % teček (na čárky) a 2% čárek (na tečky). Ve vysílané zprávě se tečky a čárky vyskytují v poměru 5:3. Určete poměr teček a čárek v přijaté zprávě. Jaká je pravděpodobnost, že byla odeslána tečka, pokud byla tečka přijata? Řešení: Náhodné jevy: OT - odeslána tečka, PT - přijata tečka
64 Příklad: Telegrafní zpráva se skládá z teček a čárek. V průměru je zkresleno 4 % teček (na čárky) a 2% čárek (na tečky). Ve vysílané zprávě se tečky a čárky vyskytují v poměru 5:3. Určete poměr teček a čárek v přijaté zprávě. Jaká je pravděpodobnost, že byla odeslána tečka, pokud byla tečka přijata? Řešení: Náhodné jevy: OT - odeslána tečka, PT - přijata tečka Ze zadání víme: P(OT ) = 5 8 P(PT OT ) = 0.04 P(PT OT ) = 0.02
65 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) =
66 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT )
67 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )]
68 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) (1 5 8 ) =
69 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) (1 5 8 ) = Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka:
70 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) (1 5 8 ) = Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) =
71 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) (1 5 8 ) = Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) = P(PT OT )P(OT ) P(PT )
72 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) (1 5 8 ) = Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) = = P(PT OT )P(OT ) P(PT ) [1 P(PT OT )]P(OT ) P(PT )
73 Pravděpodobnost přijetí tečky: P(PT ) = P(PT OT )P(OT ) + P(PT OT )P(OT ) = [1 P(PT OT )]P(OT ) + P(PT OT )[1 P(OT )] = (1 0.04) (1 5 8 ) = Pravděpodobnost odeslání tečky, byla-li přijata tečka: P(OT PT ) = = = P(PT OT )P(OT ) P(PT ) [1 P(PT OT )]P(OT ) P(PT ) (1 0.04) = 0.988
74 Příklad: Informační systém obsahuje tyto kritické komponenty: web server, sql server a 3 vzájemně zálohované disky (je potřeba, aby fungoval alespoň jeden disk). Pravděpodobnosti poruch jendotlivých komponent jsou znázorněny v obrázku. Jaká je pravděpodobnost, že systém bude funkční, pokud jsou poruchy komponent nezávislé?
75 Řešení: Systém bude funkční (náhodný jev F) právě tehdy, když bude zároveň funkční web server, sql server a alespoň jeden z disků. P(F) = P(PW ) P(PS) P(D1 D2 D3)
76 Řešení: Systém bude funkční (náhodný jev F) právě tehdy, když bude zároveň funkční web server, sql server a alespoň jeden z disků. P(F) = P(PW ) P(PS) P(D1 D2 D3) = P(PW ) P(PS) (1 P(PD1)P(PD2)P(PD3)) = (1 0.1) (1 0.05) ( ). = 0.85
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VíceÚvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceKOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE, 2.ročník I.pololetí NS)
KOMBINATORIKA (4.ročník I.pololetí DE,.ročník I.pololetí NS) Kombinatorika je část matematiky, zabývající se uspořádáváním daných prvků podle jistých pravidel do určitých skupin a výpočtem množství těchto
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VícePopulace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
VíceKomplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VícePRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová
RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení
VíceKombinatorika a úvod do pravděpodobnosti
Kombinatorika a úvod do pravděpodobnosti Jiří Fišer 27. září 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 27. září 2011 1/ 18 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků. Permutace
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceKombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VícePři určování počtu výběrů skupin daných vlastností velmi často používáme vztahy, ve kterých figuruje číslo zvané faktoriál.
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VíceKombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky
Kombinatorika, základy teorie pravděpodobnosti a statistiky Jiří Fišer 30.zářía5.října2010 JiříFišer (KMA,PřFUPOlomouc) KMA MAT1,MT1 30.zářía5.října2010 1/12 Variacek-tétřídyznprvků: = uspořádanéskupinyokprvcíchvybranýchznprvků.
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška osmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Kombinatorika: pravidla součtu a součinu 2 Kombinatorika:
Vícekombinatorika září, 2015 Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková
Kombinatorika Opakovací kurz 2015 Radka Hájková 1) Děti z hudební školy Písnička, mezi nimiž byla i dvojčata Dita a Zita, psaly v rámci hudební nauky písemnou práci z not. Kolik možností oznámkování mohla
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceTeorie. Kombinatorika
Teorie Kombinatorika Kombinatorika Jak obecně vybrat k prvkové množiny z n prvkové množiny? Dvě možnosti: prvky se v množině neopakují bez opakování. prvky se v množině opakují s opakováním. prvky jsou
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceŠkola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceKombinatorika. 1. Variace. 2. Permutace. 3. Kombinace. Název: I 1 9:11 (1 z 24)
Kombinatorika 1. Variace 2. Permutace 3. Kombinace Název: I 1 9:11 (1 z 24) Název: I 1 10:02 (2 z 24) Variace Jsou to skupiny prvků, ve kterých: záleží na pořadí prvků značíme je Název: I 1 10:02 (3 z
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
VíceMatematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA
Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceMotivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
VíceIII. Úplná pravděpodobnost. Nezávislé pokusy se dvěma výsledky. Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina
III Přednáška Úplná pravděpodobnost Nezávislé pokusy se dvěma výsledky Náhodná veličina Pravděpodobnost při existenci neslučitelných hypotéz Věta Mějme jev. Pokud H 1,H 2, : : :,H n tvoří úplnou skupinu
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
Více2. Množiny, funkce. Poznámka: Prvky množiny mohou být opět množiny. Takovou množinu, pak nazýváme systém množin, značí se
MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí primitivních pojmů; považuje se totiž rovněž za pojem primitivní. Představa o pojmu množina
Více5) Ve třídě 1.A se vyučuje 11 různých předmětů. Kolika způsoby lze sestavit rozvrh na 1 den, vyučuje-li se tento den 6 různých předmětů?
0. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika Kombinatorika ) V restauraci mají na jídelním lístku 3 druhy polévek, 7 možností výběru hlavního jídla, druhy moučníku. K pití si lze objednat kávu, limonádu
VícePočet pravděpodobnosti
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 4 Počet pravděpodobnosti Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%. anonym Pravděpodobnost
VíceProjekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol VARIACE
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceZákladní kombinatorické principy
Základní kombinatorické principy 1.1 Princip bijekce je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků dvou množin: jedna množina pro nás může být nepřehledná a vztahy v ní dokážeme těžko postihnout, zatímco druhá
Více2. Elementární kombinatorika
2.1. Kombinace, variace, permutace bez opakování 2. Elementární kombinatorika Definice 2.1. Kombinace je neuspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové množiny. Variace je uspořádaná k-tice prvků z dané n-prvkové
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VíceCvičení ze statistiky - 4. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 4 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dokončili jsme deskriptivní statistiku Tyhle termíny by měly být známé: Korelace Regrese Garbage in, Garbage out Vícenásobná regrese Pravděpodobnost
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VícePravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014
ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo. Jak osedlat
VíceTeorie pravděpodobnosti
Teorie pravděpodobnosti Petra Schreiberová, Viktor Dubovský Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2018 OBSAH 1 Jevy 3 1.1 Základní pojmy...................................
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VíceKombinatorika. Irina Perfilieva. 19. února logo
Kombinatorika Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 19. února 2008 Outline 1 Předmět kombinatoriky Základní kombinatorické konfigurace 2 Dvě základní pravidla kombinatoriky 3 Počet základních kombinatorických
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/ Množiny, funkce
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 2. Množiny, funkce MNOŽIN, ZÁKLDNÍ POJMY Pojem množiny patří v matematice ke stěžejním. Nelze jej zavést ve formě definice pomocí
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
VícePřednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor004 Vypracoval(a),
VíceDIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ
DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA 1 Metodický list č 1.
Metodický list č 1. Název tématického celku: Elementární statistické zpracování 1 - Kolekce a interpretace statistických dat, základní pojmy deskriptivní statistiky. Cíl: Základním cílem tohoto tematického
VíceMatematika III. 24. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 24. září 2018 Něco málo o mně RNDr. Radomír Paláček, Ph.D. radomir.palacek@vsb.cz H507/3 web: homel.vsb.cz/ pal39 Co nás v semestru čeká? přednášky (pondělí),
VícePravděpodobnost, náhoda, kostky
Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností připomenutí, souvislosti
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
Více0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ. Čas ke studiu kapitoly: 30 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít
0 KOMBINATORIKA OPAKOVÁNÍ UČIVA ZE SŠ Čas ke studiu kapitoly: 30 minut Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umět použít základní pojmy kombinatoriky vztahy pro výpočet kombinatorických úloh - 6 -
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více