Pravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
|
|
|
- Hana Křížová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM,
2 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně za určitých, stejně nastavených, počátečních podmínek. Deterministické pokusy Za určitých počátečních podmínek se dostaví vždy stejný výsledek. X Náhodné pokusy Pro určité počáteční podmínky existuje množina možných výsledků, přičemž jeden z nich nastane. Pravděpodobnost je... 2
3 Základní pojmy Náhodný pokus konečný děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž probíhá Náhodný jev tvrzení o výsledku náhodného pokusu, o jehož pravdivosti můžeme po ukončení pokusu rozhodnout (značíme A, B, X, Y, ) Elementární jev ω jednotlivý výsledek náhodného pokusu (nelze jej vyjádřit jako sjednocení dvou různých jevů) Základní prostor Ω množina všech elementárních jevů Pravděpodobnost je... 3
4 Vybrané vztahy mezi jevy A Ω A Ω Aҧ doplněk jevu A Aҧ B sjednocení jevů A a B A B A Ω A Ω B B průnik jevů A a B A B jevy disjunktní (neslučitelné)
5 Co je to pravděpodobnost? Číselné vyjádření šance, že při náhodném pokusu daný jev nastane. 0 0,05 0,95 1 jev nemožný jev prakticky nemožný jev prakticky jistý Ω jev jistý Jak pravděpodobnost definovat? Pravděpodobnost je... 5
6 Počátky teorie pravděpodobnosti 17. století Jak rozdělit spravedlivě bank mezi hráče, byla-li série hazardních her ukončena předčasně? Blaise Pascal ( ) Pierre de Fermat ( ) Pravděpodobnost je... 6
7 Klasická definice pravděpodobnosti (Pierre Simon de Laplace, 1812) Založena na předpokladu, že náhodný pokus může mít n různých, avšak rovnocenných výsledků. Nechť Ω je množina n rovnocených elementárních jevů. Pravděpodobnost jevu A, jenž je složen z m těchto elementárních jevů je: P( A) m n Mějme férovou hrací kostku. Jaká je pravděpodobnost, že padne 6? 1 Označme: A padne 6, pak P( A ). 6 Pravděpodobnost je... 7
8 Statistická definice pravděpodobnosti (Richard von Mises, počátek 20. století) P( A) lim n n( A) n Počet realizací pokusu příznivých jevu A Počet všech realizací pokusu Jaká je pravděpodobnost padnutí 6 na hrací kostce, nevíme-li, zda je tato kostka férová? Pravděpodobnost je... 8
9 Geometrická pravděpodobnost Zobecnění klasické pravděpodobnosti pro případ, kdy počet všech možných výsledků náhodného pokusu je nespočetný. V rovině (případně na přímce nebo v prostoru) je dána určitá oblast Ω a v ní další uzavřená oblast A. Pravděpodobnost jevu A, který spočívá v tom, že náhodně zvolený bod v oblasti Ω leží i v oblasti A je: A P A Jaká je pravděpodobnost, že meteorit dopadl na pevninu? Pravděpodobnost je... 9
10 Kolmogorovův axiomatický systém (Andrej Nikolajevič Kolmogorov, 1933) Definuje pojem pravděpodobnosti a její vlastnosti, neudává však žádný návod k jejímu stanovení. 1. Pravděpodobnost každého jevu A je reálné číslo mezi 0 a 1 (včetně). 2. Pravděpodobnost, že nějaký jev nastane (pravděpodobnost jevu jistého) je rovna Pravděpodobnost, že nastane některý z navzájem se vylučujících jevů, je rovna součtu jejich pravděpodobností. A to pro každých spočetně mnoho jevů. Pravděpodobnost je... 10
11 1. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. Označme: C náhodně vybraný útvar je červený náhodně vybraný útvar je srdíčko Pravděpodobnost je... 11
12 1. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. a) Určete P C. P C = n C n = 5 20 = 0,25 Pravděpodobnost je... 12
13 1. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. b) Určete P C. P C = 2 20 = 0,10 Pravděpodobnost je... 13
14 1. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete P C. Pravděpodobnost je... 14
15 Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. P A B = P A B P B, P B 0 P(A B) čti pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B Pravděpodobnost je... 15
16 1. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. c) Určete P C. P C = n C n = n C n n n = P C P = 2 6 Pravděpodobnost je... 16
17 Podmíněná pravděpodobnost tj. pravděpodobnost jevu, za předpokladu, že nastal určitý jiný jev. P A B = P A B P B, P B 0 P(A B) čti pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že nastal jev B Jestliže výskyt jevu A nezávisí na výskytu jevu B a zároveň výskyt jevu B nezávisí na výskytu jevu A, pak říkáme, že jevy A a B jsou nezávislé. Pak platí: P A B = P A. Pravděpodobnost je... 17
18 1. V urně je 20 různých útvarů (viz obrázek). Náhodně bude vybrán jeden z nich. d) Určete P C. P C = n C + n n C n = P C + P P C Pravděpodobnost je... 18
19 Vybrané vlastnosti pravděpodobnosti Nechť množina Ω obsahuje n elementárních jevů, nechť P je pravděpodobnost na této množině, A a B jevy. Potom platí : 1. 0 P A 1 2. P Ω = 1; P = 0 3. P ҧ A = 1 P A 4. P A B = P A + P B P A B A, B disjunktní jevy P A B = P A + P B 5. P A B = P A B. P B A, B nezávislé jevy P A B = P A. P B
20 Modelové úlohy aneb hrátky s kostkami Pravděpodobnost je... 20
21 2. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 6? Pravděpodobnost je... 21
22 2. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 6? S6 součet ok na dvou kostkách bude 6 (náhodný jev) P S6 = Pravděpodobnost je... 22
23 3. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 6 a zároveň právě na jedné kostce padne 4? S6 součet ok na dvou kostkách bude 6 (náhodný jev) V4 právě na jedné kostce padne 4 (náhodný jev) P S6 V4 = 2 36 = Pravděpodobnost je... 23
24 3. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 6 a zároveň právě na jedné kostce padne 4? Jiný způsob řešení: S6 součet ok na dvou kostkách bude 6 (náhodný jev) V4 právě na jedné kostce padne 4 (náhodný jev) P S6 V4 =? S6, V4 nejsou nezávislé jevy P S6 V4 = P S6 V4 P V4 = = = 2 36 = Pravděpodobnost je... 24
25 3. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 6 a zároveň právě na jedné kostce padne 4? Jiný způsob řešení (2): S6 součet ok na dvou kostkách bude 6 (náhodný jev) V4 právě na jedné kostce padne 4 (náhodný jev) P S6 V4 =? S6, V4 nejsou nezávislé jevy P S6 V4 = P V4 S6 P S6 = 2 5 = 2 = Pravděpodobnost je... 25
26 4. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 8 nebo alespoň na jedné kostce padne 6? S8 součet ok na dvou kostkách bude 8 (náhodný jev) K6 alespoň na jedné kostce padne 6 (náhodný jev) P S8 K6 = = Pravděpodobnost je... 26
27 4. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že součet bude 8 nebo alespoň na jedné kostce padne 6? Jiný způsob řešení: S8 součet ok na dvou kostkách bude 8 (náhodný jev) K6 alespoň na jedné kostce padne 6 (náhodný jev) P S8 K6 = = P S8 + P K6 P S8 K6 = = = Pravděpodobnost je... 27
28 5. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok? A alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) L C na červené kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) L Z na žluté kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) P A = 3 4 (klasická definice pravděpodobnosti) P L Z = 0,5 P L Z = 0,5 L Z L Z P L C = 0,5 P L C = 0,5 L C 0,25 0,25 L C 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 28
29 5. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok? Obecně: A alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) L C na červené kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) L Z na žluté kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) P A = P L C L Z L C L Z L C L Z =? L Z L Z L C 0,25 0,25 L C 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 29
30 5. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok? Obecně: P A = P L C L Z L C L Z L C L Z = 0, 75 L C L Z, L C L Z, L C L Z neslučitelné jevy, proto: P L C L Z L C L Z L C L Z = P L C L Z + P L C L Z + P L C L Z L C, L Z nezávislé jevy, proto: P L C L Z = P L C P L Z, P L C L Z = P L C P L Z, P L C L Z = P L C P L Z. P L C = 0,5 P L C = 0,5 P L Z = 0,5 P L Z = 0,5 L Z L Z L C 0,25 0,25 L C 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 30
31 5. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok? Jednodušeji: A alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) A ҧ na žádné kostce nepadne lichý počet ok (náhodný jev) L C na červené kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) L Z na žluté kostce padne lichý počet ok (náh. jev) P A = 1 P A ҧ = 1 P L C L Z =? P L Z = 0,5 P L Z = 0,5 L Z L Z P L C = 0,5 P L C = 0,5 L C 0,25 0,25 L C 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 31
32 5. Hodíme dvěma kostkami. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok? Jednodušeji: A alespoň na jedné kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) A ҧ na žádné kostce nepadne lichý počet ok (náhodný jev) L C na červené kostce padne lichý počet ok (náhodný jev) L Z na žluté kostce padne lichý počet ok (náh. jev) P A = 1 P A ҧ = 1 P L C L Z = 0, 75 P L Z = 0,5 P L Z = 0,5 L Z L Z P L C = 0,5 P L C = 0,5 L C 0,25 0,25 L C 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 32
33 6. Hodíme dvakrát hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jednou padne lichý počet ok? A alespoň jednou padne lichý počet ok (náhodný jev) A ҧ ani jednou nepadne lichý počet ok (náhodný jev) L 1 při 1. hodu padne lichý počet ok (náhodný jev) L 2 při 2. hodu padne lichý počet ok (náhodný jev) P A = 1 P A ҧ = 1 P L 1 L 2 = 0, 75 P L 1 = 0,5 P L 1 = 0,5 L 1 L 1 P L 2 = 0,5 P L 2 = 0,5 L 2 0,25 0,25 L 2 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 33
34 6. Hodíme dvakrát hrací kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jednou padne lichý počet ok? (Kostka je cinknutá pravděpodobnost, že na ní padne sudé číslo je 0,6.) A alespoň jednou padne lichý počet ok (náhodný jev) A ҧ ani jednou nepadne lichý počet ok (náhodný jev) L 1 při 1. hodu padne lichý počet ok (náhodný jev) L 2 při 2. hodu padne lichý počet ok (náhodný jev) P A = 1 P A ҧ = 1 P L 1 L 2 = 0, 64 P L 1 = 0,4 P L 1 = 0,6 L 1 L 1 P L 2 = 0,4 P L 2 = 0,6 L 2 0,16 0,24 L 2 0,24 0,36 Pravděpodobnost je... 34
35 Variace na dané téma Pravděpodobnost je... 35
36 7. Rodina má dvě děti. A) Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? D 1 první dítě je dcera (náhodný jev) S 1 první dítě je syn (náhodný jev) D 2 druhé dítě je dcera (náhodný jev) S 2 druhé dítě je syn (náhodný jev) Předpokládejme, že p-st narození syna je 0,5. P D 1 = P S 1 = P D 2 = P S 2 = 0,5 P D 1 D 2 = P D 1 P D 2 = 0, 25 P D 2 = 0,5 P S 2 = 0,5 P D 1 = 0,5 P S 1 = 0,5 D 1 S 1 D 2 0,25 0,25 S 2 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 36
37 7. Rodina má dvě děti. B) Jedno z dětí je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? D 1 první dítě je dcera (náhodný jev) S 1 první dítě je syn (náhodný jev) D 2 druhé dítě je dcera (náhodný jev) S 2 druhé dítě je syn (náhodný jev) D alespoň jedno z dětí je dívka (náhodný jev) Předpokládejme, že p-st narození syna je 0,5. P D 1 = P S 1 = P D 2 = P S 2 = 0,5 P D 1 = 0,5 P S 1 = 0,5 D 1 S 1 P D 1 D 2 D = P D 1 D 2 D P(D) = P D 2 = 0,5 D 2 0,25 0,25 = 0,25 0,75 = 1 3 P S 2 = 0,5 S 2 0,25 0,25 Pravděpodobnost je... 37
38 7. Rodina má dvě děti. B) Jedno z dětí je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Jiný způsob zápisu řešení: P D 1 P D 2 D 1 D 1 D 2 P D 2 D 1 = P D 2 D 1 P D 1 2 děti P S 2 D 1 S 2 P S 2 D 1 = P S 2 D 1 P D 1 P S 1 P D 2 S 1 S 1 D 2 P D 2 S 1 = P D 2 S 1 P S 1 P S 2 S 1 S 2 P S 2 S 1 = P S 2 S 1 P S 1 Pravděpodobnost je... 38
39 7. Rodina má dvě děti. B) Jedno z dětí je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Jiný způsob zápisu řešení: pohlaví druhého dítěte nezávisí na pohlaví prvního dítěte P D 1 P D 2 D 1 D 2 P D 2 D 1 = P D 2 P D 1 2 děti P S 2 S 2 P S 2 D 1 = P S 2 P D 1 P S 1 P D 2 S 1 D 2 P D 2 S 1 = P D 2 P S 1 P S 2 S 2 P S 2 S 1 = P S 2 P S 1 Pravděpodobnost je... 39
40 7. Rodina má dvě děti. B) Jedno z dětí je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Jiný způsob zápisu řešení: pohlaví druhého dítěte nezávisí na pohlaví prvního dítěte 0,5 0,5 D 1 D 2 P D 2 D 1 = 0,25 2 děti 0,5 S 2 P S 2 D 1 = 0,25 0,5 0,5 S 1 D 2 P D 2 S 1 = 0,25 0,5 S 2 P S 2 S 1 = 0,25 Pravděpodobnost je... 40
41 7. Rodina má dvě děti. B) Jedno z dětí je dívka. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? Jiný způsob zápisu řešení: P D 1 D 2 D = P D 1 D 2 D P(D) = 0, 25 0, , , 25 = 1 3 0,5 0,5 D 1 D 2 P D 2 D 1 = 0,25 2 děti 0,5 S 2 P S 2 D 1 = 0,25 0,5 0,5 S 1 D 2 P D 2 S 1 = 0,25 0,5 S 2 P S 2 S 1 = 0,25 Pravděpodobnost je... 41
42 7. Rodina má dvě děti. C) Jedno z dětí se jmenuje Kleopatra. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? K 1 první dítě je dcera, která se jmenuje Kleopatra (náhodný jev) D 1 první dítě je dcera, která se nejmenuje Kleopatra (náhodný jev) S 1 první dítě je syn (náhodný jev) K 2 druhé dítě je dcera, která se jmenuje Kleopatra (náhodný jev) D 2 druhé dítě je dcera, která se nejmenuje Kleopatra (náhodný jev) S 2 druhé dítě je syn (náhodný jev) Předpokládejme, že p-st narození syna je 0,5. Dle MVČR (kdejsme.cz) a ČSÚ: P K 1 = P(K 2 ) = , odst. 1 zákona o matrikách: Matriční úřad nezapíše jméno, pokud je mu známo, že toto jméno užívá žijící sourozenec, mají-li sourozenci společné rodiče. Pravděpodobnost je... 42
43 7. Rodina má dvě děti. C) Jedno z dětí se jmenuje Kleopatra. Jaká je pravděpodobnost, že mají dvě dcery? P "dvě dcery" "Kleopatra" = P("dvě dcery a jedna z nich je Kleopatra") P("Kleopatra") = = 0, , , , , , = 1 2 0, S 2 P S 2 S 1 = 0, S 1 0, D 2 P D 2 S 1 = 0, , , K 2 P K 2 S 1 = 0, , S 2 P S 2 D 1 = 0, děti 0, D 1 0, D 2 P D 2 D 1 = 0, , K 2 P K 2 D 1 = 0, , K 1 0, S 2 P S 2 K 1 = 0, , D 2 P D 2 K 1 = 0, Pravděpodobnost je... 43
44 ŠKOMAM CUP Předpokládejme, že test na zjištění drog má senzitivitu 99% a specificitu 95%. To znamená, že test správně identifikuje skutečného uživatele drog v 99% případů a že test vyloučí osobu, která drogy neužívá rovněž v 95% případů. Předpokládejme, že ve škole, která se rozhodla testovat své studenty na užívání drog je prevalence 0,5%. Tj. jen 0,5% ze všech studentů drogy skutečně bere. Student Fajfka měl test pozitivní. Jaká je pravděpodobnost, že student Fajfka skutečně užívá drogy? Nápověda: D student bere drogy T+ test je pozitivní T- test je negativní Studenti ഥD D T+ T- T+ T- Pravděpodobnost je... 44
45 A to už je opravdu konec! Děkuji za pozornost
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014
ravděpodobnost je Martina Litschmannová MODAM 2014 Jak osedlat náhodu? Řecká mytologie: Bratři Zeus, oseidon, Hádes hráli v kostky astragalis. Zeus vyhrál nebesa, oseidon moře a Hádes peklo. Jak osedlat
Matematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
PRAVDĚPODOBNOST JE. Martina Litschmannová
RAVDĚODOBNOST JE Martina Litschmannová Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Teorie pravděpodobnosti je matematická disciplína popisující zákonitosti týkající se náhodných jevů, tj. používá se k modelování
TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
Náhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Základy teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Pravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
KOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
Pravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
Teorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
Inženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
Intuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
Úvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
PRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
a) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
Obsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
Diskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Řešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
IB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
Informační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. Pravděpodobnostn. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec
Pravděpodobnostn podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec Prof.RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Motivace V medicíně má mnoho problémů pravěpodobnostní charakter prognóza diagnoza účinnost
Jevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
Motivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
pravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Inovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
Statistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak
5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 1 Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 (FIT ČVUT) BI-PST, Cvičení č. 1 ZS 2014/2015
Pascalova sázka. Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky
Pascalova sázka O náhodě, pravděpodobnosti, poznávání a rozhodování Zdeněk Pospíšil Masarykova univerzita, Přírodovědecká fakulta Ústav matematiky a statistiky Univerzita třetího věku 1. dubna 2016 Úvod
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
náhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PRAVDĚPODOBNOST
Cvičení 1. Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc.
1 Přednášející: Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor014 Vypracoval(a),
Populace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Komplexní čísla, Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník a oktáva 3 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika, Posloupnosti a řady 4. ročník 3 hodiny týdně PC a dataprojektor Kombinatorika Řeší jednoduché úlohy
Pravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
6. Pravděpodobnost a statistika. 6.1. Pravděpodobnost
6. Pravděpodobnost a statistika 6.1. Pravděpodobnost Pravděpodobnost (hovorově šance; značka je P z anglického probability) je hodnota vyčíslující jistotu resp. nejistotu výskytu určité události. K pojmu
Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška devátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 Obsah 1 Kombinatorika: princip inkluze a exkluze 2 Počítání
1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
1. Házíme hrací kostkou. Určete pravděpodobností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka;
I Elementární pravděpodonost 1 Házíme hrací kostkou Určete pravděpodoností těchto jevů: a) A při jednom hodu padne šestka; Řešení: P A) = 1 = 01; Je celkem šest možností {1,,, 4,, } a jedna {} je příznivá
Statistické vyhodnocování experimentálních dat. Mgr. Martin Čada, Ph.D.
Statistické vyhodnocování experimentálních dat Mgr. Martin Čada, Ph.D. - Ústav fyziky a biofyziky, PřF JU - E-mail: mcada@prf.jcu.cz - Tel.: 266052418 - Organizace výuky, zkouška, zápočet - Přednášky a
Pravděpodobnost a statistika pro SŠ
Pravděpodobnost a statistika pro SŠ RNDr. Blanka Šedivá, Ph.D., katedra matematiky, Fakulta aplikovaných věd Západočeské univerzity v Plzni sediva@kma.zcu.cz 28. března 2012 Počátky teorie pravděpodobnosti
Přednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky
řednáška II. Vztah pravděpodobnosti, statistiky a biostatistiky Statistika vychází z pravděpodobnosti odmíněná pravděpodobnost, Bayesůvvzorec Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty Frekventistická
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor012 Vypracoval(a),
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Motivace. Náhodný pokus, náhodný n jev. pravděpodobnost. podobnostní charakteristiky diagnostických testů, Bayesův vzorec. Prof.RND. RND.
Pravděpodobnostn podobnostní charateristiy diagnosticých testů, Bayesův vzorec Prof.RND RND.Jana Zvárov rová,, DrSc. Náhodný pous, náhodný n jev Náhodný pous: výslede není jednoznačně určen podmínami,
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 204 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
Určete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy
, základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
NÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Náhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček
Kde se vzala pravděpodobnost? Jaroslav Horáček Pravděpodobnost Mezi veřejností synonymum pro neurčitost Mihlo se kolem ní spousta význačných matematiků Starověk a středověk málo materiálů Jeden z mála
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
ZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
Náhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
Matematická statistika
Matematická statistika Tomáš Hobza 2. února 2011 Obsah Literatura 3 1 Úvod 4 1.1 Klasická definice pravděpodobnosti..................... 4 1.1.1 Základní kombinatorické vzorce................... 5 1.2
KOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení TYPY VÝBĚRŮ Uspořádanost výběru uspořádaný výběr = VARIACE, záleží na pořadí vybraných prvků neuspořádaný výběr = KOMBINACE, nezáleží na pořadí vybraných prvků Opakované zařazení