ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I

1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický obsah. Uvědomujte si zásadní rozdíl mezi fomulací definice a věty. 2. Množiny a.nechť A={u,v,w,x}, B= {w,x,y}.utvořtemnožiny A B, A B, A \ B, A B. b. Nechť A je množina všech sudých čísel a B množina všech pětinásobků přirozených čísel. Popištemnožiny A B, A B, A \ B, A B. c.uvědomtesi,jakvypadajímnožiny R R, R R R, Z Z, Z Q {1,2}, Z R, Z {1,2}, {a,c,4} {1,2,a,x}. d.utvořtepotenčnímnožinumnožiny M = {1,2,3,4}.Kolikmáprvků?Nakresletesvaz podmnožin množiny M(svazovými operacemi jsou průnik a sjednocení). Vyznačte podsvaz tohoto svazu tvořený všemi podmnožinami množiny M, které obsahují číslo 2. e.utvořtepotenčnímnožinumnožiny M= {a,b,c,d,e}.kolikmáprvků?nakresletesvaz S podmnožin množiny M. Vyznačte podsvaz svazu S, který tvoří všechny podmnožiny množiny M obsažené v podmnožině {b, d, e}. Vyznačte dále podsvaz svazu S, který tvoří všechny podmnožiny množiny M obsahující prvek a a obsažené v podmnožině {a, d, e}. f.dokažte,žepropodmnožiny A,B,Cmnožiny Uplatí: (i) A A=A A A=A (ii) A B= B A A B= B A (iii) (A B) C= A (B C) (A B) C= A (B C) (iv) (A B) A=A (A B) A=A (v) (A B) C=(A C) (B C) (A B) C=(A C) (B C) (vi) (A B) = A B (A B) = A B (vii) (A ) = A (Symbolem A značímedoplněkmnožiny Avmnožině U,tj. A = U \ A.) g.uvědomtesi,žeprokonečnémnožiny A, Bplatírovnost A B = A + B A B. (Symbolem M značímepočetprvkůmnožiny M.) Nalezněteobdobnévyjádřenípro A B C.Jakbudevypadatobdobnývzorecpročtyři, resp. pět, resp. n množin? h. Nakreslete Vennův diagram pro tři, resp. čtyři množiny(v obecné poloze).

2 3. Relace, ekvivalence, disjunktní rozklad, uspořádání a. Definujte pojem relace na množině a pojem relace mezi množinami. Uveďte několik příkladů relací mezi množinami a relací na množině. b. Definujte pojem ekvivalence. Uveďte několik příkladů ekvivalencí. c. Definujte pojem disjunktní rozklad. Uveďte několik příkladů disjunktních rozkladů. d. Popište vztah ekvivalence a disjunktního rozkladu. Definujte pojem faktorová množina. Uveďte příklady. e. Definujte pojem uspořádání a pojem úplné uspořádání. f. Rozvažte následující příklady disjunktních rozkladů množin. Uvědomte si, jak vypadá příslušná faktorová množina. Pokuste se popsat tyto rozklady ekvivalencemi. Rozklad libovolně zvolené množiny M na jednoprvkové množiny. Rozklad množiny M na jedinou množinu. Rozklad množiny Z všech celých čísel na kladná čísla, záporná čísla a nulu. Rozkladmnožiny Značíslasudáalichá. Rozkladmnožiny Zpodlezbytkůpřidělenípevnězvolenýmčíslem n N: {kn; k Z}, {kn+1; k Z},..., {kn+(n 1); k Z}. Napištetentorozkladkonkrétněpro n=4an=5. Rozklad množiny C všech komplexních čísel na podmnožiny čísel stejné absolutní hodnoty (kružnice se středem v počátku a počátek). Rozklad množiny C na podmnožiny čísel stejného argumentu(polopřímky vycházející z počátku a zbavené počátku a počátek). g. Uspořádání Dejte příklad uspořádané množiny, která má 8 prvků, nemá největší prvek, má nejmenší prvek a má dva prvky maximální. Rozvažte, že množiny N, Z, Q, R jsou úplně(lineárně) uspořádané, ale množina C nikoli. Ukažte,žemnožina N 2 jeúplněuspořádanárelací definovanoupomocíobvyklého uspořádání přirozených čísel takto: (a,b) (a,b ) právětehdy,když a < a nebo a=a a b b. Ukažte,žemnožina Z 3 jeúplněuspořádanárelací definovanoupomocíobvyklého uspořádání celých čísel takto: (a,b,c) (a,b,c ) právětehdy,když a < a nebo a=a a b < b nebo a=a, b=b a c c. (Uspořádání uvedená ve dvou předchozích bodech se nazývaji lexikografická.) Ukažte, že potenční množina množiny M je částečně uspořádána relací (inkluze).

3 4. Zobrazení a. Definujte pojem zobrazení (jako předpis a jako relaci). Uveďte vhodné příklady. Jak skládáme zobrazení? Objasněte pojem graf zobrazení. Uveďte příklady. b. Definujte pojem jádro zobrazení a obraz zobrazení. Uvědomte si, že jádro zobrazení je ekvivalence. Uveďte příklady. c. Definujte pojem binární operace. Uveďte příklady. d. Speciální typy zobrazení Definujte pojem injekce, surjekce, bijekce. Dokažte, že složení injekcí, resp. surjekcí, resp. bijekcí je injekce, resp. surjekce, resp. bijekce. Dokažte, že je-li složené zobrazení gf injekce, je f injekce. Dokažte, že je-li složené zobrazení gf surjekce, je g surjekce. Dokažte, že je-li složené zobrazení gf bijekce, je f injekce a g surjekce. Definujte pojem transformace množiny a pojem permutace množiny(i nekonečné). Kolik existuje transformací, resp. permutací n-prvkové množiny? e. Rozklad zobrazení Rozložte následující zobrazení standardním způsobem na surjekci, bijekci a injekci: f: R R, f(x)= x, f: R R, f(x)=x 2, f: R R, f(x)=x 3, f: R R, f(x)=[x]. (Symbol[x]značítzv.celoučástčísla x,tj.největšíceléčíslo,kteréjemenšíneborovno číslu x.např.[1]=1,[π]=3,[ π]= 4.) f. Mohutnost množin Kdy mají dvě množiny stejný počet prvků? Kdy říkáme, že dvě množiny mají stejnou mohutnost? Charakterizujte konečné a nekonečné množiny pomocí mohutností jejich vlastních podmnožin. Charakterizujte konečné a nekonečné množiny vlastnostmi jejich injektivních, resp. surjektivních transfomací. Definujte pojem spočetná množina a pojem nespočetná množina. Ukažte, že množina všech celých čísel je spočetná. Ukažte, že množina všech racionálních čísel je spočetná. Ukažte, že množina všech reálných čísel je nespočetná.

4 5. Přirozená čísla a. Vyslovte Peanovy axiomy. Zformulujte princip matematické indukce. b. Zformulujte princip dobrého uspořádání. c. Dokažte ekvivalenci principu matematické indukce a principu dobrého uspořádání. d.dokažte,žeprokaždé n Nplatí: 1 3 +2 3 + +n 3 = 1 4 n2 (n+1) 2, 1 4 +2 4 + +n 4 = 1 30 n(n+1)(6n3 +9n 2 + n 1), 1 2 +3 2 + +(2n 1) 2 = 1 3n(2n 1)(2n+1), 1 3 +3 3 + +(2n 1) 3 = n 2 (2n 2 1), 1 a(a+1) + 1 (a+1)(a+2) + + 1 (a+n 1)(a+n) = n a(a+n), 1 1 5 + 1 5 9 + 1 9 13 + + 1 (4n 3)(4n+1) = n a(4n+1), 1 1!+2 2!+ +n n!=(n+1)! 1. f. Odvoďte rekurentní vzorec pro výpočet součtu d-tých mocnin prvních n přirozených čísel, tj.najdětevyjádřeníčísla S d (n)=1 d +2 d + +n d pomocíčísel S 1 (n),...,s d 1 (n). g.dokažte,žeprokaždéčíslo n N,resp. n N 0 platí: 7 2 n+2 +3 2n+1 16 9 n+1 8n 9 120 5n 4 +10n 3 5n 2 10n 133 11 n+2 +12 2n+1 6. Dělitelnost přirozených čísel a. Definujte pojem dělitel a pojem násobek. b. Definujte pojem největší společný dělitel d(a, b) a pojem nejmenší společný násobek n(a, b). Odkud vyplývá jejich existence? c. Definujte pojem prvočíslo a pojem číslo složené. d. Dokažte, že každé přirozené číslo je součinem prvočísel. e. Dokažte, že prvočísel je nekonečně mnoho. f. Dokažte bez užití kalkulačky, že 84 171 5 +921 5, 36 17 19 +19 17.

5 g. Svaz přirozených čísel Ukažte,žerelace a bjenamnožině Nčástečnýmuspořádáním.Ukažte,žemnožina N s tímto uspořádáním tvoří svaz. Nakreslete svaz všech dělitelů čísla 128, čísla 1 568 a čísla 385. Nakreslete svaz všech dělitelů čísla 360. Nakreslete svaz všech dělitelů čísla 210. h. Fermatova čísla Definujte Fermatova čísla a Fermatova prvočísla. Dokažte,žeje-li2 n +1prvočíslo,je nmocninoudvojky. Vypočtěte prvních pět Fermatových prvočísel. 7. Dělení se zbytkem a. Zformulujte větu o dělení se zbytkem. b. Zformulujte tvrzení vyjadřující Eukleidův algoritmus. Jak získáte největšího společného dělitele dvou čísel a jeho vyjádření ve tvaru lineární kombinace těchto čísel(s celočíselnými koeficienty)? c. Zformulujte a dokažte Bézoutovu větu. d. Zformulujte a dokažte Eukleidovo lemma. e. Zformulujte a dokažte Základní větu aritmetiky. f. Vypočtěte největšího společného dělitele následujících dvou čísel a vyjádřete ho jako jejich lineární kombinaci: 253a161, 711a899, 22100a21021, 168019a164009. g. Vypočtěte d(a, b) a n(a, b), jsou-li čísla a, b vyjádřena jako součin prvočísel: a=2 5 3 6 5 2 7 3 11 3, b=2 2 3 4 5 5 7 4 11 2. a=3 6 5 2 7 3 11 3, b=2 2 5 4 7 5 11 2 13 4. h. Jiné číselné soustavy Číslo3275vyjádřetevčíselnýchsoustaváchozákladu4,resp.7,resp.13. Číslo6789vyjádřetevčíselnýchsoustaváchozákladu3,resp.5,resp.8,resp.11. Číslo4357vyjádřetevčíselnýchsoustaváchozákladu2,resp.6,resp.12.

6 8. Prvočísla a. Vyložte podstatu Eratosthenova síta. b. Dokonalá čísla Definujte pojem dokonalé číslo. Zformulujte a dokažte Eukleidovu větu o dokonalých číslech. Zformulujte a dokažte Eulerovu větu o sudých dokonalých číslech. c. Mersennova čísla Definujte Mersennova čísla a Mersennova prvočísla. Dokažte,žeje-li2 n 1prvočíslo,je nprvočíslo. Vypočtěte prvních pět Mersennových prvočísel a prvních pět dokonalých čísel. d. Gaussova celá čísla. Vyšetřujte dělitelnost v oboru Gaussových celých čísel Z[i]={a+bi a,b Z }. Ukažte,žepronormudefinovanouvztahem N(a+bi)=a 2 + b 2 je N(α β)=n(α) N(β) prokaždé α,β Z[i]. Ukažte,žeinvertibilníprvkyvZ[i]jsouprávě ±1, ±i. Ukažte,žepůvodníprvočísla p Ptvaru p=4k+1jsouvz[i]rozložitelná(reducibilní). [Využijte větu: Každé prvočíslo tvaru 4k + 1 je součtem dvou čtverců.] Ukažte,žepůvodníprvočísla p Ptvaru p=4k+3jsouvz[i]nerozložitelná(ireducibilní). Najděte některá další ireducibilní Gaussova celá čísla. e.oborintegrity Z[i 5] Vyšetřujtedělitelnostvoboruintegrity Z[i 5]={a+bi 5 a,b Z}. Ukažte,žepronormudefinovanouvztahem N(a+bi 5)=a 2 +5b 2 je N(α β)=n(α) N(β) prokaždé α,β Z[i 5]. Ukažte,žeinvertibilníprvkyvZ[i 5]jsouprávě ±1. Ukažte,žepůvodníprvočísla p Ptvaru p=4k+3jsouvz[i 5]ireducibilní. Ukažte,žemnohápůvodníprvočísla p Ptvaru p=4k+1jsouvz[i 5]rovněž ireducibilní.kterápůvodníprvočísla p PjsouvZ[i 5]reducibilní? Ukažte,žečísla6,9,21jemožnovZ[i 5]rozložitvícerůznýmizpůsoby.Najdětedalší čísla, která mají více různých rozkladů. Pokuste se v obecném oboru integrity rozlišit pojem prvočinitel a pojem ireducibilní prvek.

7 9. Konstrukce a. Vysvětlete základní myšlenku konstrukce oboru integrity Z celých čísel z pologrupy N přirozených čísel. b. Vysvětlete základní myšlenku konstrukce pole Q racionálních čísel z oboru integrity Z celých čísel. c. Jaký je rozdíl mezi zlomkem a racionálním číslem? 10. Kongruence a.namnožině Zcelýchčíseldefinujtepojemkongruencemodulo n.ukažte,žejetoekvivalence. b. Popište faktorizaci oboru celých čísel podle kongruence modulo n. Popište faktorovou množinu Z n. c. Malá Fermatova věta Zformulujte ve dvou verzích Malou Fermatovu větu. Dokažte ji. PomocíMaléFermatovyvětyukažte,ževšechnynenulovéprvkyvZ p,kde pjeprvočíslo, jsou invertibilní. d.vyslovtekriteriadělitelnostičísly2,3,4,5,6,7,8,9,10,11. 11. Řetězové zlomky a. Jsou dány zlomky 252 588 145452, 589743 9620, 57247 44671. Vyjádřete je řetězovými zlomky. Najděte největšího společného dělitele čitatele a jmenovatele uvedených zlomků. Zapište tyto zlomky v základním tvaru. 12. Grupy a. Definujte pojem binární operace. Definujte pojem grupa. Uveďte příklady. b. Sestavte Cayleyho tabulku zachycující operaci skládání symetrií rovnostranného trojúhelníku,tj.tabulkugrupovéoperacedihedrálnígrupy D 3. c.nakresletesvazpodgrupdihedrálnígrupy D 3. d. Sestavte Cayleyho tabulku zachycující operaci skládání symetrií čtverce, tj. tabulku grupovéoperacedihedrálnígrupy D 4. e.nakresletesvazpodgrupdihedrálnígrupy D 4. f.jakvypadásvazpodgrupgrupy Z?Jakvypadápodsvaztohotosvazu,kterýjeutvořen všemi podgrupami obsahujícími podgrupu 42Z? g.nakresletesvazypodgrupcyklickýchgrupřádu3,4,5,6,7,8,9,10.

8 h. Definujte pojem normální podgrupa. Definujte pojem homomorfismus grup. Jak spolu tyto pojmy souvisí? Uveďte příklady. i. Nakreslete svaz podgrup grupy kvaternionů. Ukažte, že se jedná o nekomutativní grupu, v níž jsou všechny podgrupy normální. 13. Permutace a. Jsou dány permutace ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P 1 = 7 1 2 5 4 9 8 3 6 a P 2 = ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 3 9 1 6 4 8 2 5 7 Vypočtětepočetinverzípermutací P 1 a P 2 azjistětejejichznaménka. Rozložtepermutace P 1 a P 2 nacyklyanatranspozice. Vypočtětesloženépermutace P 1 P 2, P 2 P 1, P 1 P 2 P 1 a(p 2 ) 3 (P 1 ) 5. Vypočtětemocniny(P 1 ) 1111, (P 2 ) 1000000 a(p 1 ) 111111111. b.vytvořtecayleyhotabulkusymetrickégrupy S 3 aalternujícígrupy A 3. c.nakresletesvazpodgrupsymetrickégrupy S 3.Sjakougrupoujetatogrupaizomorfní? d. Kolik prvků má symetrická grupa stupně n a kolik alternující grupa stupně n? e.ukažte,žepřiřazeníznaménkapermutacejeepimorfismussymetrickégrupy S n namultiplikativní grupu {1, 1}. f.ukažte,žealternujícípodgrupa A n jenormálnípodgrupousymetrickégrupy S n. g.vytvořtepravýalevýrozkladgrupy S 3 podlepodgrupy A 3,resp.podlepodgrupygenerované prvkem(1, 2). 14. Algebraické struktury a. Definujte pojem okruh, obor integrity, těleso, pole. Uveďte příklady. b. Definujte pojem homomorfismus okruhů, pojem jádro a obraz, pojem ideál. Vysvětlete na příkladech, jak spolu tyto pojmy souvisí. c. Jak vypadají ideály pole? Jak vypadá homomorfismus polí? d. Vysvětlete rozklad homomorfismu okruhů na epimorfismus, izomorfismus a monomorfismus. Premie pro dlouhé zimní večery. Dokažte následující tvrzení: a.prvočíseltvaru4k+3jenekonečněmnoho. b.prvočíseltvaru4k+1jenekonečněmnoho. c.prvočíseltvaru3k+2jenekonečněmnoho. d.prvočíseltvaru8k+1jenekonečněmnoho. e.prvočíseltvaru6k+5jenekonečněmnoho.