Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a
|
|
- Ladislav Čech
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i a C}, c) M = {a + bi a R, b N}, d) M = {3a + bi a Z, b Z}, e) M = {a + bi a Z, b Z}, f) M = { a k a Z, k N}.. Necht (R, +, ) je komutativní okruh. Rozhodněte, zda je okruh taky a) (R, +, ), kde je operace definovaná vztahem a b = a b + b a pro libovolné a, b R, b) (R, +, +). 3. Rozhodněte, zda daná podmnožina A okruhu racionálních čísel (Q, +, ) je okruh, případně obor integrity. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky. a) A = { p q p Z, q N, 3 q} b) A = { m 3 m Z, n N} n c) A = { m 6 m Z, n N} n 4. Rozhodněte, zda (M,, ) je okruh, obor integrity, těleso: a) M = Z, x y = x + y 1, x y = x y 1 b) M = Z, x y = x + y 1, x y = x + y xy c) M = Q, operace jako v b) d) M = Q Q, (x, y) (u, v) = (x + u, y + v), (x, y) (u, v) = (xu + yv, xv + yu) e) M = Z Z, (x, y) (u, v) = (x + u, y + v), (x, y) (u, v) = (xu + yv, xv + yu + yv) 5. Rozhodněte, zda zobrazení f : C C je homomorfismus okruhu (C, +, ) do okruhu (C, +, ), je-li pro a, b R dáno: a) f(a + bi) = a + b, b) f(a + bi) = a + b, c) f(a + bi) = a bi. 6. Určete, zda je okruh (Z, +, ) (Z 3, +, ) oborem integrity. Je izomorfní s okruhem (Z 6, +, )? 7. Dokažte, že okruh (Z,, ) z příkladu 4 b) je izomorfní s okruhem (Z, +, ). 8. Určete všechny čtveřice (a, b, c, d) R 4 takové, že předpis α(r + si) = (ar + bs) + (cr + ds)i, pro r, s R, definuje homomorfismus α : C C okruhu C do sebe. Pro které z nich se jedná o izomorfismus? 9. Bud Q( 3) = {a + b 3 a, b Q} podokruh okruhu (R, +, ). Ukažte, že (Q( 3), +, ) je těleso. Dokažte, že libovolný okruhový homomorfismus α : Q( 3) C je identický na množině racionálních čísel, tj. r Q : α(r) = r. Popište všechny okruhové homomorfismy α : Q( 3) C. Které z nich jsou izomorfismy? 1
2 Dělení v okruzích polynomů 10. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x x + x 3) : (5x + 5x + 30), c) (1x 4 + 3x 3 4x + 3) : (x 1), d) (x 6 + x 4 + x + 1) : (x x + 1). 11. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy: a) (x 3 + 3x 4x + 5) : (x ), b) (4x 4 3x x + ) : (3x + 1). Kořeny polynomů 1. Uvažme polynom f(x) = x 6 6x 5 + 9x 4 + 8x 3 4x + 16 Q[x]. Dokažte, že c = je kořenem polynomu f a určete jeho násobnost n. 13. Určete hodnotu koeficientu a Q tak, aby polynom f = x 5 ax ax+1 Q[x] měl dvojnásobný kořen c = Dokažte, že pro každé n N je c = 1 dvojnásobným kořenem polynomu nx n+1 (n + 1)x n + 1 Z[x]. Taylorův rozvoj polynomu 15. Vyjádřete polynom f(x) = x 4 + x 3 3x 4x + 1 v mocninách lineárního polynomu x Vyjádřete polynom f(x) = (x ) 4 +4(x ) 3 +6(x ) +10(x )+0 bez počítání jednotlivých mocnin polynomu x. Racionální kořeny polynomů 17. Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu v C[x] a určete jejich násobnost. a) 1x 6 + 8x 5 85x x x + x 6 b) 4x 7 16x 6 + x x 4 35x 3 38x + 1x + 8 c) 4x 7 3x x x 3 49x + 4x 4 d) x 7 3x 6 0x 5 x x x + 48x + 9 e) 4x 5 + 8x 4 7x 3 79x 56x 1 f) 4x 5 35x x + 40x + 1 g) x x 1 x h) 5x 3 8x + 11x + 6 i) 1x 4 7x 3 19x 3x + j) 3x 5 x x3 8 3 x x k) 6x 4 + x 3 + x 16x 1 l) 9x 6 1x 5 17x x 3 4x 34x 6 m) 4x 6 1x 5 + 9x 4 1x + 36x 7 n) x 7 3x 6 8x 5 + 6x x 3 + x + 4x + 4 o) x 4 + x 3 x 3x 1 p) x 5 4x 4 + 4x 3 + x 5x + q) f = 1x 7 56x x 5 141x x 3 35x 3x + 9 r) g = 8x 7 44x x 5 17x 4 4x x + x 1
3 18. Určete takové a C, pro něž má polynom f = x 6 x 5 11x 4 x 3 + ax + ax + 8 C[x] kořen. Pro toto a určete všechny racionální kořeny polynomu f včetně násobností. 19. Určete všechna a Z, pro něž má polynom x 4 + x 3 3x + ax 4 racionální kořen. Komplexní kořeny polynomů 0. Určete všechna komplexní řešení rovnice x n = pro n N. 1. Nalezněte rovnici, jejíž všechna komplexní řešení tvoří v Gaussově rovině rovnostranný trojúhelník se středem v nule a jedním vrcholem v i.. Řešte v C kvadratickou rovnici x + (1 + 3i)x + i = Určete všechna komplexní řešení rovnice x 4 + x 3 + x + x + 1 = 0. Rozklad polynomů 4. Napište rozklad polynomu na součin ireducibilních faktorů postupně nad Q, R, C: a) x x 1 x b) 5x 3 8x + 11x + 6 c) 1x 4 7x 3 19x 3x + d) 3x 5 x x3 8 3 x x e) 6x 4 + x 3 + x 16x 1 f) 4x 6 1x 5 + 9x 4 1x + 36x 7 g) 9x 6 1x 5 17x x 3 4x 34x 6 5. Napište rozklady na součin ireducibilních polynomů postupně nad C, R, Q těch polynomů z Příkladu 17, u kterých znáte dostatek racionálních kořenů. 6. Určete všechny kořeny polynomu f, víte-li, že má tři kořeny racionální. Rozložte f na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C: a) f(x) = 4x 5 4x 4 5x 3 7x + x + C[x], b) f(x) = 4x 5 1x 4 13x 3 13x + 3x + 4 C[x]. Komplexně sdružené kořeny 7. Určete všechny kořeny polynomu f = x 7 4x 6 + 8x 5 7x 4 + 8x 8x + 4 C[x], víte-li, že má dvojnásobný kořen 1 + i. Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C. 8. Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají jednoduchý kořen 1 3 a dvojnásobný kořen 3 + i, nalezněte polynom nejmenšího stupně. Rozložte tento polynom na ireducibilní polynomy nad Q, R, C. 9. Určete všechny kořeny polynomu f = x 6 7x 5 + 0x 4 30x x 55x + 50 C[x], víte-li, že má dvojnásobný kořen i. Rozložte jej na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C. 30. Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají dvojnásobný kořen 1 a dvojnásobný kořen k nalezněte polynom nejmenšího stupně. Zapište rozklad tohoto polynomu na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C: a) k = 1 i, b) k = 1 i. 3
4 31. Nalezněte všechny kořeny polynomu x 4 + 4x + x + 6 C[x] a určete jejich násobnost, víte-li, že jedním z kořenů je číslo 1+i Víme, že polynom f = 4x 6 4x 5 + 4x 4 4x 3 + 5x 3x + 1 C[x] má dvojnásobný kořen i. Určete zbývající kořeny polynomu f. 33. Uved te příklad polynomu v R[x], resp. v Z[x], jehož kořenem je a) 1 + i, b) + 3i, c) 3 5i. Polynomy nad Z p 34. Nalezněte všechny kořeny polynomu x 5 + 5x 4 x x + 3 v Z Určete všechny ireducibilní polynomy nad a) Z stupně menšího než 5, b) Z 3 stupně menšího než Nalezněte všechny kořeny polynomu x 6 x 5 x 4 x 3 x x + 1 Z 3 [x] v Z 3 [x] a určete jejich násobnost. 37. Určete nějaký prvek a Z 5 takový, že polynom x 3 + x + ax + 1 je ireducibilní nad Z Určete všechny prvky a Z 7, pro které je polynom x 3 + x + x + a ireducibilní nad Z Udejte příklad polynomu a) g Z 5 [x], který je stupně 5, má dvojnásobný kořen a žádné jiné kořeny nemá, b) g Z [x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen, c) g Z 3 [x], který je stupně 4, není ireducibilní a nemá žádný kořen, d) g Z 3 [x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen, e) g Z 5 [x], který je stupně 6, má dvojnásobný kořen, jednoduchý kořen 4 a který nemá žádné další kořeny. 40. Rozložte polynomy na ireducibilní faktory. a) x 6 + x 5 + x + 1 Z [x] b) x 7 + 3x 6 + x 5 x 4 + 3x 3 x + x + 1 Z 5 [x] c) x 5 + x 4 + x 3 + x + x + 1 Z [x] d) x 7 x 6 + x 4 + x 3 x + Z 5 [x] e) x 5 + x 4 + x 3 x + 1 Z 3 [x] f) x 4 + x 3 + x + 1 Z [x] g) x 5 + 3x 3 + x + 3 Z 5 [x] h) x 5 + x 3 + x + Eisensteinovo kritérium 41. Ukažte, že polynom f(x) je ireducibilní nad Q: a) f(x) = x n + p; n N, p je prvočíslo, b) f(x) = x 6 + x Najděte n N takové, že polynom x n je ireducibilní nad Q, ale nesplňuje podmínku Eisensteinova kritéria. 4
5 43. Najděte n N tak, aby polynom p(x) = x n + n a) byl ireducibilní nad Q, b) nebyl ireducibilní nad Q. 44. Určete, který z polynomů f(x) = x 5 + 3x 3 9x + 3 Z[x] a g(x) = x 4 + 4x 3 + 5x 3 Z[x] je ireducibilní nad Z a který lze nad Z rozložit na součin polynomů nižšího stupně. Napište rozklady polynomů f a g na ireducibilní faktory nad Z. Euklidův aloritmus, Bezoutova rovnost 45. Nalezněte polynomy f(x), g(x) Q[x], které jsou stupně 3, každý z nich má alespoň jeden alespoň dvojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je: a) x + x 6, b) x + x, c) x + x 3. Vyjádřete největší společný dělitel polynomů f, g Bezoutovou rovností. 46. Nalezněte polynomy f(x), g(x) Q[x], které jsou stupně 4, každý z nich má alespoň jeden alespoň trojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je: a) x + x, b) x + x 3, c) x x 3. Vyjádřete největší společný dělitel polynomů f, g Bezoutovou rovností. 47. Pro dané dvojice polynomů f, g R[x] najděte normovaný polynom, který je jejich největším společným dělitelem. Najděte koeficienty do příslušné Bezoutovy rovnosti. a) f = x 4 + 1, g = x 3 1 b) f = x 4 + 3x 3 x 4x 3, g = 3x x + x 3 c) f = x 5 5x 4 + 4x 3 + 8x 8x 3, g = x 4 x 3 7x + 8x + 3 Násobné kořeny 48. Nalezněte všechny aspoň dvojnásobné kořeny polynomu: a) x 6 + 6x x 4 + 0x 3 + 1x 4, b) x 4 x 3 x + x + 1, c) x 4 + 6x 3 + 7x 6x Rozložte v C[x] na lineární faktory polynom a) x 4 + ix 3 + x + ix + 1, víte-li, že má dvojnásobný kořen, b) x 4 + 6x 8ix 3, víte-li, že má trojnásobný kořen. c) x 4 4x + 16x + 3, víte-li, že má alespoň jeden kořen vícenásobný. d) x x 3 0ix 15x + 4i, víte-li, že má čtyřnásobný kořen. e) x 3 6ix + 4 4i, víte-li, že má dvojnásobný kořen. f) x 4 + 6x + 8ix 3, víte-li, že má trojnásobný kořen. 5
6 Generovaní podokruhů a podtěles 50. Rozhodněte, zda následující podmnožina M okruhu komplexních čísel (C, +, ) je okruh, obor integrity, případně těleso. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky. a) M = {a + bi a, b Z} b) M = {a + b 5 a, b Q} c) M = {a + b 3 5 a, b Q} d) M = {a + b 1+ 3i a, b Q} 51. Určete, které prvky náleží nejmenšímu podokruhu okruhu (C, +, ) obsahujícímu číslo a pro a) a = 3, b) a = 5, c) a = i, d) a = cos π 3 + i sin π 3 = ξ 3, e) a = cos π 7 + i sin π 7 = ξ 7, f) a = π, g) a = n, h) a = 3 n, i) a = ni. 5. Pro prvky z příkladu 51 najděte nejmenší podtěleso tělesa (C, +, ) obsahující daný prvek. 53. Nalezněte invertibilní prvky okruhu ({a + b 1+ 3i a, b Z}, +, ) Faktorové okruhy 54. Bud ɛ C kořen polynomu f = x 3 x Q[x] stupně. Vyjádřete prvky ɛ 1, (1 + ɛ) 3 a (ɛ + 3ɛ 1) ve tvaru a 0 + a 1 ɛ + a ɛ, kde a 0, a 1, a Q. 55. Bud ɛ C kořen polynomu f = x 4 + x 4x + Q[x]. Vyjádřete čísla ɛ 1, ɛ 6 a (ɛ + ɛ + 1) 1 ve tvaru a 0 + a 1 ɛ + a ɛ + a 3 ɛ 3, kde a i Q pro i = 0,..., Bud f = x + [1] 3 Z 3 [x]. Dokažte, že F 9 = Z 3 [x]/(f) je 9-prvkové těleso. Označme α F 9 prvek α = x + (f). Určete a 0, a = 1 Z takové, že i) [a 0 ] 3 + [a 1 ] 3 α = α 4 ; ii) [a 0 ] 3 + [a 1 ] 3 α = (α + [1] 3 ) Bud f = x 4 + x Z [x] a označme F 16 = Z [x]/(f) příslušné těleso. Označme α F 16 prvek α = x + (f). Určete a i Z pro i = 0, 1,, 3 takové, že i) a 0 + a 1 α + + a 3 α 3 = α 6 ; ii) a 0 + a 1 α + + a 3 α 3 = (α + 1) Bud f = x 3 x + [] 5 Z 5 [x] a necht F 15 = Z 5 [x]/(f) je 15-prvkové těleso. Označme α F 15 prvek α = x + (f). Určete a, b, c Z taková, že i) [a] 5 + [b] 5 α + [c] 5 α = α 5, ii) [a] 5 + [b] 5 α + [c] 5 α = (α 4 + α + 1) 1. 6
2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x
Věta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
ALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Těleso racionálních funkcí
Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso
)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Algebra I Cvičení. 4) Množina všech matic s nulou v levém dolním rohu a s jedničkami na diagonále.
Algebra I Cvičení Podle následující sbírky probíhalo cvičení na PřF v semestru Jaro 2003. Příklady jsou rozděleny na ty, které jsme dělali na cvičení (označeno C), úlohy na kterých lze procvičovat probranou
1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Úlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30
Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,
Program SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
Pomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
maticeteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
grupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Definujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.
1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
4 Počítání modulo polynom
8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li
a a
1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)
Cyklické kódy. Definujeme-li na F [x] n sčítání a násobení jako. a + b = π n (a + b) a b = π n (a b)
C Ať C je [n, k] q kód takový, že pro každé u 1,..., u n ) C je také u 2,..., u n, u 1 ) C. Jinými slovy, kódová slova jsou uzavřena na cyklické posuny. Je přirozené takový kód nazvat cyklický. Strukturu
ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =
ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin
Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
Cvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
Základy aritmetiky a algebry II
Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický
z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.
Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina
Matematika IV - 5. přednáška Polynomy
S Matematika IV - 5. přednáška Polynomy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 3. 2008 s Obsah přednášky O Dělitelnost a nerozložitelnost Kořeny a rozklady polynomů Polynomy více proměnných
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Charakteristika tělesa
16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
PŘÍKLADY Z ALGEBRY.
PŘÍKLADY Z ALGEBRY DAVID STANOVSKÝ stanovsk@karlin.mff.cuni.cz Motto: Není jiné rozumné výchovy než příkladem; když to nejde jinak, tak aspoň odstrašujícím. Albert Einstein Toto je pracovní verze sbírky
ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I
1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický
13. Kvadratické rovnice 2 body
13. Kvadratické rovnice 2 body 13.1. Rovnice x 2 + 2x + 2 m = 0 (s neznámou x) má dva různé reálné kořeny, které jsou oba menší než tři, právě a) m (1, 17), b) m = 2, c) m = 2 m = 5, d) m 2, 5, e) m >
GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ
Masarykova Univerzita v Brně Přírodovědecká fakulta GRUPY SBÍRKA PŘÍKLADŮ bakalářská práce Brno 2005 Vít Musil i Prohlašuji, že jsem tuto bakalářskou práci vypracoval samostatně s použitím uvedené literatury.
Matematika IV - 5. přednáška Polynomy
Matematika IV - 5. přednáška Polynomy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 17. 3. 2008 Obsah přednášky O Dělitelnost a nerozložitelnost Kořeny a rozklady polynomů Polynomy více proměnných
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Lineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
Polynomy a racionální lomené funkce
Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových
Linearní algebra příklady
Linearní algebra příklady 6. listopadu 008 9:56 Značení: E jednotková matice, E ij matice mající v pozici (i, j jedničku a jinak nuly. [...]... lineární obal dané soustavy vektorů. Popište pomocí maticového
a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Návody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký
[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie
POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních
Bakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
1 Lineární prostory a podprostory
Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Rozklad na součin vytýkáním
Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin prvočísel číslo: 165 = 210 = 546 = 2. Rozložte na součin mocnin prvočísel číslo: 96 = 432 = B. Rozklad na součin vytýkáním 1. Rozložte na součin vytýkáním:
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
(1) Dokažte, že biprodukt je součin (a tím pádem i součet). Splňují-li homomorfismy. A B je izomorfismus stejně jako A B i+j
1. cvičení (1) Necht A je komutativní grupa. Dokažte, že End(A) společně s operacemi sčítání a skládání zobrazení je okruh. (2) Dokažte přímo z definice, že na každé komutativní grupě existuje právě jedna
Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím
Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
Co je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p
KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 5.12.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
pochopení celé kapitoly je myšlenka, že těleso S lze považovat za vektorový prostor
NOVý TEXT O TěLESOVýCH ROZ LÍřENÍCH DAVID STANOVSKÝ 1. Algebraické prvky a rozšíření konečného stupně 1.1. Rozšíření jako vektorový prostor. Buď T S rozšíření těles. Klíčem k pochopení celé kapitoly je
Operace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
Matematika 1 sbírka příkladů
Matematika 1 sbírka příkladů RNDr. Rudolf SCHWARZ, CSc. Brno 2012 1. Poznámka Výsledky jednotlivých příkladů mají tuto barvu. 2. Poznámka Pokud je v hranatých závorkách uvedeno písmeno, označuje, ze které
15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
Návody k domácí části I. kola kategorie A
Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice
Řešené úlohy z Úvodu do algebry 1
Řešené úlohy z Úvodu do algebry Veronika Sobotíková katedra matematiky FEL ČVUT Vzhledem k tomu, že se ze strany studentů často setkávám s nepochopením požadavku zdůvodnit jednotlivé kroky postupu řešení,
Elementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
1 Vektorové prostory a podprostory
Pro nahrazení účasti v jednotlivých cvičeních (resp. pro studenty kombinované formy) je dostačující vypracování a odevzdání tučně vyznačených příkladů. 1 Vektorové prostory a podprostory Definujte vektorový
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
Matematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN( ), varianta R
VÝSLEDKY Písemný test z předmětu BI-LIN(19. 4. 2011), varianta R 1.Nechť p, q, rjsoupolynomy,všechnymajístupeňroven n.pakpolynom má stupeň: a)vždyroven n 2, b)vždyroven2n, c)vždyroven n, d)nejvýšeroven
Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce
MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI
PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic
1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Lineární algebra Eva Ondráčková
Lineární algebra Eva Ondráčková Vektorové prostory Mnozízvásužsenejspíšsetkalispojmemvektor.Ukážemesi,ževektorynejsoujen množiny orientovaných úseček v rovině či trojrozměrném prostoru, ale něco zajímavějšího,
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
Rovnice v oboru komplexních čísel
Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a
(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Úvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 80 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy
24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF