Základy teorie množin
|
|
- Roman Fišer
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina Kartézský součin Kartézská mocnina N-nární relace, binární relace, inverzní relace Zobrazení (na, do, z na, z do) N-nární operace Výběr teorie: 1. Inkluze. Odlišení a X Y říkáme, že X je podmnožinou nebo částí množiny Y jestliže ( u)(u X u Y) X Y říkáme, že X je vlastní podmnožinou nebo vlastní částí množiny Y jestliže platí (X Y) (X Y) Obecně o vlastnostech operací Zde si všimneme obecných vlastností operací aplikovaných na algebru množin. Reflexivita...A A, A = A,. pro a = Symetrie...A = B a B = A,.. pro = Tranzitivita...(X Y) & (Y Z) (X Z), (X Y) & (Y Z) (X Z), pro, Komutativnost... X Y= Y X, X Y= Y X,. pro a Asociativnost... (X Y) Z = X (Y Z),. pro, možné i pro Distributivnost... X (Y Z) = (X Y) (X Z), pro vazbu mezi a X (Y Z) = (X Y) (X Z) N nární relace Buď n přirozené číslo, A 1, A 2,, A n množiny. Relací R mezi množinami A 1, A 2,, A n nazýváme každou podmnožinu R A 1 x A 2 x x A n. Jestliže platí ( i)a i = A, pak relaci R A n nazýváme n-nární relací na A. Buďte X, Y neprázdné množiny. Binární relací R mezi množinami X, Y (v tomto pořadí) nazveme každou podmnožinu kartézského součinu X x Y. Binární relace se mohou vyznačovat následujícími vlastnostmi (ověřit na =, <, >, v Z):
2 Symetrické a antisymetrické relace Binární relace R na množině A je symetrická, jestliže R R -1, tj. a,b A (arb bra) Binární relace R na množině A je antisymetrická, jestliže platí a,b A (arb bra a = b ) Vlastnosti: 1. Sjednocení, průnik a součin symetrických binárních relací na A je opět symetrická binární relace na A (důkaz indukcí). Př. 1. Relace na Z je symetrická Relace dělitelnosti na N je antisymetrická (ale ne na Z). 3. Relace <,, >, na Z + jsou antisymetrické. Tranzitivní relace Tranzitivní binární relace na A jsou relace pro které platí: a,b,c A (arb brc arc ). Vlastnosti: 1. Binární relace na A je tranzitivní, právě když inverzní binární relace R -1 je tranzitivní. Př. Jaké vlastnosti má binární relace < na množině Z? Buďte a, b, c Z, potom: a < a není pravdivé...relace není reflexivní (a < a) platí-li a < b potom b < a neplatí...relace není symetrická (a < b) (b < a) je-li a < b, b < c potom je a < c...relace je tranzitivní (a < b) (b < c) (a < c ) Dichotomické/souvislé relace Binární relace R na množině A se nazývá dichotomická (souvislá) jestliže pro ni platí R R -1 = A 2. To je totéž jako a,b A (arb bra) Vlastnosti: 1. R je dichotomická, právě když R -1 je dichotomická. 2. každá dichotomická binární relace je reflexivní. Př. 1. Úplná množina na A je dichotomická. 2. Relace, jsou na Z, Q, R dichotomické. 3. Průnik dichotomických relací nemusí být dichotomický. Např. pro R 1 ={(a,a), (a,b), (b,b)} R 2 = {(a,a), (b,a), (b,b)} to platí. R 1 R 2 = {{(a,a), (b,b)} Ekvivalence Každá reflexivní, symetrická a tranzitivní binární relace na A se nazývá ekvivalencí na A. a A platí ara, a,b A (arb bra), a,b,c A (arb brc arc ).
3 Zobrazením f množiny X do množiny Y nazýváme každou relaci f X x Y, pro kterou platí: každému prvku x X je přiřazen nejvýše jeden takový prvek y Y, že uspořádaná dvojice (x,y) f. Významově je tato definice plně v souladu s definicí na začátku kapitoly, definice se postavila nad relacemi. Pochopitelně, jestliže je zaručeno, že v zobrazení do každému prvku y množiny Y náleží prvek x množiny X takový, že (x,y) f, potom se jedná o zobrazení X Y. Zobrazením f z množiny X do množiny Y nazýváme každou relaci f X x Y, pro kterou platí: existuje alespoň jeden takový prvek x X ke kterému je přiřazen prvek y Y tak, že uspořádaná dvojice (x,y) f. Poznámka: 1. Zobrazení f z množiny X do množiny Y můžeme zapsat jako f: X Y. 2. Jestliže při zobrazení f : X Y je každému prvku x X přiřazen právě jeden prvek y Y, přechází toto zobrazení na zobrazení X do Y, tedy X Y. 3. V zobrazení f : X Y ne každý prvek y Y má v X přiřazen alespoň jeden vzor. Nechť pro množiny X,Y platí f: X Y. Jestliže každému prvku y Y náleží alespoň jeden vzor x X, potom mluvíme o zobrazení z množiny X na množinu Y a zapisujeme ve tvaru f : X Y. Poznámka: 1. Je zřejmé, že ne každý prvek x X má v množině Y svůj obraz. 2. Jestliže při zobrazení f: X Y je každému prvku x X přiřazen právě jeden prvek y Y a každý prvek y Y má alespoň jeden vzor x X, mluvíme o zobrazení X Y. 3. Zobrazení f: X Y a X Y se nazývají surjekcí (nakrytí). 4. Zobrazení f se nazývá prosté nebo injekcí (injekce vložení), jestliže každé dva různé vzory x 1 x 2 mají různé obrazy f(x 1 ) f(x 2 ) 5. Prosté zobrazení X Y se nazývá bijektivní (vzájemně jednoznačné, jedno-jedno korespodentní) zobrazení (bijekce je injekce a surjekce zároveň). 6. Zobrazení do a na mezi množinami X,Y je zvláštním případem binární relace mezi množinami X, Y. N nární operace Buď A množina a n přirozené číslo. Zobrazení f: A n A nazýváme n ární algebraickou operací na množině A. Číslo n N nazýváme četností operace. Pro n = 0 definujeme nulární operaci na A jako zvolení určitého prvku v množině A. Příkladem unární operace (n = 1) v množině Z je (-a), kde a Z. Tato unární operace je převodem celého čísla a na opačné. Další operace poskytuje algebra množin. Příkladem binární operace f: Z 2 Z na Z jsou operace "sčítání, násobení, odčítání, dělení, " Tyto operace mají dva operandy a píšou se ve tvaru a 1 a 2, kde je symbol obecné binární operace (+, -, ).
4 Příklady: Podmnožiny, operace nad množinami 1. Zapište všechny podmnožiny množin {2,7}, {5,7,9}, {0}, φ 2. Napište všechny podmnožiny množiny A = {-3, 0, 0.5, 1}, které jsou současně podmnožinou množiny N Z {x R ; x < 1} 3. Zjistěte, které z následujících množin se rovnají {x Z ; x > 0}, {x R ; x 0}, {x N ; x-2 < 2}, N, {0}, {1,2,3}, {x R ; 3 3 x = x}, {x R ; x 0} 4. Určete doplněk množiny B v množině A, když: A = N, B ={x N ; x > 2} A = Z, B = {x Z ; x > 2} 2 A = R, B = {x R ; x = - x} A = R, B = {x R ; x-1 < 0} A = R, B = {x R ; x-2 0} 5. Stanovte průnik a sjednocení množin X, Y X = {-2,0,5,7}, Y = {-3,-1,0,4,7,9} X = {x Z ; x < -5} Y = {x Z ; x -1} X = N, Y = {x Z ; x < 3} X = N, Y = {x Z ; x <1} 6. Specifikujte kdy je: A B=A, A B=A, B ' A=A, B ' A=φ, A B= A B 7. Nalezněte všechny množiny X pro které je A X = B, jestliže A = {x N ; x 2}, B = { x N ; x <4} A = φ, B = {1,2} A = {1}, B = {2,3} 8. Stanovte rozdíly A-B pro následující případy: A = {-3,-1,0,5}, B = {-1,0,1} A = { x Z ; x -2}, B = { x Z ; x <-7} A = Z, B = N A = N, B = { x Z ; x 2} A = Z -, B = { x Z ; x-1 <3} 9. Definujte: sjednocení množin kartézský součin množin symetrickou relaci ekvivalenci injektivní zobrazení 10. Rozhodněte, zda platí 1. A (B C) = (A B) C 2. (A B) C = (B A) C 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A (B C) = (A B) (A C) 5. A (B C) = (A B) (A C)
5 6. 7. P( ) 8. (, ) { } { } 9. { } {{ }} 10. P( ) = 1 Kartézský součin a relace 1. Nalezněte kartézský součin A x B x C, kde A = {1, /, <}, b = {+, -,?, *}, C = {0, 1, 2, 3}. 2. Navrhněte algoritmus, pomocí kterého snadno vypočtete úplný kartézský součin množin A 1, A 2,, A n. 3. Uveďte případy unárních a binárních operací v množině N. 4. Uveďte případy binárních relací v množině R. 5. Je dána entita oddělení = (název, budova, číslo posch., krestni_ved, prijmeni_ved ) svou populací. Napište kartézský součin jehož je populace podmnožinou. oddělení: název budova čís. posch. krestni_ved prijmeni_ved Ryby 1 1 Jan Moudrý Obuv 1 2 Petr Spálený Hračky 2 1 Ivan Hlína Potraviny 2 2 Oldřich Vrtkavý Oblečení 3 1 Tomáš Smutný Řešení: 1. A x B x C = {(x,y,z) x A, z B, y C} = {. } 2. Jde o postupný výpočet n-tic (a 1, a 2, a n ) pomocí trojúhelníkového přístupu. Začne se první pozicí a 1. Na tuto pozici dám první prvek množiny A 1. Na druhou pozici v n-tici dám první prvek druhé množiny,, až na poslední pozici a n dám první prvek množiny A n. Vynikne tak první n-tice. Teď začnu postupovat od a n. Na pozici a n dám postupně další prvky množiny A n. Vznikne tak dalších n-1 n-tic. V každé z těchto n-tic měním na předposlední pozici zbývající prvky množiny A n-1. Postup dál směrem k A 1 je již zřejmý. 3. -, +, *, / 4. =, <, >,.. 5. Nejdříve stanovíme definiční obory jednotlivých atributů: Dnázev = {Ryby, Obuv, Hračky, Potraviny, Oblečení} Dbudova = { } Dčís. posch. = { } Dkrestní_ved = { } Dprijmení_ved = { } Potom platí, že oddělení [ Dnázev x Dbudova x Dčís. posch x Dkrestní_ved x Dprijmení_ved ] Binární relace 1. Udělejte formální zápis dělitelnosti celých čísel a b, kterou čteme. a dělí b beze zbytku, jako binární relace na Z. R Z x Z R={(a,b) a,b Z c Z (b = c.a)}
6 2. Jaké vlastnosti má relace na množině Z? a a...je pravdivé relace je reflexivní platí-li a b potom b a platí...relace je symetrická (a b) (b a) je-li a b, b c potom je a c relace je tranzitivní (a b) (b c) (a c ) 3. Zdůvodněte vlastnosti dvojic binárních relací z množiny <, >,,, =, na Z. < a < a >, a = a < a =. n-nární relace 1. Na základě pochopení definice n-nární relace popište co jsou procedury pro třídění posloupnosti celých čísel. 2. Jak se dá klasifikovat tabulka Oddělení v konfrontaci s definicí n-nární relace? Není to náhodou n-nární relace, n=5? Zdůvodněte. Řešení 1. Procedura třídění zpracovává každou výchozí n-tici celých čísel (x 1, x 2,, x n ) Z x Z x Z = Z n a transformuje tuto n-tici do setříděné n-tice (x' 1, x' 2,, x' n ), která je opět z množiny Z n. Jelikož je množina setříděných n-tic podmnožinou množiny Z n, je jasné, že zřizuje jistou n-nární relaci "R-Procedura setřídění". 2. Ano, tabulka Oddělení prezentuje jistou n-nární relaci, protože je podmnožinou součinu D název x D budova x D čís. posch x D krestní_ved x D prijmení_ved. Takto vytvořená tabulka je populací entity Oddělení (klasický přístup k modelování reality), a tak je vlastně prezentována Db-relace 1 v Coddově algebře ( Coddova algebra je postavena na nosiči, kterým je množina Db-relací). Zobrazení: 1. Zdůvodněte, že funkce y = x 2 pro D x =R není prosté zobrazení. Určete definiční obor tak, aby vzniklo prosté zobrazení a nalezněte k němu inverzní zobrazení. 2. Určete D x pro zobrazení y = x. Rozhodněte, zda je toto zobrazení prosté. 3. Pomocí formálního jazyka teorie množin zapište operace A B, A-B, A B. 4. Graficky znázorněte následující typy zobrazení: z množiny A do množiny B množiny A do množiny B z množiny A na množinu B množiny A na množinu B 5. Definujte následující pojmy: kartézská mocnina, potence množiny, mohutnost kartézského součinu. Nechť A, B, C jsou neprázdné množiny o mohutnostech A = m, B = n, C = k, kolik prvků mají následující množiny: A x B x C; A x B x C; A x B x C x A; P(A) x P(B); 1 Db-relace je vlastně databázová relace
7 P(A x B). Řešení 1. Funkce není prosté zobrazení, ačkoliv je to zobrazení na, protože (x) a (-x) mají stejný obraz. Prosté bude v D x = (-,0) a (0, + ). V druhém případě (žlutě) k zobrazení existuje inverzní zobrazení 2 y = x. 2. Pro D x =R není prosté. 3. A B= {x (x A) (x B)} A-B ={x (x A) (x B)} A B ={x (x A) (x B)} závorky je možno vynechat 4. Operace lze zakreslit následovně: z do do z na na N-Nární operace 1. Uveďte případy unárních a binárních operací na množině N. 1. Nechť je pro a, b, k, z Z dána běžně používaná funkce Mod (a,b) = z, kde z je dáno vztahy: a = k.b + z, 0 z < b (z je tzv. nejmenší nezáporný zbytek). Vysvětlete, že Mod je binární operace. 2. Výběr podřetězce y z řetězce x je zapsán notací Mid(i,j,x), kde i je pozice zleva od níž se začne vybírat, j je počet vybraných znaků x je řetězec z něhož zleva se vybírá. Co je Mid(i,j,x), když i,j Z a x Σ *? Je to operace nebo relace? Σ je abeceda řetězců, Σ* je množina všech řetězců definovaných nad abecedou Σ. 3. Buďte A,B,C čtvercové matice o rozměru n. Je procedura Součet (A,B,C,n) 3-nární operací? Řešení Výsledkem operace Mod je nezáporný zbytek z Z. Mod je skutečně binární operací, protože: jde o zobrazení f: Z x Z Z, tedy Z 2 Z, kde f: (a, b, k, z Z) ( a = k.b + z, 0 z < b )
8 3. Především je to zobrazení Z x Z x Σ * Σ * Současně je to 3-nární operace nad množinami Z a Σ *. Není to relace podle definice Ano, je. Jestliže je M množinou všech čtvercových matic o rozměru n N, potom f: C=A+B: M 3 M je 3-nární operace v množině M. Použité zdroje: Přednášky z předmětu Teoretické základy informatiky (prof. RNDr. Milan Mišovič, CSc.) Metodická elektronická podpora do předmětu TZI Doporučené zdroje: Přednášky z předmětu Teoretické základy informatiky (prof. RNDr. Milan Mišovič, CSc.) Metodická elektronická podpora do předmětu TZI (dostupná pod kartou předmětu v UIS)!!! Internetové zdroje (výběr v adresáři tohoto dokumentu)
Teorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceMarie Duží
Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Co je to množina? Množina je soubor prvků a je svými prvky plně určena; množinu s prvky a, b, c značíme: {a, b, c}. Prvkem množiny může být opět množina, množina nemusí mít
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceMnožina je nejdůležitější matematický pojem, na kterém stojí veškeré další matematické pojmy.
1 Teorie množin Základní informace V této výukové jednotce se student seznámí se základními pojmy a algoritmy z teorie množin. Začneme základními operacemi s množinami, seznámíme se s pojmy jako kartézský
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VíceCvičení 1. Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1
Úvod do teoretické informatiky(2014/2015) cvičení 1 1 Cvičení 1 Příklad 1: Pro každý z následujících formálních zápisů množin uveďte(svými slovy), jaké prvky daná množina obsahuje: a) {1,3,5,7,...} b)
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
VíceRelace. R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace
Relace 1. Nechť A = {n N; n < 10}, B = {m N; m 12}, R = {[m, n] A B; m + 1 = n}, S = {[m, n] A B; m 2 = n}. Zapište relace R, S vyjmenovaním prvků. Sestrojte grafy relací R, S. Určete relace R R, S S,
Více3 Množiny, Relace a Funkce
3 Množiny, Relace a Funkce V přehledu matematických formalismů informatiky se v této lekci zaměříme na základní datové typy matematiky, tj. na množiny, relace a funkce. O množinách jste sice zajisté slyšeli
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
Více3. Algebraické systémy
Markl: 3.1. Morfismy a kongruence /ras31.doc/ Strana 1 3. Algebraické systémy Na rozdíl od klasické algebry, jejíž ústředním tématem jsou rovnice a potřebný aparát pro jejich řešení /matice, polynomy,.../,
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceB i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
VíceTeorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
VíceKapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Teorie čísel Nekonečno
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teorie čísel Nekonečno strana 2 Opakování z minulé přednášky Jak je definována podmnožina, průnik, sjednocení, rozdíl? Jak je definována uspořádaná dvojice a kartézský
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceSvazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37 Abstrakt V této kapitole
VícePrincip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceEkvivalence. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5
doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky FIT České vysoké učení technické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 5 Evropský sociální fond.
VíceÚlohy k procvičování textu o svazech
Úlohy k procvičování textu o svazech Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky - zadání
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceMnožiny, relácie, zobrazenia
Množiny, relácie, zobrazenia Množiny "Množina je súhrn predmetov, vecí, dobre rozlíšiteľných našou mysľou alebo intuíciou" "Množina je súbor rôznych objektov, ktoré sú charakterizované spoločnými vlastnosťami,
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2015
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 05 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I
1 ZÁKLADY ARITMETIKY A ALGEBRY I (Cvičení) 1. Úvod, jazyk matematiky V učebnici Lineární algebra pročítejte definice a věty, uvědomujte si jejich strukturu, i když prozatím neznáte a nechápete (aaniprozatímchápatnemůžete)jejichmatematický
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VícePatří-li do množiny A právě prvky a, b, c, d, budeme zapisovat A = {a, b, c, d}.
2 Množiny a intervaly lgebraické výrazy 2.1 Množiny Chápání množiny lze shrnout takto: Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých předmětů m našeho nazírání nebo myšlení (které nazýváme
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Více1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
VíceM M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška sedmá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Čísla a číselné obory 2 Princip indukce 3 Vybrané
Více1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad
1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Množiny, relace a funkce úvod Množiny, relace a funkce
VíceRELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické
VíceTuringovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
Více1. Základy matematiky
1. Základy matematiky 1A. Výroková logika 1. Základy matematiky 1A. Výroková logika Logika se v češtině běžně používá ve smyslu myšlenková cesta, která vede k určitým závěrům. Logika patří k základům matematiky.
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
Více1. Základy logiky a teorie množin
1. Základy logiky a teorie množin A. Logika Matematická logika vznikla v 19. století. Jejím zakladatelem byl anglický matematik G. Boole (1815 1864). Boole prosadil algebraické pojetí logiky a zavedl logické
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceUDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 1/5
UDL 2004/2005 Cvičení č.6 řešení Strana 1/5 Opakování pojmů relace a funkce Relace R nad množinami A, B je podmnožina kartézského součinu: R A B Kartézský součin množin A = {a 1, a 2,, a 4 }, B = {b 1,
VíceBooleova algebra Luboš Štěpánek
Booleova algebra Luboš Štěpánek Úvod Booleovaalgebra(čti búlova ),nazvanápodleirskéhomatematikaalogikageorge Boolea(1815 1864), je užitečná v mnoha matematických disciplínách a má velmi široké uplatnění
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
VíceÚlohy k procvičování textu o univerzální algebře
Úlohy k procvičování textu o univerzální algebře Číslo za pomlčkou v označení úlohy je číslo kapitoly textu, která je úlohou procvičovaná. Každá úloha je vyřešena o několik stránek později. Kontrolní otázky
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 206 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VíceAlgebra 2 KMI/ALG2. Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. slidy k přednáškám
Algebra 2 slidy k přednáškám KMI/ALG2 Zpracováno podle přednášek prof. Jiřího Rachůnka a podle přednášek prof. Ivana Chajdy. Vytvořeno za podpory projektu FRUP_2017_052: Tvorba a inovace výukových opor
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 OLGA KRUPKOVÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
VíceObsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání
Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceZadání semestrálního projektu Algoritmy II. letní semestr 2017/2018
Zadání semestrálního projektu Algoritmy II. letní semestr 2017/2018 doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Verze zadání 6. dubna 2018 První verze Obecné pokyny 1. Celkem jsou k dispozici tři zadání příkladů. 2.
VíceI) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů):
I) Příklady (převeďte následující věty do formulí PL1 a ověřte jejich ekvivalenci pomocí de Morganových zákonů): 1. Všechna prvočísla větší než 2 jsou lichá. Je-li prvočíslo větší než 2, pak je liché.
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VíceCelá čísla. Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula.
Celá čísla Celá čísla jsou množinou čísel, kterou tvoří všechna čísla přirozená, čísla k nim opačná a číslo nula. Množinu celých čísel označujeme Z Z = { 3, 2, 1,0, 1,2, 3, } Vlastností této množiny je,
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
VíceData v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty
Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)
VíceRelace a kongruence modulo
Relace a kongruence modulo Jiří Velebil: X01DML 5. listopadu 2010: Relace a kongruence modulo 1/17 Definice Binární relace R na množině A je podmnožina R A A. Píšeme x R y (čteme: x je v relaci R s y)
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více