Základy teorie množin

Transkript

1 Základy teorie množin Teorie Výběr základních pojmů: Množina Podmnožina Prázdná množina Označení běžně používaných množin Množinová algebra (sjednocení, průnik, rozdíl) Doplněk množiny Potenční množina Kartézský součin Kartézská mocnina N-nární relace, binární relace, inverzní relace Zobrazení (na, do, z na, z do) N-nární operace Výběr teorie: 1. Inkluze. Odlišení a X Y říkáme, že X je podmnožinou nebo částí množiny Y jestliže ( u)(u X u Y) X Y říkáme, že X je vlastní podmnožinou nebo vlastní částí množiny Y jestliže platí (X Y) (X Y) Obecně o vlastnostech operací Zde si všimneme obecných vlastností operací aplikovaných na algebru množin. Reflexivita...A A, A = A,. pro a = Symetrie...A = B a B = A,.. pro = Tranzitivita...(X Y) & (Y Z) (X Z), (X Y) & (Y Z) (X Z), pro, Komutativnost... X Y= Y X, X Y= Y X,. pro a Asociativnost... (X Y) Z = X (Y Z),. pro, možné i pro Distributivnost... X (Y Z) = (X Y) (X Z), pro vazbu mezi a X (Y Z) = (X Y) (X Z) N nární relace Buď n přirozené číslo, A 1, A 2,, A n množiny. Relací R mezi množinami A 1, A 2,, A n nazýváme každou podmnožinu R A 1 x A 2 x x A n. Jestliže platí ( i)a i = A, pak relaci R A n nazýváme n-nární relací na A. Buďte X, Y neprázdné množiny. Binární relací R mezi množinami X, Y (v tomto pořadí) nazveme každou podmnožinu kartézského součinu X x Y. Binární relace se mohou vyznačovat následujícími vlastnostmi (ověřit na =, <, >, v Z):

2 Symetrické a antisymetrické relace Binární relace R na množině A je symetrická, jestliže R R -1, tj. a,b A (arb bra) Binární relace R na množině A je antisymetrická, jestliže platí a,b A (arb bra a = b ) Vlastnosti: 1. Sjednocení, průnik a součin symetrických binárních relací na A je opět symetrická binární relace na A (důkaz indukcí). Př. 1. Relace na Z je symetrická Relace dělitelnosti na N je antisymetrická (ale ne na Z). 3. Relace <,, >, na Z + jsou antisymetrické. Tranzitivní relace Tranzitivní binární relace na A jsou relace pro které platí: a,b,c A (arb brc arc ). Vlastnosti: 1. Binární relace na A je tranzitivní, právě když inverzní binární relace R -1 je tranzitivní. Př. Jaké vlastnosti má binární relace < na množině Z? Buďte a, b, c Z, potom: a < a není pravdivé...relace není reflexivní (a < a) platí-li a < b potom b < a neplatí...relace není symetrická (a < b) (b < a) je-li a < b, b < c potom je a < c...relace je tranzitivní (a < b) (b < c) (a < c ) Dichotomické/souvislé relace Binární relace R na množině A se nazývá dichotomická (souvislá) jestliže pro ni platí R R -1 = A 2. To je totéž jako a,b A (arb bra) Vlastnosti: 1. R je dichotomická, právě když R -1 je dichotomická. 2. každá dichotomická binární relace je reflexivní. Př. 1. Úplná množina na A je dichotomická. 2. Relace, jsou na Z, Q, R dichotomické. 3. Průnik dichotomických relací nemusí být dichotomický. Např. pro R 1 ={(a,a), (a,b), (b,b)} R 2 = {(a,a), (b,a), (b,b)} to platí. R 1 R 2 = {{(a,a), (b,b)} Ekvivalence Každá reflexivní, symetrická a tranzitivní binární relace na A se nazývá ekvivalencí na A. a A platí ara, a,b A (arb bra), a,b,c A (arb brc arc ).

3 Zobrazením f množiny X do množiny Y nazýváme každou relaci f X x Y, pro kterou platí: každému prvku x X je přiřazen nejvýše jeden takový prvek y Y, že uspořádaná dvojice (x,y) f. Významově je tato definice plně v souladu s definicí na začátku kapitoly, definice se postavila nad relacemi. Pochopitelně, jestliže je zaručeno, že v zobrazení do každému prvku y množiny Y náleží prvek x množiny X takový, že (x,y) f, potom se jedná o zobrazení X Y. Zobrazením f z množiny X do množiny Y nazýváme každou relaci f X x Y, pro kterou platí: existuje alespoň jeden takový prvek x X ke kterému je přiřazen prvek y Y tak, že uspořádaná dvojice (x,y) f. Poznámka: 1. Zobrazení f z množiny X do množiny Y můžeme zapsat jako f: X Y. 2. Jestliže při zobrazení f : X Y je každému prvku x X přiřazen právě jeden prvek y Y, přechází toto zobrazení na zobrazení X do Y, tedy X Y. 3. V zobrazení f : X Y ne každý prvek y Y má v X přiřazen alespoň jeden vzor. Nechť pro množiny X,Y platí f: X Y. Jestliže každému prvku y Y náleží alespoň jeden vzor x X, potom mluvíme o zobrazení z množiny X na množinu Y a zapisujeme ve tvaru f : X Y. Poznámka: 1. Je zřejmé, že ne každý prvek x X má v množině Y svůj obraz. 2. Jestliže při zobrazení f: X Y je každému prvku x X přiřazen právě jeden prvek y Y a každý prvek y Y má alespoň jeden vzor x X, mluvíme o zobrazení X Y. 3. Zobrazení f: X Y a X Y se nazývají surjekcí (nakrytí). 4. Zobrazení f se nazývá prosté nebo injekcí (injekce vložení), jestliže každé dva různé vzory x 1 x 2 mají různé obrazy f(x 1 ) f(x 2 ) 5. Prosté zobrazení X Y se nazývá bijektivní (vzájemně jednoznačné, jedno-jedno korespodentní) zobrazení (bijekce je injekce a surjekce zároveň). 6. Zobrazení do a na mezi množinami X,Y je zvláštním případem binární relace mezi množinami X, Y. N nární operace Buď A množina a n přirozené číslo. Zobrazení f: A n A nazýváme n ární algebraickou operací na množině A. Číslo n N nazýváme četností operace. Pro n = 0 definujeme nulární operaci na A jako zvolení určitého prvku v množině A. Příkladem unární operace (n = 1) v množině Z je (-a), kde a Z. Tato unární operace je převodem celého čísla a na opačné. Další operace poskytuje algebra množin. Příkladem binární operace f: Z 2 Z na Z jsou operace "sčítání, násobení, odčítání, dělení, " Tyto operace mají dva operandy a píšou se ve tvaru a 1 a 2, kde je symbol obecné binární operace (+, -, ).

4 Příklady: Podmnožiny, operace nad množinami 1. Zapište všechny podmnožiny množin {2,7}, {5,7,9}, {0}, φ 2. Napište všechny podmnožiny množiny A = {-3, 0, 0.5, 1}, které jsou současně podmnožinou množiny N Z {x R ; x < 1} 3. Zjistěte, které z následujících množin se rovnají {x Z ; x > 0}, {x R ; x 0}, {x N ; x-2 < 2}, N, {0}, {1,2,3}, {x R ; 3 3 x = x}, {x R ; x 0} 4. Určete doplněk množiny B v množině A, když: A = N, B ={x N ; x > 2} A = Z, B = {x Z ; x > 2} 2 A = R, B = {x R ; x = - x} A = R, B = {x R ; x-1 < 0} A = R, B = {x R ; x-2 0} 5. Stanovte průnik a sjednocení množin X, Y X = {-2,0,5,7}, Y = {-3,-1,0,4,7,9} X = {x Z ; x < -5} Y = {x Z ; x -1} X = N, Y = {x Z ; x < 3} X = N, Y = {x Z ; x <1} 6. Specifikujte kdy je: A B=A, A B=A, B ' A=A, B ' A=φ, A B= A B 7. Nalezněte všechny množiny X pro které je A X = B, jestliže A = {x N ; x 2}, B = { x N ; x <4} A = φ, B = {1,2} A = {1}, B = {2,3} 8. Stanovte rozdíly A-B pro následující případy: A = {-3,-1,0,5}, B = {-1,0,1} A = { x Z ; x -2}, B = { x Z ; x <-7} A = Z, B = N A = N, B = { x Z ; x 2} A = Z -, B = { x Z ; x-1 <3} 9. Definujte: sjednocení množin kartézský součin množin symetrickou relaci ekvivalenci injektivní zobrazení 10. Rozhodněte, zda platí 1. A (B C) = (A B) C 2. (A B) C = (B A) C 3. A (B C) = (A B) (A C) 4. A (B C) = (A B) (A C) 5. A (B C) = (A B) (A C)

5 6. 7. P( ) 8. (, ) { } { } 9. { } {{ }} 10. P( ) = 1 Kartézský součin a relace 1. Nalezněte kartézský součin A x B x C, kde A = {1, /, <}, b = {+, -,?, *}, C = {0, 1, 2, 3}. 2. Navrhněte algoritmus, pomocí kterého snadno vypočtete úplný kartézský součin množin A 1, A 2,, A n. 3. Uveďte případy unárních a binárních operací v množině N. 4. Uveďte případy binárních relací v množině R. 5. Je dána entita oddělení = (název, budova, číslo posch., krestni_ved, prijmeni_ved ) svou populací. Napište kartézský součin jehož je populace podmnožinou. oddělení: název budova čís. posch. krestni_ved prijmeni_ved Ryby 1 1 Jan Moudrý Obuv 1 2 Petr Spálený Hračky 2 1 Ivan Hlína Potraviny 2 2 Oldřich Vrtkavý Oblečení 3 1 Tomáš Smutný Řešení: 1. A x B x C = {(x,y,z) x A, z B, y C} = {. } 2. Jde o postupný výpočet n-tic (a 1, a 2, a n ) pomocí trojúhelníkového přístupu. Začne se první pozicí a 1. Na tuto pozici dám první prvek množiny A 1. Na druhou pozici v n-tici dám první prvek druhé množiny,, až na poslední pozici a n dám první prvek množiny A n. Vynikne tak první n-tice. Teď začnu postupovat od a n. Na pozici a n dám postupně další prvky množiny A n. Vznikne tak dalších n-1 n-tic. V každé z těchto n-tic měním na předposlední pozici zbývající prvky množiny A n-1. Postup dál směrem k A 1 je již zřejmý. 3. -, +, *, / 4. =, <, >,.. 5. Nejdříve stanovíme definiční obory jednotlivých atributů: Dnázev = {Ryby, Obuv, Hračky, Potraviny, Oblečení} Dbudova = { } Dčís. posch. = { } Dkrestní_ved = { } Dprijmení_ved = { } Potom platí, že oddělení [ Dnázev x Dbudova x Dčís. posch x Dkrestní_ved x Dprijmení_ved ] Binární relace 1. Udělejte formální zápis dělitelnosti celých čísel a b, kterou čteme. a dělí b beze zbytku, jako binární relace na Z. R Z x Z R={(a,b) a,b Z c Z (b = c.a)}

6 2. Jaké vlastnosti má relace na množině Z? a a...je pravdivé relace je reflexivní platí-li a b potom b a platí...relace je symetrická (a b) (b a) je-li a b, b c potom je a c relace je tranzitivní (a b) (b c) (a c ) 3. Zdůvodněte vlastnosti dvojic binárních relací z množiny <, >,,, =, na Z. < a < a >, a = a < a =. n-nární relace 1. Na základě pochopení definice n-nární relace popište co jsou procedury pro třídění posloupnosti celých čísel. 2. Jak se dá klasifikovat tabulka Oddělení v konfrontaci s definicí n-nární relace? Není to náhodou n-nární relace, n=5? Zdůvodněte. Řešení 1. Procedura třídění zpracovává každou výchozí n-tici celých čísel (x 1, x 2,, x n ) Z x Z x Z = Z n a transformuje tuto n-tici do setříděné n-tice (x' 1, x' 2,, x' n ), která je opět z množiny Z n. Jelikož je množina setříděných n-tic podmnožinou množiny Z n, je jasné, že zřizuje jistou n-nární relaci "R-Procedura setřídění". 2. Ano, tabulka Oddělení prezentuje jistou n-nární relaci, protože je podmnožinou součinu D název x D budova x D čís. posch x D krestní_ved x D prijmení_ved. Takto vytvořená tabulka je populací entity Oddělení (klasický přístup k modelování reality), a tak je vlastně prezentována Db-relace 1 v Coddově algebře ( Coddova algebra je postavena na nosiči, kterým je množina Db-relací). Zobrazení: 1. Zdůvodněte, že funkce y = x 2 pro D x =R není prosté zobrazení. Určete definiční obor tak, aby vzniklo prosté zobrazení a nalezněte k němu inverzní zobrazení. 2. Určete D x pro zobrazení y = x. Rozhodněte, zda je toto zobrazení prosté. 3. Pomocí formálního jazyka teorie množin zapište operace A B, A-B, A B. 4. Graficky znázorněte následující typy zobrazení: z množiny A do množiny B množiny A do množiny B z množiny A na množinu B množiny A na množinu B 5. Definujte následující pojmy: kartézská mocnina, potence množiny, mohutnost kartézského součinu. Nechť A, B, C jsou neprázdné množiny o mohutnostech A = m, B = n, C = k, kolik prvků mají následující množiny: A x B x C; A x B x C; A x B x C x A; P(A) x P(B); 1 Db-relace je vlastně databázová relace

7 P(A x B). Řešení 1. Funkce není prosté zobrazení, ačkoliv je to zobrazení na, protože (x) a (-x) mají stejný obraz. Prosté bude v D x = (-,0) a (0, + ). V druhém případě (žlutě) k zobrazení existuje inverzní zobrazení 2 y = x. 2. Pro D x =R není prosté. 3. A B= {x (x A) (x B)} A-B ={x (x A) (x B)} A B ={x (x A) (x B)} závorky je možno vynechat 4. Operace lze zakreslit následovně: z do do z na na N-Nární operace 1. Uveďte případy unárních a binárních operací na množině N. 1. Nechť je pro a, b, k, z Z dána běžně používaná funkce Mod (a,b) = z, kde z je dáno vztahy: a = k.b + z, 0 z < b (z je tzv. nejmenší nezáporný zbytek). Vysvětlete, že Mod je binární operace. 2. Výběr podřetězce y z řetězce x je zapsán notací Mid(i,j,x), kde i je pozice zleva od níž se začne vybírat, j je počet vybraných znaků x je řetězec z něhož zleva se vybírá. Co je Mid(i,j,x), když i,j Z a x Σ *? Je to operace nebo relace? Σ je abeceda řetězců, Σ* je množina všech řetězců definovaných nad abecedou Σ. 3. Buďte A,B,C čtvercové matice o rozměru n. Je procedura Součet (A,B,C,n) 3-nární operací? Řešení Výsledkem operace Mod je nezáporný zbytek z Z. Mod je skutečně binární operací, protože: jde o zobrazení f: Z x Z Z, tedy Z 2 Z, kde f: (a, b, k, z Z) ( a = k.b + z, 0 z < b )

8 3. Především je to zobrazení Z x Z x Σ * Σ * Současně je to 3-nární operace nad množinami Z a Σ *. Není to relace podle definice Ano, je. Jestliže je M množinou všech čtvercových matic o rozměru n N, potom f: C=A+B: M 3 M je 3-nární operace v množině M. Použité zdroje: Přednášky z předmětu Teoretické základy informatiky (prof. RNDr. Milan Mišovič, CSc.) Metodická elektronická podpora do předmětu TZI Doporučené zdroje: Přednášky z předmětu Teoretické základy informatiky (prof. RNDr. Milan Mišovič, CSc.) Metodická elektronická podpora do předmětu TZI (dostupná pod kartou předmětu v UIS)!!! Internetové zdroje (výběr v adresáři tohoto dokumentu)