Krnughovy mpy Dopln k k p edm tu Mtemtick logik Ji Velebil ktedr mtemtiky FEL VUT, Prh velebil@mth.feld.cvut.cz 14. nor 000 Smyslem t to pozn mky je pouze podt dopln k ke skriptu doc. Mrie Demlov prof. Bed ich Pond l k Mtemtick logik, FEL VUT, Prh 1997. Dodr ujeme tedy zn en terminologii z kpitoly 8 tohoto skript. P esto, bychom se mohli rozumn vyjd ovt, bylo v tomto textu nutn zv st n kter nov pojmy. ten, kter Krnughovy mpy zn, m e pou vt ty pojmy, n kter je zvykl. Krnughovy mpy jsou p episem prvdivostn tbulky slou jko n stroj k rychl mu z pisu konjunktivn ch disjunktivn ch norm ln ch forem (CNF DNF) formul v rokov logiky. V t to pozn mce se zm me n n sleduj c probl my: 1. Je-li d n prvdivostn tbulk formule, jk npst tuto formuli v pln CNF pln DNF?. Je-li d n prvdivostn tbulk formule, jk npst tuto formuli v CNF DNF, kter jsou v ireducibiln m tvru, tzn. tyto formy ji nelze d le redukovt pomoc prvidel v rokov logiky? Ob lohy lze vy e it pom rn sndno pomoc Krnughov ch mp. Pod kov n. D kuji Dr. Klousov Dr. Nentvichovi z pe liv pro ten textu z p ipom nky, kter kn mu m li. 1 Co je DNF CNF Nejprve p ipomeneme z kldn denice: ' je formule v rokov logiky. ekneme, e formule je disjunktivn norm ln formou (t DNF) formule ', pokud plt j=j ' formule je bu formule T nebo je nps n ve tvru 1 _ :::_ n pro n jk p irozen slo n 1, kde k d formule i (i f1 ::: ng) jebu rovn formuli F,tj. kontrdikci, nebo je nps n ve tvru l1 ^ :::^ l ki pro n jk p irozen slo k i 1k d l j (j f1 ::: k i g) je bu logick prom nn nebo negce logick prom nn. V tomto kontextu k d formuli i (i f1 ::: ng) k me klusule pro DNF (pou v seiterm nminterm) k d mu l j (j f1 ::: k i g) k me liter l. slu n budeme kt po et klusul v DNF k d mu z sel k1,...k n budeme kt d lk klusul 1,..., n. V p pd, e je formule T, k me, e DNF formule ' m nulov po et klusul pro DNF. Poznmenejme je t, e klusule F m d lku 0. konjunktivn norm ln formou (t CNF) formule ', pokud plt j=j ' formule je bu formule nebo je nps n ve tvru F 1 ^ :::^ n 1
pro n jk p irozen slo n 1, kde k d formule i (i f1 ::: ng) je bu rovn formuli T,tj. tutologii, nebo je nps n ve tvru l1 _ :::_ l ki pro n jk p irozen slo k i 1k d l j (j f1 ::: k i g) je bu logick prom nn nebo negce logick prom nn. V tomto kontextu k d formuli i (i f1 ::: ng) k me klusule pro CNF (pou v seiterm nmxterm) k d mu l j (j f1 ::: k i g) k me liter l. slu n budeme kt po et klusul v CNF k d mu z sel k1,...k n budeme kt d lk klusul 1,..., n. V p pd, e je formule F, k me, e CNF formule ' m nulov po et klusul pro CNF. Poznmenejme je t, e klusule T m d lku 0. Pozorn ten jist zjistil, e denice DNF CNF formule jsou si velmi podobn. Tto podobnost (jde o jistou dulitu) v prxi umo uje zformulovt postupy v sledky np kld pouze pro disjunktivn norm ln formy potom se odvolt n dulitu mezi DNF CNF. Proto e tento text chce b t element rn, nebudeme dnou dulitu zv d t. Z tento element rn postup plt me jistou zdlouhvost textu nprostou v t inu v sledk uv d me zvl pro DNF CNF. Nejprve denici DNF rozebereme podrobn ji. Formule je disjunktivn norm ln formou formule ', pokud jsou spln ny n sleduj c dv po dvky: 1. Formule je synonymem pro ', tj. plt j=j '.. Formule m speci ln syntktickou stvbu: tj. je disjunkc " stvebn ch kmen \ pro disjunktivn norm ln formu. T mto stvebn m kmen m k me klusule pro DNF. K d klusule pro DNF m op t speci ln syntktickou stvbu: klusule pro DNF je konjunkc liter l. Liter l je bu logick prom nn nebo negce logick prom nn slou jko " stvebn k men\ pro tvorbu klusule pro DNF. P i tvorb DNF je mo n nepou t dnou klusuli (v p pd, e ' j=j T ) nebo je t eb pou t lespo jednu klusuli (potom po et klusul je slo n zuveden denice). Lze v k pou t klusule kldn d lky nebo klusule d lky 0. Anlogicky lze rozebrt denici konjunktivn norm ln formy formule. P kldy 1 Uve me nyn n jk p kldy. P edpokl d me, e symboly, b, c jsou logick prom nn. 1. Pro formuli ' = ) b je formule = : _ b jej disjunktivn norm ln formou. P edev m z ejm plt j=j '. D le je formule sestven ze dvou klusul pro DNF: : b. Jk :, tk b jsou klusule pro DNF, proto e b jsou logick prom nn. Abychom zd rznili, e m dv klusule pro DNF, budeme ps t = (:) _ (b). K d z t chto klusul m d lku jedn, proto e k d obshuje pouze jeden liter l. N formuli se lze ov em d vt i jko nkonjunktivn tvr formule ': : _ b je klusule pro CNF, =(: _ b). Tto jedin klusule m d lku dv obshuje toti dv liter ly. Tento p kld ukzuje, e stejn et zec m e b t ch p n jko disjunktivn i konjunktivn norm ln form. Tkov situce le nen typick.. Pro formuli ' = ) je mo n nl zt DNF np kld tkto: ) j=j () _ (:) Pou ili jsme dv klusule pro DNF: (klusule d lky 1) : (klusule d lky 1). Lze v k npst i ) j=j T to je podle denice op t DNF formule '. Tto DNF m nulov po et klusul. Hled me-li CNF pro formuli ' = ), vyu ijeme op t vzthu ) j=j ( _:) Pou ili jsme jednu klusuli pro CNF: _: (klusule d lky ).
3. Uv ujme je t jednou o formuli ' = ) b. Pojem DNF, kter jsme zvedli, n m dovoluje z DNF pro ' pov ovt i formuli =(:) _ (b) _ (F ). N tvorbu DNF jsme tentokr t pou ili t i klusule, t et klusule je d lky nul. Anlogicky zkuste zpst CNF pro formuli pou it m t klusul pro CNF. Zji ujeme tedy, e lohnjd te DNF CNF nem jednozn n e en. 4. Pro formuli ' = : ) (b ^ c) nlezneme DNF sndno: : ) (b ^ c) j=j _ (b ^ c) Tedy DNF m dv klusule: (klusule d lky jedn) b ^ c (klusule d lky dv). Pou it m distributivn ho z kon n formuli _ (b ^ c) pk dost v me _ (b ^ c) j=j ( _ b) ^ ( _ c) formule nprvo je CNF formule '. Obshuje dv klusule: _ b _ c, ob klusule mj d lku dv. pln DNF pln CNF Ne budeme denovt Krnughovy mpy, vy e me kol nj t jkoukoli DNF CNF pro dnou formuli element rn mi prost edky. Metod Krnughov ch mp bude zobecn n m n sleduj c ho postupu. P kld P edpokl dejme, e symboly, b, c jsou logick prom nn. Nlezn me jkoukoli DNF jkoukoli CNF pro formuli ' =(b ):c), (( ^ c) ) b). Nejprve spo t me obvyk m zp sobem prvdivostn tbulku pro formuli '. b c ' 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Z n me hledt jkoukoli DNF formule '. Nejprve si uv domme, e hled me formuli, kter je synonymem formule ', tj. plt j=j ' nv c formule je disjunkc n jk ch dl ch formul (kter jsou klusulemi pro DNF). P edev m po dvek j=j ' vy duje, by prvdivostn tbulk pro byl stejn jko prvdivostn tbulk pro formuli '. D v me-li se n posledn sloupec tbulky pro ' jko nvektor, pk sloupec pro mus b t vytvo en logick m sou tem\ n jk ch dl ch vektor nul jedni ek d lky " osm. K d z t chto vektor mus b t prvdivostn tbulkou klusule pro DNF. Uv ujme o n sleduj c ch osmi formul ch f1, f,...f8, kter zd me prvdivostn mi tbulkmi: b c f1 f ::: f8 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 3
Z ejm ' j=j f1 _ f _ f3 _ f5 _ f7. loh bude vy e en, pokud uk eme, e k d z formul f1, f, f3, f5, f7 odpov d klusuli pro DNF. Plt v k v ce: v echny formule f1 f8 lze ch pt jko klusule pro DNF: DNF pro formuli ' je tedy formule f1 j=j (: ^:b^:c) f5 j=j ( ^:b^:c) f j=j (: ^:b^ c) f6 j=j ( ^:b^ c) f3 j=j (: ^ b ^:c) f7 j=j ( ^ b ^:c) f4 j=j (: ^ b ^ c) f8 j=j ( ^ b ^ c) (: ^:b ^:c) _ (: ^:b ^ c) _ (: ^ b ^:c) _ ( ^:b ^:c) _ ( ^ b ^:c): Anlogicky, hled me-li jkoukoli CNF formule ', uv domme si, e hled me formuli, kter je synonymem formule, tj. plt j=j ' nv c formule je konjunkc n jk ch dl ch formul (kter jsou klusulemi pro CNF). Op t po dvek j=j ' vy duje, by prvdivostn tbulk pro byl stejn jko prvdivostn tbulk pro formuli '. D v me-li se n posledn sloupec tbulky pro ' jko nvektor, pk sloupec pro mus b t vytvo en logick m sou inem n jk ch dl ch vektor nul jedni ek d lky osm. K d z t chto vektor mus b t prvdivostn tbulkou klusule pro CNF. Uv ujme o n sleduj c ch osmi formul ch g1, g,...g8, kter zd me prvdivostn mi tbulkmi: b c g1 g ::: g8 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 Z ejm ' j=j g4 ^ g6 ^ g8. loh bude vy e en, pokud uk eme, e k d z formul g4, g6, g8 odpov d klusuli pro CNF. Op t plt v ce: v echny formule g1 g8 lze ch pt jko klusule pro CNF: CNF pro formuli ' je tedy formule g1 j=j ( _ b _ c) g5 j=j (: _ b _ c) g j=j ( _ b _:c) g6 j=j (: _ b _ c) g3 j=j ( _:b_ c) g7 j=j (: _:b_ c) g4 j=j ( _:b_:c) g8 j=j (: _:b_:c) ( _:b _:c) ^ (: _ b _ c) ^ (: _:b _:c): P edchoz zp sob v po tu DNF CNF nebyl mo n ten nejefektivn j. Vyzkou ejte si, e np. formule (:b ^:c) _ (: ^ c) _ ( ^ b ^:c) je t DNF pro formuli ', nv c obshuje jko et zec m n znk ne (: ^:b ^:c) _ (: ^:b ^ c) _ (: ^ b ^:c) _ ( ^:b ^:c) _ ( ^ b ^:c): Z dl sti bude ptrn, e zp sob hled n DNF CNF, kter jsme p edvedli v P kldu, v dy vede n et zec, kter obshuje mxim ln po et znk. Zve me n sleduj c pojem: Denice 3 A ' je formule v rokov ho po tu. A f1 ::: s g je seznm v ech nvz jem r zn ch logick ch prom nn ch obs en ch ve formuli '. ekneme, e formule je 4
plnou DNF pro formuli ', pokud je DNF formule ' nv c k d klusule pro DNF v obshuje p esn s r zn ch liter l. V dn klusuli v k nesm b t obs eny dv liter ly obshuj c tut logickou prom nnou (tj. np kld : sou sn ). plnou CNF pro formuli ', pokud je CNF formule ' nv c k d klusule pro CNF v obshuje p esn s r zn ch liter l. V dn klusuli v k nesm b t obs eny dv liter ly obshuj c tut logickou prom nnou (tj. np kld : sou sn ). P kld 4 Z ejm formule (: ^:b ^:c) _ (: ^:b ^ c) _ (: ^ b ^:c) _ ( ^:b ^:c) _ ( ^ b ^:c) je pln DNF formule ' z P kldu. Formule (:b ^:c) _ (: ^ c) _ ( ^ b ^:c) je smoz ejm DNF formule ', ov em nejde o plnou DNF, proto e np kld klusule (:b^:c) obshuje pouze dv liter ly. P kld 5 Proto e pro formuli ' = ) plt ' j=j : _, obshuje CNF pro ' jedinou klusuli (: _ ). pln CNF pro ' v k neexistuje. Klusule (: _ ) toti obshuje dv liter ly se stejnou logickou prom nnou. Formule ' v k smoz ejm m plnou DNF: jde o formuli (:) _ (), kter obshuje dv klusule. P kld lze sndno zobecnit d t tk obecn n vod n hled n pln DNF pln CNF dn formule. Jk nj t plnou DNF plnou CNF dn formule. A je d n formule ' v rokov logiky. A f1 ::: s g je seznm v ech nvz jem r zn ch logick ch prom nn ch obs en ch veformuli '. P edpokl dejme, e ve v echprvdivostn ch tbulk ch, o kter ch v n sleduj c m budeme mluvit, dodr ujeme stejn po d dk. 1. Sestvte prvdivostn tbulku formule '. Proto e je f1 ::: s g seznm v ech nvz jem r zn ch logick ch prom nn ch obs en ch veformuli ', m tto tbulk r = s dk.. pln DNF. Zve te formule f1 f r, kter mj n sleduj c prvdivostn tbulky: formule f i (i f1 ::: rg) m v prvdivostn tbulce pouze jedinou jedni ku to pr v n i-t m dku prvdivostn tbulky tk, by k d z formul f1 f r byl klusule pro DNF. Pokud n dn m dku prvdivostn tbulky formule ' nen jedni k, pln DNF formule ' neexistuje. Tento p pd nst v pr v tehdy, kdy formule ' je kontrdikce. dn kontrdikce tedy nem plnou DNF. Pokud v prvdivostn tbulce formule ' je lespo jedn jedni k, ozn te jko fr1 ::: r k g (k 1) seznm v ech r zn ch dk prvdivostn tbulky formule ', nkter chje' ohodnocen jedni kou. plnou DNF formule ' dostneme jko disjunkci f r1 _ :::_ f rk : 3. pln CNF. Zve te formule g1 g r, kter mj n sleduj c prvdivostn tbulky: formule g i (i f1 ::: rg) m v prvdivostn tbulce pouze jedinou nulu to pr v ni-t m dku prvdivostn tbulky tk, by k d z formul g1 g r byl klusule pro CNF. Pokud n dn m dku prvdivostn tbulky formule ' nen nul, pln CNF formule ' neexistuje. Tento p pd nst v pr v tehdy, kdy formule ' je tutologie. dn tutologie tedy nem plnou CNF. 5
Pokud v prvdivostn tbulce formule ' je lespo jedn nul, ozn te jko fr1 ::: r k g (k 1) seznm v ech r zn ch dk prvdivostn tbulky formule ', n kter ch je' ohodnocen nulou. plnou CNF formule ' dostneme jko konjunkci g r1 ^ :::^ g rk : Neefektivit (tj. mo n zbyte n velk po et znk ), kter se projevil p i v po tu DNF CNF metodou P kldu, byl zp soben n sleduj c m (pop eme situci pouze pro DNF, pro CNF je situce nlogick ): P i hled n DNF jsme se zm ili n jednotliv jedni ky v prvdivostn tbulce dn formule '. P slu n formule f i (jejich prvdivostn tbulk obshovl pouze jednu jedni ku) sice m ly tu v hodu, e jsme byli k d f i schopni okm it zpst jko klusuli, ov em mo n by lo uv ovt o jin ch formul ch, kter by v prvdivostn tbulce m ly v ce jedni ek. My bychom pk mohli vy dit\ v ce jedni ek v prvdivostn tbulce formule ' njednou. " V e uveden my lenk jevelmi p it liv, m v k sv skl, n kter upozor uje n sleduj c p kld. P kld 6 Vezm me op t prvdivostn tbulku pro formuli ' z P kldu. b c ' 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 uv ujme o prvn ch dvou jedni k ch v posledn m sloupci. Kdybychom uk zli, e existuje formule f, kter je klusule pro DNF kter m n sleduj c prvdivostn tbulku b c f 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 mohli bychom ps t DNF pro ' jko f _ f3 _ f5 _ f7. Formule f skute n je klusul pro DNF, sice (: ^:b). Nv c DNF ve tvru f _ f3 _ f5 _ f7 obshuje z ejm m n znk ne DNF ve tvru f1 _ f _ f3 _ f5 _ f7 z P kldu. Zd se, e m v ce jedni ek budeme m t ve formuli, kterou " pokr v me\ jedni ky v prvdivostn tbulce formule ', t m m n znk n vyj d en DNF budeme pot ebovt. Uv ujme tedy o formuli h jej prvdivostn tbulk vypd n sledovn : b c h 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 6
Pokud h je klusule pro DNF, budeme pro vyj d en ' pot ebovt je t m n znk. Nr me v k n n sleduj c probl m: h nen ( dnou) klusul pro DNF! Uk me to: postupujeme sporem, h je klusule pro DNF. M e nstt pr v jeden z n sleduj c ch ty p pd : 1. h obshuje t i liter ly. Pk je bu h =( ^ l1 ^ l) nebo h =(: ^ l1 ^ l), kde l1 l jsou liter ly. () Prvn p pd nem e nstt n prvn m dku prvdivostn tbulky by pk nemohl b t jedni k. (b) V druh m p pd : h nem e obshovt liter l c (prvn dek prvdivostn tbulky) ni liter l :c (druh dek prvdivostn tbulky). P edpokld, e v h jsou t i liter ly, vede ke sporu.. h obshuje pr v dv liter ly. Zm me se n liter l, kter h neobshuje. M e nstt pr v jeden z n sleduj c ch t p pd : () h neobshuje liter l, ve kter m je logick prom nn. To le nen mo n : klusule h pk toti nem e obshovt ni liter l b (viz prvn dek prvdivostn tbulky), ni liter l :b (viz t et dek prvdivostn tbulky). (b) h neobshuje liter l, ve kter m je logick prom nn b. To le nen mo n : klusule h pk toti nem e obshovt ni liter l c (viz prvn dek prvdivostn tbulky), ni liter l :c (viz druh dek prvdivostn tbulky). (c) h neobshuje liter l, ve kter m je logick prom nn c. To le nen mo n : klusule h pk toti nem e obshovt ni liter l b (viz prvn dek prvdivostn tbulky), ni liter l :b (viz t et dek prvdivostn tbulky). P edpokld, e v h jsou pr v dv liter ly, vede ke sporu. 3. h obshuje pouze jeden liter l l. Pk h = l nst v jeden z esti p pd : h =, h = b, h = c, h = :, h = :b h = :c. Z prvdivostn tbulky pro h v k plyne, e ni jeden z t chto p pd nenst v. To jespor h nem e obshovt pr v jeden liter l. 4. h neobshuje dn liter l. Potom je h klusule pro DNF d lky nul, neboli h = F. Z prvdivostn tbulky ihned plyne, e to nen mo n. P edchoz p kld nzn uje, e nen jednoduch rozhodnout, kter vektor nul jedni ek odpov d p esn jedn klusuli. Uvid me, e tento probl m budeme moci sndno rozhodnout, pokud jednorozm rnou prvdivostn tbulku formule p ep eme do dvourozm rn tbulky (tkov tbulce budeme kt Krnughov mp). V Krnughov mp pk budeme: 1. Pro DNF pokr vt ty plochy jedni ek, kter odpov dj klusul m pro DNF.. Pro CNF pokr vt ty plochy nul, kter odpov dj klusul m pro CNF. Krnughov m mp m je v nov n dl st textu. 3 Krnughovy mpy V p edchoz sti jsme vid li, e jk DNF, tk CNF dn formule nejsou obecn ur eny jednozn n. Nv c metod v po tu DNF CNF, kterou jsme p edvedli v P kldu, vede n pln formy, kter jko et zce obshuj mxim ln mo n po etznk. Uk eme nyn zp sob v po tu DNF CNF, kter m tu v hodu, e z sk me kontrolu nd po tem znk ve form ch, kter nlezneme. Budeme tk np kld v d t, zd po et znk v DNF, kterou jsme spo etli, lze d le zmen it, i nikoli. Algoritmus t to sti je op en o jin zp sob z pisu prvdivostn tbulky formule. Tomuto zp sobu z pisu prvdivostn tbulky k me Krnughov mp. Ne ekneme, co je Krnughov mp obecn, uvedeme p kld. 7
5 P kld 7 P ipome me prvdivostn tbulku pro formuli ' z P kldu. b c ' 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Tuto prvdivostn tbulku (jej posledn sloupec) nyn p ep eme do mtice. Tuto mtici si p edstv me jko " mpu\ v prvo hl m syst mu sou dnic, n jej svislou osu budeme nn et ohodnocen prom nn po nje 0 (mtice tedy bude m t dv dky) n jej vodorovnou osu budeme nn et ohodnocen uspo dn dvojice prom nn ch bc po nje 00 (mtice tedy bude m t ty i sloupce). Nv c budeme p i nn en sou dnic n osy dodr ovt n sleduj c prvidlo: (*) soused p esn ty sou dnice, kter se li pr v v jedn polo ce. Polo ky vznik mtice pk obsd me nulmi nebo jedni kmi tk, jk n m vel prvdivostn tbulk formule '. Dostneme n sleduj c mtici: nbc 00 01 11 10 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 (1) T to mtici k me Krnughov mp formule '. Poznmenejme je t, e pro situci, kdy je prvn sou dnice 0, n m prvidlo (*) ned v dnou mo nost volby po d sou dnic ve svisl m sm ru: sou dnice 0 podle prvidl (*) mus sousedit se sou dnic 1 jin sou dnice ve svisl m sm ru nejsou. Jin je situce ve sm ru vodorovn m. P edev m pro n e po d (zlev doprv) 00, 01, 11, 10 prvidlo (*) k, e spolu mj sousedit i sou dnice 00 10. Po dvek (*) n s tedy nut d vt se n Krnughovu mpu tk, jko bybyl nkreslen n v lci, kter obdr me p ilepen m\ prv ho okrje sloupce 10 k lev mu okrji sloupce 00: " 00 10 01 () 11 Ov em po d vodorovn ch sou dnic 00, 10, 11, 01 tk vyhovuje prvidlu (*). Pro tut formuli ' tk dost v me jinou Krnughovu mpu nbc 00 10 11 01 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 (3) Prvidlo (*) n m v k op t k, e sou dnice 00 01 spolu soused. N Krnughovu mpu (3) se tud mus me tk d vt jko n v lcovou plochu, kde jsme tentokr t " slepili\ prv okrj sloupce 01 s lev m okrjem sloupce 00: 8
5 00 01 10 (4) 11 Je jsn, e v lcov plochy () (4) se od sebe li pouze orientc : pokud " projdeme\ v lcovou plochu () proti sm ru hodinov ch ru i ek, budeme postupn m jet tyt sou dnice, jko p i pr chodu v lcovou plochou (4) po sm ru hodinov ch ru i ek. Jk npst Krnughovu mpu libovoln formule. A je d n formule ' v rokov logiky. A f1 ::: s g je seznm v ech nvz jem r zn ch logick ch prom nn ch obs en ch veformuli '. P edpokl dejme, e jsme ji sestvili prvdivostn tbulku formule '. Proto e je f1 ::: s g seznm v ech nvz jem r zn ch logick ch prom nn ch obs en ch ve formuli ', m tto tbulk s dk. Pokud je s = 1, m n e prvdivostn tbulk dky Krnughovu mpu formule ' nelze sestvit. V dl m p edpokl dejme, e s>1. M e nstt pr v jeden z n sleduj c ch dvou p pd : 1. slo s je sud. Seznm f1 ::: s g rozd l me n dv seznmy stejn d lky: f1 ::: p g f p+1 ::: s g kde jsme ozn ili p = s=. Sestv me dvourozm rnou tvercovou tbulku mj c p dk p sloupc. Svislou osu t to tbulky nzv me x, vodorovnou osu nzv me y. N osu x vynesme jko sou dnice p-tice nul jedni ek, p i em dodr ujeme toto prvidlo: soused p esn ty sou dnice, kter se jko p-tice nul jedni ek li pr v v jedn polo ce. N osu y vynesme jko sou dnice p-tice nul jedni ek, p i em dodr ujeme toto prvidlo: soused p esn ty sou dnice, kter se jko p-tice nul jedni ek li pr v v jedn polo ce. M st v tbulce obsd me n sleduj c m zp sobem: (x1 ::: x p ) je x-ov (y1 ::: y p ) je y-ov sou dnice m st, kter chceme obsdit. Do n tbulky np eme hodnotu z dku (x1 ::: x p y1 ::: y p )prvdivostn tbulky formule '.. slo s je lich. Proto e p edpokl d me, e s>1, je v tomto p pd s 3. Seznm f1 ::: s g rozd l me n dv seznmy: f1 ::: p g f p+1 ::: s g kde jsme ozn ili p =(s ; 1)=. Sestv me dvourozm rnou tbulku mj c p dk p+1 sloupc. Svislou osu t to tbulky nzv me x, vodorovnou osu nzv me y. N osu x vynesme jko sou dnice p-tice nul jedni ek, p i em dodr ujeme toto prvidlo: soused p esn ty sou dnice, kter se jko p-tice nul jedni ek li pr v v jedn polo ce. N osu y vynesme jko sou dnice p +1-ticenul jedni ek, p i em dodr ujeme toto prvidlo: soused p esn ty sou dnice, kter se jko p +1-tice nul jedni ek li pr v v jedn polo ce. M st v tbulce obsd me n sleduj c m zp sobem: (x1 ::: x p )jex-ov (y1 ::: y p+1) jey-ov sou dnice m st, kter chceme obsdit. Do n tbulky np eme hodnotu z dku (x1 ::: x p y1 ::: y p+1) prvdivostn tbulky formule '. Dvourozm rn tbulce vytvo en podle v e uveden ch prvidel k me Krnughov mp formule '. Pozn mk 8 K denici Krnughovy mpy nyn p i in me n kolik pozn mek. 9
1. V p pd, e formule ' obshuje pouze jednu logickou prom nnou, tj. v p pd, kdy s = 1, Krnughovu mpu nelze sestvit. Jk v tomto p pd vypd zjednodu ov n DNF CNF? Ozn me jedinou logickou prom nnou, kter je ve formuli ' obs en, p smenem. Formule ' pk m pr v jednu z n sleduj c ch ty prvdivostn ch tbulek: ' 0 1 1 1 ' 0 0 1 1 ' 0 1 1 0 ' 0 0 1 0 Probereme podrobn pouze tvorbu DNF, jink odkzujeme ten e n Cvi en 19. V p pd prvn prvdivostn tbulky je z ejm ' j=j T.Formuli ' lze tud popst nulov m po tem klusul pro DNF. Tto form z ejm obshuje nejmen mo n po et znk, toti nulov. V p pd druh prvdivostn tbulky je ' j=j. Jde o DNF, kter obshuje jedinou klusuli d lky jedn obshuje tedy nejmen po et znk. V p pd t et prvdivostn tbulky je z ejm ' j=j :. Tud formule (:) DNF formule ' tto form ji z ejm obshuje nejmen mo n po et znk. V p pd tvrt prvdivostn tbulky je z ejm ' j=j F. Formule F je klusule pro DNF, kter obshuje nejmen mo n po et znk (sice nul znk ). Po et znk t to formy ji z ejm nejde zmen it.. P kld 7 n s pou il o tom, e v p pd t logick ch prom nn ch je t eb ch pt Krnughovu mpu jko " nkreslenou n v lci\. Jk ch pt Krnughovy mpy v p pd ty v ce prom nn ch? V p pd, e kresl me Krnugovu mpu pro formuli obshuj c ty i prom nn, el me probl mu slepov n \ krj mpy dvkr t: jk ve sm ru vodorovn m, tk ve sm ru svisl m. Np kld v n sleduj c Krnughov " mp 00 1 1 0 1 01 0 1 0 0 11 0 0 1 0 mus me " slepit\: () Prv okrj sloupce 10 s lev m okrjem sloupce 00. (b) Doln okrj dku 10 s horn m okrjem sloupce 00. V slednou Krnughovu mpu je tedy t eb p edstvit si jko nkreslenou n povrchu toru.torus (nebo t nuloid) je prostorov t leso, tvrem p ipom nj c nfouklou pneumtiku: 10
V p pd, e kresl me Krnughovu mpu pro p t v ce prom nn ch, je situce dleko komplikovn j. Po et pol ek, kter mus me k sob nvz jem " p ilepit\, roste. Geometrick n zornost tkov ch Krnughov ch mp v k s rostouc m po tem logick ch prom nn ch kles. Pro jsme tedy do denice Krnughovy mpy dli po dvky n soused n pol ek, jejich sou- dnice se li pr v v jedn polo ce? P esn tyto po dvky toti umo n v Krnughov mp detekovt ty plochy jedni ek, kter odpov dj klusul m pro DNF, typlochy nul, kter odpov dj klusul m pro CNF. Z ejm k dou Krnughovu mpu lze pov ovt z mtici nul jedni ek. Pohled n prvdivostn tbulku jko n (speci ln vytvo enou) mtici n m umo n zobecnit postup z P kldu. V dn m p kldu jsme toti np kld plnou DNF vytvo ili tk, e jsme se zm ili n jednotliv jedni ky v sloupci prvdivostn tbulky. Tento vektor jsme se pk pokou eli nkombinovt\ pomoc logick ho sou tu sdy " b zick ch\ vektor. K d z b zick ch vektor p itom odpov dl prvdivostn tbulce jedn klusule " pro DNF. Nyn se pokus me o nlogii tohoto postupu pro mtice nul jedni ek. Mus me se p itom postrt o n sleduj c : Mus me vhodn vybrt " b zick \ mtice, pomoc nich jsme schopni nkombinovt dnou mtici (Krnughovu mpu). Nv c, k d z t chto b zick ch mtic mus odpov dt klusuli. To jesmyslem n sleduj c denice: Denice 9 B zick mtice jedni ek je tkov Krnughov mp(ch pn jko mtice nul jedni ek), ve kter v echny jedni ky tvo obd ln k vytvo en ze soused c ch pol ek. Nv c rozm ry tohoto obd ln k mus b t mocniny sl dv. B zick mtice nul je tkov Krnughov mp (ch pn jko mtice nul jedni ek), ve kter v echny nuly tvo obd ln k vytvo en ze soused c ch pol ek. Nv c rozm ry tohoto obd ln k mus b t mocniny sl dv. P kldy 10 Uve me p kldy b zick ch mtic mtic, kter nejsou b zick. P slu n obd ln k nul nebo jedni ek vyzn me tu n. P edpokl dejme, e, b, c, d jsou logick prom nn. 1. Krnughov mp 00 1 1 0 1 01 0 1 0 0 11 0 0 1 0 nen ni b zickou mtic jedni ek ni b zickou mtic nul. Neobshuje toti ni obd ln k jedni ek ni obd ln k nul.. Krnughov mp 00 1 0 0 1 je b zick mtice jedni ek. Rozm ry obd ln k jedni ek jsou 1. 3. Krnughov mp 11
00 1 0 0 1 10 1 0 0 1 je b zick mtice jedni ek. Rozm ry obd ln k jedni ek jsou. 4. Krnughov mp 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 11 1 1 0 0 10 1 1 1 1 je b zick mtice nul. Rozm ry obd ln k nul jsou. 5. Krnughov mp 00 1 1 1 1 01 1 0 0 0 11 1 0 0 0 10 1 1 1 1 nen b zick mtice nul. Rozm ry obd ln k nul jsou 3. 6. Krnughov mp 00 0 1 1 1 nen b zick mtice jedni ek. Rozm ry obd ln k jedni ek jsou 1 3. N sleduj c tvrzen uvedeme bez d kzu. Tvrzen 11 Plt n sleduj c : 1. K d b zick mtice jedni ek odpov d pr v jedn klusuli pro DNF.. K d b zick mtice nul odpov d pr v jedn klusuli pro CNF. P kldy 1 Uvedeme nyn p kldy korespondence klusul b zick ch mtic. 1. B zick mtici jedni ek 1
00 0 0 0 1 odpov d n sleduj c klusule pro DNF: (: ^:b ^ c ^:d).. B zick mtici jedni ek 00 1 0 0 1 odpov d n sleduj c klusule pro DNF: (: ^:b ^:d). 3. B zick mtici jedni ek 00 1 0 0 1 10 1 0 0 1 odpov d n sleduj c klusule pro DNF: (:b ^:d). 4. B zick mticinul 00 1 1 1 1 01 1 1 0 0 11 1 1 0 0 10 1 1 1 1 odpov d n sleduj c klusule pro CNF: (:b _:c). Z p edchoz ho p kldu se zd z ejm n sleduj c pozorov n : P edpokl dejme, e studujeme b zick mtice jedni ek pevn ch rozm r. Pk z ejm m v t je obd ln k jedni ek, t m m n logick ch prom nn ch je zpot eb k zps n p slu n klusule. Anlogick pozorov n se zd pltit pro b zick mtice nul. P esn zn n d kz p slu n ho tvrzen vynech me zpmtujeme si slogn: Kpopisuv t plochy n mp je t eb m n informce. Pokud tedy budeme cht t pro dnou formuli ' nl zt np kld CNF, kter bude m t co mo n nejkrt klusule, budeme muset dodr et dv v ci: 1. Krnughov mpformule ' mus b t " logick m sou inem\ b zick ch mtic nul. (Pk bude zru eno, e formule ' bude konjunkc klusul, kter odpov dj pou it m b zick m mtic m nul.) 13
. K d b zick mtice nul, kterou pou ijeme, mus m t co nejv t obd ln k nul. (Pk bude zru eno, e k d klusule pro CNF, kterou pou ijeme, bude obshovt co nejmen po et liter l.) Tkov ch b zick ch mtic nul mus me pou t co nejmen po et. (Pk bude zru eno, e CNF fromule ' bude obshovt co nejmen po et znk.) Denice 13 A A B jsou dv Krnughovy mpy stejn ch rozm r. 1. Logick m sou tem A B mysl me Krnughovu mpu ozn enou A B, kterou obdr me tk, e p slu n polo ky v jednotliv ch mp ch logicky se teme. Budeme kt, e mp C je nkombinov n z mp A B logick m sou tem, pokud plt C = A B.. Logick m sou inem A B mysl me Krnughovu mpu ozn enou A ; B, kterou obdr me tk, e p slu n polo ky v jednotliv ch mp ch logicky vyn sob me. Budeme kt, e mp C je nkombinov n z mp A B logick m sou inem, pokud plt C = A ;B. P kld 14 Pro n sleduj c dv Krnughovy mpy A = 00 0 1 1 1 10 0 0 1 0 B = 00 0 1 1 1 01 0 0 0 1 11 0 0 1 1 je A B = 00 0 1 1 1 01 0 0 0 1 11 0 0 1 1 10 0 0 1 0 A ; B = 00 0 1 1 1 Z ejm operce odpov d logick spojce _ operce; odpov d logick spojce ^. Zformulujme to p esn. Tvrzen 15 A ' jsou formule v rokov logiky obshuj c stejn po et logick ch prom nn ch. A A je Krnughov mp formule ' B je Krnughov mp formule. Potom plt : 1. A B je Krnughov mp formule ' _.. A ; B je Krnughov mp formule ' ^. Denice 16 ekneme, e DNF (CNF) dn formule je ireducibiln, pokud obshuje nejmen mo n po et znk. Jk nj t ireducibiln DNF ireducibiln CNF dn formuli. A je d n formule ' v rokov logiky. 1. Sestvte Krnughovu mpu formule '. Vzniklou mtici nul jedni ek ozn te A.. Ireducibiln DNF. Jestli e mp A obshuje sm nuly, ireducibiln DNF formule ' je formule F (ireducibiln DNF m jedinou klusuli d lky nul). Jestli e mp A obshuje sm jedni ky, ireducibiln DNF formule ' je formule T (ireducibiln DNF m nulov po et klusul ). Pokud nenstne ni jeden z v e uveden ch p pd, nkombinujte Krnughovu mpu A logick m sou tem b zick ch mtic jedni ek A 1,...A n. Dodr ujte p itom n sleduj c dv podm nky: 14
() K d mtice A i mus m t co nejv t obd ln k jedni ek. (b) Po et mtic A i (tj. slo n) mus b t co nejmen. Nlezn te klusule f1,..., f n pro DNF, kter odpov dj b zick m mtic m A 1,...A n. Ireducibiln DNF formule ' je f1 _ :::_ f n. 3. Ireducibiln CNF. Jestli e mp A obshuje sm jedni ky, ireducibiln CNF formule ' je formule T (ireducibiln CNF m jedinou klusuli d lky nul). Jestli e mp A obshuje sm nuly, ireducibiln CNF formule ' je formule F (ireducibiln CNF m nulov po et klusul ). Pokud nenstne ni jeden z v e uveden ch p pd, nkombinujte Krnughovu mpu A logick m sou inem b zick ch mtic nul A 1,...A n. Dodr ujte p itom n sleduj c dv podm nky: () K d mtice A i (b) Po et mtic A i mus m t co nejv t obd ln k nul. (tj. slo n) mus b t co nejmen. Nlezn te klusule f1,...,f n pro CNF, kter odpov dj b zick m mtic m A 1,...A n. Ireducibiln CNF formule ' je f1 ^ :::^ f n. P kld 17 Nlezn me ireducibiln DNF ireducibiln CNF formule ', jej Krnughov mp vypd n sledovn : A = 00 0 1 1 1 1. Ireducibiln DNF. Mtici A lze nkombinovt logick m sou tem n sleduj c mi b zick mi mticemi jedni ek: A 1 = 00 0 0 1 1 A = 00 0 1 0 0 Mtici A jsme tedy nkombinovli logick m sou tem dvou b zick ch mtic jedni ek. Z ejm nelze mtici A nkombinovt men m po tem b zick ch mtic. P esto n m mtice A 1 A nedj ireducibiln DNF formule ', proto e k nkombinov n mtice A lze pou t i mtice B 1 = 00 0 0 1 1 B = 00 0 1 1 0 kter mj v t obd ln ky jedni ek ne mtice A 1 A. Sou sn je v k vid t, e v t obd ln ky jedni ek ji nenlezneme. Proto e mtici B 1 odpov d klusule : ^:b ^ c mtici B odpov d klusule : ^:b ^ d, je ireducibiln DNF pro formuli ' n sleduj c : (: ^:b ^ c) _ (: ^:b ^ d): 15
. Ireducibiln CNF. Budeme postupovt trochu rychleji. Mtici A z ejm nelze logick m sou inem nkombinovt jednou b zickou mtic nul. Lze se p esv d it, e ji nelze nkombinovt ni s pou it m dvou b zick ch mtic nul. Lze ji v k nkombinovt n sleduj c mi t emi mticemi: C 1 = 00 0 1 1 1 01 0 1 1 1 11 0 1 1 1 10 0 1 1 1 C = 00 1 1 1 1 10 1 1 1 1 C 3 = 00 1 1 1 1 01 1 1 1 1 T i b zick mtice nul, kter by m lyv t obd ln ky nul ne mtice C 1, C C 3, v k nenlezneme. Mtici C 1 odpov d klusule c _ d, mtici C odpov d klusule :b mtici C 3 odpov d klusule :. Ireducibiln CNF pro formuli ' je: (c _ d) ^ (:b) ^ (:): Pozn mk 18 Z v e uveden teorie z ejm plyne n sleduj c : Pokud Krnughovu mpu dn formule ' nkombinujeme pomoc b zick ch mtic jedni ek nebudeme p itom dodr ovt po dvky b ze strny 14 dostneme smoz ejm op t n jkou DNF formule '. Lze se sndno p esv d it, e pokud budeme Krnughovu mpu kombinovt pomoc b zick ch mtic jedni ek obshuj c ch pouze obd ln ky rozm r 1 1, dostneme plnou DNF formule '. Podobnou pozn mku lze u init pro CNF. 4 Cvi en Cvi en 19 Podrobn projd te postup pro popis ireducibiln ch CNF pro formuli obshuj c pouze jednu logickou prom nnou z Pozn mky 8. Cvi en 0 V ce p kld n toto t m lze nl zt ve cvi en ch ke Kpitole 8 skript doc. Mrie Demlov prof. Bed ich Pond l k Mtemtick logik, FEL VUT, Prh 1997. Pro n sleduj c formule nlezn te plnou DNF, plnou CNF, ireducibiln DNF ireducibiln CNF. 1. ( ) b) ) (:b ):).. ( b) c. 3. ) (b, c). 4. (b _ d), (:, c). V sledky: 16
1. pln DNF: (: ^:b) _ (: ^ b) _ ( ^:b) _ ( ^ b). pln CNF t to formule neexistuje. Ireducibiln DNF: () _ (:) nebo (b) _ (:b). Ireducibiln CNF: T (obshuje jedinou klusuli d lky nul).. pln DNF: (: ^:b ^ c) _ (: ^ b ^:c) _ ( ^:b ^:c) _ ( ^ b ^ c). pln CNF: ( _ b _ c) ^ ( _:b _:c) ^ (: _ b _:c) ^ (: _:b _ c). Ob pln formy jsou ireducibiln. 3. pln DNF: (: ^:b ^:c) _ (: ^:b ^ c) _ (: ^ b ^:c) _ (: ^ b ^ c) _ (: ^:b ^:c) _ ( ^ b ^ c). Ireducibiln DNF: (:) _ (:b ^:c) _ (b ^ c). pln CNF: (: _ b _:c) ^ (: _:b _ c). Tto pln CNF je ireducibiln. 4. pln DNF: (: ^:b^:c^:d) _ (: ^:b^c^ d) _ (: ^ b ^ c ^:d) _ (: ^ b ^ c ^ d) _ ( ^:b^:c^ d) _ ( ^:b^ c ^:d) _ ( ^ b ^:c^:d) _ ( ^ b ^:c^ d). Ireducibiln DNF: (:^:b^:c^:d)_(:^c^d)_(:^b^c)_(^b^:c)_(^:c^d)_(^:b^c^:d). pln CNF: ( _ b _ c _:d) ^ ( _ b _:c_ d) ^ ( _:b_ c _ d) ^ ( _:b_ c _:d) ^ (: _ b _ c _ d) ^ (: _ b _:c_:d) ^ (: _:b_:c_ d) ^ (: _:b_:c_:d). Ireducibiln CNF: (_c_:d)^(_:b_c)^(_b_:c_d)^(:_:b_:c)^(:_:c_:d)^(:_b_c_d). Cvi en 1 Toto cvi en vy duje znlost deriv n ch(syntktick ch) strom formul v rokov logiky viz Kpitol 5 skript doc. Mrie Demlov prof. Bed ich Pond l k Mtemtick logik, FEL VUT, Prh 1997. Uk te, e DNF formule lze ekvivlentn denovt v e i deriv n ch strom formule. Postupujte n sledovn : 1. P ipome te si mo nost jednozn n ho p episu k d formule n jej deriv n strom. Pozor: v me, e np kld z pis formule je konvenc z n kter z n sleduj c ch dvou m n p ehledn ch z pis : (( _ ) _ ) nebo ( _ ( _ )). V hodou t chto m n p ehledn ch z pis je v k jednozn nost p episu n deriv n strom. Deriv n strom formule (( _ ) _ ) je: _/ /// _/ /// zt mco formule ( _ ( _ )) m jin deriv n strom: _ / /// _/ ///. De Morgnov prvidl distributivn z kony iterpretujte jko " posouv n \ logick ch spojek po deriv n m stromu. Np kld s mntickou ekvivlenci :( ^ b) j=j (: _:b) (co je jedno z De Morgnov ch prvidel) lze interpretovt jko posouv n \ logick spojky : po deriv n m stromu sm rem dol. Deriv n " strom formule :( ^ b) je toti strom: : ^/ /// b 17
deriv n strom formule (: _:b) je: _/ /// : : b Podobn s mntickou ekvivlenci (^b)_c j=j (_c)^(b_c) (co je jeden z distributivn ch z kon ) lze interpretovt jko " posouv n \ logick spojky _ po deriv n m stromu sm rem dol. Deriv n strom formule ( ^ b) _ c je toti strom: deriv n strom formule ( _ c) ^ (b _ c) je: _/ /// ^/ /// / / /// /// c b c b c ^????? 3. Denujte DNF formule jko formuli, jej deriv n strom m jist tvr. 4. Promyslete proceduru hled n DNF, kter se op r pouze o tvr deriv n ch strom. N vod: denujte sdu prv deriv n ch strom : () Odstr ov n nepohodln ch logick ch spojek se d je nhrzen m strom, kter obshuj nepohodln spojky, stromy s mnticky ekvivlentn ch formul. _/ /// )/ /// Np kld pro spojku ) strom nhr te stromem : b b (b) Posouv n spojek : ^ co nejn e po deriv n m stromu pomoc De Morgnov ch prvidel distributivn ch z kon. 18