13. Soustava lineárních rovnic a matice

Transkript

1 @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky znčíme i,j. Příkld: mtice A typu x5,,,,,,,,,,,,,5,5,5 Poznámk: Nepleťte si mtici s determinntem: mtice je tbulk čísel, determinnt je jedno číslo. pokrčování

2 @5 Správně Pro úprvy mtic pltí (stejně jko pro úprvy soustvy lineárních rovnic) následující jednoduché trnsformce. Vět: Jestliže s mticí soustvy lineárních rovnic provádíme tyto trnsformce:. přehození dvou řádků mtice. vynásobení nebo vydělení řádku (všech prvků v řádku) stejným nenulovým reálným číslem. přičtení nebo odečtení jednoho řádku k jinému (po prvcích) Pk řešení původní soustvy lineárních rovnic je stejné jko řešení soustvy lineárních rovnic uprvené mtice soustvy. Příkld: Řešte soustvu rovnic x - 5y = x + y = Řešení: rozbor Vytvoříme mtici soustvy budeme ji uprvovt 5.řádek vynásobíme 6.řádek vynásobíme 6 9 od.řádku odečteme.řádek řádek vydělíme 9.řádek vynásobíme přičteme k.řádku 6.řádek vydělíme 6 poslední úprvě odpovídá tto soustv lineárních rovnic x = y = kndidát řešení máme jko n dlni [; ] Zkoušk: L =. 5. = = P L =. +. = = P Úkol: Řešte soustvu lineárních rovnic

3 výsledek x + y - z = 5x + y - 7z = 9 x - y + 5z = -

4 @57 Bohužel Této mtici odpovídá řešení [; ; ; ], které, jk sndno ověříme zkouškou, není řešením původní soustvy tedy tto mtice nemůže být ni echelonem původní soustvy. znovu prostudujte

5 @6 Příkld: Řešte soustvy rovnic x - y = x - y = (A) y - z = (B) y - z = -x + z = -x + z = - Řešení: určíme mtice soustv uprvíme pokud možno do tvru echelon soustv A mtice soustvy echeleon ~ 5 6 V posledním řádku poslední mtice sestvy se nlézjí smé nuly ž n poslední prvek. Tomu odpovídá rovnice.x +.y +.z = 6 Tuto rovnici nemůže splnit žádná trojice reálných čísel. Proto tto soustv rovnic nemá žádné řešení. soustv B mtice soustvy echeleon ~ Poslední řádek v mtice sestvy obshuje smé nulové prvky. Tomu odpovídá rovnice.x +.y +.z = která je splněn kždou trojicí reálných čísel. Tedy tto soustv rovnic má nekonečně mnoho řešení. Řešení jsme schopni popst jen prmetrizcí. Je to sndné. Prvnímu druhému řádku poslední mtice odpovídjí rovnice x - z = y - z = V obou vystupuje neznámá z, kterou vezmeme z prmetr sndno vypočítáme x = + z, y = z Tedy kndidátem řešení je uspořádná trojice [z+; z; z], kde z R

6 Zkoušku lze provést sndno zpměti. Poznámk: Poslední příkld nám dává návod, jk řešit soustvy lineárních rovnic, v nichž je méně rovnic než neznámých. Úkol: Řešte soustvu rovnic výsledek x - y + z = x + y =

7 @6 Řešte soustvu rovnic Řešení: x - y + z - 5t = - x + y + t = 5 mtice soustvy echeleon 5 5 ~ Máme rovnice pro neznámé, proto musíme použít (=-) prmetry k zápisu uspořádné čtveřice, která předstvuje kndidát řešení; volíme z t. Ověřte zkouškou. [-z-t; +z-t; z; t], z,t R Úkol: Řešte soustvu rovnic x - y + z - t = -x + y - z + t = 5 výsledek

8 @5 Mějme dvě soustvy lineárních rovnic x - 5y = x + y - z = x + y = 5x + y - 7z = 9 x - y + 5z = - Mticí soustvy rozumíme tbulku sestvenou z koeficientů u neznámých z hodnot prvých strn. Tj. následující mtice typu x x 5 Úkol: Který zápis je správný vrint A:, = -5 b, = - b, = 5 vrint B:, = -5 b, = - b, = 5 vrint C:, = b, = -7 b, =

9 @5 Řešte soustvu lineárních rovnic x + y - z = 5x + y - 7z = 9 x - y + 5z = - Řešení: rozbor Mohli jste postupovt jink; pořdí následujících úprv není závzné. Důležité je, zdli jste se dostli ke stejnému výsledku. přehodíme řádky, ř.ř protože s jedničkou se lépe počítá ř (.ř +.ř) 7 7.ř *(.ř.) ř 6*(.ř) 7 7.ř + *(.ř).ř +.ř.ř - *(.ř) ř. + 57*(.ř).ř /.ř + *(.ř) odpovídá kndidátu řešení [; ; ] Zkoušk musí být proveden do původní soustv rovnic L =. +.. = = P L = = 9 = P L = = - = P Poznámk: Myšlená čár spojující prvky mtice,,,,,,... tj..řádek,.sloupec,.řádek,.sloupec,.,.,... se nzývá hlvní digonál.

10 Poznámk: Poslední mtice, která má n hlvní digonále smé jedničky (mohou být i nuly) prvky pod touto hlvní digonálou jsou všechny nulové, ve sloupcích nd jedničkmi v hlvní digonále jsou tké nulové prvky, pk tkovou mtici nzývjí Angličné echelon, v češtině neznám žádné zvláštní oznčení. Úkol: Proč musíme dělt zkoušku? Vždyť jsme formulovli větu o tom, že původní i výsledná soustv lineárních rovnic má identické řešení. To je snd zbytečné, ne? odpověď

11 @58 Bohužel Této mtici odpovídá řešení [; ; ; ], které, jk sndno ověříme zkouškou, není řešením původní soustvy tedy tto mtice nemůže být ni echelonem původní soustvy. znovu prostudujte

12 @6 Řešte soustvu rovnic x - y + z = x + y = Řešení: Mtici soustvy rovnic její echelon sndno sestvíme ~ Z poslední mtice dostáváme kndidát n řešení, tj. uspořádnou trojici [-z; z-; z], z R Zkoušk potvrdí, že je to řešení původní soustvy rovnic. Poznámk: Vyřešíme-li původní soustvu rovnic metodou substitucí, pk budeme nejspíš postupovt tk, že z druhé rovnice vypočítáme neznámou x x = -y dosdíme do první rovnice vypočítáme neznámou z.(-y) - y + z = z = + y odtud usoudíme, že kndidátem řešení soustvy je uspořádná trojice [-y; y; +y], y R Úkol: Které řešení je správné? vrint A: vrint B: vrint C: [-z; z-; z], z R [-y; y; +y], y R obě řešení jsou správná

13 @6 Řešte soustvu rovnic x - y + z - t = -x + y - z + t = 5 Řešení: mtice soustvy echeleon 5 ~ 8 Protože echelonu odpovídá rovnice, která nemá řešení, nemá žádné řešení ni původní soustv rovnic. Úkol: Když získáme jednu nebo více uspořádných n-tic jko kndidáty řešení zdné soustvy lineárních rovnic, můžeme vždycky pomocí zkoušky zjistit, zdli jsme někde neudělli numerickou chybu, tím, že provedeme zkoušku. Jk eliminovt lidský fktor, když nám vyjde, že soustv nemá žádné řešení tedy zkoušku není s čím provést? odpověď

14 @5 Bohužel znovu prostudujte

15 @56 Zkoušku musíme dělt proto, že jsme jen chybující lidé. Teoreticky je zkoušk zbytečná, le stčí se podívt do libovolných skript, učebnic, sbírek příkldů, njdeme v nich mnoho ukázek selhání lidského fktoru, jk se dnes vznešeně oznčují vlstní chyby. Úkol: Řešte soustvu lineárních rovnic w + x + y + z = w - x + y - z = - w + x - y + z = 7 w - x + 7y - z = Echelon této soustvy je echelon A echelon B echelon C

16 @59 Správně Této mtici odpovídá řešení [; ; ; ], které, jk sndno ověříme zkouškou, je řešením původní soustvy tedy tto mtice je echelonem původní soustvy. pokrčování

17 @6 Ovšemže obě řešení jsou správná, obě metody jsou správné, jk sndno dokážeme zkouškou (proveďte smi). [-z; z-; z], z R [-y; y; +y], y R Jde tedy o vyjádření téhož jiným způsobem. Vskutku, nhrdíme-li v prvním řešení prmetr z důsledně výrzem +y dostneme druhý zápis z = +y => z - = y => - z = -y Volíme-li z prmetr z výrz t-, dostneme dlší vyjádření uspořádných trojic, které jsou řešením původně zdné soustvy lineárních rovnic. [-t; t-; t-], t R POZOR, zde nelze krátit dvěm (není to vektor)!!! Trojice tvru [-t; t-; t-/], t R nejsou řešením původní soustvy rovnic, jk potvrdí doszení do první rovnice L = (-t) - (t-) + (t-/) = / = P Úkol: Řešte soustvu rovnic x - y + z - 5t = - x + y + t = 5 výsledek

18 @65 Otázk: Když získáme jednu nebo více uspořádných n-tic jko kndidáty řešení zdné soustvy lineárních rovnic, můžeme vždycky pomocí zkoušky zjistit, zdli jsme někde neudělli numerickou chybu, tím, že provedeme zkoušku. Jk eliminovt lidský fktor, když nám vyjde, že soustv nemá žádné řešení tedy zkoušku není s čím provést?. možnost Necháme soustvu vyřešit nezávisle někoho jiného pk svoje řešení s ním porovnáme. Vyjde-li (zákon schválnosti prví, že nevyjde) i jemu totéž, výrzně snížíme riziko, že nše řešení je chybné..možnost Soustvu rovnic vyřešíme jinou metodou, bychom se vyvrovli zcyklení myšlení typu 7. =. Vyjde-li nám totéž, opět tím snižujeme riziko chybného výpočtu. Všimněte si, že opět jen snižujeme riziko. Jistotu nemůžeme mít nikdy. Ale nezměňujme teoretickou jistotu, kterou máme, s jistotou nšeho prktického konání. KONEC LEKCE