OOLOVÁ LGER Slúži na matematický opis zákonov a pravidiel výrokovej logiky, ktorá rieši vzahy medzi pravdivými a nepravdivými výrokmi. Pravdivému výroku prideujeme logickú hodnotu 1 a nepravidelnému výroku logickú hodnotu 0. Nositeom elementárnej informácie o pravdivosti alebo nepravdivosti výroku je logická premenná, ktorá môže nadobúda dve hodnoty 0 a 1. 1, logický súin 2, logický súet 3, logická negácia ZÁKLDNÉ OPERÁCIE LOGICKÝ SÚIN Majme jednoduché boolovské premenné,,y ND: Y=. Logický súin ND je charakterizovaný tím, že funkná hodnota Y nadobúda jedniky len vtedy, ak obidve premenné, sú jedniky. PRVDIVOSTNÁ TUK : Y=. 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 KONTKTOVÁ RELIZÁCI : Logická hodnota 1 predstavuje zopnutý spína a logická hodnota 0 predstavuje rozopnutý spína. Obvodom môže tiec prúd iba ak sú zopnuté spínae.
LOGICKÝ SÚET Majme jednoduché boolovské premenné,,y OR : Y = + Logický súet OR je charakterizovaný tím, že funkná hodnota Y nadobúda hodnotu jedniky práve vtedy ak, aspo jedna z premenných, je jednika. PRVDIVOSTNÁ TUK : Y=+ 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 KONTKTOVÁ RELIZÁCI : LOGICKÁ NEGÁCI Majme jednoduché boolovské premenné,y NOT : Y = Logická negácia NOT je charakterizovaná tím, že funkná hodnota Y nadobúda hodnotu jedniky práve vtedy, ak premenná je nula. PRVDIVOSTNÁ TUK : Y= 0 1 1 0 KONTKTOVÁ RELIZÁCI :
Príklad : Zostrojte pravdivostnú tabuku pre funkciu Y =.(+C) Poznámka : poet riadkov v PT zodpovedá vzorcu : 2 n, kde n je poet vstupných premenných. C Y 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 de Morganov zákon : + + C +... =.. C..... C... = + + C +... Príklad: Dokážte platnos de Morganových pravidiel pomocou PT. Y 1 = + Y 2 =. Y 1 = Y 2
FORMY ZÁPISU LOGICKÝCH FUNKCIÍ 1) LGERICKÝ VÝRZ 2) PRVDIVOSTNÁ TUK 3) KRNUGHOVÁ MP KRNUGHOVÁ MP Skladá sa z uritého potu štvorcov (políok), priom každej kombinácií nezávislých vstupných premenných v KM zodpovedá jeden štvorec do ktorého vypisujeme zodpovedajúcu hodnotu výstupnej funkcie. Poet štvorcov v KM sa musí rovna potu riadkov v PT. udeme sa drža najastejšieho spôsobu znaenia máp, poda ktorého riadky alebo stpce v ktorých je príslušná premenná rovná jednotke, oznaíme veda mapy zvislou alebo vodorovnou iarou, ku ktorej pripíšeme meno príslušnej logickej premennej. V riadkoch alebo v stpcoch, ktoré nie sú oznaené, je príslušná premenná rovná nule. a) KM pre funkciu jednej vstupnej premennej Y = f() Y = PT: Y 0 1 1 0 KM: 1 0 b) KM pre funkciu dvoch vstupných premenných Y = f(, ) Y =. +. PT: Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
KM : 1 1 0 0 Príklad : Zostrojte KM pre funkciu troch vstupných premenných Y = f(,,c) Y = (+).C 2 Formy : VÝPIS FUNKCIE Z PRVDIVOSTNEJ TUKY 1 ) UNDF úplná normálna disjuktívna forma Súet základných súinov. 2) UNKF úplná normálna konjuktívna forma Súin základných sútov. n 2 1 1) UNDF : Y yimi ( x) y0m0 ( x) y1m1 ( x)... y n m n ( x) 2 1 2 1 i0 Minterm : mi(x) = x 1. x 2.x 3... x n y i - hodnota funkcie v í tom riadku PT m i - je logický súin všetkých vstupných premenných v priamom tvare, ak premenná má hodnotu 1 a v inverznom tvare ak premenná má hodnotu 0. Príklad : Zostavte PT a jej výpis pomocou formy UNDF... Y =. S Y mi(,) 0 0 0 0. 1 0 1 0. 2 1 0 0. 3 1 1 1. S poradie riadkov...s = 2 n-1 - negácia namiesto iary pre lepšiu prehadnos v tabuke
Y y0m0 (, ) y1m1 (, ) y2m2 (, ) y3m3 (, ) Y 0.. 0.. 0.. 1... 2) UNKF : n 2 1 Y ( yi M i ( x)) ( y0 M 0( x)).( y1 i0 Maxterm : Mi(x) = x 1 + x 2 + x 3 +...x n M 1 ( x))...( y n 2 1 M n 2 1 ( x)) Mi(x) logický súet všetkých vstupných premenných v priamom tvare, ak premenná má hodnotu 0 a v inverznom tvare ak premenná má hodnotu 1. Príklad : Zostavte PT a jej výpis pomocou formy UNKF... Y =. S Y Mi(,) 0 0 0 0 + 1 0 1 0 + 2 1 0 0 + 3 1 1 1 + Y Y Y ( y0 M 0 (, )).( y1 M 1(, )).( y2 M 2 (, )).( y3 M 3 (, )) ( 0 ).(0 ).(0 ).(1 ) ( ).( ).( ).1 Príklad: Zostrojte výpis UNDF a UNKF funkcie z PT a ak je daná PT: S C Y 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 1
MINIMLIZÁCI LOGICKEJ FUNKCIE Danú LF môžeme zapísa v rôznych tvaroch. Všetky tvary sú matematický rovnocenné, pretože predstavujú rovnakú závislos aj ke sú tvarovo dos odlišné. Nie sú však rovnocenné z hadiska technického a ekonomického. Pre technickú realizáciu je nutné vždy funkciu upravi do najjednoduchšieho tvaru minimalizova ju. Minimalizáciou funkcií dosiahneme, že pri jej realizácií budeme potrebova najmenší poet logických prvkov. Tím sa logický obvod stane jednoduchším a samozrejme aj lacnejším z ekonomického hadiska. Pre minimalizáciu existujú rôzne metódy : Napr.: 1 ) lgebraická logickú funkciu zjednodušíme pomocou zákonov a pravidiel oolovej algebry : + = + +(+C)=(+)+C +.C=(+).(+C) = += + =1 +1=1 +0=..=+ (+) =..+.=.=..(.C)=(.).C.(+C)=.+.C.=. =0.1=.0=0.( +)=. (.) = + (+).(+ )= 2 ) Grafická v KM Systém v KM je založený na skutonosti že dva leny výrazu ktoré obsahujú tie isté premenné a líšia sa iba v jednej premennej - sú redukovatené,tj. Možno ich zjednoduši tak, že vynecháme premennú v ktorej sa líšia. Dva leny, ktoré sa líšia iba v jednej premennej nazývajú sa susediacimi lenmi v KM a nachádzajú sa veda seba. Podstata minimalizácie v KM spoíva v zoskupovaní susediacich jedniiek do konfigurácií priom platí : 1 ) jedniky musia by susedné 2 ) poet susediacich jedniiek v danej konfigurácií je daný vzorcom 2 n. 3 ) každá jednika sa môže vyskytova aj vo viacerých konfiguráciach. 4 ) v mape musíme pokry konfiguráciami všetky jedniky.
Príklady : Minimalizujte v KM : 1.) C 0 1 1 0 0 0 0 0 UNDF: Y=..C +..C Y=.(C +C) Y=. 1 2.) C 0 0 0 1 0 0 0 1 UNDF: Y=..C+..C Y=.C.( +) Y=.C 3.) C 0 1 1 0 0 0 1 0 UNDF : Y 1 =. Y 2 =.C Y=. +.C
4.) C D 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Susediace políka sú aj políka na okrajoch mapy. Predstavme si, že mapu zrolujeme tak, že avý okraj bude susediaci s pravým a súasne dolný s horným. UNDF: Y =.C SCHÉM LOGICKÉHO OVODU RELIZÁCI : 1.) kontaktovými lenmi (kontakty, relé, stykae) 2.) logickými lenmi (ND, OR, NOT, NND, NOR) 3.) programovými automatmi (Simatic, LOGO! 230RC ) KONTKTOVÁ RELIZÁCI LOGICKEJ FUNCIE Príklad 1.) : Kontaktovo zrealizujte logickú funkciu : Y = (.) + (. ) Riešenie :
Príklad 2.) : Kontaktovo zrealizujte logickú funkciu Y =.( +C) Riešenie : RELIZÁCI LOGICKEJ FUNKCIE LENMI ND, OR, NOT Logický len je elementárny íslicový systém, ktorý realizuje niektorú boolovskú funkciu (operaciu) nad vstupnými premennými a jej výsledok poskytuje na svojom výstupe. Názov logickej funkcie lgebraické vyjadrenie Schematická znaka Negácia (NOT) Y = Súet (OR) Y = + Súin (ND) Y=.
Príklad 1.) Zrealizujte pomocou logických lenov funkciu : Y=.+. Riešenie: Príklad 2.) Zrealizujte pomocou logických lenov funkciu : Y=(+).(+C).( +C ) Riešenie: RELIZÁCI LOGICKEJ FUNKCIE LENMI NND Logická funkcia : (Schefferová funkcia) Y = (.) Y = (..C) Y = (..C.D) Schematická znaka :
Príklad 1.) Zrealizujte pomocou hradla NND funkciu Y = Riešenie : Príklad 2.) Zrealizujte pomocou hradla NND funkciu Y =. Riešenie : RELIZÁCI LOGICKEJ FUNKCIE LENMI NOR Logická funkcia : (Pierceová funkcia) Y = (+) Y = (++C) Schematická znaka : Príklad 1.) Zrealizujte pomocou hradla NOR funkciu Y = Riešenie:
Príklad 2.) Zrealizujte pomocou hradla NOR funkciu Y = + Riešenie: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx Príklad: Upravte funkciu: Riešenie: Y Y a a b b c c d d e e & & & & & 1 1 & & 1 f a a b b c c d d e e
Existuje symbol Tabuka pre -funkciu s dvoma nezávisle premennými algebraické vyjadrenie y = a b y = a. b y = slovné vyjadrenie logický súet logický súin a non (negácia) pravdivostná tabuka a b y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 a b y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 a y 0 1 1 0 1. a = 1 zákon vylúenia tretieho a. = 0 2. a b =.b de Morganove pravidlá a. b = b = a pravidlo dvojnásobnej negácie