Zpracování obrazu pomocí vlnkové transformace

Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Issue: 2013 15 4 Zpracování obrazu pomocí vlnkové transformace Image processing using the wavelet transform Elena Anisimova, Jan Bednář, Petr Páta {anisiele, bednaja4, pata}@fel.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta elektrotechnická, Katedra radioelektroniky Abstrakt: V tomto článku autoři shrnuli vlastnosti vlnkové transformace tak, aby z nich vyplývaly důvody k použití tohoto užitečného nástroje za účelem analýzy a zpracování jak jednorozměrných, tak i dvourozměrných signálů, a to počínaje odstraněním šumu, přes kódování a doostření signálů až po detekci objektů. Autoři se snažili pojmout výklad co nejvíce pochopitelnou formou, zahrnující co největší počet slovního vysvětlení a přehledných obrázků. Abstract: Authors of this paper summarized properties of the wavelet transform in such a way, that there were derived reasons for its usage in an area of both 1D and 2D signal processing and analysis, starting with noise suppression, through signal coding and sharpening up to object detection. Authors tried to explain the issue in the most understandable way, involving a large number of verbal explanation and comprehensive figures.

Zpracování obrazu pomocí vlnkové transformace Elena Anisimova, Jan Bednář, Petr Páta ČVUT v Praze, Fakulta elektrotechnická, Katedra radioelektroniky Email: {anisiele, bednaja4, pata}@fel.cvut.cz Abstrakt V tomto článku autoři shrnuli vlastnosti vlnkové transformace tak, aby z nich vyplývaly důvody k použití tohoto užitečného nástroje za účelem analýzy a zpracování jak jednorozměrných, tak i dvourozměrných signálů, a to počínaje odstraněním šumu, přes kódování a doostření signálů až po detekci objektů. Autoři se snažili pojmout výklad co nejvíce pochopitelnou formou, zahrnující co největší počet slovního vysvětlení a přehledných obrázků. 1 Úvod Fourierova transformace (FT) je beze sporu základem zpracování jak analogových tak i digitálních signálů a zhruba do poloviny 20. století byla hojně využívána za tímto účelem. V současné době se ale více a více zaměřuje na použití takzvaných víceměřítkových transformací (Multiresolution Transform, MT) [1], ke kterým patří i vlnková transformace (Wavelet Transform, WT). Zatímco Fourierova transformace používá pro rozklad signálu do spektrální roviny periodické sinusové a kosinusové funkce, bázi vlnkové transformace tvoří časově omezené funkce, kterým se říká vlnky (Obrázek 1). Výhodou toho je možnost získat informaci nejen o přítomnosti určité frekvence či nespojitosti ve zpracovávaných datech, ale i o okamžiku jejich výskytu. Každá vlnka osciluje pouze v okolí bodu svého momentálního výskytu, což poskytuje dobrou prostorovou lokalizaci a je hlavní výhodou WT oproti všem ostatním metodám. Proto se pomocí vlnek lépe vyhodnocují neperiodické a nestacionární signály. Obrázek 1: Příklady vlnkových funkcí, zleva doprava: sym 2, db 5, rekonstrukční vlnky bior 1.3 a bior 3.5 [2] 2 Víceměřítkové transformace Obecně řečeno, víceměřítkové transformace poskytují účinnější zpracování a analýzu zkoumaných dat, než jednoměřítkové. Pod pojmem víceměřítková transformace si lze představit způsob zpracování signálů v odlišných měřítkových rovinách obsahujících různě velké detaily, jež lze zkoumat nezávisle na sobě. Výhodou toho je skutečnost, že vlastnosti či rysy signálů, které nemusí být detekovány v jedné měřítkové rovině, mohou být jednoduše nalezeny v rovině jiné. Dá se to také chápat jako pohled na signál (například dvourozměrný obraz) z různých vzdáleností. Pokud se na něj díváme z dálky, vnímáme ho jako celek složený z větších celků, jež jsou v případě vlnkové transformace součástí vyšších měřítkových úrovní. Zatímco, když se k němu přiblížíme, zkoumáme většinou podrobnosti, jemné detaily, které odpovídají vyšším prostorovým frekvencím, neboli jsou součástí nižších měřítkových úrovní. Víceměřítková transformace se proto nabízí pro použití v případě, že se v signálu objevují jak velké, tak i drobné detaily, jež se dají zpracovávat odděleně. Tím lze dosáhnout lepších výsledků zpracování a analýzy jednorozměrných i dvourozměrných dat. 3 Spojitá vlnková transformace Spojitá vlnková transformace (Continous Wavelet Transform, CWT) je okenní operací. Jádro CWT je získáno posunutím a roztažením vybrané bázové funkce mateřské vlnky (waveletu), která je speciální kauzální finitní funkcí ψ(t) s nulovou střední hodnotou (Obrázek 1). Vlnkové funkce mají oproti harmonickým signálům použitým u Fourierovy transformace tu výhodu, že mohou být nadefinovány dle charakteru analyzovaných dat, musí se pouze držet pravidel pro jejich vytváření [2, 3]. Tak například lze dosáhnout velmi přesné lokalizace prudkých změn signálu. Vlnková transformace spojitého signálu s konečnou energií je definována podobným způsobem, jako Fourierova transformace, jen místo harmonických funkcí se v definičním integrálu vyskytuje vlnková funkce s postupným posuvem v čase a měnícím se měřítkem (funkce se buď roztahuje nebo zužuje) (Obrázek 2). Výsledkem CWT jsou vlnkové koeficienty w(s,p): ww(ss, pp) = 1 tt pp ff(tt) ψψ ss ss dddd, (1) kde f(t) je analyzovaný signál, ψψ je vlnka, ψψ je komplexně sdružená vlnka, s měřítko, p poloha umístění vlnky na časové ose (s, p R, s 0), t je čas a člen 1/ s slouží k normalizaci energie vlnky při změnách měřítka. Na Obrázku 3 a Obrázku 4 je znázorněna CWT spojitého signálu představujícího sinusovou funkci před a po přidání impulsního a Gaussovského šumu. Obrázek 2: Vlnka Mexican Hat s měnícím se měřítkem 238

Ze vzorce (1) vyplývá, že v případě symetrické vlnkové funkce se postupně hledá míra podobnosti (korelace) mezi vstupním signálem a vlnkou s měnícím se měřítkem, což ve výsledku odpovídá extrakcí různě velkých detailů ze zpracovávaných dat. Uvedená skutečnost naznačuje, že pokud se mluví o vlnkové transformaci, myslí se transformace s více měřítky: čím je měřítko menší, tím menší detaily odpovídající vyšším kmitočtům jsou ze signálu vytaženy (extrahovány) (viz. Obrázek 3 a Obrázek 4). Následně lze zpracovávat odděleně různě velké detaily a tím se například vyvarovat změně či poškození těch součástí signálu, které zpracovávat nechceme. 4 Diskrétní vlnková transformace Spojitá vlnková transformace produkuje nadbytečné množství dat - vlnkových koeficientů. Pro jejich redukci se v diskrétní podobě počítají pouze koeficienty odpovídající měřítkům ss = 2 jj, kde j = 0,1,2,,n. Vhodnou dvojkovou závislostí parametrů s a p lze vytvořit z vyhovující vlnky ψψ ortonormální bázi: ss = 2 jj, pp = kk 2 jj, jj, kk ZZ. Pak ψψ jj,kk (tt) = 1 kk 2jj ψψ nn 2jj 2 jj. (4) Dopředná a zpětná diskrétní vlnková transformace se následně počítá podobným způsobem, jako tomu je ve spojitém případě. 5 Rychlá vlnková transformace Obrázek 3: Výsledek CWT sinusového signálu V průběhu let bylo navrženo mnoho metod pro výpočet diskrétní vlnkové transformace. Snažilo se však, jako i v případě FT, o nalezení její co nejrychlejší realizace. Z matematických úvah a vztahů pro vyjádření vlnkové funkce, uvedených v [1, 2, 3], vyplývá, že se vlnka chová jako pásmová propust filtrující signál kolem centrálního kmitočtu. V následujícím měřítku je filtrována horní polovina pásma dolnofrekvenční části signálu. S rostoucím kmitočtem roste šířka pásma (Band Width, BW) tohoto filtru (Obrázek 5). Z toho byl odvozen nejznámější rychlý algoritmus pro výpočet diskrétní vlnkové transformace (Fast Wavelet Transform, FWT) Mallatův algoritmus [2, 5], který spočívá ve filtraci signálu souborem kvadraturních zrcadlových filtrů (Quadrature Mirror Filter, QMF) [6] typu dolní a horní propust (Obrázek 6). Výsledky po filtraci odpovídají aproximaci signálu aa(tt) (hrubý pohled na obsah signálu) a jeho detailem dd(tt) (jemné detaily a podrobné rysy objektů). Obrázek 4: Výsledek CWT sinusového signálu zarušeného impulsním a Gaussovským šumem Inverzní transformace využívá vypočtených vlnkových koeficientů, jejichž superpozicí se získá původní signál: ff(tt) = ww(ss, pp) ψψ(ss, pp, tt). ss,pp (2) Pro zajištění invertibility transformace a z důvodu uchování energie dle Parsevalova teorému [4], nemůže být funkce pro vlnku ψψ volena libovolně, ale musí splňovat určité podmínky [1, 2, 3]. Krátce řečeno, musí mít nulovou střední hodnotu a vhodný frekvenční obsah: ψψ(tt)dddd = 0 aa Ψ(ωω) 2 dddd <, (3) ωω kde Ψ(ωω) je Fourierův obraz ψψ(tt) LL 2 (R). 0 Obrázek 5: Chování vlnkové funkce jako filtru Obrázek 6: Dopředná FWT pro jednorozměrný signál 239

Mallatovu algoritmu se také říká dyadická dekompozice signálu [2, 5], během které i pro největší hodnoty měřítka zůstane vždy nepokryta část spektra od nuly do určitého kmitočtu. Tímto byla zavedená takzvaná měřítková funkce φφ, jež se chová jako dolní propust, a pomocí ní se získává aproximace signálu (Obrázek 7). Otázkou je, jakým způsobem je zařízená změna měřítka zvolené vlnky v případě FWT. Aby se neměnily rozměry filtrů a nevznikalo přebytečné množství vlnkových koeficientů, po každém rozložení signálu na aproximaci a detaily se tyto koeficienty podrobí procesu podvzorkování faktorem 2, neboli se počet vzorků zmenší vynecháním každého druhého koeficientu. Tato operace je umožněna díky snížení frekvenčního pásma aproximačních a detailních koeficientů oproti signálu vstupujícímu do filtrace QMF filtry. původní hodnotu. Zvýšení je provedeno pomocí procesu interpolace s faktorem 2: vkládání nuly mezi dva vzorky. Oba signály následně prochází filtry dolní propust gg 0 (zz) a horní propust gg 1 (zz). Po této filtraci jeden signál obsahuje pouze nízké kmitočty a druhý signál obsahuje pouze vysoké kmitočty. Výsledný signál z rekonstrukční kvadraturní zrcadlové banky filtrů je součtem těchto filtrovaných signálů (Obrázek 9). Pokud je výstupní signál z kvadraturní zrcadlové banky filtrů shodný se vstupním signálem, označuje se přívlastkem s perfektní rekonstrukcí [6, 7]. Obrázek 7: Rozdělení signálu do subpásem pomocí vlnkové transformace, zvýraznění měřítkové funkce Většinou při použití vlnkové transformace pro kompresi signálu či odstranění šumu, se nevystačí s jednou úrovní dekompozice. Je třeba signál rozložit do více frekvenčních pásem, v nichž bude analyzován. Proto se po prvním rozkladu signálu následně pracuje s aproximačními koeficienty, jež se podrobí další filtrací stejným párem QMF filtrů, jako v předchozím kroku. A takto lze teoreticky pokračovat až do okamžiku, kdy podvzorkovaný signál vyjadřující aproximační koeficienty bude mít jednotkovou délku. Nicméně to ve většině případů nemá smysl, jelikož po prvních 3 až 5 dekompozičních krocích filtrace narazí na nízkofrekvenční část spektra zpracovávaného signálu, která již následně nebude filtrována, protože se pro nízké frekvence šířka pásma vlnkového filtru rapidně zmenšuje a rozdíl mezi získanými detailními koeficienty během předchozí a následující dekompozice je minimální (viz Obrázek 5). 5.1 Dvourozměrná FWT Obrázek 8: Dopředná FWT pro dvourozměrný signál Obrázek 9: Inverzní FWT pro jednorozměrný signál 6 QMF Nejpoužívanější praktická realizace DWT, neboli FWT, spočívá, jak již bylo zmíněno v Kapitole 5, ve struktuře páru kvadraturních zrcadlových filtrů (QMF) tvořených dolní propustí DP (scaling filter) a horní propustí HP (wavelet filter) [6]. Základem dolní propusti je měřítková funkce a z ní vypočítaný měřítkový filtr h 0 (zz). Koeficienty horní propusti h 1 (zz) se odvodí z vlnkové funkce [2]. Impulsní odezvy filtrů použitých pro rekonstrukci se získají inverzí koeficientů impulzních funkcí filtrů použitých v dekompoziční větvi (Obrázek 10). Diskrétní vlnková transformace pro dvojdimenzionální signál (obraz) není zvlášť definována. Realizuje se stejným způsobem jako pro jednorozměrný signál s tím, že se provádí filtrace dolní a horní propustí nejprve po řádcích a následně po sloupcích obrazu (Obrázek 8). Po první úrovni dekompozice se získají najednou 4 signály: aproximační koeficienty a detailní koeficienty v horizontálním, vertikálním a diagonálním směru [2]. 5.2 Zpětná FWT Výstupní signály z rozkladové časti (aproximační a detailní koeficienty) po prvním stupni dekompozice a po případném následném zpracování vstupují do rekonstrukční části. Protože oba dva soubory koeficientů mají sníženy vzorkovací kmitočet, je nutné nejprve jejich vzorkovací kmitočet zvýšit na Obrázek 10: Příklad impulsových odezev dekompozičních a rekonstrukčních QMF filtrů [5] Kvadraturní zrcadlová banka číslicových filtrů je skupina číslicových filtrů, která rozděluje vstupní signál na několik 240

kmitočtových subpásem a zpětně je skládá do výstupního signálu [7]. Základním typem je dvoukanálová kvadraturní zrcadlová banka číslicových filtrů, jejímž výstupem jsou dvě stejně široka subpásma (případ realizace vlnkové transformace) [2]. 7 Jiné algoritmy pro realizaci vlnkové transformace Existují i jiné algoritmy výpočtu vlnkové transformace, například algoritmus À trous [9, 10], jenž je obzvlášť vhodný pro zpracování astronomických dat. À trous algoritmus pro realizaci vlnkové transformace lze přiřadit k takzvaným nedecimovaným realizacím vlnkové transformace (Undecimated Wavelet Transform, UWT) [5]. Během procesu dekompozice a rekonstrukce se tedy neprovádí podvzorkování ani interpolace detailních a aproximačních koeficientů. Na jednu stranu to zavádí redundanci, ale na druhou stranu tato metoda produkuje mnohem méně artefaktů po úpravě vlnkových koeficientů a zpětné rekonstrukci signálu. Navíc, pokud daný algoritmus bude použit pro detekci nebo lokalizaci objektů, je lepší mít na každé dekompoziční úrovni stejný počet pixelů, aby se nalezené souřadnice objektů nemusely následně přepočítávat [8]. 2. Diskrétní konvolucí dat ss jj,kk s filtrem h (dolní propust odvozená z měřítkové funkce φφ(xx)) se získá signál ss jj +1,kk odpovídající aproximací vstupního signálu. Specifičností konvoluční masky filtru je to, že obsahuje mezery od sebe vzdálené 2 jj 1 pixelů, což dává název této transformaci à trous (s dírami). Jinými slovy řečeno, vzdálenost mezi prostředním a sousedními body impulzní charakteristiky filtru je 2 jj, kde j je pořadové číslo filtrace nebo úroveň dekompozice. 3. Pomocí aproximačních koeficientů na j-té dekompoziční úrovni se získají detailní vlnkové koeficienty jako ww jj +1,kk = ss jj,kk ss jj +1,kk. 4. Zatímco jj JJ (JJ je celkový počet dekompozičních úrovní), hodnota j se zvýší o 1 a algoritmus výpočtu se vrátí do bodu 2. 5. Výsledkem dekompozice obrazu je množina WW = {ww 1,, ww JJ, ss JJ } představující vlnkovou transformaci vstupních dat. Popsaný výše algoritmus je shrnut na Obrázku 11. Na Obrázku 12 je uveden příklad à trous transformace snímku galaxie NGC 2997. 7.1 À trous algoritmus Vlnkovou transformaci pro diskrétní data lze získat algoritmem À trous, při jehož aplikaci se nepoužívá decimace vlnkových koeficientů [9]. Proto aproximační a detailní vlnkové koeficienty mají stejný rozměr jako transformovaná data. Proces podvzorkování, který simuluje změnu měřítka vlnky, se zde nahrazuje změnou rozměru použitého pro dekompozici filtru takovým způsobem, že se mezi jeho koeficienty postupně vkládá určitý počet nul, závislý na pořadí dekompozice. Od toho i pochází název tohoto algoritmu - à trous (s dírami). Obrázek 11: À trous algoritmus výpočtu vlnkové transformace [11] 7.1.1 Realizace algoritmu à trous Jelikož se nadále zaměříme na zpracování dvourozměrných signálů, vysvětlení realizace algoritmu à trous provedeme na příkladu 2D obrazu. Mějme vstupní diskrétní dvourozměrný signál ss 0,kk (k počet pixelů), který lze následně vyjádřit jako součet vyhlazené matice cc JJ (aproximace dat) a vlnkových koeficientů na všech měřítkových (dekompozičních) úrovních: J s 0,k = s J,k + w j,k. (5) j=1 Výpočet algoritmu à trous je potom následující [9, 10]: 1. Měřítko j se nastaví na 0, tudíž se začne pracovat s původním obrazem ss 0,kk. Obrázek 12: À trous rozklad snímku galaxie NGC 2997 [9] 7.2 Výběr konvolučního jádra Věčnou otázkou při zpracování jak jednorozměrných, tak i dvourozměrných signálů je výběr vlnkové funkce. V dnešní době existuje velké množství odvozených a popsaných vlnkových funkcí z rodin Daubechies, Bior, Coiflet, Morlet atd. [12]. Příklady některých vlnkových funkcí jsou zobrazeny na Obrázku 1. Obecně řečeno, vlnka se musí vybírat podle charakteru zpracovávaných dat a podle vlastností, které je třeba ze signálů extrahovat. Od toho se poté odvozuje měřítková funkce a oba dekompoziční filtry používající se při rozkladu signálů na aproximaci a detailní koeficienty pomocí Mallatova algoritmu. 241

Pokud se jedná o vlnkovou transformaci realizovanou algoritmem à trous, je třeba znát pouze filtr typu dolní propust odpovídající měřítkové funkcí. Stále ale záleží na aplikaci algoritmu. Pokud se například použije za účelem detekce hvězdných objektů v astronomických snímcích, měřítková funkce se vybere taková, aby odpovídala vlnkové funkci Mexican Hat (Obrázek 2), jejíž tvar je velice podobný tvaru hvězdné PSF (Point Spread Function), která představuje profil hvězdy v určitém směru. Tato skutečnost umožní požadované detekce dosáhnout. Proto filtr h pro jednorozměrný případ by mohl vypadat jako B-spline křivka 3. stupně: h = (1/16, 1/4, 3/8, 1/4, 1/16) [9]. 8 Použití vlnkové transformace Vlnková transformace díky své vlastnosti extrahovat ze zpracovávaného signálu různě velké detaily v odlišných směrech našla své využití v mnoha oblastech zpracování a analýzy jak jednorozměrných, tak i dvourozměrných dat. Jedná se například o odstranění šumu [13], kompresi [14], doostřování, zakódování informací [15], rozpoznání vzorů [16], detekci objektů [9] atd. V tomto článku zmíníme odstranění šumu a detekci objektů obsažených ve dvourozměrných signálech. O ostatních aplikacích vlnkové transformace se dá dočíst ve výše uvedených zdrojích. 8.1 Odstranění šumu Šum ze signálů lze odstraňovat mnoha způsoby, mezi které patří i vlnková transformace. Obecně šum v časové či prostorové oblasti představuje prudké změny amplitudy signálu, což se do frekvenční oblasti promítne jako výskyt nežádoucích spektrálních složek na vyšších frekvencích. Během rozkladu signálu pomocí vlnkové transformace na aproximační a detailní koeficienty je možné tvrdit, že se šum v něm obsažený soustředí především v detailních koeficientech obsahujících jemné detaily zpracovávaného signálu [17]. Diskrétní vlnková transformace realizovaná jak pomocí dyadické dekompozice, tak i pomocí algoritmu à trous, soustřeďuje energii užitečného signálu ve vlnkových koeficientech s velkou amplitudou. Energie šumu je proto obsažena ve vlnkových koeficientech s nízkou amplitudou. Operací prahování lze energii šumu zeslabit tak, aby energie, soustředěná ve velkých koeficientech signálu, zůstala beze změny. 8.1.1 Prahování Proces prahování do sebe zahrnuje úpravu vlnkových koeficientů obsahujících nežádoucí šum pomocí předem stanoveného kritéria. Existují dva základní druhy prahování: tvrdé a měkké [17]. Při použití tvrdého prahování vlnkové koeficienty w=dwt(s) zůstávají beze změny, jestliže je jejich absolutní hodnota větší než práh tth, v opačném případě se nahradí nulami (6). Nevýhodou tohoto procesu je vznik nežádoucích artefaktů (nespojitostí) po rekonstrukci obrazu. w ww, ww tth = 0, ww < tth. (6) V rámci měkkého prahování se nejdříve vynulují elementy, které mají absolutní hodnotu menší než je stanovený práh. Poté se upraví nenulové vlnkové koeficienty směrem k počátku následujícím způsobem: w ssssss(ww) ( ww tth), ww tth = 0, ww < tth. (7) Měkké prahování na rozdíl od tvrdého eliminuje vznik nespojitostí během tohoto procesu. 8.1.2 Jednotný práh Problém s výběrem prahu nastává v praxi, když se nezná přesný tvar signálu (obrazu) ani tvar zkreslujícího šumu. Proto je volba prahu složitou záležitostí, k jehož stanovení se používají různá matematická kritéria. Práh může být konstantní hodnotou aplikující se na všechny detailní vlnkové koeficienty všech úrovní dekompozice, či pouze na koeficienty zvolených úrovní. Velikost prahu může být taktéž jiná pro odlišné dekompoziční úrovně. V tomto odstavci se budeme zabývat použitím stejného prahu na všech úrovních rozkladu. Také bude znám druh přidaného šumu - půjde o bílý Gaussovský šum s předem stanovenou směrodatnou odchylkou σ. Velkého pokroku v oblasti potlačení šumu dosáhli Donoho a Johnstone [18]. V rámci svého výzkumu navrhli volbu tzv. univerzálního prahu, která je založena na následujícím tvrzení: Nechť je e 1,...,e L posloupnost nezávislých náhodných veličin, které mají normální rozdělení N(0,σ 2 ). Pak platí lim M P(max e i > σσ 2 ln(ll)). (8) Protože u přidaného šumu předpokládáme normální rozdělení N(0,σ 2 ), předchozí věta říká, že velikost šumu v signálu bude pravděpodobně menší než σσ 2 ln(ll). Odtud vychází volba prahu tth = σσ 2 ln(ll), (9) kde L je celkový počet bodů (pixelů) v signálu. 8.1.3 Adaptivní práh Stále pracujeme s bílým Gaussovským šumem. V tomto případě ale neznáme jeho vlastnosti. Směrodatná odchylka šumu obsaženého v signálu se proto musí odhadnout. Následně se provede prahování vlnkových koeficientů s použitím prahu uvedeným ve vzorci (9) nebo prahu spočítaného jako tth = kkσσ jj, (10) kde k je většinou 3 (kvůli tomu, že se 99,7% šumových koeficientů odpovídajících normálnímu rozdělení nachází v intervalu ±3σσ od střední hodnoty rozdělení) a j odpovídá pořadovému číslu dekompozice. Směrodatné odchylky se mohou v případě některých transformací, kam patří i à trous, určit analyticky. Výpočet bohužel 242

může být velice komplikovaný. Proto v [9] byla navržena metoda odhadu vlastností šumu shrnutá níže. Příslušná hodnota σσ jj v sérii dekompozičních (měřítkových) úrovní se odhaduje ze směrodatné odchylky šumu σσ II v původním obraze a ze sledování vlastností šumu ve vlnkovém prostoru, jenž spočívá ve vyhodnocení vlastností šumového pozadí obsaženého na každé měřítkové úrovni po transformaci obrazu s přidaným šumem o směrodatné odchylce rovné 1. Spočítají se směrodatné odchylky šumu σσ jj ee obsaženého v detailních koeficientech na všech měřítkových úrovních. Tudíž se zjistí křivka σσ jj ee v závislosti na j, udávající chování šumu ve vlnkovém prostoru. V důsledku vlastností vlnkové transformace se směrodatná odchylka šumu na dekompoziční úrovni j spočítá jako Zde bychom chtěli uvést výsledky odstranění šumu z obrazu pomocí prahování vlnkových koeficientů. Jako původní snímek jsme si vybrali obraz Lena (Obrázek 13 vlevo), který je velice známý v oblasti zpracování obrazu. Přidali jsme k němu šum o směrodatné odchylce σσ = 20 a aplikovali jsme na něj odšumovací algoritmy založené na tvrdém a měkkém prahování vlnkových koeficientů získaných použitím vlnky bior 3.9 v rámci procesu vlnkové transformace obrazu. Navíc jsme vyzkoušeli účinnost daných metod při aplikaci pevného (8) a adaptivního prahu (10) spočítaného zvlášť pro každou dekompoziční úroveň pomocí rovnice (11). Vlnkové koeficienty získané à trous algoritmem výpočtu vlnkové transformace byly podrobeny stejné úpravě. σσ jj = σσ II σσ jj ee, (11) tj. směrodatná odchylka šumu na měřítku j se rovná směrodatné odchylce šumu v obraze před transformací násobenou standardní odchylkou šumu na měřítku j ve vlnkovém prostoru. V Tabulce 1 jsou uvedeny směrodatné odchylky bílého šumu odhadnuté z jeho chování ve vlnkovém prostoru po à trous rozkladu. Tabulka 1: Směrodatné odchylky bílého šumu odhadnuté z jeho chování v à trous prostoru [9] Dekompoziční úroveň 1 2 3 4 5 1D signál 0,700 0,323 0,210 0,141 0,099 2D signál 0,889 0,200 0,086 0,041 0,020 8.1.4 Odhad šumu Odhad vlastností šumu obsaženého v původním signálu lze provést analýzou detailních koeficientů obsahujících nejmenší detaily w 1. Robustní odhad směrodatné odchylky šumu v původním obraze σσ II se získá mediánovým měřením, jež je necitlivé na hodnoty s vysokou amplitudou jasu. V [18] bylo navrženo σσ II = Median( ww 1 )/0,6745, (12) což vychází z následujícího předpokladu: pokud je {uu nn } posloupnost N nezávislých hodnot řídících se Gaussovským rozdělením s nulovou střední hodnotou a rozptylem σσ 2, potom EE(Median( uu nn ) 0 nn<nn ) 0,6745σσ. 8.1.5 Výsledky odstranění šumu Obrázek 13: Testovací snímky Na Obrázku 14 a Obrázku 15 se vizuálně porovnávají výsledky odšumování. Subjektivní posouzení kvality ale nestačí, proto byly navíc spočítány objektivní kritéria kvality, jako jsou RMSE (Root Mean Square Error) a PSNR (Peak Signal to Noise Ratio), které udávají informaci o míře podobnosti původního obrazu bez šumu a obrazu po odstranění šumu pomocí některé z vybraných metod. Čím více se výsledek po odšumění podobá originálu, tím menší je RMSE a tím větší je PSNR. Pro odstranění šumu z astronomických snímků, obsahujících většinou pouze hvězdné objekty, se použilo pro porovnání taktéž adaptivního tvrdého a měkkého prahování vlnkových koeficientů získaných Mallatovým algoritmem (opět se použila vlnka bior3.9) a algoritmem à trous. Na Obrázku 16 a Obrázku 17 jsou znázorněny výsledky. Přesto, že v případě zpracování multimediálních snímků (jako je použitý obrázek Lena) se odšumovací metoda založená na prahování vlnkových koeficientů získaných Mallatovým algoritmem jeví být velice účinná, její použití není úplně vhodné pro odstranění šumu z astronomických snímků. Zaprvé to lze pozorovat na spočítaných kritériích RMSE a PSRN uvedených pod ukázkovými snímky v Obrázcích 14 až 17. Zadruhé se nesmí zapomenout na mnohem důležitější kvalitativní parametry v oblasti zpracování astronomických snímků, jako je magnituda a hvězdný tvar vyjádřený parametrem FWHM (Full Width at Half Maximum) [19]. Na Obrázku 16 a Obrázku 17 si lze všimnout výrazných artefaktů kolem hvězdných objektů, které mohou znemožnit jejich detekci (poškození tvaru) a následný výpočet fotometrie (zjištění hvězdných magnitud - světelností). Ztratí se tak velice podstatná vědecká informace. Tudíž lze tvrdit, že Mallatův algoritmus dekompozice obrazu na frekvenční domény není vhodný pro zpracování astronomických vědeckých dat, v jejichž případě autoři doporučují využit algoritmu à trous. 243

(a) (b) (c) (d) RMSE=9,42 RMSE=27,31 PSNR=28,65 PSNR=19,40 RMSE=10,56 PSNR=27,66 RMSE=27,32 PSNR=67,60 Obrázek 14: Pevný práh, tvrdé (a) a měkké (b) prahování vlnkových koeficientů získaných Mallatovým algoritmem, tvrdé (c) a měkké (d) prahování à trous koeficientů (a) (b) (c) (d) RMSE=10,52 RMSE=20,33 PSNR=27,69 PSNR=21,97 RMSE=10,76 PSNR=27,49 RMSE=22,92 PSNR=20,93 Obrázek 15: Adaptivní práh, tvrdé (a) a měkké (b) prahování vlnkových koeficientů získaných Mallatovým algoritmem, tvrdé (c) a měkké (d) prahování à trous koeficientů (a) (b) (c) (d) RMSE=39,67 RMSE=26,09 PSNR=64,36 PSNR=68,00 RMSE=40,36 PSNR=64,21 RMSE=27,49 PSNR=67,55 Obrázek 16: Pevný práh, tvrdé (a) a měkké (b) prahování vlnkových koeficientů získaných Mallatovým algoritmem, tvrdé (c) a měkké (d) prahování à trous koeficientů (a) (b) (c) (d) RMSE=39,62 RMSE=21,73 PSNR=64,37 PSNR=69,59 RMSE=40,21 PSNR=64,24 RMSE=23,21 PSNR=69,02 Obrázek 17: Adaptivní práh, tvrdé (a) a měkké (b) prahování vlnkových koeficientů získaných Mallatovým algoritmem, tvrdé (c) a měkké (d) prahování à trous koeficientů 244

8.2 Detekce objektů Jak již bylo zmíněno v Kapitole 7.1, vlnková transformace realizována à trous algoritmem se vypočítá jako konvoluce vstupního signálu s filtrem, koeficienty kterého odpovídají filtru odvozenému z měřítkové funkce. V případě, že by daný filtr byl symetrický (např. ve tvaru Gaussovy křivky), z konvolučního integrálu by se stal korelační integrál. Proto by se během rozkladu signálu do několika měřítkových rovin (detailních koeficientů) počítala korelace vstupního signálu a použitého filtru. Z toho lze konstatovat následující: pokud se tvar filtru nastaví vhodným způsobem pro danou aplikaci, je možné pomocí vlnkové transformace hledat v rámci signálu oblasti více nebo méně podobné tvaru filtru. Toho se využívá například za účelem detekce hvězdných objektů na astronomických snímcích. tomu, že se detekce provádí na několika dekompozičních stupních, je možné od sebe odlišit velmi blízké hvězdy, jejichž hvězdné profily se částečně překrývají [9]. Na Obrázku 18 lze vidět, že konvenční algoritmus toto nedokáže. Taktéž je detekční metoda založená na vlnkové transformaci vhodná pro zpracování širokoúhlých snímků, hvězdy u okrajů kterých jsou velice zdeformovány optickými vadami (Obrázek 19). 8.2.1 Detekce hvězdných objektů Myšlenka detekce hvězd v astronomických snímcích je následující. Astronomický snímek se musí rozložit pomocí à trous algoritmu na vlnkové koeficienty ww 1,, ww JJ a aproximaci ss JJ. Detekce hvězdných objektů se následně provádí ve vlnkových koeficientech ww 1, ww 2 atd. reprezentujících detaily obsažené v původním snímku. To znamená, že by se ve ww 1 detekovaly hvězdy s nejužším radiálním profilem, a čím větší by byl stupeň dekompozice, tím by se nacházely hvězdy více ploché a více rozlehlé. Celkový postup detekce bychom si mohli pro přehlednost uvést ve formě po sobě jdoucích kroků: 1. Po výpočtu à trous rozkladu obrazu je třeba na každé dekompoziční úrovni určit významnost vlnkových koeficientů ww 1, ww 2, (Aproximace obrazu ss JJ nevstupuje do algoritmu). To se provede odhadem šumové úrovně nebo úrovně hvězdného pozadí (stejný postup, jako v případě odstranění šumu z obrazu). Vlastnosti šumu zvlášť pro každé měřítko se zjistí pomocí metody popsané v 8.1.3. 2. Určená směrodatná odchylka šumu pro každou úroveň dekompozice se využije pro tvrdé prahování vlnkových koeficientů definované rovnicí (6). Práh se určí pomocí vztahu (10). 3. Mezi nenulovými vlnkovými koeficienty se následně vyhledávají lokální maxima vlnkových koeficientů. 4. Souřadnice lokálních maxim lze poté považovat za hvězdnou detekci, pokud se v následující úrovni dekompozice na stejném místě vyskytuje nenulový vlnkový koeficient. Takovým způsobem se ověří, zda detekovaný objekt má hvězdný tvar nebo ne, tj. snažíme se vyloučit detekci horkých pixelů a falešných středů, které by se mohly detekovat kvůli nedokonalému odhadu úrovně pozadí. 8.2.2 Praktické poznatky Astrometrii (měření pozic hvězd) komplikovanějších hvězdných polí, jako jsou například kulové hvězdokupy, je výhodnější uskutečňovat metodou založenou na à trous algoritmu výpočtu vlnkové transformace, než za stejným účelem použít konvenční detekční algoritmy popsané v [20, 21, 22]. Kvůli Obrázek 18: Příklad detekce hvězdných objektů uprostřed kulové hvězdokupy M5 konvenčním algoritmem (vlevo) a metodou založenou na à trous rozkladu obrazu (vpravo) Obrázek 19: Výřez širokoúhlého snímku (vlevo), detekce hvězdných objektů konvenčním algoritmem (uprostřed) a metodou založenou na à trous rozkladu obrazu (vpravo) 9 Závěr Tento článek pojednává o problematice týkající se moderního nástroje pro zpracování signálů - vlnkové transformace. Autoři popsali základní vlastnosti a druhy této transformace, z čehož následně odvodili důvody pro její využití v takových oblastech, jako je komprese, kódování, odšumování, doostření signálů a dalších. Velice podrobně byly popsány dvě oblasti, a to odstranění šumu a detekce objektů umístěných v obraze, vysvětlily se metody používající se za zmíněnými účely. Autoři navíc srovnali účinnost popsaných algoritmů na testovacích obrazcích reprezentujících typické multimediální a astronomické snímky. Poděkování Tento článek byl napsán v rámci projektu studentské grantové soutěže ČVUT Pokročilé algoritmy pro zpracování a analýzu vědeckých obrazových dat číslo SGS13/212/OHK3/3T/13. Na tomto místě by autoři chtěli poděkovat Astronomickému a Fyzikálnímu ústavu Akademie Věd ČR za poskytnutí testovacích astronomických snímků. 245

Literatura [1] MALLAT, S. G. A Theory for Multiresolution Signal Decomposition: The Wavelet Representation. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, July 1989, vol. 11, no. 7. [2] MALLAT, S. G. A Wavelet Tour of Signal Processing. 3rd ed., Academic Press, 2008. [3] GONZALEZ, R. C.; WOODS R. E. Digital image processing. Prentice Hall, 2007. [4] GADRE, V. M. Wavelet lecture / Tutorial review. [online]. Přednáškové materiály. [cit. 2013-05-27]. Dostupné z WWW: http://www.ee.iitb.ac.in/uma/~pawar/wavelet_ chapters.html. [5] BOVIK, A. Handbook of Image and Video Processing. Elsevier Academic Press, New York, 2005. [6] SMEKAL, Z., VICH, R.: Čislicove filtry. Academia, Praha, 2000. [7] VAIDYANATHAN, P. P.: Multirate Systems and Filter Banks. Prentice hall P T R, Englewood Cliffs, New Jersey, 1993. [8] ANISIMOVA, E. Metody zpracování a analýzy astronomických obrazových dat. Diplomová práce, ČVUT v Praze, Fakulta elektrotechnická, Katedra radioelektroniky, 2011. [9] STARCK, J. L.; MURTAGH, F. Astronomical Image and Data Analysis. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2002. [10] STARCK, J. L.; MURTAGH, F.; BIJAOUI, A. Image Processing ans Data Analysis: The Multiscale Approach. Cambridge University Press, 1998. [11] ANISIMOVA, E.; PÁTA, P.; BLAŽEK, M. Stellar Object Detection Using the Wavelet Transform. Acta Polytechnica. Vol. 51, no. 6, 2011. [12] STRANG, G.; NGUYEN, T. Wavelets and Filter Banks. Wellesley-Cambridge Press, Wellesley, MA, 1996. [13] KOTHER MOHIDEEN, S.; ARUMUGA PERUMAL, S.; MOHAMED SATHIK, M. Image denoising using Discrete Wavelet transform. IJCSNS International Journal of Computer Science and Network Security. Vol.8, no.1, January 2008. [14] AVERBUCH, A.; LAZAR, D.; ISRAELI, M. Image Compression Using Wavelet Transform and Multiresolution Decomposition. IEEE TRANSACTION ON IMAGE PROCESSING. January 1996, vol. 5, no. 1. [15] SHAPIRO, J. Embedded image coding using zerotrees of wavelet coefficients. IEEE Transactions on Signal Processing. December 1993, vol. 41, no. 12. [16] ARIVAZHAGAN, S.; GANESAN, L. Texture classification using zavelet transform. Pattern Recognition Letetrs. June 2003, vol. 24, no. 9, pp. 1513-1521. [17] ŠVIHLÍK,J. Advanced techniques for image noise suppression. Disertační práce, ČVUT v Praze, Fakulta elektrotechnická, Katedra radioelektroniky, 2008. [18] DONOHO, D. L.; JOHNSTONE, I. M. Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage. Biometrika. September 1994, vol. 81, pp. 425-455. [19] ANISIMOVA, E.; PÁTA, P.; FLIEGEL, K.; KLÍMA, M. Comparison of the astronomical and multimedia image quality criteria. Photonics Europe 2012: Optical Engineering, Imaging and Applications. Washington: SPIE - The International Society for Optical Engineering, 2012, pp. 843604-1-843604-8. [20] DAOPHOT - Stellar Photometry Package [online]. Webové stránky programového balíku. [cit. 2013-05-02]. Dostupné z WWW: http://www.star.bris.ac.uk/~mbt/ daophot/. [21] JARVIS, J. F; TYSON, J. A. FOCAS: Faint Object Classification and Analysis System. The Astronomical Journal. March 1981, vol. 86, no. 3. [22] STETSON, Peter B. DAOPHOT: A computer program for crowded-field stellar photometry. Publications of the Astronomical Society of the Pacific. March 1987, 99, pp. 191-222. 246