MASARYKOVA UNIVERZITA

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ŘEŠITELNÉ GRUPY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Brno 2006 Martin Štoudek

Prohlašuji, že tato práce je mým původním autorským dílem, které jsem vypracoval samostatně. Všechny zdroje, prameny a literaturu, které jsem při vypracování používal nebo z nich čerpal, v práci řádně cituji s uvedením odkazu na příslušný zdroj. V Brně 24.5.2006 Martin Štoudek ii

Úvod Tento text by měl čtenáře uvést do problematiky řešitelných grup. U čtenáře se předpokládá základní znalost teorie grup v rozsahu 1. části publikace Rosický, J.: Algebra. Brno, Masarykova univerzita v Brně, 2002. Obsah práce vychází z Alperin, J. L. - Bell, Rowen B.: Groups and representations, New York, Springer-Verlag, 1995.. Tento text je rozdělen do čtyř částí. V první části jsou připomenuty základní pojmy, následuje seznámení s kompozičními a subnormálními řadami, jejichž znalost je potřebná k zavedení řešitelných grup. Text je zakončen řešenými příklady. Rád bych tímto poděkoval prof. RNDr. R. Kučerovi, DrSc. za jeho připomínky, opravu chyb a usměrnění při psaní práce. iii

Obsah Úvod iii 1 Základní pojmy 2 1.1 Grupy................................... 2 1.2 Homomorfismus grup........................... 3 1.3 p-grupy.................................. 9 2 Normální struktura 12 2.1 Kompoziční řady............................. 12 2.2 Subnormální řady............................. 15 3 Řešitelné grupy 19 3.1 Řešitelné grupy.............................. 19 3.2 Nilpotentní grupy............................. 24 4 Cvičení 27 4.1 Charakteristické podgrupy........................ 27 4.2 Nilpotentní grupy............................. 29 4.3 Řešitelné grupy.............................. 30 4.4 Jordan-Hölderova věta.......................... 31 1

Kapitola 1 Základní pojmy V této kapitole si připomeneme některé základní pojmy a tvrzení, které budeme potřebovat v následujících kapitolách. U některých vět nebudeme uvádět důkazy, neboť byly již obsahem skripta [4]. 1.1 Grupy Grupu (G, ) budeme stručně značit pouze symbolem G, jednotkový (neutrální) prvek grupy G značit symbolem 1 a inverzní prvek k prvku x budeme označovat x 1. Pokud H bude podgrupou grupy G, bude v dalším textu použito označení H G, bude-li navíc platit H G, můžeme psát H < G a podgrupu H budeme nazývat vlastní podgrupou grupy G. Součin dvou prvků x y budeme často zapisovat jako xy. Triviální podgrupu grupy G budeme stručně značit 1. Z textu bude vždy patrné, jedná-li se o triviální podgrupu nebo jednotkový prvek. Připomeňme, že pro každé n N budeme zápisem x n (resp. x n ) označovat součin x x x (resp. x 1 x 1 x 1 ), ve kterém se prvek x vyskytuje n-krát. Definice 1.1. Nechť x, y G. Pokud platí xy = yx, pak říkáme, že prvky x, y komutují. Komutátor prvků x, y definujeme jako prvek [x, y]=xyx 1 y 1. Grupa G se nazývá abelovská (nebo též komutativní), jestliže všechny dvojice prvků z G komutují. 2

1.2. HOMOMORFISMUS GRUP KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Vidíme tedy, že prvky x, y komutují [x, y] = 1. Definice 1.2. Nechť G je grupa. Množina C(G) = {g G gx = xg pro každé x G} se nazývá centrum grupy G. Definice 1.3. Nechť X, Y jsou podmnožiny v grupě G. Pak součin X a Y označujeme XY a definujeme XY = {xy x X, y Y } G. Inverzi k X definujeme jako množinu X 1 = {x 1 x X} G. Definice 1.4. Nechť G je grupa, H její podgrupa. H se nazývá normální podgrupa grupy G, značíme H G, jestliže a h a 1 H pro každé a G, h H. Věta 1.5. Nechť H, K jsou podgrupy G. Jestliže K G, pak platí HK G a H K H. Pokud také H G, pak HK G a H K G. Grupu permutací na n-prvkové množině budeme označovat S n. Alternující grupu všech sudých permutací n-prvkové množiny označujeme A n. Příklad 1.6. Uvažme množinu H = {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} A 4. H je normální podgrupou A 4. Tato grupa H se nazývá Kleinova 4-grupa. Kleinova 4-grupa je nejmenší necyklická grupa. 1.2 Homomorfismus grup Definice 1.7. Nechť G, H jsou grupy. Zobrazení ϕ : G H splňující ϕ(a) ϕ(b) = ϕ(a b) 3

1.2. HOMOMORFISMUS GRUP KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY pro libovolné a, b G se nazývá homomorfismus grupy G do H. Množina ker ϕ = {x G ϕ(x) = 2} se nazývá jádro homomorfismu ϕ. Bijektivní homomorfismus ϕ : G H se nazývá izomorfismus. Grupy G, H se nazývají izomorfní, pokud mezi nimi existuje izomorfismus (zapisujeme G = H). Homomorfismus ϕ : G G se nazývá endomorfismus. Bijektivní homomorfismus ϕ : G G se nazývá automorfismus. Množinu všech automorfismů grupy G značíme Aut(G). Věta 1.8. Nechť ϕ : G H je homomorfismus. Pak ker ϕ je normální podgrupa grupy G. Definice 1.9. Dva prvky x, y G se nazývají konjugované, jestliže existuje nějaký prvek g G takový, že y = gxg 1. Jsou-li H, K G, pak K a H jsou konjugované, jestliže pro nějaké g G platí K = ghg 1. Věta 1.10. Nechť G je grupa, a G. Definujeme zobrazení ρ a : G G vztahem ρ a (x) = a x a 1 pro libovolné x G. Pak ρ(a) je automorfismus. Důkaz. Nejprve dokažme, že ρ a je homomorfismus. Pro libovolné prvky x, y G platí ρ a (x) ρ a (y) = a x a 1 a y a 1 = a x y a 1 = ρ a (x y). Dále dokážeme, že zobrazení je injektivní. Předpokládejme tedy, že ρ a (x) = ρ a (y) a dokažme, že x = y. Pak tedy a x a 1 = a y a 1, po vynásobení zleva prvkem a 1 a zprava prvkem a dostáváme x = y. Podobně najdeme vzor pro každý prvek z G, kterým je prvek x = a 1 z a. Definice 1.11. Zobrazení ρ a z předchozí věty se nazývá vnitřní automorfismus. Definice 1.12. Buď G grupa, H její podgrupa, a G. Množinu a H = {a h h H} nazýváme levá třída grupy G podle podgrupy H (určená prvkem a). 4

1.2. HOMOMORFISMUS GRUP KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Připomeňme, že množina G/H všech levých tříd grupy G podle podgrupy H tvoří rozklad množiny G. Počet levých tříd grupy G podle H se nazývá index podgrupy H a značíme jej G/H. Je-li H normální podgrupa G, pak na G/H lze definovat operaci pomocí reprezentatnů. Vzhledem k této operaci je G/H grupa a nazývá se faktorová grupa grupy G podle podgrupy H. Definice 1.13. Nechť G je grupa a N G. Zobrazení ϕ : G G/N definované ϕ(x) = xn pro každé x G se nazývá přirozená projekce. Věta 1.14 (Hlavní věta o homomorfismech). Nechť G, H jsou grupy a ϕ : G H homomorfismus. Pak existuje izomorfismus ψ : G/K ϕ(g) takový, že ϕ = ψ η, kde K = ker ϕ a η : G G/K je přirozená projekce. Definice 1.15. Nechť ϕ je automorfismus grupy G a H její podgrupa. Říkáme, že ϕ nechá H na místě, jestliže ϕ(h) = H. Definice 1.16. H se nazývá charakteristická podgrupa grupy G, pokud ji každý automorfismus grupy G nechá na místě. Věta 1.17. Každá charakteristická podgrupa grupy G je normální podgrupa grupy G. Důkaz. Plyne z toho, že množina automorfismů zahrnuje i vnitřní automorfismus. Obrácená věta, že každá normální podgrupa je charakteristická, neplatí, což lze ukázat na dvojprvkové podgrupě Kleinovy 4-grupy. Definice 1.18. Nechť G 1, G 2,..., G n jsou grupy. Pak grupa (G 1 G 2... G n, ), kde oprace je definovaná po složkách, se nazývá přímý součin grup G 1, G 2,..., G n. Definice 1.19. Nechť X je podmnožina grupy G. Symbolem X označíme průnik všech podgrup grupy G obsahujících množinu X. Množina X je nejmenší podgrupa grupy G taková, že obsahuje množinu X. Grupa X se nazývá podgrupa generovaná množinou X. Množina X se nazývá množina generátorů grupy X. 5

1.2. HOMOMORFISMUS GRUP KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Definice 1.20. Komutátorová podgrupa grupy G je podgrupa G, která je generovaná množinou všech komutátorů grupy G (tj. G = {[x, y] x, y G} ). Přímo z definice vidíme, že G je abelovská G = 1. Je také zřejmé, že pokud H G, pak také H G. Důležité je si uvědomit, že G neobsahuje pouze komutátory prvků z G. Věta 1.21. Jestliže K je charakteristická podgrupa grupy H a H je charakteristická podgrupa grupy G, pak také K je charakteristická podgrupa grupy G. Důkaz. Nechť ϕ je automorfismus grupy G, pak zúžení ϕ na podgrupu H leží v Aut(H), protože H je charakteristická v G. Odsud zúžení zobrazení ϕ na K leží v Aut(K), protože K je charakteristická v H. Každý automorfismus grupy G tedy ponechává K na místě. Věta 1.22. Komutátorová podgrupa G grupy G je charakteristickou podgrupou v G. Důkaz. Nechť ϕ je automorfismus grupy G. Pak ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)] pro všechny x, y G. Pokud g G, pak g je součinem komutátorů. To samé platí i pro ϕ(g), proto ϕ(g) G. Tedy ϕ(g ) G. Stejnými argumenty dostáváme, že ϕ 1 (G ) G, odsud získáme vztah G = ϕ(ϕ 1 (G )) ϕ(g ). Tedy ϕ(g ) = G. Věta 1.23 (První věta o izomorfismu). Nechť G je grupa. Jestliže N G a H G, pak HN/N = H/H N Důkaz. Vezmeme-li přirozenou projekci ϕ : H HN/N, což je surjektivní homomorfismus z H HN/N. Nechť h 0 n 0 N je libovolný prvek z HN/N; protože n 0 N dostáváme h 0 n 0 N = h 0 N a ϕ(h 0 ) = h 0 N. Nyní ker ϕ = {h H ϕ(h) = N} = {h H hn = N} a pokud hn = N, musí platit h N. Proto ker ϕ = {h H h N} = H N. 6

1.2. HOMOMORFISMUS GRUP KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Jelikož ϕ(h) = HN/N a ker ϕ = H N, podle hlavní věty o homomorfismech vidíme, že H N je normální podgrupa grupy H a existuje přirozený izomorfismus mezi H/(H N) a HN/N. Věta 1.24 (O korespondenci). Nechť G je grupa a N G. Pak existuje bijektivní zobrazení mezi množinou G(N) podgrup grupy G obsahujících N a množinou podgrup grupy G/N zobrazující A A/N. Navíc pro A, B G(N) platí: (1) A B A/N B/N. (2) A B B/A = (B/N)/(A/N). (3) A G (A/N) (G/N). Důkaz. Nejprve musíme dokázat, že zobrazení A A/N je bijektivní. Nechť ϕ je zobrazení takové, že ϕ(a) A/N. Předpokládejme, že A/N B/N, pak pro všechny a A platí an = bn pro nějaké b B a tedy b 1 a N B. Proto A B. Odtud dostaneme, že z A/N = B/N plyne A = B, a ϕ je tedy injektivní. Nyní předpokládejme, že S je podgrupa grupy G/N a φ : G G/N definované φ(g) = gn. Pak φ 1 (S) = {s G sn S} je podgrupa grupy G obsahující N a ϕ(φ(s)) = {sn sn S} = S, což dokazuje, že ϕ je bijektivní. Nyní dokážeme vlastnosti zobrazení: (1) A B A/N B/N. Pokud A B, pak zřejmě A/N B/N. Obrácená implikace byla dokázána výše. (2) A B B/A = (B/N)/(A/N) Nechť ψ : B/A (B/N)/(A/N) je zobrazení takové, že ψ(ba) = (bn)(a/n) pro b B. Pak ψ je definované korektně a injektivní, neboť b 1 A = b 2 A b 1 1 b 2 A (b 1 N) 1 (b 2 N) = b 1 1 b 2 N A/N (b 1 N)(A/N) = (b 2 N)(A/N). ψ je surjektivní, protože (bn)(a/n) má vzor ba B/A. (3) A G (A/N) (G/N) Předpokládejme, že A G. Pak pro každé g G máme (gn)(a/n)(gn) 1 = (gag 1 )/N = A/N 7

1.2. HOMOMORFISMUS GRUP KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY a tedy (A/N) (G/N). Nyní předpokládejme (A/N) (G/N). Nechť σ je složení projekcí na faktorgrupu G G/N a G/N (G/N)(A/N). Pak pro libovolné g G je σ(g) = (gn)(a/n) a platí g ker σ (gn)(a/n) = (A/N), což nastane právě když gn A/N, tedy právě když gn = an pro nějaké a A, a to je ekvivalentní s g AN = A. Tedy A je jádro homomorfismu σ, proto je A normální podgrupa grupy G. Věta 1.25 (Druhá věta o izomorfismu). Nechť H, K jsou normální podgrupy grupy G. Pokud K H, pak G/H = (G/K)/(H/K). Důkaz. Aplikací věty o korespondenci, vezmeme-li přirozenou projekci ϕ : G G/K. Věta 1.26. Nechť G je grupa a N G. Pak G/N je abelovská G N. Důkaz. Pro každé x, y G platí [xg, yg ] = [x, y]g = G ; komutátorová grupa grupy G/G je triviální a tedy G/G je abelovská. Nechť N G. Pokud G N, pak podle druhé věty o izomorfismu G/N je izomorfní s faktorovou grupou abelovské grupy G/G a proto je abelovská. Obráceně, pokud G/N je abelovská, pak pro každé x, y G platí (xn)(yn) = (yn)(xn) a proto [x, y] N, z čehož dostáváme G N. Nechť H 1,..., H n jsou podgrupy grupy G takové, že: (1) H i G pro každé 1 i n. (2) Každý prvek g G má jediné vyjádření tvaru g = h 1 h n, kde h i H i pro každé i. Z podmínek (1) a (2) vyplývají následující tvrzení: (3) G = H 1 H n. (4) H i H 1 H i 1 H i+1 H n = 1 pro každé i. (5) Pokud i j, pak prvky H i komutují s prvky H j. (6) Pokud g = h 1 h n a g = h 1 h n, kde h i, h i H i pro každé i, pak gg = (h 1 h 1) (h n h n). Uvedeme si důkaz tvrzení (5). 8

1.3. P -GRUPY KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Důkaz. Nechť i j. Pak pro libovolné a H i, b H j platí c = ba 1 b 1 H i, neboť H i G, d = aba 1 H j, vždyť i H j G. Pak aba 1 b 1 = ac = db 1. Ovšem ac H i, db 1 H j a H i H j = 1. Proto d = b, tj. ab = ba. Vidíme tedy, že existuje izomorfismus z G do přímého součinu H 1... H n zobrazující H i na 1... H i... 1. Proto G nazýváme přímým součinem jeho podgrup H 1,..., H n a můžeme psát G = H 1... H n. Je důležité si uvědomit, že pokud platí (1), pak (2) platí právě tehdy, když platí (3) a (4). Nyní si ukážeme užitečné tvrzení o přímém součinu. Věta 1.27. Nechť G je grupa s normálními podgrupami H, K taková, že G = HK. Pak G/H K = H/H K K/H K. Důkaz. Všimněme si nejprve, že L = H K je normální v G podle věty 1.5. Z věty o korespondenci vidíme, že H/L a K/L jsou normální podgrupy grupy G/L a že (H/L) (K/L) je triviální. Podle předchozího odstavce stačí ukázat, že G/L = (H/L)(K/L). Nechť g G. Pak g = hk pro nějaké h H a k K, protože G = HK. Tedy gl = hkl = hlkl (H/L)(K/L), což jsme podle předchozího odstavce potřebovali dokázat. Definice 1.28. Netriviální grupa G se nazývá jednoduchá, jestliže 1 a G jsou její jediné normální podgrupy. 1.3 p-grupy Definice 1.29. Nechť G je grupa a p prvočíslo. Říkáme, že G je p-grupa, jestliže je řádu p k pro nějaké k N. Pokud H G a řád H je p l pro nějaké l N, pak H nazýváme p-podgrupou grupy G. Podgrupa H grupy G se nazývá p-sylowská podgrupa, jestliže řád H je roven p n, kde n N je největší číslo takové, že p n dělí řád grupy G. 9

1.3. P -GRUPY KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY Důkaz následujících tří vět, který vyžaduje studium akce grupy na množině, nebudeme uvádět, neboť by se rozsah textu neúměrně zvýšil a pro hlavní téma této práce - řešitelné grupy - není studium akcí grupy nezbytné. Věta 1.30 (Sylowova). Nechť p je libovolné prvočíslo dělící řád grupy G. Pak: (1) G má alespoň jednu p-sylowskou podgrupu. (2) Všechny p-sylowské grupy jsou konjugované. (3) Každá p-podgrupa grupy G je podgrupou p-sylowské podgrupy. (4) Pro počet r p-sylowských podgrup v grupě G platí r 1(modp). Důkaz. Lze nalézt v [1], str. 64, důkaz tvrzení (4) - a tedy i (1) - je též v [4], str. 51. Věta 1.31. Nechť G je p-grupa. Pak C > 1. Důkaz. Lze nalézt v [4], str. 54, ale i v [1] str. 73. Věta 1.32. Počet p-sylowských podgrup grupy G dělí G /p n, kde n N je největší číslo takové, že p n dělí G. Důkaz. Lze nalézt v [1], str. 66. Věta 1.33. Jednoduchá p-grupa má prvočíselný řád. Důkaz. Protože p-grupa má netriviální centrum, pak pokud je jednoduchá, musí být rovna svému centru a je tedy komutativní. Z toho, že je jednoduchá a komutativní tedy dostáváme, že musí mít prvočíselný řád. Věta 1.34. A 5 je jednoduchá. Důkaz. Řád grupy A 5 je roven A 5 = 5!/2 = 60 = 2 2 3 5. Podle Sylowovy věty a důsledku 1.32 platí, že počet 5-Sylowských podgrup grupy A 5 dělí 60/5 = 12 a je kongruentní s 1 modulo 5. Protože každý cyklus délky 5 generuje 5-Sylowskou podgrupu, je zřejmé, že tento počet není 1. Grupa A 5 má tedy šest 5-Sylowských podgrup. Ale žádné takové dvě podgrupy nemohou mít společný prvek řádu 5, takže 10

1.3. P -GRUPY KAPITOLA 1. ZÁKLADNÍ POJMY A 5 má 6 (5 1) = 24 prvků řádu 5. Podobně může A 5 mít 1, 4 nebo deset 3- Sylowských podgrup. Podle výčtu těchto prvků zjistíme, že tento počet je větší než 4. V důsledku má A 5 tedy 10 (3 1) = 20 prvků řádu 3. Nechť 1 i 5 a {a, b, c, d} je doplněk prvku {i} v množině {1, 2, 3, 4, 5} a nechť V i = {id, (a, b) (c, d), (a, c) (b, d), (a, d) (bc)}. Vidíme, že každá množina V i je 2-Sylowskou podgrupou v A 5 a pokud i j, pak V i V j = id. Rozepsáním vidíme, že ρv i ρ 1 = V ρ(i) pro každé ρ A 5. Nyní z (2) Sylowovy věty vyplývá, že V 1,..., V 5 jsou jediné 2-Sylowské podgrupy v A 5. To také znamená, že A 5 má 5 (4 1) = 15 prvků řádu 2 a že každý prvek řádu 2 je konjugovaný s nějakým jiným prvkem řádu 2. Předpokládejme nyní, že N je vlastní normální podgrupa v A 5 a nechť n = N 30. Nechť 5 n. Pak N obsahuje 5-Sylowskou podgrupu. Ale N je normální v G, takže N také obsahuje všechny podgrupy konjugované s touto 5-Sylowskou podgrupou a proto také všech šest 5-Sylowských podgrup grupy A 5. Podrobněji, N obsahuje 24 prvků řádu 5, což znamená, že n = 30. Nyní 3 30, takže N obsahuje 3-Sylowskou podgrupu, ale tudíž všech deset 3-Sylowských podgrup. Takže N obsahuje 20 prvků řádu 3, což je spor. Nechť tedy 5 30, což znamená n 12. Pokud 3 n, pak dostáváme, že N obsahuje 20 prvků řádu 3, což je ve sporu. Tedy n = 1, 2 nebo 4. Pokud n = 4, pak N je 2-Sylowská podgrupa grupy A 5 a v A 5 existují další 4 podgrupy s ní konjugované, což je spor s tím, že N je normální podgrupa. Všimněme si ale, že každý prvek řádu 2 je konjugovaný s nějakým jiným prvkem, což znamená, že A 5 nemůže mít normální podgrupu řádu 2. Tedy n = 1 a A 5 je jednoduchá. Definice 1.35. Elementární abelovská grupa je součinem několika kopií téže grupy o prvočíselném počtu prvků. Je to tedy p-grupa pro nějaké prvočíslo p, která je komutativní a v níž všechny prvky (s výjimkou neutrálního) mají týž řád p. 11

Kapitola 2 Normální struktura V této kapitole budeme zkoumat grupy z hlediska klesajících řad podgrup dané grupy, jejichž každý člen je normální podgrupou v grupě nebo menší než předcházející člen. 2.1 Kompoziční řady Definice 2.1. Řada podgrup G = G 0 > G 1 >... > G r = 1 grupy G se nazývá kompoziční řada G, jestliže G i+1 G i pro každé i a současně každá faktorová grupa sousedních členů kompoziční řady G i /G i+1 je jednoduchá (dále jen faktorgrupa sousedů). Faktorgrupy sousedů kompoziční řady se nazývají kompoziční faktory řady. Obecně, grupa se nazývá kompoziční faktor grupy G, jestliže je izomorfní s kompozičním faktorem nějaké kompoziční řady G. Příklad 2.2. Grupa S 5 má normální podgrupu A 5, která je jednoduchá. Protože S 5 /A 5 = Z2 je také jednoduchá, dostáváme že S 5 > A 5 > 1 je kompoziční řada grupy S 5. Definice 2.3. Pokud N G a neexistuje jiná vlastní normální podgrupa H grupy G taková, že N H, pak se N nazývá maximální normální podgrupa grupy G. 12

2.1. KOMPOZIČNÍ ŘADY KAPITOLA 2. NORMÁLNÍ STRUKTURA Každá netriviální konečná grupa má maximální normální podgrupu. S použitím věty o korespondenci dostáváme, že N je maximální normální podgrupa G G/N je jednoduchá. Maximální podgrupa, která je normální, je zřejmě maximální normální podgrupa, ale maximální normální podgrupa nemusí být maximální podgrupa, neboť může být obsažena ve vlastní podgrupě, která není normální. Věta 2.4. Konečná grupa má kompoziční řadu. Důkaz. Nechť G je grupa. Použijeme indukci vzhledem k řádu G. Jestliže G je jednoduchá, pak G > 1 je kompoziční řada G. Pokud G není jednoduchá, tak má maximální normální podgrupu G 1, která má podle indukčního předpokladu kompoziční řadu G 1 > G 2 >... > G r = 1. Poněvadž G/G 1 je jednoduchá, znamená to, že G = G 0 > G 1 >... > G r = 1 je kompoziční řada G. Nekonečná grupa nemusí mít kompoziční řadu. Například netriviální podgrupa nekonečné cyklické grupy Z je izomorfní se Z; protože Z není jednoduchá, Z nemá žádnou jednoduchou podgrupu a odsud dostáváme, že nemůžeme sestrojit kompoziční řadu v Z, protože poslední netriviální prvek takové řady musí být jednoduchá podgrupa v Z. Věta 2.5. Nechť G je grupa s kompoziční řadou a N G. Pak N má kompoziční řadu. Důkaz. Nechť G = G 0 > G 1 >... > G r = 1 je kompoziční řada grupy G a nechť N i = N G i pro každé i, takže máme řadu N = N 0 N 1... N r = 1 podgrupy N. Zvolme pevné i. Vidíme, že N i+1 N i, a protože N G i+1 = (N G i ) G i+1, získáváme podle 1. věty o izomorfismu N i /N i+1 = (N G i )/(N G i+1 ) = (N G i )G i+1 /G i+1. Nechť η : G i G i /G i+1 je přirozená projekce, pak (N G i )G i+1 /G i+1 = η(n G i ) η(g i ) = G i /G i+1 13

2.1. KOMPOZIČNÍ ŘADY KAPITOLA 2. NORMÁLNÍ STRUKTURA a proto N i /N i+1 je izomorfní s normální podgrupou jednoduché grupy G i /G i+1. Proto také N i = N i+1 nebo N i /N i+1 = Gi /G i+1 je jednoduchá, získáme tedy kompoziční řadu grupy N odstraněním jakýchkoliv opakování z řady N = N 0 N 1... N r = 1. Definice 2.6. Nechť G = G 0 > G 1 >... > G r = 1, H = H 0 > H 1 >... > H r = 1 jsou dvě kompoziční řady stejné délky r. Tyto řady se nazývají ekvivalentní, jestliže existuje permutace ϕ S r taková, že G i 1 /G i = Hϕ(i) 1 /H ϕ(i) pro každé i. Příklad 2.7. Nechť G = x = Z 6, G 1 = x 2, H 1 = x 3 a uvažme dvě kompoziční řady G > G 1 > 1 a G > H 1 > 1. Tyto dvě řady jsou ekvivalentní, protože G/G 1 = H 1 /1 = Z 2 a G 1 /1 = G/H 1 = Z3. Následující věta nám ukáže, že každá grupa má nejvýše jednu kompoziční řadu (další jsou s ní ekvivalentní). V důsledku toho grupa mající kompoziční řadu může být definována jako soubor kompozičních faktorů, proto porozumění těmto faktorům dává možnosti pro zjištění dalších informací o grupách. Protože kompoziční faktory jsou jednoduché grupy, při studiu konečných grup můžeme využít znalosti o konečných jednoduchých grupách. Klasifikace všech konečných grup byla dokončena v roce 1980 po dvou desetiletích usilovné práce mnoha odborníků, což je všeobecně bráno jako korunovační klenot matematiky ve 20. století. Věta 2.8 (Jordan-Hölderova). Nechť G je grupa s kompoziční řadou. Pak každé dvě kompoziční řady z G mají stejnou délku a jsou ekvivalentní. Důkaz. Nechť G = G 0 > G 1 >... > G r = 1 a G = H 0 > H 1 >... > H s = 1 jsou dvě kompoziční řady grupy G. Větu dokážeme indukcí vzhledem k délce jedné z kompozičních řad r. Je-li r = 1, pak G je jednoduchá a G > 1 je dokonce jediná kompoziční řada G. Nechť r > 1 a předpokládejme, že tvrzení platí pro každou grupu s kompoziční řadou délky menší než r. Pokud G 1 = H 1, pak G 1 má dvě kompoziční řady délky r 1 a s 1 a podle indukčního předpokladu vidíme, že r = s a tyto dvě kompoziční řady jsou ekvivalentní. 14

2.2. SUBNORMÁLNÍ ŘADY KAPITOLA 2. NORMÁLNÍ STRUKTURA Nechť tedy G 1 H 1. Jelikož G 1 G a H 1 G dostáváme podle věty 1.5 G 1 H 1 G. Ale protože G/G 1 je jednoduchá, nemůže být G 1 H 1 a proto musí být H 1 < G 1 H 1, ale G/H 1 je jednoduchá, což znamená že G 1 H 1 = G. Nechť K = G 1 H 1 G a všimněme si, že G/G 1 = H1 /K a G/H 1 = G1 /K podle 1. věty o izomorfismu. Nyní dostáváme kompoziční řadu K = K 0 > K 1 >... > K t = 1 grupy K podle věty 2.5. Nyní máme dvě kompoziční řady G 1 > G 2 >... > G r = 1 a G 1 > K > K 1 > K 2 >... > K t = 1 grupy G 1. Tyto řady jsou délky r 1 a t + 1. Podle indukčního předpokladu vidíme, že t = r 2 a že tyto řady jsou ekvivalentní. Podobně nyní máme dvě kompoziční řady H 1 > H 2 >... > H s = 1 a H 1 > K > K 1 > K 2... > K r 2 = 1 grupy H 1. Tyto řady jsou délky s 1 a r 1, podle indukčního předpokladu vidíme, že r = s a tyto řady jsou ekvivalentní. Podle izomorfismu faktorgrup z předchozího odstavce dostáváme, že kompoziční řady G = G 0 > G 1 > K >... > K r 2 = 1 a G = H 0 > H 1 > K >... > K r 2 = 1 jsou ekvivalentní. To nyní znamená, že naše dvě původní řady jsou ekvivalentní. 2.2 Subnormální řady Kompoziční řady jsou pouze jedním z mnoha typů řad podgrup, které hrají důležitou roli v teorii grup. Definice 2.9. Řada podgrup G = G 0 G 1... G r = 1 grupy G se nazývá subnormální řada grupy G, pokud platí G i+1 G i pro všechna i. Subnormální řada s vlastností G i G pro každé i se nazývá normální řada grupy G. Kompoziční řady jsou příkladem subnormálních řad, ale subnormální řady mohou mít faktorgrupy sousedů, které nemusí být jednoduché a mohou být i triviální. Dvě subnormální řady se nazývají ekvivalentní, pokud splňují stejné podmínky, jako v definici ekvivalentních kompozičních řad. Definice 2.10. Subnormální řada získaná z dané subnormální řady vsunutím dal- 15

2.2. SUBNORMÁLNÍ ŘADY KAPITOLA 2. NORMÁLNÍ STRUKTURA ších členů se nazývá zjemněním dané subnormální řady. Zjemnění se nazývá vlastní, jestliže nejméně jeden z přidaných členů nebyl členem původní řady. Kompoziční řady jsou tedy subnormální řady, které nemají opakující se členy a nemají vlastní zjemnění. Definice 2.11. Hlavní řada je normální řada grupy G, ve které se členy neopakují, a s vlastností, že mezi dvěma sousedními členy není vlastně obsažena žádná normální podgrupa grupy G. Kompoziční faktory hlavní řady grupy G se nazývají hlavní faktory grupy G. Příklad 2.12. Grupa S 4 má hlavní řadu S 4 > A 4 > V 4 > 1, kde V 4 značí Kleinovu 4-grupu (viz příklad 1.6), její hlavní faktory jsou S 4 /A 4 = Z2, A 4 /V 4 = Z3, V 4 /1 = V 4 = Z2 Z 2. Analogicky kompoziční řada je subnormální řada nemající subnormální řadu jako vlastní zjemnění. Hlavní řada je normální řada nemající normální řadu jako vlastní zjemnění. Definice 2.13. Nechť G je grupa a 1 N G. Pokud neexistuje netriviální normální podgrupa H grupy G taková, že H N, pak se N nazývá minimální normální podgrupa grupy G. Každá netriviální konečná grupa má alespoň jednu minimální normální podgrupu a jednoduchá grupa má jedinou minimální normální podgrupu - sama sebe. Věta 2.14. Konečné grupy mají hlavní řadu. Důkaz. Nechť G je konečná grupa. Dokážeme indukcí vzhledem k řádu G. Pokud G je jednoduchá, pak G > 1 je hlavní řada grupy G. V opačném případě G má vlastní minimální normální podgrupu N. Podle indukčního předpokladu, G/N má hlavní řadu, která je podle věty o korespondenci tvaru G/N = G 0 /N > G 1 /N >... > G r /N = 1, 16

2.2. SUBNORMÁLNÍ ŘADY KAPITOLA 2. NORMÁLNÍ STRUKTURA kde platí G i G pro každé i a žádná normální podgrupa G neleží mezi G i 1 a G i. Nyní vidíme, že G = G 0 > G 1 >... > G r = N > 1 je hlavní řada grupy G, protože N je minimální normální podgrupa G. Podle definice jsou kompoziční faktory konečné grupy jednoduchými grupami. Nyní dokončíme tuto kapitolu skutečnostmi o hlavních řadách konečných grup. Věta 2.15. Nechť G je grupa s hlavní řadou. Pak každý hlavní faktor G je minimální normální podgrupa některé faktorgrupy grupy G. Důkaz. Nechť G = G 0 > G 1 >... > G r = 1 je hlavní řada G, pak z věty o korespondenci dostáváme, že hlavní faktor G i /G i+1 je minimální normální podgrupa grupy G/G i+1. Věta 2.16. Minimální normální podgrupa konečné grupy je přímý součin vzájemně izomorfních jednoduchých grup. Důkaz. Nechť G je konečná grupa a N minimální normální podgrupa grupy G. Nechť N 1 je maximální normální podgrupa v N. Pak je tedy N/N 1 jednoduchá. Nechť N 1, N 2,..., N r jsou všechny podgrupy konjugované s N 1 v grupě G. Protože N G, pak všechny N i jsou maximální normální podgrupy v N. Pokud N i = xn 1 x 1 pro nějaké x G, pak zobrazení N/N 1 do N/N i zobrazující gn 1 do xgx 1 N i je izomorfismus ukazující, že grupy N/N i jsou vzájemně izomorfní. Nyní tedy N i jsou všechny různé podgrupy konjugované s N 1 v G, proto konjugování libovolným prvkem g G permutuje množinu {N 1,..., N r }, proto tedy g(n 1... N r )g 1 = gn 1 g 1... gn r g 1 = N 1... N r. Pak N 1... N r G. Ale N 1... N r < N, tudíž podle minimálnosti N musí být N 1... N r = 1. Ukážeme nyní, že pro každé 1 i r je grupa N/N 1... N i přímým součinem grup izomorfních s N/N 1. Pro i = r bude důkaz hotov. Budeme postupovat indukcí vzhledem k i. Případ i = 1 je zřejmý, nechť tedy i > 1 a tvrzení platí pro i 1. 17

2.2. SUBNORMÁLNÍ ŘADY KAPITOLA 2. NORMÁLNÍ STRUKTURA Pokud N 1... N i 1 N i, pak N 1... N i = N 1... N i 1. Předpokládejme tedy N 1... N i 1 N i, což znamená N i < (N 1... N i 1 )N i N. Musí platit (N 1... N i 1 )N i = N, protože N i je maximální normální podgrupa v N. Nyní dostáváme podle věty 1.27 N/N 1... N i = N 1... N i 1 /N 1... N i N i /N 1... N i. Podle 1. věty o izomorfismu ale platí N 1... N i 1 /N 1... N i 1 N i = (N1... N i 1 )N i /N i = N/N i = N/N1. Podobně také máme N i /N 1... N i 1 N i = (N1... N i 1 )N i /N 1... N i 1 = N/N 1... N i 1, a z indukčního předpokladu dostáváme tvrzení pro i. Důkaz indukcí je hotov a tím i důkaz celé věty. Důsledek 2.17. Hlavní faktor konečné grupy je přímým součinem vzájemně izomorfních jednoduchých grup. Důkaz. Vyplývá přímo z věty 2.15 a 2.16. 18

Kapitola 3 Řešitelné grupy 3.1 Řešitelné grupy Definice 3.1. Pro grupu G definujeme G (0) = G a G (k) = (G (k 1) ) je komutátorová podgrupa grupy G (k 1) pro k N. Pak řada G (0) > G (1) >... se nazývá komutátorová řada grupy G. Protože G (k+1) je charakteristická podgrupa podgrupy G (k) pro každé k podle věty 1.22 vidíme, že podle věty 1.21 je komutátorová řada také normální řadou grupy G. Mimo to, podle věty 1.26 je každá faktorgrupa sousedů G (k) /G (k+1) komutátorové řady abelovská. Definice 3.2. Grupa G se nazývá řešitelná, jestliže její komutátorová řada končí v 1. je 1. Abelovské grupy jsou řešitelné, neboť komutátorová podgrupa abelovské grupy Příklad 3.3. A 5 řešitelná není. A 5 je neabelovská, její komutátorová podgrupa musí být netriviální normální podgrupa grupy A 5. Podle věty 1.34 je A 5 jednoduchá, takže komutátorová grupa grupy A 5 musí být sama A 5, odkud dostáváme, že A (k) 5 = A 5 pro každé k. 19

3.1. ŘEŠITELNÉ GRUPY KAPITOLA 3. ŘEŠITELNÉ GRUPY Definice 3.4. Nechť G je grupa. Pokud G = G, pak se grupa G nazývá perfektní. Všechny neabelovské jednoduché grupy jsou perfektní a tedy i neřešitelné. Perfektní grupa však nemusí být jednoduchá. Řešitelné grupy jsou myšleny jako protiklad k jednoduchým grupám ve smyslu, že jednoduché grupy mají velmi málo normálních podgrup, zatímco řešitelné grupy bývají na normální grupy bohaté. V tomto smyslu tedy existuje velmi málo grup, které jsou zároveň jednoduché a řešitelné, jak také ukazuje následující věta. Věta 3.5. Jednoduchá řešitelná grupa má prvočíselný řád. Důkaz. Nechť G je jednoduchá řešitelná grupa. Protože G je řešitelná, nemůže platit G = G. Grupa G je ale jednoduchá a G G, tedy G = 1, takže G je abelovská. Ale každý nejednotkový prvek jednoduché abelovské grupy musí být generátorem, proto musí taková grupa být konečná a mít prvočíselný řád. Věta 3.6. Následující tvrzení jsou ekvivalentní: 1. G je řešitelná. 2. G má normální řadu, ve které je každá faktorgrupa sousedů abelovská. 3. G má subnormální řadu, ve které je každá faktorgrupa sousedů abelovská. Důkaz. Zřejmě platí (1) (2), neboť komutátorová řada je také normální řadou, (2) (3), neboť normální řada je subnormální řadou, proto nám stačí dokázat pouze (3) (1). Nechť tedy máme subnormální řadu G = G 0 G 1... G r = 1 v níž je každá faktorgrupa sousedů abelovská. Abychom ukázali, že G je řešitelná, musíme ukázat, že G (i) G i pro každé i, pak dostaneme G (r) G r = 1. Budeme postupovat indukcí vzhledem k i. Protože G/G 1 je abelovská, platí podle věty 1.26, že G (1) G 1. Nechť je tedy i > 1 a podle indukčního předpokladu nechť platí G (i 1) G i 1. Pak G (i) = (G (i 1) ) (G i 1 ) a podle věty 1.26 platí (G i 1 ) G i, protože G i 1 /G i je abelovská. Věta 3.7. 1. Je-li G je řešitelná a H G, pak i H je řešitelná. 20

3.1. ŘEŠITELNÉ GRUPY KAPITOLA 3. ŘEŠITELNÉ GRUPY 2. Je-li G řešitelná a N G, pak G/N je řešitelná. 3. Je-li N G a N i G/N jsou řešitelné, pak G je řešitelná. 4. Jsou-li G a H řešitelné, pak i G H je řešitelná. Důkaz. 1. Zřejmé, neboť H (k) G (k) pro všechna k. 2. Podle věty 3.6 v G existuje normální řada G = G 0 G 1... G r = 1 taková, že G i /G i+1 je abelovská grupa pro každé i. Uvažujme nyní řadu G/N = G 0 N/N G 1 N/N... G r N/N = 1 a nějaké pevné i. Protože G i G a N G, dostáváme G i N G a proto G i N/N G/N. Protože také G i N = G i (G i+1 N), platí podle 1. a 2. věty o izomorfismu (G i N/N)/(G i+1 N/N) = G i N/G i+1 N = G i /G i G i+1 N. Nyní podle 2.věty o izomorfismu vidíme, že G i /G i G i+1 N je faktorová grupa abelovské grupy G i /G i+1 a proto je abelovská. Můžeme tedy vytvořit normální řadu grupy G/N, jejíž faktorgrupy sousedů jsou abelovské z čehož dostáváme, že G/N je řešitelná podle věty 3.6. 3. Podle věty 3.6 existují dvě subnormální řady N = N 0 N 1... N r = 1 a G/N = G 0 /N G 1 /N... G s /N = 1 takové, že N i /N i+1 a (G i /N)/(G i+1 /N) = G i /G i+1 jsou abelovské pro každé i. Nyní vidíme, že G = G 0 G 1... G s = N = N 0 N 1... N r = 1 je subnormální řada grupy G mající abelovské faktory sousedů a odtud G je řešitelná podle věty 3.6. 4. 1 H = H je řešitelná normální podgrupa grupy G H, (G H)/(1 H) = G je také řešitelná, což podle části 3. znamená, že G H je řešitelná. 21

3.1. ŘEŠITELNÉ GRUPY KAPITOLA 3. ŘEŠITELNÉ GRUPY Nyní si odvodíme několik ekvivalentních podmínek řešitelnosti grup. Věta 3.8. Nechť G je grupa s kompoziční řadou. Pak G je řešitelná všechny kompoziční faktory grupy G mají prvočíselný řád. Důkaz. Nechť G je grupa s kompoziční řadou. Jsou-li všechny kompoziční faktory grupy G prvočíselného řádu, pak kompoziční řada je subnormální řada mající abelovské faktory sousedů a odsud G je řešitelná podle věty 3.6. Předpokládejme, že G je řešitelná grupa a nechť H/K je kompoziční faktor grupy G, kde K H G. Podle 1. a 2. části věty 3.7 dostáváme, že H/K je řešitelná. Tedy H/K je jednoduchá řešitelná grupa a proto má prvočíselný řád podle věty 3.5. Existují grupy, které nejsou ani řešitelné, ani jednoduché, a které mají neabelovskou podgrupu, která je řešitelná. Takovou grupou je například S 5, která má podgrupu S 3, jejíž kompoziční řada je S 3 > A 3 > 1, proto je řešitelná. Důsledek 3.9. Každá p-grupa je řešitelná. Důkaz. Tvrzení vyplývá z předchozí věty a ze skutečnosti, že všechny kompoziční faktory p-grup jsou jednoduché p-grupy a proto podle věty 1.33 musí mít prvočíselný řád. Věta 3.10. Nechť G je grupa s kompoziční řadou. Pak G je řešitelná G má hlavní řadu a všechny její hlavní faktory jsou elementární abelovské grupy. Důkaz. Nechť G je grupa s kompoziční řadou. Pokud jsou všechny hlavní faktory grupy G elementárně abelovské, pak zjemněním hlavní řady grupy G dostaneme kompoziční řadu grupy G, která má všechny faktorgrupy sousedů prvočíselného řádu. Odtud G je řešitelná podle věty 3.8. Nechť G je řešitelná, pak podle věty 3.8 je konečná a podle věty 2.14 má hlavní řadu. Nechť H/K je hlavní faktor grupy G. Pak K H G. Protože H/K je řešitelná podle (1) a (2) věty 3.7, dostáváme podle věty 3.8, že každý kompoziční 22

3.1. ŘEŠITELNÉ GRUPY KAPITOLA 3. ŘEŠITELNÉ GRUPY faktor grupy H/K je prvočíselného řádu. Podle Důsledku 2.17 je H/K izomorfní s přímým součinem kopií nějaké jednoduché grupy S. Ale pak musí být každý kompoziční faktor H/K izomorfní s S a tedy S má prvočíselný řád. Dostáváme tedy, že H/K je elementární abelovská grupa. Důsledek 3.11. Nechť G je grupa s kompoziční řadou. Pak G je řešitelná G má normální řadu, v níž každá faktorgrupa sousedů je p-grupa. Důkaz. Nechť G je grupa s kompoziční řadou. Předpokládejme, že G má normální řadu, kde faktorgrupy sousedů jsou p-grupy. Tuto normální řadu můžeme zjemnit na hlavní řadu G. Vidíme, že každý hlavní faktor G je faktorgrupou podgrupy p-grupy a tedy sám je p-grupou. Podle důsledku 2.17 každý hlavní faktor je přímým součinem jednoduchých grup a p-grupy, které jsou přímým součinem jednoduchých grup, jsou právě elementární abelovské p-grupy. Z věty 3.10 tedy vyplývá, že G je řešitelná. Vyplývá z věty 3.10. Definice 3.12. Konečné grupy, jejichž všechny hlavní faktory mají prvočíselný řád, se nazývají superřešitelné. Podle věty 3.10 jsou konečné superřešitelné grupy řešitelné. Všechny konečné řešitelné grupy nejsou superřešitelné. Příklad 3.13. Pokud vezmeme řadu z příkladu 2.12 a její hlavní faktory, tak podle věty 3.10 to znamená, že S 4 je řešitelná, ale ne superřešitelná. Několik následujících hlubokých vět si uvedeme bez důkazů, neboť jejich důkaz přesahuje svými možnostmi tento text. Následující věta pro řešitelné grupy zobecňuje Sylowovu větu 1.30. Věta 3.14. Nechť G je konečná řešitelná grupa řádu mn, kde m,n jsou nesoudělná přirozená čísla. Pak platí: 1. G má podgrupu řádu m. 23

3.2. NILPOTENTNÍ GRUPY KAPITOLA 3. ŘEŠITELNÉ GRUPY 2. Každé dvě podgrupy řádu m jsou konjugované. 3. Každá podgrupa, jejíž řád dělí m, je podgrupou některé podgrupy řádu m. Věta 3.15 (Burnsidova věta). Jestliže p a q jsou prvočísla, pak každá grupa řádu p a q b je řešitelná. Burnsidova věta podává nejlepší možný výsledek v tom smyslu, že pokud řád konečné grupy je dělitelný třemi prvočísly, pak nemusí být řešitelná (například A 5 ). Věta 3.16 (Feit-Thompsonova věta). Všechny konečné grupy lichého řádu jsou řešitelné. Tuto větu, která byla dokázána v roce 1960, zformuloval jako hypotézu již v roce 1911 Burnside. Jako důsledek této věty a věty 3.5 dostáváme, že každá jednoduchá grupa lichého řádu je cyklickou grupou prvočíselného řádu. Věta 3.17 (Hallova věta). Nechť G je konečná grupa taková, že pro každá nesoudělná přirozená čísla m, n splňující G = mn existuje podgrupa grupy G řádu m. Pak G je řešitelná. Věta 3.18 (Thompsonova věta). Nechť G je konečná grupa. Pak G není řešitelná existují netriviální prvky x, y, z G, jejichž řády jsou po dvou nesoudělná přirozená čísla, takové, že xy = z. Příklad 3.19. Pomocí této věty lze dokázat, že A 5 není řešitelná. Stačí vzít prvky x = (1, 2, 3, 4, 5), y = (1, 2) (3, 4), z = (1, 3, 5), jejichž řády jsou po řadě 5, 2, 3, které jsou po dvou nesoudělné a platí x = z y. 3.2 Nilpotentní grupy Definice 3.20. Nechť G je grupa. Definujme její k-té centrum C k (G) takto: pro k = 0 definujeme C 0 (G) = 1 a pro každé k N je C k (G) G určena podmínkou C k (G)/C k 1 (G) = C(G/C k 1 (G)). 24

3.2. NILPOTENTNÍ GRUPY KAPITOLA 3. ŘEŠITELNÉ GRUPY Je tedy například C 1 (G) = C(G). Je třeba si promyslet, že C k (G) je skutečně normální podgrupa grupy G. Plyne to z věty o korespondenci a z toho, že C(G/C k 1 (G)) je normální podgrupa grupy G/C k 1 (G). Definice 3.21. Grupa G se nazývá nilpotentní, existuje-li nezáporné celé číslo k tak, že C k (G) = G. Nejmenší k s touto vlastností se nazývá třídou nilpotentnosti grupy G. Nilpotentní grupy třídy 1 jsou právě netriviální abelovské grupy. Definice 3.22. Nechť G je nilpotentní grupa třídy k. Pak řada G = C k (G) > C k 1 (G) >... > C 0 (G) = 1 se nazývá horní centrální řada grupy G. Věta 3.23. Nilpotentní grupy jsou řešitelné. Důkaz. Pokud G je nilpotentní, pak má horní centrální řadu, která je normální řadou s abelovskými faktorgrupami sousedů a proto G je řešitelná podle věty 3.6. Věta 3.24. Nechť P je p-grupa řádu p a. Pak P je nilpotentní grupa. Je-li a > 1, je P třídy nejvýše a 1. Důkaz. Pro každé k 0 je P/C k (P ) faktorgrupou p-grupy, a tedy p-grupa. Podle věty 1.31 je C(P/C k (P )) > 1 a tedy C k+1 (P ) p C k (P ). Zejména C a (P ) p a, tedy C a (P ) = P. Tudíž P je nilpotentní grupa třídy nejvýše a. Pokud pro a > 1 by P byla třídy přesně a, platilo by C k (P ) = p k pro každé k = 0, 1,..., a, odkud P/C a 2 (P ) = p 2. Ovšem pak P/C a 2 (P ) je abelovská (viz [4], věta 10.15 na str. 54) a tedy C a 1 (P ) = P, což je spor. Věta 3.25. Nechť G je konečná grupa. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (1) G je nilpotentní. (2) Každá Sylovská podgrupa grupy G je normální podgrupa grupy G. (3) G je přímým součinem svých Sylovských pogrup. (4) Každá maximální podgrupa grupy G je normální podgrupa grupy G. 25

3.2. NILPOTENTNÍ GRUPY KAPITOLA 3. ŘEŠITELNÉ GRUPY Důkaz. Viz [1], str. 103. Pojem řešitelných grup zavedl kolem roku 1830 Galois v jeho práci o polynomiálních rovnicích. 26

Kapitola 4 Cvičení 4.1 Charakteristické podgrupy Příklad 4.1. Nechť A je komutativní grupa a p prvočíslo. Dokažte, že množina T p (A) těch prvků z A, které mají řád rovný mocnině prvočísla p, je charakteristická podgrupa grupy A. Řešení. Množina T p (A) je opravdu podgrupou grupy A. Jednak je totiž jednotkový prvek řádu 1 = p 0, jednak pro dva prvky a, b A řádů po řadě p m a p n platí (ab 1 ) pk = a pk (b pk ) 1 = 1, kde k značí největší číslo z čísel m, n. V důsledku toho je řád prvku ab 1 dělitelem čísla p k, a je to tedy mocnina prvočísla p. Množina T p (A) je uzavřená na každý automorfismus ϕ : A A. Vskutku, je-li a prvek grupy A řádu n, pak i ϕ(a) má řád n. Z toho plyne, že T p (A) je charakteristickou podgrupou H grupy A. Příklad 4.2. Nechť S a T značí podgrupy grupy G a [S, T ] nechť je podgrupa grupy G, která je generovaná všemi komutátory [s, t], kde s S a t T. Dokažte, že jsou-li S a T charakteristické podgrupy G, pak rovněž [S, T ] je charakteristická podgrupa grupy G. Řešení. Pro každé s S, pro každé t T a pro každý endomorfismus ϕ : G G 27

4.1. CHARAKTERISTICKÉ PODGRUPY KAPITOLA 4. CVIČENÍ máme ϕ([s, t]) = ϕ(sts 1 t 1 ) = (ϕ(s))(ϕ(t))(ϕ(s)) 1 (ϕ(t)) 1 = [ϕ(s), ϕ(t)]. Protože komutátory [s, t] generují grupu [S, T ], generují obrazy ϕ([s, t]) grupu ϕ([s, T ]). Avšak generátory [ϕ(s), ϕ(t)] generují grupu [ϕ(s), ϕ(t )], z čehož plyne rovnost ϕ[s, T ] = [ϕ(s), ϕ(t )]. Představují-li S a T charakteristické podgrupy grupy G, pak ovšem pro každý automorfismus ϕ : G G máme ϕ[s, T ] = [S, T ]. Je tedy i grupa [S, T ] charakteristickou podgrupou grupy G. Příklad 4.3. Dokažte, že v každé grupě platí rovnost [ab, c] = (a[b, c]a 1 )[a, c] = [b, c][[c, b], a][a, c]. Řešení. Pro všechny prvky a, b, c kterékoli grupy platí [ab, c] = abc(ab) 1 c 1 = abcb 1 a 1 c 1, (a[b, c]a 1 )[a, c] = abcb 1 c 1 a 1 aca 1 c 1 = abcb 1 a 1 c 1, a tedy [ab, c] = (a[b, c]a 1 )[a, c]. Také máme [b, c][[c, b], a] = (bcb 1 c 1 )(cbc 1 b 1 a)(cbc 1 b 1 ) 1 a 1 = abcb 1 c 1 a 1 = = a[b, c]a 1. Příklad 4.4. Nechť N G. Ukažte, že každá charakteristická podgrupa C grupy N je normální podgrupou grupy G. 28

4.2. NILPOTENTNÍ GRUPY KAPITOLA 4. CVIČENÍ Řešení. Protože N je normální podgrupa grupy G, každý vnitřní automorfismus grupy G určuje svým zúžením N N automorfismus grupy N. Podgrupa C je uzavřená na tento automorfismus grupy N, neboť je to charakteristická podgrupa grupy N. To ukazuje, že C je uzavřená na každý vnitřní automorfismus grupy G, což znamená, že C je normální podgrupa grupy G. 4.2 Nilpotentní grupy Příklad 4.5. Dokažte, že součin dvou nilpotentních grup je nilpotentní grupa. Řešení. Indukcí ke k dokážeme, že C k (G H) = C k (G) C k (H). Z toho pak vyplyne, že jsou-li G a H nilpotentní grupy po řadě tříd nilpotentnosti m a n, pak G H je grupa, která je nilpotentní třídy q, kde q je rovno maximu čísel m a n. Pro k = 0 je C 0 (G H) = 1 = C 0 (G) C 0 (H). Grupa C k+1 (G H) je definována rovností C k+1 (G H)/C k (G H) = C((G H)/C k (G H)). Prvek (g, h) z G H je v C k+1 (G H) právě tehdy, jestliže pro každé (g, h ) G H platí (g, h)(g, h )(g, h) 1 (g, h ) 1 C k (G H). V důsledku indukčního předpokladu C k (G H) = C k (G) C k (H) se toto přepisuje na tvar gg g 1 g 1 C k (G), hh h 1 h 1 C k (H) (splněno pro každé g G, h H), což je ekvivalentní s g C k+1 (G), h C k+1 (H). Tedy C k+1 (G H) = C k+1 (G) C k+1 (H). Příklad 4.6. Dokažte, že každá grupa C k (G) je charakteristická podgrupa grupy G. Řešení. Indukcí podle k dokážeme, že je-li ϕ : G H homomorfismus grup, pak ϕ(c k (G)) C k (ϕ(g)). Z toho pak vyplyne, že pro každý automorfismus ϕ 29

4.3. ŘEŠITELNÉ GRUPY KAPITOLA 4. CVIČENÍ grupy G platí ϕ(c k (G)) C k (G). To stačí k důkazu, že C k (G) je charakteristickou podgrupou grupy G. Pro k = 0 je ϕ(c 0 (G)) = ϕ(1) = C 0 (ϕ(g)). Pro libovolné k 0 zvolme a C k+1 (G). To znamená, že aba 1 b 1 C k (G) pro každé b G. Zřejmě (ϕ(a))(ϕ(b))(ϕ(a)) 1 (ϕ(b)) 1 ϕ(c k (G)) pro každé b G. S přihlédnutím k indukčnímu předpokladu, že ϕ(c k (G)) C k (ϕ(g)), nám vyplyne ϕ(a) C k+1 (ϕ(g)). Proto ϕ(c k+1 (G)) C k+1 (G). Příklad 4.7. Dokažte, že konečná grupa je nilpotentní právě tehdy, je-li součinem p-grup. Řešení. Každá konečná nilpotentní grupa je podle věty 3.25 přímým součinem svých Sylowových podgrup a Sylowovy podgrupy jsou p-grupami. Je-li obráceně konečná grupa součinem p-grup, jsou tyto p-grupy nilpotentní a každý součin nilpotentních grup třídy nilpotence nejvýše n je nilpotentní grupa třídy nejvýše n. 4.3 Řešitelné grupy Příklad 4.8. Dokažte, že komutátorová grupa G (k) je charakteristickou podgrupou grupy G pro každé k. Řešení. Nechť ϕ : G G je homomorfismus grup. Indukcí podle k dokážeme, že ϕ(g (k) ) = (ϕ(g)) (k). Z toho pak vyplyne, že pro každý automorfismus ϕ grupy G platí ϕ(g (k) ) = G (k), a že tedy G (k) je charakteristická podgrupa grupy G. Pro k = 0 je ϕ(g (0) ) = ϕ(g) = (ϕ(g)) (0). Pro libovolné k 0 je podle cvičení 4.2 ϕ(g (k+1) ) = [ϕ(g (k) ), ϕ(g (k) )]. Z toho podle indukčního předpokladu dostáváme, že ϕ(g (k+1) ) = (ϕ(g)) (k+1). Příklad 4.9. (a) Nechť G je grupa řádu p e, kde p je prvočíslo, přičemž 0 < f < e. Dokažte, že G má podgrupu řádu f. 30

4.4. JORDAN-HÖLDEROVA VĚTA KAPITOLA 4. CVIČENÍ (b) Nechť G je nilpotentní grupa řádu n a nechť m dělí n. Dokažte, že G má podgrupu řádu m. Řešení. (a) Postupujme indukcí podle e a dokažme, že je-li grupa G řádu p e, že pak pro každé celé číslo f, 0 f e, existuje podgrupa řádu p f grupy G. Pro e = 0 a f = 0 je G řádu p f. Pro libovolné e 0 se předně centrum C(G) grupy G neredukuje na jednotkový prvek, což plyne z věty 1.31. V C(G) tedy existuje prvek řádu p. Cyklická podgrupa C generovaná tímto prvkem je normální podgrupou grupy G. Z indukčního předpokladu usuzujeme, že existuje podgrupa grupy G/C řádu p f 1. Tato podgrupa je tvaru H/C, kde H je podgrupa grupy G obsahující C, a má tedy řád p f. (b) Každá konečná nilpotentní grupa je podle věty 3.25 přímým součinem svých Sylowových podgrup. Budiž m = p f 1 1... p f k k rozklad čísla m, v němž p i jsou různá prvočísla. Protože m dělí n, existuje dle (a) pro každé i N podgrupa H i řádu p f i i Sylowovy p i -podgrupy grupy G. Součin H 1 H k je izomorfní s H 1... H k, a je to tedy podgrupa řádu m grupy G. Příklad 4.10. Dokažte, že S 4 je řešitelná grupa. Řešení. Množina {id, (1, 2) (3, 4), (1, 3) (2, 4), (1, 4) (2, 3)} určuje podgrupu V grupy S 4 a je generována permutacemi (1, 2) (3, 4) a (1, 3) (2, 4). Tato podgrupa V je normální, neboť σ((1, i) (j, k))σ 1 = (σ(1), σ(i))(σ(j), σ(k)) pro {i, j, k} {2, 3, 4}, kde σ je libovolná permutace. Grupa V je izomorfní s Kleinovou 4-grupou, je tedy komutativní a tím spíše je řešitelná. Faktorová grupa S 4 /V je řešitelná, neboť je řádu 6 a každá grupa řádu 6 je izomorfní buď s S 3, nebo se Z 6. Protože grupy V a S 4 /V jsou řešitelné, je S 4 rovněž řešitelná. 4.4 Jordan-Hölderova věta Příklad 4.11. Dokažte, že každá cyklická p-grupa má pouze jednu kompoziční řadu. 31

4.4. JORDAN-HÖLDEROVA VĚTA KAPITOLA 4. CVIČENÍ Je-li G konečná grupa řádu n, pak řád každé podgrupy grupy G dělí číslo n. Je-li navíc G cyklická grupa a je-li n = dk, pak existuje právě jedna podgrupa grupy G řádu d, a to G k. V důsledku toho je patrné, že podgrupy cyklické grupy řádu p e tvoří tuto kompoziční řadu: G > G p >... > G pe = 1. Grupa G jiné podgrupy nemá. Proto G má pouze jednu kompoziční řadu, a to tu, kterou jsme výše uvedli. Příklad 4.12. Nalezněte všechny kompoziční řady grupy A 4. Řešení. Grupa A 4 je řádu 12. Nechť H je maximální normální podgrupa grupy A 4. Je-li faktorová grupa A 4 /H řádu 6, pak grupa A 4 /H má normální podgrupu řádu 3. Je tedy H obsažena ve vlastní normální podgrupě grupy A 4 řádu 6. Není-li A 4 /H řádu 6, je A 4 /H komutativní, neboť je řádu 2, 3 nebo 4. Proto H obsahuje komutátorovou podgrupu grupy A 4. Rovnost (1, i, j) (1, i, k) (1, j, i) (1, k, i) = (1, i) (j, k) dokazuje, že komutátorová podgrupa grupy A 4 obsahuje podgrupu V generovanou permutacemi (1, 2) (3, 4), (1, 3) (2, 4) v grupě A 4. Podgrupa V grupy A 4 je normální, neboť pro každou permutaci σ platí σ(1, i) (j, k)σ 1 = (σ(1), σ(i)) (σ(j), σ(k)). Protože V je indexu 3 v grupě A 4, grupa V není obsažena v žádné vlastní normální podgrupě grupy A 4. To dokazuje, že grupa A 4 má jedinou maximální normální podgrupu V, takže má tři kompoziční řady: A 4 > V > (1, 2) (3, 4) > id, A 4 > V > (1, 3) (2, 4) > id, 32

4.4. JORDAN-HÖLDEROVA VĚTA KAPITOLA 4. CVIČENÍ A 4 > V > (1, 4) (2, 3) > id. V tomto přehledu značí (1, i) (j, k) podgrupu grupy A 4 generovanou permutací (1, i) (j, k). 33

Literatura [1] Alperin, J. L. - Bell, Rowen B.: Groups and representations. New York, Springer-Verlag, 1995. [2] Mac Lane, S. - Birkhoff, G.: Algebra. Bratislava, ALFA, 1974. [3] J. Weil a kolektiv: Rozpracovaná řešení úloh z vyšší algebry. Praha, Academia, 1987. [4] Rosický, J.: Algebra. Brno, Masarykova univerzita v Brně, 2002. [5] L. Procházka a kolektiv: Algebra. Praha, Academia, 1990. 34