1 Math50-LS04-2.nb PO ÍTA OVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 5- Vojt ch Bartík ást 2 Dokumenty v prost edí MS Windows Základní prvky jazyka Prom nné, okamžité a odložené p i azení (definice) Používání d ívejších výsledk Relace a logické operace ísla Matematické konstanty Aritmetické operace Elementární funkce N které další funkce Dokumenty v prost edí MS Windows Po uknutí na ikonu programu Mathematica 5 se nejprve spustí tzv. FRONTEND - uživatelské rozhraní, jehož prost ednictvím s programem Mathematica v prost edí MS Windows komunikujeme. Na jeho konfiguraci záleží, zda-li se vlastní program Mathematica, zv. KERNEL, na te do pam ti po íta e ihned nebo až po odeslání prvního p íkazu, kterým m že být také kliknutí na položku "Start Kernel Local" v rolet "Kernel" v nabídkové lišt. P i práci se systémem Mathematica 5 v prost edí MS Windows obvykle vytvá íme dokument, kterému se v tomto systému íká NOTEBOOK. Extenze každého dokumentu je "nb". Uživatelské rozhraní nám po startu nabídne istý dokument nazvaný "Untitled-1", ale m žeme si také vybrat z již existujících dokument. Bu ky a skupiny bun k Základními jednotkou dokumentu je BU KA (CELL). Nová bu ka se otevírá napsáním jakéhokoliv znaku mimo oblast již existujících bun k a má automaticky styl "Input" a atributy "Editable" a "Evaluatable". Bu ky m žeme v p ípad pot eby d lit na menší nebo spojovat ve v tší a také je sdružovat do skupin pomocí p íkaz v okénku "Cell Grouping" rolety "Cell". Zvolíme-li "Automatic Grouping", sdružování do skupin provádí FrontEnd automaticky podle schématu {Title, } {Subtitle, } {Subsubtitle, } {Section, } {Subsection, } } {Subsubsection, {Text, Small Text, {Input, Output}} Každá bu ka a skupina bun k je u pravého okraje obrazovky vyzna ena hranatou závorkou.
Math50-LS04-2.nb 2 Atributy a stylové parametry bu ky Každá bu ka má své ATRIBUTY a STYL. Atributy m žeme specifikovat pomocí p íkaz v okénku "Cell Cell Properties". Styl a r zné parametry stylu m žeme m nit pomocí p íkaz v okénku "Style" rolety "Format", editací stylového archu (Style Sheet), který otev ete kliknutím na položku "Edit Style Sheet" v rolet "Format" a pomocí utility"option Inspector", kterou najdeme v rolet "Format" nabídkové lišty a kterou m žeme otev ít také kliknutím na poslední položku "Preferences" v rolet "Edit". Bu ky, jejichž obsah vidíte na obrazovce, mají atribut "Open". P ítomnost bu ky, které tento atribut odeberete, signalizuje pouze malá závorka u pravého okraje obrazovky. Nap. následující textová bu ka obsahuje stejný text jako tato, ale je uzav ená a proto žádný text nevidíme: Bu ky s atributem "Editable" m žeme editovat, bu ky bez tohoto atributu se editovat nedají a nelze m nit ani jejich atributy a stylové parametry krom atributu "Editable". Bu ky s atributem "Edit Duplicate" p i jakémkoliv pokusu o jejich editaci automaticky produkují editovatelnou kopii. Tento atribut je implicitn nastaven u všech výstupních bun k, tj. u bun k majících styl "Output". Bu ky s atributem "Evaluatable" Mathematica vyhodnocuje, bu ky bez tohoto atributu ignoruje. Bu ky s atributem "Initialization" mohou být vyhodnoceny automaticky p i na ítání dokumentu. Ze styl, které m že bu ka mít, jsou pro nás zatím d ležité pouze "Input" a "Output", jejichž význam je jasný. Každá bu ka mající styl "Input" má automaticky atribut "Evaluatable". Z obsahu vstupní bu ky Mathematica ignoruje pouze text za ínající znakem (* a kon ící znakem *). Chceme-li zjistit, jaké atributy, styl a stylové parametry bu ka má, ozna íme ji kliknutím na její závorku a podíváme se do p íslušných okének: atributy, styl a stylové parametry bu ky jsou v t chto okéncích zaškrtnuty. Podobn postupujeme, chceme-li n které atributy bu ky zm nit. Atribut "Active" aktivuje n které prvky bu ky, jako jsou nap. tla ítka, palety a hyperlinky. Nap. následující dv bu ky obsahují totéž tla ítko Expand Expand První bu ka je neaktivní, a proto po kliknutí na tla ítko v ní obsažené se nic ned je. Druhá bu ka je aktivní a proto kliknutí na ni okopíruje její obsah na místo, kde se nachází kurzor. Aktivní elementy bu ky nelze editovat, pokud má bu ka atribut "Active". U vstupních a výstupních bun k m žeme m nit ješt "Input Format" resp. "Output Format". Pro každý z nich máme t i možnosti: "Input Form", "Standard Form" a "Traditional Form". Format ur uje zp sob formátování matematických formulí. Implicitn je formát u vstupních i výstupních bun k nastaven na "Standard Form", což je forma p esn odpovídající syntaktickým pravidl m jazyka systému Mathematica. "Traditional Form" je bližší obvyklé matematické symbolice, ale na rozdíl od "Standard Form" ne vždy jednozna n p eložitelná do "Input Form", kterou umí Mathematica jednozna n interpretovat. N které atributy a formát bu ky lze poznat z tvaru její závorky. Vid li jsme nap., že u závorky aktivní bu ky je písmeno "A". Všechny bu ky, které nemají atribut "Evaluateble", mají stejnou závorku jako tato textová bu ka. Závorka 1. bu ky v následující skupin signalizuje, že je to vstupní bu ka s atributy "Editable" a "Evaluatable" a formátem "Standard Form", a závorka 2. bu ky íká, že jde o výstupní bu ku s atributem "Editable" a formátem "Standard Form": Sin 2 1 ArcCos 2 1 Sin 1 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ArcCos " 1 $# 2
2 2 Math50-LS04-2.nb Závorka 1. bu% ky v další skupin& ' íká, že bu% ka má atributy "Editable" a "Evaluatable" a formát "Input Form", a závorka 2. bu% ky ukazuje na výstupní bu% ku s atributem "Editable" a formátem "Traditional Form": Sin[Pi^2 + 1]/ArcCos[E^2-1] Sin 1 ( ) 2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** ** ** ** * * * * ArcCos + 1 ($, 2 Atribut "Edit Duplicate" nelze z tvaru závorky vy- íst. Následující bu% ka má podle závorky formát "Standard Form" a chybí jí jak atribut "Editable", tak atribut "Evaluatable": Sin. 2 / 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 00 00 00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 00 ArcCos Exp 2 1 1 Vyhodnocení (evaluace) bu ky nebo skupiny bun4 k K vyhodnocení (evaluaci) jsou ur- eny pouze vstupní bu% ky, tj. s atributy "Input" a "Evaluatable". Chceme-li nechat takovou bu% ku vyhodnotit, umístíme do ní kurzor nebo ji ozna- íme kliknutím na její závorku a pak stiskneme sou- asn& klávesy 576 8 nebo pouze klávesu 8 v pravém dolním rohu rozší' ené klávesnice. Stejnými klávesami dáme p' íkaz k vyhodnocení všech vstupních bun& k s atributem "Evaluatable" obsažených v ozna- ené skupin& bun& k. 9 9 Evaluaci lze p' erušit nebo zrušit kliknutím na nabídku "Interrupt Evaluation" resp."abort Evaluation" v rolet& "Kernel". Totéž lze ud& lat také z klávesnice pomocí +, resp. +.. N& kdy však trvá dosti dlouho, než Mathematica zareaguje. Používání palet Mathematica 5 nabízí celkem 9 palet, které usnad% ují jak používání mnoha matematických a technických symbol:, které nenajdete na klávesnici, tak používání nejb& žn& jších vestav& ných funkcí - i operací. Jsou to tyto palety: Další palety si m: žete vytvá' et sami. 1. OpenAuthorTools 2. AlgebraicManipulation. BasicCalculations 4. BasicInput 5. BasicTypesetting 6. CompleteCharacters 7. CreateSlideShow 8. InternationalCharacters 9. NotebookLauncher Palety 4, 5, 6, 8 obsahují r: zné typy písma, ' ecká a jiná písmena, nejr: zn& jší matematické a technické symboly a šablony pro psaní zlomk:, mocnin, odmocnin, derivací, neur- itých i ur- itých integrál:, sou- t:, sou- in:, matic a jiných matematických výraz:. Kliknutím na "tla- ítko" palety se objekt na ní zobrazený okopíruje na poslední pozici kurzoru. Palety nejsou jediným prost' edkem, jak r: zné typy písma a symboly za' adit do textu. Nap'. ;=<?> dostanete také v p' ípad&, že napíšete bez mezer za zp& tnými lomítky nap'. ' et& zec "\ [Alpha]\ [Beta]\ [Gamma]". Písmeno @ m: žete získat také napsáním ' et& zce A alphaa, symbol B získáte napsáním A infa, dvojitou hranatou závorku získáte napsáním A [[A, atd. Jak lze to - i onen znak tímto zp: sobem získat, se v& tšinou dozvíte, když si ho najdete v palet& a ukážete na n& j kurzorem.
Math50-LS04-2.nb 4 Paleta 2 obsahuje názvy nc kterých nejd astc ji používaných algebraických úprav spolu s volným místem pro argument a funguje odlišnc. NapE. v ní najdete tlad ítko s nápisem Expand F, které funguje takto: vyberu pomocí kurzoru formuli nebo její podformuli, nape. a G b 2 G c Potom kliknu na uvedené tlad ítko a dostanu na stejném místc Formule se mh že nacházet v jakékoliv bui ce. a 2 G 2 a b G b 2 G c Stejná a další tlad ítka najdete v paletc, která však funguje jinak. Vyberu-li nape. pomocí kurzoru stejnou formuli jako výše a pak kliknu na tlad ítko Expand[F ] v této paletc, dostanu na stejném místc Kliknu-li místo toho na tlad ítko FKJKL, dostanu Expand a G b 2 G c a G b 2 G$MNG c Umístím-li však kurzor za podformuli a J b 2 a pak kliknu na toto tlad ítko, dostanu a G b 2 M$G$MNG c pe id emž kurzor je na pozici D erného (prvního) D tvered ku. Poslední paleta 9 slouží k otevírání nových dokumenth s pe eddefinovaným stylem. NapE. tento dokument má svh j vlastní stylový arch, který vznikl importováním stylu "Textbook" a jeho následnou úpravou. Základní prvky jazyka Základními prvky jazyka jsou symboly, celá D ísla, reálná D ísla, komplexní D ísla a E etc zce. Tyto prvky se souhrnnc nazývají ATOMY. Symbolem je každé slovo sestávající z D íslic, písmen a libovolných grafických znakh, které mají charakter písmen (letter-like forms) a které Mathematica rozpoznává, jehož první znak není D íslicí. Co jsou celá D ísla je jasné, o reálných D íslech a komplexních D íslech si povíme za chvíli a E etc zec je libovolná posloupnost písmen, D íslic a libovolných grafických znakh, které Mathematica rozpoznává, zad ínající a kond ící uvozovkami. Znak " mh že být v E etc zci zastoupen jako \", znak \ mh že být zadán jako \\. Z atomh vytváe íme rekurzivnc VÝRAZY (EXPRESSIONS). Výraz je buo atom nebo posloupnost znakh tvaru f a 1, a 2,..., a n kde f, a 1, a 2,..., a n jsou výrazy. Výraz f se nazývá ZÁHLAVÍ nebo HLAVIP KA (HEAD), výrazy a 1, a 2,..., a n jsou jeho ARGUMENTY nebo prvky. P íslo n se nazývá DÉLKA (LENGTH) výrazu a mh že být rovno nule, tj. výraz mh že mít tvar f[ ]. HlaviD ka nc kteréch výrazh mh že být skrytá. NapE. symboly mají skrytou hlavid ku Symbol, textové E etc zce mají skrytou hlavid ku String. Skryté hlavid ky mají i rh zné typy D ísel. To, co bylo právc E ed eno o výrazech, se týká jejich vnite ní reprezentace, nikoliv jejich vstupního nebo výstupního tvaru, které jsou pokud možno uzph sobeny matematickým zvyklostem a závisejí také na tom, zda formát bui ky je "InputForm", "OutputForm", "StandardForm" nebo "TraditionalForm". NapE. f expr mh žeme zadat v tzv. prefixové notaci jako fq expr nebo v tzv. postfixové notaci jako expr f a f expr1, expr2 mh žeme zadat v prefixové notaci jako nebo v postfixové notaci jako f #, expr2 & Q expr1, f expr1, # & Q expr2 expr1 f #, expr2 &, expr2 f expr1, # & nebo v infixové notaci jako expr1 R f R expr2.
X Y 5 Math50-LS04-2.nb VnitS ní tvar každého výrazu mt žeme získat ps íkazem FullForm a jeho záhlaví ps íkazem Head. Expression FullForm Head U U U V V U U U W U U U W V a2b27 a2b27 Symbol.14.14 Real 2 7 Rational 2, 7 InputForm 7 2 Rational 7, 2 Rational 2 I Complex 2, Complex a, b, c List a, b, c List 2abc7e "2abc7e" String 2 x 2 x 2 a b Plus a, b Plus a b Times a, b Times 1 a Power a, 1 Power a 2 Power a, 2 Power b a Times Power a, 1, b Times a 2 4 a, b, c a 2 4 a, b, c a 2 4 a 2 4 a b, 2 c a 2 4 Plus a, b, Times 2, c a 2 4 \[Alpha] Symbol \[CapitalPhi] Symbol Existuje S ada ps íkazt, jejichž pomocí mt žeme získávat rt zné informace o struktus e výrazt. NapS. TreeForm[expr] nám ukáže stromovou strukturu výrazu expr: TreeForm Sin x Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ZZ ZZ Z 2 Z Z Z Z ZZ Z Z ZZ Cos x [ 1 Times Power Plus 1, Power Cos x,, W 1, Sin Power x, 2 Prom nné, okamžité a odložené p i azení (definice) V zásad\ lze jako prom\ nnou použít jakýkoliv výraz. Mohou však nastat potíže, pokud záhlaví obsahuje jméno, které používá Mathematica. K ur] itým ú] elt m však lze použít pouze symboly. JMÉNA VŠECH VESTAV^ NÝCH FUNKCÍ, OPERACÍ A P_ ÍKAZ` ZAa ÍNAJÍ VELKÝM PÍSMENEM. a Plus b 4, a c a Plus 2, c Times b 5, c c Times, a Plus c Times 4, 16 a, 5, c U U U U 5, 20 x, y, z b 1, 2, a 2 1, 2, a 2
Math50-LS04-2.nb 6 2 a d 6 Set::write : Tag Integer in 2 a is Protected. More 6 Okamžité pe ie azení má tvar expr1 = expr2 nebo ekvivalentnf Set[expr1, expr2]. Odložené pe ie azení má tvar expr1 := expr2 nebo ekvivalentnf SetDelayed[expr1, expr2]. Pe i expr1 = expr2 se expr2 vyhodnotí okamžitf, pe i expr1 := expr2 až pe i použití. Clear a, b, c ; x1 d Expand a g b 2 ; x2 :d Expand a g b 2 ; x1, x2 a 2 h 2 a b h b 2, a 2 h 2 a b h b 2 a d c g 1; x1, x2 b 2 h 2 b 1 h c h 1 h c 2, 1 h 2 b h b 2 h 2 c h 2 b c h c 2 random1 d Random Integer, 0, 100 ; Table random1, 10 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47, 47 random2 :d Random Integer, 0, 100 ; Table random2, 10 7, 22, 6, 74, 45, 18, 1, 51, 72, 56 Odložené pe ie azení je nutné, závisí-li na podmínce. Clear y1 ; y1 :d If a i 0, 1, j 1, 0 ; a d 1; y1, a dkj 1; y1, a d.; y1 1, k 1, 0 Clear y1 ; y1 d If a i 0, 1, j 1, 0 ; a d 1; y1, a dkj 1; y1, a d.; y1 0, 0, 0 d d d Pe ie azení zrušíme pe íkazem expr =. nebo ekvivalentnf Unset[expr]. Pe íkaz Clear[symbol] ruší všechna pe ie azení a definice spojené se symbolem kromf atributl. Pe íkaz ClearAll[symbol] ruší i atributy. f 1 1; f 2 2; f ; f 1, f 2, f 1, 2,
v 7 Math50-LS04-2.nb f 1 m 1; f 2 m.; f m ; f 1, f 2, f 1, f 2, Clear f ; f 1, f 2, f f 1, f 2, f Používání d ív jších výsledk Mathematica n ísluje všechny vstupy a výstupy a urn itý pon et posledních vstupo a výstupo, který je dán hodnotou globálního parametru $HistoyLength, si pamatuje. Implicitní nastavení je $HistoyLength=Infinity. Kliknutím na položku "Show In/Out Names" v roletp "Kernel" lze zaq ídit, aby toto n íslování bylo resp. nebylo vidp t ar už na obrazovce nebo na tiskárnp. Pq íkazem In[n] lze použít n-tý vstup a pq íkazem Out[n] nebo %n n-tý výstup. Na poslední výstup se lze odkázat pq íkazem % nebo Out[-1], na pq edposlední pq íkazem %% nebo Out[-2], na pq edpq edposlední pq íkazem %%% nebo Out[-], atd. Textový tvar n-tého vstupu lze získat pq íkazem InString[n]. a m 4 4 c m 5 5 %, %, InString s 1, %%, %%, InString s 2 5, 5, \ c t \u 5\, 4, 4, \ a t 4\ Relace a logické operace Relace Relace FullForm Význam x x twt y Equal x, y x se rovná y x y Unequal x, y x se nerovná y x twtyt y SameQ x, y x, y jsou identické x t{z t y UnsameQ x, y x, y nejsou identické
Š Math50-LS04-2.nb 8 Clear x, y, z ; x } y, x ~w~y~ y, x ~ 1, y ~ 2, z ~ 2., x ~w~ y, y } z, y ~w~y~ z x y, False, 1, 2, 2., False, True, False Relace FullForm Význam ƒ x y Greater x, y x je v tší než y x y GreaterEqual x, y x je v tší nebo rovno y x y Less x, y x je menší než y x y LessEqual x, y x je menší nebo rovno y x w y w z Equal x, y, z x, y, z se rovnají x y z Unequal x, y, z x, y, z jsou vzájemn r zné x y z x y z zˆ ejmý Logické operace Operace FullForm Význam p, p Not p logická negace p && q, p q And p, q konjunkce p q r And p, q, r konjunkce p q, p q Or p, q disjunkce p q r Or p, q, r disjunkce Xor p, q Xor p, q vyluœ ovací disjunkce Xor p, q, r Xor p, q, r vyluœ ovací disjunkce If p, t, f If p, t, f t pro p w True, f pro p w False If p, t, f, u If p, t, f, u t pro p w True, f pro p w False, jinak u P íklady: Clear p, q, r ; p && q && r, p q r, p ~ True, q ~ True, r ~ False, p q r p && q && r, p && q && r, True, True, False, False Clear p, q, r ; p q r, p q r, p ~ True, q ~ False, r ~ False, p q r p q r, p q r, True, False, False, True Clear p, q, r, s, t ; Xor p, q, r, p ~ q ~ r ~ True, s ~ t ~ u ~ False, Xor p, q, r, Xor p, r, s, Xor p, s, t, Xor s, t, u p Ž q Ž r, True, False, True, False, True, False
9 Math50-LS04-2.nb ísla a matematické konstanty Typy ísel Integer... celá ísla s libovolným po tem cifer Rational... racionální ísla, tj. zlomky integer integer v základním tvaru Real... Complex... ísla ve tvaru kone ného dekadického rozvoje s desetinnou te kou, nap. 5., 0.786, 556.9998 ísla tvaru number number I, kde number je typu Integer, Rational nebo Real a I je symbol pro imaginární jednotku Chceme-li zjistit, k jakému typu Mathematica íslo x adí, m žeme to zjistit p íkazem Head[x] nebo Head[x]===type: Head 1, Head 2, Head 6, Head 1. Integer, Rational, Integer, Real Head 1 0 I, Head 1. 0 I, Head 1 0. I Integer, Real, Complex Celá a racionální ísla jsou tzv. exaktní i p esná ísla, s nimiž Mathematica provádí všechny operace p esn. ísla typu Real jsou p ibližná ísla. P ibližná ísla jsou vlastn dvojího druhu: machine-precision numbers - strojov p esná ísla a arbitrary-precision numbers - ísla se zadanou p esností. P i po ítání s ísly se zadanou p esností Mathematica sleduje vliv zaokrouhlovacích chyb, p i práci se strojov p esnými se o to nestará. Komplexní ísla mohou být jak exaktní, tak p ibližná. š 12.4... strojov p esné íslo na tomto po ita i po et cifer $MachinePrecision 15.9546 12.457`... strojov p esné íslo na všech po ita ích 12.4567`100... íslo se zadanou p esností se 100 platnými ciframi 12.4567``100... íslo se zadanou p esností se 100 platnými ciframi za desetinnou te kou 1.24*^6... strojov p esné íslo1.24 10^6 v tzv. v decké notaci 1.24`100*^6... íslo v tzv. v decké notaci se 100 platnými ciframi
œ «Math50-LS04-2.nb 10 œ Symboly pro n které ž íselné množiny Algebraics... Complexes... Integers... Primes... Rationals... Reals... reprezentuje množinu všech algebraických Ÿ ísel, tj. Ÿ ísel, která jsou ko eny polynom s racionálními koeficienty reprezentuje množinu všech komplexních Ÿ ísel reprezentuje množinu všech celých Ÿ ísel reprezentuje množinu všech prvoÿ ísel reprezentuje množinu všech racionálních Ÿ ísel reprezentuje množinu všech reálných Ÿ ísel Výsledkem test expr domain, expr domain Simplify, expr domain FullSimplify kde domain je n který z výše uvedených symbol, je True nebo False, pokud je Mathematica schopna rozhodnout, zda expr reprezentuje Ÿ íslo pat ící do množiny reprezentované tímto symbolem: 1 2 2 Integers, 1 2 2 Integers Simplify 1 2 ª 2 Integers, True expr 1 7 expr, expr 2 Sin 12 Rationals, expr ; Algebraics 1 2 2 1 4 7 ª 1 ª, 1 2 2 1 4 7 ª 1 ª Rationals, True expr Rationals Simplify, expr Rationals FullSimplify 1 7 ª 2 2 1 4 1 ª Rationals, False Matematické konstanty Ÿ Ÿ Infinity,... nevlastní íslo I,... imaginární jednotka Pi,... íslo "pí" E,... základ p irozených logaritm
à º ¾ 11 Math50-LS04-2.nb Degree,... ± 180,p² evodní koeficient ze stup³ ové do obloukové míry GoldenRatio... 1 5 2µ 1.6180,pom r délek ástí tzv. zlatého ² ezu úse ky Indeterminate... symbol pro neur ité numerické výrazy jako nap². 0 0 Krom t chto konstant zná Mathematica ješt n které další matematické konstanty, nap². EulerGamma Catalan lim n¹»º k¼ 0 n k¼ 1 1 ½ ½ ½ ½ k ¾ 1 k ln n µ 0.577216, ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½½ ½½ ½ ½ ½ ½ ½½ µ 0.915966 2 k 1 2 a jiné, viz Help/Mathematical Functions/Mathematical Constants. Konstanta EulerGamma je známa jako Eulerova konstanta a zpravidla se zna í C. S matematickými konstantami Mathematica po ítá jako se symboly resp. formálními výrazy, ví však, že až na symboly pro nevlastní ísla a neur ité výrazy reprezentují p² esn definovaná exaktní reálná ísla: Head À Á, Â, Degree, GoldenRatio, Indeterminate Symbol, Symbol, Symbol, Symbol, Symbol NumericQ À Á, Â, Degree, GoldenRatio, Indeterminate True, True, True, True, False Symbol I je zkratka pro Complex[0,1] a Infinity je zkratka pro DirectedInfinity[1]. Proto Head I, Head Unevaluated I, NumericQ I Complex, Symbol, True Funkce N a pä ibližné hodnoty exaktních Å ísel a konstant P² ibližnou hodnotu exaktního ísla, matematické konstanty nebo matematického výrazu expr reprezentujícího exaktní reálné nebo komplexní íslo najdeme pomocí funkce N, která mæ že mít jeden nebo dva argumenty. P² íkaz N expr znamená, že Mathematica použije k výpo tu strojov p² esná ísla (machine-precision numbers). Ta jsou reprezentována jako "double-precision floating-point numbers" opera ního systému, jež jsou ukládána v 64 binárních bitech a zpravidla vedou k mantise s 16-ti dekadickými ciframi. P² i práci s nimi Mathematica pln využívá možnosti, které pro po ítání s "double-precision floating-point numbers" nabízí opera ního systém a hardware po íta e. Hlavní p² edností výpo tæ provád ných se strojov p² esnými ísly je rychlost. Nevýhodou jsou absence informace o po tu platných cifer výsledku a jeho závislost na použitém po íta i: s hlediska matematiky stejný výpo et mæ že vést na ræ zných po íta ích k pon kud odlišným výsledkæ m. P² íkaz N expr,n naproti tomu znamená, že Mathematica se bude provád t numerické výpo ty tak, aby výsledek m l pokud možno n platných cifer. Aby Mathematica usp la, musí n kdy provád t interní mezivýpo ty s p² esností NÇ n. Rozdíl N ¾ n je omezen hodnotou globálního parametru $MaxExtraPrecision, kterou lze ale m nit:
Ù Ì Ì Math50-LS04-2.nb 12 N È, N È, 50.14159,.14159265589792846264827950288419716999751 N É Sin 10 40, N #, 0 & É Sin 10 40 0., Ê 0.56964009566270804181574 Sin 10 100 N, Sin 10 100 N #, 0 & N::meprec : Internal precision limit $MaxExtraPrecision Ë 50.` reached while evaluating Sin 1000000000000000000000000000000000 2Í 00000000000000000000000000000000000. More 0., 0. $MaxExtraPrecision Î 100; N Sin 10 100, 0, $MaxExtraPrecision Î 50. N::meprec : Internal precision limit $MaxExtraPrecision Ë 100.` reached while evaluating Sin 1000000000000000000000000000000000 2Í 00000000000000000000000000000000000. More Ê 0.72761266127668826208669555, 50. $MaxExtraPrecision Î 101; N Sin 10 100, 0, $MaxExtraPrecision Î 50. Ê 0.72761266127668826208669555, 50. Funkci N lze aplikovat i na výrazy nereprezentující reálná nebo komplexní Ï ísla. V takovém pð ípadñ se N aplikuje na všechny podvýrazy reprezentující Ï ísla: x Î.; N ÈÓÒ Ô 2 x 2, N ÈÕÒ Ô 2 x 2, 20 Ö Ö.14159 7.8906 x 2,.1415926558979285 7.89056098906502272 x 2 Pokud výraz resp. podvýraz reprezentující Ï íslo obsahuje alespo jedno pð ibližné Ï íslo, funkce N se aplikuje automaticky: x Î.;.14159`20 Ò Ô 2,.14159 Ò Ô 2 x 2,.14159`20 Ò Ô 2 x 2 10.50646098906502272,.14159 Ö$Ø 2 x 2,.1415900000000000000 Ö$Ø 2 x 2 PÚ esnost pú ibližných výsledkû a funkce Accuracy a Precision Je-li x exaktní Ï íslo nebo matematická konstanta, je Accuracy x Î Precision x Î Ü. Je-li x pð ibližné reálné Ï íslo se zadanou pð esností, pak Accuracy x Î a znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu xý Þ 2,xÒ Þ 2, kde Þ Î 10ß a, a Precision x Î p znamená, že reálné Ï íslo, které x aproximuje, leží v intervalu xý Þ 2,xÒ Þ 2, kde Þ Î x 10ß a. Pro strojovñ pð esná Ï ísla x má Precision x vždy hodnotu MachinePrecision, kde
ê 1 Math50-LS04-2.nb a pro Accuracy x platí vztah N MachinePrecision à $MachinePrecision á 15.9546, Accuracy x à $MachinePrecision â Log 10, Abs x, kde Log 10, Abs x je dekadický logaritmus absolutní hodnoty ã ísla x. Oznaã íme-li n celou ã ást reálného ã ísla n, pak lze ä íci, že podle Mathematica 5 Book platí: Accuracy x å a... a æ poã et cifer za desetinnou teã kou v pä ibližném ã ísle x, které Mathematica považuje za platné, pokud Precision x je vç tší než MachinePrecision Precision x å p... p æ poã et cifer v pä ibližném ã ísle x, které Mathematica považuje za platné, pokud Precision x je vç tší než MachinePrecision x å N è, Accuracy x, Precision x.14159, 15.4574, MachinePrecision x å N è, 0, Accuracy x, Precision x.14159265589792846264828, 29.5029, 0. x å.14 20, Accuracy x, Precision x 8.68146 é 10 9, 6.016, MachinePrecision x å.14`20 20, Accuracy x, Precision x 8.681468559965499 é 10 9, 8.7608, 18.699 x å Sin 10 40 N #, 0 &, Accuracy x, Precision x â 0.56964009566270804181574, 0.2444, 0. Zvýšení pë esnosti numerických výpoì tí Mají-li vstupní data výpoã tu pä esnost nejvýše n, tç žko mî žeme požadovat, aby výsledek mç l pä esnost vyšší: x å.14, x 0, Precision x, Accuracy x.14, 8.0889 é 10 14, MachinePrecision, 15.4577 Chceme-li tedy zvýšit pä esnost výpoã tu, musíme zvýšit pä esnost vstupních dat. Pä esnost pä ibližného ã ísla zvç tšíme pä ipsáním nul do jeho rozvoje nebo pä íkazem SetPrecision x,n. Po tomto pä íkazu Mathematica pä idá do binárního rozvoje ã ísla x potä ebný poã et nul a považuje x za ã íslo s pä esností n. Uvedené možnosti nejsou ale ekvivalentní, tj. vedou k
û Math50-LS04-2.nb 14 rï zným ð íslï m s pñ esností n. Pñ íkazem SetPrecision x,n však mï žeme pñ esnost ð ísla x také snížit. x1 ò SetPrecision.14, 0, Precision x1, Accuracy x1.1400000000000001244497875802, 0., 29.501 x2 ò.14`0, Precision x2, Accuracy x2.14000000000000000000000000000, 0., 29.501 x1 ò x1 0, Precision x1, Accuracy x1 8.088899548610069581988868 ó 10 14, 28.5229, 1.615 x2 ò x2 0, Precision x2, Accuracy x2 8.088899548610024086115427 ó 10 14, 28.5229, 1.615 x1 ô x2, x1 0 ô x2 0 False, False SetPrecision expr,n automaticky mõ ní pñ esnost každého ð ísla ve výrazu expr: ø Clear x ; SetPrecision.25 x ö x 2 Sin 2.17 x, 25.250000000000000000000000 x ù.14159265589792846264 x 2 ú 1.000000000000000000000000 Sin 2.169999999999999928945726 x SetPrecision.25`25 x ö x 2 ø Sin 2.17`50 x, 10.250000000 x ù.141592654 x 2 ú 1.000000000 Sin 2.170000000 x SetPrecision.25`25 x ö x 2 ø Sin 2.17`50 x, MachinePrecision.25 x ù.14159 x 2 ú 1. Sin 2.17 x Parametr PrintPrecision a funkce AccountingForm, InputForm a NumberForm Poð et cifer strojovõ pñ esných ð ísel, které Mathematica zobrazuje, je urð en skrytým parametrem PrintPrecision grafického rozhraní. Jeho nastavení zjistíme pñ íkazem Options $FrontEnd, PrintPrecision PrintPrecision ü 6
15 Math50-LS04-2.nb a zmý níme je pþ íkazem SetOptions $FrontEnd, PrintPrecision ÿ n. Zmý na ovšem ovlivní všechny výstupní bu ky. Po et zobrazovaných cifer strojový pþ esných ísel m žeme zmý nit i v jednotlivých výstupních bu kách tak, že je ozna íme, otevþ eme Option Inspector v roletý Format a zmý níme hodnotu položky Selection Expression Formating Display Options PrintPrecision. Parametr PrintPrecision se však uplat uje pouze v pþ ípadý, že jiný parametr grafického rozhraní, NumberMarks, je nastaven na hodnotu False. Tu lze též mý nit globálný i lokálný podobný jako po et zobrazovaných cifer. Po et zobrazovaných pþ ibližných ísel s pþ esností vý tší než MachinePrecision je dán jejich pþ esností. InputForm nám ukáže všechny cifry ísla x, které Mathematica uchovává v pamý ti. Je-li x íslo se zadanou pþ esností, obsahuje InputForm x také údaj o jeho pþ esnosti. AccountingForm zobrazí všechny cifry nalevo od desetinné te ky. NumberForm x,n zobrazí n cifer ísla x, pokud jich x nemá méný ; druhý argument lze vynechat, není však jasné, co za ný j Mathematica dosadí. Aplikujeme-li ný kterou z uvedených tþ í funkcí na libovolný výraz, aplikuje se automaticky na na každé íslo ve výrazu. Example 1 x.14 20, InputForm x 8.68146 10 9, 8.6814685599662*^9 AccountingForm x, AccountingForm x, 12, AccountingForm x, 20 868146856., 868146855.99, 868146855.9966 NumberForm x, NumberForm x, 6, NumberForm x, 12, NumberForm x, 20 8.68146 10 9, 8.68146 10 9, 8.6814685599 10 9, 8.681468559966 10 9 InputForm x Head, AccountingForm x Head, NumberForm x Head InputForm, AccountingForm, NumberForm Example 2 x.14`20 20, InputForm x 8.681468559965499 10 9, 8.681468559965499256940561`18.698970004602*^9
Math50-LS04-2.nb 16 AccountingForm x, AccountingForm x, 15, AccountingForm x, 25 868146855.9965499, 868146855.9965, 868146855.9965499 NumberForm x, NumberForm x, 20, NumberForm x, 15, NumberForm x, 25 8.681468559965499 10 9, 8.681468559965499 10 9, 8.681468559965 10 9, 8.681468559965499 10 9 Example Clear x ; expr.14 20.14`20 20 x Sin 1 17 x 2 8.68146 10 9 8.681468559965499 10 9 x x 2 Sin 1 17 InputForm expr 8.6814685599662*^9 + 8.681468559965499256940561`18.698970004602*^9* x - x^2*sin[1/17] Out 1 8.68146 10 9 8.681468559965499 10 9 x x 2 Sin 1 17 AccountingForm expr 868146856. 868146855.9965499 x x 2 Sin 1 17 Out 1 8.68146 10 9 8.681468559965499 10 9 x x 2 Sin 1 17 NumberForm expr 8.68146 10 9 8.681468559965499 10 9 x x 2 Sin 1 17 Out 1 8.68146 10 9 8.681468559965499 10 9 x x 2 Sin 1 17
17 Math50-LS04-2.nb ísla v íselných soustavách o základu b 10 a funkce BaseForm íslo lze zadat i v jiné než dekadické soustav. Základem m že být kterékoliv íslo z množiny {2,, 6}. Je-li základ v tší než 10, jako dodate né íslice slouží písmena a - z nebo A - Z. 2^^101001... 2^^101.101... 2^^101.101`... 2^^101.101`50... 2^^101.101``50... 2^^101.101^6... 2^^101.101`50^6... celé íslo v binární soustav strojov p esné íslo na tomto po ita i v binární soustav strojov p esné íslo na všech po ita ích v binární soustav íslo se zadanou p esností s 50 ti platnými binárními ciframi íslo se zadanou p esností s 50 ti platnými binárními ciframi za ádovou te kou strojov p esné íslo 111.111 2 2 6 v tzv. v decké notaci íslo 111.111 2 2 6 s 50 ti platnými binárními ciframi za ádovou te kou v tzv. v decké notaci x1, x2 2^^aCgh48ghhk, 2^^aCgh457.8ghhk`20 4719041576650,.5924740079529117792510 10 10 BaseForm x,b... representace ísla x v soustav o základu b BaseForm 2^^aCgh48ghhk, 2, BaseForm 2^^aCgh457.8ghhk`20, 2 acgh48ghhk 2, a.cgh4578ghhk0000000 2 2 7 BaseForm x1, 2, BaseForm x2, 2 acgh48ghhk 2, a.cgh4578ghhk0000000 2 2 7 Aritmetické operace Operace FullForm Input forms Sou et... Plus[2,]... 2+ Plus[a,b,c]...... a+b+c Rozdíl... Plus[2,-]... 2- Plus[Times[-1,a],b]... b-a 1 Plus[Rational[-1,],a]... a-1/, a Sou in... Times[2,]... 2*, 2 Times[a,b,c]...... a*b*c, a b c Podíl... Rational[2,-]... 2, -2/ Times[a,Power[b,-1]... a/b, a b
" " Math50-LS04-2.nb 18 Mocnina... Power[2,]... 2^, 2 Power[x,-2]... x 2, x^2 Power[x,Times[-1,y]]... x^-y, x y Power[x,Power[y,z]]... x^y^z, x yz Odmocnina... Power[x,Rational[1,2]]... Sqrt[x], x, x 1 2 25 456 27, 25 456 27, Power[x,Rational[1,]]... x 1, 25 456 27 Power::infy : Infinite expression 1 0, 25 456 27, 1 0 encountered. More x 5720 79, 5720 79, 25 108072, 18565 152, ComplexInfinity 4 2, 4 2, 4 2 4096, 6556, 6556 2.1729, 2.1729`25, 2.1`25 10.2649, 10.264860450228900000000, 8.57418770029045170405! 2,! 2.,! 2.`25 2, 0. # 1.41421 ", 1.4142156270950488016887 "! 8,! 8 ComplexExpand,! 8.,! 8.`25 2 $ 1 1, 1 #, 1. # 1.7205 ", 1.000000000000000000000000 # 1.7205080756887729527446 " 2 1% I, 2 1% I ComplexExpand 2 1& ', 2 Cos Log 2 # 2 " Sin Log 2 2. 1% I, 2 1.% I, 21% 1. I 1.5848 # 1.27792 ", 1.5848 # 1.27792 ", 1.5848 # 1.27792 " 2.`25 1% I, 2 1.`25% I, 21% 1.`25 I 1.5847780272794425156660 # 1.27792255262726960200066 ", 1.5847780272794425156660 # 1.27792255262726960200066 ", 1.5847780272794425156660 # 1.27792255262726960200066 "
19 Math50-LS04-2.nb ( 2 1) I, ( 2 1) I ComplexExpand * 2 1+,, * 2 -/.10 Cos Log 2 * 2 2-/.10 Sin Log 2 ( 2. 1) I, ( 2 1.) I, ( 2 1) 1. I * 0.066487 * 0.055224 2, * 0.066487 * 0.055224 2, * 0.066487 * 0.055224 2 ( 2.`25 1) I, ( 2 1.`25) I, ( 2 1) 1.`25 I * 0.066486540177110518058 * 0.05522404076666019901649 2, * 0.066486540177110518058 * 0.05522404076666019901649 2, * 0.066486540177110518058 * 0.05522404076666019901649 2 Mocninu Power[x,y] pro x záporné a komplexní Mathematica po4 ítá pomocí hlavní v5 tve p6 irozeného logaritmu. Elementární funkce 4 Exp x,e x,7 x... exponenciální funkce Log x... p6 irozený logaritmus Log b,x... ogaritmus o základu b Power x,a,x a... obecná mocnina, a nemusí být celé íslo 8 8 Sin x... sin x ArcSin x... arcsin x Cos x... cos x ArcCos x... arccos x Tan x... tg x ArcTan x... arctg x Cot x... cotg x ArcCot x... arccotg x Sec x... sec x 1 cos x ArcSec x... arccos 1 x Csc x... cosec x 1 sin x ArcCsc x... arcsin 1 x ArcTan x,y... argument komplexního 4 ísla x9 Iy, leží v intervalu (;:,: a nerovná se (;: Sinh x... sinh x ArcSinh x... argsinh1 x Cosh x... cosh x ArcCosh x... argcosh x Tanh x... tgh x ArcTanh x... argtgh x Coth x... cotgh x ArcCoth x... argcotgh x Všechny tyto funkce mohou mít komplexní argument. Obecná mocnina, logaritmus, cyklometrické a hyperbolometrické funkce jsou v komplexním oboru vícezna4 néfunkce. Výše uvedené funkce znamenají ve skute4 nosti jejich hlavní v5 tve.
< Math50-LS04-2.nb 20 N které další funkce Numerické funkce reálné prom= nné > A > > > > > > > > Abs x... absolutní hodnota ísla x Sign x... 1 pro x? 0, 0 pro x@ 0, 1 pro xb 0 IntegerPart x... celá ást ísla x FractionalPart x... zlomková ást ísla x Floor x... nejvc tší celé íslo ne vc tší než x Ceiling x... nejmenší celé íslo ne menší než x Round x... celé íslo nejbližší íslu x x @ 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x 4 D D D D, D 4 D D D 1, 1, 1, D D D D, 1, 2, 1 x @ N 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x 1., 1., 1, 1, 0., 1, 2, 1 x @FE 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x G D 4 D D D, D 4 D D D, G 1, G 1, G D 1 D D D, G 2, G 1, G 1 x @FE N 4, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x G 1., 1., G 1, G 1, G 0., G 2, G 1, G 1 x @ 7 H, Abs x, Sign x, Round x, Floor x, Ceiling x 7 I, 7 I, 1, 22, 21, 22 x @ 7 H, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x 7 I, 7 I, 1, 21, G 21 J 7 I, 21, 22, 22
R 21 Math50-LS04-2.nb x KFL 7 M, Abs x, Sign x, IntegerPart x, FractionalPart x, Floor x, Ceiling x, Round x N 7 O, 7 O, N 1, N 21, 21 N 7 O, N 22, N 21, N 22 Max x,y,z,...... maximum P ísel x,y,z,... Max x,y,z,...... maximum P ísel x,y,z,... Min x,y,z,...... minimum P ísel x,y,z,... Min x,y,z,...... minimum P ísel x,y,z,... x, y, z K 1, 9 7, M 2, Max x, y, z, Min x, y, z 1 Q Q Q Q, Q 9 Q Q Q 7, Q O Q Q Q 2, Q O Q Q Q 2, Q 1 Q Q Q x, y, z K M, M N, N M, 20, Max x, y, z, Min x, y, z O,.14159,.1415926558979285,.14159, O Numerické funkce komplexní proms nné P P P P P P P Abs z... absolutní hodnota komplexního ísla z Re z... reálná ást ísla z Im z... imaginární ást ísla z Arg z... argument komplexního ísla z Sign z... z Abs z pro zt 0 Conjugate z... komplexnu sdružené íslo zv z K 1 W X, Abs z, Re z, Im z, Arg z, Sign z, Conjugate z 1 Y[Z, 2, 1,, O Q Q Q Q z K Exp 1 W\MX 4, Abs z, Re z, Im z, Arg z, Sign z, Conjugate z ] 1^`_ba c c c cccc 4, ], ] Q Q Q QQ Q Q QQ 2, ], Q 1 Q Q Q Q Q Q QQ Q Q QQ 2 1 Y[Z, 1 N Z 2, O Q Q Q Q 4, ] c _ba c c cccc 4, ] 1d`_ba c c c cccc 4 z K Exp 1 W\MX 4 N, Abs z, Re z, Im z, Arg z, Sign z, Conjugate z 1.92212 Y 1.92212 Z, 2.71828, 1.92212, 1.92212, 0.78598, 0.707107 Y 0.707107 Z, 1.92212 N 1.92212 Z
Math50-LS04-2.nb 22 e Funkce celých f ísel Mod m,n... zbytek pg i dh lení ísla m íslem n, má vždy stejné znaménko jako n Quotient m,n... celá ást ísla m n, ástei ný podíl pg i dh lení ísla k íslem n GCD n 1,n 2,n,...... nejvh tší spolei ný dh litel ísel k,m,n,... LCM n 1,n 2,n,...... nejmenší spolei ný násobek ísel k,m,n,... Argumenty funkcí Mod a Quotient mohou být i reálná i ísla a matematické konstanty. Argumenty funkcí GCD a LCM mohou být i racionální i ísla r 1, r 2, r,... GCD je pak nejvh tší kladné racionální i íslo r, pro nh ž jsou všechna i ísla r i r celá a LCM je nejmenší kladné racionální i íslo r, pro nh ž jsou všechna i ísla r r i celá. Quotient 17, 4, Mod 17, 4, Quotient 17, j 4, Mod 17, j 4 4, 1, k 5, k Quotient j 17, 4, Mod j 17, 4, Quotient j 17, j 4, Mod j 17, j 4 k 5,, 4, k 1 Quotient 17 l, m, Mod 17 l, m, Quotient 17 l, jnm, Mod 17 l, jnm 19, k 19 o[p 17 q, k 20, k 20 o[p 17 q Quotient j 17 l, m, Mod j 17 l, m, Quotient j 17 l, jnm, Mod j 17 l, jnm k 20, 20 o[k 17 q, 19, 19 o[k 17 q Quotient 17. l, m, Mod 17. l, m, Quotient 17. l, jnm, Mod 17. l, jnm 19, 1.75972, k 20, k 0.958561 Quotient j 17. l, m, Mod j 17. l, m, Quotient j 17. l, jnm, Mod j 17. l, jnm k 20, 0.958561, 19, k 1.75972 GCD 12, 18, 24, LCM 12, 18, 24 6, 72 GCD 12 7, 18 2, 24 1, LCM 12 7, 18 2, 24 1 6 r r r r r r r rr r r rr 4991, 72
{ 2 Math50-LS04-2.nb Prime n... ns té prvot íslo PrimePi x... pot et prvot ísel menších než x PrimeQ n... testuje, zda n je prvot íslo FactorInteger n... seznam prvot initeluvt ísla n a jejich exponentu Divisors n... seznam kladných dw liteluxt isla n Prime 10, Prime 10 6, Prime 10 9, Prime 10 12 7919, 1548586, 2280176489, 299962242758 PrimePi 10, PrimePi 10 6, PrimePi 10 9, PrimePi 10 12 168, 78498, 5084754, 7607912018 n y 8468, FactorInteger n, FactorInteger s n 8468, 2, 2, 29, 1, 7, 1, z 1, 1, 2, 2, 29, 1, 7, 1 n y 8468, Divisors n 8468, 1, 2, 4, 29, 58, 7, 116, 146, 292, 2117, 424, 8468 Kombinatorické funkce Factorial n, n... faktoriál t ísla n,n Factorial2 n, n }... dvojný faktoriál t ísla n, n } Binomial n,m... binomický koeficient n~ m n m n Multinomial n 1,n 1,...... multinomický koeficient 1 n 2... ~ n 1 n 2... Signature i 1,i 2,...... znaménko permutace i 1,i 2,... vzhledem ke standardnímu uspoƒ ádání, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 6, 24, 120, 720, 5040, 4020, 62880, 628800, 9916800, 479001600 }, 4 }, 5 }, 6 }, 7 }, 8 }, 9 }, 10 }, 11 }, 12 }, 8, 15, 48, 105, 84, 945, 840, 1095, 46080
Math50-LS04-2.nb 24 Prvních 10 ádk Pascalova trojúhelníku Table GridBox Table Binomial n, k, k, 0, n, ColumnSpacings 1.5 DisplayForm, n, 0, 9 ColumnForm #, Center & 1 1 1 1 2 1 1 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 5 5 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 6 84 126 126 84 6 9 1 Table Multinomial i, j, 4 ˆ i ˆ j, i, 0, 4, j, 0, Max 0, 4 ˆ i 1, 4, 6, 4, 1, 4, 12, 12, 4, 6, 12, 6, 4, 4, 1 tbl Table Multinomial i, j, 4 ˆ i ˆ j c i b j a 4Š iš j, i, 0, 4, j, 0, Max 0, 4 ˆ i 256, 256 b, 96 b 2, 16 b, b 4, 256 5, 192 5 b, 48 5 b 2, 4 5 b, 480, 240 b, 0 b 2, 80 5, 20 5 b, 25 tbl. a b c 1 256, 256, 96, 16, 1, 256, 192, 48, 1, 480, 240, 0, 80, 20, 25 tbl. List Plus 761 6 5 496 b 212 5 b 126 b 2 48 5 b 2 16 b 4 5 b b 4 a Œ b Œ c 4 Expand 761 6 5 496 b 212 5 b 126 b 2 48 5 b 2 16 b 4 5 b b 4 Signature 1,, ˆ 2, 9, 8, 7, 6, Signature 1,, 2, 9, 8, 7, 6 1, 1
25 Math50-LS04-2.nb Ž Pseudonáhodná ísla Random Integer... 0 nebo 1 s pravd podobností 1 2 Random Integer,xmax... pseudonáhodné celé íslo z intervalu 0,xmax s pravd podobností 1 xmax 1 Random Integer, xmin,xmax... pseudonáhodné celé íslo z intervalu xmin,xmax s pravd podobností 1 1 xmax xmin Random Integer & Range 10 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1 Table Random Integer, 50, 10 41, 4, 19, 12, 27, 20, 40, 42, 14, 1 Table Random Integer, 50, 10 2, 15, 42, 7, 49, 10, 6, 12, 11, Table Random Integer, 40, 50, 10 4, 11, 44, 4, 42, 0, 2, 16, 49, 6 Table Random Integer, 50, 40, 10 24, 16, 1, 8, 28, 7, 8, 16, 7, 28 Random... pseudonáhodné reálné íslo s rovnom rným rozd lením na intervalu 0,1 Random Real,xmax... pseudonáhodné reálné íslo s rovnom rným rozd lením na intervalu 0,xmax Random Real, xmin,xmax... pseudonáhodné reálné íslo s rovnom rným rozd lením na intervalu xmin,xmax Random & Range 6 0.81568, 0.0288905, 0.56564, 0.80977, 0.2067, 0.189548 Table Random Real, 50, 6 18.0572, 40.1076, 5.216, 0.4681, 8.995, 45.7966
Math50-LS04-2.nb 26 Table Random Real, 50, 6 48.5915, 4.697, 2.0005, 49.4719, 26.528,.20218 Table Random Real, 40, 50, 6 12.884, 2.1044, 8.9251, 2.27825, 26.048, 5.8425 Table Random Real, 50, 40, 6 24.981, 0.21897, 24.8591, 11.764, 6.41065, 17.812 Random Complex... pseudonáhodné komplexní íslo s rovnomš rným rozdš lením na tverci 0,1 œ 0,1 Random Complex,zmax... pseudonáhodné komplexní íslo s rovnomš rným rozdš lením na obdélníku s protilehlými vrcholy v bodech 0 a zmax Random Complex, zmin,zmax... pseudonáhodné komplexní íslo s rovnomš rným rozdš lením na obdélníku s protilehlými vrcholy v bodech zmin a zmax Random Complex & ž Range 0.807088 Ÿ 0.772697, 0.811042 Ÿ 0.641958, 0.0282979 Ÿ 0.856765 Table Random Complex, 1 2 I, 0.8921 Ÿ 1.898, 0.88287 Ÿ 1.7465, 0.12158 Ÿ 1.77024 Table Random Complex, 1 2 I, 0.0870016 0.2, 0.77446 0.80725, 0.515 1.5609 Table Random Complex, 9 5 I, 15 7 I, 7.74116 Ÿ 6.6994, 4.562 2.51962,.88267 Ÿ.6781 Table Random Complex, 15 7 I, 9 5 I, 0.0675645 Ÿ 0.208007, 8.41765 4.0259, 0.611585 Ÿ 1.9268 Table Random Complex, 2 I, 0.264105, 1.41982, 0.49864
27 Math50-LS04-2.nb Table Random Complex, 9 5 I, 9 7 I, 9 1.52491, 9 4.9788, 9 4.1464 Random type,range,n... n ciferné pseudonáhodné reálné íslo typu type s rovnom rným rozd lením na oboru range SeedRandom integer... nastavení generátoru pseudonáhodných ísel SeedRandom... nastavení generátoru pseudonáhodných ísel asovým údajem $RandomState... systémová prom nná charakterizující okamžitý stav pseudonáhodného generátoru state $RandomState 454679776986795116469871226755448206569846970644684505176 201772469166860060956698124946969408911897916657441404897 6969987008205778589698415602658846490486767987981142925545 09954580990412947700910809814641584118069252877044586504 1021155416722061598608199681751771778015074258006776178152697 109881500897271064407125514585026719052056594698190607118069 7278514422009812644178812107717578876746762759467498061210 6171111262456016486215120457057164045081705496918775025816070 91222146466887686260910976471505876496952967756551494 $RandomState state; Table Random Real, 0, 10, 10, 5 5.50680992, 5.540581629, 8.08670416,.28446911, 6.56950091 $RandomState state; Table Random Real, 0, 10, 10, 5 5.50680992, 5.540581629, 8.08670416,.28446911, 6.56950091 SeedRandom 12456789 ; Table Random Integer, 0, 100, 10 78, 14, 62, 0, 44, 52, 1, 79, 98, 56 SeedRandom 12456789 ; Table Random Integer, 0, 100, 10 78, 14, 62, 0, 44, 52, 1, 79, 98, 56 Remove ª}ª Names "Global`«" ;