ARCHIMEDŮV ZÁKON tudijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Marta Cytilová Obsa 1 Vlastnosti kapalnéo tělesa v klidu na povrcu Země 2 2 Arcimédův zákon 6 3 Výslednice sil působícíc na uvolněné těleso v kapalině 10 4 Rovnovážná poloa tělesa plovoucío v kapalině 14 5 Aerostatická vztlaková síla 20 6 Platí Arcimédův zákon v podmínkác beztížnéo stavu? 23 Úloy 23 1
2 Kousek dřeva zavěsíme na pružinu siloměru a ve vzducu změříme velikost taové síly 0,10 N Potom ke kousku dřeva připojíme tenkým vláknem kousek kovu Ponoříme-li zcela do vody jen kousek kovu, naměříme velikost taové síly 0,02 N Tělesa se nedotýkají dna nádoby s vodou Určete a) objem kousku dřeva, b) průměrnou ustotu dřeva Aerostatickou vztlakovou sílu působící na tělesa ve vzducu neuvažujeme [12 cm 3 ; 0,83 10 3 kg m 3 ] 3 Na desku sklonnýc va se stupnicí v newtonec postavíme kádinku s vodou a změříme velikost taové síly, kterou působí kádinka s vodou na desku va 0,200 N Jaká je poloa ukazovatele na stupnici sklonnýc va v těcto případec : a) Do vody v kádince vložíme kousek dřeva o objemu 2,00 cm 3 a o průměrné ustotě 0,800 10 3 kg m 3 b) Do vody v kádince zcela ponoříme stejnorodý kousek kovu o objemu 1,00 cm 3 a o ustotě 3,00 10 3 kg m 3 zavěšený na tenkém vlákně tak, že se těleso nedotýká dna nádoby a že vlákno není ponořeno c) Týž kousek kovu leží volně na dně kádinky Obr 1a Obr 1b [0,216 N; 0,210 N; 0,230 N] 4 Určete velikost aerostatické vztlakové síly atmosférickéo vzducu působící na těleso z oceli o objemu 1,458 10 3 m 3, je-li ustota okolnío vzducu 1,29 kg m 3 a tíové zryclení na daném místě povrcu Země má velikost g =9,81 m s 2 Těleso zavěsíme na pružinu siloměru a naměříme velikost taové síly 113,7 N Jaké relativní odcylky měření se dopouštíme, považujeme-li tuto odnotu za rovnou velikosti tíové síly působící na těleso na daném místě povrcu Země? [0,0184 N; 0,02 %] 5 Dvě stejnorodá tělesa mají motnosti m 1, m 2 austotyϱ 1, ϱ 2 Tělesa jsou k sobě připoutána, zavěšena na siloměr a zcela ponořena do kapaliny o ustotě ϱ, tak, že se nedotýkají dna nádoby; ϱ 2 < ϱ < ϱ 1 Na siloměru naměříme velikost taové síly F Určete ustotu ϱ 2, znáte-li ostatní uvedené veličiny Kapalina tělesa nerozpouští a s tělesy cemicky nereaguje [ϱ 2 = m 2 ϱ 1 g [m 1 (ϱ 1 ϱ 2 )+m 2 ϱ 1 ]g Fϱ 1 ϱ] 6 Hliníkovou kouli zavěsíme na siloměr a změříme ve vzducu velikost taové síly 2,58 N Kouli zavěšenou na siloměru zcela ponoříme do vody v nádobě tak, že tejný jev pozorujeme, ponoříme-li nálevku s blanou do kapaliny v klidu v nádobě (obr 1b) Kapalina působí na blánu tím větší tlakovou silou, čím louběji blánu ponoříme pod volný povrc kapaliny Jestliže blánu v kapalině posunujeme ve vodorovném směru nebo ji otáčíme ve stálé loubce pod volným povrcem kapaliny v nádobě, působí kapalina na blánu stále stejně velikou tlakovou silou Válcovou nádobu, jejíž dno má obsa, postavíme dnem na vodorovnou podložku a do nádoby nalejeme kapalinu o ustotě ϱ do výšky nad dnem (obr 2) Kapalina v klidu v nádobě na povrcu Země působí na dno a na stěny nádoby tlakovými silami Na dno nádoby působí tlaková síla F svisléo směru, jejíž velikost se rovná tíové síle působící na kapalinu; F = Vϱg = ϱg, kde g je velikost tíovéo zryclení na daném místě povrcu Země Zároveň působí kapalina na válcovou stěnu nádoby tlakovými silami vodorovnéo směru, jejicž velikosti jsou přímo úměrné loubce působiště pod volným povrcem kapaliny Ke každé tlakové síle F1 existuje tlaková síla F1 opačnéo směru, působící v téže loubce 1 pod volným povrcem kapaliny v protilelém místě válcové stěny (obr 2) Obě síly mají stejnou velikost a lze je znázornit v téže vektorové přímce Považujeme-li nádobu za tué těleso, jsou oběsílyvrovnováze -,+*)('&%$#"! 24 3
sobí okolní atmosférický vzduc na těleso i na závaží Vysvětlete, jak tyto síly ovlivňují výsledek měření motnosti tělesa Atmosférický vzduc působí na těleso aerostatickou vztlakovou silou Fvz1 o velikosti F vz1 = V 1 ϱg a na závaží aerostatickou silou Fvz2 o velikosti F vz2 = V 2 ϱg, kde V 1 je objem tělesa, V 2 objem závaží, ϱ je ustota okolnío vzducu v danýc podmínkác Těleso působí na levou misku va tlakovou silou F1 azávažína pravou misku va tlakovou silou F2 Pro velikosti těcto sil platí: F 1 = m 1 g V 1 ϱg, F 2 = m 2 g V 2 ϱg (1) Je-li soustava v rovnovážné poloze, platí : F 1 = F 2 (2) kolmo na velmi malé části stěn stejnéo obsau Podle výsledku vysvětlete vztay, k nimž jste dospěli v závěru úloy a) gfedcba`_^]\[zyxwvutrqponm a) Obr 3b (1) ϱ Obr 3a (2) ϱ Je-li objem V 1 tělesa roven objemu V 2 závaží, platí podle (1) : Vϱg= m 1 g F 1 = M 2 g F 2 a podle (2) platí tedy m 1 = m 2 Tento případ je však zcela mimořádný, obvykle platí : V 1 V 2 Platí-li vzta V 1 >V 2, je motnost tělesa menší než motnost použitýc závaží V opačném případě pro V 1 <V 2 je motnost tělesa větší než motnost použitýc závaží V obou případec má tedy postup měření motnosti tělesa na rovnoramennýc pákovýc vaác v atmosférickém vzducu systematickou cybu způsobenou měřící metodou Tuto cybu je nutno korigovat, vyžaduje-li to předepsaná přesnost měření a umožňuje-li to třída přesnosti přístroje Příklad 13 Na kulový balón o průměru 10 m působí tíová síla FG a aerostatická vztlaková síla Fa atmosférickéo vzducu; poměr jejic velikostí je 3 : 4 Hustota atmosférickéo vzducu v okolí balónu je 1,3 kg m 3 Jaká je maximální motnost m zátěže balónu? Při maximální motnosti zátěže balónu je aerostatická vztlaková síla atmosférickéo vzducu v rovnováze s tíovou silou působící na balón se zátěží r =5,0 m, F G : F a =3:4, ϱ =1,3 kg m 3, g =9,81 m s 2 F a = Vϱg= 4 3 πr3 ϱg; F a =6,7 kn; FG = 4 3 F a; F G =5,0 kn p 1 = ϱg, p 2 = ϱg, p 1 = p 2, F 1 = ϱg, F 2 = ϱg, F 1 = F 2, F G1 >F1, F G2 <F 2, kde F G1 je velikost tíové síly působící na kapalinu v nádobě (1) a F G2 je velikost tíové síly působící na kapalinu v nádobě (2) F 1 F1 F 1 x (1) F1 F 1 Obr 3b F2 F 2 F 2 x (2) F2 F 2 b) Obr 3b ~} {zyxwvutsrqponmlkji ílu F1 kolmou k povrcové přímce stěny nádoby (1) můžeme rozložit na dvě složky 1 a 1 k sobě kolmé, z nicž 1 je vodorovná a F 1 je svislá ložka F F 1 je v rovnováze s odpovídající vodorovnou složkou síly, kterou působí F kapalina na stěnu v protilelém místě nádoby F (2) vislá složka 1 směřuje F dolů Výslednice těcto svislýc složek směřuje také svisle dolů a její velikost 22 5
Obr 11a ϱ V 1 V 2 ϱ 2 ϱ 1 ϱ 1 Obr 11b ϱ 1 ϱ 1 ϱ 2 Válec je ponořen do kapaliny o ustotě ϱ v nádobě v klidu tak, že jeo orní podstava je v loubce 1 pod volným povrcem kapaliny a dolní podstava je vloubce 2 pod volným povrcem kapaliny (obr 4) Označme p 1 ydrostatický tlak v kapalině v loubce 1 a p 2 ydrostatický tlak v kapalině v loubce 2 pod volným povrcem kapaliny Na orní podstavu válce působí kapalina tlakovou silou o velikosti F 1 = p 1 směřující svisle dolů; na dolní podstavu válce působí kapalina tlakovou silou o velikosti F 2 = p 2 směřující svisle vzůru; F 2 >F 1 Na stejné protilelé plošky válce působí kapalina stejně velikými tlakovými silami opačnéo směru (např F3, F3 v obr 4); tyto síly jsou v rovnováze Kapalina tedy působí na válec výslednou silou Fvz směřující svisle vzůru; její velikost je : F vz = F 2 F 1 =(p 2 p 1 ) = ( 2 1 )ϱg = ϱg Dosadíme-li objem válce V =, je velikost ydrostatické vztlakové síly : F vz = Vϱg ϱ 2 Obr 11c 5 Aerostatická vztlaková síla Při vysvětlování obsau Arcimedova zákona pro kapaliny jsme se opírali o tyto dva jevy : 1 kapaliny jsou tekuté, 2 na kapalná tělesa na povrcu Země působí tíová síla Tyto jevy se uplatňují také u plynů a u plynnýc těles nacázejícíc se na povrcu Země Na těleso na povrcu Země, které je obklopeno plynem, působí aerostatická vztlaková síla Fa Tato síla se skládá s tíovou silou FG působící na těleso Výslednice obou sil způsobuje, že těleso se v plynu vznáší, klesá nebo stoupá Na rozdíl od kapalin nemají plynná tělesa volný povrc, protože jsou plyny rozpínavé Nenastane tedy rovnovážný stav tělesa, který je obdobný plování tělesa v kapalině Pokus 5 : O působení aerostatické vztlakové síly na tué těleso obklopené atmosférickým vzducem se přesvědčíme pokusem s dasymetrem Dasymetr je rovnoramenná páka otáčivá kolem vodorovné osy Na jednom konci páky je upevněna dutá skleněná koule, na druém konci je upevněno ϱ 2 Na tuý válec zcela ponořený do kapaliny v klidu působí výsledná ydrostatická síla směřující svisle vzůru; její velikost závisí jen na objemu V válce, na ustotě ϱ kapaliny a na velikosti tíovéo zryclení g na daném místě povrcu Země Předpokládáme, že ustota ϱ a tíové zryclení g jsou v prostoru nádoby s kapalinou konstantní Úvau můžeme zobecnit pro stejnorodé tué těleso libovolnéo tvaru zcela ponořené do kapaliny Vymezme v kterémkoli místě kapaliny v klidu s konstantní ustotou část oobjemuv libovolnéo tvaru (obr 5a) Takto vymezené kapalné těleso je v rovnovážné poloze a nemění svůj tvar působením vnějšíc sil podobně jako tué těleso Na toto kapalné těleso působí tíová síla FG v těžišti tělesa a dílčí tlakové síly, kterými působí kapalina kolmo na elementární plocy povrcu tělesa Poněvadž je těleso v rovnovážné poloze, je F výslednice tlakovýc sil v rovnováze s tíovou silou FG Platí F tedy = FG Okolní kapalina působí na vymezené kapalné těleso v jeo těžišti výslednou ydrostatickou vztlakovou silou Fvz F = Všecny vodorovné složky tlakovýc sil jsou navzájem v rovnováze Platí tedy F vz = F G = Vϱg Naradí-li se kapalné těleso tuým stejnorodým tělesem téož tvaru a objemu (obr 5b), nezmění se výslednice tlakovýc sil, kterými okolní kapalina působí na těleso Zpravidla se však změní velikost tíové síly FG Potom tué těleso ponořené do kapaliny již není v rovnovážné poloze, ale působí na ně výslednice tíové síly FG a ydrostatické vztlakové síly Fvz 20 7
H 0 0 ~} {zyxwvutsrqponmlkjigfe Obr 10a H Obr 10b Nádoba s vodou a s kryclí je nestejnorodá soustava plovoucí ve vodě Změněné výšky označíme H, a) Za uvedenýc podmínek platí pro soustavu plovoucí ve vnější kapalině vzta: (H H 0 )ϱg = mg, ΔH = H H 0 = m ϱ > 0 b) Za stejnýc podmínek platí pro krycli plovoucí ve vodě v nádobě vzta: ( 0 )ϱg = mg, Δ = 0 = m ϱ > 0, ΔH =Δ Oba volné povrcy vody nad dnem nádoby se zvýší stejně Příklad 11 tejnorodá koule o objemu V a ustotě ϱ je v rovnovážné poloze na rozraní dvou kapalin v klidu, z nicž orní má ustotu ϱ 1 a dolní ustotu ϱ 2 ; ϱ 1 <ϱ<ϱ 2 a) Jaká část objemu V koule se nacází v orní kapalině a jaká v dolní kapalině? Velikost této síly F vz = Vϱg,kdeV je objem kapaliny rovný objemu tělesa ponořenéo do kapaliny nebo objemu části tělesa, která je ve styku s kapalinou; ϱ je ustota kapaliny, g je velikost tíovéo zryclení na daném místě povrcu Země Takto vyjadřujeme Arcimedův zákon, který objevil řecký učenec Arcimedes Žil v sicilském městě yrakusy v letec 287 až 212 př n l Obecnou platnost Arcimedova zákona dokázal v r 1608 olandský fyzik imon tevin (1548 až 1620) Působiště ydrostatické vztlakové síly Fvz jevždyvmotnémstředuodpovídajícío kapalnéo tělesa Je-li tué těleso stejnorodé, splývá působiště ydrostatické vztlakové síly s těžištěm tělesa nebo s těžištěm jeo části, která je ve styku s kapalinou Hydrostatická vztlaková síla se někdy také nazývá Arcimedova síla Příklad 2 tejnorodé tué těleso zavěsíme na siloměr a zcela ponoříme do kapaliny o ustotě ϱ 1 Na siloměru naměříme velikost taové síly F 1 Potom totéž těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do jiné kapaliny o ustotě ϱ 2 ; na siloměru naměříme velikost taové síly F 2 V žádném z obou případů se těleso nedotýká dna nádoby Kapaliny s tělesem cemicky nereagují ani těleso nerozpouštějí Určete ustotu ϱ tělesa V prvním případě působí kapalina na těleso ydrostatickou vztlakovou silou Fvz1, ve druém silou Fvz2 Podle Arcimedova zákona je F vz1 = Vϱ 1 g, F vz2 = Vϱ 2 g, kde V je objem kapaliny rovný objemu ponořenéo tělesa F 1 = Vϱg Vϱ 1 g; F 2 = Vϱg Vϱ 2 g; F 1 F 2 = ϱ ϱ 1 ϱ ϱ 2 Hustota tělesa ϱ = ϱ 1F 2 ϱ 2 F 1 F 2 F 1 Příklad 3 tejnorodé tué těleso zavěsíme na siloměr a změříme ve vakuu velikost taové síly F, kterou těleso napíná pružinu siloměru Potom těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do kapaliny o ustotě ϱ 1 a změříme velikost taové síly F 1 Při třetím pokusu totéž těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do kapaliny o neznámé ustotě a změříme velikost taové síly F 2 Jak z výsledků měření při těcto třec pokusec určíme neznámou ustotu ϱ kapaliny? Označíme V objem tělesa použitéo při pokusec Podle Arcimedova zákona platí pro třetí pokus : Vϱg= F F 2, pro druý pokus : Vϱ 1 g = F F 1 18 9
danéo stejnorodéo tělesa plovoucío v kapalině a splňujícío vzta (1) jsou jen některé, někdy jen jediná, které odpovídají stálé rovnovážné poloze Ve zvláštníc případec se může stejnorodé těleso plovoucí v kapalině nacázet v rovnovážné poloze volné, splňuje-li vzta (1) Např plovoucí stejnorodá koule nebo stejnorodý válec, jeož rotační osa je vodorovná, jsou v rovnovážné poloze volné Při jakémkoli otočení kolem vodorovné osy procázející motným středem tělesa zůstávají tíová síla a ydrostatická vztlaková síla v rovnováze Při plování nestejnorodéo tělesa v kapalině musí být splněn také vzta (1); ϱ 1 je v tomto případě průměrná ustota tělesa daná vztaem ϱ 1 = m V, kde m je motnost tělesa, V jeo objemo tom, jakéodruu je v tomto případě rovnovážná poloa plovoucío tělesa, rozoduje kromě tvaru také rozmístění částí o různé ustotě v tělese Příkladem nestejnorodéo plovoucío tělesa je ustoměr Je to rotační těleso s takovým rozložením částí o různé ustotě, že těleso plove v kapalině vždy se svislou rotační osou v rovnovážné poloze stálé Volný povrc kapaliny v klidu, v níž ustoměr plove, je ukazovatelem ustoty této kapaliny na stupnici měřicío přístroje Hustoměr se ponoří do kapaliny, v níž plove, tím louběji, čím je ustota kapaliny menší Lodi jsou nestejnorodá tělesa plovoucí ve vodě v rovnovážné poloze stálé tabilita této poloy je tím větší, čím větší může být výcylka lodi z rovnovážné poloy, při níž ještě nedojde k převrácení lodi tabilita rovnovážné poloy lodi závisí především na jejím tvaru a na poloze těžiště Obojí je ovlivněno konstrukcí lodi podle účelu jejío použití i rozložením přepravovanéo nákladu Příklad 9 Hustota ledu je 917 kg m 3, ustota mořské vody, ve které plove ledovec, je 1025 kg m 3 a) Jaká část objemu ledovce je ponořena pod volným povrcem vody? b) Ledovec modelujte ledovým stejnorodým kvádrem o ranác a, b, c (a > b > c) v poloze s minimální potenciální energií tíovou vzledem k volnému povrcu vody Určete vzdálenost těžiště plovoucío kvádru od volnéo povrcu vody jako funkci výšky kvádru v dané poloze Určete vzdálenost motnéo středu 1 části ponořené ve vodě od volnéo povrcu vody, jako funkci výšky kvádru v téže poloze Znázorněte výsledek náčrtkem a) Označme V objem ledovce, V 1 objem ponořené části; ϱ ustotu vody, ϱ 1 ustotu ledu Podle Arcimedova zákona pro těleso plovoucí v kapalině platí Předpokládejme, že stejnorodé těleso o objemu V a ustotě ϱ 1 je zcela ponořené do kapaliny o ustotě ϱ 2 Na těleso působí tíová síla FG svisle dolů a ydrostatická vztlaková síla Fvz svisle vzůru V danýc podmínkác je společným působištěm obou sil těžiště tělesa Pro velikosti těcto sil platí jeden z následujícíc tří vztaů: F G = Vϱ 1 g, F vz = Vϱ 2 g (1) 1 F G >F vz ; potom podle vztau (1) platí ϱ 1 >ϱ 2 Na těleso působí výslednice obou sil směřující svisle dolů Těleso není v rovnovážné poloze Jestliže těleso bylo na počátku pokusu v kapalině v klidu, např zavěšené na vlákně, začne po uvolnění padat; 2 F G = F vz ; podle vztau (1) platí ϱ 1 = ϱ 2 Tíová síla a ydrostatická vztlaková síla působící na těleso jsou v rovnováze, těleso je uvnitř kapaliny v rovnovážné poloze volné V tomto stavu se těleso v kapalině vznáší; 3 F G <F vz ; potom podle vztau (1) platí ϱ 1 <ϱ 2 Na těleso působí výslednice obou sil směřující svisle vzůru Těleso není v rovnovážné poloze Jestliže těleso bylo na počátku pokusu působením vnější síly udržováno pod volným povrcem kapaliny, začne po uvolnění stoupat kvolnémupovrcu kapaliny a vystoupí částí svéo objemu nad kapalinu Tím se však postupně ydrostatická vztlaková síla zmenšuje, až se její velikost vyrovná velikosti tíové síly V tom případě působí na těleso jen částečně ponořené v kapalině vztlaková síla F vz Potom platí vzta F vz = F G íly F vz a F G jsou v rovnováze, těleso je v rovnovážné poloze, plove v kapalině Příklad 5 Tři předměty, z nicž první je z oceli, druý z liníku a třetí ze dřeva, mají stejné objemy Ocelový a liníkový předmět jsou zavěšené na vláknec a zcela ponořené do vody v nádobě, v níž plove dřevěný předmět Porovnejte velikosti ydrostatickýc vztlakovýc sil, působícíc na předměty Označme V objem každéo předmětu, ϱ ustotu vody, ϱ 1 průměrnou ustotu dřeva; označme ydrostatickou vztlakovousílu,kteroupůsobívodanaocelový předmět Fvz1, na liníkový předmět nadřevěnýpředmětf Fvz2, vz Voda působí na ocelový předmět ydrostatickou vztlakovou silou o velikosti F vz1 = Vϱg, na liníkový předmět ydrostatickou vztlakovou silou o velikosti F vz2 = Vϱg; platí tedy F vz1 = F vz2 Na plovoucí dřevěné těleso působí voda ydrostatickou vztlakovou silou o velikosti F vz = Vϱ 1 g<f vz1 16 11
4 Rovnovážná poloa tělesa plovoucío v kapalině Označme V objem stejnorodéo tělesa plovoucío v kapalině, V objem části tělesa ponořené v kapalině; označme ϱ ustotu kapaliny, ϱ 1 ustotu stejnorodéo tělesa, ϱ 1 <ϱ Podle Arcimedova zákona platí pro plovoucí těleso v kapalině V ϱg = Vϱ 1 g Odtud V V = ϱ 1 ϱ < 1 (1) tejnorodé tué těleso plovoucí v kapalině je v rovnovážné poloze, jestliže tíová síla a ydrostatická vztlaková síla působící na těleso jsou v rovnováze Působiště tíové síly je v motném středu tuéo tělesa, působiště ydrostatické vztlakové síly je totožné s motným středem části tělesa ponořené do kapaliny Obě síly mají společnou vektorovou přímku svisléo směru Při malém vycýlení plovoucío tělesa z rovnovážné poloy se působiště obou sil navzájem posunou a vznikne dvojice sil Těleso přestane být v rovnovážné poloze Rovnovážná poloa stejnorodéo tělesa plovoucío v kapalině může být podle okolností stálá, vratká nebo volná Na obr 7a je znázorněn stejnorodý kvádr plovoucí v kapalině v rovnovážné poloze stálé Hmotný střed 1 tuéo tělesa a působiště 2 ydrostatické vztlakové síly působící na těleso leží v téže svislé přímce, která je jednou z os souměrnosti tělesa Vycýlíme-li těleso z této poloy, např malým otočením kolem vodorovné osy v záporném smyslu, změní se tvar části tělesa ponořené do kapaliny a působiště 2 ydrostatické vztlakové síly se přemístí vzledem k motnému středu 1 tělesa (obr 7b) íly FG a Fvz nejsou pak v rovnováze, ale tvoří dvojici sil, která otáčí plovoucí těleso v opačném smyslu, než bylo vycýleno, tedy v kladném smyslu, a vrací je do výcozí poloy Potenciální energie soustavy (kapalina těleso) je v této rovnovážné poloze minimální; motný střed 1 tuéo tělesa ve stálé rovnovážné poloze je níže než je-li těleso ve kterékoli jiné blízké poloze Na obr 8a je znázorněn stejnorodý kvádr plovoucí v kapalině v rovnovážné poloze vratké Hmotný střed 1 tuéo tělesa a působiště 2 ydrostatické vztlakové síly leží opět na téže svislé přímce, která je jinou osou souměrnosti tělesa než v předcázejícím případě Vycýlíme-li těleso z této poloy, např malým otočením kolem vodorovné osy v záporném smyslu, posune se působiště 2 vzledem k motnému středu 1 tělesa (obr 8b) íly FG a Fvz již nejsou v rovnováze, ale tvoří dvojici sil, která otáčí plovoucí těleso ve stejném ledu, ϱ 2 ustotu olova; tyto veličiny považujeme za konstantní bez oledu na teplotu Na počátku děje platí podle Arcimedova zákona [ϱ 1 (V v)+ϱ 2 v]g = V 1 ϱg (1) Po roztání ledu vznikne voda o objemu V 2 Počáteční motnost ledu se rovná motnosti vody vzniklé roztáním ledu; to vyjadřuje vzta Ze vztaů (1) a (2) určíme (V v)ϱ 1 = V 2 ϱ (2) V 2 = V 1 v ϱ 2 ϱ Původní objem vody se zvětší o objem V 2 + v = V 1 v ϱ 2 ϱ ϱ a současně se zmenší o objem V 1 Nastane tedy celková změna objemu vody o ΔV = V 2 + v V 1 = v ϱ 2 ϱ ϱ Protože platí ϱ 2 >ϱ, ΔV < 0 Po roztání ledu se kousek olova uvolní a klesne ke dnu nádoby, volný povrc vody v nádobě klesne b) Při stejném označení jako v úloze a) dostaneme vztay (1) a (2) Po roztání leduplovevevoděkousekkorkuoobjemuv, který je ponořen ve vodě objemem v 1 Podle Arcimedova zákona platí vϱ 2 g = v 1 ϱg, tjv 1 = v ϱ 2 ϱ Pod volným povrcem vody v nádobě nastane přírůstek objemu V 2 +v 1 = V 1 a současně úbytek o objemu V 1 Nastane tedy celková změna objemu vody ΔV =(V 2 + v) V 1 =0 Po roztání ledu kousek korku plove ve vodě a poloa volnéo povrcu vody se nezmění Závěr úloy a) platí pro všecna tělesa uzavřená v plovoucím ledu, která mají ustotu větší, než je ustotu vody Závěr úloy b) platí pro všecna tělesa uzavřená v plovoucím ledu, která mají ustotu menší, než je ustotu vody c) Po roztání ledu unikne vzduc uzavřený v ledu do okolí Platí tedy stejný závěr jako v příkladu 7 14 13
Příklad 6 Do odměrnéo válce s vodou o objemu 180 cm 3 vložíme stejnorodé těleso o motnosti 60 g, které plove ve vodě Na které odnotě objemu se ustálí volný povrc vody v odměrném válci? Označme m = 60 g motnost tělesa, ϱ ustotu vody, V objem části plovoucío tělesa ponořené do vody; V 0 = 180 cm 3 objem vody v odměrném válci Podle Arcimedova zákona pro velikost ydrostatické vztlakové síly působící na plovoucí těleso platí F vz = Vϱg Velikost tíové síly působící na těleso F G = mg ZevztauF vz = F G určíme smyslu, jako bylo vycýleno, tedy v záporném smyslu Potenciální energie soustavy (kapalina těleso) je v rovnovážné poloze vratké maximální; motný střed 1 tělesa ve vratké rovnovážné poloze je níže, než je-li ve kterékoli jiné blízké poloze Plovoucí těleso může překlopením o 180 změnit rovnovážnou polou vratkou v rovnovážnou polou stálou (z poloy na obr 8a do poloy na obr 7a) Fvz Fvz V = m ϱ ; V =60cm3 Volný povrc vody se ustálí na odnotě odpovídající objemu V 0 + V = 240 cm 3 1 2 1 2 Příklad 7 V nádobě naplněné po okraj vodou plove kus ledu Přeteče voda přes okraj nádoby, když led roztaje? Označme V objem ponořené části kusu ledu plovoucío ve vodě; V 1 objem vody, která vznikne roztáním ledu, V 2 počáteční objem kusu ledu, ϱ 1 ustotu ledu, ϱ ustotu vody Tyto veličiny považujeme za konstantní bez oledu na teplotu Pro počáteční situaci platí podle Arcimedova zákona V 2 ϱ 1 g = Vϱg apo úpravě V 2 ϱ 1 = Vϱ Hmotnost počátečnío kusu ledu se rovná motnosti vody, která vznikla roztáním ledu; V 2 ϱ 1 = V 1 ϱ Po dosazení z předcázející rovnice dostaneme Vϱ= V 1 ϱ,tjv = V 1 Když led roztaje, zůstane nádoba naplněná po okraj vodou, voda nepřeteče přes okraj nádoby Příklad 8 V nádobě naplněné po okraj vodou plove kus ledu V ledu je a) kousek olova, b) kousek korku, c) uzavřena vzducová bublina Co se stane, když všecen led roztaje? Popište a zdůvodněte a) Označme V počáteční objem plovoucío tělesa, V 1 počáteční objem ponořené části tělesa ve vodě, v objem kusu olova; ϱ ustotu vody, ϱ 1 ustotu Fvz FG Obr 7a 2 1 2 1 FG Obr 7b ) Obr 8a Obr 8b KJIHGFEDCBA@?>=< :9876543210/-,+*LPočet možnýc ('&%$#"! FG stálýc a vratkýc rovnovážnýc polo stejnorodéo tělesa plovoucío v téže kapalině závisí na tvaru tělesa Ze všec rovnovážnýc polo Fvz FG 12 15
Z rovnosti podílů levýc a pravýc stran obou rovnic určíme ustotu kapaliny ϱ = F F 2 F F 1 ϱ 1 Příklad 4 Na vodorovnou desku sklonnýc va se stupnicí v newtonec postavíme nádobu s vodou a na stupnici va změříme velikost tlakové síly F 1,kterou působí nádoba s vodou na desku; F 1 =10,00 N Na siloměr zavěsíme ocelový válec a na stupnici siloměru změříme velikost taové síly F 2, kterou válec působí na pružinu siloměru; F 2 =5,00 N Potom ocelový válec zavěšený na siloměru zcela ponoříme do vody v nádobě postavené na desce sklonnýc va Jaká je velikost taové síly naměřené nyní na stupnici siloměru? Jaká je velikost tlakové síly naměřené současně na stupnici sklonnýc va? Při pokusec neuvažujeme účinek vztlakové síly atmosférickéo vzducu na tělesa Těleso ponořené do kapaliny se nedotýká dna nádoby Označme V objem ocelovéo válce; ustota vody ϱ = 1000 kg m 3, ustota oceli ϱ 1 = 7800 kg m 3 Podle Arcimedova zákona působí voda na ocelový válec, který je v ní zcela ponořený, vztlakovou silou Fvz směřující vzůru; F vz = VϱgObjemV válce určíme ze vztau F 2 = Vϱ 1 g Platí tedy : Vϱ 1 g = V 1 ϱg Odtud určíme V 1 = ϱ 1 ϱ V ; V 1 =0,895V =0,9V b) tejnorodý ledový kvádr plovoucí ve vodě má minimální potenciální energii tíovou, je-li délka nejmenší rany c jeo výškou Těžiště ledovéo kvádru je ve středu souměrnosti tělesa, tj v loubce asi 0,40c pod volným povrcem vody Hmotný střed 1 částikvádruponořenévevodějevloubceasi0,45c podvolnýmpovrcemvody,tjvloubceasi0,05c pod těžištěm kvádru (obr 9) 1 a Obr 9 Příklad 10 Ve vodě plove tenkostěnná válcová nádoba s vodou, jejíž volný povrc je ve výšce 0 nad dnem nádoby Dno nádoby o obsau se nacází v loubce H 0 pod volným povrcem vnější vody (obr 10a) Do vody v nádobě se vloží stejnorodá krycle o motnosti m, která ve vodě plove Hmotnost nádoby je zanedbatelná vzledem k motnosti vody v nádobě a motnosti krycle Tloušťku dna považujeme za nulovou (obr 10b) cba`_^]\[zyxwvutrqponmd c F vz = ϱ ϱ 1 F 2 =0,64 N Podle třetío Newtonova poybovéo zákona působí voda a válec v ní ponořený navzájem na sebe stejně velikými výslednými silami opačnéo směru Voda působí na válec silou Fvz svisle vzůru, válec působí na vodu stejně velikou silou svisle dolů Na siloměru zjistíme tedy velikost taové síly F 2 F vz =4,36 N Na stupnici sklonnýc va zjistíme velikost tlakové síly F 1 + F vz =10,64 N a) Jak se změní výška volnéo povrcu vody nad dnem vně nádoby? b) Jak se změní výška volnéo povrcu vody nad dnem uvnitř nádoby? 3 Výslednice sil působícíc na uvolněné těleso v kapalině V článku 2 jste poznali, že na stejnorodé tué těleso zcela ponořené do kapaliny působí výslednice tíové síly FG a ydrostatické vztlakové síly Fvz Proto takové těleso bez působení další síly není obecně v rovnovážné poloze 10 17
76543210/-,+*)('&%$#"! 8Pokus Obr 6 9: <=>?@ABCDEFGHIJKL8 Fvz FG Fvz FG b) Proveďte diskusi výsledku Nakreslete příslušné náčrtky c) Popište situace pro ϱ = ϱ 1 aproϱ = ϱ 2 Nakreslete příslušné náčrtky a) Označme V 1 objem části koule, která se nacází v orní kapalině, V 2 objem části koule, která se nacází v dolní kapalině V = V 1 + V 2 (1) Na každou z obou částí koule působí tíová síla a ydrostatická vztlaková síla Protože koule je v rovnovážné poloze, platí (V 1 + V 2 )ϱg = V 1 ϱ 1 g + V 2 ϱ 2 g (2) Obr 5a Fvz = FG 4 : Pokus 3 obměníme tak, že do kapaliny ponoříme jen část tělesa zavěšenéo na siloměru Pomocí siloměru zjistíme, že velikost ydrostatické vztlakové síly Fvz je nyní menší než v pokusu 3 Platí tedy F vz <F vz Výsledek pokusu vysvětlíme úvaou podle obr 6 Na stejnorodý přímý válec, jeož dolní podstava o obsau je v loubce 2 pod volným povrcem kapaliny, působí ydrostatická vztlaková síla o velikosti : F vz = F 2 = 2ϱg = V ϱg, kde V je objem kapaliny rovný objemu části válce ponořenéo do kapaliny Výsledky pokusů a úva lze srnout takto : Na tué těleso ponořené úplně nebo zčásti do kapaliny v klidu působí ydrostatická vztlaková síla Fvz směřující svisle vzůru V 1 = ϱ 2 ϱ ϱ 2 ϱ 1 V, V 2 = ϱ ϱ 1 ϱ 2 ϱ 1 V (3) b) Z rovnic (3) dostaneme V 1 = ϱ 2 ϱ V 2 ϱ ϱ 1 1 V prvním případě je V 1 >V 2, tj větší část objemu koule je v orní kapalině; nastane to tedy, když ϱ< ϱ 1 + ϱ 2 2 V druém případě je V 1 = V 2, v každé z obou kapalin je polovina objemu koule; ϱ = ϱ 1 + ϱ 2 2 V třetím případě je V 1 <V 2, tj větší část objemu koule je v dolní kapalině; ϱ> ϱ 1 + ϱ 2 (obr 11a) 2 c) Pro ϱ = ϱ 1 platí podle (3) V 1 = V, V 2 = 0; celá koule se vznáší v orní kapalině (obr 11b) Pro ϱ = ϱ 2 platí podle (3) V 1 =0, V 2 = V ; celá koule je pod rozraním obou kapalin (obr 11c) Obr 5b m soustavy rovnic (1) a (2) dostaneme 2 F 2 19
odpovídá rozdílu F G1 F 1 > 0; F G1 >F 1 ílu F2 kolmou k povrcové přímce stěny nádoby (2) můžeme rozložit na F dvě složky 2 a 2,ksobě kolmé, z F nicž 2 je vodorovná F a 2 je svislá F ložka 2 je v rovnováze s F odpovídající vodorovnou složkou síly, kterou působí kapalina na stěnu nádoby (2) v protilelém místě nádoby F vislá složka 2 směřuje vzůru Výslednice těcto svislýc složek směřuje také svisle vzůru a její velikost odpovídá rozdílu F 2 F G2 > 0; F G2 <F 2 ocelové závaží, jeož objem je velmi malý vzledem k objemu koule oustava je ve vzducu v rovnovážné poloze (obr 12a) oustavu umístíme do prostoru pod recipientem vývěvy, v němž vytvoříme vakuum Konec páky s koulí klesne (obr 12b) 2 Arcimedův zákon Na každou libovolně malou rovinnou část povrcu tuéo tělesa ponořenéo do kapaliny na povrcu Země působí kapalina tlakovou silou kolmo k této části povrcu tělesa Jaký je účinek výslednice těcto sil na těleso zcela ponořené v kapalině? Pokus 3 : Těleso zavěsíme na siloměr a změříme sílu, kterou těleso v tíovém poli napíná pružinu Potom těleso zavěšené na siloměru zcela ponoříme do kapaliny Pružina siloměru je nyní napínána menší silou než v prvním případě Na těleso ponořené do kapaliny v klidu působí kapalina výslednou ydrostatickou vztlakovou silou směřující proti tíové síle Velikost této síly lze určit z rozdílu velikostí obou sil naměřenýc siloměrem Výsledek pokusu vysvětlíme následující úvaou s využitím pojmu ydrostatický tlak Úvau provedeme nejprve pro přímý stejnorodý tuý válec o obsau podstavy a o výšce 2 1 F1 F3 F3 Obr 4 6 F2 Jev Obr 12a Obr 12b vysvětlíme takto: Pokud je soustava v atmosférickém vzducu, působí na kouli i závaží aerostatická vztlaková síla vzducu Avšak na kouli působí větší aerostatická vztlaková síla než na závaží, protože koule má větší objem než závaží Je-li soustava ve vakuu, je aerostatická vztlaková síla atmosférickéo vzducu nulová Tělesa působí v koncovýc bodec páky různými taovými silami, které odpovídají různým tíovým silám Označíme-li m k motnost koule a m z motnost závaží, platí podle pokusu m k g>m z g,tedytakém k >m z Z pokusu je patrno, že aerostatická vztlaková síla atmosférickéo vzducu ovlivňuje výsledek měření motnosti tělesa při použití rovnoramennýc va Těleso o monosti m zavěsíme na siloměr a změříme velikost taové síly F Je-li siloměr s tělesem v klidu vzledem k povrcu Země a ve vakuu, je velikost naměřené taové síly F rovna velikosti tíové síly, kterou působí Země jako otáčející se vztažná soustava na těleso, F = mg Nacází-li se siloměr s tělesem v atmosférickém vzducu, působí na těleso kromě tíové síly FG svisle dolů ještě aerostatická vztlaková síla Fa svisle vzůru; velikost naměřené taové síly je pak F = mg Vϱg,kdeV je objem tělesa, ϱ je ustota atmosférickéo vzducu v místě a v čase měření; F<mg Příklad 12 Na rovnoramennýc pákovýc vaác měříme obvykle motnost tělesa tak, že na levou misku položíme těleso a na pravou misku klademe závaží, pokud se jazýček vaadla neustálí na nulové čárce stupnice Pak je soustava v rovnovážné poloze, motnost tělesa považujeme za rovnou součtu motností závaží Při tomto postupu nebereme v úvau aerostatické vztlakové síly, kterými pů- 21
Označme Fz tíovou sílu, která působí na zátěž o maximální motnosti m F z = F a F G ; F z =1,7 kn; m = F z g ; m =1,7 10 2 kg Pro motnost m zátěže balónu tedy platí : m 1,7 10 2 kg F1 Obr 2 1 1 Je tedy F výslednice všec sil, kterými působí kapalina na dno a vnitřní stěny válcové nádoby Tlak u dna nádoby určíme ze vztau: KJIHGFEDCBA@?>=< :9876543210/L p = F = ϱg tejným způsobem určíme tlak p v libovolné loubce pod volným povrcem kapaliny v klidu Tlak p se nazývá ydrostatický tlak vloubce pod volným povrcem kapaliny v klidu na povrcu Země Příklad 1 Dvě nádoby tvaru komoléo kužele mají stejný obsa dna; jedna z nic má stěny od dna rozbíavé (1) a druá sbíavé (2) (obr 3a) Obě nádoby jsou postaveny dnem na vodorovnou podložku, která je v klidu vzledem k povrcu Země Nádoby jsou naplněny kapalinou o ustotě ϱ do stejné výšky od dna a) Jaký je ydrostatický tlak p u dna nádoby (1) a nádoby (2)? Jaká je velikost tlakové síly, kterou působí kapaliny na dno nádoby (1) a nádoby (2)? Porovnejte s velikostí tíové síly působící na kapalinové těleso v nádobě (1) a v nádobě (2) b) Znázorněte tlakové síly F1, F2, kterými působí kapalina v loubce x pod volným povrcem kapaliny na stěnu nádoby (1) a nádoby (2); x<; síly působí F F1 6 Platí Arcimedův zákon v podmínkác beztížnéo stavu? Při vysvětlování obsau Arcimedova zákona jsme vycázeli z těcto předpokladů: kapalina je tekutá; na kapalinu i na těleso v ní ponořené působí na povrcu otáčející se Země tíová síla; v kapalině v klidu existuje ydrostatický tlak, který je přímo úměrný loubce pod volným povrcem kapaliny Na každém místě na povrcu Země je jednoznačně určen svislý směr dolů V tomto směru se ustálí vlákno olovnice nebo osa pružiny siloměru se zavěšeným tělesem V podmínkác beztížnéo stavu, např uvnitř umělé družice Země, na kterou působí na oběžné dráze jen centrální gravitační pole Země, jsou všecny směry fyzikálně rovnocenné V prostoru existuje dokonalá symetrie směrů Zavěsíme-li těleso na pružinu, pružina se neprodlouží v žádném směru Účinky tíové síly se neprojeví ani na molekuly kapaliny Proto se změní i vlastnosti kapaliny obvykle pozorované na povrcu Země V beztížném stavu se nevytvoří volný povrc kapaliny ve vodorovné rovině; tvar volnéo povrcu kapalnéo tělesa je určen jen vzájemným silovým působením molekul kapaliny Vzájemné silové působení molekul v povrcové vrstvě kapaliny je příčinou too, že kapalné těleso v beztížném stavu zaujme kulový tvar V kapalině v beztížném stavu neexistuje ydrostatický tlak V podmínkác beztížnéo stavu nejsou tedy splněny základní předpoklady platnosti Arcimedova zákona V beztížném stavu Arcimedův zákon neplatí Úloy 1 tejnorodý kousek kovu zavěsíme ve vzducu na pružinu siloměru a změříme velikost taové síly 0,100 N Ponoříme-li těleso zavěšené na siloměru zcela do vody tak, že se nedotýká dna nádoby s vodou, naměříme taovou sílu 0,080 N Ponoříme-li těleso zcela za stejnýc podmínek do oleje, naměříme taovou sílu 0,085 N Určete a) objem tělesa, b) ustotu kovu, c) ustotu oleje Aerostatickou vztlakovou sílu působící na těleso ve vzducu neuvažujeme [2,0 cm 3 ; 5,0 10 3 kg m 3 ;0,75 10 3 kg m 3 ] 4 23
1 Vlastnosti kapalnéo tělesa v klidu na povrcu Země Kapaliny jsou složeny z molekul, které jsou v neustálém neuspořádaném poybu a které se snadno navzájem posunují To se projevuje navenek jako tekutost Vzájemné silové působení molekul uvnitř kapaliny je dostatečně účinné, aby kapalné těleso zacovávalo vlastní objem V kapalinác jsou molekuly velmi blízko sebe, proto jsou kapaliny při působení vnějšíc sil velmi málo stlačitelné Např je-li pro vodu při normálním tlaku asi 0,1 MPaapřiteplotě20 CobjemV 0, zmenší se objem při stonásobném tlaku o 4,5 10 10 V 0 Nejde-li tedy o velmi veliké tlakové změny, můžeme kapalná tělesa považovat za nestlačitelná Můžeme předpokládat, že kapalné těleso má za stálé teploty stálý objem a stálou ustotu Je-li kapalina v nádobě na povrcu Země v klidu, působí tíová síla na kapalné těleso jako na celek; její působiště je v těžišti kapalnéo tělesa Tíová síla však současně působí i na jednotlivé molekuly Toto silové působení spolu s tekutostí a stálostí objemu kapalnéo tělesa je příčinou too, že kapalné těleso v klidu má volný povrc ve vodorovné rovině, tjvroviněkolmékesměru tíové síly na daném místě povrcu Země Z týcž důvodů vyplní kapalné těleso vždy celou část nádoby pod volným povrcem kapaliny Kapalné těleso v klidu na povrcu Země má proměnlivý tvar podle vnitřnío tvaru nádoby, v níž se nacází Pokus 1 : Do igelitovéo sáčku s malým otvorem ve stěně nalejeme vodu a sáček uzavřeme Ať jakkoli změníme tvar sáčku, vytéká voda otvorem vždy kolmo ke stěně sáčku v místě otvoru Z pokusu usuzujeme, že na povrcu Země působí kapalina v nádobě v klidu na každou rovinnou část stěny nádoby tlakovou silou, která je kolmá k této rovině Pokus 2 : Abycom moli porovnávat velikosti tlakovýc sil působícíc na tutéž rovinnou plocu uvnitř kapaliny v klidu, použijeme nálevku s pružnou blanou (obr 1a) K nálevce připojíme trubici otevřenéo kapalinovéo manometru Na počátku pokusu je volný povrc kapaliny v obou ramenec manometru v téže vodorovné rovině V obou ramenec je u volnéo povrcu kapaliny tlak rovný atmosferickému tlaku Přitlačíme-li dlaň k bláně, prone se blána dovnitř a stlačí vzduc v nálevce i v trubici, která je k ní připojena V uzavřeném ramenu manometru je nyní větší tlak než v otevřeném Protože kapalné těleso v trubici manometru je nestlačitelné, volný povrc kapaliny v uzavřeném ramenu klesá a v otevřeném stoupá Čím větší tlakovou silou zevně na blánu působíme, tím větší je svislá vzdálenost obou volnýc povrců kapaliny v ramenec manometru se nedotýká dna nádoby Naměříme velikost taové síly 1,00 N Je koule dutá nebo plná? [dutá] 7 Platí Arcimedův zákon na povrcu Měsíce? Odpověď zdůvodněte Obr 13 1 =2 2 1 2 2 = 1 8 Na dno prázdné nádoby jsou postaveny dva plné válce podle obr 13 Hustota materiálu válců je ϱ, obsa dna ornío válce je 1, dolnío 2 ; 2 = 1, výšky 2 válců jsou 1, 2 ; 1 = 2 Nádobu naplníme do výšky >2 1 kapalinou o ustotě ϱ k ; ϱ k =2ϱ; kapalina nereaguje s materiálem těles Uvažujte tyto možnosti : a) tykové plocy válců a dna nádoby jsou utěsněny tak, že kapalina mezi ně nepronikne b) Jen stykové plocy dna dolnío válce a nádoby jsou upraveny jako v a) c) Jen stykové plocy válců jsou upraveny jako v a) d) Mezi všecny stykové plocy soustavy může kapalina proniknout Jsou pro válcová tělesa ve všec případec a), b), c) splněny podmínky Arcimedova zákona? Odpověď vysvětlete Popište výslednou situaci v každém případě a nakreslete k ní obrázek Je výška volnéo povrcu kapaliny nad dnem nádoby ve výsledné situaci jednotlivýc případů a), b), c) stejná, nebo se změní? Odpověď zdůvodněte 2 25