Řešení úloh celostátního kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Úlohy navrhl J. Thomas

Transkript

1 Řešení úlo celostátnío kola 59. ročníku fyzikální olympiády Úloy navrl J. Tomas 1.a) Rovnice rozpadu je 38 94Pu 4 He U; Q E r [ m 38 94Pu ) m 4 He ) m 34 9U )] c 9, J 5,71 MeV. body b) K dosažení výkonu P, kw musí být počáteční aktivita radioizotopu A P Q. Protože A λn ln T m m 38 94Pu ) P T m 38 94Pu ) Q ln m A T m 38 94Pu ) 3,46 kg. ln body c) Aktivita vzorku klesne za dobu t z A na A. Ze zákona radioaktivní přeměny: ) t ) 687 A 1 T 1 87,7 365,5,985 98,5 %. A Aktivita vzorku se tedy zmenší jen o 1,5 %. body d) Počáteční elektrický výkon je P 1,6P 1 W klesne na P 1 W. Protože aktivita vzorku a získaný výkon jsou veličiny přímo úměrné, můžeme psát P P 1 A A ) t ) t 1 T 1 87,7 e) Výkon jednoo pulzu je t T log P P 1 log 1 P E 1 τ,3 J 5, 1 9 s 6, MW. 87,7 roku log 5 6 log 1 3 let. body Počet fotonů v jednom pulzu pak je N E 1 c λ λe 1 c 1, body

2 .a) Zvolme si vztažnou soustavu spojenou s lodí A. V této soustavě se loď B poybuje vzledem k lodi A po přímce s relativní ryclostí v r v v 1 obr. 1). Hledáme velikost úlopříčky v kosočtverci: v r v cos α. Obr. R1 Nejmenší vzdálenost mezi loděmi pak bude l min sin α. body Obr. R b) Vypustíme-li člun v libovolné poloze C lodi B, je v soustavě spojené s lodí A velikost jeo ryclosti u r v cos γ. 1) Označme t dobu plavby člunu z místa C k lodi A. Podle sinové věty platí u r t sin α sin sin 3 18 α γ) sin 15 γ). Z too plyne t u r 1 sin 15 γ). Užitím vztau 1) dostaneme t 4v cos γ sin 15 cos γ cos 15 sin γ) 4v cos γ ) 1 3 cos γ + sin γ v 1 cos γ cos γ + 3 sin γ ).

3 Pomocí derivace ledáme takový úel γ, pro který je jmenovatel druéo zlomku maximální: d dγ cos γ cos γ + 3 sin γ ) sin γ cos γ + 3 sin γ ) + cos γ sin γ + 3 cos γ ) 3 cos γ sin γ ) sin γ cos γ 3 cos γ sin γ. Z podmínky nulové derivace dostaneme tg γ 3 γ 3. Pro tento úel dostaneme ledanou minimální dobu t min 1 v cos 3 cos sin 3 ) 3v c) V soustavě spojené s lodí A je úel β α, loďka bude mít ryclost u r u v 1 a bude svírat s přímkou AB úel γ obr. R3). Obr. R3 Z obrázku je vidět, že doba τ a s ní spojená vzdálenost v r τ) bude maximální při největším úlu γ mezi směrem relativní ryclosti u r a úsečkou AB. Maximální velikost úlu γ lze najít, sestrojíme-li diagram ryclostí obr. R4). Vektor ryclosti člunu u může mít teoreticky libovolný směr, jeo vrcol může být v libovolném místě na kružnici. Úel γ bude maximální, bude-li mít ryclost u r směr tečny k této kružnici. Pak sin γ max u v. Obr. 4

4 Podle sinové věty z trojúelníka ABS v r τ max sin γ max sin π β γ max ). Odtud ledaná doba sin γ max sin β + γ max ) v cos β sin γ max sin β cos γ max + sin γ max cos β τ max v r sin γ max v sin β 1 sin γ max + sin γ max cos β v v ) u Vidíme, že při u τ max ; při u v τ max 3v ; při u > v může člun donat loď A kdykoli. d) Ryclost náboje bude minimální, bude-li vržen pod úlem α 45, když bude vzdálenost lodí minimální, tedy. Pro délku vru pak l min v min g v min g. body 3.a) Při dotyku malé kuličky a velké koule budou mít obě stejný potenciál. ϕ Q q. C + c c Odtud q c Q. Protože kapacita kulovéo vodiče závisí na jeo poloměru C + c C 4πε R, je ledaný součinitel γ c r C + c R + r. body b) Potenciál koule A po dotyku malé kuličky bude ϕ A Q A C + c. Náboj malé kuličky bude q Q Ac C + c c ϕ A ; na kouli zůstane náboj Cϕ A. Dotkneme-li se nyní malou kuličkou koule B, bude na soustavě celkový náboj Cϕ B + c ϕ A a její potenciál bude ϕ B1 Cϕ B + c ϕ A C + c 1 γ) ϕ B + γϕ A. Na malé kuličce zůstane náboj q c ϕ B1, na kouli B zůstane náboj Q B1 Cϕ B1. Při dotyku koule A bude celkový náboj Cϕ A + c ϕ B1 ), jejic potenciál bude ϕ A1 Cϕ A + c ϕ B1 C + c 1 γ) ϕ A + γϕ B1.

5 Rozdíly potenciálů budou ϕ A ϕ B1 ϕ A 1 γ) ϕ B γϕ A 1 γ) ϕ A ϕ B ) ϕ A1 ϕ B1 1 γ) ϕ A +γϕ B1 ϕ B1 1 γ) ϕ A ϕ B1 ) 1 γ) ϕ A ϕ B ). Provedeme-li k přenosů, bude ϕ Ak ϕ Bk 1 γ) k ϕ A ϕ B ). 1) Uvážíme-li, že přenášený náboj je v porovnání s náboji velkýc koulí zanedbatelný a že potenciál je úměrný náboji, můžeme napsat a podle zákona zacování náboje Sečtením vztaů dostaneme Q Ak 1 Q A a jejic odečtením Q Bk 1 Q A Q Ak Q Bk 1 γ) k Q A Q B ) Q Ak + Q Bk Q A + Q B. ) [ γ) k] + 1 Q B [ 1 1 γ) k] 8,5 nc [ 1 1 γ) k] + 1 [ Q B γ) k],5 nc. 5 bodů c) Rozdíl nábojů má být menší, než 1 % součtu původníc nábojů, tedy ) QA Q Ak Q Bk Q A Q B ) 1 γ) k 1 Q B ) 1 γ) k,1 Q A + Q B Q A + Q B QA + 1 Q B ) k ln,1 QA +1 Q B ) QA 1 Q B ln 1 γ) 11. Přesné řešení části b): Q Z rovnice 1) Ak Q Bk C + c C 1 QA γ)k Q ) B C + c C ) C Q C + c Ak Q Bk 1 γ) k C Q C + c A Q B 1 γ) Q Ak Q Bk {1 γ) Q A Q B } 1 γ) k. a ze zákona zacování náboje ) Q Ak + Q Bk Q A + Q B sečtením a úpravou dostaneme náboj koule A: Q Ak 1 {1 γ) Q A [1 + 1 γ) k] [ + Q B 1 1 γ) k]} + γ γ γ Q A.

6 Náboj koule B pak Q Bk Q A +Q B 1 {1 γ) Q γ A [1 + 1 γ) k] [ + Q B 1 1 γ) k]} γ γ Q A 1 {1 γ) Q γ A [1 1 γ) k] [ + Q B γ) k]} γ γ Q B Výsledky se neliší o více než, %. 4.a) Z předpokladu ustálenéo tepelnéo toku q λ T x λ T T 1 λ T T 1. x konst. plyne Z rovnice dostaneme T T T 1 x + T 1. Teplota uvnitř desky se tedy mění lineárně viz obr. R5). Obr. R4 1 bod b) Hranol leží na ploše o velikosti S. Do ustavení tepelné rovnováy, kdy teplota uvnitř ranolu ve směru dolů lineárně roste, přijme ranol teplo T T 1 T T 1 Q mc l Sρ l c l. Toto teplo musí ranolu předat teplejší deska za dobu τ : Pak Sρ l c l T T 1 Q λ l S T T 1 τ. λ l S T T 1 τ τ ρ lc l s 11. λ l c) Při zamrzání ledu odebírá teplo vznikajícímu ledu vzduc nad jeo povrcem. Toto teplo dodává kapalná voda pod ledem. Za velmi krátkou dobu dτ vznikne vrstvička ledu o tloušťce dx. Přitom se skupenské teplo krystalizace musí rovnat odebranému teplu. Vzduc musí odebrat jednak teplo rovné skupenskému teplu tunutí a navíc teplo, potřebné k ustavení tepelné rovnováy ve vznikající vrstvě ledu.

7 t l t dm + xsρ l c t 3 t l dx l t Sρ l dx + xsρ l c t 3 l dx λ l S t t 3 dτ x l dτ t ρ l λ l t t 3 ) xdx + ρ lc l xdx, λ l l t ρ l τ 1 λ l t t 3 ) + ρ lc l l t ρ l ) xdx λ l λ l t t 3 ) + ρ lc l 6,7 1 5 s 7,3 dne. 4λ l d) Při tání ledu je teplo potřebné k jeo tání přiváděno vrstvou vody, která vzniká na jeo povrcu. Zvolme osu x s počátkem v rovině ladiny v orní vrstvě vody ve směru dolů. Za nekonečně malou dobu dτ přibude nad ledem voda nekonečně malé tloušťky dx, přičemž platí rovnice tepelné rovnováy z níž plyne λ t 4 t x dτ t 4 t Sdx l t Sρ l dx + Sρ c dx l t ρ l λ t 4 t ) + ρ c λ ) xdx. Integrací v mezíc od nuly do konečné tloušťky vrstvy ρ l ρ dostaneme l τ t ρ l λ t 4 t ) + ρ ) c l t ρ l xdx λ λ t 4 t ) + ρ ) [ ] c x ρ l ρ λ l t ρ 3 l λ ρ t 4 t ) + c ρ l 4λ ρ 1, s dní.