Line rn algebra II podle p edn ek prof. Franti ka ika Sazbu v L A TEXu p ipravil Du an Dobe Obsah Diagonalizovatelnost matic 2 Symetrick transformace 4 3 Hermitovsk matice a kongruentnost 5 4 Pozitivn refundn matice 7 5 Kvadratick formy 6 Jordanova kanonick forma matice 3 7 Polynomi ln matice 7 8 Minim ln polynom matice 2

DIAGONALIZOVATELNOST MATIC Diagonalizovatelnost matic Denice. Charakteristick matice A (nad C) je matice A = I, kdei je jednotkov matice. Charakteristick polynom matice A je polynom ja ; Ij Charakteristick ko eny matice A jsou ko eny jej ho charakteristick ho polynomu. Charakteristick ko eny line rn transformace ' v unit rn m prostoru U jsou charakteristick ko eny matice transformace ' vzhledem k libovoln b zi. Denice.2 Bu U (n) unit rn prostor, ' line rn transformace v U (n), b nenulov vektor z U (n) 2 C. Kdy 'b = b, pak b se naz v vlastn vektor ', vlastn hodnota (vl. slo) '. k me, e b je vlastn vektor p slu n vlastn hodnot. Denice.3 Nech A je matice du n nad C, b nenulov vektor z C n, 2 C. Kdy Ab = b,pakb nazveme vlastn m vektorem matice A, vlastn hodnotou matice A. k me, e vlastn vektor b p slu vlastn hodnot. Pozn mka.4 Mno ina v ech vlastn ch vektor p slu n ch dan vlastn hodnot je line rn podprostor. Pozn mka.5 Nech ' je line rn transformace v U (n), (e) b ze v U (n), 6= b 2 U (n), 2 C, [b] sloupec sou adnic vektoru b vzhledem k b zi (e). Pak ' b = b, A T [b] = [b], kdea je matice transformace ' vzhledem k b zi (e). D kaz: '(e) = A(e) [b] T (e) = b [b] T A(e) = [b] T 'e = 'b = b = [b] T, [b] T A = [b] T, A T [b] = [b] 2 V ta.6 Nech ' je line rn transformace v U n, (e) b ze v U (n) 6= b 2 U n, 2 C, [b] sloupec sou adnice vektoru b vzhledem k b zi (e). Pak 'b = b () A T [b] = [b], kde A je matice ' vzhledem k b zi (e). V ta.7 Ka d charakteristick ko en matice je jej vlastn hodnotou a obr cen. Denice.8 N sobnost vlastn hodnoty je n sobnost ko ene charakteristick ho polynomu matice A. Mno ina v ech vlastn ch hodnot matice A, kde ka d vl. hodnota se po t tolikr t, jako je jej n sobnost se naz v spektrum matice A. V ta.9 Podobn matice maj tyt vlastn hodnoty v etn n sobnosti. D kaz: Nech A, B jsou matice a S ; AS = B. ja ; Ij = jb ; Ij = js ; AS ; Ij = js ; jja ; IjjSj = ja ; Ij 2

DIAGONALIZOVATELNOST MATIC 2 Denice. tvercov matice se naz v diagonalizovateln, kdy je podobn diagon ln. V ta. Matice A du n je diagonalizovateln, pr v kdy existuje n vz jemn nez visl ch vlastn ch vektor. V ta.2 Nech ::: k jsou navz jem r zn vlastn hodnoty matice A du n (n k). Pak odpov daj c vlastn vektory tvo line rn nez visl syst m. Je-li k = n, matice A je diagonalizovateln. D kaz: ekn me, e x ::: x k jsou vlastn vektory A p slu n vlastn m hodnot m ::: k. P edpokl dejme, e x ::: x k jsou line rn z visl. Pak existuje netrivi ln nulov line rn kombinace t chto vektor, ekn me, e = x () + :::+ r x (r) je nulov netrivi ln kombinace s nejmen m po tem nenulov ch koecient. Aplikujme A na tuto rovnici: = Ax () + :::+ r Ax (r) = x () + :::+ r r x (r) Vyn sobme tuto rovnici r = r x (r) + :::+ r r x (r) ode ten m = ( ; r )x () + :::+ r; ( r; ; r )x (r;) Dostaneme nulovou netrivi ln kombinaci, kter m m n nenulov ch koecient ne r. To jespor. 2 Denice.3 Permuta n matice je tvercov matice, kter m v ka d m dku a v ka d m sloupci jednu jedni ku, ostatn prvky jsou nulov. Permuta n matice P odpov d permutaci p = 2 ::: n i i 2 ::: i n kdy na pozic ch [i ] [i 2 2] ::: [i n n] m jedni ky, jinde nuly. V ta.4 Nech A je matice du m, P permuta n matice p slu n permutaci p = 2 ::: m i i 2 ::: i m Pak AP je matice, jej sloupce se z skaj permutac sloupc A pomoc permutace p (i x -t p ejde na x-tou pozici). P T A je matice, jej dky se z skaj permutac dk A pomoc permutace p. P T AP tedy d sou asn permutaci sloupc i dk. Diagon ln prvky matice P T AP se z skaj permutac p diagon ln ch prvk matice A. :

DIAGONALIZOVATELNOST MATIC 3 Lemma.5 Nech A, B jsou matice d m, n, C = A B : Pak C je diagonalizovateln, pr v kdy A i B jsou diagonalizovateln. V ta.6 Schurova v ta o unit rn triangularizaci Nech A je matice du n, ::: n jej vlastn hodnoty (v n jak m po dku). Pak existuje matice U tak, e U AU = T, kde T je horn (doln ) troj heln kov matice s diagon ln mi prvky t ii = i i =:::n. Jinak e eno libovoln matice je unit rn ekvivalentn s troj heln kovou matic, jej diagon ln prvky jsou vlastn hodnoty dan matice v p edem p edpokl dan m po dku. Je-li A re ln a jej vlastn hodnoty jsou re ln, pak U je mo no vybrat jako re lnou a ortogon ln. D kaz: Indukc vzhledem k n. 2 V ta.7 Zobecn n Schurova v ta o triangularizaci (neunit rn ) Nech A je matice du n, nech m navz jem r zn vlastn hodnoty ::: k, i m n sobnost n i (i = ::: k). Potom A je neunit rn podobn matici tvaru T T 2. B. @... C A T k Nech T i jsou troj heln kov matice du n i s diagon ln mi prvky i (i = ::: k). Je-li matice A re ln a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln, pak transformuj c matic m e b t re ln matice. Denice.8 Matice du n se naz v norm ln, kdy proniplat AA = A A. Denice.9 Matice A, kter je unit rn ekvivalentn s diagon ln matic, se naz v unit rn diagonalizovateln. V re ln m p pad mluv me o ortogon ln diagonalizovatelnosti. V ta.2 Charakteristick znaky norm ln ch matic Nech A je matice du n, ::: n jej vlastn hodnoty. Pak n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn :. A je norm ln 2. A je unit rn diagonalizovateln 3. P n i= ja ii j 2 = P n i= j i j 2 4. existuje ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice A. D sledek.2 Troj heln kov norm ln matice je diagon ln.

2 SYMETRICK TRANSFORMACE 4 2 Symetrick transformace Denice 2. Line rn transformace ' unit rn ho prostoru U (n) (Euklidovsk ho prostoru E (n) ) se naz v symetrick, kdy plat pro libovoln a b 2 U (n) (a b 2 E (n) ) ('(a) b)=(a '(b)). Denice 2.2 tvercov maticeq nad C se naz v hermitovsk resp. symetrick, kdy Q = Q resp. Q T = Q. V ta 2.3 Symetrick transformace unit rn ho prostoru m vzhledem k libovoln ortonorm ln b zi hermitovskou matici. Obr cen, m -li line rn transformace unit rn ho prostoru vzhledem k jedn ortonorm ln b zi hermitovskou matici, pak je tato transformace symetrick. D kaz:. ' je symetrick transformace. Jej matice Q = (q ij ) vzhledem k jedn ortonorm ln b zi fe ::: e n g. ('(e i ) e j )=( P ) k q ik e k e j )=q i j (e i '(e j )) = (e j P =) Q = Q k q ik e k )=q j i 2. Q = (q ij ) hermitovsk matice line rn transformace ' vzhledem k n jak ortonorm ln b zi e ::: e n. M me dok zat, e pro libovoln a, b dan ho prostoru plat ('a b) =(a 'b). a = P i i e i b = P i i e i ('a b) =(a 'b) Pozn mka 2.4 Symetrick transformace Euklidovsk ho prostoru je charakterizov na podobn jako v p edchoz v t. M sto hermitovsk matice je re ln symetrick matice. V ta 2.5 Line rn transformace ' unit rn ho prostoru je symetrick, kdy aspo pro jednu ortonorm ln b zi plat ('e i e j )=(e i 'e j ) 8i j. D kaz: Je ve druh sti d kazu p edchoz v ty. 2 V ta 2.6 V echny charakteristick ko eny (tedy i v echny vlastn hodnoty) hermitovsk matice jsou re ln. D kaz: Nech x je vlastn vektor (normovan - jxj = x) hermitovsk matice A p slu n vlastn hodnot. = x x = x Ax (x Ax) = x A x = x Ax ) x Ax = 2 R 2 D sledek 2.7 V echny charakteristick ko eny a v echny vlastn hodnoty symetrick line rn transformace jsou re ln. V ta 2.8 Line rn transformace ' unit rn ho prostoru U (n) je symetrick, pr v kdy v U (n) existuje ortonorm ln b ze slo en z vlastn ch vektor matice transformace ' a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln. 2

3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST 5 3 Hermitovsk matice a kongruentnost V ta 3. Libovoln tvercov matice A se d zapsat jako A = S + it, kde S a T jsou hermitovsk matice. D kaz: S ==2(A + A ) T =(;i=2)(a ; A ) ) A = S + it jednozna nost: A = E +if A F hermitovsk 2S = A +A = E +if +(E i F ) = E +E +if ;if = 2E ) S = E T = F 2 V ta 3.2 Matice A du n je hermitovsk, pr v kdy plat kter koli z n sleduj c ch podm nek:. funkce x Ax je re ln pro v echny x 2 C n. 2. matice A je norm ln (existuje ortonorm ln syst m vektor matice A a v echny jej vlastn hodnoty jsou re ln ). 3. matice S AS je hermitovsk pro libovolnou matici S du n 4. matici A je mo no vyj d it ve tvaru A = UDU, kde U je unit rn a D re ln diagon ln. Pozn mka 3.3 Diagon ln prvky matice D jsou vastn hodnoty matice A, za matici V lze vz t matici, jej sloupce jsou vlastn vektory A atotakov, kter tvo ortonorm ln syst m. V ta 3.4 Re ln matice A je symetrick, pr v kdy A = Q T Q, kde Q je re ln ortogon ln a re ln diagon ln. D kaz:. A je re ln symetrick matice. Podle Schurovy v ty A = Q T TQ, kde Q je ortogon ln re ln, T je re ln troj heln kov. Troj heln kov norm ln matice je diagon ln. 2. A = Q T Q, Q je re ln ortogon ln, je re ln diagon ln. A T = Q T T Q = Q T Q = A 2 Denice 3.5 Nech A, B jsou matice t ho du. Kdy existuje regul rn matice S tak, e B = SAS,pakB se naz v hermitovsky kongruentn s A ( kongruentn ) B = SAS T, pak B se naz v kongruentn s A ( T kongruentn ) Denice 3.6 Nech A je tvercov matice du n. Inercie (setrva nost) matice A je trojice i(a) =(i + (A) i ; (A) i (A)), kde i + (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st kladnou

3 HERMITOVSK MATICE A KONGRUENTNOST 6 i ; (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st z pornou i (A) je po et vlastn ch hodnot, kter maj re lnou st nulovou slo i + (A) ; i ; (A) se naz v signatura matice A. Pozn mka 3.7 Pro hermitovsk matice plat i + ; i ; = (signatura) a i + + i ; = r (hodnost) V ta 3.8 (Sylvestrova) v ta o setrva nosti (o inercii) Je-li A hermitovsk nebo re ln symetrick matice a plat -li i(a) =i(b), pak existuje regul rn matice G tak, e A = GBG V ta 3.9 Nech A je matice du n. Pak existuje unit rn matice U a horn troj heln kov matice, ob du n tak, e A = UU T, pr v kdy jsou nez porn vlastn hodnoty matice AA. P i spln n podm nky lze br t jako diagon ln s nez porn mi diagon ln mi prvky. Je-li A (re ln nebo komplexn ) symetrick, pak se matice d br t jako diagon ln, sloupce matice U pak tvo ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice AA, odpov daj c diagon ln prvky matice jsou nez porn druh odmocniny zvlastn ch hodnot matice AA. D kaz: Stoj p li mnoho sil. 2 V ta 3. Nech A, B jsou (re ln nebo komplexn ) matice t ho du. Pak existuje regul rn matice S tak, e A = SBS T pr v tehdy, kdy A, B maj tyt vlastn hodnoty. D kaz:. Kdy A = SBS T, pak A, B maj tut hodnost. 2. P edpokl dejme, e A, B maj tut hodnost. Podle p edchoz v ty existuje A = U U T, U je unit rn, diagon ln. A = diag( ::: n ) = diag(d :::d n ),kde d i = ( p + i i > i = A = U D I(A)D U T = S I(A)S T B = S 2 I(B)S2 T, S, S 2 regul rn. h(a) =h(i(a)) h(b) = h(i(b)), h(a) =h(b) ) h(i(a)) = h(i(b)) ) I(A) =I(B). A = S I(A)S T = S S ; B(S2 T ); S T = SBST I(A) =I(B) =S 2 ; B(S2 T ); a S S 2 ; = S je regul rn. 2

4 POZITIVN REFUNDN MATICE 7 4 Pozitivn refundn matice Denice 4. Hermitovsk nebo re ln symetrick matice A se naz v pozitivn denitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn, resp. re ln vektor plat (Ax x) >. Denice 4.2 Hermitovsk nebo re ln symetrick matice A se naz v pozitivn semidenitn, kdy pro libovoln nenulov komplexn, resp. re ln vektor plat (Ax x). V obou denic ch se m sto (Ax x) d pou t x Ax x = [x ::: x n ] T A = ( ij ) (Ax x) = P i j ij x i x j Denice 4.3 Nech A =( ij ) je matice typu (m n), i <i 2 <:::<i j m, k <k 2 <:::<k l n Pak pod A(i ::: i j jj ::: j l ) rozum me (k l) podmatici v A, kter z A vznikne vynech n m v ech prvk, krom prvk na pozic ch (i k ) = i ::: j = k ::: k l Je-li A tvercov, pak podmatice A(i ::: i j ji ::: i j ) se naz v hlavn podmatice v A. P slu n minor se naz v hlavn minor. Ozna me-li fi ::: i j g jako N j (podobn M l ), pak m sto A(i ::: i j jj ::: j l ) p eme A(N j M l ). V ta 4.4 Nech A =( ij ) je du n, nech m vlastn hodnoty ::: n. Pak plat. P n i= i = P n i= ii 2. ::: n = det(a) 3. E k (x ::: x n )= P det(a(mjm)) card(m) =k, kdee k (x ::: x n ) je k-t element rn symetrick polynom o n neur it ch, toti E k (x ::: x n )= P x " :::x "n n, " i =nebo a P n i= k i = k. V ta 4.5 Hlavn v ta o pozitivn definitn ch matic ch Nech A je hermitovsk resp. re ln symetrick matice du n. Potom n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn.. Matice A je pozitivn denitn. 2. V echna hlavn sla v ech hlavn ch podmatic matice A jsou pozitivn. 3. V echny hlavn minory matice A jsou kladn. 4. det(a(n k jn k )) >, pro k = ::: n, kde N k = f 2 ::: kg (vedouc hlavn minory). 5. (F.. vynechal) 6. Existuje regul rn matice C tak, e A = CC.(C m e b t komplexn i pro A re lnou). 7. Sou ty hlavn ch minor k-t ho du matice A jsou kladn pro k = ::: n. 8. V echny vlastn hodnoty matice A jsou kladn.

4 POZITIVN REFUNDN MATICE 8 9. Existuje unit rn (p i re ln A ortogon ln ) matice U a diagon ln matice D s pozitivn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UDU. D kaz: Dokazuje se ) 2 ) 3 ) 4 ), 3 ) 7 ) 8 ) 9 ) 6 ). ( ) 2) A pozitivn denitn, A(MjM) (6= M N), vlastn hodnota matice A(MjM) p slu n vlastn mu vektoru x(m). A(MjM)x(M) = x(m) < (Ax x) = (A(MjM)x(M) x(m) = (x(m) x(m)) > ) > (2 ) 3) 6= M N det(a(mjm)) = sou in v ech vlastn ch hodnot matice A(MjM) >, proto det(a(mjm)) >. (3 ) 7) evidentn (7 ) 8) =ja ; Ij =(;) n + c (;) +:::+ c n > a p edpokl d me, e n pro libovolnou vlastn hodnotu matice A... spor. (8 ) 9) A = UDU, U unit rn, D diagon ln, A hermitovsk. D je re ln, U unit rn, diagon ln prvky D jsou vlastn hodnoty matice A aty jsou podle p edpokladu kladn. (9 ) 6) A = UDU, D = WW, kde W = B @ p A = UWW U =(UW(UW) )...UW je regul rn.... p n (6 ) ) A = CC, C je regul rn, (Ax x) =(CC x ) =(C x C x) >. V ta 4.6 Hlavn v ta o pozitivn semidefinitn ch matic ch Nech A je hermitovsk resp. re ln symetrick matice du n. Potom n sleduj c podm nky jsou ekvivalentn.. Matice A je pozitivn semidenitn. 2. Matice A + "I je pozitivn denitn pro ka d ">. 3. V echny vlastn hodnoty v ech hlavn ch podmatic matice A jsou nez porn. 4. V echny hlavn minory matice A jsou nez porn. 5. Sou ty hlavn ch minor k-t ho du matice A jsou nez porn pro k = ::: n. 6. V echny vlastn hodnoty matice A jsou nez porn. 7. Existuje unit rn (p i re ln A ortogon ln ) matice U a diagon ln matice D s nez porn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UDU. 8. Existuje tvercov matice C tak, e A = CC. 9. Existuje matice F typu (m n) tak, e A = FF. D kaz: Analogick s p edchoz m d kazem. 2 C A 2

4 POZITIVN REFUNDN MATICE 9 V ta 4.7 Pozitivn semidenitn matice je pozitivn denitn, pr v kdy je regul rn. D kaz: Na z klad hlavn ch v t. 2 V ta 4.8 Je-li A pozitivn denitn, pak A ; existuje ajepozitivn denitn. D kaz: A je regul rn, tedy A ; existuje. Vlastn hodnoty od A ; jsou p evr cen vlastn hodnoty od A. 2 V ta 4.9 Je-li A pozitivn denitn a >, paka je pozitivn denitn. Je-li A pozitivn semidenitn a, paka je pozitivn semidenitn. Jsou-li A, B pozitivn semidenitn, pak A + B je pozitivn semidenitn. Je-li A pozitivn denitn a B pozitivn semidenitn, pak A + B je pozitivn denitn. V ta 4. Je-li A pozitivn denitn a G regul rn matice, pak matice GAG je pozitivn denitn. Je-li A pozitivn semidenitn a G vhodn ho typu, pak matice GAG je pozitivn semidenitn. V ta 4.. Mno ina v ech vlastn ch vektor matice vzhledem k t e vlastn hodnot roz en o nulov vektor tvo vektorov podprostor (vlastn podprostor). 2. Vlastn vektory dan hermitovsk matice p slu n r zn m vlastn m hodnot m jsou ortogon ln. 3. Jsou-li v echny vlastn hodnoty hermitovsk matice navz jem r zn, pak jej vlastn podprostory jsou dimenze. Denice 4.2 Singul rn sla matice A lib. typu jsou kladn druh odmocniny nenulov ch vlastn ch hodnot matice A A.

4 POZITIVN REFUNDN MATICE V ta 4.3 O singul rn m rozkladu matice Nech A je matice typu (m n), hodnosti r. Pak existuj unit rn (pro re lnou A ortogon ln ) matice U du m, V du n a diagon ln matice S du r s kladn mi diagon ln mi prvky tak, e A = UTV, kde T = S : Zde nulov bloky dopl uj matici T na matici typu (m n). P itom matice T je t mito podm nkami ur ena (a na po ad prvk v hlavn diagon le) jednozna n. Je-li matice A re ln, matice U a V mohou b t br ny re ln. Diagon ln prvky matice S jsou singul rn sla matice A. Sloupce matice U jsou vlastn vektory matice AA. Sloupce matice V jsou vlastn vektory matice A A (uspo dan jako u AA ). Jsou-li vlastn hodnoty matice AA navz jem r zn, je matice U ur ena jednozna n a na prost diagon ln faktor = diag( ::: n ) j i j =8i. Je-li r = m = n, pak p i pevn m U je matice V ur ena jednozna n. V ta 4.4 O pol rn m rozkladu tvercov matice A se d vyj d it ve tvaru A = PU, kde P je pozitivn semidenitn a U unit rn. D kaz: Zv ty o singul rn m rozkladu A = U S S V = U U UV {z } = PU {z } U P. 2

5 KVADRATICK FORMY 5 Kvadratick formy Denice 5. Hermitovsk (kvadratick ) forma f (x) n komplexn ch (re ln ch) neur it ch [x ::: x n ] T = x je polynom o t chto neur it ch nad C (R) tvaru f (x) = P n i= ij x i x j.vkomplexn m (re ln m) p pad jsou sla ij komplexn (re ln ) a neur it mohou nab vat komplexn ch (re ln ch) hodnot. Matice A = ( ij ) n i j= je matice formy f (x), p edpokl d se hermitovsk, v re ln m p pad symetrick. Hodnost formy denujeme jako hodnost matice A. V ta 5.2 Jestli e na kvadratickou formu f (x) = x Ax aplikujeme line rn transformaci x = Qy, pak f (y) =y Q AQy, to jest kvadratick forma f v neur it ch x p ejde v kvadratickou formu v neur it ch y a jej matice bude Q AQ. Denice 5.3 ekneme, e forma f (x) je v kanonick m tvaru, kdy f (x) = P n i= d i x i x i, kde d i i = ::: n jsou re ln sla. V ta 5.4 Ke kvadratick form f (x) =x Ax existuje unit rn transformace (s matic U) vektoru neur it ch x tak, e transformovan kvadratick forma je vkanonick m tvaru. Pro re lnou kvadratickou formu existuje re ln unit rn (t.j. ortogon ln ) transformace uveden ch vlastnost. P itom v obou p padech koecienty kanonick formy budouvlastn hodnoty matice A. D kaz: Pro A hermitovskou existuje unit rn U tak, e A = U DU, kde D je diagon ln s re ln mi prvky x = U y je dan transformace, f (y) = y U DUy = x Dx, A a D maj stejn vlastn hodnoty, tedy na hlavn diagon le D jsou vlastn hodnoty matice A. 2 V ta 5.5 O inercii (setrva nosti) kvadratick ch forem Nech f (x) je kvadratick forma (komplexn nebo re ln ) s matic A, nech P a Q jsou matice regul rn ch line rn ch transformac, p ev d j c ch f (x) na kanonick tvar. Pak pro matice P AP a Q AQ kanonick ch forem plat : inercie In(P AP ) = In(Q AQ) = In(A), t.j. ob kanonick formy maj t po et kladn ch koecient, t po et z porn ch a t po et nulov ch koecient. D kaz: Plyne bezprost edn ze Sylvesterovy v ty. 2 D sledek 5.6 Dv kanonick formy (ob komplexn nebo re ln ) se daj line rn mi transformacemi p ev st jedna na druhou, pr v kdy maj stejn hodnosti a stejn signatury. Denice 5.7 Kvadratick forma o n neur it ch se naz v pozitivn denitn (pozitivn semidenitn ), kdy se d p ev st na kanonick tvar s n kladn mi (n nez porn mi) koecienty. V ta 5.8 Kvadratick forma f (x) =x Ax je pozitivn denitn (pozitivn semidenitn ), pr v kdy pro libovoln vektor x 6= plat x Ax > (x Ax ). D kaz: Plyne z hlavn v ty o pozitivn denitn ch (resp. semidenitn ch) matic ch. 2

5 KVADRATICK FORMY 2 Pozn mka 5.9 Praktick v po et matice U unit rn transformace, kter p ev d kvadratickou formu f (x) = x Ax k hlavn m os m. P slu n kanonick tvar m za koecienty vlastn hodnoty matice A. U AU = D = diag( ::: n ) AU = UD AU i = U i D, AU i = i U i Ax = i x, (A ; i I)x = je fundament ln syst m. e en tohoto syst mu ortonormalizujeme, obdr me ortonorm ln syst m vlastn ch vektor matice A, p slu n hodnoty jsou i. U i K i je ortonorm ln syst m vektor matice A i U.

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 3 6 Jordanova kanonick forma matice Denice 6. Jordan v blok J k () je horn troj heln kov matice du k, tvaru... J k () = B. @.. C A Jordanova matice (matice v jordanov tvaru, jordanova kanonick forma, jordanova norm ln forma matice) J je blokov diagon ln matice du n, jej bloky jsou jordanovy bloky: J n ( ) J J = n2 ( 2 ) B. @. C. A J ns ( s ) kde n + :::+ n s = n, ::: s jsou komplexn sla. V ta 6.2 Jordanova v ta Nech A je komplexn matice du n. Pak existuje regul rn matice du n tak, e A = S B @ J n ( ) J n2 ( 2 )... J nk ( k ) C A S; kde n + :::+ n k = n, ::: k jsou komplexn sla. Jordanova matice J je denov na jednozna n a na po ad blok. Je-li matice A re ln, pak podobnost m e b t zprost edkov na re lnou matic S. D kaz: Podle Schurovy v ty je A = U TU, U unit rn, T horn troj heln kov matice, jej hlavn diagon la je tvo ena vlastn mi hodnotami matice A. Zobecn n m Schurovy v ty plyne, et je podobn s blokov diagon ln matic, diagon ly blok maj stejn prvky. Lemma 6.3 Pro k aprojordan v blok... J k () = B. @.. C A 2

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 4 plat J T k ()J k() = I k; [J k ()] p = pro p k, J k ()l i+ = l i i = ::: b ; I k; je jednotkov matice du k ;, [I k ; J T k ()J k()]x =(x T e )e pro libovoln x 2 C k D kaz: P m m v po tem. 2 Denice 6.4 Horn ost e troj heln kov matice je horn troj heln kov matice, jej hlavn diagon la je nulov. V ta 6.5 Nech A je horn ost e troj heln kov matice du n. Pak existuje regul rn matice S du n a cel sla n n 2 ::: n m n + :::+ n m = n, A = S B @ J n ()... J nm () C A S; : D kaz: Indukc vzhledem k n. 2 D sledek 6.6 Dv matice v jordanov tvaru jsou podobn, pr v kdy se li pouze po ad m blok. V ta 6.7 Nech A je matice du n, " 6= slo. Pak existuje regul rn matice S = S(") du n tak, e A = S B @ J n ( ")... J nk ( k ") C A S; kde i ".. J ni ( i. i ")= B. @.. " Je-li A re ln a " re ln slo, lze vybrat S(") re lnou. i : C A V ta 6.8 Nech matice A, B jsou podobn v komplexn m oboru. Pak jsou podobn i v re ln m oboru. D kaz: A, B jsou re ln matice, B = TAT ;, T je regul rn komplexn, T = P + iq, kde P, Q jsou re ln. BT = TA, BP = PA, BQ = QA, det(p + iq) 6=. det(p + Q) je polynom prom nn, kter nen toto n rovn nule, to znamen, e m pouze kone n po et ko en. Potom existuje re ln slo tak, e det(p + Q) 6=,t.j.P + Q je regul rn matice. T = P + Q, B = T AT ;, T je re ln matice. 2

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 5 V ta 6.9 Plat [J m ()] k = B @ k k k; k 2 k k. k;2 k; k m ; k m ; 2 k. k;m+ k;m+2 : C A Je-li jj <, je lim [J m()] k =: k D kaz: Indukc az k j + k j + = k + j + 2 V ta 6. Nech A je matice du n, f (x) polynom. Jsou-li ::: n vlastn hodnoty matice A, pak matice f (A) m vlastn hodnoty f ( ) ::: f( n ). Je-li g(x) polynom, pro kter g( i ) 6=, i = ::: n, pak matice f (A) je regul rn a f (A)[g(A)] ; m jako svoje vlastn hodnoty pr v sla f ( )=g( ) ::: f( n )=g( n ). Je-li x vlastn vektor matice A p slu n vlastn hodnot, je vlastn m vektorem tak matic f (A) f (A)g(A) ; odpov daj c vlastn hodnot f (), f ()=g(). Denice 6. Spektr ln polom r (A) tvercov matice A denujeme (A) =maxfjj je vlastn hodnota matice Ag. V ta 6.2 Oldenburgerova v ta Nech A je tvercov matice. Pak plat pr v kdy (A) <. D kaz:. lim A k =, m me dok zat (A) <. lim k Ak = lim k Ak =) lim A k k j =) lim k k = pro v echny vlastn hodnoty matice A )jj < ) (A) <.

6 JORDANOVA KANONICK FORMA MATICE 6 2. (A) < )jj < pro v echny vlastn hodnoty matice A ) lim k [J n ()] k =) lim k A k =: 2 V ta 6.3 Je-li A tvercov matice, kter spl uje podm nku (A) <, potom konverguje geometrick ada I + A + A 2 + ::: a jej sou et je (I ; A) ;. D kaz: (A) < ) I ;A je regul rn. I +A+A 2 +:::+A k =(I ;A k+ )(I ;A) ; P k= A k =(I ;A) ; lim k =(podle Oldenburgerovy v ty) 2

7 POLYNOMI LN MATICE 7 7 Polynomi ln matice Denice 7. Matice, jej prvky jsou polynomy jedn prom nn (zpravidla zna en, odtud -matice), se naz v polynomi ln matice. Koecienty polynom bebreme v C nebo v R. -matice pova ujeme za tvercov. -matici, jej prvky jsou sla, nazveme skal rn matice. Denice 7.2 Element rn mi transformacemi -matice naz v me n sleduj c zobrazen : N soben n kter ho dku slem 6=. K i-t mu dku p i teme f ()-n sobek j-t ho dku (i 6= j, f () je polynom). Analogicky denujeme sloupcov transformace. Denice 7.3 Dv -matice jsou ekvivalentn, kdy se jedna v druhou d p ev st kone n m po tem element rn ch transformac. Denice 7.4 ekneme, e -matice je v kanonick m tvaru, kdy m tvar B @ f ()... f n () kde 8if i () je d litelem f i+() a v echny nenulov polynomy maj vedouc koecienty. V ta 7.5 Ka d -matice se d kone n m po tem element rn ch transformac p ev st na kanonick tvar. C A D kaz: Bu G-matice. Pro G =nen co dokazovat. f () f n () G = B C @.. A f n() f nn () P edpokl dejme, e f () m nejmen stupe mezi v emi maticemi ekvivalentn mi s G. Potom f () je d litelem v ech prvk v prvn m dku i v prvn m sloupci. Lze tedy G p ev st na tvar B @ f () f 22 () f 2n () C... A f n2() f nn () atd. D kaz pod v metodu na p eveden -matice na kanonick diagon ln tvar. 2

7 POLYNOMI LN MATICE 8 Pozn mka 7.6 d F k () budeme zna it nejv t spole n d litel v ech minor stupn k v -matici F. V ta 7.7 Ekvivalentn -matice maj stejn nejv t spole n d litele minor stupn k (k = 2 ::: n). V ta 7.8 Bu d i D k () (k = 2 ::: n) nejv t spole n d litel kanonick diagon ln formy dv () :::dv k () =M, v <v 2 <:::<v k.pak d () je d litelem dv ()...d i () je d litelem dv i (). Nejv t spole n d litel D k () =d () :::d n (). Denice 7.9 Polynomy d F () ::: df n () se naz vaj invariantn faktory -matice F (jsou jednozna n stanoveny). V ta 7. Prvn podm nka ekvivalence -matic Podm nkou ekvivalence -matic je shoda invariantn ch faktor d k () t chto matic. V ta 7. Druh podm nka ekvivalence -matic Dv -matice jsou ekvivalentn, pr v kdy existuj matice P a Q tak, e G = PFQ, p i em P a Q jsou matice, jejich determinanty jsou konstantn nenulov. Denice 7.2 V razy [" ()] k ::: [" m ()] km se naz vaj element rn d litel invariantn ho faktoru d k () a sou et element rn ch d litel v ech invariantn ch faktor d () ::: d n (), -matice F se naz v soubor element rn ch d litel -matice F. V ta 7.3 d, hodnost a syst m v ech element rn ch d litel -matice F pln ur uje syst m invariantn ch faktor matice F a tud ur uje F a na ekvivalentnost. Lemma 7.4 Syst m element rn ch d litel libovoln diagon ln -matice je soubor element rn ch d litel jednotliv ch diagon ln ch prvk t to matice. V ta 7.5 Syst m element rn ch d litel blokov diagon ln -matice je souhrn element rn ch d litel jej ch blok. V ta 7.6 Weierstrassova Je-li ( ; a ) k ( ; a 2 ) k 2 ::: ( ; a s ) ks soubor v ech element rn ch d litel -matice I ; A (kde A je dan matice), pak jordan v kanonick tvar matice A je P n i= J ki (a i ).

7 POLYNOMI LN MATICE 9 D kaz: A je seln matice du n, J je jordanova norm ln forma matice A. SAS ; = J, S(I ; A)S ; = I ; SAS ; = I ; J I ; A I ; J I ; J k (a) = B @... ; a ; ; a ;... ; ; a C A Nejv t spole n d litel od J k (a) du k je ( ; a) k. Matice I ; J je ( ; a ) k ::: ( ; a n ) kn. 2

8 MINIM LN POLYNOM MATICE 2 8 Minim ln polynom matice Denice 8. Bu A matice du n. Pak polynom () =a p +:::+a p (a 6=)senaz v minim ln polynom matice A, kdy je to polynom nejmen ho stupn, pro n j (A) =. V ta 8.2 Cayley-Hamiltonova Pro libovolnou matici A du n a jej charakteristick polynom '() plat '(A) =. V ta 8.3 Je-li A matice du n a g() spl uje g(a) =, pak () je d litelem polynomu g(). D kaz: g() = '()q() +r(), r() = nebo st() < st('()). = g(a) = '(A)g(A) +r(a), r() = 2 D sledek 8.4 Minim ln polynom je ur en jednozna n a na konstantn faktor.

LITERATURA 2 Literatura [] marda, B.: Line rn algebra. SPN, Praha 985 [2] Musilov, J., Krupka, D.: Line rn a multiline rn algebra. SPN, Praha 989