Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Transkript

1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta

2 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního operátoru resp. čtvercové matice. Jejich výpočet. Základní vlastnosti. Uvedení matice na diagonální tvar. Informace o Jordanově tvaru v obecném případě. Otázka vychází především ze skript pana Jiřího Tůmy a částečně i ze skript pana Jiřího Rohna Definice Definice Nechť A je čtvercová matice řádu n s reálnými (komplexními) prvky. Jestliže platí Ax = λx (1) pro jisté λ C a pro nenulový vektor x R n 1 (C n 1 ). Pak λ nazveme vlastním číslem matice A a vektor x vlastním vektorem příslušným k tomuto vlastnímu číslu. Množinu všech vlastních čísel matice A nazýváme spektrum matice A a označujeme ji σ(a). Funkci p(λ) = det(a λi n ) nazveme charakteristický polynom matice A. Pozorování Z definice přímo plyne: λ σ(a) matice A λi n je singulární det(a λi n ) = 0 Poslední podmínka nám říká, jak najít vlastní čísla matice, pokud existují. Vlastní vektory vypočteme úpravou (1) na: (A λi n )x = 0 Definice Je-li F : V V lineární operátor na reálném (komplexním) vektorovém prostoru V, pak skalár λ nazýváme vlastní číslo lineárního operátoru V, pokud existuje nenulový vektor x V, pro který platí F (x) = λx. Je-li λ vlastní číslo operátoru F, pak každý vektor x V, pro který platí F (x) = λx, nazýváme vlastní vektor lineárního operátoru F příslušný vlastnímu číslu λ. Množinu všech vlastních čísel operátoru F označujeme σ(f ) a nazýváme spektrum operátoru F. 2

3 Definice (podobné matice, diagonalizovatelnost) Řekneme, že matice A a B jsou podobné, pokud existuje nějaká regulární matice P taková, že platí B = P 1 AP. Reálná(komplexní) matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, pokud existuje regulární reálná(komplexní) matice P řádu n, pro kterou platí, že součin P 1 AP je diagonální matice, tj. pokud matice A je podobná nějaké diagonální matici. Lineární operátor F : V V na reálném(komplexním) vektorovém prostoru V se nazývá diagonalizovatelný, pokud existuje báze B prostoru V, pro kterou platí, že matice [F ] B operátoru F vzhledem k bázi B je diagonální Výpočet vlastních čísel a vlastních vektorů Příklad ( ) 3 2 A = 2 6 ( 3 λ 2 det 2 6 λ ( 3 λ 2, spočítáme tedy kdy se det 2 6 λ ) = 0 ) = (3 λ)(6 λ) 4 = λ 2 9λ + 14 λ 2 9λ + 14 = 0 dává dvě řešení: λ 1 = 2 a λ 2 = 7 vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ 1 = 2: ( ) ( ) ( ) = ( ) 1 2 x = 0 x = ( 2, 1) 2 4 vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ 2 = 7: ( ) ( ) ( ) = ( ) 4 2 x = 0 x = (1, 2) Vlastnosti Věta (vlastnosti vlastních čísel) Pro komplexní čtvercovou matici A řádu n platí: 1. charakteristický polynom matice A řádu n je polynom stupně n s vedoucím koeficientem rovným ( 1) n 2. komplexní číslo λ je vlastním číslem matice A právě když je kořenem charakteristického polynomu p(λ) matice A 3

4 3. matice A má n vlastních komplexních čísel, počítáme-li každé tolikrát, kolik je jeho násobnost jako kořene charakteristického polynomu 4. pokud A je reálná matice, pak λ σ(a) právě když komplexně sdružené λ σ(a) Důkaz 1. plyne z definice determinantu. 2. x 0 : Ax = λx Ax λx = 0 (A λi n )x = 0, tj. matice (A λi n ) je singulární, takže musí mít nulový determinant. 3. plyne ze Základní věty algebry. 4. taktéž. Věta Determinant čtvercové matice je roven součinu jejích vlastních čísel. Věta Vlastními čísly horní(dolní) trojúhelníkové matice jsou právě všechny diagonální prvky. Věta Je-li A reálná symetrická matice, pak každé vlastní číslo matice A je reálné. Věta Je-li A čtvercová reálná(komplexní) matice řádu n, P reálná(komplexní) regulární matice stejného řádu a B = P 1 AP, pak obě matice A a B mají stejný charakterictický polynom a tedy i stejné spektrum. Důkaz det(p 1 AP ti) = det(p 1 AP tp 1 IP) = det(p 1 ) det(a ti) det(p) = det(a ti). Věta Jsou-li A, B čtvercové matice stejného typu, potom AB a BA mají stejná vlastní čísla Uvedení matice na diagonální tvar Věta (O diagonalizovatelnosti a bázi) Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná, právě když existuje báze prostoru R n (C n ), která je složena z vlastních vektorů matice A. Lineární operátor F : V V na reálném(komplexním) vektorovém prostoru V je diagonalizovatelný právě když existuje báze prostoru V složená z vlastních vektorů operátoru F. 4

5 Důkaz Je-li A diagonalizovatelná, znamená to, že existuje regulární matice R taková, že R 1 AR = D (a D je diagonální), což je to samé jako AR = RD. Sloupce matice R tvoří vlastní vektory příslušné vlastním číslům matice A. R je regulární, takže vlastní vektory jsou lineárně nezávislé a tedy tvoří bázi. Mám-li n lineárně nezávislých vlastních vektorů, mohu z nich sestavit matici R a pro ní už platí, že R 1 AR = D. Důsledek Je-li A čtvercová matice řádu n a P regulární matice taková, že P 1 AP = D pro nějakou diagonální matici D, pak na hlavní diagonále matice D jsou všechna vlastní čísla matice A. Věta (Vlastní čísla a diagonalizovatelnost) Platí: 1. Jsou-li λ 1,..., λ m navzájem různá vlastní čísla matice A řádu n a u i 0 je vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ i pro libovolné i = 1,..., m, pak je posloupnost vektorů u 1,..., u m lineárně nezávislá. 2. Má-li matice A řádu n celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná. 3. Má-li lineární operátor F : V V celkem n navzájem různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelný. Důkaz 1. indukcí a sporem, u 1,..., u k dávají nejmenší protipříklad, pak z rovnice 0 = A0 = k a iλ i u i a 0 = λ k 0 = λ k k a iu i, pak dostávám spor (buď byly u 1,..., u k 1 závislé, nebo je u k nulové) 2. z n lineárně nezávislých vlastních vektorů sestrojím matici R a platí AR=RD, kde D je diagonální matice s vlastními čísly na diagonále. Věta (O diagonalizovatelnosti a násobnostech) Čtvercová reálná(komplexní) matice A řádu n je diagonalizovatelná, právě když pro každé vlastní číslo λ matice A platí, že algebraická násobnost λ se rovná dimenzi nulového prostoru matice A λi n, tj. číslu dim N (A λi n ). Neboli: čtvercová matice A řádu n je diagonalizovatelná, právě když pro každé její vlastní číslo λ i s násobností r i platí rank(a λ i I) = n r i. Důkaz Matice je diagonalizovatelná, právě když existuje báze prostoru C n (R n ), složená z vlastních vektorů, a tu lze rozložit na k bází Ker(A λi), které mají dimenzi r i. 5

6 Věta (spektrální věta pro diagonalizovatelné matice) Čtvercová matice A řádu n se spektrem σ(a) = {λ 1,..., λ t } je diagonalizovatelná právě když existují matice E 1,..., E t řádu n, pro které platí: 1. A = λ 1 E 1 + λ 2 E λ t E t 2. E i 2 = E i pro každé i = 1, 2,..., t 3. E i E j = 0 pro libovolné dva různé indexy i, j = 1, 2,..., t 4. E 1 + E E t = I n Dále pro diagonalizovatelnou matici A platí, že 5. matice E i jsou jednoznačně určené maticí A a vlastnostmi 1,2,3,4 6. hodnost každé z matic E i se rovná algebraické násobnosti vlastního čísla λ i 7. je-li f(x) = c 0 + c 1 x c k x k libovolný polynom s komplexními koeficienty, pak platí f(a) = c 0 I n + c 1 A c k A k = f(λ 1 )E 1 + f(λ 2 )E f(λ k )E k 8. nějaká matice B komutuje s maticí A (tj. AB = BA) právě tehdy, když komutuje s každou z matic E i pro i = 1, 2,..., t 14.5 Jordanův tvar v obecném případě Definice (Jordanův tvar) Diagonalizovatelné matice mají dobře pochopitelnou strukturu popsanou ve spektrální větě. Matice, které nelze diagonalizovat, nemají bázi složenou z vlastních vektorů, musí mít nějaké vícenásobné vlastní číslo λ, pro které je dimenze nulového prostoru N (J λi n ) menší než algebraická násobnost čísla λ. (viz věta o diagonalizovatelnosti a násobnostech) Příklad takové matice řádu n, pro n 2 λ λ λ J = λ λ λ Všechny prvky na diagonále se rovnají stejnému číslu λ, všechny prvky bezprostředně nad hlavní diagonálou se rovnají 1, ostatní prvky jsou nulové. Pozorování Charakteristický polynom matice J se rovná: p(t) = (λ t) n 6

7 Pozorování Matice J λi n je v řádkově odsťupňovaném tvaru, její hodnost se rovná n 1 a její nulový prostor N (J λi n ) má proto dimenzi rovnou 1, což se nerovná algebraické násobnosti vlastního čísla λ, matice J tedy není diagonalizovatelná. Definice (Jordanova buňka) Matice J se nazývá Jordanova buňka řádu n příslušná vlastnímu číslu λ. Věta (O Jordanově kanonickém tvaru) Pro každou čtvercovou matici A existuje regulární matice P taková, že J J P 1 AP = 0 0 J J k kde každá z matic J i pro i = 1,..., k je Jordanova buňka nějakého řádu n i příslušná vlastnímu číslu λ i. Čísla λ 1,..., λ k jsou všechna, nikoliv nutně různá, vlastní čísla matice A a platí dále n n k = n. Dvojice n i, λ i pro i = 1,..., k jsou maticí A určené jednoznačně až na pořadí (tj. reprezentují třídu podobných matic). Definice (Hermitovskost) Nechť A je komplexní matice, potom matici A H, pro kterou platí, že (A H ) ij = a ji nazýváme hermitovskou transpozicí matice A (někdy se používá název konjugovaná matice ). Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární, pokud platí, že A H A = I. Komplexní čtvercová matice A se nazývá hermitovská, pokud A H = A. Pozorování Platí: (AB) H = B H A H (důkaz je stejný jako pro obyčejnou transpozici). Věta (O hermitovských maticích) Každá hermitovská matice A má všechna vlastní čísla reálná ( i když je sama komplexní). Navíc existuje unitární matice R taková, že R 1 AR je diagonální. (tzn. hermitovská matice je diagonalizovatelná). Důsledek Interpretace v R: Pro každou symetrickou matici A platí, že všechna její vl. čísla jsou reálná a navíc existuje ortogonální matice R: R 1 AR je diagonální. Příslušný vl. vektor x lze vzít reálný, protože (A λi)x = 0 soustava lin. rovnic s reálnou singulární maticí musí mít netriviální reálné řešení Spektrální věta - část důkazu Tato část není v požadavcích ke zkouškám! 7

8 Důkaz Důkaz spektrální věty je poměrně dlouhý - několik stránek, uvedu zde tedy jen část důkazu, doufám že tu lehčí :) A je diagonalizovatelná vlastnosti 1,2,3,4 Nechť m i je algebraická násobnost vlastního čísla λ i pro i = 1,..., t. Matice A je diagonalizovatelná, tedy dle Definice 3 existuje regulární matice P řádu n taková, že součin P 1 AP je diagonální matice, a tato diagonální matice má na diagonále vlastní čísla matice A dle důsledku tvrzení 7 TODO. Tedy λ 1 I m1 0 0 P 1 0 λ 2 I m2 0 AP = (2) λ t I mt kde I mi jsou jednotkové matice řádu m i. Označíme pro i = 1,..., t symbolem D i matici, kterou dostaneme z blokové matice na pravé straně poslední rovnosti tak, že nahradíme všechny výskyty vlastního čísla λ i číslem 1 a výskyty ostatních vlastních čísel λ j pro j i číslem 0. Například I m2 0 D 2 = Jedná se vlastně o částečnou jednotkovou matici, která má pouze na části diagonály čísla 1. Pak platí: I n = D 1 + D D t P 1 AP = λ 1 D 1 + λ 2 D λ t D t A = λ 1 PD 1 P 1 + λ 2 PD 2 P λ t PD t P 1 V první rovnosti jsme vlastně jen sečetli částečné jednotkové matice D i a výsledek je jednotková matice. Pokud všechny matice D i vynásobíme vlastními čísly λ i a sečteme je, dostaneme matici na pravé straně rovnice (2). A ve třetí rovnosti se jen zbavíme matic P a P 1 na levé straně. Položíme E i = PD i P 1 pro i = 1,..., t a dostaneme tak z třetí rovnosti vlastnost 1. Protože D i 2 = D i a D i D j = 0 pro libovolné různé indexy i, j, = 1,..., t, dostáváme E 2 i = PD i P 1 PD i P 1 = PD 2 i P 1 = PD i P 1 = E i E i E j = PD i P 1 PD j P 1 = PD i D j P 1 = P0P 1 = 0 E E t = PD 1 P PD t P 1 = P(D D t )P 1 = = PI n P 1 = I n 8

9 což dokazuje vlastnosti 2,3,4. V první rovnosti jsme využili, že D i 2 = D i, ve druhé jsme využili D i D j = 0 a ve třetí I n = D 1 + D D t. Opačnou implikaci, tedy že z vlastností 1,2,3,4 plyne diagonalizovatelnost matice nebudu dokazovat. Ze zbývajících vlastností 5,6,7,8 dokážu vlastnosti 6 a 7. Vlastnost 6 Matice D i (z předchozího důkazu), má hodnost m i, proto má tutéž hodnost i matice E i = PD i P 1, což dokazuje 6. Vlastnost 7 Tento důkaz vypadá na první pohled odporně ale nenechte se odradit :) je to pouze rozepisování sum. Dle vlastnosti 1 : A 2 = (λ 1 E λ t E t )(λ 1 E λ t E t ) to se rovná (jen přepsaní na sumu, násobení každý s každým) λ i E i λ j E j i,j=1 dáme li matice k sobě, vznikne nám E i E j což je dle vlastnosti 3 rovno nule (pro různé indexy i a j), tyto násobení tedy můžeme ignorovat a přepsat sumu tak, aby se mezi sebou násobili pouze matice se stejným indexem. Dále víme z vlasnosti 2 že E 2 i = E i, tedy λ 2 i E 2 i = λ 2 i E i jestliže nyní předpokládáme A l = λ l i E i pro nějaké l 2, pak dostáváme (a upravujeme stejně jako v předchozím případě) A l+1 = (λ 1 E λ t E t )(λ l 1 E l λ l t E l t ) = = λ i E i λ l j E l j = λ l+1 i E 2 i = λ l+1 i E i i,j=1 Protože rovněž platí A 0 = I n = E E t = λ 0 1 E λ 0 t E t tedy jsme dokázali, že rovnost A l = λ l i E i 9

10 platí pro každé nezáporné celé číslo l. Pro každé číslo j = 0,...k dostáváme c j A j = c j λ j i E i a tedy platí f(a) = k c j A j = j=0 k c j ( λ j i E i ) = j=0 k ( c j λ j i )E i = j=0 f(λ i )E i 10