Matematika I, LS 2017/ přednáška

Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša ½ ÌÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ú Ò È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ Å Ø Ñ Ø Á ½¾º Èà Æýâà ½½º º ¾¼½ ÙÖ Ò Ú Ñ Ñ Ú Ñ º Ã Ú Ý Ñ ÔÓÐ Ò Ó Ò Ð ö Ú Ò ÖÓÚ Ò Ú Ñ ÓÙ»» Ø Ô Ñ º ¾ Ý È º ½ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ È º ¾ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ È º ØÖº Ôº ÖÓÙ ÓÚÓ¹ Ð ÔØ È º ØÖº Ôº ÝÔ Ö ÓÐ Ó¹ ÖÙ ÓÚ È º ØÖº Ôº Ó ÒÓÚÓ¹ Ð ÔØ Ø Ö ÙÖ Ò Ñ Ú Ñ ÚÞÒ ÔÓ ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ð Ú Ý ÔÓ Ú º K K Ø Ö ÙÖ Ò Ñ Ú Ñ ÚÞÒ ÔÓ ÙÒ Ñ ØÖ Ò Ð Ú Ý ÔÓ Ú º Æ ÔÐÓ Ø Ý Ð ö Ý Ø Ñ Ú Ó Ò Ú ÓÙ 1

Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša ËØ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ ÚÞÒ ÔÓ ÙÒ Ñ Ú Ý ÔÓ Ú º L ËØ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ ÚÞÒ ÔÓ ÙÒ Ñ Ú Ý ÔÓ Ú º Æ ÔÐÓ Ø Ý Ð ö Ý Ø Ñ Ú Ó Ò Ú ÓÙ L L L ËØ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ ÚÞÒ ÔÓ ÙÒ Ñ Ú Ý ÔÓ Ú º Æ ÔÐÓ Ø Ý Ð ö Ý Ø Ñ Ú Ó Ò Ú ÓÙ Æ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ ÙÖ Ò Ñ Ú Ñ Ð ö Ú Ý Ø ÑÝ Ú Â Ò Ý Ø Ñ ØÚÓ Ú Ý Ó Ò Ú ÓÙ º ÖÙ Ý Ø Ñ ØÚÓ Ú Ý Ó Ò Ú ÓÙ º 2

È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Þ Ò Ñ Ú Ñ (t) = (t) ; (t) ; (t) t I (s) = (s) ; (s) ; (s) s J È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý È ÔÓ ÓÙÚ Ò Ú Ý ÔÓ Ú 1 ÚÓÐ Ñ Þ ÜÓÚ Ò Ñ Ó ÒÓØÝ Ô Ö Ñ ØÖÙ t = t 0 Ó K = (t 0 )º 2 ÍÖ Ñ Ú ØÓÖ ÔÓ ÙÒÙØ u = K = (u 1 ; u 2 ; u 3 )º 3 Ë Ø Ú Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ÔÓ ÙÒÙØ Ú Ý K (s) K (s) = (s) + u K (s) = (s) + u 1 ; (s) + u 2 ; (s) + u 3, s J. Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša K K u È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý È ÔÓ ÓÙÚ Ò Ú Ý ÔÓ Ú 1 ÚÓÐ Ñ Þ ÜÓÚ Ò Ñ Ó ÒÓØÝ Ô Ö Ñ ØÖÙ t = t 0 Ó K = (t 0 )º 2 ÍÖ Ñ Ú ØÓÖ ÔÓ ÙÒÙØ u = K = (u 1 ; u 2 ; u 3 )º 3 Ë Ø Ú Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ÔÓ ÙÒÙØ Ú Ý K (s) K (s) = (s) + u K (s) = (s) + u 1 ; (s) + u 2 ; (s) + u 3, s J. 4 Æ Ð ÒÑ ÙÚÓÐÒ Ò Ñ Ô Ö Ñ ØÖÙ t Þ Ñ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý p(t,s) = (s) + u 1 (t) ; (s) + u 2 (t) ; (s) + u 3 (t) t I s J 3

È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Þ Ò Ñ Ú Ñ (t) = (t) ; (t) ; (t) t I (s) = (s) ; (s) ; (s) s J È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý È ÔÓ ÓÙÚ Ò Ú Ý ÔÓ Ú 1 ÚÓÐ Ñ Þ ÜÓÚ Ò Ñ Ó ÒÓØÝ Ô Ö Ñ ØÖÙ s = s 0 Ó L = (s 0 )º 2 ÍÖ Ñ Ú ØÓÖ ÔÓ ÙÒÙØ v = L = (v 1 ; v 2 ; v 3 )º 3 Ë Ø Ú Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ÔÓ ÙÒÙØ Ú Ý L (t) L (t) = (t) + v L (t) = (t) + v 1 ; (t) + v 2 ; (t) + v 3, t I. Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša v L L È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý È ÔÓ ÓÙÚ Ò Ú Ý ÔÓ Ú 1 ÚÓÐ Ñ Þ ÜÓÚ Ò Ñ Ó ÒÓØÝ Ô Ö Ñ ØÖÙ s = s 0 Ó L = (s 0 )º 2 ÍÖ Ñ Ú ØÓÖ ÔÓ ÙÒÙØ v = L = (v 1 ; v 2 ; v 3 )º 3 Ë Ø Ú Ñ Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ÔÓ ÙÒÙØ Ú Ý L (t) L (t) = (t) + v L (t) = (t) + v 1 ; (t) + v 2 ; (t) + v 3, t I. 4 Æ Ð ÒÑ ÙÚÓÐÒ Ò Ñ Ô Ö Ñ ØÖÙ s Þ Ñ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý q(t,s) = (t) + v 1 (s) ; (t) + v 2 (s) ; (t) + v 3 (s) t I s J 4

Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša  ÓÙ ÒÝ Ú Ý ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý ÖÙ Ó¹Ô Ö ÓÐ ÃÖÙöÒ (S,r = 3) ν(,) S0,0,7º Ø Ô Ö ÓÐÝ (,) Ô Ö ÓÐ Ñ Ó Ù o = ÚÖ ÓÐ Ô Ö ÓÐÝ Ó ÖÙöÒ Ñ Ò Þ ÚÓÙ ÑÓöÒ ¹ÓÚ ÓÙ Ò 0 ; 6 ; 0 ÙÚ öù Ø Ø Ô Ö ÓÐÝ Ò Ó ÓÙ º  ÓÙ ÒÝ Ú Ý ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý ÖÙ Ó¹Ô Ö ÓÐ ÃÖÙöÒ (S,r = 3) ν(,) S0,0,7º Ø Ô Ö ÓÐÝ (,) Ô Ö ÓÐ Ñ Ó Ù o = ÚÖ ÓÐ Ô Ö ÓÐÝ Ó ÖÙöÒ Ñ Ò Þ ÚÓÙ ÑÓöÒ ¹ÓÚ ÓÙ Ò 0 ; 6 ; 0 ÙÚ öù Ø Ø Ô Ö ÓÐÝ Ò Ó ÓÙ º Ç ÚÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý ÔÓ ÓÙÚ Ò Ñ Ú Ý ÔÓ Ú ÔÓ ÓÙÚ Ò Ñ Ú Ý ÔÓ Ú º u v K L L K  ÓÙ ÒÝ Ú Ý ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý ÖÙ Ó¹Ô Ö ÓÐ ÃÖÙöÒ (S,r = 3) ν(,) S0,0,7º Ø Ô Ö ÓÐÝ (,) Ô Ö ÓÐ Ñ Ó Ù o = ÚÖ ÓÐ Ô Ö ÓÐÝ Ó ÖÙöÒ Ñ Ò Þ ÚÓÙ ÑÓöÒ ¹ÓÚ ÓÙ Ò 0 ; 6 ; 0 ÙÚ öù Ø Ø Ô Ö ÓÐÝ Ò Ó ÓÙ º Ç ÚÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý ÔÓ ÓÙÚ Ò Ñ Ú Ý ÔÓ Ú ÔÓ ÓÙÚ Ò Ñ Ú Ý ÔÓ Ú º p(t,s) = 3 cos t ; s ; 7 + 3 sin t s2 0 ; 2π s 6 ; 6 9 5

Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša ½ ÌÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ú Ò È Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ¾ Ý È º ½ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ È º ¾ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ È º ØÖº Ôº ÖÓÙ ÓÚÓ¹ Ð ÔØ È º ØÖº Ôº ÝÔ Ö ÓÐ Ó¹ ÖÙ ÓÚ È º ØÖº Ôº Ó ÒÓÚÓ¹ Ð ÔØ È º ½ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ È º ½ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ Â ÓÙ ÒÝ Ô Ö ÓÐÝ Â ÓÙ ÒÝ Ô Ö ÓÐÝ (t) = 0 ; 4t ; 2t 2 t Ê (t) = 0 ; 4t ; 2t 2 t Ê (s) = 2s ; 0 ; 2s 2 s ʺ Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º (s) = 2s ; 0 ; 2s 2 s ʺ Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º p(t,s) = 2s ; 4t ; 2t 2 2s 2 t Ê s Ê 6

È º ¾ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ È º ¾ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša  ÓÙ ÒÝ Ô Ö ÓÐÝ π(,) d  ÓÙ ÒÝ Ô Ö ÓÐÝ π(,) Ó o = ÚÖ ÓÐ V = 0 ; 1 ; 0 Ó M = 2 ; 3 ; 0 (,) Ô Ñ d Ó o = º 0 ; 1 2 ; 0 d Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º V F M Ó o = ÚÖ ÓÐ V = 0 ; 1 ; 0 Ó M = 2 ; 3 ; 0 (,) Ô Ñ d Ó o = º 0 ; 1 2 ; 0 d Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º t ; 1 + t2 2 ; 0 (t) = (s) = t Ê 0 ; 1 + s22 ; s s Ê È º ¾ ØÖº Ôº Ô Ö ÓÐ Ó¹Ô Ö ÓÐ Â ÓÙ ÒÝ Ô Ö ÓÐÝ π(,) Ó o = ÚÖ ÓÐ V = 0 ; 1 ; 0 Ó M = 2 ; 3 ; 0 (,) Ô Ñ d Ó o = º 0 ; 1 2 ; 0 d Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º (t) = t ; 1 + t2 2 ; 0 t Ê (s) = 0 ; 1 + s22 ; s s Ê p(t,s) = t ; 1 + t2 2 + s2 2 ; s t Ê s Ê 7

Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša È º ØÖº Ôº ÖÓÙ ÓÚÓ¹ Ð ÔØ È º ØÖº Ôº ÖÓÙ ÓÚÓ¹ Ð ÔØ Â Ò Ð Ô π(,) Ø S0 ; 5 ; 0 Ð ÚÒ ÚÖ ÓÐ 0 ; 0 ; 0 Ü ÒØÖ Ø e = 4º Ð Ò ÔÖ ÚÓØÓ Ú ÖÓÙ ÓÚ ÔÓ Ý Ó ÓÙ o = v 0 = 2º È ØÖ Ò Ð Ò Ñ ÔÓ Ý Ù Ð Ô Ý Ø S ÔÓ Ý Ù ÔÓ ÖÓÙ ÓÚ Ú Ò Ñ ÖÓÙ ÓÚ Ñ ÔÓ Ý Ùº S Â Ò Ð Ô π(,) Ø S0 ; 5 ; 0 Ð ÚÒ ÚÖ ÓÐ 0 ; 0 ; 0 Ü ÒØÖ Ø e = 4º Ð Ò ÔÖ ÚÓØÓ Ú ÖÓÙ ÓÚ ÔÓ Ý Ó ÓÙ o = v 0 = 2º È ØÖ Ò Ð Ò Ñ ÔÓ Ý Ù Ð Ô Ý Ø S ÔÓ Ý Ù ÔÓ ÖÓÙ ÓÚ Ú Ò Ñ ÖÓÙ ÓÚ Ñ ÔÓ Ý Ùº S w Ë Ø ÚØ ÔÓÔ Ú Ý ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ø Ö Ñ ÔÓÐ Ò Ó Þ ÒÓÙ Ð Ô ÓÙº Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º È º ØÖº Ôº ÖÓÙ ÓÚÓ¹ Ð ÔØ Â Ò Ð Ô π(,) Ø S0 ; 5 ; 0 Ð ÚÒ ÚÖ ÓÐ 0 ; 0 ; 0 Ü ÒØÖ Ø e = 4º Ð Ò ÔÖ ÚÓØÓ Ú ÖÓÙ ÓÚ ÔÓ Ý Ó ÓÙ o = v 0 = 2º È ØÖ Ò Ð Ò Ñ ÔÓ Ý Ù Ð Ô Ý Ø S ÔÓ Ý Ù ÔÓ ÖÓÙ ÓÚ Ú Ò Ñ ÖÓÙ ÓÚ Ñ ÔÓ Ý Ùº Ë Ø ÚØ ÔÓÔ Ú Ý ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ø Ö Ñ ÔÓÐ Ò Ó Þ ÒÓÙ Ð Ô ÓÙº Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÔÓÔ ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º p(t,s) = 3 sin s 5 sin t ; 5 cos s + 5 cos t ; 2t t Ê s 0 ; 2π 8

È º ØÖº Ôº ÝÔ Ö ÓÐ Ó¹ ÖÙ ÓÚ Â Ò Ò Ú Ø Ú ÝÔ Ö ÓÐÝ ÔÓÐÓÚ Ò ÖÙöÒ α α : = 4 Ç Ò E4 ; 0 ; 0 F 4 ; 0 ; 10º Î Ð Ó Ø b = 4º ÍÚ öù Ø ØÙ Ú Ø Ú ÝÔ Ö ÓÐÝ Ø Ö ÔÖÓØ Ò ÒÙ π(,)º ν(,) ËØ ÖÙöÒ Ó Eº ÍÚ öù Ø ÔÓÐÓÚ ÒÙ ÖÙöÒ Ò Ó ÓÙ º F S E Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º È º ØÖº Ôº ÝÔ Ö ÓÐ Ó¹ ÖÙ ÓÚ Â Ò Ò Ú Ø Ú ÝÔ Ö ÓÐÝ ÔÓÐÓÚ Ò ÖÙöÒ α α : = 4 Ç Ò E4 ; 0 ; 0 F 4 ; 0 ; 10º Î Ð Ó Ø b = 4º Matematia I, LS 2017/18 12. přednáša ÍÚ öù Ø ØÙ Ú Ø Ú ÝÔ Ö ÓÐÝ Ø Ö ÔÖÓØ Ò ÒÙ π(,)º ν(,) ËØ ÖÙöÒ Ó Eº ÍÚ öù Ø ÔÓÐÓÚ ÒÙ ÖÙöÒ Ò Ó ÓÙ º Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º p(t,s) = 4 + 2 cos s ; 4 sinh t ; 3 3 cosh t + 2 sin s t Ê s 0 ; π È º ØÖº Ôº Ó ÒÓÚÓ¹ Ð ÔØ È º ØÖº Ôº Ó ÒÓÚÓ¹ Ð ÔØ Ã Ú π(,) Ð Ô Ð ÚÒ Ó ÓÙ Ð ÚÒ Ñ ÚÖ ÓÐ Ñ 0,10,0 Ú Ð Ó Ø Ú Ð ÔÓÐÓÓ Ý b = 2º Ã Ú π(,) Ð Ô Ð ÚÒ Ó ÓÙ Ð ÚÒ Ñ ÚÖ ÓÐ Ñ 0,10,0 Ú Ð Ó Ø Ú Ð ÔÓÐÓÓ Ý b = 2º Ã Ú (,) Ø Ö Ù ÙÒ = 2 cos 4π ; 4π º Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º Ã Ú (,) Ø Ö Ù ÙÒ = 2 cos 4π ; 4π º Æ Ô Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÚÝ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÔÐÓ Ý Ñ Ú Ñ º p(t,s) = 2 sin t ; 4 4 cos t + 2 cos s ; s t 0 ; 2π s 4π ; 4π 9