ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Òó Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ð Ó ÓÖÒ Þ ÖÓ óº ÖÙ Ò Ú ÓÑ ö Ò ÑÓ ÔÖ ÚÞØ Ù ÔÖ Ú ÔÓÚ ÒÒÓ Ø ÚÝÔÐÚ

Transkript

1 ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Â Ò À Ñ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÐÓ Ý Ó Ñ Ò Ã Ø Ö Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ Óº ÊÆ Öº ÒØÓÒ Ò ËÐ Ú È º º Å Ø Ñ Ø ÅÁÍËËË ÈÖ ¾¼½

2 ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Òó Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ð Ó ÓÖÒ Þ ÖÓ óº ÖÙ Ò Ú ÓÑ ö Ò ÑÓ ÔÖ ÚÞØ Ù ÔÖ Ú ÔÓÚ ÒÒÓ Ø ÚÝÔÐÚ Þ Þ ÓÒ º ½¾½»¾¼¼¼ Ë º ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ Ú ÔÐ ØÒ Ñ ÞÒ Ò Þ Ñ Ò ÙØ ÒÓ Ø ö ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ñ ÔÖ ÚÓ Ò ÙÞ Ú Ò Ð Ò Ò ÑÐÓÙÚÝ Ó Ùö Ø Ø ØÓ ÔÖ Ó ÓÐÒ Ó Ð ÔÓ Ð ï ¼ Ó Øº ½ ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ º Î ÈÖ Þ Ò ¾ º º ¾¼½ ÈÓ Ô ÙØÓÖ

3 Æ Þ Ú ÔÖ ÃÓÑ Ò ØÓÖ ÐÓ Ý Ó Ñ Ò ÙØÓÖ Â Ò À Ñ Ã Ø Ö Ã Ø Ö Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Óº ÊÆ Öº ÒØÓÒ Ò ËÐ Ú È º º Ã Ø Ö Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø Ý ØÖ Ø ÈÖ Þ Ú ÓØ Þ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÞÚÓÐ Ò Ø Ý ÔÓÑÓ Ð ÓÚÓй Ò Ó ÑÒÓö ØÚ Ñ Ò Ô Ô Ò Ó ØÝÔÙº Î ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ Ó ÚÓÞÙ Ñ ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÔÓ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ó ÒÓØÙ Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø¹ Ý ÔÖÓ ÚÓÙÑ ÒÓÚ Ý Ø Ñݺ Ð Ù ÞÙ Ñ Ö ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø ÖÓ Ò ÓÚ Ð ó Þ Æȹ ÔÐÒÓ Ø ÖÓÞ Ó ÓÚ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ð¹ ÒÓ Ø ÞÚÓÐ Ò Ø Ý Ú Ý Ø ÑÙ Ú Ñ Ò Ñ º Î ÖÙ Ô ØÓÐ Þ Ú Ñ ÚÔÓ Ø Ñ ÔÓ ØÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý ÞÚÐ ð Ú Ý Ø Ñ Ó ÚÓÙ Ò Ó Ú Ñ Ò¹ º Î Ø Ø Ô ØÓÐ Ú ÒÙ Ñ ÓØ Þ Þ ÐÞ Ú ÞÚÓÐ Ò Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÔÓÙö Ø Ð ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ò Ð Þ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý ÔÓÑÓ Ò Ñ Ò Ó ÑÓöÒ Ó ÑÒÓö ØÚ Ñ Ò º ÈÓ Ð Ò Ô ØÓÐ Ó Ù Ö Ù Ò ÐÓ ÐÓ Ó Ñ Ò º ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø ÔÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ý Ø ÑÝ Ñ Ò ÖÓ Ò ÓÚÓ ÐÓ Ð ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÐÓ Ý Ó Ñ Ò Ì ØÐ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ó Ò ÙØ ÓÖ Â Ò À Ñ Ô ÖØÑ ÒØ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ù Ø ÓÒ ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Óº ÊÆ Öº ÒØÓÒ Ò ËÐ Ú È º º Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ù¹ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ì Ø Ð Û Ø Ú Ö ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÚÓÐÚ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÖØ Ò ÑÓÙÒØ Ó ÑÓÒ Ý Ù Ò Ó Ò Ó ÔÖ Ö ØÝÔ º ÁÒ Ø Ö Ø ÔØ Ö Û Ö Ú ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÓÒÖ ÔÖ ÒØ Ð ÑÓÙÒØ Û ÐÐ Ø Ö Ø Ø ÒÓÒÖ ÔÖ ÒØ Ð ÑÓÙÒØ ÓÖ Ý Ø Ñ Ó Ó Ò Û Ø ØÛÓ ÒÓÑ Ò Ø ÓÒ º Æ ÜØ Û ÔÖ ÒØ Ö Ô Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÐÙÐ Ø Ò Ø ÖÓ Ò Ù ÒÙÑ Ö Ò ÔÖÓÚ ÆȹÓÑÔÐ Ø Ò Ó Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö ÖØ Ò ÑÓÙÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ð Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ ÒÓÑ Ò Ø ÓÒ º ÁÒ Ø ÓÒ ÔØ Ö Û ÓÑÔÙØ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ú Ò ÑÓÙÒØ Ò Ý Ø Ñ Û Ø ØÛÓ ÓÖ ÑÓÖ ¹ ÒÓÑ Ò Ø ÓÒ º Ì Ø Ö ÔØ Ö ÚÓØ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ø Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ù ÓÖ Ú Ò Ó Ò Ý Ø Ñ ØÓ Ó Ø Ò Ø Ñ Ò Ñ Ð Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ó ÒÝ Ú ÐÙ º Ì Ð Ø ÔØ Ö ÓÒØ Ò ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó ÓÐÚ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ó Ò º à ÝÛÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ð ØÝ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÙÒØ Ó Ò Ý Ø Ñ ÖÓ Ò Ù ÒÙÑ Ö Ö Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Ñ Ò Ñ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ó Ò

4 Ê Ý ÔÓ ÓÚ Ð Óº ÊÆ Öº ÒØÓÒ ÒÙ ËÐ Ú ÓÚ È º º Þ ÒÒ Ô ÔÓÑ Ò Ý Ö Ý Ô ÚÝÔÖ ÓÚ Ò Ø ØÓ ÔÖ º

5 Ç ÚÓ ¾ ½ Ê ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø ½º½ ËÝ Ø ÑÝ ÓÙ ÐÒ Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÈÓ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾º½ ËÝÐÚ Ø ÖóÚ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓ Ú Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º ½º¾º¾ ÓÑ ØÖ Ó ÚÓÞ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º Æ Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º½ ÈÖÓ Ú Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º º¾ ÈÖÓ Ú Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ê ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø ÞÚÓÐ Ò Ø Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ ½º º½ ÀÖ Ð Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ó ÒÓØ º º º º º º º º º ¾½ ½º º¾ Ç Ø öòó Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ÈÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý ¾ ¾º½ ÈÖÓ Ú Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º½ Ç ÚÓÞ Ò ÔÓÑÓ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º½º¾ ÈÓ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ò Ú Ø Þ Ò º º º º ¾º¾ ÈÖÓ Ú Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾º½ ÈÓÑÓ ÖÓÞ Ð Ù Ò Ô Ö ÐÒ ÞÐÓÑ Ý º º º º º º º º º º º º ¾º¾º¾ Ç ÚÓÞ Ò Ö ÙÖ ÒØÒ Ó ÚÞÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ Æ Ð Þ Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ º½ ÀÐ ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÇÔØ Ñ Ð Ø Ð ÓÚ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÐÓ Ý Ó Ð Ò Ñ Ò ½ º½ Î ö Ò Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ð Ø ÓÙÞ ÐÒ Ò Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ö Ë ÞÒ Ñ ÔÓÙö Ø Ð Ø Ö ØÙÖÝ ¼ ¾ ½

6 ÚÓ ÈÖÚÒ Ø Ô ØÓÐÝ ÔÖ Þ Ú ÓØ Þ Ñ ÓÙÚ Ñ Ð Ò Ñ ÞÔó Ó ó ÖÓÞÑ Ò Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Øµ Ø Ù ÔÓÑÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ó ÑÒÓö ØÚ Ñ Ò Ô ¹ Ô ÒÑ Ó ÒÓØ Ñ º ÈÓ Ð Ò Ô ØÓÐ Ô Ø ÚÙ Ö Ù Ð Ú Ø ÒÓÙ ÐÓ¹ µ Ò ÐÓ Ø Ñ Ò º  ÒÓØÐ Ú Ô ØÓÐÝ Ò Ó Ò Þ Ú ÑÓöÒ Ø Ó Ð Ò º ÈÖ Ô Ú Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ó Ù Ø Þ Ñ Ú Þ ÔÓ Ð Ù Ò ÓÖÑ Ø Ýº ÈÖ ÙÖ Ò Þ Ñ Ò ÔÖÓ Ø Ó ÓÐ ÚÝ Ó Ó ÓÐ ØÙ ÒØÝ Ô ¹ Ó Ý ÓÖ Ò Þ ØÓÖÝ ÖóÞÒ Ñ Ò ó Ô Ò ÔÖÓ Ø Ó ÓÐ Ý Ú ÒÝ Ø Ø ÖÓÞ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÞÒ ÐÓ Ø º Æ Ø Ö Ø ÔÖ ÔÓÙö Ú Ú¹ Ö Ò Ø Ó ÓÐ ÓÙ Ñ Ø Ñ Ø Ùº Î Ó Ø ØÒ Ø Ô ÔÓ Ð Ñ Ò Ø Ö ÞÒ ÐÓ Ø Þ ÖÙ Ò ÖÓÚÒ Ð Ó ØÙ Ñ Ø Ñ Ø Ý Ò Ó Ò ÓÖÑ Ø Ý Ò Å ÍÃ Ò ö Ñ Ú Ý ÝÐ Ø ÜØ Ô ØÙÔÒ Ó Ò Ö ÑÙ Ó ÖÙ Ù Ø Ò óº ÈÖÚÒ Ô ØÓÐ Þ Ú Þ ðóú Ò Ñ ÔÓ ØÙ Ø Ø Ö Ò ÐÞ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÔÓÑÓ Ñ Ò Ó Þ Ò Ó ÒÓØ Ð Ò Ñ Ò Ú Ø Ø ÓÚ Ø Ýº Ð Ú ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ ÔÓÔ Ù Ñ ÖÙ ÔÖÓ Ú Ö Ø Ö ÓÙÚ Ð Ò Ñ Ò Ö ¹ ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º Ó ÞÙ Ñ ö ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Ð ÓÚÓÐÒ Ø Ý Æȹ ÔÐÒ Ø Ý Ò Ò ÞÒ Ñ Ø ÚÒ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ó Ò º Î Ø Ò ÔÖÚÒ Ô ØÓÐÝ ÚÝÙö Ú ÔÓÙÞ Ø Ó ÓÐ ÓÙ Ð Ø Ùº Î Ø Ó ÔÓ ØÙ Ò Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø ÔÖÓ ÚÓÙÑ ÒÓÚ Ý Ø ÑÝ ÚÝ Ø Ñ Þ Ð Ò Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÔÓÞÒ Ø Ý ØÖÓ ÓÙ ÓÑ ØÖ ¹ Ð Ø ÐÒÓ Ø º Î Ø Ó Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø ÔÖÓ Ú Ñ ÒÓÚ Ý Ø ÑÝ Ô Ù ÔÓÙö Ø Ö óº ÈÓÔ ÖÝ Ú ÔÓ Ð Ò Ø Ô ØÓÐÝ ó Þ Ü Ø Ò Úݹ Ö Ú ØÖ Ø ÓÔ Ø ÚÝ Ø Ø Ó ÓÐ Ñ ÞÒ ÐÓ ØÑ º à ó ÞÙ ÐÓö ØÓ Ø ÖÓÞ Ó ÒÙØ Ó Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Ø Ý ÚÝÙö Ú Ñ ÞÒ ÐÓ Ø Ó Ø Æȹ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð Ñó Ó ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ô ÚÓ Ø ÐÒÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñóº ÖÙ Ô ØÓÐ Ú ÒÓÚ Ò Ð Ò ÔÓ ØÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ýº Î ÔÖÚÒ Ø Ó ÚÓÞÙ Ñ ÔÓÑÓ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÚÓÙÑ ÒÓÚ Ý Ø Ñݺ ËÝ Ø ¹ ÑóÑ Ú Ñ Ò Ñ Ú ÒÓÚ Ò ÖÙ Ø Ô ØÓÐÝ Ú Ø Ö ÔÓÑÓ ÔÖ Ò ÔÙ Ò ÐÙÞ Ü ÐÙÞ Ó ÞÙ Ñ Ö ÙÖ ÒØÒ ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÔÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ÓÚÓÐÒ Ø Ýº Ì Ø Ô ØÓÐ Ú ÒÓÚ Ò ÓØ Þ ÐÓö Ø Þ ÒÓÙ Ø Ù ÔÓØ ÓÚ Ø Ô ØÓÑ Ó Ò Ñ Ò ÔÓ Ø Ñ Ò º ÈÓÔ Ù Ñ Ú Ò Ð ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ÓÙ Ø ÚÙ Ý Ò ÓÖÑ Ø Ý Ò Ò Ø Ö Ø Ò Ý Þ Ñ Ò Ø Ò ÓÐ ÝÑÒ Þ º Ð Ù ÞÙ Ñ ÔÓ ØÙÔ ÔÓÑÓ Ø Ö Ó Þ Ø Ñ ØÐ Ú Ò Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ñóö Ñ ÚÝÙö Ø Ð ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ ÖÓÞÑ Ò Ò Ø Ý ÔÓÑÓ Ó Ò Ñ Ò Ñ Ò º à ÔÓ ÓÔ Ò ó Þó Ú Ø Ú Ø ØÓ Ø Ý Ñ Ð Ñ Ø Ø Ó ÓÐ Ó Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø Ú ÓÑÓ Ø Ð ó ÞÝ ÑÓØÒ ÓÙ ÐÓ Ý ÔÓÑ ÖÒ ÓÑÔÐ ÓÚ Ò º ØÚÖØ Ô ØÓÐ ÚÝÙö Ú Ú Ö Ò Ø Ó ÓÐ ÞÒ ÐÓ Ø º Ç Ù ÖóÞÒ ¹ Ò ÐÓ ÐÓ Ý Ó Ñ Ò º Â Ô Ø Ò ÓÔÓÖÙ Ù Ñ Þ Ñ Ò Ø Ó ÓÐ Ñ Ù Ø ÐóÑ ÓÖ Ò Þ ØÓÖóÑ ÓÖ ÔÓÒ Ò Ò Ñ Ò ó Ð ÔÖÓ Ø Ð ÒØÓÚ ¹ Ò Ø Ó ÓÐ Ý Þ Ñ Ñ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ùº  ÒÓØÐ Ú ÐÓ Ý Ò Ó Þ Ú Ø Ø Ò Þ Ú Ñóö Ñ ÔÖÓØÓ ÚÝÙö Ø Ò Ô Ð Ó ÞÔ Ø Ò Ú٠ݺ ¾

7 ½º Ê ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Î ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ Ù Ñ Þ Ú Ø ÓØ Þ Ñ ÔÓ Ó ÒÑ Ò Ð Ù º ÇØ Þ º Å Ñ Ò ÓÑ Þ Ò ÑÒÓö ØÚ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ½¼ ½ º ÃØ Ö Ø Ý Ñóö Ñ Þ Ø ØÓ Ñ Ò ÔÓ Ð Ø Ù Ñ ÑÓÞ Ñ Ò ö Ø Ò Ø Ò ÓØ Þ Ý Ú Ó Ò Ñ ØÚ ÖÙº ÀÐ Ñ Ó ÔÓÚ Ô Ó Ò Ó ÒÓØ Ñ Ò x 1,x 2,...,x n º Ò ½º½º Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý a Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n n¹ø (b 1,b 2,...b n ) Ø ÓÚ ö b 1,b 2,...,b n ÓÙ Ò Þ ÔÓÖÒ Ð Ð b 1 x 1 +b 2 x 2 + +b n x n = aº Ê ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý a ÓÙ Ø Ý ÔÓ ØÝ ÚÝ Ö Ò Ñ Ò ö Ð ÓÚ Ó ¹ ÒÓØ aº Ò ½º¾º à Ò Ñ ö Ø a Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ¹ ÒÓØ x 1,x 2,...,x n ÔÓ Ù Ú Ò Ñ Ý Ø ÑÙ Ü ØÙ Ð ÔÓ Ò Ö ÔÖ Þ Ò¹ Ø º ÀÐ Ñ Ø Ý Ú ÒÝ Ø Ý Ø Ö ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n º ÈÓÞÒ Ñ º ËÝÑ ÓÐ Ñ N 0 Ú Ð Ñ Ø ÜØÙ ÓÞÒ Ù Ñ ÑÒÓö ÒÙ Ú Ò Þ ÔÓÖÒ Ð Ðº ½º½ ËÝ Ø ÑÝ ÓÙ ÐÒ Ñ Ò ÈÓ Ú Ñ Ò ÔÖÚ Ò Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ½¼ ½ º Ë Ð Ñ ÖÓÞÙÑ Ñ Ó¹ Ñ Þ Ú ÖÙ ö Ü ØÙ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ø Ø Ö ÔÓÑÓ Ø ØÓ Ñ Ò Ò Ñóö Ñ ÐÓö غ Æ Ô Ð ö ÒÓÙ Ð ÓÙ Ø Ù Ø Ò ÐÓö Ñ ÔÓÑÓ Ñ Ò Ó Ù Ó ÒÓØ º Ç Ò Ñóö Ñ Ø ö Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n ö Ò Ú Ø ÔÓÐ Ò Ð Ø Ð d Ú Ø Ò ö ½ ÔÐ Ø ö Ü ØÙ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ò Ö ¹ ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º ÌÙØÓ ÑÝ Ð Ò Ù Ñóö Ñ ÖÒÓÙØ Ò Ð Ù Ú ØÓÙº Î Ø ½º º à ö Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò x 1,x 2,...,x n Ò Ó Ñ d = NSD(x 1,x 2,...,x n )º ó Þº ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒÓÙ Ø Ù a Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓÙ ÔÓÑÓ x 1,x 2,...,x n ÔÐ Ø a = b 1 x 1 +b 2 x 2 + +b n x n Æ Ú Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ð Ø Ð Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò dº ÈÖÓØÓ Ñóö Ñ Þ ö Ó x 1,...,x n ÚÝØ ÒÓÙØ d ÈÖÓØÓ a Ò Ó Ñ dº a = d (b 1 y 1 +b 2 y 2 + +b n y n )

8 Î Ò Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ½¼ ½ Ò Ú Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ð Ø Ð Ñ ¾º à ö Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø ÔÖÓØÓ Ò Ó Ñ ÚÓÙº ÇÔ Ò ÑÔÐ Ò ÔÐ Ø Ò Óð Ò Ô Ð ÐÓ ½¾ Ò Ó Ñ ÚÓÙ Ð Ú Ò Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º Æ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÚÝ Ð Ø Ò Ú Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ð Ø Ð Ñº Ó Ø Ð Ý ÓÑ Ø Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò ½ º Ð Ò Ó ö Ø ÐÒ ÚóÐ Ú Ø ½º Ùö Ú ÒÓÚ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ò ÓÙº à ö Ò Ó ö Ø ÐÒ ÐÓ Ú ÒÓÚ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ñ Úó Ú Ú Ð ÒØ Ú ÔóÚÓ ¹ Ò Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò º Â Ñ Ó d¹ò Ó º Î Ø ½º º Å Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n Ø ÓÚ ö NSD(x 1,x 2,...,x n ) = d > 1 Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ y 1,y 2,...,y n Ø ö y i = x i d, i {1,2,...,n}º ÈÓØÓÑ a Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ú ÖÙ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö d a Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ú ÔÖÚÒ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò º ó Þº ÚÞØ Ù Ö ÔÖ Þ ÒØ d a Ú ÔÖÚÒ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÚÝØ Ò Ñ dº Ì Ñ Ó Ø Ò Ñ ÚÞØ Ö ÔÖ Þ ÒØ a Ú ÖÙ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò º Ý Ú Ø ½º ÒÝÒ Ñóö Ñ ÔÓÙö Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ½ Þ ÓÙ¹ Ñ Ò ÔóÚÓ Ò Ó Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ½¼ ½ º ÓÙ Ò Ñ Ú ÑÓöÒÓ Ø Þ Ø Ñ ö ÔÓÑÓ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ½ Ò ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ø Ý 1,2,3,4,6,7,9,11,12,13,14,19 Î ÒÝ Ó Ø ØÒ Ø Ý Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÓÙº ÈÐ Ø ØÓØ ö 20 = = = = = 3 8 Ú ÒÝ Ð Ø Ý Ñóö Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ò Ô Ð Ô Ò Ñ Ú Ó Ò Ó ÑÒÓö¹ ØÚ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 5º ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º Ø Ý Ú Ñ ö Ú ÔóÚÓ Ò Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ò ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ ¹ Ø ÐÒ Ø Ý 2,4,6,8,12,14,18,22,24,26,28,38º ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º Ò Ú Ò ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ö Ò Ð Ø Ýº Î ÒÝ Ó Ø ØÒ Ø Ý Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÓÙº È Þ ÓÙÑ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Ø Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ý Ú Ø Ñ ½º ½º Ñóö Ñ ÓÑ Þ Ø Ò Ý Ø ÑÝ Ñ Ò Ò Ú Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ð Ø Ð Ñ ÖÓÚÒÑ ½º

9 ½º¾ ÈÓ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø ÇØ Þ Ø ÖÓÙ Ñ ÔÓÐÓö Ð Ú ÚÓ Ù ÔÓÑ ÖÒ Ó Ø öò º Ù Ñ ÔÖÓ Þ Ø ÔÓÐÓö Ø Ö ÒÓÙ ÓØ Þ Ùº ÃÓÐ Ó ÒÓØ Ø Ö Ò ÙÑ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÔÓÑÓ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n ½º¾º½ ËÝÐÚ Ø ÖóÚ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓ Ú Ñ Ò ÈÖÓ Ð ÑÝ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Ø ÔÓÑÓ Ñ Ò ÚÓÙ Ó ÒÓØ ÔÓÔ ÓÚ Ò Ú Ø ¹ ØÓ Ô ØÓÐ Þ ÓÙÑ Ð Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø Â Ñ ÂÓ Ô ËÝÐÚ Ø Öº à ÔÓÔ Ù ÔÖÓ Ð ¹ ÑÙ ÔÓÙö Ð ÞÒ Ñ Ý ÚÓÙ Ó ÒÓØ Ò Ñ ØÓ Ñ Ò ÚÓÙ Ó ÒÓغ Î Ð Ø Ö ØÙ ÔÖÓØÓ Ñóö Ñ ÔÖÓ Ð ÑÝ ÔÓÔ Ò Ú Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ò Ð ÞØ ÔÓ Ò ÞÚ Ñ Ì ËØ ÑÔ ÈÖÓ¹ Ð Ñ ¾¼ º Î Ò Ð Ù Ñ Ø ÜØÙ ÚÝ Þ Ñ Þ ½ Ô ØÓÐ º Íö Ú Ñ ö ÔÖÓ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó ÒÓØ Ñ x 1,x 2,...,x n Ò Ú Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ð Ø Ð Ñ d > 1 Ü ØÙ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º à ØÓ Ú Ø ½º º ÃÓÐ ÔÓ Ù Ò Ú Ø ÔÓÐ Ò Ð Ø Ð ÖÓÚ Ò 1 ÎÝ Ñ ØÙØÓ ÓØ Þ Ù Ò ÔÖÚ ÔÖÓ Ý Ø ÑÝ Ñ Ò Ó ÚÓÙ Ó ÒÓØ º ÇØ Þ º Å Ñ Ò ÓÑ Þ Ò ÑÒÓö ØÚ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ a b Ô Ñö Ð a b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ º ÃÓÐ ÖóÞÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab Ò Ó ö Ñ ÔÓÑÓ Ø ØÓ Ñ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ç Ò Ú ÖÞ Ø ØÓ ÓØ Þ Ý Ý Ò Ó ÓÚ Ð ÓÑ Þ Ò Ò Ø Ý Ñ Ò Ò ö abº ÈÓÞ Ù ö Ñ ö Ú ÒÝ Ø Ý Ú Ø Ò Ó ÖÓÚÒÝ ab ÓÙ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò a b Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º Æ ÔÖÚ Ð ÚÝ Ñ ÔóÚÓ Ò ÓØ Þ Ùº ÈÖÓ ÓÒ Ö ØÒ Ó ÒÓØÝ a = 5 b = 9 ÚÝØÚÓ Ñ Ø ÙÐ Ù Ú Ö ÔÖ Þ ÒØÓ¹ Ú Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö abº ÀÓ ÒÓØÓÙ Ú u¹ø Ñ Ù v¹ø Ñ ÐÓÙÔ Ù u b+v aº u v ¼ ½ ¾ ¼ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ì ÙÐ ½º½ Ê ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý ÔÖÓ Ó ÒÓØÝ a = 5 b = 9 Î Ø ÙÐ ½º½ ÓÙ Ú ÒÝ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý Ó 5 9 = 45º ÃÖÓÑ Ò ÓÙ Ú Ø ÙÐ Ø Ð º à ö Ø Ñ Ò Ò ö 45 Ø Ö Ú Ø ÙÐ Ý Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 5 9º ÈÓ Ó ÒÓÙ Ø ÙÐ Ù Ñóö Ñ ÚÝØÚÓ Ø ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒÓÙ ÚÓ Ð a bº ÌÓ ÔÓÔ Ù Ò Ð Ù Ò º Ò ½º º Å Ñ Ò ÓÙ ÐÒ a,b Nº ÍÚ öù Ñ Ñ Ø Ó a + 1 b+1 ÐÓÙÔ ÔÖÓ u,v N 0 u a v b Ó ÒÓØ ÔÖÚ Ù Ñ Ø Ò u¹ø Ñ Ù v¹ø Ñ ÐÓÙÔ ÖÓÚÒ u b+v aº

10 ÌÙØÓ Ñ Ø Ù Ñ ÓÞÒ ÓÚ Ø A a,b º ÀÓ ÒÓØÙ A a,b Ú u¹ø Ñ Ù v¹ø Ñ ÐÓÙÔ Ù Ñ ÞÒ Ø A a,b (u,v)º Ì ÙÐ ½º½ ÔÓ Ð Ø ØÓ Ò Ó ÔÓÚ Ñ Ø A 5,9 º ÈÓ Ø Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab Ñóö Ñ ÔÓ Ø Ø ÔÓÑÓ ÔÓ ØÙ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º ÈÐ Ø ØÓØ ö ÖÓÚÒÓ Ø ( ÔÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ) ( + ÔÓ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ) = ( ÔÓ Ø Ú ) º ½º½µ Ú Þ Ø Ø ÓÐ Ú Ø ÙÐ Ñ Ø A a,b µ ÖóÞÒ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö abº Ì ÙÐ ½º½ Ó Ù Ø Ø º Î Ð Ú ÓÖÒ Ø ÓÙ Ó ÒÓØÝ Ñ Ò Ò ö ab = 45º Î ÔÖ Ú ÓÐÒ Ø ÓÙ Ó ÒÓØÝ Ú Ø Ò ö 45º Î Þ ÝÐ ÚÓÙ ÖÓÞ ÓÙ ÔÓØÓÑ ÔÖ Ú Ú Ó ÒÓØÝ 45º Æ Ú ÔÐ Ø ö Ó ÒÓØ Ñ Ò Ò ö 45 Ú Ø ÙÐ Ø Ò ÔÓ Ø Ó Ó ÒÓØ Ú Ø Ò ö 45º ÇÚ Ñ ö ÙÚ Ò ØÚÖÞ Ò ÔÐ Ø Ò Ò ÔÖÓ Ó ÒÓØÝ a = 5 b = 9 Ð Ú Ó Ò Ñ Ô Ô º Ò Ð Ù Ú ØÝ ÔÐÝÒ ö Ú Ñ Ø A a,b Ø Ñ Ò Ò ö ab Ø Ò Ó Ø Ú Ø Ò ö abº Î Ø ½º º Æ ð a,b N ÓÙ Ú Ø Ò ö ½º ÈÓØÓÑ ÔÖÓ u,v N 0 u a v b ÔÐ Ø ó Þº Ó Ñ Ó ÒÓØÝ Ñ Ø A a,b (u,v)+a a,b (a u,b v) = 2abº A a,b (u,v)+a a,b (a u,b v) = ub+va+(a u)b+(b v)a = 2ab Ð ÔÓØ Ù Ñ Ó Þ Ø ö Ú Ñ Ø ÓÙ ÔÖ Ú Ú Ó ÒÓØÝ abº Î Ø ½º º  ÓٹРa,b N Ò ÓÙ ÐÒ Ô ÓÙ Ú Ñ Ø A a,b ÔÖ Ú Ú Ó ÒÓØÝ abº ó Þº Æ ÔÓÞ (u,v) u,v N 0 u a v b Ó ÒÓØ ab ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÔÐ Ø ab = ua+vb ÔÖ Ú Ñ ØÓ ÓØÓ ÚÖ ÞÙ Þ Ñ au = b(a v)º ÈÖÓØÓ b Ð auº Æ Ú Ú Ñ ö a Ò ÓÙ ÐÒ bº ÈÖÓØÓ ÔÐ Ø ö b Ð uº Ô ÔÓ Ð ó Ð ÔÐÝÒ ö u bº ÈÖÓ u ÔÖÓØÓ Ô Ô Ú Ú Ù ÔÓÙÞ ÑÓöÒÓ Ø ÑÓöÒÓ Ø u = 0 u = bº Ì ÑØÓ ÑÓöÒÓ Ø Ñ Ó ÔÓÚ Ó ÒÓØÝ v = a v = 0º Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÔÓÑÓ ÚÞÓÖ ½º½µ Þ Ø Ø ÔÓ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ¹ Ø ÑÙ Ñ Ø ÓÚ Ø ö Ú Ñ Ø A a,b ö Ò Ó ÒÓØ ÖÓÑ ab Ò ÚÝ ÝØÙ Ú Ò ö ÒÓÙº

11 Î Ø ½º º  ÓٹРРa,b N Ò ÓÙ ÐÒ Ô Ú Ñ Ø A a,b ö Ò Ó ÒÓØ ÖÓÑ ab Ò ÚÝ ÝØÙ Ú Ò ö ÒÓÙº ó Þº Ý Ó ÒÓØ x ÚÝ ÝØÓÚ Ð Ú Ñ Ø A a,b Ú Ò ö ÒÓÙ ÑÙ ÚÝ ÝØÓÚ Ø Ú Ù u 1 ÐÓÙÔ v 1 Þ ÖÓÚ Ú Ù u 2 ÐÓÙÔ v 2 º ÅÙ Ø Ý Ü ØÓÚ Ø u 1,u 2,v 1,v 2 N 0 Ø ö ÔÐ Ø u 1,u 2 a v 1,v 2 b x Ñóö Ñ ÚÝ Ø Ú Ñ ÞÔó Ó Ý x = u 1 b+v 1 a x = u 2 b+v 2 aº Þ ÑÝ Ò Ó ÒÓ Ø Ô ÔÓ Ð Ñ ö u 2 < u 1 º ÅÙ ÔÖÓØÓ ÔÐ Ø Ø v 2 > v 1 º ÔÖ Ú Ñ Ó Ø Ò Ñ b (u 1 u 2 ) = a (v 2 v 1 )º ½º¾µ Ç ØÙ ÔÐÝÒ ö a Ð b (u 1 u 2 )º ÀÓ ÒÓØÝ a b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ º ÈÐ Ø ÔÖÓØÓ ö a Ð u 1 u 2 º ÌÓ Ñóö Ñ ÒØ ÖÔÖ ØÓÚ Ø Ø ö Ð ó u 1,u 2 ÚÓÙ Ø Ò Ó ÒÓØ ÑÙ Ð Ø Ó Ò Ó aº ËØ ÒÑ ÞÔó Ó Ñ Þ ÖÓÚÒ ½º¾µ ÔÐÝÒ ö b Ð a (v 2 v 1 ) Ø Ý b Ð v 2 v 1 º Ð ÐÓÙÔó v 1,v 2 ÚÓÙ Ø Ò Ó ÒÓØ ÔÖÓØÓ ÑÙ Ð Ø Ó Ò Ó bº Î Ñ Ø A a,b ÓÙ Ø ÓÚ Ó ÒÓØÝ ÔÓÙÞ ØÝ Ú ÖÓÞ Ñ Ø º ÊÓÞ ÓÖ Ñ Ô Ô ó Þ Ø Ñ ö Ò Ø Ò Ó ÒÓØÝ Ú Ñ Ø ÓÙ ½º Ó ÒÓØ ab Ú a¹ø Ñ Ù ÒÙÐØ Ñ ÐÓÙÔ ¾º Ó ÒÓØ ab Ú ÒÙÐØ Ñ Ù b¹ø Ñ ÐÓÙÔ º ÆÝÒ Ñóö Ñ ÚÝÙö Ø ÚÞÓÖ ½º½µ ÚÔÓ ØÙ ÔÓ ØÙ Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ð¹ Ò Ø Ñ Ò Ò ö abº Î Ø ½º º  ÓٹРa,b N Ò ÓÙ ÐÒ Ô ÔÓ Ø Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab (a 1)(b 1) º 2 ó Þº Î Ø ÙÐ A a,b Ð Ñ (a + 1)(b + 1) Ó ÒÓغ Ú Þ Ò ÓÙ ÔÓ Ð Ô ÓÞ Ú ØÝ ÖÓÚÒÝ abº ÈÓÐÓÚ Ò Þ Þ ÝÐ Ó ÒÓØ ÔÓ Ð Ú ØÝ ½º Ñ Ò Ò ö abº ÌÝØÓ Ó ÒÓØÝ ÓÙ Ò Ú ÔÓ Ð Ú ØÝ ½º ÖóÞÒ º ÈÓ Ø Ú ÖóÞÒ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab (a+1)(b+1) 2 2 = ab+a+b 1 º 2 ÈÓ Ø Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab ÔÖÓØÓ ÔÓ Ð ÖÓÚ¹ Ò ½º½µ ab ab+a+b 1 2 = (a 1)(b 1) º 2 Ë ÔÓ Ø Ñ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab ÔÖÓÞ Ø Ñ ÔÓ Ó Ñ º Ã Þ Ú ÖÙ Ø ÑØÓ ÓÑ Þ Ò Ñ Ó Ô Ð ËÝÐÚ Ø Ö ½ ØÖº ½ ¾ º Î Ø ½º¾º¾ ½º º½ Ù ö Ñ Ú Ñ ÖóÞÒÑ ÞÔó Ó Ý ö Ú ÒÝ Ø Ý Ú Ø Ò ö ab ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º

12 ½º¾º¾ ÓÑ ØÖ Ó ÚÓÞ Ò Ì ØÓ Ø Ó Ù Ò ÞÔó Ó Ó ÚÓÞ Ò ÚÞÓÖ ÔÖÓ Þ Ò ÔÓ ØÙ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ ¹ Ø ÐÒ Ø Ú Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó ÚÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ a,b Nº Æ Ñ Ð Ñ ÞÒÓÚÙ Ó Þ Ø Ú ØÙ ½º Ø ÒØÓ Ö Ø Þ ÓÑ Þ Ò Ò Ø Ý Ñ Ò Ò ö abº ÖÔ Ñ Ô ØÓÑ Þ ½½ Ôº ½ º ÈÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý n Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ a b ÔÓ Ð Ò ¹ ½º½ ÖÓÚ Ò ÔÓ ØÙ ÚÓ x,y N 0 Ø ÓÚ ö n = xa+ybº  ÒÓ Ù Ñ ÔÖ Ú Ñ Þ Ñ Ú Ú Ð ÒØÒ ÚÝ Ò y = a b x+ n b Óö ÖÓÚÒ Ô Ñ Ý ÔÖÓØ Ò Ó Ý Ú Ó A = [n/a,0] B = [0,n/b]º Ø n ÔÖÓØÓ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ø Ý Ýö Ò ¹ AB Ð ö Ð ÔÓ Ò Ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ [x,y]º Æ Ó Ö Þ Ù ½º½ Ô Ð Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ý ½ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò a = 5 b = 7º Æ AB Ð ö Ò Ó X ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ [1,2] Ò Óð Ø Ù ½ ÐÞ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ò ÔÓÑÓ Ò Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ÚÓÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ º y B 2 X A 5 x Ç Ö Þ ½º½ È Ð Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý ½ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò a = 5 b = 7 Ä ÑÑ ½º½¼º Ä ö ¹Ð Ó X = [x,y] ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ò Ô Ñ p : n = xa+yb Ô Ò Ø Ò Ô Ñ Ð ö Ó Ý Y 1 = [x+b,y a] Y 2 = [x b,y+a]º Å Þ Ó Ý X Y 1 Ò Ñ Þ Ó Ý X Y 2 Ò Ô Ñ Ò Ú Ò Ð ö ö Ò Ð Ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ º

13 ó Þº Ó Y 1 Ð ö Ò Ô Ñ p ÔÖÓØÓö a(x+b)+b(y a) = ax+ab+by ba = ax+by = nº ÈÓ Ó Ò Ó Y 2 Ð ö Ò Ô Ñ p ÔÖÓØÓö a(x b)+b(y +a) = ax+by = nº ÎÓÐÑ ÔÖÓ ÔÓÖ Ó Q = [x + u,y v] ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ð ö Ò Ô Ñ Ñ Þ Ó Ý X Y 1 º ÃÓÒ Ø ÒØÝ u,v ÔÖÓØÓ ÑÙ ÔÐ ÓÚ Ø u,v N 1 u < b 1 v < aº ÈÐ Ø a(x+u)+b(y v) = ax+by +au bv = nº Ð Ñ ÔÖ Ú Ñ Þ Ò ÖÓÚÒ Þ Ñ n+au bv = n au = bv a b = v u º ÐÓÑ a Ú Þ Ð Ò Ñ ØÚ ÖÙ ÔÖÓØÓö a b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ º Î ÒÝ ÞÐÓÑ Ý b ÚÝ Ù Ø Ò Ö ÓÒ ÐÒ ÐÓ ÓÙ ÔÖÓØÓ Ú ØÚ ÖÙ ma m Z,m 0º mb ÐÓÑ v Ú ØÓÑØÓ ØÚ ÖÙ Ò Ò Ò Óð 1 v < a 1 u < bº u ËØ ÒÑ ÞÔó Ó Ñ Ý ÓÑ ÑÓ Ð Ó Þ Ø ö Ñ Þ Ó Ý X Y 2 Ò Ô Ñ Ò Ð ö Ó Q = [x u,y +v] ÓÔ Ø u,v N 1 u < b 1 v < aº Î Ñ ¹Ð ö Ò Ô Ñ p Þ Ð ÑÑ ØÙ ½º½¼ Ð ö Ð ÔÓ Ò Ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ô ÓÔ ÓÚ ÒÑ ÔÓÙö Ø Ñ Ð ÑÑ ØÙ Þ Ú Ñ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ó ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ º Î Ø ½º½½º ÎÓÐÑ Ò ÓÙ ÐÒ a,b N n N 0 º Æ Ô Ñ p : n = xa+yb Ð ö Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ó ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ º ÎÞ Ð ÒÓ Ø ö ÚÓÙ ÓÙ Ò Ó ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ò Ô Ñ p ÖÓÚÒ s = a 2 +b 2 º ó Þº Æ ÔÖÚ Ó ö Ñ ö Ò Ô Ñ p Ð ö Ò Ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ ¹ Ò Ñ º ÞÓÙØÓÚÝ ÖÓÚÒÓ Ø ¾ Ú Ø º Ò ÓÙ ÐÒÓ Ø a,b ÔÐÝÒ Ü Ø Ò x,y Z Ø ÓÚ ö ax +by = 1º ÔÖ ÚÓÙ ÚÞÒ Ð ÖÓÚÒ Þ Ñ anx +bny = nº Ó [nx,ny ] ÔÖÓØÓ Ð ö Ò Ô Ñ¹ pº ÈÓ Ð Ð ÑÑ ØÙ ½º½¼ Ð ö Ò Ô Ñ p Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ó ó ÐÓ ÐÒ¹ Ñ ÓÙ Ò Ñ Ú ÔÖ Ú ÐÒ ÒØ ÖÚ Ð º ÎÞ Ð ÒÓ Ø ÚÓÙ ÓÙ Ò Ó ó X = [x,y] Y = [x+b,y a] s = (x x b) 2 +(y y +b) 2 = a 2 +b 2 º

14 Æ Ó Ö Þ Ù ½º¾ ÞÒ ÞÓÖÒ Ò Ô Ñ p Ó ÔÓÚ ÚÓÐ n = 30 a = 5 b = 7º ÎÝÞÒ Ò Ó Ý X 1 X 2 X 3 Ò Ô Ñ p ÓÙ Ø ÔÓ Ó ÓÙ Ó Ý ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ º  ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÓÙ ÔÓ Ð Ú ØÝ ½º½½ X 1 X 2 = X 2 X 3 = = 74º y 6 X X 2 x 2 4 X 3 6 Ç Ö Þ ½º¾ È Ñ ÚÝÞÒ ÒÑ Ó Ý ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ ÔÖÓ a = 5 b = 7 n = 30 Î Ø ½º½¾º Å Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ò ÓÙ ÐÒÑ Ó ÒÓØ Ñ a bº Ø n = ab Ú ØÓÑØÓ Ý Ø ÑÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ú Ñ ÞÔó Ó Ýº Î ÒÝ Ø Ý n > ab ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º Ø Ý n < ab ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ñ Ü Ñ ÐÒ Ò Ñ ÞÔó Ó Ñº ó Þº ÈÓ Ù AB Ö Ò Ñ Ó Ý A = [n/a,0] B = [0,n/b] Ð Ò ö a 2 +b 2 Ô Ò Ò ÔÓ Ð Ú ØÝ ½º½½ Ð ö Ð ÔÓ Ò Ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ º Ð Ý AB Ô ØÓÑ ÖÓ Ø n Ð Ò ÖÒ Ò Óð ÔÖÓ n 0 ÔÐ Ø AB = (n a) 2 + ( n b) 2 = n (1 a ) 2 + ( ) 2 1 º b ÈÖÓ n = ab A = [b,0] B = [0,a] AB = a 2 +b 2 º ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º½½ Ò Ø ØÓ Ð ö Ñ Ü Ñ ÐÒ Ú Ó Ý ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ º  ÓÙ ÔÖ Ú Ú ÓÙ Ñ Ó Ý A Bº ÈÖÓ n > ab Ó ÔÓÚ Ð Ò ö ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÓÙ Ò Ó ó ¹ ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ð ö Ò Ò ÔÖÓØÓ Ð ÔÓ Ò Þ Ò º ÈÖÓ n < ab ½¼

15 Ó ÔÓÚ Ö Ø Ò ö ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÓÙ Ò Ó ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ¹ Ò Ñ ÔÖÓØÓ Ò Ò Ð ö Ñ Ü Ñ ÐÒ Ò Þ Ò º ÇÞÒ Ñ Ó Ý A = [b,0] B = [0,a] ÔÓ Ø O = [0,0]º Ó Ý A B ÓÙ Ö Ò Ñ Ó Ý Ý ÔÖÓ n = abº Ú ØÝ ½º½¾ Ú Ñ ö ö Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab Ó ÔÓÚ Ò Ø Ö Ð ö ÔÖ Ú Ò Ó ÐÓ Ð¹ ÒÑ ÓÙ Ò Ñ º Ç ØÙ ÔÐÝÒ ö Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø n Ñ Ò Ò ö ab Ñ Ü Ñ ÐÒ ØÓÐ Ó Ó ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ø Ö Ð ö ÙÚÒ Ø ØÖÓ ÐÒ Ù OA B Ò Ó Ò Ó Ó ÚÓ Ù Ò ÔÓ Ø Ñ ¹Ð Ó Ý A B º ÈÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý ÝÐ Ó Ø Ñ Ò Ò ö ÔÓ Ø ÔÓÔ Ò Ó ó Ý Ý Ü ØÓÚ Ð Ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ø Ö Ò Ð ö Ò ö Ò Þ º Æ Ð Ù Ú ØÓÙ ½º½ Ó ö Ñ ö ØÓÑÙ Ø Ò Ò º ÈÓ Ø Ó ó ÐÓ¹ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ ÔÖÓØÓ ÖÓÚ Ò ÔÓ ØÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º Æ Ó Ö Þ Ù ½º ÓÙ Ò Ô Ð Ù Ý Ø ÑÙ Ñ Ò a = 5 b = 7 ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÝ Ú ÒÝ Ý Ó ÔÓÚ ÐóÑ n {1,2,...,5 7 = 35}º Ý Ò Ø ¹ Ö Ð ö Ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ó ÔÓÚ Ø Ý Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÑ Ø Ñ ÓÙ ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÝ ÔÐÒÓÙ ÖÓÙº Ý Ò Ø Ö ö Ò Ó ÐÓ Ð¹ ÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ò Ð ö Ó ÔÓÚ Ø Ý Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÑ Ø Ñ ÓÙ ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÝ Ô ÖÙ ÓÚ Ò º y 5 B C O A x Ç Ö Þ ½º Ý AB ÔÖÓ a = 5 b = 7 n {0,1,...,35} Î Ø ½º½ º Å Ñ Ò ÓÙ ÐÒ a,b Nº ÈÖÓ ö Ó X = [x,y] ÓÙ Ò Ñ x,y N 0 Ü ØÙ n N 0 Ø ÓÚ ö X Ð ö Ò Ö Ò Ñ Ó Ý A = [n/a,0] B = [0,n/b]º ó Þº ÎÖ Þ ax+by Ø ÐÓ ÐÒº ÚÓÐ Ñ ÔÖÓØÓ n = ax+byº ½º µ ½½

16 ÈÓ Ù Ò ÚÞØ ½º µ Ù Ñ Ú Ø Ó Ò ÖÓÚÒ Ô Ñ Ý Ò ÒÓ ÓÚ Ñ ö ÔÖÓØ Ò Ó Ý Ú Ó A = [n/a,0] B = [0,n/b]º Ó X Ò Ø ØÓ Ô Ñ Ð ö º Ä ö Ò AB Ò Óð Ò Þ Ú ÔÖÚÒ Ñ Ú Ö ÒØÙº Î Ø ½º½ º ÈÓ Ø Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ¹ ÐÒ Ó ÒÓØ a,b N (a 1)(b 1) º 2 ó Þº ÈÓ Ø Ú Ø Ñ Ò Ò ö ab Ú ØÒ ÒÙÐÝ abº ÎÓÐÑ A = [b,0],b = [0,a],O = [0,0] C = [b,a]º Ú Ø ½º½¾ ½º½ ÔÐÝÒ ö ÔÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab ÖÓÚ Ò ÔÓ ØÙ Ó ó ÐÓ ¹ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ø Ö Ð ö ÙÚÒ Ø ØÖÓ ÐÒ Ù OA B Ò Ó Ò Ó Ó ÚÓ Ù Þ Ó ó A B º Ì ÔÓÐÓÚ Ò Þ ÔÓ ØÙ Ó ó ÐÓ ÐÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ð ö Ú Ó ÐÒ Ù OA CB Þ Ó ó A B º ÈÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab ÔÖÓØÓ (a+1)(b+1) 2 º 2 ÈÓ Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab ÚÝÔÓ Ø Ñ Ó Ø Ò Ñ ÔÓ ØÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ó ÔÓ ØÙ Ú ab (a+1)(b+1) 2 2 = ab ab 2 a 2 b = (a 1)(b 1) 2 Ú ØÝ ½º½¾ Ú Ñ ö ö Ø Ú Ø Ò Ó ÖÓÚÒ ab Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º ½º Æ Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Î Ø ½º¾ Ñ Þ Ñ Ð Ó ØÓ ÓÐ Ø Ò ÐÞ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÔÓÑÓ Ý Ø ¹ ÑÙ Ñ Ò a bº ÆÝÒ Ù Ñ Þ ðóú Ø Ø Ö Þ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ò Ú Ø º ÌÙØÓ ÓØ Þ Ù Ñ ÑÝ Ð Þ ÓÙÑ Ø Ò ÔÖÓ Ò ÓÙ ÐÒ Ý Ø ÑÝ Ñ Ò º ËÝ ¹ Ø ÑÝ Ñ Ò Ò Ú Ø Ñ ÔÓÐ ÒÑ Ð Ø Ð Ñ d > 1 Ñ ØÓØ ö Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ú Þ Ø ½º½µº ½º º½ ÈÖÓ Ú Ñ Ò Ù Ñ Þ Ú Ø Ò Ð Ù ÓØ Þ ÓÙ ÇØ Þ º Å Ñ Ò ÓÑ Þ Ò ÑÒÓö ØÚ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ a bº Ð a b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ º Â Ò Ú Ø Ø Ø ÖÓÙ ÔÓÑÓ Ø ØÓ Ñ Ò Ò Ñóö Ñ Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØÓÚ Ø ÈÓ ØÙÔ Ò ÔÖÚ Ù ö Ñ Ò ÓÒ Ö ØÒ Ñ Ô Ô ÔÖÓ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ¹ ÐÒ Ó ÒÓØ a = 5 b = 9º ÇÔ Ø ÚÝÔ Ñ Ø ÙÐ Ù Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø ½º¾º  ØÓ Ø Ò Ø ÙÐ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ó ½º½º Â Ò ÓÙ Ú Ò ÞÚÖ ÞÒ ÒÝ Ò Ó ÒÓØݺ Ø ØÓ Ø ÙÐ Ý ÚÝÔÙ Ø Ñ ÔÓ Ð Ò ÐÓÙÔ º Æ Ú Ó ö Ó Ð Ú Ø Ó Ò ö ab = 45 Ó Ø Ñ 45º Î Ð Ñ Ù Ø ÙÐ ½º º ½¾

17 v u ¼ ½ ¾ ¼ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ Ì ÙÐ ½º¾ Ê ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý ÔÖÓ Ó ÒÓØÝ a = 5 b = 9 u v ¼ ½ ¾ ¼ ¼ ½¼ ½ ¾¼ ¾ ¼ ¼ ½ ½ ½ ¾ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ¾ ¾ ½¾ ½ ¾¾ ½ ½ ½½ ½ ¾½ ¾ ½ Ì ÙÐ ½º Ê ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý ÔÖÓ Ó ÒÓØÝ a = 5 b = 9 Ì ÙÐ ½º Ó Ù Ú Ò Ð Ñ Þ 0 ab 1 Ú ØÒ º  ÓÙ Ú Ò ÔÖÓØÓ Ú ÒÝ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý Ñ Ò Ò ö abº ê Ò ¹ ÐÓ Ú Ò Ò Ú Ò ÓÔ Ù º Î Ð Ú ÓÖÒ ÚÝÞÒ Ò Ø Ø ÙÐ Ý ÓÙ Ú ÒÝ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ýº Î ÔÖ Ú ÓÐÒ Ø Ø ÙÐ Ý Ø Ý ÑÙ Ø Ú ÒÝ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ýº Æ Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò öab Ò Þ Ú ÔÖ Ú Ñ ÓÐÒ Ñ ÖÓ Ùº Â Ó ÒÓØ 31º Å Þ 31 ab = Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º È Ø Ò Ñ Ú Ó Ò Ó Ò Ó Ù Ô Ø Ò Þ Ò Ø Ñóö Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ð ÓÚÓÐÒÓÙ Ø Ù ÚÝ Ò ö 45º ÆÝÒ ÞÓÔ Ù Ñ Ø Ò ÔÓ ØÙÔ ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ a,bº Ò ½º½ º Æ ð a,b N ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ Ð º ÍÚ öù Ñ Ñ Ø Ó a b ÐÓÙÔ ÔÖÓ Ð u,v N 0 Ø ÓÚ ö u < a v < b Ó ÒÓØ ÔÖÚ Ù Ñ Ø Ò u¹ø Ñ Ù v¹ø Ñ ÐÓÙÔ ÖÓÚÒ { u b+v a ÔÖÓ u b+v a < ab u b+v a ab ÔÖÓ u b+v a abº ÌÙØÓ Ñ Ø Ù Ñ ÓÞÒ ÓÚ Ø A a,b º ÀÓ ÒÓØÙ Ú u¹ø Ñ Ù v¹ø Ñ ÐÓÙÔ Ù Ñ ÞÒ Ø A a,b (u,v)º Å Ø A a,b Ó ÔÓÚ Ó Ù Ø ÙÐ Ý ½º º Î Ø ½º½ º Å Ñ ¹Ð a,b N Ò ÓÙ ÐÒ Ô ÓÙ Ú Ñ Ø A a,b ÖóÞÒ º Ú Ò Ð ó Þº ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º ÓÙ Ú Ñ Ø A a,b Þ ÔÓ Ð Ò Ó Ù ÐÓÙÔ Ú Ò Ð ÖóÞÒ º ½

18 Æ ÓÙ Ò (u,v) ub+va < ab Ñ Ø A a,b Ó A a,b Ò Ð º ê Ò ÚÓ Ð Þ Ø ØÓ Ø ÔÖÓØÓ Ò Ò Ø Ò º Æ ÓÙ Ò (u,v) ub+va ab Ú Ñ Ø A a,b Ó ÒÓØ ub+va ab = A a,b (u,v) abº ê Ò ÚÓ Ð Þ Ø ØÓ Ø ÔÖÓØÓ Ø Ò Ò Ø Ò º Ú Þ Ø Ø ØÐ Ò Ñóö Ü ØÓÚ Ø ÐÓ Þ ÔÖÚÒ Ø Ø Ò Ó ÐÓ Þ ÖÙ Ø º Ì ÓÚ ÐÓ Ý ÑÙ ÐÓ Ø Ú ÔÖÚÒ Ø Ò ÔÓÞ (u 1,v 1 ) Ö ÔÖ Þ ÒØ x = u 1 b+v 1 aº ÖÓÚ Ý ÑÙ ÐÓ Ø Ò ÔÓÞ (u 2,v 2 ) Ú ÖÙ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖ Ú Ñ Ø ØÓ ÖÓÚÒ Ó Ø Ò Ñ x = u 2 b+v 2 a ab (v 1 v 2 +b)a = (u 2 u 1 )b ½º µ Î Ñ ö a Ð (u 2 u 1 )bº ÈÖÓØÓö a,b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ a Ð u 2 u 1 º ÈÖÚÒ ÓÙ Ò Ð Ø Ý Ð Ó Ò Ó aº ÈÖÓØÓö Ñ Ø A a,b Ñ a 1 ó ÑÙ Ø Ø ÒØÓ Ò Ó ÖÓÚ Ò 0º ÈÖÚÒ ÓÙ Ò Ð ÓÙ ÔÖÓØÓ Ø Ò º ÖÓÚÒ ½º µ Ø Ú Ñ ö b Ð (v 1 v 2 +b)aº ÈÖÓØÓö a,b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ Ø b Ð v 1 v 2 + bº Ç ØÙ b Ð v 1 v 2 º ÖÙ ÓÙ Ò Ð Ø Ý Ð Ó Ò Ó bº ÈÖÓØÓö Ñ Ø A a,b Ñ b 1 ÐÓÙÔó ÑÙ Ø Ø ÒØÓ Ò Ó ÖÓÚ Ò 0º ÖÙ ÓÙ Ò Ð ÓÙ ÔÖÓØÓ Ø Ò º Ç Ð Ñ Ø Ò ÓÙ Ò Óö Ú ÔÓÖÙ Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ð ö Ú ÖóÞÒ Ø Ñ Ø º Î Ñ Ø A a,b ÔÖÓØÓ Ò ÓÙ Ú Ø Ò Ð º Å Ø A a,b Ó Ù ab к Î Ò ÓÙ Ñ Ò Ò ö abº ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º½ ÓÙ Ò Ú Ú Ò Ð Ú Ñ Ø ÖóÞÒ º Å Ø A a,b ÔÖÓØÓ Ó Ù Ú ÒÝ Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÚ Ø ÐÒ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ð Ò Ø Ý Ñ Ò Ò ö abº Î Ø ½º½ º Å Ñ a,b N Ò ÓÙ ÐÒ º Ø Ò ÓÙ Ò (u,v) Ú Ñ Ø A a,b Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÔÐ Ø ub+va < abº ó Þº Æ ÓÙ Ò ub+va < ab Ø ub+va ÔÖÓØÓ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º Í ö Ñ Ò ÓÔ ö ö Ø Ø Ö Ò Ñ ÓÙ Ò (u,v) ÔÐ Ù ub + va < ab Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º Å Ø A a,b Ó ÓÚ Ð Ú ÒÝ Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý Ñ Ò Ò ö abº Ç ØÖ Ò Ò Ñ ÔÓ Ð Ò Ó Ù ÐÓÙÔ ö Ò Þ Ò Ò ÞÑ Þ Ð º Ç Ø Ò Ñ ab Ó Ó ÒÓØ ub+va ab Ñ Ø Ñ Ñ Ò Ñ Ò ö ab Ò Ò Ù Ð Ð º Å Ø A a,b ÔÖÓØÓ Ø Ð Ó Ù Ú ÒÝ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý Ñ Ò Ò ö abº ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º½ ÓÙ Ò Ú Ú Ñ Ø A a,b Ú ÒÝ Ó ÒÓØÝ ÖóÞÒ º Æ ÓÙ Ò ¹ ub+va ab ÔÖÓØÓ Ò Ñóö Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º½ Ó ö Ñ ÙÖ Ø Ò Ø Ö ÓÙ Ò Ú A a,b Ò Þ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ýº Æ Ó Ø ØÒ ÓÙ Ò ÔÖÓØÓ Ò Þ Ø Ý Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º ½

19 Î Ø ½º½ º Î Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ a,b N Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ñ Ò Ò ö ab ÖÓÚÒ ab a bº ó Þº Ú ØÝ ½º½ ÔÐÝÒ ö Ú Ñ Ø A a,b ÓÙ Ú ÒÝ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý Ñ Ò Ò ö ab Ò ÔÓÞ (u,v) ub+va abº Æ Ú Ø Þ Ò Ú ÔÖ Ú Ñ ÓÐÒ Ñ ÖÓ Ù Ñ Ø A a,b Ø Ý Ò ÓÙ Ò (a 1,b 1)º Â Ó ÒÓØ A a,b (a 1,b 1) ab = (a 1)b+(b 1)a ab = ab a b ÆÝÒ Ñ Ó Ø Ð Ó Ø Ò ØÙ Ó Ú Ø ½º¾º½º Æ Ð Ñ Ò ÓÑ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ø Ý Ñ Ò Ò ö abº Î ØÓÙ ½º½¾ Ùö Ñ Ó Þ Ð ö Ú ÒÝ Ú Ø Ø Ý ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º Ê ØÓ Ð Ó ö Ñ Ø ÒÓÙ ÔÓÙö Ø Ñ ÔÓÞÒ Ø ó Þ Ø ØÓ Ø º Î Ø ½º½ º Î Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ a,b N ÓÙ Ú ÒÝ Ø Ý Ú Ø Ò Ó ÖÓÚÒ ab Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º ó Þº Å Þ Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓÙ Ø ÓÙ ab a b ab a + b Ö ¹ ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º È Ø Ò Ñ Ú Ó Ò Ó Ò Ó Ù Ð b Ò Ø Ö Þ Ò Þ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ð ÓÚÓÐÒ Ø Ý Ú Ø Ò Ó ÖÓÚÒ abº Î Ô ØÓÐ ½º¾ ½º Ñ ÔÖÓ Ý Ø ÑÝ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ a,b N Ó Ô Ð Ò Ð Ù Ñ Þ Ú ÖóÑ ÈÓ Ø Ú Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø ÖÓÚ Ò (a 1)(b 1) 2 º Æ Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø ÖÓÚÒ ab a bº È Ð ½º¾¼º Î ÚÓÙÑ ÒÓÚ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ a b a < b Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Þ Ò ö Ò º  ÓÙ Ó ÒÓØÝ a b ½½ Ôº ½ à Ò º ÀÓ ÒÓØÝa b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ º Ã Ý Ý ØÓ Ø Ò ÝÐÓ Ô Ý ÔÓ Ð Ú ØÝ ½º Ü ØÓÚ ÐÓ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º Ð Ú Ñ ö (a 1)(b 1) = 35 ½º µ 2 Ø Ý (a 1)(b 1) = 70º ÀÐ Ñ Ø Ý Ð k,l N Ø Ý ÔÐ Ø ÐÓ kl = 70 k < lº à Ò Ñ ÐÓ Ý ÚÓ (a,b) Ø ÓÚ ö a = k+1 b = l+1 a b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ Ø Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ a,bº ÐÓ ¼ Ñóö Ñ ÖÓÞÐÓö Ø Ò ÓÙ Ò ÚÓÙ Ô ÖÓÞ Ò Ð Ò Ô Ð ÔÓÑÓ ÖÓÞ Ð Ù Ò ÓÙ Ò ÔÖÚÓ Ð 70 = Î ÒÝ ÚÓ Ô ÖÓÞ Ò Ð (a,b) ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ÖÓÚÒ ½º µ a < b ÓÙ Ø Ý (2,71),(3,36) (6,15) (8,11)º ÚÓ (3,36) (6,15) ÚÝ Ñ Ò Óð Ó ÚÓ ÓÙ ÐÒ Ðº ÚÓ (2,71) ÚÝ Ñ Ò Óð 58 = 2 29º ÝÐ ÚÓ (8,11) ÔÐ Ù Ú ÒÝ ÔÓö Ú Ýº  ÒÑ Ò Ñ Ø Ý a = 8 b = 11º ½

20 ½º º¾ ÈÖÓ Ú Ñ Ò Ó Ù Ñ Ò Ð Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓÙ Ø Ù ÔÖÓ Ý Ø ÑÝ ØÚÓ Ò Ú Ñ Ñ Ò Ñ º ÈÖÓ Ú Ñ Ò Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÚÖ ÞÒ Ó Ø öò º ÇØ Þ º Å Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n Nº Â Ú ØÓÑØÓ Ý Ø ÑÙ Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Î Ý Ø Ñ Ó Ù Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ½ ÓÙ Ú ÒÝ Ø Ý Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÚ Ø ÐÒ º Î Ø ØÓ Ø ÔÖÓØÓ Ù Ñ Þ ÓÙÑ Ø ÔÓÙÞ Ý Ø ÑÝ Ø Ö Ò Ó Ù Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ½ Ü ØÙ Ú Ò ÔÖÓØÓ Ð ÔÓ Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º Î Ý Ø Ñ Ò ÓÙ ÐÒÑ Ó ÒÓØ Ñ Ñ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ò Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø º Í ö Ñ ØÓ Ò Ð Ù Ú ØÓÙº Î Ø ½º¾½º ÈÖÓ ö Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n N Ü ØÙ Ø g(x 1,x 2,...,x n ) Ø ÓÚ ö ö Ø a > g(x 1,x 2,...,x n ) Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º ¾ Ú Ø ó Þº Î ØÙ Ó ö Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÓÙ Ò Ù ÔÓ Ð ÔÓ ØÙ Ñ Ò º ÈÖÓ ÚÓÙÑ ÒÓ¹ Ú Ý Ø ÑÝ Ñ Ü Ø Ò Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý Ù Þ Ð Ú Ø ½º º½º È ÔÓ Ð Ñ ÒÝÒ ö ÔÖÓ Ý Ø ÑÝ Ó n 1 Ò ÓÙ ÐÒ Ñ Ò Ú Ø ÔÐ Ø º Ñ Ó Þ Ø ö ÔÐ Ø ÔÖÓ Ý Ø Ñ Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n º Æ ð d Ò Ú Ø ÔÓÐ Ò Ð Ø Ð x 1,x 2,...,x n 1 º ÈÓ Ù d = 1 Ô ÔÓ Ð Ò Ù Ò Ó Ô ÔÓ Ð Ù ö Ø Ú Ø Ò ö g(x 1,x 2,...,x n 1 ) Ú Ý Ø ¹ ÑÙ Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n 1 Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º È Ò Ñ ÔÓ Ð Ò Ñ Ò x n Ò ØÓÑ Ò Ò ÞÑ Ò Ñ º ÈÓ Ù d > 1 Ô ÓÞÒ Ñ x 1 = x 1/d x 2 = x 2/d,...,x n 1 = x n 1/dº ÈÓ Ð Ò Ù Ò Ó Ô ÔÓ Ð Ù Ü ØÙ g(x 1,x 2,...,x n 1)º Ó ö Ñ ö Ð ÓÚÓÐÒ Ø a ÔÐ Ù a > x n (d 1)+dg(x 1,x 2,...,x n 1 ) ½º µ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ º Ô ÔÓ Ð Ù Ú ØÝ Ú Ñ ö d x n ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ º ÞÓÙØÓÚÝ ÖÓÚÒÓ Ø ¾ Ú Ø º ÔÖÓØÓ ÔÐÝÒ Ü Ø Ò k,l Z Ø ÓÚ ö ÔÐ Ø ld+kx n = 1 kx n 1 (ÑÓ d) kx n a a (ÑÓ d)º ÔÖÓØÓ Ü ØÙ 0 c d 1 ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø x n c a (ÑÓ d)º ½º µ Ç ØÙ Þ ½º µ Þ Ú Ñ a x n c d a x n(d 1) d > g(x 1,x 2,...,x n 1 )º ½º µ Ø (a x n c)/d ÔÓ Ð ½º µ ÐÓ ÐÒ º ÈÓ Ð ½º µ Ò Ú Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n 1 Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ü ØÙ Ø Ý Ò Þ ÔÓÖÒ Ð Ð b 1,b 2,...,b n 1 Ø ÓÚ ö ÔÐ Ø a x n c d = b 1 x 1 +b 2x 2 + +b n 1x n 1 º ½

21 Ø Ù a Ø Ý Ñóö Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ò Ð Ù Ñ ÞÔó Ó Ñ a = b 1 dx 1 +b 2 dx 2 + +b n 1 dx n 1 +cx n = b 1 x 1 +b 2 x 2 + +b n 1 x n 1 +cx n Ô ÓÞ Ú ØÝ ÔÐÝÒ Ü Ø Ò Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ø Ý Ù Ñ ÞÒ Ø f(x 1,...,x n ) Ò ÞÚ Ø ÖÓ Ò ÓÚÑ Ð Ñº Íö ÔÖÓ Ý Ø ÑÝ Ó Ø Ñ Ò Ò Ò ÞÒ Ñ ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø ÖÓ Ò ÓÚ Ð º Ü ØÙ Ú Ò ÓÐ Ð ÓÖ ØÑó ÔÓÑÓ Ø Ö Ó Þ Ø Ñ Ø ÚÒ Ò ö Þ ÓÙ Ò Ñ Ú ÑÓöÒÓ Ø º Â Ò Ø ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ Ù ö Ñ º ÈÓÔ Ð ÓÖ ØÑÙ ÚÝ Þ Þ ÔÙ Ð ¾ ØÖº ¾ º Ç Ò ÔÓ ØÙÔ Ù Ñ ÐÙ ØÖÓÚ Ø Ò Ð Ò Ð f(6,9,20) Ø Ö ÐÞ ÒØ Ö¹ ÔÖ ØÓÚ Ø Ò Ô º Ó Ò Ò Ð Ù ÐÓ Ý ÇØ Þ º Î ØÖ ÚÓÚ Ñ Ø Þ ÔÖÓ Ú Ù ÓÙ Ý Ú Ð Ò ÔÓ Ø Ú Ø Ú Ø Ù º Â Ò Ú Ø ÑÒÓö ØÚ ÓÙ ó Ò Ñóö Ñ ÓÙÔ Ø Î Þ ÝØ Ù Ô ØÓÐÝ Ù Ñ Ô ÔÓ Ð Ø ö Ó ÒÓØÝ Ñ Ò ÓÙ Þ Ò Ó Ò Ñ Ò Ó Ò Ú Ø ÑÙ Ø º x 1 < x 2 < < x n º ÎÝØÚÓ Ñ Ó Ó ÒÓ Ò ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ö G = (V,E,h) ÑÒÓö ÒÓÙ ÚÖ¹ ÓÐó V ÑÒÓö ÒÓÙ Ö Ò E ÙÒ Ô ÞÙ Ó Ó ÒÓ Ò ÒÓØÐ Ú Ö Ò h : E Nº ÅÒÓö Ò ÚÖ ÓÐó ØÓ ÓØÓ Ö Ù Ñ x 1 ÔÖÚ ó V = {0,1,...,x 1 1} ÚÖ ÓÐÙ u Ú Ó ÚÖ ÓÐÙ v Ö Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö Ü ØÙ i Ø ö u+x i v (ÑÓ x 1 )º ½º µ Ì ØÓ Ö Ò Ñ Ó Ó ÒÓ Ò x i º ÈÖÓ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1 = 6º Ë Ø Ú Ò Ö Ò Ó Ö Þ Ù ½º º ÀÖ ÒÝ Ø Ö ÓÙ Ú Ö Ù ÚÝÞÒ ÒÝ ÔÐÒÓÙ ÖÓÙ ÚÞÒ ÐÝ Ó Þ Ò Ñ x i = 9 Ó ÚÞØ Ù ½º µº Â Ó Ó ÒÓ Ò ÔÖÓØÓ ÖÓÚÒÓ º ÀÖ ÒÝ Ø Ö ÓÙ Ú Ö Ù ÚÝÞÒ ÒÝ Ô ÖÙ ÓÚ ÒÓÙ ÖÓÙ ÚÞÒ ÐÝ Ó Þ Ò Ñ x i = 20 Ó Ø Ò Ó ÚÞØ Ùº Â Ó Ó ÒÓ Ò ÔÖÓØÓ ¾¼º Ç Ö Þ ½º ÇÖ ÒØÓÚ Ò Ö ÔÖÓ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 6,9 20º ½

22 ÆÝÒ Ò Ñ Ò Ö Ø ØÙ Ó ÚÖ ÓÐÙ ¼ ö ÑÙ Þ Ó Ø ØÒ ÚÖ ÓÐóº Æ Ú Ø Þ Ð Ò Ð Þ Ò Ø ÓÞÒ Ñ D(G)º ÖÓ Ò ÓÚÓ ÐÓ ÔÓ Ø Ñ Ò ¹ Ð ÓÚÒ f(x 1,x 2,...,x n ) = D(G) x 1 ½º½¼µ ÎÖ ÓÐ ½ ¾ ÎÞ Ð ÒÓ Ø ¾¼ ¼ ¾ Ì ÙÐ ½º Ì ÙÐ Ò Ö Ø ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó ÚÖ ÓÐÙ 0 ÔÖÓ Ö Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 6,9 20 ÀÐ Ò Ò Ö Ø Ø Ú Ö Ù ÞÒ Ñ ÔÖÓ Ð Ñº Ã Ó ÚÝ Ò Ñóö Ñ ÔÓÙö Ø Ò Ô Ð ØÖóÚ Ð ÓÖ ØÑÙ ¾¾ ØÖº ¾¼ ¾½¼ º Æ Ð Þ Ò Ð Ý Ò Ö Ø¹ Ø ÓÙ ÙÚ ÒÝ Ú Ø ÙÐ ½º º Æ ÚÞ Ð Ò Ó ÚÖ ÓÐÙ ¼ ÚÖ ÓÐ ½ ÚÞ Ð ÒÓ Ø º ÖÓ Ò ÓÚÓ ÐÓ ÔÓ Ð ½º½¼µ ÖÓÚÒÓ f(6,9,20) = 49 6 = 43 Î ØÖ ÚÓÚ Ñ Ø Þ Ò Ñóö Ñ ÓÙÔ Ø 43 Ù ÓÙ óº Ä ÓÚÓÐÒ ÚÝ ÔÓ Ø Ùö ÓÙÔ Ø Ñóö Ñ º ÔÓÔ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ò Ò Ò ÔÖÚÒ ÔÓ Ð Þ Ñ ö Ú Ð Ñ ÚÖ ÞÙ ½º½¼µ ÙØ Ò ÖÓ Ò ÓÚÓ ÐÓº Î Ò Ð Ù Ø Ø ÜØÙ Ù ö Ñ ö ØÓÑÙ Ø º Ù Ñ Ô ØÓÑ ÚÝ Þ Ø Þ ó ÞÙ ÔÓÔ Ò Ó Ú º ÈÓÞÒ Ñ º Î Ò Ñ ÔÓÔ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ö Ò Ò ÑÙÐØ Ö Ñ Ø Ý Ò Ó Ù Ú Ò Ó Ò Ö Òݺ Ó Þ Ò Ñ Ó ÖÓÚÒ ½º µ Þ Ø Ñ ö Ò ¹ Ó Ò Ö Ò Ñ Þ ÚÖ ÓÐÝ u,v ÚÞÒ Ò Ú Ö Ù ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÔÐ Ø u+x i v (ÑÓ x 1 ) u+x j v (ÑÓ x 1 ) ÔÖÓ i > jº ÔÖ Ú Ñ Þ Ø Ñ ö Ø ÒØÓ Ô Ô Ò Ø Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÔÐ Ø k N x i = x j +kx 1 º Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò Þ Ñ Ò x i Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ò ¹ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ð Ó ÔóÚÓ Ò Ý Ø Ñ Ñ Ò º Å Ò x i ÔÖÓØÓ Ñóö Ñ ÔÖÓ Ð Ò ÖÓ Ò ÓÚ Ð ÚÝÒ Ø ÓÑ Þ Ø Ø Ò Ö Ý Þ Ò Ó Ò Ö Òº Æ Ô Ð Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 6,7 13 Ò Ò Ñ Ò Ó ÒÓØÓÙ 13 Þ Ð Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø ÔÓØ ÔÖÓØÓö 6+7 = 13º ÈÓÞÒ Ñ º Î Ð Ñ Ó ÚÓÞ Ò ÔÖ ÚÒÓ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ñ ÔÖ ÓÚ Ø Ý Ø ¹ Ñ Ñ Ñ Ò Þ ÒÑ Ò ÓÙ ÐÒÑ Ó ÒÓØ Ñ x 1,x 2,...,x n º Ã Ý ÓÐ Ú Ù ¹ Ñ ÙÚ öóú Ø Ö G ÑÝ Ð Ñ Ø Ñ Ö Ø Ö ÚÞÒ Ð ÔÓÑÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓÔ Ò Ó Ú º È Ø Ñ Ò ö Ó ö Ñ ÔÖ ÚÒÓ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓ Ú Ñ Ò ÚÐ ØÒÓ Ø ØÖÓ¹ Ò Ó Ö Ùº ½

23 Ò ½º¾¾º ËÐ Ú Ö Ù G = (V,E,h) ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÖ ÓÐó (v 1,v 2,...,v n ) ö Ú ÔÓ Ó ÓÙ ÚÖ ÓÐÝ ÓÙ ÔÓ ÒÝ Ö ÒÓÙ Ø Ý v i V,(v j,v j+1 ) Eº ½º µ Ô ÑÓ ÔÐÝÒ ö Þ ö Ó ÚÖ ÓÐÙ Ö Ù G ÚÝ Þ Ö Ò Ó Ó ÒÓ ¹ Ò Ñ x i ÔÖÓ i {2,3,...,n}º ê Ò Ú Ö ÒÝ ÚÝ Þ Þ ÒÓ Ó ÚÖ ÓÐÙ Ò Ú Ò Ñ Ø Ò Ó Ó ÒÓ Ò º ËÐ ÔÖÓØÓ Ñóö Ñ ÔÓÔ Ø Ó ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ó Ó ÒÓ Ò Ö Ò ÔÓÐÙ Ú ÓÞ Ñ ÚÖ ÓРѺ à ö Ó Ó ÒÓ Ò Ú ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÙÖ Ù ÔÓ Ø Ö Ö Ò Ð ÔÓ Ö Ù º Ò ½º¾ º Ç Ó ÒÓ Ò Ñ Ð Ù s = (v 1,v 2,...,v n ) ÖÓÞÙÑ Ñ ÓÙ Ø Ó Ó ÒÓ¹ Ò Ú Ó Ö Ò Ø º n 1 h(s) = h((v i,v i+1 ))º i=1 Î Ø ½º¾ º Æ ð p Ð Ú Ö Ù G Ó Ó ÒÓ Ò Ñ w Óö Þ Ø Ú ÚÖ¹ ÓÐÙ 0º Ç Ó ÒÓ Ò Ö Ò Ð Ù p ÓÞÒ Ñ ÔÓ (h 1,h 2,...,h m )º ÈÓØÓÑ ÓÒÓÚ ÚÖ ÓÐ Ð Ù p ÚÖ ÓÐ v ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø w = m h i v (ÑÓ x 1 )º i=1 ó Þº ÈÖÚÒ ÖÓÚÒÓ Ø ÔÐÝÒ Þ Ò Ó Ó ÒÓ Ò Ð Ùº ÇÔ ÓÚ ÒÑ ÔÓÙö Ø Ñ ÚÞØ Ù ½º µ Ó ö Ñ ÓÒ ÖÙ Ò º à ö Ó Ó ÒÓ Ò Ö ÒÝ Ú Ö Ù Ñ ÒÙ Þ Ó ÒÓØ x 2,x 3,...,x n º ÎÞØ Ú Ú Ø ½º¾ ÔÖÓØÓ Ñóö Ñ Ô Ô Ø Ó ØÚ ÖÙ w = n a i x i v (ÑÓ x 1 ) i=2 ½º½½µ a i ÓÙ ÔÓ ØÝ Ö Ò Ó Ó ÒÓ Ò Ñ x i Ú Ð Ù pº ÈÓÞÒ Ñ º ÎÖ Þ a ÑÓ b Ú Ò Ð Ù Ø Ø ÜØÙ ÞÒ Ñ Ò Þ ÝØ ÔÓ ÐÓ Ð¹ Ò Ñ Ð Ò Ð a Ð Ñ bº ÈÖÓ ÚÖ Þ (v 1 ÑÓ b,v 2 ÑÓ b,...,v n ÑÓ b) Ð Þ Ú Ñ Þ Ö Ò Þ Ô (v 1,v 2,...,v n ) mod bº Î Ø ½º¾ º ËÐ Þ Ø Ñ Ú ÚÖ ÓÐÙ u ÓÒ Ñ Ú ÚÖ ÓÐÙ v Ü ØÙ ÔÖ Ú Ø Ý Ýö Ü ØÙ Ð Þ Ø Ñ Ú ÚÖ ÓÐÙ 0 ÓÒ Ñ Ú ÚÖ ÓÐÙ v u mod x 1 º ó Þº Å Ñ Ð (v 1 = u,v 2,...,v m = v) Ø Ö Ñ Þ Ø Ú ÚÖ ÓÐÙ u ÓÒ Ú ÚÖ ÓÐÙ vº ÈÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÖ ÓÐó (v 1 u,v 2 u,v 3 u,...,v u) mod x 1 ½

24 Þ Ò Ú 0 ÓÒ Ú v u mod x 1 º ÚÞØ Ù ½º µ Ò Ú ÔÐÝÒ ö ö ÚÓ (v i u mod x 1,v i+1 u mod x 1 ) Ó ÔÓÚ Ö Ò º Î ÙÚ Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÖ ÓÐó Ø Ý Ð Ú Ö Ù Gº ÇÔ ÒÓÙ ÑÔÐ Ó ö Ñ Ò ÐÓ Ý Ô Ø Ò Ñ u Ú Ñ ÚÖ ÓÐóÑ Ð Ùº Î Ø ½º¾ º  ÓÙ¹Ð Ó ÒÓØÝ x 1,x 2,...,x n Ò ÓÙ ÐÒ Ô Ö G = (V,E,h) ÐÒ ÓÙÚ Ð Ø º ÔÖÓ ö u,v V Ü ØÙ Ð ÔÓ Ø Ò Ñ ÚÖ ÓÐ Ñ u ÓÒ¹ ÓÚÑ ÚÖ ÓÐ Ñ vº ó Þº ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º¾ Ø Ó Þ Ø ö Ü ØÙ Ð Þ ÚÖ ÓÐÙ0 Óv u mod x 1 º à ØÓÑÙ Ø Ò Ø Ò Ó ÒØÝ a 2,a 3,...,a n Ø ÓÚ ö ÔÐ Ø n a i x i v u (ÑÓ x 1 )º i=2 ËÓÙ Ø Ò Ð Ú ØÖ Ò ÔÓØÓÑ Ó ÔÓÚ Ó Ó ÒÓ Ò Ö Ò Ð Ò Ó Ð Ùº ÈÓ Ù ÞÚÓÐ Ñ k N Ø ö v u + kx 1 > f(x 1,x 2,...,x n ) Ô ÐÓ Ò Ð Ú ØÖ Ò Ò ÖÓÚÒÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ü ØÙ Ó ÒØÝ a 1,a 2,...,a n Ø ö ÔÐ Ø n a i x i = v u+kx 1 º i=1 Î Ø ½º¾ º ÐÓ x Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ú Ý Ø ÑÙ Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n ÔÖ ¹ Ú Ø Ý Ýö x h h Ó Ó ÒÓ Ò Ò Ö Ø Ó Ð Ù Þ ÚÖ ÓÐÙ ¼ Ó ÚÖ ÓÐÙ v V ÔÐ Ù Ó v x (ÑÓ x 1 )º ó Þº Æ ÔÖÚ Ó ö Ñ ÑÔÐ º Å Ñ ¹Ð Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ x = n i=1 a ix i Ô ÔÓ Ð Ô ÔÓ Ð Ù Ú ØÝ ÔÐ Ø n a i x i v (ÑÓ x 1 )º i=2 Ä Ú ØÖ Ò ÓÒ ÖÙ Ò Ù Ú Ó Ó ÒÓ Ò Ö Ò Ò Ó Ð Ù Þ ÚÖ ÓÐÙ 0 Ó ÚÖ¹ ÓÐÙ vº Ì Ò Ø Ð ÔÓ Ø ÐÓÙ Ó Ò Ö Ø Ð º ÈÐ Ø ÔÖÓØÓ x = n a i x i i=1 n a i x i hº i=2 ÈÖÓ ó Þ ÑÔÐ Ù Ñ Ô ÔÓ Ð Ø ö x hº ÐÓh Ó Ó ÒÓ Ò Ð Ù ÓÒ Ó Ú ÚÖ ÓÐÙ vº ÈÖÓ Ó ÒØÝ a i ÙÖ Ù ÔÓ Ø Ö Ò Ó Ó ÒÓ Ò Ñ x i ÔÖÓØÓ ÔÐ Ø n h = a i x i v (ÑÓ x 1 )º i=2 Ç ØÙ Þ Ô ÔÓ Ð Ù Ú ØÝ Ú Ñ ö n a i x i x (ÑÓ x 1 )º i=2 ¾¼

25 Ç ØÖ Ò Ò Ñ ÓÒ ÖÙ Ò Ó Ø Ò Ñ ÔÖÓ k Z kx 1 + n a i x i = kx 1 +h = xº i=2 ÃÓ ÒØ k Ò Þ ÔÓÖÒ ÔÖÓØÓö x hº ÀÓ ÒÓØÝ k,a 2,a 3,...,a n Ù Ú Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ x Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n º ÆÝÒ Ùö Ó ö Ñ Ò Ø Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÐÓ xº Î Ø ½º¾ º Å Ñ Ò ÓÙ ÐÒ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n N Ö G ØÓ ÓØÓ Ý Ø ÑÙº ÇÞÒ Ñ d 0,d 1,...,d x1 1 Ð Ý Ò Ö Ø Ø ÚÖ¹ ÓÐóÑ 0,1,...,x 1 1º È ÔÐ Ø D(G) Ò Ú Ø Þ d 0,d 1,...,d x1 1º f(x 1,x 2,...,x n ) = D(G) x 1 ó Þº ÎÓÐÑ Ð ÓÚÓÐÒ i {0,1,...,x 1 1}º ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º¾ ÔÐ Ø Ø Ý Ø d i i (ÑÓ x 1 ) d i x 1 i (ÑÓ x 1 )º Î Ú Ø ½º¾ ÞÚÓÐ Ñ x = d i x 1 v = iº ÐÓd i x 1 ÓÒ ÖÙ ÒØÒ i Þ ÖÓÚ Ñ Ò Ò ö Ð d i Ò Ö Ø Ó Ð Ù Ó ÚÖ ÓÐÙ iº Î Ò Ú Ø Ð ÓÒ ÖÙ ÒØÒ i ÓÙ Ò Ú Ú Ø Ò Ó ÖÓÚÒ d i º ÈÓ Ð Ú ØÝ ½º¾ ÔÖÓØÓ d i x 1 Ò Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÐÓ ÓÒ ÖÙ ÒØÒ iº Æ Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÐÓ ÔÖÓØÓ D(G) x 1 D(G) Ò Ú Ø Þ d 0,d 1,...,d x1 1º ½º Ê ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø ÞÚÓÐ Ò Ø Ý ½º º½ ÀÖ Ð Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ó ÒÓØ Ë ÚÝÙö Ø Ñ ÞÒ ÐÓ Ø Þ Ô ÓÞ Ó Ø ÜØÙ Ñóö Ñ Þ Ö Ø ÖÙº È Ñ ÔÓÔ Ù ÚÝ Þ Ñ Þ ½ ØÖº ½ ½ º ÀÖÙ Ö Ú Ö Ø Ø ÔÓ Ø Þ º à Ñ Ñ Ð Ó º à ö Þ Ò Ú Ú Ñ Ø Ù ÚÝ Ö ÒÓ Ô ÖÓÞ Ò ÐÓ Ø Ö Ò Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Ñ Ò Ó ö ÚÝ Ö Ò Ó ÒÓØ º Ì Ò Ó ÚÝ Ö ÐÓ 1 ÔÖÓ Ö Ú º Ð Þ Ò º Ñ Ò Ó Þ Ò ÚÝ Ö ÔÓ Ù Ù ÓÙ Ó Ö Ø ÓÔØ Ñ ÐÒ Ñ ÞÔó Ó Ñº Ù Ñ ÔÖÓ Þ Ø ÔÓ Ú Ø Ò ÒÓ Ù Ô Ô Ýº Ð Ò Þ Ø Ù ÚÝ Ö ¾º Ó Ø Ý Ú Ú Ñ Ø Ù Ò Ñ ÚÝ Ö Ø ö Ò Ù ÐÓº Æ Ð Ô ÚÓÐ ÓÙ ÔÖÓ Ò ÐÓ 3 ÔÖÓØÓö Ø Ñ Ð Þ Ù Ò Ò Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ó ÒÓØ 1 Ø Ö ÔÖÓ Ö Ú º Ð Ò Þ Ø Ù ÚÝ Ö º Þ Ù 1º Ð ÓÔ Ø ÔÖÓ Ö Ú º ÈÓØÓÑ ØÙ Ø Ò º Ó ÚÝ Ö 2 Ò Ð ¾½

26 Ð Ò Þ Ø Ù ÚÝ Ö º ÈÖÓ Ó ØÙ ÐÓö Ø º à Ò Ñ ö Úݹ Ö 5º Ð Ñóö Ø ÚÝ Ö Ø ÔÓ Ù Ú Ú Ñ Ø Ù ÚÝ Ö 11º Î Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ÓÙ ØÓØ ö Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÙÞ Ó ÒÓØÝ 1,2,3,6,7º ÈÓ Ù Ó ÚÝ Ö 7 Ð Ó ÔÓÚ 6º Ó ÔÓØÓÑ ÑÙ ÚÝ Ö Ø 2 Ò Ó 3 Ñö Ó Ø Ò Ó ÔÖÓ Ö Ú ØÙ Ú Ø Ö ÝÐ Ð Ú ÔÖÚÒ ÚÓÙ Ô Ô º Ã Ý Ý Ó ÚÝ Ö Ð 6 Ð Ó ÔÓÚ 7 Ð Ñ Ø Ý ÚÝ Ö Ð Ø ÒÑ ÞÔó Ó¹ Ѻ Î Ö 2 Ò Ó 3 Ó Ó Ø Ò Ó Ø Ò ÔÖÓ Ö Ú ØÙ º Ã Ý Ý ÓÑ Ø Ð Þ ÓÙ Ø Ú ÒÝ ÑÓöÒÓ Ø Ò Ð ÓÚ Ð Ý Ò Ô ÖÓÞ ÓÖ Ô ¹ Ô Ù Ý Ð Þ Ò Ó Ó ÔÓÚ º ÓÙ Ò Ú ÑÓöÒÓ Ø Ý Ð ÝÐ Ú ÐÑ ÐÓÙ Ø º Í ö Ñ ö ÔÖÓ Ð Ü ØÙ ØÖ Ø Ø Ö Þ ÖÙ Ú ÖÙ Þ Ú Ó ÓÐÒÓ Ø º Ð Þ Ò Ø Ñ ö ÚÝ Ö 5º Ó Ñóö Ó ÔÓÚ Ø Ð ÓÚÓÐÒÑ Ó¹ Ù Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÑ Ð Ñbº ËÝ Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 5 b Ò ÓÙ ÐÒ ÔÖÓØÓö 5 ÔÖÚÓ ÐÓº Æ Ú Ø Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÐÓ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 5 b 4b 5 Ú Þ Ø ½º º½µº ÈÓ Ù ØÓØÓ ÐÓ ÔÖÓ Ð Ú Ø ÞÒ Ô Ó Ø ÚÝ Ö º ÈÓ Ù ØÓØÓ ÐÓ ÔÖÓ Ð Ú Ø ÞÒ Ò Ò Þ ÑÝ Ð Ñ Ð Ñ Ý Ó ÔÓÚ Ð Ó Ý Ý Ð ÚÝ Ö Ð ÔÖÓ Ö Ú Ø 4b 5º à Ò Ñ ö Ó Ý Ú Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ÚÝ Ö Ð Ú Ö Ñ Ð nº Ð ÔÖÓØÓ Ò Ñ ØÓ ÔÖÓ Ö Ú Ó Ø Ù 4b 5 Ú ÞÑ Ó ÓÚ Ó ØÖ Ø ÚÝ Ö ÖÓÚÒÓÙ ÐÓ nº Ó Ú Ú Ñ Ø Ù Ò Ñóö ÚÝ Ö Ø ÐÓ nº Æ Ð Ù Ú ØÓÙ Ó ö Ñ ö Ò Ñóö ÚÝ Ö Ø Ò ÐÓ 4b 5 Ó Ø Ú Ø Ó Ø Ò ÔÖÓ Ö Ú ÔÓÞ Ú Ø Ö Ý ÝÐ Ð Ý Ý Ý Ò ÚÝ Ö Ð 4b 5º Ä ÑÑ ½º¾ º Æ ð n Ð ÓÚÓÐÒ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÐÓ Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 5 bº Î Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 5,b n ÐÓ 4b 5 Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÚ Ø ÐÒ º ó Þº ÎÝØÚÓ Ñ ÚÓ Ð (i,4b 5 i) Ø ÓÚ ö i < 4b 5 i (0,4b 5),(1,4b 6),(2,4b 7),...,(2b 3,2b 2) à ö ÚÓ ÑÙ Ó ÓÚ Ø ÔÓ ÒÓ ÐÓ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ú ÓÙ Ø Ú Ó Ó ÒÓØ 5 bº Ã Ý Ý ØÓØ ö Ó Ð Ò Ø Ö ÚÓ ÝÐ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ô ØÓØ ö ÔÐ Ø ÔÖÓ ÓÙ Ø ØÓ Ð Ú ÔÓÖÙ Ø Ñ ö ÐÓ 4b 5 Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ó ÓÒ Ò Ú Ø Ø ÓÚ µº Î Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ð (b 1)(5 1)/2 = 2b 2 Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ó ÒÓØ Ú Þ Ø ½º¾º½µº Î ö Þ 2b 2 ÚÓ ÔÖÓØÓ ÑÙ Ø Ð ÔÓ Ò Þ Ò Ò Ý Ò Ú ÒÝ Ò ÚÝÞ ÝÐÓº à ö ÚÓ ÔÖÓØÓ Ó Ù ÔÖ Ú ÒÓ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÐÓº ÐÓn Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ò Þ Ú Ò Þ ÚÓ º Î Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 5,b n 4b 5 Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÖÓØÓö ÓÙ Ø Ñ n Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ó Ð Ø Ö ÝÐÓ n Ú ÚÓ º Í Þ Ð Ñ ÚÐ ØÒ ö Ð ÙÑ Ó ÓÚ Ù Ö Ø Ú Ø ÞÒÓÙ ØÖ Ø º ÃÓÒ Ö ØÒ ÔÓÔ ÖÓ ó Ð Ò ÞÒ Ñ º ÈÓ Ù Ó ÚÝ Ö Ú Ð b Ù ÔÖÓ Ð Ó Ø öò Ò Ø ÔÖ ÚÒ Ð Ø º ÀÖ Ø ÔÓÔ ÒÓÙ ÖÙ Ú ÐÑ Ó Ø öò º Íö ÓÒØÖÓÐÓÚ Ø ØÐ ÖÙ Ö Ú Ö ¹ ÔÓ Ð ÔÖ Ú Ð Ú ÐÑ Ó Ø öò º Ý ÓÑ ÑÓ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÓÚ Ø ØÐ Ö Ð Ö ¾¾

27 ÔÓ Ð ÔÖ Ú Ð ÔÓØ Ù Ñ Þ Ø Ø ØÐ Ú Ú Ñ Ø Ù ÚÝ Ö Ð Ó Ù Ò Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÚ Ø ÐÒ ÐÓº ½º º¾ Ç Ø öòó Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Î Ø ØÓ Ø Ù ö Ñ ö ÖÓÞ Ó ÒÙØ ØÐ Ò Ø Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ØÞÚº Æȹ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð Ñº Æȹ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ñóö Ñ ÚÒ Ñ Ø Ó ÔÖÓ Ð ÑÝ ÔÖÓ Ø Ö Ò ÞÒ Ñ Ø Ú¹ Ò Ð ÓÖ ØÑ Ò Ø º Ò Ø Ö ÔÖÓÚ Ñ Ü Ñ ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ ÑÒÓö ØÚ ÖÓ ó ÚÞ Ð Ñ Ú Ð Ó Ø Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú º Ù Ñ Ó¹ ÚÓ Ø Ø ö Ó ØÞÚº ÆÈ¹Ø ö ÔÖÓ Ð Ñ Óö ÓÙ Þ ÖÙ ÒÓ ÐÓ Ý Ð ÔÓ Ø Ó Ø öò Ó Ó Ø ØÒ Æȹ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð Ñݺ È Ò Ò ÔÓ Ñó ÆÈ¹Ø ö Ó Ø Æȹ ÔÐÒÓ Ø ÐÞ Ò Ø Ú Ð Ø Ö ØÙ Ú Þ Ò Ô º µº ÆÈ¹Ø ö Ó Ø Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Ù ö Ñ Ô Ú Ò Ñ ÞÒ Ñ Ó Æȹ ÔÐÒ Ó ÔÖÓ¹ Ð ÑÙ ÄÓÙÔ öò Ò Ð Ý ÙÚ ÒÓ Ó È ÖØ Ø ÓÒ µ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ Þ Ò¹ ØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Ø Ýº Ù Ñ ÚÝ Þ Ø Þ ó ÞÙ ÙÚ Ò Ó Ú ½¼ º ÈÖÓ Ð Ñ ÄÓÙÔ öò º Å Ñ Ô Ñ ØÝ Ó Ò Þ ÔÓÖÒ ÐÓ ÐÒ Ó ÒÓ¹ Ø H = {v 1,v 2,...,v n }º ÊÓÞ Ó Ò Ø ØÐ Ü ØÙ ÑÒÓö Ò S H Ø ÓÚ ö v = uº v S u S\H Ð Ñ Ø Ý ÖÓÞ Ð Ø ÐÙÔ H Ò Ú Ø Ø Ý Ó Ø Ñ ÐÝ Ø ÒÓÙ Ó ÒÓØÙº ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø ÒÓÙ Ñ Ò ö Ó ÖÙ Ù Ê Ô½ Å ¹ Ñ Ñ Ò Ó Ò Þ ÔÓÖÒ ÐÓ ÐÒ Ó ÒÓØ H = {x 1,x 2,...,x n } Ø Ù c Nº ÊÓÞ Ó Ò Ø ØÐ Ü ØÙ S H Ø ö x = cº x S Î ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê Ô½ Ð Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý c Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÓÑ Þ Ò Ñ ö Ñóö Ñ ÔÓÙö Ø Ñ Ü Ñ ÐÒ ÒÙ Ñ Ò Ó ö Ó ÒÓØݺ Î Ò Ð Ð Ø Ö ØÙ Ú ÙÚ Ò ÔÓ Ñ Ò Ñ Ù Ø ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ËËȹ ÁËÁÇƵ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒÓ Ø Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ê ÔÆ Å Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò¹ Ó Ò Þ ÔÓÖÒ ÐÓ ÐÒ Ó ÒÓØ x 1,x 2,...,x n Ø Ù c Nº ÊÓÞ Ó ¹ Ò Ø ØÐ Ü ØÙ n¹ø Ò Þ ÔÓÖÒ Ð Ð (b 1,b 2,...,b n ) Ø ÓÚ ö n b i x i = cº i=1 Î ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê ÔÆ Ð Ñ Ð ÓÚÓÐÒÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý c Ú Ø Ò Ñ Ú¹ ÞÒ ÑÙ Ó Ú Þ ÝØ Ù Ø ØÓ ÔÖ Ò ½º½µº Î Ò Ð Ð Ø Ö ØÙ Ú ÙÚ Ò ÔÓ Ñ Ò Ñ ÙÒ ÓÙÒ Ù Ø ÙÑ ÔÖÓ Ð Ñ ÍËËȹ ÁËÁÇƵ ½ º ÈÖÓ Ð Ñ ÄÓÙÔ öò Ô Ø Ó Ø Ý Æȹ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð Ñó º Ñ Ó Þ Ø ö ÔÓ Ù Ü ØÙ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ Ú ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ ÐÒ Ñ ÚÞ Ð Ñ Ð Ú ØÙÔÙ Ô Ø ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ Ü ØÙ ÔÖÓ ¾

28 ÔÖÓ Ð Ñ ÄÓÙÔ öò º ÌÓ Ó ö Ñ Ø ö Ô Ú Ñ Ð ÓÚÓÐÒ Þ Ò ÔÖÓ Ð ¹ ÑÙ ÄÓÙÔ öò Ò Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê Ôƺ ÓÚ ÐÓö ØÓ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÚÓ Ù ÑÙ Ø Ñ Ü Ñ ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ú Ð Ú ØÙÔÙº Ì ÑØÓ ó Þ Ñ Ù ö Ñ ö Ó ö Ñ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÄÓÙÔ öò ÔÓÑÓ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê Ôƺ Ã Ý Ý ÔÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ Ü ØÓÚ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ð Ó¹ Ö ØÑÙ Ò Ü ØÓÚ Ð Ý Ø ÓÚ ÔÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÄÓÙÔ öò º ÈÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ ÔÖÓØÓ Ô Ø ÔÓÐÙ ÄÓÙÔ öò Ó Ø Ý ÆÈ¹Ø ö ÔÖÓ Ð Ñóº Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÚÓ Ù Ò Ú Ò Ù Ñ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø Ô ÑÓº Æ ÔÖÚ Ô Ú Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÄÓÙÔ öò Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ô½ Ù ö Ñ ö Ê Ô½ ÆÈ¹Ø ö º ÈÓØÓÑ Ô Ú Ò Ñ Ê Ô½ Ò Ê ÔÆ Ù ö Ñ ö Ê ÔÆ ÆÈ¹Ø ö º Î Ø ½º ¼º Ü ØÙ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ô Ú Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ ÄÓÙÔ öò Ò Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê Ô½ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ñ ÚÞ Ð Ñ Ú Ð Ó Ø Ú ØÙÔÙº ÈÖÓ Ð Ñ ÄÓÙÔ öò Ù Ñ Ø Ø ÑØÓ Þ Ò Ñ Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö Ù Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ô½ Ô Ú ÒÑ Þ Ò Ñº ó Þº ÈÓÔ Ñ Ð Ò Ð ÓÖ ØÑÙ º Å Ñ Ó ÒÓØÝ Ô Ñ Øó Þ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÄÓÙ¹ Ô öò H = {v 1,v 2,...,v n }º ÀÓ ÒÓØÝ Ñ Ò Þ Ê Ô½ Ò Ø Ú Ñ Ø Ò Ó Ó ¹ ÒÓØÝ Ô Ñ Øóº Ø Ø ÖÓÙ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ù n i=1 c = v i º 2 Ã Ý Ý ÝÐÓ c / N 0 Ô ÝÐ Ð ÓÚ Ó ÒÓØ ÔóÚÓ Ò Ó ÐÙÔÙ H Ð Ø Ý Ò ÖÓÞ Ð Ø ÐÒ Ò Ú Ø Ò Ø º ÈÖÓ Ð Ñ ÄÓÙÔ öò ÒÝÒ Ñ Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ô½º Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÚÓ Ù ö Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ñ º Ó Þ Ð Ñ Ø Ý ö ÔÖÓ Ð Ñ Ê Ô½ ÆÈ¹Ø ö º Î Ø ½º ½º Ü ØÙ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ô Ú Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê Ô½ Ò Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê ÔÆ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ñ ÚÞ Ð Ñ Ú Ð Ó Ø Ú ØÙÔÙº ÈÖÓ Ð Ñ Ê Ô½ Ù Ñ Ø Ø ÑØÓ Þ Ò Ñ Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö Ù Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ Ô Ú ÒÑ Þ Ò Ñº ó Þº ÇÞÒ Ñ x 0,x 1,...,x n 1 Ó ÒÓØÝ Ñ Ò Ø Ö ÔÓÙö Ú Ñ ÔÖÓ Ð Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý c Ú ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê Ô½º Ù Ñ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø Ý Ø Ñ Ñ Ò y 0,y 1,...,y m Ø Ù c Ø Ý ÝÐ c Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ó ÔÓ ØÙ Ñ Ò Ó ÒÓØ y 0,y 1,...,y m ÔÖ Ú Ø Ý Ýö c Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Ñ Ü Ñ ÐÒ Ò Ñ Ò ö Þ Ó ÒÓØ x 0,x 1,...,x n 1 º Ç ÔÖÓ Ð ÑÝ ÓÙ Ø Ñ Ø Ò º ÈÖÓ Þ Ò ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê ÔÆ Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÔÓÙö Ø Ø Ò Ñ Ò Ó ÔÖÓ Ê Ô½º  ÔÓÙÞ ÔÓØ Þ Ø Ø Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ Ò ÔÓÙö Ú Ð ö ÒÓÙ Ñ Ò ÓÔ ÓÚ Ò º ÅÝ Ð Ò ÓÙ ó ÞÙ ö i¹ø Ñ Ò Ô Ñ ÖÓÑ Ó ÒÓØÝ Ø ÔÓ¹ Ø ÐÓ Ø Ö Ù ÔÓ Ø Ø ÓÐ Ö Ø ÝÐ Ø ØÓ Ñ Ò ÔÓÙö Ø º à ö Ñ Ò x i Ô Ñ Ú ØÓÖ v i v i = (0,0,0,..., i¹ø Ñ ØÓ {}}{ 1,...,0,0,0,x i ) } {{ } n ÔÓ Ø Ð ¾

29 ÐÓ c Ú Ê Ô½ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ x 0,...,x n 1 ÔÖ Ú Ýö Ü ØÙ a i {0,1} Ø ö n 1 a i x i = cº ÌÓ Ò Ø Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö i=0 n 1 a i v i = (a 0,...,a n 1,c)º i=0 ½º½¾µ ÒÙ Ñ ¹Ð Ô ½º½¾µ Ú Ú Ð ÒØÒ ÔÓ Ñ Ò ÓÙ i¹ø Ñ ØÓ v i = (0,0,0,..., {}}{ 1,...,0,0,0,0) }{{} n ÔÓ Ø Ð n 1 n 1 a i v i + a i v i = (1,...,1,c) i=0 i=0 a i,a i {0,1}º Î ÔÓ Ð Ò ÖÓÚÒ Ñóö Ñ Ô ÔÙ Ø Ø a i,a i N 0 ÔÖÓØÓö ØÓ Ò Ò ÓÚÐ ÚÒ Ø ÐÒÓ Øº Ì Ñ Ñ ÔóÚÓ Ò ÐÓ Ù Ê Ô½ Ô Ú Ð Ò Ó Ó Ú ØÓÖÓÚÓÙ ÐÓ Ù ØÝÔÙ Ê ÔÆ ÚÝÙö Ú Ð ÓÚÓÐÒ ÑÒÓö ØÚ Ñ Ò v 0,v 1,...,v n 1 v 0,v 1,...,v n 1 Ð Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú ØÓÖÙ (1,...,1,c)º Ú Ù Þ Ø ö ÔÓÑÓ ÓÚ Ò Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú Ñóö Ñ Ô Ú Ø Ò Ð ÓÙ Ê Ôƺ Ù Ñ ÙÚ öóú Ø Þ Ô Ó ÒÓØÝ y i Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú º Æ Ö Ò ¹ Ò ö Ñ ÚÞÒ Ñ Ñ Ù ÚÓ ÓÚ Þ Ô Ð x i º Æ Ö ÚÝ Ñ ÚÞÒ Ñ Ñ Ù ÓÙ ÔÓ Ø Ð º ÈÖÓ ÔÓ Ø ÐÓ ö Ñ Ò ÚÝ Ö Ñ ÔÓÙÞ ÒÙ ÖÙ Ú ÚÓ ÓÚ Ñ Þ Ô Ùº Ã Ý Ý ÓÑ ÒÝÒ Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÓÙö Ð Ú Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ y i ØÐÝ Ý Ò Ý Ò i¹ø Ñ ÔÓ Ø Ð Ò Ý Ô Ø Ð Ó ÓÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ð º Ý ÓÑ ØÓÑÙ Þ Ö Ò Ð Ñ Ô ÔÓ Ø Ð ÒÓØÐ Ú Ñ Ò Ø ÔÓ ¹ Ø ÐÓ Ð ÓÚ Ó ÔÓ ØÙ ÔÓÙö Ø Ñ Ò º Ô Ó ÒÓØÝ Ñ Ò y i Ó ÔÓÚ Ú ØÓÖÙ v i Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú ÒÝÒ ÑÓÒ ØÖÙ Ò Ð Ù ÚÖ Þ }{{} ÔÓ Ø ÐÓ ÔÓÙö Ø Ñ Ò i¹ø Ñ ØÓ {}}{} {{ } n ÔÓ Ø Ð }{{} ÚÓ ÓÚ Þ Ô x i Ô ÔÓÑÓÒ Ñ Ò y i Ó ÔÓÚ Ú ØÓÖÙ v i Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú }{{} ÔÓ Ø ÐÓ ÔÓÙö Ø Ñ Ò i¹ø Ñ ØÓ {}}{ }{{ } }{{} n ÔÓ Ø Ð ÒÙÐÝ Ø c ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ê ÔÆ Ð Ñ ÚÝÔ Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú Ò ¹ Ð ÓÚÒ }{{} }{{} }{{} ÚÓ ÓÚ Þ Ô n n ÔÓ Ø Ð ÚÓ ÓÚ Þ Ô c ¾

30 à ö Ñ Ò Ñ Ú ÔÓ Ø Ð Ð ÓÚ Ó ÑÒÓö ØÚ ÔÓÙö Ø Ñ Ò ÐÓ 1º ع c Ñ Ú Ø Ò Ø ÐÓ nº ÈÖÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ c ÔÖÓØÓ Ñóö Ñ ÔÓÙö Ø Ñ Ü Ñ Ð¹ Ò n Ñ Ò º Ã Ý Ý Ô Ø Ò Ó ÐÓ Ô ÒÓ Ù Þ Ñ Ò ÚÞÒ ÑÒ Ö ÑÓ Ð Ý ÓÑ ÔÓÙö Ø Ñ Ò Ò ö n Ñ Ò º à ö Ñ Ò Ñ 1 Ò ÔÖ Ú ÒÓÑ Þ ÔÓ Ø Ð ÒÓØÐ Ú Ñ Ò º ÈÓ Ù Þ Ø Ñ ö Ò Ó Ô ÒÓ Ù Ó ÒÓØ Þ Ñ Ò ÚÞÒ ÑÒ Ö Ø ÚÓ ÓÚ Ó Þ Ô Ù Ð x i Ô ÔÓØ Ù Ñ Ð ÔÓ n Ñ Ò ÔÖÓ ÚÝÔÐÒ Ò Ú ÔÓ Ø Ð Ú c Ò Ñ º ÈÓ Ø ÐÓ ÔÓÙö Ø Ñ Ò Þ ðù ö ÚÝÙö Ñ Ñ Ü Ñ ÐÒ nñ Ò º ÈÖÓ Þ ÔÐÒ Ò i¹ø Ó ÔÓ Ø Ð ÒÓØÐ Ú Ñ Ò ÔÖÓØÓ ÔÓØ Ù Ñ Ù Ñ Ò y i Ò Ó Ñ Ò y iº Æ Ú Ø Ø Ø ÖÓÙ ÙÑ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÔÓÑÓ Ñ Ü Ñ ÐÒ n Ñ Ò nx max x max Ò Ú Ø Þ x 0,x 1,...,x n 1 º Ý ÚÓ ÓÚ Þ Ô nx max Ò Þ ¹ ÓÚ Ð Ó ÔÓ Ø Ð ÚÝ Ö Ñ ÔÖÓ Ò d = log 2 nx max Øóº Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ê ÔÆ Ù ÓÙ Ñ Ò y 0,y 1,...,y n 1 y 0,y 1,...,y n 1 ع c y i = x i +2 i+d +2 d+n y i = 2 i+d +2 d+n n 1 c = c+ 2 i+d +n2 d+n º i=0 Î ØÙÔ ÔÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ú Ø Ò ö Ú ØÙÔ ÔÖÓ ÔóÚÓ Ò ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ê Ô½º Ë ÑÓØÒ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÔÖÓÚ ö Ò ÐÓö Ø ÚÔÓ Øº Â Ó ÓÚ ÐÓö ØÓ Ø ÔÖÓØÓ ÙÖ Ò Ú Ð Ó Ø Ú ØÙÔÙº Ð Ô ÚÓ ÔÖÓØÓ ö Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹ Ò Ñ º ÈÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ Ø Ý ÆÈ¹Ø ö Ø º Ð ÔÓ Ø Ø ö Ó Ú ÒÝ Ó Ø ØÒ Æȹ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð Ñݺ ÈÖÓ Ð Ñ Ê ÔÆ Þ ÖÓÚ Ú Ø ÆȺ  ØÓØ ö ÒÓ Ù Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ñ ÓÚ Ø ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý n ÔÐ ØÒ º Ø Ð Ñ Ø Ý ö Ùö Þ Ð Ò ÔÖÓ Ð Ñ Þ Ø Ò ØÐ Ò Ø Ú Ý Ø ¹ ÑÙ Ñ Ò Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÐÒ Ô Ø Ñ Þ Æȹ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð Ñݺ Ð Ñ Æȹ ÔÐÒÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ö Ñ ö ÞÑ Ò Ð Ò Ð Þ Ò ÖÓ Ò ÓÚ Ð Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò¹ ¾½ º Ö ÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ñ Ù Þ Ð Ú Ø ½º º¾ Þ Ø Ø ÚÒ º Á Ø Ò Ð Ú ÙØ ÒÓ Ø ö Ú ÜÔÓÒ Ò ÐÒ Ñ ÚÞ Ð Ñ Ð Þ Ò Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú º ÈÓ Ø ÖÓ ó Ø Ö ÑÙ Ù Ð Ø ÖÓ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ó ÒÓØÓÙ Ò Ñ Ò Ñ Ò Ú Þ Ò º ÀÓ ÒÓØ Ñ Ò Ú Þ Ò Ð Ñóö Öó Ø ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÚÞ Ð Ñ Ð Þ Ò Ú ÚÓ ÓÚ ÓÙ Ø Ú º ¾

31 ¾º ÈÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ ÔÓ Ú Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓ ØÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÔÓÑÓ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ º ÈÓ Ø Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý a ÖÓÞÙÑ Ñ ÔÓ Ø ÖóÞÒ n¹ø Ø Ö ÓÙ ÔÓ Ð Ò ½º½ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý aº Ò ¾º½º ÎÝØÚÓ Ù ÙÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {a n } n=0 ÑÓÒ ÒÒ ÒÓ¹ Ú Ò Ô Ô Ñ f(x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x º ÎÝØÚÓ Ù ÙÒ Ô Ø ÚÙ Ò ÞÔó Ó ÔÓ Ð Ù Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø º Þ Ô Ù ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ Ú ØÚ ÖÙ ÑÓÒ ÒÒ Ý Ò ÔÖÚÒ ÔÓ Ð Ú Ñ ÔÖÚ Ý ÔóÚÓ ¹ Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø º ËÓÙ Ø ÚÓÙ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ Ø Ó ÒØÝ ÒÓØÐ Ú ÑÓÒ Ò xº Ç ÔÓÚ Ø Ý Ø Ò ÚÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÔÓ ÐÓö º ÈÖ Ú ÔÓÔ ÒÓÙ ÚÐ ØÒÓ Ø Þ Ô Ñ ÔÓÑÓ Ò Ð Ù Ú Øݺ Î Ø ¾º¾º Å Ñ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {a n } n=0 ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ f ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {b n } n=0 ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ gº ÎÝØÚÓ Ù ÙÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {a n +b n } n=0 f +gº ó Þº ÎÝÔÐÚ Þ ÚÐ ØÒÓ Ø Ø Ò ÑÓÒ ÒÒ º ÈÓ Ú Ñ Ø Ò ÓÔ Ö Ò Ó Ò º Î Ø ¾º º Å Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {a n } n=0 Ø ÓÚÓÙ ö Ó ÒÓØ a i ÚÝ Ù ÔÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý i Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò º Ð Ñ Ñ ÖÙ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ø Ö Ò Ñ ÔÖÚÒ Ñ Ý Ø Ñ Ñ ö ÒÓÙ ÔÓÐ ÒÓÙ Ñ Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {b n } n=0 Ø ÓÚÓÙ ö Ó ÒÓØ b j ÚÝ Ù ÔÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý j Ú ÖÙ Ñ g ÚÝØÚÓ¹ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò º Æ ð f ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {a n } n=0 Ù ÙÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {b n } n=0 º Å Ñ Ð ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {c n } n=0 Ø ÓÚÓÙ ö c i ÔÓ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý i Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ø Ö ÚÞÒ Ð ÐÓö Ò Ñ ÚÓÙ Ð ÔÓ Ý Ø Ñóº ÎÝØÚÓ Ù ÙÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {c n } n=0 ÖÓÚÒ ÓÙ ÒÙ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ f gº ó Þº Æ Ñ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ø Ö Ñ Ò n¹ø Ñ Ñ Ø Ó ÒÓØÙ ÚÝ Ù ÔÓ Ø ÞÔó Ó ó ÖÓÞÑ Ò Ø Ø Ù n Ú Ý Ø ÑÙ Ó Ù Ñ Ú ÒÝ Ñ Ò Þ Ô Ó¹ Þ ÚÓÙ Ý Ø Ñóº Ø Ø Ý n ÔÓ ö ÖÓÞÑ Ò Ò ÔÓÑÓ Ñ Ò Þ ÔÖÚÒ Ó Ý Ø ÑÙº ÝØ ÖÓÞÑ Ò Ò ÔÓÑÓ Ñ Ò Þ ÖÙ Ó Ý Ø ÑÙº ÈÓ Ù ÔÓÑÓ ÔÖÚÒ Ó Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÖÓÞÑ Ò Ò Ø i Ô ÔÓÑÓ ÖÙ Ó Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÖÓÞÑ Ò Ò Ø n i ÔÓ Ø ÞÔó Ó ó ØÓ Ù Ð Ø a i b n i º ÈÓ Ø ÞÔó Ó ó Ú ÒÓÚ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò ÖÓÞÑ Ò Ø Ø Ù n Ø Ý c n = n i=0 a ib n i º Ð Ò x n Ú ÓÙ ÒÙ fg ÚÝÔ Ò Ð ÓÚÒ n a i x i b n i x n i = i=0 n a i b n i x n i=0 ËÓÙ Ò f g Ø Ý ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {c n } n=0º ¾

32 ÈÖÓ Ý Ø ÑÝ ÒÓÙ Ñ Ò Þ Ø Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÔÓ ØÙ ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ Ò¹ Ø Ø Ý ÒÓ Ù º Æ Ô Ð ÔÖÓ Ý Ø Ñ ÒÓÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ 3 ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÔÓ ØÙ ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ø Ý (1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,...)º ÈÖÚÒ Ò Ô ØÓÑ ÚÝ Ù ö Ø Ù ¼ ÐÞ ÐÓö Ø ÒÑ ÞÔó Ó Ñº Ç Ò ÔÖÓ Ý Ø ÑÝ ÒÓÙ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ c Ù ÔÖÓ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÔÓ ØÙ ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ ÒØ {a n } n=0 ÔÐ Ø Ø { 1 ÔÓ Ù c Ð n a n = 0 Ò º ÎÝØÚÓ Ù ÙÒ Ø ØÓ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø 1+x c +x 2c +x 3c +...º Î Ø ¾º º ÈÖÓ x C 0 x < 1 c N ÔÐ Ø 1+x c +x 2c +x 3c + = 1 1 x c º ó Þº È ÔÓÑ Ò Ñ ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÓÙ Ø ÓÑ ØÖ Ý 1+y +y 2 +y 3 + = 1 1 y º ÌÚÖÞ Ò Ú ØÝ ÒÝÒ Þ Ñ Ó Þ Ò Ñ y = x c º ÈÓ ØÙÔÒÑ Ð Ò Ñ Ý Ø Ñó Ñ Ò ÔÓÑÓ Ò Ó Ò ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÒÝÒ ÙÑ Ñ Ò Ø ÔÓ Ø ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ø Ù Ú Ð ÓÚÓÐÒ Ñ Ý Ø ÑÙ Ñ Ò º Æ Ô Ð ÔÖÓ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ ÒÝÒ Ø Ò Ð Þ Ò ÔÓ¹ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÔÓ ØÙ ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒÓØÐ Ú Ø ÚÝÒ Ó Ø ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ Ø ÒÓÑ ÒÓÚ Ý Ø Ñóº (1+x 3 +x 6 +x )(1+x 5 +x 10 +x )(1+x 7 +x 14 +x ) = = x 3 1 x 5 1 x 7 Î Ð Ò ÚÖ Þ Ð ÔÓØ Ù Ñ ÙÔÖ Ú Ø ÞÔ Ø Ó ØÚ ÖÙ ÑÓÒ ÒÒ Ý Ú Ø Ö Ó ÒØ Ù x n ÙÖ Ù n¹ø ÔÖÚ Ð Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø º ÌÓÑÙØÓ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ù Ñ Ú ÒÓÚ Ø Ú Ò Ð Ù Ø º ¾º½ ÈÖÓ Ú Ñ Ò Î Ø ØÓ Ø Ù Ñ Þ Ú Ø Ð Ò Ñ ÔÓ ØÙ ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ð Ó¹ ÚÓÐÒÓÙ Ø Ù Ú Ý Ø ÑÙ Ñ Ò Ó ÚÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ º È Ô Ò Ø ØÓ Ø ÖÔ Ñ Þ ÔÙ Ð Ôº ½ º ¾

33 ¾º½º½ Ç ÚÓÞ Ò ÔÓÑÓ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÈÓÑÓ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÒÝÒ Ó ÚÓ Ñ ÚÞØ ÔÖÓ Ò Ð Þ Ò ÔÓ ØÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø ÔÖÓ Ý Ø ÑÝ Ñ Ò Ó ÚÓÙ Ñ Ò Ò ÓÙ ÐÒÑ Ó ÒÓØ Ñ º Å Ñ Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ò ÓÙ ÐÒ Ó ÒÓØ a bº ÈÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÔÓ ØÙ Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ Ø ÔÖÓ Ø ÒØÓ Ý Ø Ñ Ñ Ò ÓÞÒ Ñ {c n } n=0º Ã Ò Ð Þ Ò Ð Òó Ø ØÓ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÝÙö Ñ ÓÙ Ò ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ ÔÓ¹ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÒÓÑ ÒÓÚ Ý Ø Ñó Ñ Ò Ñ Ó Ó ÒÓØ a bº ÀÐ Ñ Ø Ý Ó ÒØÝ c 0,c 1,c 2,... N 0 Ø ÓÚ ö 1 (1 x a )(1 x b ) = c 0 +c 1 x+c 2 x º Æ ð p N 0 Ð ÓÚÓÐÒ Ô ÚÒ ÞÚÓÐ Ò ÐÓº ÀÐ Ò Ó ÒØÙ c p Ñóö Ñ Þ ÒÓ Ù Ø Ø ö Ù Ñ Ð Ø ÓÒ Ø ÒØÒ Ð Ò ÚÖ ÞÙ f(x) = 1 (1 x a )(1 x b )x p = c 0 x p + c 1 x p 1 + +c p +c p+1 x+c p+2 x º È ÔÓÑ Ñ ÞÒ ÑÓÙ Ú ØÙ Ó ÖÓÞ Ð Ù Ö ÓÒ ÐÒ ÙÒ Ò Ô Ö ÐÒ ÞÐÓÑ Ý Ø ÖÓÙ Ò Ð Ò ÔÐ Ù Ñ Ò ÙÒ fº Î Ø ¾º ÊÓÞ Ð Ò Ô Ö ÐÒ ÞÐÓÑ Ýµº à ö ÓÙ ÙÒ Ú ØÚ ÖÙ f(x) = p(x) (x a 1 ) e 1 (x a2 ) e 2 (x an ) en p(x) ÔÓÐÝÒÓÑ ØÙÔÒ Ò Ú e 1 +e 2 + +e n e 1,e 2,...,e n N Ñóö Ñ Þ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ f(x) = n k=1 ( Ck,1 + C k,2 x a k (x a k ) + + C ) k,e k 2 (x a k ) e k Ó ÒØÝ C k,j C ÓÙ ÙÖ ÒÝ ÒÓÞÒ Ò º ó Þº ó Þ Þ Ò ÙÚ Ñ º  ÔÓÞ Ò Ô Ð Ú ½ Ú Ø º Ã Ò Ð Þ Ò ÖÓÞ Ð Ù ÙÒ f ÔÓØ Ù Ñ Ò ÔÖÚ Ò Ø Ú ÒÝ Ó ÒÝ ÔÓÐݹ ÒÓÑÙ (1 x a )(1 x b )x p Ú Ó ÓÖÙ ÓÑÔÐ ÜÒ Ðº ÃÓ ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ 1 x k ÓÙ Ú ÒÝ k¹ø Ó ÑÓÒ ÒÝ Þ 1 Ø Ý ÓÑÔÐ ÜÒ Ð 1,ξ k,ξk 2,...,ξk 1 k ξ k = cos 2π k +isin 2π k º Î ÒÝ Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ (1 x a )(1 x b )x p Ò Ó ÒÓ Ø ÓÙ Ø Ý Ó Ò x = 0 Ò Ó ÒÓ Ø p Ó Ò x = 1 Ò Ó ÒÓ Ø ¾ Ó ÒÝ ξ a,ξ 2 a,...,ξa 1 a Ò Ó ÒÓ Ø ½ Ó ÒÝ ξ b,ξ 2 b,...,ξb 1 b Ò Ó ÒÓ Ø ½º ¾

34 ÃÓ ÒÝ ξa k ξb l ÓÙ ÔÖÓ Ú Ò k {1,2,...,a 1} l {1,2,...,b 1} ÖóÞÒ ÔÖÓØÓö a b ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ Ð º ÈÖÓ Ò Ð Þ Ò ÖÓÞ Ð Ù ÙÒ f Ò Ô Ö ÐÒ ÞÐÓÑ Ý Ð Ñ ÓÒ Ø ÒØÝ Ø ÓÚ ö A 1,A 2,...,A p,b 1,B 2,C 1,C 2,...,C a 1,D 1,D 2,...,D b 1 1 (1 x a )(1 x b )x p = A 1 x + A 2 x A p x p + B 1 x 1 + B 2 (x 1) 2+ + C 1 x ξ a + C 2 x ξ 2 a + D 1 x ξ b + D 2 x ξ 2 b + + C a 1 x ξa a D b 1 x ξ b 1 b º + ¾º½µ Ò ÙÒ f ÔÐÝÒ ö ÔÐ Ø A 1 = c p 1,A 2 = c p 2,...,A p = c 0 º ÍÚ Ñ ö ÔÖÓ Ò Ð Þ Ò c p Ò ÓÙ Ó ÒÓØÝ Ø ØÓ ÓÒ Ø ÒØ ÔÓ Ø ØÒ º Æ Ñ ÓÒ Ø ÒØÙ B 2 º Ç ØÖ ÒÝ ÖÓÚÒ ¾º½µ ÚÝÒ Ó Ñ ÚÖ Þ Ñ (x 1) 2 Ñö Þ Ñ (x 1) 2 p (1 x a )(1 x b )x = p k=1 a 1 + k=1 A k (x 1) 2 x k +B 1 (x 1)+B 2 + C k (x 1) 2 x ξ k a + b 1 k=1 Ä Ñ Ø ÔÖ Ú ØÖ ÒÝ ÔÖÓ x ÓÙ ½ B 2 º ÈÐ Ø ÔÖÓØÓ B 2 = lim x 1 (x 1) 2 (1 x a )(1 x b )x p D k (x 1) 2 º x ξb k = lim x 1 (x 1) 2 (1 x)(1+x+ +x a 1 )(1 x)(1+x+ +x b 1 )x p = 1 ab º ÃÓÒ Ø ÒØÙ B 1 Þ Ñ ÔÓ Ó ÒÑ ÞÔó Ó Ñº Ç ØÖ ÒÝ ÖÓÚÒ ¾º½µ ÚÝÒ ¹ Ó Ñ x 1 Ñö Þ Ñ x 1 p (1 x a )(1 x b )x = p k=1 a 1 + k=1 A k (x 1) x k +B 1 + B 2 x 1 + C k (x 1) x ξ k a + b 1 k=1 D k (x 1) º x ξb k ÈÓ Ó Ø Ò B 2 /(x 1) Ó Ó ÓÙ ØÖ Ò ÖÓÚÒ Ð Ñ Ø ÔÖ Ú ØÖ ÒÝ ÔÖÓ x ÓÙ ½ ÖÓÚÒ B 1 º ÈÐ Ø ÔÖÓØÓ B 1 = lim x 1 1 x 1 (1 x a )(1 x b )x ab p x 1 = lim (x 1) 2 1 ab (1 xa )(1 x b )x p x 1 (1 x a )(1 x b )(x 1)x p (x 1) 2 1 ab = lim (1 x)(1+x+ +xa 1 )(1 x)(1+x+ +x b 1 )x p º x 1 (1 x)(1+x+ +x a 1 )(1 x)(1+x+ +x b 1 )(x 1) }{{}}{{}}{{} x p a b 1 ¼

35 Ö Ø Ñ (x 1) 2 ÔÓÑÓ Ú ØÝ Ó Ö ØÑ Ø Ð Ñ Ø ½¾ Ú Ø ½¼ Þ Ñ B 1 = 1 ab lim x 1 ÒÙ Ñ ÙÒ h Ô Ô Ñ ÈÐ Ø h(1) = 1 Ø Ý 1 ab (1+x+ +xa 1 )(1+x+ +x b 1 )x p 1 x 1 h(x) = 1 ab (1+x+ +xa 1 )(1+x+ +x b 1 )x p º B 1 = 1 ab lim h(x) h(1) = 1 x 1 x 1 ab h (1)º ÎÝÔÓ Ø Ñ Ö Ú ÙÒ h ÔÓ Ð ÔÖ Ú Ð Ó Ö ÚÓÚ Ò ÓÙ ÒÙ h (x) = 1 ab( (1+2x+3x 2 + +(a 1)x a 2 )(1+x 2 +x 3 + +x b 1 )x p + +(1+x 2 +x 3 + +x a 1 )(1+2x+3x 2 + +(b 1)x b 2 )x p + +(1+x 2 +x 3 + +x a 1 )(1+x 2 +x 3 + +x b 1 )px p 1) ÀÓ ÒÓØ B 1 Ø Ý B 1 = 1 ( (1+2+ +(a 1))b ab ab = 1 ab ( a b a(1+2+ +(b 1)) ab ) +p = 1 ab 1 2a 1 2b p ab º + abp ) ab ÃÓ ÒØÝ C k Þ Ñ Ò ÐÓ Ýº Ù Ñ Ð Ø Ó ÒØ C l º ÎÝÒ Ó Ò Ñ Ó ÓÙ ØÖ Ò ÖÓÚÒ ¾º½µ ÚÖ Þ Ñ x ξ l a Þ Ñ x ξa l p (1 x a )(1 x b )x = p k=1 l 1 + k=1 A k (x ξa) l + B 1(x ξa) l + B 2(x ξa) l x k x 1 (x 1) + 2 C k (x ξ l a ) x ξ k a +C l + a 1 k=l+1 Ä Ñ Ø ÔÖ Ú ØÖ ÒÝ ÔÖÓ x ÓÙ ξ l C l º ÈÐ Ø ÔÖÓØÓ C l = lim x ξ l a ijÀ = C k (x ξ l a ) x ξ k a x ξa l (1 x a )(1 x b )x = 1 p ξa lp (1 ξa lb) lim 1 1 a ) aξa l(a 1) ξ lp a (1 ξ lb x ξ l a + b 1 k=1 x ξ l a 1 x a D k (x ξa l) º x ξb k Î ÖÙ Ñ ÖÓ Ù ÚÔÓ ØÙ Ñ ÔÓÙö РijÀÓ Ô Ø ÐÓÚÓ ÔÖ Ú ÐÓ Ò Ð Ñ ØÙ Ú ØÚ ÖÙ 0 0 º ÈÐ Ø ö ξa a = 1 Ò Óð ξ a a¹ø Ó ÑÓÒ Ò Ò Ýº ÈÖÓØÓ ÈÓÙö Ø Ñ ÔÓÔ Ò ÔÖ Ú Þ Ñ ξa lp ξl(a 1) a = ξa la ξlp l a = ξa l(p 1) º 1 C l = aξa l(p 1) (1 ξa) º lb ½

36 ËØ ÒÑ ÔÓ ØÙÔ Ñ Þ Ø Ñ ö D l = 1 bξ l(p 1) b (1 ξb la)º ÍÚ öù Ñ ÒÝÒ ÙÒ g ÒÓÚ ÒÓÙ Ô Ô Ñ g(x) = c p +c p+1 x+c p+2 x 2 + º Æ Ñ Ð Ñ Ò Ø Ó ÒÓØÙ c p = g(0)º ÈÖÓ x 0 ÔÐ Ø g(x) = f(x) c 0 x p c p 1 x = B 1 x 1 + B 2 (x 1) 2+ + C 1 x ξ a + C 2 x ξ 2 a + D 1 x ξ b + D 2 x ξ 2 b + + C a 1 x ξa a D b 1 x ξ b 1 b º + ¾º¾µ Æ Ð Ú Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò Ô ÓÞ Ó ÚÞØ Ù ÓÙ ÙÒ ÔÓ Ø Ú ÒÙÐ Ð Ñ ØÒ Ñ Ô Ó Ñ x 0 Ø Ý Ó Ô Ñ ÖÓÚÒÓ Ø c p = g(0) = B 1 +B 2 C 1 ξ a C 2 ξ 2 a C a 1 ξ a 1 a Ó Þ Ò Ñ Þ ÓÒ Ø ÒØÝ B i,c j,d k Þ Ñ D 1 ξ b D 2 ξ 2 b D b 1 º ξ b 1 b c p = g(0) = 1 2a + 1 2b + p ab + 1 a 1 a k=1 1 ξ kp a (ξ kb a 1) + 1 b b 1 k=1 1 ξ kp b (ξka b 1) º ¾º µ Æ Ð Ñ ÚÖ Þ Ù Ú ÔÓ Ø ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ ÒØ c p Ø Ý p Ú Ý Ø ÑÙ Ò ÓÙ ÐÒÑ Ó ÒÓØ Ñ a bº ÈÓ Ù Ñ Ò Ð Þ Ò ÚÞÓÖ ¾º µ Ð Þ ÒÓ Ù Øº Ò Ñ Ð Ò Ñ ÒÓ¹ Ù Ó ÞÔó Ó Ù Þ Ô Ù ÔÖÓ 1 a 1 a k=1 1 ξ kp a (ξ kb a 1)º ¾º µ ÈÓ Ú Ñ Ò Ý Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ a 1º ÈÓ Ø ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØÓÚ Ø Ø Ù p ÓÞÒ Ñ c pº à ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý p ÔÓÙö k Ö Ø Ñ Ò Ó Ó ÒÓØ a Þ ÝØ Ø Ý ÓÔÐÒ Ñ Ò Ñ Ó Ó ÒÓØ ½º ÈÓ Ø ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ p Ø Ý ÖÓÚ Ò ÔÓ ØÙ ÑÓöÒÓ Ø ÞÚÓÐ Ø k N 0 Ý ka < p Ø Ý k < p/aº ÈÖÓØÓ ÔÐ Ø p c p = +1º ¾º µ a ËÝÑ ÓÐ x Ô ØÓÑ ÓÞÒ Ù ÓÐÒ ÐÓÙ Ø x R Ø º Ò Ú Ø Ð ÐÓ Ñ Ò Ò Ó ÖÓÚÒ xº ÈÓ Ø ÞÔó Ó ó Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý p Ñóö Ñ Þ Ø Ó Þ Ò Ñ b = 1 Ó ÚÞØ Ù ¾º µ c p = 1 2a p a + 1 a 1 a k=1 ¾ 1 ξ kp a (ξ k a 1) ¾º µ

37 ÚÖ Þó ¾º µ ¾º µ ÚÝ Ñ 1 a 1 a k=1 1 ξ kp a (ξ k a 1) = { p a } a º ¾º µ Ò Ò {x} Þ Ñ ÚÞÒ Ñ Ø ÒÒ Ø Ð x Ø Ý {x} = x x º ÀÐ Ò ÚÖ Þ ¾º µ Ø Ð Ò Ò Ú Ø Ò Ñ ØÚ ÖÙ Ó ¾º µº È Ø Ñ Ò ö Ó Ó ÔÓ Ó Ò Ó ØÚ ÖÙ ÙÔÖ Ú Ñ Ù ö Ñ Ò Ø Ö ÚÐ ØÒÓ Ø Ð ξ a º ÅÓ ÚÖ ÓÚÝ Ú ØÝ ÔÐÝÒ ξa k = cos 2πk 2πk +isin a a º Ô Ö Ó ØÝ ÓÒ ÓÑ ØÖ ÙÒ ÔÖÓØÓ Ó Ø Ú Ñ ö ξ k a = ξk mod a a º ¾º µ Ä ÑÑ ¾º º Å Ñ Ò ÓÙ ÐÒ Ð m,a N k {1,2,...,a 1}º ÈÓØÓÑ mk mod a 0º ó Þº È ÔÓ Ð Ñ ÔÖÓ ÔÓÖ ö mk mod a = 0 Ø Ý a Ð mkº Ç ØÙ Þ Ô ÔÓ Ð Ù Ò ÓÙ ÐÒÓ Ø a m ÔÐÝÒ ö a Ð kº ê Ò Þ ÑÓöÒ Ó ÒÓØ k Ð Ò Ò Ð Ø ÐÒ a Ñö Þ Ú Ñ ÔÓÖº Ä ÑÑ ¾º º ÈÖÓ Ò ÓÙ ÐÒ Ð a,m N 0 ÔÐ Ø {ξ k a;k {1,2,...,a 1}} = {ξ mk a ;k {1,2,...,a 1}}º ó Þº ÚÞØ Ù ¾º µ Ú Ñ ö Ø Ó Þ Ø {k;k {1,2,...,a 1}} = {mk mod a;k {1,2,...,a 1}}º ÚÐ ØÒÓ Ø Þ ÝØ Ù ÔÓ Ð Ò ÔÐÝÒ mk mod a {0,1,...,a 1}º Ð ÑÑ ØÙ ¾º Ð ÔÐÝÒ ö mk mod a 0º Ú Ø Ý Ó Þ Ø ö ÔÖÓ u,v {1,2,...,a 1} u v ÔÐ Ø mu mod a mv mod aº È ÔÓ Ð Ñ ÔÖÓ ÔÓÖ ö mu mv (ÑÓ a)º Ô ÓÞ ÓÒ ÖÙ Ò ÔÐÝÒ ö a Ð m(u v)º ÈÖÓØÓö a m ÓÙ Ò ÓÙ ÐÒ a Ð u v ÔÐ Ø u v (ÑÓ a) u = v +ka ÔÖÓ k Zº Ç ØÙ Þ Ô ÔÓ Ð Ù u,v {1,2,...,a 1} ÔÐÝÒ ö u = vº ó Ð ¾º º ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒÓÙ ÙÒ h : C C Ò ÓÙ ÐÒ Ð a,m N ÔÐ Ø a 1 a 1 h(ξa j ) = h(ξa jm )º j=1 j=1