O x i, b; z = i, b; z i = 0 ÓÖ x i = 0 i, b 1; z i [N] Ò x i = 1º

Transkript

1 Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÐÙÑÒ Ý Â Ó Ó ÌÓÖ Ò Ôغ Ì ÓÖ Ø ÁÒ ÓÖÑ Ø ÍÒ Ú Ö ØØ ÍÐÑ Ç Ö Ö Ð Ö ¼ ÍÐÑ ÖÑ ÒÝ Ó ÓºØÓÖ ÒÙÒ ¹ÙÐѺ ØØÔ»»Ø ÓÖ º Ò ÓÖÑ Ø ºÙÒ ¹ÙÐѺ»È Ö ÓÒ Ò» غ ØÑÐ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÝÓÙÒ Ö Ö Ö Ó ÒÖ Ò ÑÔÓÖØ Ò º ÁÒ Ô Ø Ó Ø ÔØ Ñ Ó Ô ÖØ Ó Ø Ö Ö ÓÑÑÙÒ ØÝ Ö Ö Ò Ø ÔÓ Ð ØÝ Ó ÓÒ ØÖÙØ Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ø Ö ÒÓÛ Ý Ø Ð Ø ÓÒ ÓÒ ÚÓØ ØÓ Ø ØÓÔ Ò Ú ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÒ Ö Ò º ÌÛÓ ÜÔ ÖØ Ò Ø Ö È Ø Ö À Ý Ö Ò ÊÓ ÖØ âô Ð ÛÖ Ø Ò Ø ÓÐÙÑÒ ÙØ ÙÐ ÙÖÚ Ý ÓÒ ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÙ Ò ÓÒ Ø Ñ Ø Ó ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ ÉÙ ÒØÙÑ ÉÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ È Ø Ö À Ý Ö ÊÓ ÖØ âô Ð ØÖ Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð Öݺ ËÙÔÔÓÖØ Ý Ò ³ Æ ØÙÖ Ð Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò Ê Ö ÓÙÒ Ð ÆË Ê µ Ø Ò Ò ÁÒ Ø ØÙØ ÓÖ Ú Ò Ê Ö Á ʵ Ò Ì Å Ø Ñ Ø Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ò ÓÑÔÐ Ü ËÝ Ø Ñ ÅÁÌ Ëµº Ñ Ð ÓÝ ÖÔ ºÙ Ð Öݺ ÏÁ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ø Ö Ñº ËÙÔÔÓÖØ Ò Ô ÖØ Ý Ø Í Ø Ö Ñ ÛÓÖ ÔÖÓ Ø Ê ËÉ ÁË̹¾¼¼½¹ º ÏÓÖ ÓÒ ÙØ Ò Ô ÖØ Û Ð Ú Ø Ò Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð Öݺ Ñ Ð ÖÛ ºÒÐ

2 Ë ÓÖ³ Ò ÖÓÚ Ö³ ÑÓÙ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ØÓÖ Ò Ò Ö Ò ÓÛ Ø Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ö Ò ÓÐÚ ÖØ Ò ÓÑÔÙØ ¹ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÒØÐÝ Ø Ö Ø Ò ÒÝ Ð Ð ÓÑÔÙØ Öº Ï Ù Ö Û Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ö ÒÒÓØ Ó Ò Ô ÐÐÝ ÓÛ ØÓ ÔÖÓÚ Ð Ñ Ø ÓÒ Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÓÛ Öº Ï ÓÚ Ö Ø Ñ Ò ÒÓÛÒ Ø Ò ÕÙ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò Ü ÑÔÐ Ý Ò Óѹ Ô Ö Ø Ñ Ø Ó º ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ú ÖÝ Ö Ø Ù Ó Ø ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å Û ÔÙ Ð Ò Â ÒÙ ÖÝ ½ º ÁØ Û Ø Ö Ø ÓÙÖÒ Ð ÚÓØ ØÓ ÓÑÔÙØ Ö Ò º ÓÖ Ø ¼Ø ÒÒ Ú Ö ÖÝ ÚÓÐÙÑ ÔÙ Ð Ò Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼ ØÓÖ ¹ Ò¹ ÂÓ Ô º À ÐÔ ÖÒ Û ÒÒ Ö Ó Ø ÌÙÖ Ò Û Ö Ò Ø Æ Ú ÒÐ ÒÒ ÈÖ Þ ØÓ Ù ÙÔ ØÓ Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ø Ý Ø ÓÙ Ø ÛÓÙÐ Ñ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ø Ò ÜØ ¼ Ý Ö º Æ Ú ÒÐ ÒÒ ÈÖ Þ Û ÒÒ Ö Ä Ð º Î Ð ÒØ Ö Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ø Ó Û ÓÒ Ô Ý ÐÐÝ Ö Ð Þ Ð ÑÓ Ð ÓÖ Óѹ ÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÖÑ Ð Þ Ø ØØ Ò Ý Ò Ò Ï Ø Ö ÓÖ ÐÐ ÓÙÖ Ð È È Ø Ð Ó Ô Ý ÐÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÓÙÖ ÓÑÔÙØ Ö º À Ø Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ø Ó Ô Ö Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø ÙÐÐ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó È È Ò Ö Ù Ø Ø Ø Ò Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÔ Ö Ø Ø Ø Ñ ØÓ ÒØ ÐÐÝ Ø ÑÓ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò º ÇÒ Â ÒÙ ÖÝ ¾ Ø Ý Ö ÆÓ Ð Ä ÙÖ Ø Ú ÖÓ Ú ÊÆ ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ì ÙØÙÖ Ó Ô Ý ¾ º À Ù ¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ñ Ø Ù Ô Ý Ò Ø ÖÓ Ø Ò ÓÚ Ö Ø Ò ÜØ ¾ Ý Ö Ò ÒÐÙ ÕÙ Ø ÓÒ ½ Ò ½ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÉÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ò º ÁÒ ÂÙÐÝ Ø Ý Ö Ø Ë Ò Ñ Þ Ò Ð Ö Ø Ø ½¾ Ø ÒÒ Ú Ö ÖÝ Ý ÜÔÐÓÖ Ò ½¾ ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø ÒØ ÒÕÙ ÖÝ ÓÚ Ö Ø Ò ÜØ ÕÙ ÖØ Ö¹ ÒØÙÖÝ º ÑÓÒ Ø ØÓÔ ¾ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ï Ø Ö Ø Ð Ñ Ø Ó ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÓÑÔÙØ Ò ÖÐ Ë ÛÖ Ø Ì Ö Ö ÐÑ ÝÓÒ Ø Ð Ð ÓÑÔÙØ Ö Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ò Ù Ø Ù Ó Ø ÖÑ Ò Ò Û Ø ÕÙ ÒØÙÑ¹Ñ Ò Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ñ ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ö Ó ÔÓÛ Ö Ùк ÁÒ Ø Ù Ó Ø ÙÐÐ Ø Ò Ó Ø Ì Ë Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ó Ö Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÓÔ Ó ØÙ Ý Ò Ð Ñ Ø Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÔÓÛ Ö Ó ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ö º Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ö Ö ÐÐÝ ÑÓÖ ÔÓÛ Ö ÙÐ Ø Ò ØÖ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÙØ Ö Ï Ø Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ö ÒÓØ Ó Ï Ø ÔÖÓÓ Ø Ò ÕÙ Ö Ù ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÓÙÒ ÓÒ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÓÛ Ö Ó ÕÙ ÒØÙÑ Óѹ ÔÙØ Ö ÁØ ÐÝ Ø Ú Ö Ó Ö Ö Ò ÓÙÖ Ò Û Ø ÔÖÓ ÓÙÒ Ò ÙØ ÙÐ Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÙ Ô Ø ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Ð Ó Ò Ð

3 Ö ÓÒ ÔÖ Ò ÔÐ Ò ÑÔÐ ÓÒ ÔØ Ò ÓÒ Ø Ø Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ô Ð Þ ÔÖ ÓÖ ÒÓÛÐ º ÇÒ Ñ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ ÓÛ Ø Ý ÔÖÓÚ Ò ÖÐÝ ÓÑÔÐ Ø ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÛÓ ÑÓ Ø Ù ÙÐ Ñ Ø Ó ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó º ÇÙÖ ÙÖÚ Ý ØÓÛ Ö Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ø Ð ÐÝ Ø Ð Ø Ñ Ð Ö Ñ Ø Ó Ò Ø Ý Ð Ú ÖÝ ØÖÓÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º Ì Ô Ô Ö Ñ ÒØ ØÓ ÙÔÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ü ÐÐ ÒØ ÙÖ¹ Ú Ý Ó Ù ÖÑ Ò Ò ÏÓÐ ½ ÓÒ ÓÒ ØÖ ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÙ Ð Ò ¾¼¼¾ Ò Ø ÓÙÖÒ Ð Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò º Ï ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ñ Ø Ó ÓÒ ÖÙÒÒ Ò Ü ÑÔÐ Ò ÓÖ Ø Û Ù ÓÒ Ó Ø ÑÓ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ñ Ý Ø Ò Ó Ø Ø Ó Ö Ò Ò ÓÖ Ö Øº Ò ÓÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ Ö Ö Ò Ò ÒØÐÝ Ø Ö ÓÒ ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ö Ø Ò ÔÔÐÝ Ò Ø Ò Ö Θ(log N) Ò ÖÝ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ì Ö Ø Ó Ø Ô Ô Ö ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ º Ï ÑÓØ Ú Ø Ò Ò ÓÙÖ ÑÓ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº Ï Ø Ò Ù Ú ÖÝ ÔÖ Ò¹ ÔÐ Ù Ò ÔÖÓÚ Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò Ë Ø ÓÒ Ò Ù Ø Ñ ØÓ Ø Ð ÓÙÖ Ö Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ñ Ø Ó Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ë Ø ÓÒ º Ï Ù ÓÛ ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ñ Ø Ó Ò Ë Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ò Ë ¹ Ø ÓÒ º Ï Ø Ò Ú Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ò Ë Ø ÓÒ º Ï ÓÑÔ Ö Ø ØÛÓ Ñ Ø Ó Ò Ë Ø ÓÒ Ò Ú Û Ò Ð Ö Ñ Ö Ò Ë Ø ÓÒ º Ï Ú Ñ Ø Ð Ñ Ø Ò ÔÖ ÓÖ ÒÓÛÐ ÓÒ ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ò ØÓ Ö Ñ Ò ÑÙѺ Ë ÒØ Ò Ò Ô Ö Ö Ô Û Ø Ø Ò Ö Ø Ø Ò Ø Ö µ Ò Ø Ö ÐÝ ÔÔ ÓÖ Ù Ø ØÙØ Û Ø ÓÐÙÑÒ¹ Ú ØÓÖ Ò ÖÓÛ¹Ú ØÓÖ Ö Ô Ø Ú Ðݺ ¾ ÉÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Å ÒÝ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ú ÐÓÔ ÓÖ Ø Ó¹ ÐÐ ÓÖ Ð ÑÓ Ð Ò Û Ø ÒÔÙØ Ú Ò Ò ÓÖ Ð Ó Ø Ø Ø ÓÒÐÝ ÒÓÛÐ Û Ò Ò ÓÙØ Ø ÒÔÙØ Ò Ò ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð º Ì ÒÔÙØ Ò Ø Ø ØÖ Ò x {0, 1} N Ó ÓÑ Ð Ò Ø N Û Ö x = x 1 x 2...x N º Ì Ó Ð ØÓ ÓÑÔÙØ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} m Ó Ø ÒÔÙØ xº ËÓÑ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Û ÓÒ Ö Ö ÓÓÐ Ò ÓÑ ÒÓغ Ï Ù Ø ÓÖØ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ [N] = {1, 2,..., N}º ÓÙÖ Ñ ÙÖ Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ Û Ù Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ì ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ò Ð ÓÖ Ø Ñ A ÓÑÔÙØ Ò ÙÒØ ÓÒ F Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ö Ù Ý Aº Ì ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó F Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÒÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ò F º Ï Ö ÒØ Ö Ø Ò ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ

4 Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ô ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÒ Ö Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÑÔÙع Ò Ù ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÙÖ Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÛÓÙÐ ØÓ Ù Ø Ø Ñ ÓÑÔРܹ ØÝ Û ÓÙÒØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ù Ý Ò Ð ÓÖ Ø Ñº Ì Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÐÛ Ý Ø Ð Ø Ð Ö Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÕÙ ÖÝ Ø ÓÒ ÙÒ Ø Ø Ô Ò Ø Ù ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð Ó ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÓÖ ÑÓ Ø Ü Ø Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÐÙ Ò ÖÓÚ Ö³ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ Ø Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Û Ø Ò ÔÓÐݹÐÓ Ö Ø Ñ ØÓÖ Ó Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÒÓØÓÖ ÓÙ Ü ÔØ ÓÒ Ø Ó¹ ÐÐ À Ò ËÙ ÖÓÙÔ ÈÖÓ Ð Ñ Û ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÕÙ ÖÝ ÓÑÔРܹ ØÝ ¾ Ý Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÒÓÛÒ ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÑ Ò Ø Ò Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÓÖ Ð ÑÓ Ð ÐÐ ÓÒ ØÖ Ò Ø Ð Ð ØØ Ò º Ð Ð ÕÙ ÖÝ ÓÒ Ø Ó Ò Ò Ü i [N] Ò Ø Ò Û Ö Ó Ø Ø x i º Ì Ö Ò ØÙÖ Ð Û Ý Ó ÑÓ Ð Ò ÕÙ ÖÝ Ó Ø Ø Ø Ö Ú Ö Ð º Ì ÒÔÙØ Ô Ö (i, b) Û Ö i [N] Ò Ò Ü Ò b {0, 1} غ Ì ÓÙØÔÙØ Ø Ô Ö (i, b x i ) Û Ö Ø Ø b ÔÔ x i = 1º Ì Ö Ö Ø Ð Øµ ØÛÓ Ò ØÙÖ Ð Û Ý Ó Ò Ö Ð Þ Ò ÕÙ ÖÝ ØÓ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ØØ Ò Ò Û Û Ö ÕÙ Ö ÐÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ØÓ ÙÒ Ø Öݺ Ì Ö Ø Û Ý ØÓ ÓÒ Ö ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÙÒ Ø ÖÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ø Ø ØÛÓ ÒÔÙØ i b Û Ö i [N] Ò b {0, 1} Ò ÓÙØÔÙØ i b x i º Ì ÓÖ Ð Ø Ò ÑÔÐÝ Ù Ø Ð Ò Ö ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ö Ú Ö Ð ÕÙ ÖÝ Ú Ò ÓÚ º Ï ÜØ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ð Ó Ø Ø Û Ò ÑÙÐ Ø ÒÓÒ¹ÕÙ ÖÝ Ò Û ÐÐÓÛ Ø ØÓ Ø ÓÑ Ö ØÖ ÖÝ Ò ÐÐ Ø Ø z Û Ø z 0 Ô ÖØ Ó Ø ÒÔÙØ Ò Ø Ø Ø ÙÔÓÒ ØÖ Ú ÐÐÝ O x i, b; z = { i, b; z i = 0 ÓÖ x i = 0 i, b 1; z i [N] Ò x i = 1º ½µ Ì Ò ÐÐ z ÓÒØ Ò ÒÝ Ø ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖÖ ÒØÐÝ Ô ÖØ Ó Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ø Ø Ø ÒÓØ ÒÚÓÐÚ Ò Ø ÕÙ Öݺ Ì ÓÒ Û Ý ØÓ ÓÒ Ö ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÙÒ Ø ÖÝ ÓÔ Ö ØÓÖ O x Ø Ø Ø ÓÒÐÝ Ø ÓÒ ÒÔÙØ i Ò ÓÙØÔÙØ ( 1) x i i Û Ö i [N]º Ï Ý Ø Ø Ø ÓÖ Ð ÓÑÔÙØ Ò Ø Ô Ý O x º ÓØ ÓÔ Ö ØÓÖ O x Ò O x ÕÙ Ö ØÓ Ø ÒØ ØÝ º º Ø Ý Ö Ø Ö ÓÛÒ ÒÚ Ö Ò Ø Ù ÙÒ Ø Öݺ Ì ØÛÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÔ ØÓ ØÓÖ Ó ØÛÓ Ò Ø Ø ÓÒ ÕÙ ÖÝ ØÓ Ø Ö ÓÖ Ð Ò ÑÙÐ Ø Ý ØÛÓ ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓØ Ö ÓÖ Ð º Ì ÓÙ Ø Ö Ø Û Ý ÔÓ ÐÝ Ø ÑÓÖ ÒØÙ Ø Ú Û ÐÐ ÔØ Ø ÓÒ Û Ý Ø Ú ÖÝ ÓÒÚ Ò ÒØ Û Ò ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º Ò Û ÜØ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Ð O x Ó Ø Ø Ø Ð Ó Ñ Ó ÒÓÒ¹ÕÙ ÖÝ Ò Û

5 ÐÐÓÛ Ø ØÓ Ø ÓÑ Ö ØÖ ÖÝ Ò ÐÐ Ø Ø z Ø Ø ÒÓØ Ø ÙÔÓÒ { i; z i = 0 O x i; z = ( 1) x i i; z 1 i Nº ¾µ Ï Ñ Ý Ø Ò Ó ÓÒ ÕÙ ÖÝ ÓÒ ¹ÖÓÙÒ Ü Ò Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ¹ ØÛ Ò ØÛÓ Ô ÖØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ð º ÁÒ Ø Ð Ð ØØ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò Ò Ü i [N] ØÓ Ø ÓÖ Ð Ò Ø ÓÖ Ð Ö ÔÓÒ Û Ø ÓÒ Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ñ ÐÝ x i º ÁÒ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ØØ Ò Ø Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ò Ø log 2 (N) ÕÙ Ø i ØÓ Ø ÓÖ Ð O x Ò Ø ÓÖ Ð Ö ÔÓÒ Û Ø ( 1) x i i º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÖ Ð Ø Ù Ü Ò ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó 2 log 2 (N) ÕÙ Ø Ò Ø Ù ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ØÓ O x Ò ÓÒÚ Ý ÙÔ ØÓ 2 log 2 (N) Ð Ð Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø ÓÖ Ð Ý ÀÓÐ ÚÓ³ Ø ÓÖ Ñ ½ ¾¼ Ò ÙÔ Ö Ò Ó Ò ½ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ø ÐÐÝ ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} log 2 (N) Ø Ø ÓÙØÔÙØ Ø ÑÓ Ø O(log 2 (N)) Ø Ò ÔÓØ ÒØ ÐÐÝ ÓÐÚ Ý ÓÒ Ø ÒØ ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð º Ò Ü ÑÔÐ Ó Ù ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÙØ ¹ ÂÓÞ ÔÖÓ Ð Ñ ¾¾ Û ØÓ Ø Ò Ù Ð Ò ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ ÖÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ÙÒØ ÓÒ º ÙÒØ ÓÒ F ÓÒ Ø ÒØ F(x) = F(y) ÓÖ ÐÐ ÒÔÙØ x, y Ò Ø Ð Ò Ø ÒÓØ ÓÒ Ø ÒØ Ò F 1 (F(x)) = F 1 (F(y)) ÓÖ ÐÐ ÒÔÙØ x, yºµ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÖØ Ò Ø Ø Ø Ø Ò ¹ Ô Ò ÒØ Ó Ø ÓÖ Ð º ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Û ÓÓ Ø Ø Ø 0 Ò Û ÐÐ ÕÙ Ø Ö Ò Ø Ð Þ ØÓ 0º ÁØ Ø Ò ÚÓÐÚ Ý ÔÔÐÝ Ò Ö ØÖ ÖÝ ÙÒ Ø ÖÝ ÓÔ¹ Ö ØÓÖ U ØÓ Ø Ý Ø Ñ ÐØ ÖÒ Ø Û Ø ÕÙ Ö O x ØÓ Ø ÓÖ Ð x ÓÐÐÓÛ Ý ÓÒÐÙ Ú Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ó Ø Ò Ð Ø Ø Ø ÓÙØÓÑ Ó Û Ø Ö ÙÐØ Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÁÒ ÝÑ ÓÐ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ A Ø Ø Ù T ÕÙ Ö ÓÑÔÙØ Ø Ò Ð Ø Ø ψ T x = U T O x U T 1 U 1 O x U 0 0 µ Û Ø Ò Ñ ÙÖ º Á Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} m Û Ñ ÙÖ Ø m Ð ØÑÓ Ø Ø Ó Ø Ò Ð Ø Ø ψx T ÔÖÓ Ù Ò ÓÑ ÓÙØÓÑ wº Ì Ù ÔÖÓ Ð ØÝ p x Ó A ÓÒ ÒÔÙØ x {0, 1} N Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø w = F(x)º ÓÖ ÓÑÔÐ Ø ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} m Û Ò Ø Ù ÔÖÓ Ð ØÝ Ó A Ø Ñ Ò ¹ ÑÙÑ Ó p x ÓÚ Ö ÐÐ x {0, 1} N º ÓÖ Ô ÖØ Ð ÙÒØ ÓÒ F : S {0, 1} m Û Ö S {0, 1} N Û Ø Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÓÚ Ö S ÓÒÐݺ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ A ÖÖÓÖ Ø ÑÓ Ø ǫ Ø Ù ÔÖÓ Ð ØÝ Ó A Ø Ð Ø 1 ǫº Ä Ø Q ǫ (F) ÒÓØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÒÝ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Óѹ ÔÙØ F Û Ø ØÛÓ¹ ÖÖÓÖ Ø ÑÓ Ø ǫ Ò ÓÑÑÓÒ Ð Ø Q 2 (F) = Q 1/3 (F) ÒÓØ Ø ØÛÓ¹ ÓÙÒ ÖÖÓÖ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Û Ø ǫ = 1/3º

6 ÓÙÖ ÖÙÒÒ Ò Ü ÑÔÐ Û Ù Ø Û Ðй ÒÓÛÒ ÓÖ Ö Ö Ò ÔÖÓ ¹ РѺ ÁÒ Ø ÓÖ Ð ÑÓ Ð Ø ÒÔÙØ ØÓ ÓÖ Ö Ö Ò Ò N¹ Ø ØÖ Ò x = (x 1,...,x N )º Ï Ö ÔÖÓÑ Ø Ø x i x i+1 ÓÖ ÐÐ 1 i < N Ò Ø Ø x N = 1 Ò Ø Ó Ð ØÓ Ò Ø Ð ØÑÓ Ø ½ º º Ø Ò Ü i [N] ÓÖ Û x i = 1 Ò ÒÓ Ò Ü j < i Ü Ø Û Ø x j = 1º Ú Ò Ò N¹ Ø ØÖ Ò x = (x 1, x 2,...,x N ) Ú Ò Ò ÓÖ Ð º ÈÖÓÑ x i x i+1 ÓÖ 1 i < N Ò x N = 1º ÇÙØÔÙØ ÁÒ Ü i Ù Ø Ø x i = 1 Ò Ø Ö x i 1 = 0 ÓÖ i = 1º Ì Ð Ð ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÓÖ Ö Ö Ò log 2 (N) Ò Ú Ý Ø Ò Ö Ò ÖÝ Ö Ò º Ì ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø ÑÓ Ø 0.45 log 2 N Ù ØÓ Ø ÛÓÖ Ó ÓÓÐ ØÙ ÒØ Åº º Â Ó Ò ÓÐÐ ÓÖ Ø ÓÒ Û Ø Ä Ò Ð Ò ÖÓÓ Ë Ð Ó ¾ ¼ µº Í Ò Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Û ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ø Ò ØÓÖ Ó ÓÙØ ØÛÓ Ó Ò ÓÔØ Ñ Ðº Ø Ò Ù Ò Ö ÒÔÙØ Ì Ö Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ù Ò Ú Ö ÖÝ Ö ÙÑ ÒØ Û Ú Ò Ý Ò¹ Ò ØØ ÖÒ Ø Ò Ö Ö Ò Î Þ Ö Ò Ò º Ì Ý ÓÛ Ø Ø ÒÝ ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ò Ø Ú ØÓ Ø ÑÓ Ø ÕÙ Ö Ø ÐÐÝ Ñ ÒÝ ÓÖ Ð Ø Û ÑÔÐ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω( N) ÓÖ ÖÓÚ Ö³ ÔÖÓ Ð Ñ ¾ Ò Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø ÖÓÚ Ö³ O( N) Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÔØ Ñ Ðº ÖÓÚ Ö³ ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û Û Ö Ú Ò Ò N¹ Ø ØÖ Ò x {0, 1} N Ò ÓÖ ¹ Ð Ò Ø Ó Ð ØÓ Ò Ò Ò Ü i ÓÖ Û x i = 1 ÔÖÓÚ ÓÒ Ü Ø º ÁÒØ Ö Ø Ò ÐÝ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó ÒÒ ØØ Ø Ðº Û ÔÖÓÚ Ò ½ Û ÐÐ ÓÖ ÖÓÚ Ö Ò Ö ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ¾¼¼¼ Ñ Ò ÓÙÒ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ú Ö ÖÝ Ö ÙÑ ÒØ º ÓÒ ØÖÙØ Ú ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ Ó Ú Ö ÖÝ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ò Ù Ð Øݺ Ï Û ÐÐ Ø Ù ÒÓØ ÓÒ ÖÒ ÓÙØ ÓÑÔÙØ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ F ÙØ Ñ Ö ÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Ø Ò Ù Ò ÓÖ Ð º ÓÒ Ö ÓÑ Ð ÓÖ Ø Ñ A Ø Ø ÓÑÔÙØ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ F Ò Ø ÓÖ Ð ÑÓ Ð Ò ÓÒ Ö ØÛÓ ÒÔÙØ x, y {0, 1} N ÓÖ Û F(x) F(y)º Ë Ò A ÓÑÔÙØ F Ø ÑÙ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Ô Ð Ó Ø Ò Ù Ò ØÛ Ò ÓÖ Ð x Ò ÓÖ Ð yº ÓÖ Ú Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û ØÖÝ ØÓ ÒØ Ý Ô Ö Ó ÓÖ Ð Ø Ø Ö Ö ØÓ Ø Ò Ù º Á Û Ò ÒØ Ý Ö ÒÔÙØ Ô Ö Û Ñ Ý Ö Ú ÓÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º ÀÓÛ Ú Ö Ú Ø Ø Ø Ù Ò ÓÒÐÝ Ø Ú ÖÝ Ö Ø ÒÔÙØ Ô Ö Ó ÒÓØ Ý Ð ÓÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û Ö Ø Ù Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ð ØÓ Ð Ó ÓÒ Ö Ð Ö ÒÔÙØ Ô Ö º Ö Ñ Ý ØÓ Ù Û Ø Ø Ø

7 ÔØÙÖ Ø Ö Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ô Ö Ó ÓÖ Ð Ò ØÓ Ó Ó Û Ò Ñ ØÖ Ü Γ Ó Ñ Ò ÓÒ 2 N 2 N Ø Ø Ø ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ö Ð Ú ÐÙ Γ : {0, 1} N {0, 1} N R + 0. Ï Ö ÕÙ Ö Ø Ø Γ ÝÑÑ ØÖ Ò Ø Ø Γ[x, y] = 0 Û Ò Ú Ö F(x) = F(y)º Ï Ý Ø Ø Γ Ô ØÖ Ð Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü ÓÖ F Ø Ø Ø ØÛÓ ÓÒ Ø ÓÒ º Ì ÝÑÑ ØÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Γ Ø Ø Ø Ø Û Ö ÓÒ ÖÒ ÓÙØ Ø Ò Ù Ò ØÛ Ò ÒÝ ØÛÓ ÒÔÙØ x, yº Ï Ö ÒÓØ ÓÒ ÖÒ ÓÙØ Ø Ò Ù Ò x ÖÓÑ y ÒÓÖ Ø Ò Ù Ò y ÖÓÑ xº Ï Ù Ø Ù ØÐ ØÝ ÙÖØ Ö Ò Ë Ø ÓÒ ÐÓÛ Û Ò ÓÒ Ö Ò ÐØ ÖÒ Ø Ú Ò Ø ÓÒ Ó Û Ø Ú Ö ÖÝ Ö ÙÑ ÒØ º Ì Ô ØÖ Ð Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÔØÙÖ ÓØ ØÓØ Ð Ò Ô ÖØ Ð ÙÒØ ÓÒ Û ÐÐ ÒÓÒ¹ ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ º Ë Ò Û Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÖÒ ÓÙØ Ø Ò Ù Ð ØÝ ÓÒ Û Ú Ô Ø ÒØÖ Ó Γ Û Ñ Ý ÐÝ ÒÓÖ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò ÙÒØ ÓÒ F º Ï Ø Ú Ö ÖÝ Ö ÙÑ ÒØ Û Ö Ö Ø Ù Ý À Ý Ö Æ Ö Ò Ë Ò ¼ ØÓ ÔÖÓÚ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω(log N) ÓÖ ÓÖ Ö Ö Ò Ò Ω(N log N) ÓÖ ÓÖØ Ò º ÖÒÙÑ Ò Ë ½ Ù Û Ø Ú Ö ÖÝ Ö ÙÑ ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω( N) ÓÖ Ö ¹ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ò ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ ÓÒ Γ Ø Ø Û ÔØ Ö º ÖÒÙÑ Ë Ò ËÞ Ý ÜØ Ò Ø Ö ÛÓÖ Ò ½ Ò Ö Ú Ò Ö Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó F Ò Ø ÖÑ Ó Ô ØÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ñ ØÖ Ü Γº Ì Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú ÖÝ Ð ÒØ Ò ÓÖØ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÔÖÓÓ Ò ÔØÙÖ ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Û ÐÐ Ø Ù ÔØ ÑÙ Ó Ø Ö Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ýº Ù ÓÚ Ø Ý ØÓ ÔÖÓÚ ÓÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ØÓ Ô ÓÓ Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γº ÓÖ ÓÙÖ ÖÙÒÒ Ò Ü ÑÔÐ Ó ÓÖ Ö Ö Ò Û Ô ÖØ Ð ÒÓÒ¹ ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ø º Ü ÑÔÐ ÇÖ Ö Ë Ò ½º Ì Û Ø ÓÒ Ø Ô Ö (x, y) Ø Ò¹ Ú Ö Ó Ø À ÑÑ Ò Ø Ò Ó x Ò y { 1 x Ò y Ö Ú Ð Ò Ø ÒØ ÒÔÙØ ØÓ F Γ Ö F(x) F(y) [x, y] = 0 ÓØ ÖÛ º µ Ì Ð Ö Ö À ÑÑ Ò Ø Ò ØÛ Ò x Ò y Ø Ö Ø ØÓ Ø Ò Ù Ø Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ö Û Ø Ò ØÓ Ø Ô Öº Ï Ú ØÓ ÓÓ ÓÛ ØÓ Ñ ÙÖ Ø Ò Ù Ð Øݺ Ì ÔÓ ÐÝ Ñ¹ ÔÐ Ø Ñ ÙÖ ØÓ Ù ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ º ÌÛÓ ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ø Ö Ø Ò Ù ¹ Ð Û Ø ÖØ ÒØÝ Ò ÓÒÐÝ Ø Ý Ö ÓÖØ Ó ÓÒ Ð Ò Ø Ý Ò ¹ Ø Ò Ù Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ò ÓÒÐÝ Ø Ö ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ñ ÐÐ ÓÐÙØ Ú ÐÙ º µ

8 Ø ½º ËÙÔÔÓ Û Ö Ú Ò ÓÒ Ó ØÛÓ ÒÓÛÒ Ø Ø Ψ x, Ψ y º Ì Ö Ü Ø Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ø Ø ÓÖÖ ØÐÝ Ø ÖÑ Ò Û Ó Ø ØÛÓ Ø Ø Û Ö Ú Ò Û Ø ÖÖÓÖ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÑÓ Ø ǫ Ò ÓÒÐÝ Ψ x Ψ y ǫ Û Ö ǫ = 2 ǫ(1 ǫ)º Ë Ò ÙÒ Ø ÖÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ø Ò Ó Ø Ó ÒÓØ Ò Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ ØÛ Ò ÒÝ ØÛÓ ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ø Ò Ø Ù Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ò ÓÒÐÝ Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ó ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð º Ú Ö ÖÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú Ö ÖÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ø Ð Ó Ò ØÙÖ º Ò Ú Ö ÖÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ØÓ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ð ÖÒ Ò Ò Ð ÕÙ Öݺ Á Ð ØØÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ð ÖÒ Ò ÒÝ ÓÒ ÕÙ ÖÝ Ø Ò Ñ ÒÝ ÕÙ Ö Ö Ö ÕÙ Ö º Ï Ù Ô ØÖ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Γ ØÓ ÔÙØ Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÖÒ ÓÙØ Ø ÓÖ Ð º Ä Ø A ÓÑ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÑÔÙØ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ F Û Ø ÓÙÒ ØÛÓ¹ ÖÖÓÖº ÓÖ Ú ÖÝ ÒØ Ö t 0 Ò Ú ÖÝ ÓÖ Ð x Ð Ø ψ t x = U to x U 1 O x U 0 0 µ ÒÓØ Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ø Ø Ö t ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð º ÌÓ Ñ ÙÖ Ø ÔÖÓ Ö Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ò Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ ¼ ½ ½ Û Ø ÙÒØ ÓÒ W t = Γ[x, y]δ x δ y ψx t ψt y, µ x,y Û Ö δ Ü ÔÖ Ò Ô Ð ÒÚ ØÓÖ Ó Γ º º ÒÓÖÑ Ð Þ ÒÚ ØÓÖ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ð Ö Ø ÒÚ ÐÙ Ó Γ Ò Û Ö δ x ÒÓØ Ø x Ø ÒØÖÝ Ó δº Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÖØ Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ø ψ 0 x = U 0 0 Û Ò Ô Ò¹ ÒØ Ó Ø ÓÖ Ð x Ò Ø Ù Ø ØÓØ Ð Ò Ø Ð Û Ø W 0 = x,y Γ[x, y]δ x δ y = λ(γ), µ Û Ö λ(γ) ÒÓØ Ø Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó Γº Ì Ò Ð Ø Ø Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö T ÕÙ Ö ψx T Ø ÓÖ Ð x Ò Ø ψt y Ø ÓÖ Ð yº Á F(x) F(y) Û ÑÙ Ø Ú Ø Ø ψx T ψt y ǫ Ý Ø ½ Ò Ò W T ǫ W 0 º Á Ø ØÓØ Ð Û Ø Ò Ö Ý Ø ÑÓ Ø Ý ÕÙ ÖÝ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÕÙ Ö Ω( W 0 ) ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð º

9 ÓÐÐÓÛ Ò ÖÒÙÑ Ë Ò ËÞ Ý ½ Û ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ý Ø Ð Ö Ø Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó Ø Ñ ØÖ Γ i Ò Ý { Γ i [x, y] x i y i Γ i [x, y] = 0 x i = y i ÓÖ 1 i nº Ì Ø ÓÖ Ñ Ó ½ Ö Ø Ø Ò ÔÖÓÚ µ Ò Ð ØÐÝ ÑÓÖ Ò Ö Ð ÓÖÑ Ø Ò Ò ½ Ó Ø Ø Ø Ð Ó ÔÔÐ ÓÒ ÒÓÒ¹ ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ º ÇÙÖ ÔÖÓÓ Ñ Ø ÑÔ Þ Ò Ø Ò Ù Ð ØÝ Ò Ö ÖÓÑ Ø ÓÖ Ò Ðº µ Ì ÓÖ Ñ ¾ ËÔ ØÖ Ð Ñ Ø Ó ½ µº ÓÖ ÒÝ Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ ÓÖ ÒÝ ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} m ( Q 2 (F) = Ω λ(γ) max i λ(γ i ) ). ½¼µ ÈÖÓÓ º Ï ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÖÓÔ Ò ØÓØ Ð Û Ø W t W t+1 Ý Ø t + 1 Ø ÕÙ ÖÝ ÙÔÔ Ö¹ ÓÙÒ Ý Ø Ð Ö Ø ÒÚ ÐÙ Ó Ø Ñ ØÖ Γ i º ÓÖ 0 i N Ð Ø P i = z 0 i; z i; z ÒÓØ Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒØÓ Ø Ù Ô ÕÙ ÖÝ Ò Ø i Ø ÓÖ Ð Øº Ä Ø β x,i = P i ψx t ÒÓØ Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ó Ø ÑÔÐ ØÙ Ó ÕÙ ÖÝ Ò Ø i Ø Ø Ò Ø t + 1 Ø ÕÙ ÖÝ ÔÖÓÚ Ø ÓÖ Ð xº ÆÓØ Ø Ø N i=0 β2 x,i = 1 ÓÖ ÒÝ ÓÖ Ð x Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ö ÓÒ Ó Ø N Ø x 1,...,x N ÓÖ ÑÙÐ Ø ÒÓÒ¹ÕÙ ÖÝ Ý ÕÙ ÖÝ Ò Ø ÓÖ Ð Û Ø i = 0º Ì t + 1 Ø ÕÙ ÖÝ Ò Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ý Ø ÑÓ Ø Ø ÓÚ ÖÐ Ô ØÛ Ò Ø ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ø Ø ÓÒØÓ Ø Ù Ô Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò i ÓÒ Û x i Ò y i Ö ψx t ψt y ψt+1 = ψx t (I O xo y ) ψy t = = x ψy t+1 2 ψx t P i ψy t 2 β x,i β y,i. i:x i y i i:x i y i ½½µ Ì Ö ÑÔÐ ØÙ Ó ÕÙ ÖÝ Ò Ø Ø i ÓÒ Û x i Ò y i Ö Ø Ð Ö Ö Ø ÖÓÔ Ò Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ Ò º Ò Ò ÙÜ Ð ÖÝ Ú ØÓÖ a i [x] = δ x β x,i Ò ÒÓØ Ø Ø N a 2 i = i=0 N δxβ 2 x,i 2 = x x i=0 δ 2 x N βx,i 2 = x i=0 δ 2 x = 1.

10 Ì ÖÓÔ Ò Ø ØÓØ Ð Û Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ý W t W t+1 = ( Γ[x, y]δ x δ y ψx ψ y ψ x ψ y ) x,y = 2 Γ[x, y]δ x δ y ψ x P i ψ y x,y i:x i y i 2 Γ i [x, y]δ x δ y β x,i β y,i x,y i = 2 i a iγ i a i 2 i 2 max i λ(γ i )a 2 i λ(γ i ) = 2 max i λ(γ i ). À Ö a i ÒÓØ Ø ØÖ Ò ÔÓ Ó a i º Ì Ö Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÙÒ Ø ÖÓÔ Ò ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ ÓÖ Ô Ô Ö Ò ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÕÙ Ø ÓÒ ½½º Ì ÓÒ Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó Γº Ì ÓÒ Ò Ø Ö Ò Õ٠й Ø Ø Ø Ø Ø Ø Ø ÔÓ Ð ÕÙ ÖÝ ØÖ ÙØ Ø ÑÔÐ ØÙ Ó Ø ÕÙ ÖÝ ÓÖ Ò ØÓ Ø Ð Ö Ø ÔÖ Ò Ô Ð ÒÚ ØÓÖ Ó Ø ÕÙ ÖÝ Ñ ØÖ Γ i º Ü ÑÔÐ ÇÖ Ö Ë Ò ¾º Ê ØÙÖÒ Ò ØÓ ÓÙÖ Ü ÑÔÐ Ó ÓÖ Ö Ö Ò ÓÖ N = 4 Ø Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÖ Ö (0001, 0011, 0111, 1111) Ú Ò Ý i a 2 i Γ Ö (4) = Ì Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ ÐÝ Ò ØÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ý Ø ÙÑ Ó Ø ÒØÖ Ò Ø Ö Ø ÖÓÛ λ(γ Ö (4) ) º ÁÒ Ò Ö Ð ) ÐÓÛ Ö ÓÙÒ λ(γ Ö Ý Ø ÖÑÓÒ ÒÙÑ Ö H N 1 Û Ø Ð Ø ln(n)º Ì Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó Ø ÕÙ ÖÝ Ñ ØÖ λ(γ Ö i ) Ñ Ü Ñ Þ Û Ò i = N/2 Ò Û Ø ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ý Ø Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó Ø Ò Ò Ø À Ð ÖØ Ñ ØÖ Ü [1/(r+s 1)] r,s 1 Û πº Ï Ø Ù Ö ÔÖÓÚ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó (1 ǫ ) ln(n) π ÓÖ ÓÖ Ö Ö Ò Ò Ú Ò ¼ º

11 ÔÔÐÝ Ò Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ì Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ú ÖÝ ÔÔ Ð Ò Ò Ø Ø Ø ÑÔÐ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ ÔÖÓÓ Ò Ú ÓÓ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ñ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ º âô Ð Ò ËÞ Ý ½ ÓÛ Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú Ð Ý Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó ÐÛ Ý Ø Ð Ø ÓÓ Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú Ð Ý ÒÝ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÔÙ Ð Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó º Ì Ö ÔÖÓÓ ÓÒ ØÖÙØ Ú Ò ÐÐÙÑ Ò Ø Ò Ú Ò ÒÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò ÒÝ Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÐÝ ÔÙ Ð Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ø Ý ÓÒ ØÖÙØ Ò Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ Ò ÔÖÓÚ Ø Ú Ø Ñ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º Ì Ö Ø Ò Ö Ð ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ù Ò Ú Ö ÖÝ Ö ÙÑ ÒØ Û ÒØÖÓ Ù Ý Ñ Ò Ò º ÓÛÒ Ò ½ Ø Ò Ö Ú ÖÓÑ Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ý ÔÔÐÝ Ò ÑÔÐ ÓÙÒ ÓÒ Ø Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó Γ Ò Γ i º Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö ØÓÖ λ(γ) ÐÓÛ Ö¹ ÓÙÒ Ý 1 d 2 d Γd ÓÖ ÒÝ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ú ØÓÖ d Ò Ý Å Ø ³ Ð ÑÑ Ø ÒÓÑ Ò ØÓÖ λ(γ i ) ÙÔÔ Ö¹ ÓÙÒ Ý Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÖÓÛ¹ÒÓÖÑ Ò ÓÐÙÑÒ¹ÒÓÖѺ Ä ÑÑ ½ µº Ä Ø G ÒÝ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú ÝÑÑ ØÖ Ñ ØÖ Ü Ò M, N ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ñ ØÖ Ù Ø Ø G = M N Ø ÒØÖÝÛ ÔÖÓ ÙØ Ó M Ò Nº Ì Ò λ(g) max r x,y x (M) c y (N), G[x,y]>0 Û Ö r x (M) Ø l 2 ¹ÒÓÖÑ Ó Ø x Ø Ó Ø y Ø ÓÐÙÑÒ Ò Nº ÖÓÛ Ò M Ò c y (N) Ø l 2 ¹ÒÓÖÑ ÔÔÐÝ Ò Ø ØÛÓ ÓÙÒ Û Ó Ø Ò Ñ Ò ³ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò º Ï Ö Ö ØÓ Ø Ñ Ø Ó Ò ÙÒÛ Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ø ÓÒ Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ ØÝÔ Ó ÒÔÙØ Ý ÒÔÙØ Ò Ö ÒÔÙØ º Ï ÓÒ ØÖÙØ Þ ÖÓ¹ ÓÒ Ú ÐÙ Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÙÒ ÓÖÑ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÚ Ö Ø Ö ÒÔÙØ Ô Ö º Ì ÓÖ Ñ ÍÒÛ Ø Ñ Ø Ó µº Ä Ø F Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ò Ð Ø A F 1 (0) Ò B F 1 (1) Ù Ø Ó Ö µ ÒÔÙØ º Ä Ø R A B Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø R i = {(x, y) R : x i y i } ÓÖ 1 i nº Ä Ø m, m ÒÓØ Ø Ñ Ò Ñ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ò ÒÝ ÖÓÛ Ò ÒÝ ÓÐÙÑÒ Ò Ö Ð Ø ÓÒ R Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò Ð Ø l, l ÒÓØ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ò ÒÝ ÖÓÛ Ò ÒÝ ÓÐÙÑÒ Ò ÒÝ Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ R i Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ò Q 2 (f) = Ω( mm /ll )º ÈÖÓÓ º Ä Ø S = {(x, y) : (x, y) R (y, x) R} ÝÑÑ ØÖ Þ Ú Ö ÓÒ Ó Rº Ò ÓÐÙÑÒ Ú ØÓÖ d ÖÓÑ Ø Ö Ð Ø ÓÒ S Ý ØØ Ò

12 d x = {y : (x, y) S} Ò Ò Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ Ý ØØ Ò Γ[x, y] = 1 d xd y Ò ÓÒÐÝ (x, y) Sº Ì Ò λ(γ) 1 d Γd = 1º ÓÖ Ó d 2 Ø Ñ ØÖ Γ i Û ÔÔÐÝ Ä ÑÑ Û Ø M[x, y] = N[y, x] = 1 d x Ò ÓÒÐÝ (x, y) Sº ÓÖ Ú ÖÝ x A r x (M) l/d 2 x l/m Ò c y (N) l /d 2 y l /m º ÓÖ Ú ÖÝ x B Ø Ò ÕÙ Ð Ø Ö Û ÔÔ º Ý Ä ÑÑ λ(γ i ) max x,y:γi [x,y]>0 r x (M)c y (N) ll /mm º Ì ÙÒÛ Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ú ÖÝ ÑÔÐ ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ö ÕÙ Ö ÓÒÐÝ ØÓ Ô Ý Ø R Ó Ö ÒÔÙØ Ô Ö º ÁØ Ú Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ñ ÒÝ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÒÐÙ Ò ÒÚ ÖØ Ò Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Óѹ ÔÙØ Ò ÒÝ ÝÑÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÙÒØ Ò ¾ ½¼ ½ ÓÒ Ø ÒØ¹Ð Ú Ð Ò ¹ ÓÖ ØÖ ¾ Ò Ú Ö ÓÙ Ö Ô ÔÖÓ Ð Ñ ¾½ º ÓÖ ÓÑ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ò Ó ÓÛ Ú Ö ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ö ÐÝ ÓÒÐÝ ÓÒ Û ¹ Ð Ø Ö Ò Ø Ò ÙØ Ö Ø Ö ÓÒ ÑÓÖ ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÒÔÙØ º ÔÔÐÝ Ò Ø ÙÒÛ Ø Ñ Ø Ó ÓÒ ÓÖ Ö Ö Ò ÛÓÙÐ ÓÖ Ò Ø Ò ÓÒÐÝ Ý Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó ÓÒ Ø Òغ ÁÒ Ø Û Ñ Ý ÔÔÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ø Ú Ö ÒØ Ó Ø Ñ Ø Ó Ù ØÓ Ñ Ò Ò Ò º Ì ÓÖ Ñ Ï Ø Ñ Ø Ó µº Ä Ø F : S {0, 1} m Ô ÖØ Ð ÙÒØ ÓÒº Ä Ø w, w ÒÓØ Û Ø Ñ ÓÐÐÓÛ Ì Ò Ú ÖÝ Ô Ö (x, y) S 2 Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Û Ø w(x, y) = w(y, x) Ø Ø Ø w(x, y) = 0 Û Ò Ú Ö F(x) = F(y)º Ú ÖÝ ØÖ ÔÐ (x, y, i) S 2 [N] Ò ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Û Ø w (x, y, i) Ø Ø Ø w (x, y, i) = 0 Û Ò Ú Ö x i = y i ÓÖ F(x) = F(y) Ò w (x, y, i)w (y, x, i) w 2 (x, y) ÓÖ ÐÐ x, y, i Ù Ø Ø x i y i º Q 2 (F) = Ω ( min x,y,i w(x,y)>0 x i y i wt(x)wt(y) v(x, i)v(y, i) Û Ö wt(x) = y w(x, y) Ò v(x, i) = y w (x, y, i) ÓÖ ÐÐ x S Ò i [N]º Ø Ö Ø Ð Ò Ø Û Ø Ñ Ø Ó Ñ Ý ÐÓÓ Ö Ø Ö ÓÑÔÐ Ø ÓØ Ò Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ Ò Ù Ø ÓÙ Ø ÒÓغ Ï Ö Ø Ò Û Ø ØÓ Ô Ö (x, y) Ó ÒÔÙØ ÓÖ Û F(x) F(y) Ò Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó º Ï Ö ÕÙ Ö Ø Û Ø ØÓ ÝÑÑ ØÖ Ó Ø Ø Ø Ý Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÐØÝ Ò Ø Ò Ù Ò ØÛ Ò x Ò yº Ï Ø Ò Ø ÖÛ Ö Ò Û Ø w (x, y, i) Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÐØÝ Ò Ø Ò Ù Ò x ÖÓÑ y Ý ÕÙ ÖÝ Ò Ò Ü iº Ì Ö Ö Ø ØÓ Ø Ò Ù ),

13 x ÖÓÑ y Ý Ò Ü i ÓÑÔ Ö ØÓ Ø Ò Ù Ò y ÖÓÑ x Ý Ò Ü i Ø ÑÓÖ Û Ø Û ÔÙØ ÓÒ (x, y, i) Ò Ø Ð ÓÒ (y, x, i) Ò Ú ¹Ú Ö º ÌÓ ÕÙ ÒØ Ý Ø Ò t(x, y, i) = w (x, y, i)/w (y, x, i)º Ì Ò t(x, y, i) Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö Ð Ø Ú ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ð ÖÒ ÓÙØ ÒÔÙØ Ô Ö (x, z) ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ð ÖÒ ÓÙØ ÒÔÙØ Ô Ö (u, y) Ý ÕÙ ÖÝ Ò Ò Ü iº Á Û Ý ÕÙ ÖÝ Ò Ò Ü i Ð ÖÒ Ð ØØÐ ÓÙØ x ÓÑÔ Ö ØÓ y Û Ð Ø t(x, y, i) Ð Ö Ò ÓØ ÖÛ Ñ Ðк ÓÒ Ö Û ÕÙ ÖÝ Ò Ò Ü i ÓÖ Û x i y i º Ì Ò Û Ð ÖÒ Û Ø Ö Ø ÓÖ Ð x ÓÖ yº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ø Ñ Ø Ñ Û Ð Ó Ð ÖÒ Û Ø Ö Ø ÓÖ Ð x ÓÖ z ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö Ô Ö (x, z) ÓÖ Û x i z i Ò F(x) F(z) Ò Ñ Ð ÖÐÝ Û Ð ÖÒ Û Ø Ö Ø ÓÖ Ð u ÓÖ y ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö Ô Ö (u, y) ÓÖ Û u i y i Ò F(u) F(y)º Ì Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÕÙ ÖÝ Ò Ò Ü i ÔÖÓÚ ÓÙØ Ô Ö (x, z) ÓÑÔ Ö ØÓ Ô Ö (u, y) Ø Ð Ö Ö Û ÓÓ t(x, y, i)º À Ú Ò Ø Ù Ó Ò t(x, y, i) Û Ø w (x, y, i) = w(x, y) t(x, y, i) Ò w (y, x, i) = w(x, y)/ t(x, y, i)º Ï ÓÛ Ò ÜØ Ø Ø Ø Û Ø Ñ Ø Ó Ý Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω(log N) ÓÖ Ø ÓÖ Ö Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÔÖÓÚ Ø Ø Ø Û Ø Ñ Ø Ó ØÖ ØÐÝ ØÖÓÒ Ö Ø Ò Ø ÙÒÛ Ø Ñ Ø Ó º Ì Û Ø Ñ Ø Ó Ý Ð ØÖÓÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ö ¹ÓÒ ÓÖÑÙÐ ½ Ò Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ º ÖÓÒ ÓÒ ¾ Ë ÒØ Ò ËÞ Ý ¼ Ò Ò Ù Ú Ö ÖÝ Ö Ù¹ Ñ ÒØ ØÓ ÔÖÓÚ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÐÓ Ð Ö ØÖ ÙØ Ú Ö ÓÒ Ó ÖÓÚ Ö³ ÔÖÓ Ð Ñº âô Ð Ò ËÞ Ý ÔÖÓÚ Ò ½ Ø Ø Ø Û Ø Ñ Ø Ó ÕÙ Ú¹ Ð ÒØ ØÓ Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó ÒÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ø Ø Ò Ú Ý ÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ø Ó Ò Ð Ó ÓÛÒ Ý Ø ÓØ Öº Ì Ö ÔÖÓÓ ÓÒ¹ ØÖÙØ Ú Ò Ú ÑÔÐ ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ ÓÒÚ ÖØ Ò ÓÒ ÒØÓ Ø ÓØ Öº Ì Ñ Ò Û Ø w(x, y) Ö Ø Ó ÒØ Ó Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ W t ÓÖ Ø ÒÔÙØ Ô Ö (x, y) Ø Ø w(x, y) = Γ[x, y]δ x δ y Ò Ø ÓÒ ÖÝ Û Ø w (x, y, i) ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Å Ø ³ Ð ÑÑ Ä ÑÑ µº Ü ÑÔÐ ÇÖ Ö Ë Ò º ÌÓ ÔÔÐÝ Ø Û Ø Ñ Ø Ó ÓÒ ÓÖ¹ Ö Ö Ò Û Ô Ø Ñ Û Ø w(x, y) = Γ Ö [x, y] δ x δ y Ò Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ø Ö Ö ÒÓ ØÖÓÒ Ö ÓÒ ÓÖ ÓÓ Ò ÓØ ÖÛ º ÆÓÛ ÓÒ Ö t(x, y, i) Û Ø F(x) i < F(y) Ó Ø Ø x i y i º Ý ÕÙ ÖÝ Ò Ò Ü i Û Ð Ó Ð ÖÒ ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò x Ò z ÓÖ Ó Ø F(y) i ÒÔÙØ z Û Ø i < F(z) F(y) Ò Û Ð ÖÒ ØÓ Ø Ò Ù ØÛ Ò u Ò y ÓÖ Ó Ø i F(x) + 1 ÒÔÙØ u Û Ø F(x) F(u) iº Ï Ø Ù ÓÓ ØÓ Ø t(x, y, i) = F(y) i + 1 F(x) i + 1. ÈÐÙ Ò Ø Ú ÐÙ ÒØÓ Ø Û Ø Ñ Ø Ó Ý Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω(log N) ÓÖ ÓÖ Ö Ö Ò º

14 Ä Ñ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ì Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ò Ø Û Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÓÙÒ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ð ÖÒ Ò ÒÝ ÓÒ ÕÙ Öݺ Ì Ý Ó ÒÓØ Ø ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ø Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ð ÖÒ Ò Ø j Ø ÕÙ ÖÝ Ñ Ø Ö ÖÓÑ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ð ÖÒ Ò Ø k Ø ÕÙ Öݺ ÁÒ ½ Ð Ù ÙÐÐÝ Ñ Ò ØÓ ÔØÙÖ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ Ø Ø Ò Ð ÖÒ Ò Ò Ú Ù Ð ÕÙ ÖÝ ÓÖ Ö ØÖ Ø Ú Ö ÓÒ Ó ÖÓÚ Ö³ ÔÖÓ Ð Ñ ¾ º ÁÒ Ø Ö ØÖ Ø Ú Ö ÓÒ Û Ö ÔÖÓÑ Ø Ø Ø ÒÔÙØ ÓÖ Ð x Ø Ö Ø Þ ÖÓ¹ ØÖ Ò Ó x = 0µ ÓÖ Ü ØÐÝ ÓÒ ÒØÖÝ Ò x ÓÒ Ó x = 1µ Ò Ø Ó Ð ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø º Ý ÝÑÑ ØÖÝ ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø ÖÓÚ Ö³ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÙ¹ Ö Ø ÓÑ ÑÔÖÓÚ Ò ÕÙ Ð Ø Û Ö Ñ Ð Ö ØÓ Õº ½½µ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ú Ò ØÓ Û Ø Ò Ò Ø Ú ÓÒ Ø Òغ Ë Ò ÙÖÖ ÒØ Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ó ÒÓØ ÔØÙÖ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ò ÓÖÑ ¹ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÙÖÖ ÒØÐÝ ÒÓÛ Û Ñ Ý ÑÔÐÝ ÙÑ Ø Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÐÖ Ý ÒÓÛ Ú ÖÝ Ø Ó Ø ÓÖ Ð Ò Ø Ø Ø ØÖ ØÓ ÔÖÓÚ Óº Ì ÑÓ¹ Ø Ú Ø ØÙ Ý Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô ØÛ Ò Ø Ø ÓÙÒ Ú Ð Ý Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ò Ø ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÖØ Ø ÓÖ Ò ÒÔÙØ x {0, 1} N Ù Ø C [N] Ó ÒÔÙØ Ø Ù Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÓØ Ö ÒÔÙØ y Ò Ø ÓÑ Ò Ó F Ø Ø Ñ Ý Ó Ø Ò ÖÓÑ x Ý ÔÔ Ò ÓÑ Ó Ø Ò¹ ÒÓØ Ò C Û Ú Ø Ø F(x) = F(y)º Ì ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ x (F) Ó ÒÔÙØ x Ø Þ Ó Ñ ÐÐ Ø ÖØ Ø ÓÖ xº Ì ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ (F) Ó ÙÒØ ÓÒ F Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÒÝ Ó Ø ÒÔÙØ º Ï Ð Ó Ò Ø z¹ ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ z (F) Û Ò Ø Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÓÒÐÝ ÓÚ Ö ÒÔÙØ Ø Ø Ñ Ô ØÓ zº Ì Ô ØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Ò Ò Ú Ö Ý Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ØØ Ö Ø Ò ÕÙ ÒØ ØÝ Ø Ø Ò ÜÔÖ Ò Ø ÖÑ Ó ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ä ÑÑ ½ µº Ä Ø F : S {0, 1} ÒÝ Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒº Ì Ô ØÖ Ð Ú Ö ÖÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú(F) Ø ÑÓ Ø min { 0 (F)N, 1 (F)N } º Á F ØÓØ Ð Ø Ñ Ø Ó Ð Ñ Ø Ý 0 (F) 1 (F)º Ì ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} m ع Ð ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø ÐÓ Ò Ø Ú ØÝ Ó Ø ÙÒØ ÓÒº Ò ÒÔÙØ x {0, 1} N Ò Ø Ú ØÓ ÐÓ B [N] F(x) F(x B ) Û Ö x B ¹ ÒÓØ Ø ÒÔÙØ Ó Ø Ò Ý ÔÔ Ò Ø Ø Ò x Û Ø Ò ÖÓÑ Bº Ì ÐÓ Ò Ø Ú ØÝ x (F) Ó ÒÔÙØ x Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÒÙÑ Ö Ó Ó ÒØ ÐÓ B 1, B 2,...,B k [N] ÓÒ Û x Ò Ø Ú º Ì ÐÓ Ò Ø Ú ØÝ (F) Ó F Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÐÓ Ò Ø Ú ØÝ Ó ÒÝ Ó Ø ÒÔÙØ º Ï Ð Ó Ò Ø

15 z¹ ÐÓ Ò Ø Ú ØÝ z (F) Û Ò Ø Ò Ø Ñ Ü ÑÙÑ ÓÒÐÝ ÓÚ Ö ÒÔÙØ Ø Ø Ñ Ô ØÓ zº ÓÖ ÒÝ ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} Ø ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ý (F) 0 (F) 1 (F) Ò Ø Ù Ó Ø Ô ØÖ Ð Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ú(F) (F) Ý Þ ÖÓ¹ÓÒ Ú ÐÙ Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ Ä Ø x {0, 1} N Ò ÒÔÙØ Ø Ø Ú Ø ÐÓ Ò Ø Ú ØÝ Ó F Ò Ð Ø B 1, B 2,...,B k [N] Ó ÒØ ÐÓ ÓÒ Û x Ò Ø Ú Û Ö k = (F)º Ë Ø Γ(F)[x, x B ] = 1 Ò ÓÒÐÝ x = x Ò B ÓÒ Ó Ø k ÐÓ B i Ò ÐÓ Γ ÙÒ Ö ØÖ Ò ÔÓ Ø ÓÒº Ì Ò λ(γ) = k Ò max i λ(γ i ) = 1 Ò Ø Ù (F) Ú(F) 0 (F) 1 (F). ½¾µ Ì Ô ØÖ Ð Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÒÓØ Ù Ø Ð ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø ØÓ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Ò º Á ÙÒØ ÓÒ F : S {0, 1} Ô ÖØ Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø S {0, 1} N Ù Ø Ø Ú ÖÝ Þ ÖÓ¹ ÒÔÙØ Ó À ÑÑ Ò Ø Ò Ø Ð Ø εn ÖÓÑ Ú ÖÝ ÓÒ ¹ ÒÔÙØ Ø Ò Ø Ô ØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ó ÒÓØ Ý Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ØØ Ö Ø Ò 1/εº Ä ÔÐ ÒØ Ò Å Ò Þ ÒØÖÓ Ù Ò ÐÓÛ Ö¹ ÓÙÒ Ñ Ø Ó ÓÒ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ì Ý ÓÛ Ý Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ñ Ø Ó Ø Ð Ø ØÖÓÒ Ó Ø ØÛÓ Ñ Ø Ó Ø Ô ØÖ Ð Ò Û Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó º âô Ð Ò ËÞ Ý Ø Ò ÓÛ Ò ½ Ø Ø Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó Ø Ð Ø ØÖÓÒ Ø ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ñ Ø Ó ÐÐÓÛ Ò Ù ØÓ ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Ø Ö Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ú Ð Òغ À Ú Ò Ù Ú Ö ØÝ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ñ Ø Ó ÓÛ Ø Ø Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ú ÖÝ Ú Ö Ø Ð Ò ÔØÙÖ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÙÒØ ÓÒ º ÁÒ Ä ÔÐ ÒØ Ä Ò ËÞ Ý ÓÛ Ø Ø Ø ÕÙ Ö Ó Ø Ú Ö¹ ÖÝ ÓÙÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÓÖÑÙÐ Þ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÐÓÛ Ö¹ ÓÙÒ Ñ Ø Ó ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ñ Ø Ó º Ì ÓÖ Ñ Å Ò Ñ Ü Ñ Ø Ó ½ µº Ä Ø F : S {0, 1} m Ô ÖØ Ð ÙÒØ ÓÒ Ò A ÓÙÒ ¹ ÖÖÓÖ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ F º Ä Ø p : S [N] R + 0 Ø Ó S ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ù Ø Ø p x(i) ÒÓØ Ø Ú Ö ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÕÙ ÖÝ Ò Ø i Ø ÒÔÙØ Ø ÓÒ ÒÔÙØ x Û Ö Ø Ú Ö Ø Ò ÓÚ Ö Ø Û ÓÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Aº Ì Ò Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Q A Ó Ð ÓÖ Ø Ñ A Ø 1 Q A M p = i:x i y px i (i) p y (i). max x,y:f(x) F(y) Ì ÔÖ Ú ÓÙ Ñ Ø Ó Ø Ý Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Ø Ø Û ÔÐÙ Ò ÓÑ Ñ ØÖ Ü ÓÖ Ö Ð Ø ÓÒ Û Ø Ú Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º Ì Ñ Ò Ñ Ü Ñ Ø Ó ÔÖ Ò Ô ÐÐÝ Ö Òغ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÑÔÙØ Ý Ø Ñ Ò Ñ Ü Ø ÓÖ Ñ ÓÐ ÓÖ ÓÒ

16 Ô ÖØ ÙÐ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ A Ò Ø Ñ Ý ÒÓØ ÓÐ ÓÖ ÓÑ ÓØ Ö Ò ØØ Ö Ð Ó¹ Ö Ø Ñº ÀÓÛ Ú Ö Û Ñ Ý Ó Ø Ò ÙÒ Ú Ö Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ø Ø ÓÐ ÓÖ Ú ÖÝ ÓÙÒ ÖÖÓÖ Ð ÓÖ Ø Ñ Ý ÑÔÐÝ Ø Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø ÓÙÒ M p ÓÚ Ö ÐÐ ÔÓ Ð Ø Ó ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ pº Ì Ô ØÖ Ð ÓÙÒ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ü ÓÙÒ Ö Ò ÔÖ Ñ Ð¹ Ù Ð Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ø Ø Ò Ó Ø Ò Ý ÒÝ Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ ÕÙ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø ÓÙÒ Ø Ø Ò Ó Ø Ò Ý Ø Ó ÔÖÓ Ð ØÝ ØÖ ÙØ ÓÒ p ½ º ÈÖ Ñ Ð Ñ Ø Ó Ö Ù ÓÖ Ó Ø Ò Ò ÓÒÖ Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò Ù Ð Ñ Ø Ó Ö Ù ÓÖ ÔÖÓÚ Ò Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø Ó Ò Ä ÑÑ º Ù ÙÐ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ø Ø Ø ÓÑÔÓ º ÓÒ Ö ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ H = F (G 1,...,G k ) Û Ö F : {0, 1} k {0, 1} Ò G i : {0, 1} N i {0, 1} ÓÖ i = 1,...,k Ö Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ º ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÙÒØ ÓÒ H Ò Ø ÖÑ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ó F Ò G 1,...,G k º ÖÒÙÑ Ò Ë ½ Ù ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ ØÓ ÔÖÓÚ ÕÙ ÖÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω( N) ÓÖ ÒÝ Ö ¹ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ñ Ò ÔÖÓÚ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø Ö Ø ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Ò Ä ÔÐ ÒØ Ä Ò ËÞ Ý ÔÖÓÚ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ G i ÓÖ Û Ø Ú Ö ÖÝ ÓÙÒ ÙÔÔ Ö ÓÙÒ Ý ÓÑÑÓÒ ÓÙÒ bº ÌÓ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ Û Ò Ø ÙÒØ ÓÒ G i Ñ Ý Ú Ö ÒØ Ú Ö ÖÝ ÓÙÒ Û Ö ÕÙ Ö Û Ø Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ô ØÖ Ð Ñ Ø Ó º Ä Ø F : {0, 1} N {0, 1} Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Ò α = (α 1,...,α N ) ØÖ Ò Ó ÔÓ Ø Ú Ö Ð º Ä Ø { } Ú α (F) = max min λ(γ) α i, Γ i λ(γ i ) Û Ö Γ Ö Ò ÓÚ Ö ÐÐ Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ ÓÖ F º Á Ø Û Ø Ö ÐÐ ½ Ø Ò ÓÙÖ Ò Û ÕÙ ÒØ ØÝ Ú α (F) Ó Ò Û Ø Ø Ô ØÖ Ð Ú Ö ÖÝ ÓÙÒ Ò Ø Ù ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó F º Á Ø Û Ø α Ö ÒÓÒ¹ÙÒ ÓÖÑ Ø Ò Ú α (F) Ò Û ØÖ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ñ ÙÖ Ø Ø Ò Ó Ø α i ØÓ ÕÙ ÖÝ Ò Ø i Ø ÒÔÙØ Øº Ï Ò Ø Ò ÔÖÓÚ ¾ Ø Ø Ø ÕÙ ÒØ ØÝ Ú α ÓÑÔÓ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò º Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ì ÓÖ Ñ ½ ¾ µº ÓÖ ÒÝ Óѹ ÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ H = F (G 1,..., G k ) Û Ö F : {0, 1} k {0, 1} Ò G i : {0, 1} N i {0, 1} Ö Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Ú α (H) = Ú β (F), Û Ö β i = Ú α i(g i ) Ò α = (α 1,...,α k ) k¹øùôð Ó ØÖ Ò α i R + N i º

17 Ò ØÙÖ Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÖÓÚ Ö³ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ó¹ ÐÐ k¹ ÓÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û Û Ö ÔÖÓÑ Ø Ø Ü ØÐÝ k ÒØÖ Ó Ø ÒÔÙØ ÓÖ Ð x Ö ÓÒ Ó x = kµ Ò Ø Ó Ð ØÓ Ò ÐÐ Ó Ø k Ò º Ï Ý Ò Ð ÓÖ Ø Ñ A Ù Ø ÓÙØÔÙØ Ù Ø S [N] Ó Þ k Ò S ÓÒØ Ò ÐÐ Ò i [N] ÓÖ Û x i = 1º Ì Ù Ý Ò Ø ÓÒ Ø Ð Ú Ò Ø ÓÙØÔÙØ ÐÐ ÙØ ÓÒ Ó Ø k Ò º Ì k¹ ÓÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÐÚ Ò O( kn) ÕÙ Ö ÒØ ÐÐÝ Ý ÕÙ ÒØ ÐÐÝ ÖÙÒÒ Ò ÖÓÚ Ö³ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ k Ø Ñ º ÃÐ Ù âô Ð Ò ÏÓÐ ÓÛ Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ö Ð Ø Ò ǫ kn ÓÖ ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ ǫ Ø Ò Ø Ù ÔÖÓ Ð ØÝ Ó A ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ Ñ ÐÐ Ò kº Ì Ý Ø Ù ÔÖÓÚ ØÖÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ Ø k¹ ÓÐ Ö ÔÖÓ Ð Ñº ÇÒ Ó Ø Ñ Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÔÖÓÓ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Û Û Ù Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº ÁÒ Ú ÖÝ Ö ÒØ ÛÓÖ Ñ Ò ÔÖÓÔÓ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ù Ø ØÓ Ö ÔÖÓÚ Ø ØÖÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÓÖ Ñ Ó º Ì ÓÙ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÖÝ Ö Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó ÒÓØ Ú ÙÐÐ Ù Ø ØÓ Ø Ñ Ø Ó Û ÓÔ Ø ÓÒÚ Ý ÓÑ Ó Ø ÒØÙ Ø ÓÒ ÓÒ Û º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÖÙÒ ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÒÔÙØ º ÙÖ Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø ÒÔÙØ Ö Ø Ö Ø ÒØ Ò Ð Û Ø Ø ÛÓÖ Ô Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ØÓ Ø ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð º Ï ØÖ ÓÙØ Ø ÛÓÖ Ô Ò Ü Ñ Ò Ø Ò Ô Ó Ø Ò ØÝ Ñ ØÖ Ü Ó Ø ÒÔÙØ Ö Ø Öº Ù ØÓ ÝÑÑ ØÖ Ø Ö Ö Ü ØÐÝ k + 1 Ò Ô Ò Ü Ý Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓÛ Ø Ø Ø Ø Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñº ÁÒ Ø ÒÒ Ò ÐÐ ÑÔÐ ØÙ Ò Ø 0 Ø Ò Ô º ÇÒ ÕÙ ÖÝ Ò ÓÒÐÝ ÑÓÚ Ð ØØÐ ÑÔÐ ¹ ØÙ ÖÓÑ Ø i Ø Ò Ô ØÓ Ø i + 1 Ø Ò Ô º Á Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÓ Ù ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÑÔÐ ØÙ Ó Ò Ô ÑÙ Ø Ò ÒØ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÙ Ø ÒÓÛ ÑÓ Ø Ó Ø k Ò Û ÑÔÐ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ì Ö Ö ÒØ ÐÐÝ ØÛÓ Ö ÒØ Ñ Ø Ó ÒÓÛÒ ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ º Ì ØÓÖ ÐÐÝ Ö Ø Ñ Ø Ó Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Û Ù ÓÚ º ÁØ Û ÒØÖÓ Ù Ò ½ Ý ÒÒ ØØ ÖÒ Ø Ò Ö Ö Ò Î Þ Ö Ò Ò ÔÙ Ð Ò ½ Ò Ø ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ Óѹ ÔÙØ Ò Ò Ô Ð Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒØ Ò ÓÑ Ó Ø ÑÓ Ø ÓÙØ Ø Ò Ò Ô Ô Ö ÓÒ ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ò º Ì ÓÒ Ñ Ø Ó Û ÒØÖÓ Ù ÓÖØÐÝ Ø Ö Ò ½ Ý Ð Ù ÖÑ Ò Ð Ú ÅÓ Ò ÏÓÐ Ò ÑÔÐ ØÐÝ Ù Ý ÓÖØÒÓÛ Ò ÊÓ Ö Ò ¾ º Ì Ö ÔÔÖÓ Ð Ö Ò ÓÐÐÓÛ ÖÐ Ö Ú ÖÝ Ù ÙÐ ÛÓÖ ÓÒ Ð Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖ Ò Ø Ò Ð³ ½ ÙÖÚ Ý ½½ Ò Ê Ò³ ½ ÙÖÚ Ý µº Ï Ö Ø ¹

18 Ø Ð Ø Ø ÒÝ Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F : S {0, 1} Û Ö S {0, 1} N Ò Ö ÔÖ ÒØ Ý Ö Ð¹Ú ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p : R N Rº Ò Ø ÓÒ º Ä Ø F : S {0, 1} Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Û Ö S {0, 1} N º Ò N¹Ú Ö Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p Ö ÔÖ ÒØ F p(x) = F(x) ÓÖ ÐÐ x S Ò Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø F p(x) F(x) 1 ÓÖ ÐÐ x Sº Ì Ö 3 Ó F ÒÓØ deg(f) Ø Ñ Ò Ñ Ð Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò F º Ì ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ó F ÒÓØ deg(f) Ø Ñ Ò Ñ Ð Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò F º Ì ÖÙÜ Ò Ò ÓÛ Ò Ø Ø ÒÝ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ A ÓÑÔÙØ Ò ÓÑ ÙÒØ ÓÒ F Ú Ö ØÓ ÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p A Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ ÓÖ ÔÔÖÓܹ Ñ Ø F º Ì ÓÖ Ñ ½¼ µº Ä Ø A ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÑÔÙØ Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F : S {0, 1} Û Ö S {0, 1} N Ù Ò Ø ÑÓ Ø T ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð O xº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò N¹Ú Ö Ø Ö Ð¹Ú ÐÙ ÑÙÐØ Ð Ò Ö ÔÓÐݹ ÒÓÑ Ð p A : R N R Ó Ö Ø ÑÓ Ø 2T Û ÕÙ Ð Ø ÔØ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Aº ÈÖÓÓ º ÁÒ Ø Ø ÓÖ Ñ Û Ù Ø ÓÖ Ð O x Û ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÓÖ ¹ Ð O x Ò Ø ÐÐÓÛ ÓÖ ÑÔÐ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÒ º Ï Ö Ø Ö ÛÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ó O x O x i, b; z = (1 x i ) i, b; z + x i i, b 1; z ½ µ Û Ö Û Ò x i = 0 ÓÖ i = 0 Ó Ø Ø Û Ò ÑÙÐ Ø ÒÓÒ¹ÕÙ ÖÝ Ý ÕÙ ÖÝ Ò x i Û Ø i = 0º ËÙÔÔÓ Û ÔÔÐÝ O x ÓÒ ÓÑ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ i,b,z α i,b,z i, b; z Û Ö ÑÔÐ ØÙ α i,b,z Ò N¹Ú Ö Ø ÓÑÔÐ Ü¹Ú ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò x Ó Ö Ø ÑÓ Ø jº Ì Ò Ý Õº ½ Ø Ö ÙÐØ Ò Ø Ø i,b,z β i,b,z i, b; z ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Û Ö ÑÔÐ ØÙ β i,b,z Ò N¹ Ú Ö Ø ÓÑÔÐ Ü¹Ú ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò x Ó Ö Ø ÑÓ Ø j +1º Ý ÔÖÓÓ Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø Ö T ÕÙ Ö ÑÔÐ ØÙ Ò ÜÔÖ ÓÑÔРܹ Ú ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò x Ó Ö Ø ÑÓ Ø T º Ì ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ò Ð Ñ ÙÖ Ñ ÒØ Ý Ð Ø ÓÙØÓÑ 1 ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ ÔØ Ò Ø ÒÔÙØ Ó Ø Ò Ý ÙÑÑ Ò ÓÑ Ó Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ó Ø ÑÔÐ ØÙ ÕÙ Ö º Ì ÕÙ Ö Ó ÒÝ Ó Ø ÓÐÙØ ÑÔÐ ØÙ Ò ÜÔÖ Ö Ð¹ Ú ÐÙ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p A Ò x Ó Ö Ø ÑÓ Ø 2T º Ì ÓÖ Ñ ½¼ ÓÐÐÓÛ º Ì ÓÚ Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø Ø ØÓ ÒÝ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ A ÓÑÔÙØ Ò ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F : S {0, 1} Û Ö S {0, 1} N Û Ò Ó Ø Ò N¹Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p A : R N R Ø Ø ÜÔÖ Ø ÔØ Ò ÔÖÓ Ð ØÝ Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ÒÝ Ú Ò ÒÔÙغ Á Ð ÓÖ Ø Ñ A Ü Ø º º A ÐÛ Ý ØÓÔ Ò ÓÙØÔÙØ Ø ÓÖÖ Ø Ò Û Ö Ø Ò p A (x) = F(x) ÓÖ ÐÐ x S Ò

19 Ø Ù p A Ö ÔÖ ÒØ F º Á A ÓÙÒ ÖÖÓÖ Ø Ò 0 p A (x) 1/3 F(x) = 0 Ò 2/3 p A (x) 1 F(x) = 1 Ò Ø Ù p A ÔÔÖÓÜ Ñ Ø F º Ì Ö Ó p A Ø ÑÓ Ø ØÛ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÕÙ Ö Ù Ý Ð ÓÖ Ø Ñ Aº ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Ø Ö Ó ÙÒØ ÓÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÙÔ ØÓ ØÓÖ Ó ØÛÓº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½½ ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó µº ÓÖ ÒÝ Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒ¹ Ø ÓÒ F : S {0, 1} Û Ö S {0, 1} N Û Ú Q E (F) deg(f)/2 Ò Q 2 (F) deg(f)/2º ÔÔÐÝ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ì ÐÐ Ò Ò ÔÔÐÝ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ð Ò Ø Ñ Ò ÓÒ Ð ØÝ Ó Ø ÒÔÙغ ÌÝÔ ÐÐÝ Ø Ñ Ø Ó ÔÔÐ Ý Ö Ø ÒØ Ý Ò ÙÒ Ú Ö Ø ÓÖ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø ÔØÙÖ ÒØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ò ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº Ì ÓÒ Ô ÖØ ØÝÔ ÐÐÝ Ö ÓÒ ÐÝ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú Ò ØÙ ÓÖ ÒØÙÖ Ò ÑÙ ÒÓÛÒ ÓÙØ Ø Ö Ö º Ì ÔÓ ÐÝ ÑÔÐ Ø ÒÓÒØÖ Ú Ð Ü ÑÔÐ Û Ò F Ø Ø Ö ÓÐ ÙÒØ ÓÒ Ì Ö t Ò Ý Ì Ö t (x) = 1 Ò ÓÒÐÝ x tº ÁØ Ý ØÓ Ø Ø deg(ì Ö t ) = Θ(N) ÓÖ ÐÐ ÒÓÒØÖ Ú Ð Ø Ö ÓÐ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ù Q E (Ì Ö t ) = Ω(N)º È ØÙÖ ÓÛ Ø Ø deg(ì Ö t ) = Θ ( (t + 1)(N t + 1) ) Ò Û Ø Ù Ö ÐÝ Ø Ø Ø Q 2 (Ì Ö t ) = Ω ( (t + 1)(N t + 1) ) Û Ø Ø Ý ÕÙ ÒØÙÑ ÓÙÒØ Ò ½ º Ì Ö Ö ÙÑ ÒØ ÜØ Ò ØÓ ÒÝ ÝÑÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ F Ý ÛÖ Ø Ò F ÙÑ Ó Ø Ö ÓÐ ÙÒØ ÓÒ º Ì Ñ Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÝÑÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ò Ð Ó Ó Ø Ò Ý Ø ÙÒÛ Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ø Ô Ö Ö Ô Ø Ö Ì ÓÖ Ñ µº ÓÖ Ò Ö Ð ÒÓÒ¹ ÝÑÑ ØÖ ÙÒØ ÓÒ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó ÓÛ Ú Ö Ò ÒØÐÝ Ö Ö ØÓ ÔÔÐݺ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö ÐÓ ØÓ Ò Ýѹ Ñ ØÖ Û Ò ÓÑ Ø Ñ Ù Ò ÓÒ ØÖÙØ Ò ÙÒ Ú Ö Ø ÓÖ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø Ý Ð ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º Ì Ö Ø Ò Ò ÓÙÖ Ú Û ÑÓ Ø ÑÔÓÖØ ÒØ Ù Ö ÙÐØ Û Ó Ø Ò Ý ÖÓÒ ÓÒ Ò ½ Ò Û ÔÖÓÚ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω(N 1/5 ) ÓÒ ÒÝ ÓÙÒ ¹ ÖÖÓÖ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÒ¹ ÓÓÐ Ò ÔÖÓÑ ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÓÖ Ð Ò N¹ØÙÔÐ Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ØÛ Ò ½ Ò M Û Û Ø Ò Ó ÙÒØ ÓÒ X : [N] [M]º Ï ÑÓ Ð Ø ÓÖ Ð O X Ó Ø Ø ÕÙ ÖÝ ØÓ Ø i Ø ÒØÖÝ Ó Ø ÓÖ Ð Ö ØÙÖÒ Ø ÒØ Ö X(i)º ËÔ ÐÐÝ O X Ø ÒÔÙØ i, r; z Ò ÓÙØÔÙØ i, r X(i); z Û Ö 0 r < 2 m ÓÖ m = log 2 (M +1) Ò r X(i) ÒÓØ ØÛ Ø ÓÒ ÑÓ ÙÐÓ ¾º Ï Ö ÔÖÓÑ Ø Ø Ø Ö

20 X ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ X ØÛÓ¹ØÓ¹ÓÒ Ò Ø Ó Ð ØÓ Ø ÖÑ Ò Û Ø º Ì Ö ÙÐØ Ó ÖÓÒ ÓÒ Û ÓÖØÐÝ Ø Ö ÑÔÖÓÚ Ý Ë ØÓ Ω(N 1/4 ) ÓÖ Ò Ö Ð ÙÒØ ÓÒ X : [N] [M] Ò ØÓ Ω(N 1/3 ) Ò Ø Ø Ö Ò Ð Ö Ö Ø Ò Ø ÓÑ Ò Ý ÓÒ Ø ÒØ ØÓÖ M 3 Nº Ì ÐÓÛ Ö ÓÙÒ 2 Ó ÖÓÒ ÓÒ Ò Ë ÔÔ Ö Ó ÒØ ÖØ Ð º Ò ÐÐÝ ÃÙØ Ò Ò Ñ Ò Ò Ô Ò ÒØÐÝ ÓÙÒ Ö Ñ ÓÖ Ø Ø Ò Ð Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ò Ë ³ ÔÖÓÓ Ý Ð Ò Ò Ω(N 1/3 ) ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÐÐ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø Ý Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ù ÖÓÚ Ö Ö ÓÒ Ù Ø Ý Ö Ö À Ý Ö Ò Ì ÔÔ ½ º Ì Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÒØ Ò ÒÝ ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ð Ö À ÑÑ Ò Ø Ò ØÓ ÒÝ ØÛÓ¹ØÓ¹ÓÒ ÙÒØ ÓÒº ÃÓ Ö Ò Æ Ñ Ò ÈÓÖØ Ö Ù Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó ØÓ ÔÖÓÚ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ω(log N) ÓÖ Ë ÑÓÒ³ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ½¾ º Ë ÑÓÒ³ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÖØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Ú Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ð Ø ØÓ Ò Ø Ð Ò ÖÓÙÔ º Ð Ó ÓÖ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ø Ø Ò Ó Ø Ò Ù Ò Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Òغ ÁÒ ÓÒØÖ Ø ÓÖ ÒÝ ØÓØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} Ø Ú Ö ÖÝ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ö ÓØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ Ö Ð Ø ØÓ ÐÓ Ò Ø Ú ØÝ (F)/6 deg(f) deg(f) 3 (F) ½ µ (F) Ú(F) 2 (F). ½ µ ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ½ Ø Ø deg(f) 3 (F) Ò ÖÓÑ Æ Ò Ò ËÞ Ý ½ Ø Ø 6 deg(f) 2 (F)º Ù ÖÑ Ò Ò ÏÓÐ ½ ÔÖÓÚ Ò Ü ÐÐ ÒØ ÙÖÚ Ý Ó Ø Ò ÓØ Ö ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ñ ÙÖ Ó ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ º Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÒÓÛÒ ØÓ Ò Ö ÓÖ ØÓ Ø Û Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÑ ØÓØ Ð ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ º ÁÒ Ñ Ò Ú ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} 4 {0, 1} ÓÒ ÓÙÖ Ø Û Ò Ö Ø ÓÙÖ ÒÔÙØ Ø Ö ÓÖØ ÓÖ Û deg(f) = 2 Ò ÓÖ Û Ø Ö Ü Ø Ò Ú Ö ÖÝ Ñ ØÖ Ü Γ F Ø Ý Ò Ø Ø λ(γ F )/ max i λ(γ F i ) = 2.5º Ï ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø Ð Ò Ó Ø Ò ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F 2 = F (F, F, F, F) : {0, 1} 16 {0, 1} Ò ÓÒ ½ Ø ÓÖ Û deg(f 2 ) = 4 Ò ÓÖ Û λ(γ F 2 )/ max i λ(γ F 2 i ) = Ý Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñº ÁØ Ö Ø Ò n Ø Ñ Ý Ð ÙÒØ ÓÒ F ÓÒ N = 4 n Ø Ó Ö deg(f) = 2 n Û Ø Ô ØÖ Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ 2.5 n = deg(f) Ý Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ñº Ì Ø Ù ÓÒ ØÖÙØ ÙÒØ ÓÒ F Ò Ü ÑÔÐ Ó Ò Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Ó ÐÓÛ Ö Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÁØ Ø ÙÖÖ ÒØÐÝ Ø ÒÓÛÒ Ô ØÛ Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ò Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÓÖ ØÓØ Ð

21 ÙÒØ ÓÒº ÒÓØ Ö Ø Ö Ø ØÓØ Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Û Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ý Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ØØ Ö Ø Ò Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ Ö Ý ÐÐ Ø Ö ÒÔÙØ Ø Ö ÕÙ Ð º Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ú ÖÝ Ù Ø Ð Û Ò ÓÒ Ö Ò ÕÙ ÒØÙÑ Ð¹ ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ò ÙÒØ ÓÒ Û Ø ÖÖÓÖ ǫ Ø Ø Ù ¹ÓÒ Ø ÒØ Û Ö Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÒÓØ ÓÖÑÙÐ Ø Ó ØÓ ÔØÙÖ Ù Ò ¹ Ö Ò Ò ÐÝ º Ù ÖÑ Ò Ð Ú ÏÓÐ Ò Ð ½¼ ÓÛ Ø Ø ÒÝ ÕÙ Ò¹ ØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÖÓÚ Ö³ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ù Ò Ò Ò Ò Ò Ü i ÓÖ Û x i = 1 Û Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ð Ø 1 ǫ ÔÖÓÚ ÓÒ Ü Ø Ö ÕÙ Ö Ω( N log(1/ǫ)) ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð º ÔÓ ÐÝ ÑÓÖ Ñ Ð Ö Ü ÑÔÐ Ø Ø ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ø Ô Ö ØÝ ÙÒØ ÓÒ Û Ø ÒÝ ÔÓ Ø Ú ǫ > 0 ÓÔÔÓ ØÓ 1 Û Ö 1 = 2 1 µ Ö N Ò ÒÝ Ù ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ú Ö ØÓ ÙÒ Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó ÒÓ Ð Ö Ö Ö Û Ø N ÖÓÓØ º À Ò ÒÝ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ô Ö ØÝ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ö ØÖ ÖÝ Ñ ÐÐ ǫ > 0 Ö ÕÙ Ö N/2 ÕÙ Ö ØÓ Ø ÓÖ Ð Û Ø Øº Ù ÙÐ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø Ø Ý ÓÑÔÓ º Á p ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò ÙÒØ ÓÒ F Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð q 1, q 2,..., q k Ö Ô¹ Ö ÒØ ÙÒØ ÓÒ G 1,...,G k Ø Ò p (q 1,...,q k ) Ö ÔÖ ÒØ F (G 1,...,G k ) Û Ò Û Ðй Ò º Ì ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÒÓØ ÓÐ ÓÖ ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ù ¹ÔÓÐÝÒÓÑ Ð q i Ø Ø Ú ÐÙ 0.8 Ý Ø Ò Û ÒÒÓØ Ý ÑÙ ÓÙØ Ø Ú ÐÙ p(0.8,..., 0.8) Ò Ø Ú ÐÙ Ó p ÓÒ ÒÓÒ¹ ÒØ Ö Ð ÒÔÙØ ÒÓØ Ö ØÖ Ø Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ò Ò ÔÔÖÓÜ ¹ Ñ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ÌÓ Ú ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØ Û Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò Ò Ø Ú ØÓ Ñ ÐÐ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÒÔÙØ Ø º Ù ÖÑ Ò Æ ÛÑ Ò Ê Ö Ò ÏÓÐ Ú Ò ½ Ò Ø ÓÒ Ó Ù ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ò Ö Ö ØÓ Ø Ñ Ò ÖÓ Ù Øº Ò Ø ÓÒ ½¾ ÊÓ Ù Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ½ µº Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø N¹Ú Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð p ÖÓ Ù Ø ÓÒ S {0, 1} N p(y) p(x) 1 ÓÖ Ú ÖÝ x S 3 Ò y R M Ù Ø Ø y i x i 1 ÓÖ Ú ÖÝ i = 1,..., Mº Ì ÖÓ Ù Ø Ö 3 Ó ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ F : S {0, 1} ÒÓØ rdeg(f) Ø Ñ Ò Ñ Ð Ö Ó ÖÓ Ù Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò F º ÊÓ Ù Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÑÔÓ Ý Ò Ø ÓÒº Ù ÖÑ Ò Ø Ðº ½ ÓÛ Ø Ø Ø ÖÓ Ù Ø Ö Ó ÒÝ ØÓØ Ð ÙÒØ ÓÒ F : {0, 1} N {0, 1} O(N) Ý Ú Ò Ð Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ù ÕÙ ÒØÙÑ Ù ÖÓÙØ Ò ÓÖ ÖÓÚ Ö³ ÔÖÓ ¹ Ð Ñ ¾ Û ØÓÐ Ö ÒØ ØÓ ÖÖÓÖ Ù ØÓ À Ý Ö ÅÓ Ò ÏÓÐ ¾ º Ù ÖÑ Ò Ø Ðº ½ Ð Ó ÓÛ Ø Ø rdeg(f) O( deg(f) log deg(f)) Ý Ú¹ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÓÖ ØÙÖÒ Ò ÒÝ ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÒØÓ ÖÓ Ù Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø Ó Ø Ó Ø ÑÓ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ØÓÖ Ò Ø Ö Ó F º Ì ÑÔÐ Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ H = F (G,...,G) Û Ú deg(h) O( deg(f) deg(g) log deg(f))º ÁØ ÒÓØ ÒÓÛÒ Û Ø Ö Ø

22 Ø Øº Æ Ø Ö Ø ÒÓÛÒ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ó H Ò Ò ¹ ÒØÐÝ Ñ ÐÐ Ö Ø Ò Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ó F Ò Gº Ì ÓÒÐÝ ÒÓÛÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ó H Ø ØÖ Ú Ð ÓÙÒ Ω( deg(f) + deg(g))º Ò Ò ¹ÓÖ ØÖ Ó ÔØ ØÛÓ ÓÑÔÓ ÙÒØ ÓÒ F (G,..., G) Ò Û Ø ÓÙØ Ö ÙÒØ ÓÒ F Ø ÐÓ Ð Æ Ó N Ø Ò Ø ÒÒ Ö ÙÒØ ÓÒ G Ø ÐÓ Ð ÇÊ Ó N Ø º Ý Ø ÙÒÛ Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò ¹ÓÖ ØÖ Ó ÔØ ØÛÓ Ö ÕÙ Ö Ω( N) ÕÙ Ö º À Ý Ö ÅÓ Ò ÏÓÐ ¾ Ú ÓÙÒ ¹ ÖÖÓÖ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø Ù O( N) ÕÙ Ö Û Ø Ù Ø Øº Ì Ü Ø Ò Ó Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÑÔÐ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖ Ò ¹ÓÖ ØÖ Ó ÔØ ØÛÓ Ó Ö O( N)º ÆÓ ÓØ Ö Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖ Ò ¹ÓÖ ØÖ Ó ÔØ ØÛÓ Ó Ö O( N) ÙÖÖ ÒØÐÝ ÒÓÛÒº Ì Ø ÒÓÛÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ö Ó Ò ¹ÓÖ ØÖ Ó ÔØ ØÛÓ Ω(N 1/3 ) ÙÔ ØÓ ÐÓ Ö Ø Ñ ØÓÖ Ò N Ý ÓÐ ÐÓÖ Ö ÙØ ÓÒ ÖÓÑ Ø Ð Ñ ÒØ Ø ÒØÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ N ÒØ Ö º ÓÒÐÙ Ò Ö Ñ Ö Ï Ú Ò ÓÙ Ò ÓÒ ØÛÓ Ñ Ø Ó ÓÖ ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ ÕÙ Ò¹ ØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó º Ú Ö ÖÝ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ý ØÓ ÓÑÔÙØ ÙØ Ö Ð Ñ Ø Ý Ø ÖØ Ø ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÃÒÓÛÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ö ÓÒ ØÖÙØ Ý ÒØ Ý¹ Ò Ö ÒÔÙØ Ô Ö Ò Ò Û Ø ÓÖ Ò ÐÝ Ò ÓÑÔÙØ Ò Ø Ö Ø Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó ÓÑ Ñ ØÖ ÓÖ ÔÔÐÝ Ò Ø Û Ø Ñ Ø Ó º ÈÓÐÝÒÓ¹ Ñ Ð ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ñ Ý Ý Ð ØÖÓÒ Ö ÓÙÒ ÙØ Ö Ö ØÓ ÔÖÓÚ º ÃÒÓÛÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ý Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ö ÓÒ ØÖÙØ Ý ÒØ Ý Ò Ýѹ Ñ ØÖ Û Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ù Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÔÙØ Ú Ö Ð ØÓ ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ò ÔÖÓÚ Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø Ö Ó Ø Ö Ù ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ÖÒÙÑ Ë Ò ËÞ Ý Ú Ò ½ Ø Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ñ Ø Ó Ø Ø Ü ØÐÝ Ö Ø Ö Þ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÙØ Ø ØÖ Ò Ø ØÙÖÒ ÓÙØ Ð Ó ØÓ Ø Û Ò Ø Ú ÖÝ Ö ØÓ ÔÔÐÝ Ò Ú ÖÝ ÒÓÛÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó Ø Ò Ý Ø Ñ Ø Ó Ò Ð Ó ÓÛÒ Ý ÓÒ Ó Ø ÓØ Ö ØÛÓ Ñ Ø Ó º ÁÒ Ú ÖÝ Ö ÒØ ÛÓÖ Ñ Ò ÜØ Ò Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ù Ø ØÓ Ö ÔÖÓÚ ØÖÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÓÖ Ñ Ý ÃÐ Ù âô Ð Ò ÏÓÐ Ó Ø Ò Ý Ø Ò ÕÙ Ø Ø ÒÐÙ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó º ÃÐ Ù Ø Ðº ÓÛ Ø Ø Ø Ö ØÖÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÓÖ Ñ ÑÔÐ ÓÓ ÕÙ ÒØÙÑ Ø Ñ ¹ Ô ØÖ Ó ÒÐÙ Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó T 2 S = Ω(N 3 ) ÓÖ ÓÖØ Ò º Ò ÒØ Ó Ý Ó ÛÓÖ Ú Ò ÓÒ ÙØ ÓÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÔÖ Ñ Ö ÐÝ Ù Ò Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð

23 Ñ Ø Ó º Ï Ö Ö ØÓ ÏÓÐ ³ Ü ÐÐ ÒØ ÙÖÚ Ý ÔÓ Ð Ø ÖØ Ò ÔÓ Òغ Ì Ö Ö Ò Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Û Ó ÒÓØ ÙÖÖ ÒØÐÝ ÒÓÛ Ø Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÙÒ º ÇÒ ÑÔÓÖØ ÒØ Ü ÑÔÐ Ò ÖÝ Ò ¹ÓÖ ØÖ Ó ÐÓ Ö Ø Ñ ÔØ º Ò ÖÝ Ò ¹ÓÖ ØÖ ÓÒ N = 4 n Ú Ö Ð Ó Ø Ò Ý Ø Ö Ø Ò Ø ÙÒØ ÓÒ F(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 x 2 ) (x 3 x 4 ) Ò ØÓ¹ Ø Ð n Ø Ñ º Ì Ð Ð ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Θ(N ) ¾ º ÆÓ ØØ Ö ÓÙÒ ¹ ÖÖÓÖ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÓÛÒº Ì Ø ÒÓÛÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ω( N) Ý Ñ Ò Ø Ô Ö ØÝ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ N Ø Ò ÒÓØ Ò Ø Ø Ø Ô Ö ØÝ ÙÒØ ÓÒ Ð Ò Ö ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Û Ò ÓÛÒ Ý Ø Ö Ñ Ø Ó º Å Ò Þ Ë ÒØ Ò ËÞ Ý Ú Ò ¼ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ¹ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ô ÓÒ N Ú ÖØ ÓÒØ Ò ØÖ Ò Ð Û Ù O(N 1.3 ) ÕÙ Ö ØÓ Ø ÒÝ Ñ ØÖ Üº Ì Ø ÒÓÛÒ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ω(N) Ý Ø ÙÒÛ Ø Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò Ò ÓÒ ØÙÖ ÒÓØ ØÓ Ø Ø º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó ØÖ Ò Ð ¹ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ö Ô ÔÖÓÔ ÖØÝ Û Ø Ó Ö Ô ÐÓ ÙÒ Ö ÓÑÓÖÔ Ñº ËÙÒ Ó Ò Ò ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÒÓÒ¹ØÖ Ú Ð Ö Ô ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ Óѹ ÔÐ Ü ØÝ O( N) ÙÔ ØÓ ÐÓ Ö Ø Ñ ØÓÖ Ò Nº Ö Ò ÙÖÚ Ý ÓÒ ÔÖ Ú Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ØÖ Ú Ð ÔÙ Ð Ò Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÐÙÑÒ Ò Ø ÙÐÐ Ø Ò ¾ ÛÖ Ø Ð ÒØ Ö Ø Ò Ø Ò Û Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒÒ Ø ØÓ ÓØ Ö Ð Ø Ø Ö ÒØ Ö Ø Ò ÓÖ Ù Ø Ò ÕÙ Ó ÒØ Ö Øº ÁØ ÓÙÖ ÓÔ Ø Ø Ø Ö Ö Û ÐÐ Ò Ø Ø Ø Ù ÙÖÚ Ý Ö Ó ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÙÐ ÐÐ Ó Ø Ó Ø Ö Ö Ø Ö º ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ï Ø Ò Å Ð ÃÓÙ Ò ÃÓÐ Î Ö Ò ÓÖ Ù ÓÒ ÓÒ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ô ØÖ Ð Ú Ö ÖÝ ÓÙÒ º Ê Ö Ò ½ ˺ ÖÓÒ ÓÒº ÉÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÈÖÓ¹ Ò Ó Ø Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ¾ ¾¼¼¾º ¾ ˺ ÖÓÒ ÓÒº ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ ÐÓ Ð Ö Ý ÕÙ ÒØÙÑ Ö ÙÑ ÒØ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ¾¼¼ º

24 º Ñ Ò º ÉÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ý ÕÙ ÒØÙÑ Ö ÙÑ ÒØ º ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ë Ò ¼ ¾¼¼¾º º Ñ Ò º ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ú º ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ø Á ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ¾ ¼ ¾ ¾¼¼ º º Ñ Ò º Ò Û ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ñ Ø Ó Û Ø Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ØÖÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÓÖ Ñ ÓÖ ÕÙ ÒØÙÑ Ö º ÕÙ ÒعԻ¼ ¼ ¾¼¼ ¾¼¼ º º Ñ Ò º ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ö Ò ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ò ÕÙ ÒØÙÑ Óѹ ÔÐ Ü ØÝ ÓÐÐ ÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ Ø ÒØÒ Û Ø Ñ ÐÐ Ö Ò º Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò ½ ¾¼¼ º ˺ ÖÓÒ ÓÒ Ò º Ë º ÉÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ò Ø Ð Ñ ÒØ Ø ÒØÒ ÔÖÓ Ð Ñ º ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å ½ µ ¼ ¾¼¼ º Àº ÒÒ ØØ º ÖÒ Ø Ò º Ö Ö Ò Íº Î Þ Ö Ò º ËØÖ Ò Ø Ò Û Ò Ó ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ò º ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ ÓÑÔÙØ Ò ¾ µ ½ ½¼ ½ ¾ ½ º ʺ Ð Àº Ù ÖÑ Ò Êº Ð Ú Åº ÅÓ Ò Êº ÏÓÐ º ÉÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ý ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å µ ¾¼¼½º ½¼ Àº Ù ÖÑ Ò Êº Ð Ú Êº ÏÓÐ Ò º Ð º ÓÙÒ ÓÖ Ñ Ðй ÖÖÓÖ Ò Þ ÖÓ¹ ÖÖÓÖ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø ¼Ø Á ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ½ º ½½ ʺ к Ì ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ñ Ø Ó Ò ÖÙ Ø ÓÑÔÐ Ü Øݺ ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ø ÒÒÙ Ð ËØÖÙØÙÖ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ì ÓÖÝ ÓÒ Ö Ò Á ÓÑÔÙØ Ö ËÓ ØÝ ÈÖ º Ô ¾ ½ º ½¾ ÐÐ Ö Ö Ò È Ø Ö À Ý Öº Ò Ü Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð¹Ø Ñ Ð¹ ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ë ÑÓÒ³ ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø Á Ö Ð ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò ËÝ Ø Ñ Ô ½¾ ¾ ½ º ½ º Ö Ö Èº À Ý Ö Ò º Ì ÔÔº ÉÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ÓÐÐ ¹ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ËÁ Ì Æ Û ¾ ½ ½ ½ º ½ º Ö Ö Èº À Ý Ö Åº ÅÓ Ò º Ì ÔÔº ÉÙ ÒØÙÑ ÑÔÐ ØÙ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ø ÓÒº ÁÒ ÉÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÉÙ ÒØÙÑ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Å ÐÐ ÒÒ ÙÑ ÎÓÐÙÑ ÅË ÓÒØ ÑÔÓÖ ÖÝ Å Ø Ñ Ø Ë Ö ÎÓÐÙÑ ¼ ¾¼¼¾º ½ Àº Ù ÖÑ Ò Áº Æ ÛÑ Ò Àº Ê Ö Ò Êº ÏÓÐ º ÊÓ Ù Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ¾¾Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ËÝѹ ÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖ Ø Ð Ô Ø Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¼ ¼ ¾¼¼ º

25 ½ Àº ÖÒÙÑ Ò Åº Ë º ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔРܹ ØÝ Ó Ö ¹ÓÒ ÙÒØ ÓÒ º ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ë Ò ¾µ ¾ ¾ ¾¼¼ º ½ Àº ÖÒÙÑ Åº Ë Ò Åº ËÞ Ýº ÉÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò Ñ ¹ Ò Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø ½ Ø Á ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô ½ ½ ¾¼¼ º ½ º Àº ÒÒ ØØ Ò Ëº º Ï Ò Öº ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ú ÓÒ ¹ Ò ØÛÓ¹ Ô ÖØ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÒ Ò Ø Ò¹ÈÓ ÓРݹÊÓ Ò Ø Ø º È Ý Ð Ê Ú Û Ä ØØ Ö ¾¼µ ¾ ½ ¾ ½ ¾º ½ Àº Ù ÖÑ Ò Ò Êº ÏÓÐ º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ñ ÙÖ Ò ÓÒ ØÖ ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÙÖÚ Ýº Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¾ ½µ ¾½ ¾¼¼¾º ¾¼ ʺ Ð Ú Ïº Ú Ò Ñ Åº Æ Ð Ò Ò º Ì ÔÔº ÉÙ ÒØÙÑ ÒØ Ò Ð ¹ Ñ ÒØ Ò Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÒÒ Ö ÔÖÓ ÙØ ÙÒØ ÓÒº ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø ½ Ø Æ Ë É É ÓÒ Ö Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ ¼ Ô ½ ½ º ¾½ º ÖÖ Åº À Ð Ñ Ò Èº À Ý Ö Ò Åº Å ÐÐ º ÉÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÓÑ Ö Ô ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ½ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ä Ò Ù Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ ¾ Ô ½ ¾¼¼ º ¾¾ º ÙØ Ò Êº ÂÓÞ º Ê Ô ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ý ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ÈÖÓ Ò Ó Ø ÊÓÝ Ð ËÓ ØÝ ÄÓÒ ÓÒ ½ ¾º ¾ ź ØØ Ò Ö Ò Èº À Ý Ö Ò º ÃÒ Ðк Ì ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø Ò Ù ÖÓÙÔ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ðº ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ò Ä ØØ Ö ½ ½µ ¹ ¾¼¼ º ¾ º Ö Âº ÓÐ ØÓÒ Ëº ÙØÑ ÒÒ Ò Åº Ë Ô Öº ÁÒÚ Ö ÒØ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò ÖØ ÓÒ ÒØÓ Ò ÓÖ Ö Ð Øº ÕÙ ÒعԻ ¼½¼ ½ º ¾ ĺ ÓÖØÒÓÛ Ò Âº º ÊÓ Ö º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ ÓÒ ÕÙ ÒØÙÑ Óѹ ÔÙØ Ø ÓÒº ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ËÝ Ø Ñ Ë Ò ¾µ ¾ ¼ ¾ ¾ ½ º ¾ Ϻ Ö º ÙÖÚ Ý ÓÒ ÔÖ Ú Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö ØÖ Ú Ðº Ì ÓÑÔÙ¹ Ø Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÐÙÑÒ Ò Ø ÙÐÐ Ø Ò Ó Ø Ì Ë ¾ ¾ ½¼ ¾¼¼ º ¾ ĺ ú ÖÓÚ Öº Ø ÕÙ ÒØÙÑ Ñ Ò Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ö º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ¾ Ø Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ¾½¾ ¾½ ½ º ¾ º ÖÓ º Ì ÙØÙÖ Ó È Ý º ÊÆ ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ Â ÒÙ ÖÝ ¾ ¾¼¼ º ÊÆ ËÛ ØÞ ÖÐ Ò º

26 ¾ Ⱥ À Ý Ö Åº ÅÓ Ò Êº ÏÓÐ º ÉÙ ÒØÙÑ Ö ÓÒ ÓÙÒ ¹ ÖÖÓÖ ÒÔÙØ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ¼Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ä Ò Ù Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¾ ½ Ô ¾ ½ ¾ ¾¼¼ º ¼ Ⱥ À Ý Ö Âº Æ Ö Ò º Ë º ÉÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÐ Ü Ø Ó ÓÖ Ö Ö Ò ÓÖØ Ò Ò Ð Ñ ÒØ Ø ÒØÒ º Ð ÓÖ Ø Ñ µ ¾ ¾¼¼¾º ½ º ˺ ÀÓÐ ÚÓº ÓÙÒ ÓÖ Ø ÕÙ ÒØ ØÝ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ñ ØØ Ý ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÒÒ Ðº ÈÖÓ Ð ÑÝ È Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø µ ½½ ½ º Ò Ð ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÌÖ Ò ¹ Ñ ÓÒ ½ ½ ½ º ¾ Ⱥ À Ý Ö Ò Êº âô Ð º Ì Ø Ú Ö ÖÝ ÓÙÒ ÓÖ ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ º ÕÙ ÒعԻ¼ ¼ ¼ ¾¼¼ º ź º Â Ó º º Ä Ò Ð Ò º ÖÓÓ º Ò ÑÔÖÓÚ ÕÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ö Ò Ò ÓÖ Ö Ð Øº Å ÒÙ Ö ÔØ ¾¼¼ º Ⱥ ÃÓ Ö Ò Îº Æ Ñ Ò Æº ÈÓÖØ Öº ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ë ÑÓÒ³ ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ¾Ò ÁÒØ ÖÒ ¹ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ä Ò Ù Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¼ Ô ½¾ ½¾ ¾¼¼ º Àº ÃР٠ʺ âô Ð Ò Êº ÏÓÐ º ÉÙ ÒØÙÑ Ò Ð Ð ØÖÓÒ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ø Ñ ¹ Ô ØÖ Ó º ÁÒ ÈÖÓ ¹ Ò Ó Ø Ø Á ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ½¾ ¾½ ¾¼¼ º ˺ ÃÙØ Òº ÉÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ñ ÐÐ Ö Ò º Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò ½ ¾ ¾¼¼ º ˺ Ä ÔÐ ÒØ Ìº Ä Ò Åº ËÞ Ýº Ì ÕÙ ÒØÙÑ Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ò ÓÖÑÙÐ Þ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ¾¼Ø Á ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ¾¼¼ º ˺ Ä ÔÐ ÒØ Ò º Å Ò Þº ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Þ Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ù Ò ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ Ö ÙÑ ÒØ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ½ Ø Á ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô ¾ ¼ ¾¼¼ º ʺ Å Ø º Ì Ô ØÖ Ð ÒÓÖÑ Ó ÒÓÒÒ Ø Ú Ñ ØÖ Üº Ä Ò Ö Ð Ö Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ½ ¾ ¾ ½ ¼º ¼ º Å Ò Þ Åº Ë ÒØ Ò Åº ËÞ Ýº ÉÙ ÒØÙÑ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø ØÖ Ò Ð ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ½ Ø Å¹ËÁ Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ô ½½¼ ½½½ ¾¼¼ º ½ ƺ Æ Ò Ò Åº ËÞ Ýº ÇÒ Ø Ö Ó ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ Ö Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ¾ Ø Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ¾ ½ ¾º

27 ¾ º Æ Ý Ò º ÏÙº Ì ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ò Ø Ñ Ò Ò Ö Ð Ø Ø Ø Ø º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ½ Ø Å ËÝÑÔÓ¹ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ½ º ʺ È ØÙÖ º ÇÒ Ø Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÝÑÑ ØÖ ÓÓÐ Ò ÙÒØ ÓÒ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ Ú Ö ÓÒµº ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø ¾ Ø Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ½ ¾º ú Ê Òº ÈÓÐÝÒÓÑ Ð Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ò Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ù º ÁÒ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ì ÓÖÝ Ê ØÖÓ Ô Ø Ú ÁÁ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ Ô ¾ ½ ¾ ½ º ź Ë ÒØ º ÇÒ Ø ÅÓÒØ ÖÐÓ ÓÒ ØÖ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ö ¹ÓÒ ÓÖÑÙÐ º Ê Ò ÓÑ ËØÖÙØÙÖ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ½µ ½ º º Ë º Ï Ø Ö Ø Ð Ñ Ø Ó ÓÒÚ ÒØ ÓÒ Ð ÓÑÔÙØ Ò ¼ ½µ ½ ÂÙÐÝ ¾¼¼ º Ë Ò º Ë º ÉÙ ÒØÙÑ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÖ Ø ÓÐÐ ÓÒ Ò Ø Ð Ñ ÒØ ¹ Ø ÒØÒ ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ö ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ø ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÔÔº ½ ¹ ½ ¾¼¼¾º º ʺ Ë ÑÓÒº ÇÒ Ø ÔÓÛ Ö Ó ÕÙ ÒØÙÑ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº ËÁ Å ÂÓÙÖÒ Ð ÓÒ ÓÑÔÙØ Ò ¾ µ ½ ½ ½ º ź ËÒ Öº ÄÓÛ Ö ÓÙÒ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ø ÓÒ ØÖ º Ì ÓÖ Ø Ð Óѹ ÔÙØ Ö Ë Ò ¾ ½ º ¼ ź Ë ÒØ Ò Åº ËÞ Ýº ÉÙ ÒØÙÑ Ò Ð Ð ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Ø Ó ÐÓ Ð Ö Ö ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÐÝ Ö Ð Ø º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ø Å ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ô ¼½ ¾¼¼ º ½ ʺ âô Ð Ò Åº ËÞ Ýº ÐÐ ÕÙ ÒØÙÑ Ú Ö ÖÝ Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ú¹ Ð Òغ ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ¾Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ä Ò Ù Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¼ Ô ½¾ ½ ½½ ¾¼¼ º ¾ ź Ë Ò º Ï Ö ÓÒº ÈÖÓ Ð Ø ÓÓÐ Ò ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ú ÐÙ Ø Ò Ñ ØÖ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø ¾ Ø ÒÒÙ Ð ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÓÙÒ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ¾ ½ º º ËÙÒ º º Ó Ò Ëº Ò º Ö Ô ÔÖÓÔ ÖØ Ò ÖÙÐ Ö ÙÒ¹ Ø ÓÒ ÀÓÛ ÐÓÛ Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÕÙ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ½ Ø Á ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ô ¾ ¾ ¾¼¼ º ĺ º Î Ð Òغ Ì Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò º ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ó ¹ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÙØ Ò Å Ò ÖÝ ¼ ½µ ¾¼¼ º ʺ ÏÓÐ º ÉÙ ÒØÙÑ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ü Øݺ Ì ÓÖ Ø Ð Óѹ ÔÙØ Ö Ë Ò ¾ ½µ ¾¼¼¾º

28 º Ð º ÖÓÚ Ö³ ÕÙ ÒØÙÑ Ö Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÔØ Ñ Ðº È Ý Ð Ê Ú Û ¼ ¾ ¾ ½ ½ º ˺ Ò º ÇÒ Ø ÔÓÛ Ö Ó Ñ Ò ³ ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó ½ Ø ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÓÐÐÓÕÙ ÙÑ ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ä Ò Ù Ò ÈÖÓ Ö Ñ¹ Ñ Ò Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ ¾ Ô ½¾ ½¾ ¼ ¾¼¼ º ˺ Ò º ÐÑÓ Øµ Ø Ø ÓÙÒ ÓÖ Ö Ò ÓÑ Þ Ò ÕÙ ÒØÙÑ ÐÓ Ð Ö ÓÒ ÝÔ ÖÙ Ò Ö º ÕÙ ÒعԻ¼ ¼ ¼ ¾¼¼ º