ÇÖ Ò Ð Þ Ò Ù Ò Þ Ø ÓÖ Ò Ð Þ Ò º

Transkript

1 Ô Ó ÙÒ Ú ÖÞ Ø Ú ÈÐÞÒ ÙÐØ ÔÐ ÓÚ Ò Ú Ã Ø Ö Ñ Ø Ñ Ø Ý ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ÇÖ Ñ ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙ ÎÝÔÖ ÓÚ Ð º ÌÓÑ õ ÖØ Î ÓÙ ÔÖ Óº ÊÆ Öº Å ÖÓ Ð Ú Ä Ú È º º ÈÐÞ ¾¼½

2 ÇÖ Ò Ð Þ Ò Ù Ò Þ Ø ÓÖ Ò Ð Þ Ò º

3 ÈÖÓ Ð õ Ò ÈÖÓ Ð õù ú Ñ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ ÚÝÙú Ø Ñ Þ ÖÓ Ð Ø ¹ Ö ØÙÖÝ ú ÞÒ Ñ ÙÚ Ò Ò ÓÒ ÔÖ º Î ÈÐÞÒ º ÖÔÒ ¾¼½ ºººººººººººººººººººººººººººº

4 ÈÓ ÓÚ Ò Ø Ð Ý ÔÓ ÓÚ Ø Ú ÓÙ ÑÙ ÔÖ Óº ÊÆ Öº Å ÖÓ Ð ÚÙ Ä Ú ÓÚ È º º Þ Ó ÓØÒ Ô ØÙÔ ÔÓ ÝØÓÚ Ò Ó ÓÖÒ Ö ÒÓØÒÓÙ Ú Ù ØÖÔ Ð ÚÓ Ø º Ð Ý Ø Ð ÔÓ ÓÚ Ø Ú ÖÓ Ò Ô Ø Ð ÝÒ Þ ÔÓ ÔÓÖÙ Ú ÔÖ Ù Ð Ó Ñ Ó ØÙ º

5 ØÖ Ø ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Þ Ú ÓÑ ØÖ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º  ÓÙ ÑÓÒ¹ ØÖÓÚ ÒÝ ÙØÓÚ ÒÝ ØÝÔ ÐÓ Ý ØÓ ÔÓ ØÖ Ò ÓÑ ØÖ Ø Ð Ö º ÌÝØÓ ÓÒ ØÖÙ ÖÓÚÒ Ú Ñ Þ Ñ Ò Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ Ù ÞÙ Ñ Ò ¹ Ø Ö Ú Ó Ý ØÓ ÓØÓ ØÝÔÙ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò º Ø ÔÖ ÖÓÚÒ ú Þ Ñ Ù Ò Ú Ó Ò ÚÝÙú Ø Ë Ñ Ø Ñ Ø Ó Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÑÓ ÐÓÚ Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ ÔÖÓ ÙØÓÑ Ø Ó¹ ÞÓÚ Ò º Ú Ö ÔÖ Ó Ù Ò ÚÖ Ø Ñ Ø Ó Ð Ù ÔÖÓ ÚÙ Ù ÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ Ò Ø Ò õ ÓÐ º ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ ÇÖ Ñ ÓÑ ØÖ Ù Ð ÓÚ Ó ØÖÙ ÙØÓÑ Ø Þ ¹ÓÖ Ñ Ý Ø Ñº ØÖ Ø Ì Ñ Ø Ö Ø Ð Û Ø Ø ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ù Ò ÓÖ Ñ º ÌÝÔ Ð ÔÖÓ¹ Ð Ñ Ö ÑÓÒ ØÖ Ø Ò Ù ÖÓÑ Ø ÓÑ ØÖ Ò Ð Ó Ð Ö ÔÓ ÒØ Ó Ú Ûº Ï ÓÑÔ Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ñ ÒÐÝ Û Ø Ø ÙÐ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÔÖ ÒØ Ú ÒØ Ó Ø ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÔÖ Ò ÔÐ º Ô ÖØ Ó Ø Ø Ð Ó ÚÓØ ØÓ Ë Ñ Ø Ñ Ø Ð Ó ØÛ Ö Û Ò Ù Ø ÐÝ Ù ÓÖ ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÑÓ ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÙØÓÑ Ø ÔÖÓÚ Ò º Ì Ð Ø Ô ÖØ Ó Ø Ø ÓÒØ Ò ÔÖÓÔÓ Ð Ó Ø Ñ Ø ÙÒ Ø ÓÖ ÓÖ Ñ ÓÑ ØÖÝ Ø Ò Ø ÓÓÐ º à ÝÛÓÖ ÇÖ Ñ ÓÑ ØÖÝ ÙÐ Ò ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÔÖÓÚ Ò ¹ÓÖ Ñ Ý Ø Ñº

6 Ç ½ ÚÓ ½ ½º½ À ØÓÖ ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ ÃÓÒ ØÖÙ ÓÑ Þ ÒÑ ÔÖÓ Ø Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÇÖ Ñ Ú ÓÙ Ò õ ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º ÈÖ Ò ÔÝ ÓÖ Ñ Ú ÔÐ Ú ÔÖ Ü º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ð Ò ÔÓ ÑÝ ¾º½ Ì ÓÖ ÖÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ÈÓÐÝÒÓÑÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¾º Ö Ò ÖÓÚÝ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ ½ º½ ÇÖ Ñ ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ O¹ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÃÓÒ ØÖÙ ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ü ÓÑ Ø Þ Ú Ò ÓÖ Ñ ¾ º½ ÀÙÞ ØÓÚÝ Ü ÓÑÝ ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ È Ð Ý ÚÝÙú Ø ÀÙÞ ØÓÚ Ü ÓÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼

7 ÈÓ Ø ÓÚ ÓÖ Ñ º½ ÙØÓÑ Ø Ó ÞÓÚ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ¹ÓÖ Ñ Ý Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Æ ÚÖ Ø Ñ Ø Ó Ð Ù ÔÖÓ ÚÙ Ù Ò Ø Ò õ ÓÐ Ú Ö ½ Ä Ø Ö ØÙÖ ¾

8 Ã Ô ØÓÐ ½ ÚÓ ½º½ À ØÓÖ ÓÖ Ñ È ØÚÓÖ Ø ØÓ Ø ÝÐÓ ÖÔ ÒÓ Þ Þ ÖÓ ½ ¾ º ÈÓ Ø Ý ÓÖ Ñ Ó Ô Ð Ò Ô Ô ÖÙ Ô Ð úò Ó Ó Ý Ô ¾¼¼¼ Ð ØÝ Ò Ñ Ò Ó Ò Ò Ò Þ Ð Ò Ý Ô Ò Ó ÚÝÒ Ð Þк È ÔÓ Ð Ñ Úõ ú ÓÖ Ñ Ô õðó ÞÔÖÓ Ø Ò ÔÓ ÚÝÒ Ð ÞÙ Ô Ô ÖÙ Ú Ø ÖÓÚ Ò Ò Ó Ñ Ð ¹Ð Ð ÔÓÞ Ô Ô Ö Ò Ñ Ò Ö Ò ÐÓ Ô Ð Ø Ø Ñ ØÚÓ Ø ÒÓÚ ØÚ Öݺ Â Ó ÚÝÒ Ð Þ Ô Ô ÖÙ Ò Ø Ù Ú Ì ³ ÄÙÒ ÚÝÒ Ð Þ ØÙ Ñ Ó ÖÓ Ù ½¼ Òº к Ö ÓÐÓ Ó ÚÝ Úõ Ò ÞÒ Ù ú ØÓÑÙØÓ ÚÝÒ Ð ÞÙ ÓõÐÓ ÔÖ Ú ÔÓ Ó Ò õø Ó Ò Ó Ú º ¹ ÒõØ ÒÝ Ø ÔÓ Þ ÑÓØÒ Ò Þ Ú ÓÖ Ñ Òú ÚÞÒ Ð ÔÓ Ò Ñ ÚÓÙ Ò ÐÓÚ ÓÖ٠Рص Ñ Ô Ô Öµº Ü ØÙ Úõ Ò Ú ÐÑ Ñ ÐÓ Ó ÓÚ Ò Ô Ð ú Ø ÖÓÚ Ò ÔÓÙú Ú Ð Ô Ô Ö ØÚÓÖ ÓÖ Ñ º Æ Ø Öõ Ñ Þ Ò Þ Ñ Ù Ò Ó ½¼¼¼ Òº кµ Ó Ö Þ ½º½µº Ç Ö Þ ½º½ Ù Ò Ó ÚÐ ÚÓµ Ë ÚÔÖ ÚÓµ ÇÖ Ñ Ø Ó ÞÒ Ñ Ò Úõ Ò Ô õ ÚÞÒ ÐÓ Ó Ò Ó ÔÓÞ Ú Â ÔÓÒ Ùº Þ Ð Ô Ô Ö Ó ÔÖÚÒ ÔÓÙú Ú Ø Ú º ØÓÐ Ø Òº к Ù Ø Ø ÑÒ õ º ÔÓ Ø Ù ÝÐ Ô Ô Ö Ú Â ÔÓÒ Ù Ú ÐÑ Ö Ñ Þ Óú Ñ Ø ÝÐÓ ÓÖ Ñ ÚÝÙú Ú ÒÓ ÔÓÙÞ Ò Óú Ò Ñ Ö ØÙ Ð Ñ ÚÞÒ ÑÒÑ Ö ÑÓÒ Ð Ñº Â Ò Ñ Þ Ò Ø Öõ Ô Ð Ô Ð Ò Ô Ô ÖÙ Ë Ó Ö Þ ½º½µº ½

9 ÈÖÚÒ Ñ Ô Ð Ñ ÓÖ Ñ Ú Â ÔÓÒ Ù Ø Ó ÞÒ Ñ Ò ÓÙ Ô Ô ÖÓÚ ÑÓØÐ Ò ÞÚ Ò Å Ó Ç Ó Ó Ö Þ ½º¾µ Ø ÝÐ ÙÑ ÓÚ Ò Ò Ð Ú Ú Ò Ñ Ô ØÖ Ò Ú Ø º Ó ½ º ØÓÐ Ø Þ ÞÒ Ñ Ò ÒÓ Ò Ú ÐÑ Ñ ÐÓ Ô Ô ÔÓÙ¹ ú Ø ÓÖ Ñ úòñ Ó ÝÚ Ø Ð Ò Ñ Ò Ó ½ º ØÓÐ Ø Ø ÐÓ ÓÖ Ñ ÔÓÔÙÐ ÖÒ Ñº Ä Þ Ó Ð ØÓ Ú ÑÓÒ Ô Ô ÖÓÚÑ Ýº ÈÖÚÒ Ò Ù Ó Ô Ð Ò Ô Ô ÖÙ Ì ÙØ ÙÑ ¹ÒÓ Ã Ò Ô Ð Ú ÖÓ ½ Ë Ø Á º ÈÖÚÒ Ò Ù Ú ÒÙ Ö Ö ¹ Ò ÑÙ ÓÖ Ñ ú Ò Þ Ú Ñ ú Ñ Ô ÐÓú Ø Ó Ë Ð Ò Ò Ø ÞÔ Ó Ô Ò Ô Ð Ú ÖÓ ½ Ë Ò ÞÙÖÙ ÇÖ Ø º Ç Ö Þ ½º¾ Ç Ó ÚÐ ÚÓµ Å Ó ÚÔÖ ÚÓµ ÎÚÓ ÓÖ Ñ Ú ÚÖÓÔ ÔÖÓ Ð ÔÓ Ð Ú Øõ ÒÝ ØÓÖ Ò Þ Ú Ð Ò ÔÓÒ Ñ ÓÖ ¹ Ñ º ÀÐ ÚÒ Ñ ÚÓ Ñ ØÓÑÙØÓ ØÚÖÞ Ò ú ÔÓ Ð Ó ÓÚ Ò Ü ÑÔÐ ÝÐ Ò ÖÓÞ Ð Ó Â ÔÓÒ Ô Ð Ò Ô Ô ÖÙ Ú ÚÖÓÔ ÔÓÙú Ú Ò ÚÞÓÖÓÚ Ñ ú º ÈÖÚ¹ Ò Ñ Ó Ð Ñ ÚÖÓÔ Ó ÓÖ Ñ ÔÖ Ú ÔÓ Ó Ò Ò ËÔ Ö ÅÙÒ ú Ò Ô Ð Ú ÖÓ ½ ¼ ÂÓ ÒÒ Ë ÖÓ Ó Óº Î Ø ØÓ Ò Þ Ò Þ Ó Ö Þ Ô Ô ÖÓÚ ÐÓ Ó Ö Þ ½º µº Æ Ø ØÓÖ Ò ÓÙ Þ Ð Ô Ú Ò ú ÓÔÖ Ú Ù Ó ÓÖ Ñ ÐÓ Ò Ñ Ò ÔÓ Ù ÒÓ Ó Þ ú ÓÖ Ñ Ú ÚÖÓÔ ÚÝÚ ÐÓ Ò Þ Ú Ð Ò ØÓÑ Ú Â ÔÓÒ Ù ÔÖÓØÓú ØÓÙ Ó ÓÙ õø Ò ÝÐ Ú Â ÔÓÒ Ù ÔÓÙú Ú Ò Ø ÒØÓ ØÝÔ Ö Ö ¹ Ò Ó ÓÖ Ñ º Î ÖÓ ½ ¾ ÝÐ ÚÝ Ò Ö Ì Ù Ó Å Ð Ñú ÙØÓÖ Ñ ÝÐ ÂÓ Ò Ï Ø Ö Ú Ò ú ÑÐÙÚ Ó Ô Ô ÖÓÚ Ñ Ú Þ Ò º  ÔÖ Ú ÔÓ Ó Ò Ó ÓÖ Ñ ÑÓ Ð Ø Ö Ò ÞÒ Ñ ÔÓ Ò ÞÚ Ñ Ï Ø Ö ÓÑ Ó Ö Þ ½º µº ÅÒÓ Ó ÔÖÓ Þ Ø Ð¹ Ò Þ Ó Ú ÝØÙ ÓÖ Ñ Ú ÚÖÓÔ ÔÓ Þ Þ ½ º ØÓÐ Ø º Æ Ô Ð Ú Æ Ñ Ñ Ò ÖÓ Ò Ñ ÑÙÞ Ù Ñ Ü ÑÔÐ Ô Ô ÖÓÚ ÓÒ Þ Ù Ò ú Ô ÔÓ Ð ú ÝÐÝ ÐÓú ÒÝ ÓÐ Ñ ÖÓ Ù ½ ½¼º à Ýú Ú ÔÓÐÓÚ Ò ½ º ØÓÐ Ø Ö Ö Ö Ð Þ ÐÓú Ð ÔÖÚÒ Ñ Ø ÓÙ õ ÓÐÙ ÒÓÙ Þ Ö Ú Ó ÚÞ Ð Ú Ñ Ý Ø ÑÙ ÝÐÓ ÔÖ Ú Ð Ò ÓÖ Ñ º Æ ÓÒ ½ º ØÓÐ Ø ÖÓÞÚÓ Ñ ÑÓúÒÓ Ø ØÓÚ Ò Ó Þ ÐÓ ÒØ Ö Ñ Þ Þ Ô Ò Ú Ó Ò ÙÐØÙÖÓÙ Þ ÐÝ ÚÞ ÑÒ ÓÚÐ Ú ÓÚ Ø Ñ Ø ÔÓÞÒ Ø Ý ÔÓÒ Ó Ø ÚÖÓÔ Ó ÓÖ Ñ º ÃÓÐ Ñ ÖÓ Ù ½ ¼ Þ Ð ÔÓÙú Ú Ø ÔÓÒ Ò Þ Ú ÓÖ Ñ Ú ÚÖÓÔ º Ó Ø Ó Ý Þ ÑÐÙÚ ÐÓ Ó Ô Ð Ò Ô Ô ÖÙº Î ¾¼º ØÓÐ Ø Þ ÐÓ ÖÓÞÚ Ø ØÞÚº ÑÓ ÖÒ ÓÖ Ñ º ÅÓ ÐÝ ú Ò Ñ ÐÝ ÒÓÒÝÑÒ ÙØÓÖÝ Ð Ñ ÐÝ Ùú Ú ØÚ Ö Ø ÖÓÑ ÑÓ Ð Ó Ø ÓÚ ÔÙ Ð ÓÚ Ð Ò ÚÓ Ý ÑÓ ÐÝ ÐÓú غ ÈÖÚÒ Ñ Ó Ò Ð Ú ÓÖ Ñ ÑÓ ÐÝ Ô Ø ÒØÓÚ Ø ÝÐ Í Ý Ñ ÃÓ Óº Î ¼º ¼º Ð Ø ¾¼º ØÓÐ Ø ÚÞÒ Ð Ñ Þ Ò ÖÓ Ò ÔÓÐ ÓÖ Ñ Óú Ð ÒÝ ÝÐ Ñ ÑÓ Ò Ç Þ Û Ö Ì Ñ ÌÓ ÀÓÒ Á Ó ÊÓ ÖØ À Ö Ò Ö¹ ¾

10 Ç Ö Þ ½º ÄÓ Þ Ò Ý ËÔ Ö ÅÙÒ ÚÐ ÚÓ Ô Ø Þ ¾ µ Ï Ø Ö ÓÑ ÚÔÖ ÚÓµ ÓÒ Ä Ñ Ò Ä ÐÐ Ò ÇÔÔ Ò Ñ Ö Ë ÑÙ Ð Ê Ò Ð ØØ Ò Ó Î ÒØ ËÓÐ ÖÞ ÒÓ¹Ë Ö Óº ÌÓÑÙØÓ Ó ÖÙ Ù ÔÓÚ ÐÓ ÓÖ Ñ Ú ÐÑ ÞÔÓÔÙÐ Ö ÞÓÚ Øº Î ¾¼º ØÓÐ Ø Ø Ô Þ Ø ÓÖ Ø ÔÖÓÔÓ Ò ÓÖ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ýº ÎÞ Ð Ñ ÑÓú¹ ÒÓ Ø ØÚÓÖ Ý ÓÑ ØÖ Ó Ö Þ ÔÖ ÔÓ ÑÝ Ó ÓÙ Ó Ô Ñ Ð Ó ÔÖÚÒ Ò ÐÓ ÖÓÚÒ Ò ÓÖ Ñ Úõ Ó Ò Ò ÔÓÙú Ú Ò õ Ù Ð ÓÚ ÓÙ Ó¹ Ñ ØÖ º ÈÖÚÒ ÚÞÒ ÑÒÓÙ Ó Ó ÒÓ Ø Ø Ö ØÓØÓ ÔÖÓÔÓ Ò ÙÚ ÓÑÓÚ Ð ÝÐ ÔÓÒ Ù Ø Ð Ö Ó Þ Û Ø Ö ÚÝÙú Ú Ð ÓÖ Ñ Ô ÚÙ Ú ØÙ ÒØ º ÒÓÑ Ò Ñ ÔÓ Ð Ò Ð Ø ÓÖ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ý ÔÓÔ Ø ÙÑ Ø ÔÓ Ø ÓÚ ÞÔÖ ¹ ÓÚ Ú Øº Ì ÓÖ Ø Þ Ð ØÓÑÙ ÔÓÐÓú Ð Ñ Ø Ñ Ø Å Ö Ö Ø È ÞÞÓÐ ÐÓ Ø Ö Ú ÖÓ ½ Ó Ú Ð Ô Ý ÔÓ Ñ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ò ÐÓ ÓÐ Òú Ò Ò Ñ Þ Ü ÓÑ ÓÖ Ñ º Ü ÓÑÝ ÓÖ Ñ Ó ÔÖÚÒ ÓÖÑÙÐÓÚ Ð Â ÕÙ ÂÙ Ø Ò Ú ÖÓ ½ Ò Ñ Ò Ó ÔÖ Ô Ð õ Ò Ù Ð Ø Ü ÓÑÝ ÓÖ Ñ Ó Ø ÐÝ Ó ÔÓÚ ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ú ÒÓ Ø ú Ó Ú ÖÓ Ý ÔÓÞ Ý ÔÙ Ð ÓÚ Ð ÀÙÑ ÀÙÞ Ø º  Úõ Ø Ó Ø ú ÀÙÞ ÔÓÔ Ð ÔÓÙÞ ÔÖÚÒ õ Ø Ü ÓÑ º ÈÓ Ð Ò Ñ Ü ÓÑ ÓÔÐÒ Ð Ú ÖÓ ¾¼¼¾ ÃÓ ÖÓ À ØÓÖ º Æ Ñ ú Ñ ÓÔÓÒ ÒÓÙØ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÝÞ Ø Ö Þ Ð Þ Ñ Ò ÚÖ ÞÒ Ó ÖÓÞÚÓ Ñ Ø Ñ Ø Ý ÓÖ Ñ Ú ÔÓ Ð Ò Ð Ø º Â Ñ ÊÓ ÖØ Âº Ä Ò Ø Ö ÖÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÓÔ Ù ÓÖ Ñ Þ Ú Ø Ó ÔÓ Ø ÓÚÑ ÞÔÖ ÓÚ Ò Ñº Ó Ñ õø ú Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ñ Ú ÐÑ ÑÐ ¹ ÔÐ Ò Ø Ö Ú ÓÙ ÒÓ Ø Ú ÐÑ ÖÝ Ð ÖÓÞÚ Ú Ú ÔÓ Ð Ò Ø Ø ØÓ Ô ØÓÐݵº ½º¾ ÃÓÒ ØÖÙ ÓÑ Þ ÒÑ ÔÖÓ Ø Ý Ì ØÓ Ø Ò Ô Ò Þ Ñ Ò ÚÝÙú Ø Ñ Þ ÖÓ º ÓÑ ØÖ ÞÒ ÐÓ Ø ÔÓØ Ù Ð ú ÔÓ Ø Ð Ø º  ÖÓÞÚÓ Ô õ Ð ÔÓØ ÓÙ Ø Ú Ø Ó Ý Ð ÚÝÖ Ø Ò ØÖÓ Ò Ó Þ Ö Ò º ÈÖÚÒ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ñ Ø Ö Ù ÔÓ Ð Ò Ø Ö ÓÑ ØÖ ÔÓÞÒ Ø Ý ÝÐ Ú º ØÓÐ Ø Ô º Òº к Ì Ð Þ Å Ð ØÙº Ðõ ÚÞÒ Ñ¹ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ø Ô Ô Ð ÖÓÞÚÓ ÓÑ ØÖ ÙÚ Ñ Ù Ð Þ Ð Ü Ò Ö

11 º ØÓÐ Ø Ô º Òº кµ Òú Ú Ú Ò Þ Ð Ý ÖÒÙÐ Ó ÐÓ Ý ÔÖÓÚ Þ Ò ØÖÙ ØÙÖÝ Ø õ ÓÑ ØÖ ÔÓÞÒ Ø Ý Ö Ñ Þ ËÝÖ Ù º ØÓÐ Ø Ô º Òº кµ Ø Ö Ñ ÑÓ Ò Þ Ú Ð ÔÖÓ Ð ÑÝ ÚÔÓ ØÒ ÓÑ ØÖ Ú Ö ØÙÖÝ Ù ØÙÖݵ ÔÓÐÐ Ò Þ È Ö Ý Òú Þ Ú Ð Ùú ÐÓ Ñ º Î Ñ Ø Ñ Ø Ü ØÙ Ò ÓÐ Ö ÞÒ ÑÓúÒÓ Ø ÔÖÓÚ Ø ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙ º  ØÝÔÝ ÓÙÚ Ø Ñ ÔÖÓ Ø Ý Ñ Ñ ÔÓÞ º Â Ò Ñ Þ ØÝÔ ÓÑ ØÖ ¹ ÓÒØÖÙ ÓÙ ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ñú Ø ØÓ ÔÖ Ð ÚÒ Ú ÒÓÚ Ò º È Ø ØÓ ÓÒ ØÖÙ Ñ Ñ ÔÓÞ ÔÓÙÞ Ô Ô Öº Ðõ Ñ Þ Ñ ÚÑ ØÝÔ Ñ ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙ ØÞÚº ÔÖÓÚ Þ ÓÚ ÓÑ ØÖ Ý Ñ Ñ ÔÓÞ ÔÖÓÚ Þ Ó Ý Ó Ù Ý Ò Ò Ô º ÓÐ Ú Ô Ù Ò Ô Ò Ò Ô Ô µº Ð ÞÒ Ñ Ø ÓÒ ØÖÙ ÚÝÙú Ø Ñ ÔÓÙÞ ÔÖ Ú Ø ÚÝÙú Ø Ñ ÔÓÙÞ ÖÙú Ø º ÈÓ Ð Ò Ñ ØÝÔ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö ÙÚ Ñ ÓÙ ØÞÚº Ù Ð ÓÚ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö Ù Ñ Ú Ø ØÓ ÔÖ ØÓ ÚÝÙú Ú Ø Ó ÞÓÚ Ø Ò Ò º È Ñ Ø Ñ Ò õ Ó Þ ÓÙÑ Ò Ù ÓÙ Þ Ñ Ò ÓÒ ØÖÙ ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º Ý ÓÑ Ù Þ Ð Ð ÚÒ Ô ÒÓ Ø ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ Ù Ñ ØÓ ÔÓÙ¹ ú Ú Ø ÖÓÚÒ Ò Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ º Ù Ð ÓÚ ÓÒ ØÖÙ ÓÙ Ò Ø ÔÓÙú Ú ÒÑ ÔÖÓ Ø Ñ Ô ØÚÓÖ ÓÑ ØÖ ÓÒ ØÖÙ º Â Ó ØÝÔ ÓÒ ØÖÙ Ø ÖÑ Ó Ò Ø Ú ú Þ Ð Ò Ø Ø Ò õ Óк Ù Ð ÓÚ ÓÒ¹ ØÖÙ Ñ ú Ñ ÔÖÓÚ Ø Ú Ö Ò ÔÓÑÓ ÖÙú Ø ÔÖ Ú Ø º  Úõ Ø Þ Ö ÞÒ Ø ú ÔÓ ÑÝ Ù Ð ÓÚ ÖÙú Ø Ó Ù Ð ÓÚ ÔÖ Ú Ø Ó Ñ ÖÒ Ð õ Ó Ð Ó ÖÙ¹ ú Ø ÔÖ Ú Ø Ò Ò ú Ñ ÞÚÝ Ð º Ù Ð ÓÚ ÖÙú Ø Ó ÐÞ ÔÓÙú Ø ÔÓÙÞ ØÖÓ Ò ÖÙúÒ ÒÑ Ø Ñ ÔÖÓ ¹ Þ ÒÑ Ó Ñ Ò Úõ Ô Ò õ Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø º Ù Ð ÓÚ ÔÖ Ú Ø Ó Ô ÐÓÙú Ú Ö Ò ÓÒ ØÖÙ Ô Ñ Ø º ÔÓ Ò ÚÓÙ Ð ÓÚÓÐÒ ÚÞ Ð Ò Ó ÓÙ ÔÖÓ ÐÓÙú Ò ÓÔ ÓÚ Ò ÑÙ Ò Ýµº Æ ÐÓÙú Úõ Ñ Ò Ò Ò õ Ò Ð Ý Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÐÑ Ò Ó ÖÓÚÒÓ ú º ÄÞ Úõ Ù Þ Ø Ú Þ ØÖº ½ µ ú Ò ÑÙ¹ Ñ ÖÓÞÐ õóú Ø Ñ Þ Ù Ð ÓÚ Ñ Ð Ñ ÖÙú Ø Ñ ÔÖÓØÓú Ô Ú Ó Ò Ñ ÔÓÙú Ø Ù Ð ÓÚ Ó ÖÙú Ø ÐÞ Ô Ò õ Ø ÚÞ Ð ÒÓ Ø º  ÒÓ Ùõ Ø Ñ ú Ñ Ô Ú Ø ú ÔÓÑÓ Ù Ð ÓÚ Ó ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø ÓÐÑ Ò Ô Ñ ÔÖÓ Þ ÒÑ Ó Ñ Ô Ñ Ù ÖÓÚÒÓ úòóù ÒÓÙ Ô Ñ ÓÙ ÔÖÓ Þ ¹ ÒÑ Ó Ñº ÈÖÓ Ò õ ÖÓÚÒ Ú Ò Ù Ð ú Ø Þ Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø Ö Ð ÓÙ Ù Ð ÓÚ Ý ØÖÓ Ø ÐÒ º Í Úõ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö Þ Ù Ñ ÔÖÓÚ Ø Ù Ñ ÔÓ Ý ÓÚ Ø Ú ÖÓÚ Ò ÖØ Þ ÓÙ ÓÙ Ø ÚÓÙ ÓÙ Ò º Ý ÓÑ ÑÓ Ð Þ Ø ÔÖÓÚ Ø Ù Ð ÓÚ ÓÒ ØÖÙ ÑÙ Ñ ÚÝ Þ Ø Þ Ø ÑÒÓú ÒÝ Ð ÔÓ ÚÓÙ Ó º Þ ÑÝ Ò Ó ÒÓ Ø ÚÓÐÑ Ó Ý [0,0] [1,0]º Ò ½º½º Ó Ò ÞÚ Ñ Ó Ñ ØÖÓ Ø ÐÒÑ ÔÖ Ú Ø Ñ ÖÙú Ø Ñ ØÐ ú ÔÓ Ð Ò Ñ Ó Ñ ÓÒ Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ó P 1,P 2,...,P n Ø ÓÚ ú ú Ó P i Ù ÔÖÚ Ñ ÑÒÓú ÒÝ {[0,0],[1,0]} Ò Ó Þ Ò ÒÓÙ Þ Ò Ð Ù Ø ÓÒ ØÖÙ µ Ó ÔÖ ÚÓÙ Ô Ñ Þ Ò ú ú Ò Ú Ñ Ó Ý Ø Ö Ó ÚÙ Ú Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ú Ú µ Ó ÔÖ Ô Ñ Ý Ò Ú Ñ Ó Ý Ø Ö Ó ÚÙ Ú Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ú Ú ÖÙúÒ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ñ Ó Ñ Ô Ñú Ó ØÝØÓ Ó Ý

12 Ø Ø ú Ó ÚÙ Ú Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ú Ú µ Ó ÔÖ ÚÓÙ ÖÙúÒ Ò Ø Ñ Ó Ñ Ô Ñú Úõ ÒÝ ØÝØÓ Ó Ý Ó ÚÙ Ú Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ú Ú º Ê ÐÒ ÐÓ x Ò ÞÚ Ñ Ð Ñ ØÖÓ Ø ÐÒÑ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø ¹Ð Ó [x,0] Ó Ñ ØÖÓ Ø ÐÒÑ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø º ËÒ ÒÓ Ñ ú Ñ Ô Ú Ø ú Úõ Ò Ð Ð z Úõ Ò Ð Ú ØÚ ÖÙ 1 n n Ô ÖÓÞ Ò ÐÓ ÓÙ ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø º Æ Ó Ö Þ Ù ½º ÓÙ ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÝ ÓÒ ØÖÙ Ð 2,3 1 3 º Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ [ 2,0] [0,0] [1,0] [3,0] ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ [0,0] [ 1 3,0] [1,0] Ç Ö Þ ½º Ð 2,3 ÚÐ ÚÓµ 1 3 ÚÔÖ ÚÓµ ÈÓÑÓ Ø ØÓ ÚÓÙ ÔÓ ØÙÔ Ô Ñ ú Ñ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø Úõ Ò Ö ÓÒ ÐÒ Ð º Ð Ù ú Ñ ú ÓٹРРa,b c (c 0) ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø Ô Ð a+b,a b,a b, a ÓÙ ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø º ÃÓÒ ØÖÙ Ð c a+b a b ÚÝÙú Ø Ñ ÑÓúÒÓ Ø Ô Ò õ Ò Ð Ý ÔÓÑÓ Ù Ð ÓÚ Ó ÖÙú Ø ØÖ Ú ÐÒ º Æ Ó Ö Þ Ù ½º Ù ú Ñ ÓÒ ØÖÙ Ð a b aº c C ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ B 0 X A Ç Ö Þ ½º ÃÓÒ ØÖÙ Ð a b a c ËÓÙ Ø ÚÙ ÓÙ ÒÓÙ ÞÚÓÐ Ñ Ø Ý O = [0,0] A = [a,0]º ÈÖÓ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó A X Ó ÔÓ Ø Ù O Ø Ý ÔÐ Ø AO = a XO = xº Ð ÓÞÒ Ñ ÚÞ Ð ÒÓ Ø BO = b CO = cº ÔÓ Ó ÒÓ Ø ØÖÓ ÐÒ OXB OAC ÔÐÝÒ ÖÓÚÒÓ Ø

13 XO = BO AO º ÚÓÐ Ñ ¹Ð BO = 1 ÔÓØÓÑ x = a º ÚÓÐ Ñ ¹Ð Ò ÓÔ CO = 1 Ô CO c x = a bº ÈÓ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÔÓÑÓ ÖÙú Ø ÔÖ Ú Ø Ø ÖÓÙ Ù ú Ñ ÓÒ ØÖÙ Ð aº Æ Ó Ö Þ Ù ½º Ù ú Ñ ÓÒ ØÖÙ Ý Ó Ð a Ñ Ñ ¹Ð Þ ÒÓÙ Ù Ó Ð aº D ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ A B C Ç Ö Þ ½º ÃÓÒ ØÖÙ Ð a ÈÖÓ Ò õ ÓÒ ØÖÙ ÚÓÐ Ñ Ó ÝA,B C Ò Ò Ô Ñ Ø Ý AB = a BC = 1 Ý ÔÓÐÓÔ Ñ Ý BA BC ÝÐÝ Ò ÚÞ Ñ ÓÔ Ò º ÈÖ ÓÐÑ Ô Ñ AB ÔÖÓ Þ Ó Ñ B Ì Ð ØÓÚÝ ÖÙúÒ ØÖÓ Ò Ò ÓÙ ÒÓÙ Ó Ý A C ÓÞÒ Ñ Ó Ó Dº ÈÓ Ð Ù Ð ÓÚÝ Ú ØÝ Ó Úõ Ô ÑÙ ÔÐ Ø Ø BD = aº Î Ó ÒÑ Ô Ò Ò Ñ Ð Ý Ø ØÓ Ý Ô Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø Ó [ a,0]º  ¹Ð Ø Ý ÐÓ a ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø Ô ÐÓ a ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø º Ð ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø ÔÖÓ Ò Ù ÓÙ Ð ú Ø ÔÖÓ ÖÓÚÒ Ò ÑÓú¹ ÒÓ Ø Ù Ð ÓÚ ÓÒ ØÖÙ ÓÒ ØÖÙ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º Æ Þ Ú Ö Ø ØÓ Ô ØÓÐÝ õø ÞÑ Ò Ñ Ø Ð ÔÖÓ Ð ÑÝ Ø ÖÓÚ Ùº  ÓÙ Ñ ÙÔÐ ÖÝ Ð ØÖ ÐÙ Ú Ö ØÙÖ ÖÙ Ùº ÙÔÐ ÖÝ Ð ÖÓÞÙÑ Ñ ÓÒ ØÖÙ ÖÝ Ð Ø Ö Ñ ÚÞ Ð Ñ Þ Ò ÖÝ Ð ÚÓ Ò Ó Ò Ó Ñº ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú Ó Ñ ÖÝ Ð ÐÞ ÚÝ Ø Ó Ø Ø ÑÓÒ ÒÙ Ð Ý Ö ÒÝ Ø ØÓ ÖÝ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÙÔÐ ÖÝ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò Ð Þ Ò Ý ú Ð 3 2¹ Ö Ø Ú Øõ Ò ú Ð Þ Ò Ýº ÌÖ ¹ ÐÙ ÖÓÞÙÑ Ñ ÖÓÞ Ð Ò Þ Ò Ó ÐÙ Ò Ø Ó Ò ÐÝ Ú Ö ØÙÖÓÙ ÖÙ Ù Ô ØÖÓ Ò ØÚ Ö Ó Ø Ò Ñ Ó Ù Ñ Þ Ò ÖÙ º Â Ó ÓÒ ØÖÙ ú Ñ Ø Ñ Ø Þ Ô õò ÔÓ ÓÙõ Ð ÔÓ Ø Ð Ø ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø º ú ÚÝÙú Ø Ñ ÒÓÚ Ñ Ø Ñ Ø ÔÓÞÒ Ø Ú ½ º ØÓÐ Ø ÔÓ ÐÓ Ó Þ Ø ú Ò ÝÐ Ñ ÖÒ ú ØÝØÓ ÓÒ ØÖÙ Ò ÓÙ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø ØÖÓ Ø ÐÒ º Æ Ø Ö Þ Ò Ù ú Ñ Ù ÓÙ Úõ ØÖÓ Ø ÐÒ ÚÝÙú Ø Ñ ÓÖ Ñ º

14 ½º ÇÖ Ñ Ú ÓÙ Ò õ ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø È ØÚÓÖ Ø ØÓ Ø ÚÓ Ò Ô ØÓÐÝ ÝÐÓ ÖÔ ÒÓ Þ º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ñ ÔÓÑ ÖÒ ÑÐ ÔÐ Ò Ò ÚÝ ÝØÙ Ø Ñ Ú Ú ÓÙ Ò õ ÓÐ Ñ Ø Ñ Ø º  ÓÙ Ù Ø Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÓÙú Ú ÔÖ Ø Ñ Ù Þ Ñ Ô Ú Ð Ù ÓÑ ØÖ Ò Ñ Ò Ó Ø Ñ Ø Ð Þ Ø Ñ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ñ Ó ÓÙ Ò Ó ÚÞ Ð Ú Ò Þ Þ Ò º Æ ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙ Ø Ð ÖÓ ØÓÙ ÔÓÔÙÐ Ö ØÓÙ ÓÖ Ñ Ô Ú Þ ÑÓÚ ÖÓÙú ÙÖÞ Ø Ö ÔÖ Ú Ñ Ø Ñ Ø ÓÙ ÓÖ Ñ Þ Ú º ÊÓÞÚÓ ÓÖ Ñ Ó Þ Ð Ò Ò Ó ÚÝÙ ÓÚ Ò Ú ÓÙ ÒÓ Ø ÔÓÑ Ñ Þ Ò ÖÓ Ò ÓÒ¹ Ö Ò ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð Å Ø Ò ÓÒ ÇÖ Ñ Ò Ë Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ù Ø ÓÒº Ó Ò Ù ÙØ Ò ÐÓ Ø ØÓ ÓÒ Ö Ò º Î ÔÖÚÒ ÓÒ Ð Ú ÖÖ Ú ÁØ Ð ÖÓ Ù ½ º Æ Ð ÓÚ ÐÝ ÓÒ Ö Ò Ú ÇØ Ù Â ÔÓÒ Ó ½ µ ÐÓÑ ÖÙ Ã Ð ÓÖÒ ÍË ¾¼¼½µ È Ò Ã Ð ÓÖÒ ÍË ¾¼¼ µ Ë Ò ÔÙÖÙ ¾¼½¼µ Þ Ø Ñ ÔÓ Ð Ò ÓÒ Ð Ú ÌÓ ÝÙ Â ÔÓÒ Ó ¾¼½ µº Æ Ð Ù ÓÒ Ö Ò ÔÐ ÒÓÚ Ò Ò ÖÓ ¾¼½ Ñ Ð Ý Ù ÙØ Ò Ø Ú ÇÜ ÓÖ Ù Î Ð Ö Ø Ò µº ½º ÈÖ Ò ÔÝ ÓÖ Ñ Ú ÔÐ Ú ÔÖ Ü ÈÓ Ð Ò Ø ÚÓ Ò Ô ØÓÐÝ ÖÔ Ô Úõ Ñ Þ ½¼ º ÇÖ Ñ Ú ÔÖ Ü Ùú Ò Ò ÞÒ Ñ Ò ÔÓÙÞ ÙÑ Ò º Â Ø Ó ÔÖÓ Ø Ø Ö ÔÓÙú Ú ÑÒÓ Ó Ú Ô Ò ÒÓÚ õ ÚÞ ÙÑ º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú ÔÖÓÔÓ Ò Ñ Þ ÓÖ Ñ Ú ÓÙ Þ Ð ú ØÓ Ø Þ Ñ Ò ÔÓ Ð Ò Ò ÓÐ Ð Ø ÔÖÓ Þ Ú ÐÑ ÒØ ÒÞ ÚÒ Ñ ÚÚÓ Ñº ØÓ Ñ ú Ñ Ø Ø ØÙ Ý ÔÖÓ Ñ Ò ÔÙÐ Ò Ñ Ô Ñ Ø Ñ Ú Ó Ò Ý Ñ Ð Ó Ò Ñ Òõ ÖÓÞÑ ÖÝ Ð Ô ÔÓÙú Ú Ò ØÓ ÓØÓ Ô Ñ ØÙ Ø Ý Ñ Ð ÖÓÞÑ ÖÝ Ò ÓÐ Ò Ó Ò Ú Øõ º È Ð Ñ Ø ÓÚ Ó ÔÓÙú Ø Ø ÖÑ Ø Ú Ñ Ò Ø Ö Ú ÙØÓÑÓ ÐÙº Ñ Þ Ý Ø Ý Ò Þ Ö Ð Ô Ð õ Ñ Ø º Ð ú Ø Úõ Ý Ú Ô Ô ÔÓØ Ý Ó Þ Ð ÔÖ ÚÒÓÙ ÖÝ ÐÓ Ø ÖÓÞÐÓú Ø Ò ¹ ÓÙ ÒÓÙØ Ø Ý Ò Ò ÓõÐÓ Ó ÔÓõ ÓÞ Ò Ò ÓÙ ÒÙØ ÔÖÓ ÐÓ ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ º ÈÖ Ò Ô ÓÖ Ñ Ø ØÓ ÚÝÙú Ú Ô Þ ÓÙÑ Ò Ú Ñ ÖÙº ÈÖÓ Ò ÒÓÚ õ Ú Ñ ÖÒ Ø Ð ÓÔÝ ÔÓ Ý Ù Ò Ò õ Ó úò Ö Þ ÓÙ ØÝÔ Ú ÐÑ Ú Ð ÖÓÞÑ Öݺ ÈÖÓ ÓÔÖ ÚÙ Ó ÖÓÚ ÞÖ Ð ÓÐ ÖÒ Ô Ò Ð Ò Ó úòóù Ö Ù Úõ Ñ Ñ Ò ÓÑ ¹ Þ Ò ÔÖÓ Ø Ý ÔÓØ Ý Ô Ô ÔÖ Ú Ñ Ð ÑÒÓ Ñ Ñ Òõ ÖÓÞÑ ÖÝ Ò ú Ô Ò Ð Ò Ñ ÔÓÙú Ø º Î ÓÙ ÒÓ Ø Ø ÚÝÚ ÚÝÙú Ø ÓÖ Ñ Ú Ð ØÚ º Â Ò Ñ Þ ú ÚÝÙú Ú Ò Ô Ð Ð ÙÔ Ò Ö Ò Ú Ý Ò Ô ÐÙõÒ Ñ ØÓ Ú Ú ÓÔÖ Ú ØÖÙ Ø Ö Þ ÖÓÞÐÓú ÚÝØÚÓ Þ Ñ ØÓ ÔÖÓ ÚÓÐÒ ÔÖ ØÓ ÖÚ º ÅÓ Ð Ø ØÓ ØÖÙ Ý ÚÝ Þ Þ ÑÓ ÐÙ Ï Ø Ö ÓÑ Òú ÞÑ Ò Ò Ú ÔÖÚÒ Ø Ø ØÓ Ô ØÓÐݺ

15 Ë Ðõ Ñ ÚÝÙú Ø Ñ ÔÖ Ò Ô ÓÖ Ñ Ñ ú Ñ Ø Ø Ò Ô Ð Ú Ö Ø ØÙ Ô ÚÚÓ ØÞÚº Ò ÒÓ ÓØ Ø Ý ÖÓ ÓØ Ó Ñ Ò ØÙÖÒ ÖÓÞÑ Ö º ÅÓúÒÓ Ø ÚÝÙú Ø ÓÖ Ñ Ú ÔÖ Ü Ø Ý ú Ú ÓÙ ÒÓ Ø ÑÒÓ Ó ÔÖÓØÓú ÓÖ Ñ ÓØ Ú Ö Ú Ú Ø Ú Ý ÒÓÚ ÑÓúÒÓ Ø Ðõ ÖÝ Ð Ô Ú º

16 Ã Ô ØÓÐ ¾ Ð Ò ÔÓ ÑÝ Ú Ò ú Þ Ò Ñ Þ Ú Ø ÓÖ Ñ ÑÙ Ñ Þ Ú Ø Ò ÓÐ Þ Ð Ò ÔÓ Ñ Ø Ö Ù Ñ Ð ÔÓÙú Ú Ø ú ÞÒ ÐÓ Ø Ô ÔÓ Ð Ò º ¾º½ Ì ÓÖ ÖÙÔ Î Ø ØÓ Ø ÖÔ ÒÓ Þ Ñ Ò Þ ½½ ½¾ º ÈÖÚÒ Ñ ÔÓ Ñ Ñ Ø Ö Ø ÒÓÚ Ø ÖÙÔ º Ò ¾º½º ÖÙÔÓÙ Ò ÞÚ Ñ ÑÒÓú ÒÙ G Ò Ò ú ÒÓÚ Ò Ò ÖÒ ÓÔ Ö ÔÐ Ù Ò Ð Ù Ø Ü ÓÑÝ µ Ò ÖÒ ÓÔ Ö Ó Ø ÚÒ º ÈÐ Ø Ø Ý (a b) c = a (b c) ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ø ÔÖÚ Ý ÑÒÓú ÒÝ Gº µ Ü ØÙ Ò ÙØÖ ÐÒ ÔÖÚ e ÑÒÓú ÒÝ G Ø ÓÚ ú ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ ÔÖÚ a ÑÒÓú ÒÝ G ÔÐ Ø a e = a = e aº µ ÈÖÓ ú ÔÖÚ a ÑÒÓú ÒÝ G Ü ØÙ ÒÚ ÖÞÒ ÔÖÚ a 1 ÑÒÓú ÒÝ G Ø ú ÔÐ Ø a 1 a = e = a a 1 º ÈÓÞÒ Ñ ¾º½º Í Ò ÖÒ ÓÔ Ö Ô ÔÓ Ð Ñ ÙÞ Ú ÒÓ Ø Ò ÑÒÓú Ò Gº Ð ÒÙ Ñ Ú Ô ÐÒ Ô Ô Ý ÖÙÔº Ò ¾º¾º ÖÙÔÙ G Ò ÖÒ ÓÔ Ö Ò ÞÚ Ñ ÐÓÚÓÙ ÖÙÔÓÙ ¹Ð Ò ÖÒ ÓÔ Ö ÓÑÙØ Ø ÚÒ Ø º ÔÐ Ø a b = b a ÔÖÓ ú Ú ÔÖÚ Ý a,b Gº Ò ¾º º ÅÒÓú ÒÙ S n Ô ÖÑÙØ n ÔÖÚ {a 1,...,a n } Ò ÞÚ Ñ ÝÑ ØÖ ÓÙ ÖÙÔÓÙº Ðõ Ñ ÔÓ ÑÝ Ø Ö Ù Ñ ÒÓÚ Ø ÓÙ Ó ÖÙ Ø Ð Ó ÔÓÐ º

17 Ò ¾º º Ç ÖÙ Ñ R Ò ÞÚ Ñ ÑÒÓú ÒÙ Ò Ò ú ÓÙ ÒÓÚ ÒÝ Ò ÖÒ ÓÔ Ö + Ø Ò µ Ò Ó Ò µ ÔÐ Ù Ò Ð Ù ØÝ Ü ÓÑÝ µ ÅÒÓú Ò R Ò ÖÒ ÓÔ Ö ÐÓÚ ÖÙÔ º µ ÈÖÓ Úõ Ò a,b,c R ÔÐ Ø a (b+c) = a b+a c (b+c) a = b a+c a Ø º Ò Ó Ò ØÖ ÙØ ÚÒ ÚÞ Ð Ñ Ø Ò Ò ÑÒÓú Ò Rµº µ Ü ØÙ Ò ÙØÖ ÐÒ ÔÖÚ j R Ø ÓÚ ú ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ ÔÖÚ a ÑÒÓú ÒÝ R ÔÐ Ø a j = a = j aº ÈÓÞÒ Ñ ¾º¾º Æ ÙØÖ ÐÒ ÔÖÚ ÚÞ Ð Ñ ÓÔ Ö Ò ÞÚ Ñ ÒÙÐÓÚÑ ÔÖÚ Ñ ÞÒ Ñ 0µ Ò ÙØÖ ÐÒ ÔÖÚ ÚÞ Ð Ñ ÓÔ Ö Ò ÞÚ Ñ ÒÓØ ÓÚÑ ÔÖÚ Ñ ÞÒ Ñ 1µº ÈÓÞÒ Ñ ¾º º Í Ò ÖÒ ÓÔ Ö Ø Ò Ò Ó Ò ÞÒÓÚÙ Ô ÔÓ Ð Ñ ÙÞ Ú ÒÓ Ø Ò ÑÒÓú Ò Rº ÈÓ Ù Ò Ú ÔÖÓ Úõ Ò a,b,c R Ò ÖÒ ÓÔ Ö Ó Ø ÚÒ Ø º (a b) c = a (b c)µ Ò ÞÚ Ñ Ó ÖÙ R Ó Ø ÚÒ Ñ Ó Ö٠Ѻ  ¹Ð Ú Ó ÖÙ Ù R Ò ÖÒ ÓÔ Ö Ò Ó Ò ÓÑÙØ Ø ÚÒ Ø º ÔÖÓ Úõ Ò a,b,c R ÔÐ Ø a b = b aµ Ò ÞÚ Ñ ÓÑÙØ Ø ÚÒ Ñ Ó Ö٠Ѻ Â Ò Ñ Þ Ô Ð Ó ÖÙ Ù ÑÒÓú Ò Ð Ð Z Ô Ñú ÒÙÐÓÚÑ ÔÖÚ Ñ Þ ÐÓ 0 ÒÓØ ÓÚÑ ÔÖÚ Ñ ÐÓ 1º Ò ¾º º Ç ÖÙ Óú ÔÓ ÑÒÓú Ò Ò ÒÙÐÓÚ ÔÖÚ ØÚÓ ÔÓÐÙ ÓÔ Ö Ò ¹ Ó Ò ÖÙÔÙ Ò ÞÚ Ñ Ø Ð Óº  ¹Ð Ò Ú ÓÔ Ö Ò Ó Ò ÓÑÙØ Ø ÚÒ Ò Ø ÑØÓ Ø Ð Ñ Ò ÞÚ Ñ ÓÑÙØ Ø ÚÒ Ø Ð Ó Ò Ó Ø ÔÓÐ º ÈÓÞÒ Ñ ¾º º Ò ÔÓÐ ÚÝÔÐÚ ú ú Ò ÒÙÐÓÚ ÔÖÚ ÔÓÐ Ñ ÒÚ ÖÞÒ ÔÖÚ º È Ð Ñ ÔÓÐ ÑÒÓú Ò Ö ÓÒ ÐÒ Ð Q ÔÓÐÙ ÓÔ Ö Ñ Ø Ò Ò ¹ Ó Ò º ÈÓÞÒ Ñ ¾º º  ÑÓúÒ Ù Þ Ø Ú Þ ØÖº ½ µ ú ÑÒÓú Ò Ð ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø Ø Ñ ÔÓÔ Ð Ú ÚÓ Ò Ô ØÓÐ ØÚÓ ÔÓÐÙ ÓÔ Ö Ñ Ø Ò Ó Ø Ò ÔÓÐ º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú ØÓØÓ ÔÓÐ ÙÞ Ú Ò Ò ÓÔ Ö ÖÙ Ó ÑÓÒ Ò ÞÒ Ñ F xº ¾º¾ ÈÓÐÝÒÓÑÝ Æ Ð Ù Ø ÞÔÖ ÓÚ Ò ÚÝÙú Ø Ñ Þ ÖÓ ½¾ ½ ÈÖÓ ØÙØÓ ÔÖ Ù ÓÙ Ð ú Ø Ø Ò Ø Ö ÔÓ ÑÝ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ º Ò ¾º º Æ F ÔÓÐ a 0,a 1,...,a n Ó ÔÖÚ Ýº ÙÒ p : F F ÒÓÚ Ò Ô Ô Ñ p(x) = a 0 x n +a 1 x n 1 + +a n 1 x+a n Ò ÞÚ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ x Ò ÔÓÐ ÑFº ÐÓnÒ ÞÚ Ñ ØÙÔÒ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙpº ÃÓ ÒØa 0 Ò ÞÚ Ñ Ú ÓÙ Ñ Ó ÒØ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ pº  ¹Ð Ú ÓÙ Ó ÒØ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p ÖÓÚ Ò 1 Ò ÞÚ Ñ Ø ÒØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÑÓÒ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñº ÈÓÞÒ Ñ ¾º º ËØÙÔÒ Ñ ÓÒ Ø ÒØÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ 0º ÈÖÓ ÒÙÐÓÚ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò ØÙ¹ Ô ÒÓÚ Òº ½¼

18 ÈÓÞÒ Ñ ¾º º ÅÒÓú Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ Ò F ØÚÓ Ó ÖÙ Ø Ö Ù Ñ ÞÒ Ø F[x]º Ò ¾º º ÐÓ k F Ò ÞÚ Ó Ò ÔÓÐÝÒÓÑÙ p(x) ØÐ ú p(k) = 0º Ò ¾º º ÐÓ α Ò ÞÚ Ñ Ð Ö Ñ Ð Ñ ¹Ð Ó Ò Ñ Ò Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØݺ Ò ¾º º Å Ò Ñ ÐÒ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ ÔÖÚ Ù a ÔÓÐ F ÖÓÞÙÑ Ñ ÑÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ñ Òõ Ó ØÙÔÒ p(x) Ø ÓÚ ú p(a) = 0º Ò ¾º½¼º ÈÓÐÝÒÓÑ ØÙÔÒ Ð ÔÓ ½ Ò Ó Ó ÖÙ Ù F[x] Ö Ù ÐÒ Ò Ó ÖÙ Ñ F[x] ÔÓ Ù ÔÖÓ ú Ó ÖÓÞ Ð p(x) = f(x)g(x) f,g F[x] ØÙÔ ÒÓ Ó Þ ÔÓÐÝÒÓÑ f,g ÖÓÚ Ò ¼º È Ð ¾º½º Â Ó Ô Ð ÙÚ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÝ p 1 (x) = x 2 9 = (x+3)(x 3), ( p 2 (x) = 4x 2 1 = 4 x+ 1 2 )( x 1 2 ÈÓÐÝÒÓÑ p 1 Ö Ù ÐÒ Ò Ó ÖÙ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÓ ÐÒÑ Ó ÒØÝ Z[x] ÔÖÓ¹ ØÓú Ó ÔÓÐÝÒÓÑÝx+3 x 3 ÓÙ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ó ÖÙ Ù Z[x]º Æ ÔÖÓØ ØÓÑÙ ÔÓÐÝÒÓÑp 2 Ö Ù ÐÒ Ò Ó ÖÙ Ñ Z[x] Ð Ö Ù ÐÒ Ò Ó ÖÙ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØÝ Q[x]º ÈÓÞÒ Ñ ¾º º Ä ÓÚÓÐÒ Ð Ö ÐÓ α ÐÞ ÚÝ Ø Ó Ó Ò Ò Ó Ñ Ò ¹ Ñ ÐÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ Þ Q[x]º Ì ÒØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÞÒ Ñ p α(x) Ö Ù ÐÒ Ð ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Q[x] Óú ÐÓ α Ó Ò Ñº Ò ¾º½½º Îõ ÒÝ Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙp α (x) Ò ÞÚ Ñ Ð ÓÒ Ù ÓÚ Ò Ð Ñαº Â ÓٹРÚõ Ò ÓÒ Ù ÓÚ Ò Ð ÒÑ Ð Ö Ñ Ð Ñ Ö ÐÒ Ò ÞÚ Ñ ØÓØÓ Ð Ö ÐÓ Ð Ñ ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒѺ ÅÒÓú ÒÙ Úõ ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ Ð Ò Ó ÔÓÐ F ÞÒ Ñ F TR º È Ð ¾º¾º Â Ó Ô Ð ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ Ó Ð ÙÚ Ñ ÐÓ 7+3 3º  Р¹ Óú Ó Ð Ö ÐÓ Ñ ú Ñ Ó ÚÝ Ø Ó Ó Ò Ö Ù ÐÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ú Q[x]º Ç Ø ØÒ Ó ÒÝ ØÓ ÓØÓ ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ø Ý Ð ÓÒ Ù ÓÚ Ò Þ ÒÑ Ð Ñµ ÓÙ ± 7±3 3º ÌÚ Ö ØÓ ÓØÓ ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ú Q Ø Ý ( x+ 7+3 )( 3 x 7+3 )( 3 x+ 7 3 )( 3 x = x 4 14x 2 +22, ). 7 3 ) 3 = Óú ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØݺ ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú ÓÙ Úõ Ò Ð ÓÒ Ù ÓÚ Ò Ð Ñ Ö ÐÒ ÐÓ ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ º Æ ÔÖÓØ ØÓÑÙ Ò Ô Ð ÐÓ 2+ 5 Ò Ò ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ ÔÖÓØÓú Ú Þ Ó ÓÒ Ù ÓÚ Ò Ð ± 2 5 ÓÙ Ð Ñ Ò ÖÒ º Ðõ Ñ Þ Þ Ð Ò ÔÓ Ñ Ø Ö Ú Ø ØÓ Ø ÙÚ Ñ Ù ÓÙ Ø Ø ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ º ½½

19 Ò ¾º½¾º Æ F ÔÓÐ a k1 k 2 k n k 1,k 2,...,k n ÓÙ Ô ÖÓÞ Ò Ð Ó ÔÖÚ Ýº ÙÒ p(x 1,x 2,...,x n ) = a k1 k 2 k n x k 1 1 x k 2 2 x kn n Ø Ñ Ô (k 1 k 2 k n) Úõ ÒÝ Ù ÔÓ Ò n¹ø (k 1 k 2 k n ) Ò ÞÚ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ Ò ÔÓÐ Ñ Fº ËØÙÔÒ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ó n ÔÖÓÑ ÒÒ Ò ÞÚ Ñ Ñ Ü ÑÙÑ Þ Ð k 1 +k 2 + +k n ÔÖÓ Ø Ö a k1 k 2 k n 0º Ì ÖÑ Ñ Ô Ò ÞÚ Ñ ú Þ ÚÖ Þ a k1 k 2 k n x k 1 1 xk 2 2 xkn n º ÈÓÞÒ Ñ ¾º º Ç ÖÙ Úõ ÔÓÐÝÒÓÑ n ÔÖÓÑ ÒÒ Ò ÔÓÐ Ñ F Ù Ñ ÞÒ Ø F[x 1,x 2,...,x n ]º à ú ÔÓÐÝÒÓÑ ØÓ ÓØÓ ÔÓÐ ÓÙ Ø Ñ Ô ÐÙõÒ Ø ÖÑ º ÈÖÓ Ò õ ÔÖ Ù Ø Ð ú Ø ÙÑ Ø Ù ÔÓ Ø Ø ÖÑÝ Ò Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙº Ò ¾º½ º ÔÐÒÑ Ù ÔÓ Ò Ñ Ø ÖÑ ÞÒ Ñ < T Ò ÑÒÓú Ò Ø ÖÑ T ÖÓÞÙ¹ Ñ Ñ Ù ÔÓ Ò Òú ÔÖÓ Úõ ÒÝ Ø ÖÑÝ r,s,t T ÔÐ Ù µ αx 0 1 x0 2 x0 n = α < T t µ  ¹Ð s < T t ÔÓØÓÑ r s < T r tº ÔÐÒ Ù ÔÓ Ò Ø ÖÑ ÐÞ Þ Ú Ø ÑÒÓ ÞÔ Ó Ýº Â Ò Ñ Þ Ò ØÞÚº Ð Ü Ó Ö Ù ÔÓ Ò º Ò ¾º½ º Ä Ü Ó Ö Ù ÔÓ Ò Ø ÖÑ < L ÒÙ Ñ Ò Ð ÓÚÒ αx k 1 1 x k 2 2 x kn n < L βx l 1 1 x l 2 2 x ln n ÔÖ Ú Ø Ý Ýú Ü ØÙ m N Ø ú k m < l m Þ ÖÓÚ k i = l i ÔÖÓ i {1,2,...,m 1}º ÈÓÞÒ Ñ ¾º½¼º Å Ñ ¹Ð Ô ÐÙõÒ ÔÐÒ Ù ÔÓ Ò Ø ÖÑ Ñ ú Ñ Ò Ø Ò ÚÝõõ Ø ÖÑ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p ÚÞ Ð Ñ Ò ÑÙ Ù ÔÓ Ò º Ì ÓÚ ÑÙ Ø ÖÑÙ Ù Ñ Ø Ú ¹ ÓÙ Ø ÖÑ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p Ù Ñ ÞÒ Ø LT(p)º  ¹Ð αx k 1 1 xkn n Ú ÓÙ Ñ Ø ÖÑ Ñ Ò Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ô α Ò ÞÚ Ñ Ú ÓÙ Ñ Ó ÒØ Ñ ØÓ ÓØÓ ÔÓÐÝÒÓÑÙº È Ð ¾º º Â Ó Ô Ð Ò Ñ Ñ ú ÔÓ ÐÓÙú Ø ÔÓÐÝÒÓÑ p(x,y) = 3xy 3 2x 2 y 2 +7xº ÈÐ Ø 7x < L 3xy 3 < L 2x 2 y 2 Ø Ý LT <L (p) = 2x 2 y 2 º Ò ¾º½ º Æ R Ó ÖÙ t 1,...,t n Ó Ð Ò ÖÒ Ò Þ Ú Ð ÔÖÚ Ýº Æ x ÔÖÓÑ ÒÒ G ÝÑ ØÖ ÖÙÔ Ô ÖÑÙØ n Ô ÖÓÞ Ò Ðº Æ σ Ô ÖÑÙØ ÔÖÚ (t 1,...,t n )º ÈÖÓ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ p(t 1,...,t n ) ÒÙ Ñ σp ( t 1,...,t n ) = p(t σ(1),...,t σ(n) ). ÈÓÐÝÒÓÑ p Ò ÞÚ Ñ ÝÑ ØÖ Ñ ÔÓ Ù ÔÐ Ø σp = p ÔÖÓ Úõ ÒÝ Ô ÖÑÙØ σ Gº È Ð ¾º º Â Ó Ô Ð ÙÚ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ p(t 1,t 2 ) = t 3 1 t3 2º Ì ÒØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ò ÝÑ ØÖ ÔÖÓØÓú ÔÖÓ Ô ÖÑÙØ σ : t 1 t 2 σ : t 2 t 1 Ó Ø Ú Ñ t 3 2 t 3 1 t 3 1 t 3 2 σp p. Æ ÓÔ ÔÓÐÝÒÓÑ t 3 1 +t 3 2 ÝÑ ØÖ ÔÖÓØÓú t 3 2 +t 3 1 = t 3 1 +t 3 2º Ë ÚÝÙú Ø Ñ ÔÓÞÒ Ø Ó ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ ÒÝÒ ÖÓÞ Ö Ñ ØÙ ÔÖÓ ÔÓÐݹ ÒÓÑ p(x) = (x t 1 )(x t 2 ) (x t n ) = x n s 1 x n 1 + ( 1) n s n, ½¾

20 Ó ÒØÝ s j ÓÙ Ú ØÚ ÖÙ s 0 = 1 s 1 = t 1 +t t n, s j = ÓÙ Ø Úõ Ö ÞÒ ÓÙ Ò Ó j Ò Ø Ð ÔÖÚ t 1,...,t n, s n = t 1 t 2 t n. ÈÓÐÝÒÓÑÝ s j (t 1,...,t n ) 1 j n Ò ÞÚ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ÔÖÚ t 1,...,t n º Å ú Ñ Ø Ý ÔÓÙú Ø ÚÝ Ò n (x t k ) = k=1 n ( 1) j s j (t 1,...,t n )x n j. j=0 Æ Ô Ð ÔÖÓ ÔÓÐÝÒÓÑ (x t 1 )(x t 2 )(x t 3 ) Ó Ø Ú Ñ (x t 1 )(x t 2 )(x t 3 ) = x 3 (t 1 +t 2 +t 3 )x 2 +(t 1 t 2 +t 2 t 3 +t 1 t 3 )x t 1 t 2 t 3, Ô Ñú Úõ ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ÓÙ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑݺ s 1 = t 1 +t 2 +t 3, s 2 = t 1 t 2 +t 2 t 3 +t 1 t 3, s 3 = t 1 t 2 t 3 Ð ÙÚ Ñ Ð ú ØÓÙ Ú ØÙ Ø Ö Ò Ñ Ù Ú ÚÞØ Ñ Þ Ñ Þ ÝÑ ØÖ Ñ ÔÓÐݹ ÒÓÑÝ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ñ ÝÑ ØÖ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ÔÓ Ð Ò ú ÐÞ ú ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ ÚÝ Ø ÔÓÑÓ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ º Î Ø ¾º½º Æ p(t 1,t 2,...,t n ) F[t 1,t 2,...,t n ] ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÙÔÒ kº È Ü ØÙ ÔÓÐÝÒÓÑq(x 1,x 2,...,x n ) ØÙÔÒ k Ø ú q(s 1,s 2,...,s n ) = p(t 1,t 2,...,t n ) s 1 (t 1,t 2,...,t n ),s 2 (t 1,t 2,...,t n ),...,s n (t 1,t 2,...,t n ) ÓÙ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑݺ Þº Î ØÙ Ù Ñ Ó ÞÓÚ Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓÙ Ò Ù ÔÓ Ð ÔÓ ØÙ ÔÖÓÑ ÒÒ nº ËÒ ÒÓ Ù ú Ñ ú Ú Ø ÔÐÒ Ò ÔÖÓ n = 1 Ò Ó Ø ÔÐ Ø s 1 = t 1 Ñ ú Ñ Ø Ý ÙÚ úóú Ø Ô ÑÓ p(t 1 ) = p(s 1 )º Ð Ô ÔÓ Ð Ñ ú Ú Ø ú ÔÐ Ø ÔÖÓ n 1 ÔÖÓÑ ÒÒ º ÇÞÒ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ f(x 1,x 2,...,x n ) = (x t 1 ) (x t n )º ÈÓ Ù ÔÖÓ Ø ÒØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÓÐÓú Ñ t n = 0 ÙÔÖ Ú Ñ Þ Ñ ÚÞØ (x t 1 ) (x t n 1 ) x = x n s 1 (t 1,...,t n 1 )x n 1 + +( 1) n 1 s n 1 (t 1,...,t n 1 )x. ¾º½µ Ð ÚÝÙú Ñ Ñ Ø Ñ Ø ÓÙ Ò Ù ÔÓ Ð ØÙÔÒ kº ÈÖÓ k = 0 Ò õ Ú Ø Ø ÔÐ Ø ÔÖÓØÓú Ú Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ p ØÚ Ö ÓÒ Ø ÒØݺ Ð ÙÚ úù Ñ k > 0 Ô ¹ ÔÓ Ð Ñ ú Ú Ø ú ÝÐ Ó Þ Ò ÔÖÓ Úõ ÒÝ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ØÙÔÒ Ñ Òõ Ó ½

21 Ò ú kº ØÓ ÓØÓ Ô ÔÓ Ð Ù Þ ¾º½µ ÔÐÝÒ ú Ü ØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ p 1 ØÙÔÒ k ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø p 1 (s 1,s 2,...,s n 1 ) = f(t 1,t 2,...,t n 1,0). ÈÖÓØÓú ÔÓÐÝÒÓÑ p 1 (s 1,s 2,...,s n 1 ) Ñ ØÙÔ k Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ q 1 (t 1,t 2,...,t n ) = p(t 1,t 2,...,t n ) p 1 (s 1,s 2,...,s n 1 ) ØÙÔ kº Æ Ú Ø Ó ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ p,s 1,...,s n 1 ÓÙ ÝÑ ØÖ µº Æ ¹ Ú Ú Ñ ú q 1 (t 1,t 2,...,t n 1,0) = 0º Ì ØÓ ÖÓÚÒÓ Ø Úõ Ñ ú Ò Ø Ø ÔÓÙÞ Ú Ô Ô ú t n Ó Ò Ñ q 1 Ø Ý t n Ð q 1 º ÈÖÓØÓú Úõ q 1 ÝÑ ØÖ ÑÙ t 1,...,t n 1 Ø Ó Ó Òݺ ÈÐ Ø Ø Ý q 1 = s n q 2 (t 1,...,t n ) q 2 ÑÙ Ø ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ØÙÔ k n Ø Ý < kº ÈÓ Ð Ò Ù Ò Ó Ô ÔÓ Ð Ù Ô Ü ØÙ ÔÓÐÝÒÓÑ q 3 Ó n ÔÖÓÑ ÒÒ ØÙÔÒ Ñ k n ÔÖÓ Ø Ö q 2 (t 1,t 2,...,t n ) = q 3 (s 1,s 2,...,s n )º Ú Ñ Ø Ý p(t 1,t 2,...,t n ) = p 1 (s 1,s 2,...,s n 1 )+s n q 3 (s 1,s 2,...,s n ). Îõ ÒÝ ÚÖ ÞÝ Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò Ø ØÓ ÖÓÚÒÓ Ø ÓÙ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ¹ ÔÓÐÝÒÓÑ ØÙÔ k Ñú Ò õ Ú Ø Ó Þ Ò º È Ð ¾º º ÍÚ úù Ñ ÒÝÒ ÔÓÐÝÒÓÑ p(x,y,z) = xy(z 2 +1)+xz(y 2 +1)+yz(x 2 +1). ËÒ ÒÓ Ñ ú Ñ ÓÚ Ø ú Ó ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓѺ ÈÓ Ð Ú ØÝ ¾º½ Ø Ý ÐÞ ÚÝ ¹ Ø ÔÓÑÓ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ s 0 (x,y,z) = 1 s 1 (x,y,z) = x+y +z s 2 (x,y,z) = xy +xz +yz s 3 (x,y,z) = xyzº ÊÓÞÒ Ó Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ó Ø Ò Ñ p(x,y,z) = xyz 2 +xy +xy 2 z +xz +x 2 yz +yz. ÈÓ ÔÖ Ú ÔÓ Ô Ù ÔÓ Ò Ô Ó Ø Ò Ñ p(x,y,z) = xyz(x+y +z)+xy +xz +yz = s 3 (x,y,z) s 1 (x,y,z)+s 2 (x,y,z), Ñú Þ Ú Ñ ÚÝ Ò Þ Ò Ó ÝÑ ØÖ Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ ÔÓÑÓ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ý¹ Ñ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ º ¾º Ö Ò ÖÓÚÝ Þ Ì ØÓ Ø ÞÔÖ ÓÚ Ò ÚÝÙú Ø Ñ Þ ÖÓ ½¾ ½ ½ ½ ¾¾ º ½

22 Î Ô Ø Ô ØÓÐ Ø ØÓ ÔÖ Ù Ñ Þ Ú Ø ØÞÚº ÙØÓÑ Ø Ñ ÞÝ Ú ÓÑ ØÖ º ÈÖÓ ØÝØÓ ÞÝ Ð ú Ø ÔÓ Ñ Ö Ò ÖÓÚ Þ Ø Ö ÒÝÒ ÔÓ ØÙÔÒ Ò Ø Ò Ñ º ÎÞ Ð Ñ Ò ÖÓ ÒÓ Ø ÖÓÞ Ù Ø ØÓ Ø ÓÖ ÙÚ Ñ Ú Ò õ ÔÖ ÔÓÙÞ Þ Ð Ýº Ð Ò Ô Ø ØÓ Ø ÓÖ ÔÓÔ Ò Ò Ô Ð Ú ½ º Æ ÔÖÚ ÑÙ Ñ Þ Ú Ø ÔÓ Ñ Ðº Ò ¾º½ º ÈÓ ÑÒÓú Ò I Ó ÖÙ Ù F[x 1,x 2,...,x n ] Ò ÞÚ Ð ØÐ ú µ 0 Iº µ  ØÐ ú f,g I ÔÓØÓÑ f +g Iº µ  ØÐ ú f I c F[x 1,x 2,...,x n ] ÔÓØÓÑ cf Iº ÈÓÞÒ Ñ ¾º½½º Á Ð Ø Ý ÑÒÓú Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ú ÙÞ Ú Ò Ò ÓÔ Ö Ø Ò Ò ÓÔ Ö Ò Ó Ò Ó ÔÖÚ Ð ÓÚÓÐÒÑ ÔÖÚ Ñ Ó ÖÙ Ù ÔÓÐÝÒÓÑ ÓnÔÖÓÑ ÒÒ F[x 1,x 2,...,x n ]. Ð Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø ÔÓ Ñ Ð Ò ÖÓÚ Ò ÒÑ ÔÓÐÝÒÓÑݺ Î Ø ¾º¾º Æ p 1,...,p r ÓÙ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ó ÖÙ Ù F[x 1,x 2,...,x n ]º ÈÓØÓÑ ÑÒÓú Ò p 1,...,p r p 1,...,p r = {g 1 p g r p r ;g 1,...,g r F[x 1,x 2,...,x n ]}, к Ì ÒØÓ Ð Ò ÞÚ Ñ Ð Ò ÖÓÚ Ò ÔÓÐÝÒÓÑÝ p 1,...,p r º Þº Î Ó ÒÓÙ ÚÓÐ ÓÙ ÔÓÐÝÒÓÑ g 1,...,g r Ñ ú Ñ Ò ÒÓ ÓÚ Ø ú Ò ÑÒÓú Ò p 1,...,p r ÔÐ Ù Ò ÐÙ ¾º¾º ÈÓÞÒ Ñ ¾º½¾º Á Ð I ÓÒ Ò Ò ÖÓÚ Ò Ü ØÙ ¹Ð Ú Ó ÖÙ Ù F[x 1,x 2,...,x n ] ÔÓÐÝÒÓÑÝ p 1,...,p r Ø ú I = p 1,...,p r º È Ñ ú p 1,...,p r ØÚÓ Þ ¹ ÐÙ Iº à ú Þ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ó ÐÙ Ø Ý ÐÞ Ò ÖÓÚ Ø ÔÓÑÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ú Ú Þ ØÓ ÓØÓ ÐÙº È Ð ¾º º ÍÚ úù Ñ ÒÝÒ Ð Ó ÖÙ F[x 1,x 2,...,x n ]º ËÒ ÒÓ Ñ ú Ñ Ò Ð ÒÓÙØ ú Ø ÒØÓ Ó ÖÙ ÔÐ Ù Ò ÐÙº Ð Ú ØÝ ¾º¾ 1 = {g,g F[x 1,x 2,...,x n ]} = F[x 1,x 2,...,x n ]. ÈÖÚ 1 Ø Ý Ò ÖÙ Ð Ó ÖÙ F[x 1,x 2,...,x n ]º Þ ÐÙ Úõ Ò Ò ÙÖ Ò ÒÓÞÒ Ò Ò Ð Ñ ú Ñ Ø ÑÒÓ Ó Ö ÞÒ Þ º Â Ò Ñ Ô ÐÒ Ñ ØÝÔ Ñ Þ Ô ú Ú ÚÓ Ù Ø ØÓ Ø ÞÑ Ò Ò Ö Ò ÖÓÚ Þ º Ò ¾º½ º Æ < T ÔÐÒ Ù ÔÓ Ò Ò ÑÒÓú Ò Ø ÖÑ T Ò ÑÒÓú Ò I F[x 1,x 2,...,x n ] к Ö Ò ÖÓÚÓÙ Þ ÐÙ I Ó ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓú Ò G = {g 1,...,g n } Ø ÓÚ ú LT <T (g 1 ),...,LT <T (g n ) = LT <T (I). ½

23  ÒÓÙ Þ Þ Ñ Ú ÚÐ ØÒÓ Ø Ö Ò ÖÓÚ Þ Ò Ñ Ù ÞÙ Ò Ð Ù Ú Ø º Î Ø ¾º º Æ G = {g 1,...,g n } Ö Ò ÖÓÚ Þ ÐÙ Iº ÈÓÐÝÒÓÑ p I ÔÖ Ú Ø Ý Ýú Þ ÝØ ÔÓ Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑÙ p ÔÓÐÝÒÓÑÝ Þ G ÖÓÚ Ò ÒÙÐ º Þº Þ Ú ØÝ Ñ ú Ñ Ò Ø Ú ½ º ÈÓÞÒ Ñ ¾º½ º Ð Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙpÔÓÐÝÒÓÑ Ñq ÖÓÞÙÑ Ñ Ò Ð Þ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ s,r Ø ú p = sq+r ØÙÔ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p Ñ Òõ Ò ú ØÙÔ ÔÓÐÝÒÓÑÙ qº ÈÓÐÝÒÓÑ p Ò ÞÚ Ñ Þ ÝØ Ñ ÔÓ Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑÙ p ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ qº ÈÓ Ù r = 0 Ñ ú ÔÓÐÝÒÓÑ q Ð ÔÓÐÝÒÓÑ pº Î Ó Ð Ò ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÞ Ò Ð ÞØ Ò Ô Ð Ú ¾¾ º ÈÖÓ Ò õ ÔÓØ Ý Ù Ò Ð ú Ø õ ÔÓ Ñ Ö Ù ÓÚ Ò Ö Ò ÖÓÚ Þ º Ò ¾º½ º Ê Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ÖÓÚÓÙ Þ G R ÐÙ I ÖÓÞÙÑ Ñ Ø ÓÚÓÙ Ö ¹ Ò ÖÓÚÙ Þ ØÓ ÓØÓ ÐÙ Ø Ö ÔÐ Ù µ à ú ÔÓÐÝÒÓÑ g G R Ñ Ú ÓÙ Ó ÒØ ÖÓÚ Ò 1º µ ÈÖÓ ú ÔÓÐÝÒÓÑ g G R ú Ò Þ Ø ÖÑ ÔÓÐÝÒÓÑÙ g Ò Ð ú Ú LT(G R {g})º Î Ø ¾º º ÈÖÓ Ò Ð I Ü ØÙ Ò Ö Ù ÓÚ Ò Ö Ò ÖÓÚ Þ º Þº Þ Ø ØÓ Ú ØÝ ÙÚ Ò Ú ½ º Î Ó Ö Ò ÖÓÚ Þ ÐÞ Ò Ø Ò Ô Ð Ú ½ ½ º Ø ÔÓÔ Ò ØÞÚº Ù Ö Ö Ú Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ÙÑÓú Ù ÚÔÓ Ø Ö Ò ÖÓÚÝ Þ ÐÙ Ò ¹ ÖÓÚ Ò Ó ÒÑ ÔÓÐÝÒÓÑݺ Ì ÒØÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ØÓ ÚÝÙú Ú Ñ Ø Ñ Ø ÔÖÓ Ö Ñݺ Â Ò Ñ Þ Ò ÔÖÓ Ö Ñ Å Ø Ñ Ø Ø Ö Ù Ñ ÚÝÙú Ú Ø Ú Ô Ø Ô ØÓÐ Ò õ ÔÖ º Ê Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ÖÓÚÙ Þ ÐÙ Ò ÖÓÚ Ò Ó ÔÓÐÝÒÓÑÝ p 1,...,p n Þ ÙÖ Ñ ÔÓÑÓ Ô ÞÙ ÖÓ Ò Ö {p 1,...,p k ;},{x 1,...,x n } ÖÙ ÓÙ ÑÒÓú ÒÓÙ Ú ØÓÑØÓ Ô ÞÙ ÑÒÓú Ò ÔÖÓÑ ÒÒ º È Ð Ý ÚÔÓ ØÙ Ö Ù Ó¹ Ú Ò Ö Ò ÖÓÚÝ Þ Ù ú Ñ Ú Ô Ø Ô ØÓÐ º ½

24 Ã Ô ØÓÐ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ð Ø Ø Ô ØÓÐ ÞÔÖ ÓÚ Ò Þ Ñ Ò ÚÝÙú Ø Ñ Þ ÖÓ ½ º ÈÓ Þ Ú Ò Þ Ð Ò ÔÓ Ñ ú Ñ ú Ñ Ú ÒÓÚ Ø ÓÒ ØÖÙ Ñ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ù ú Ñ ÓÒØÖÙ ÑÓúÒ ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ ØÞÚº Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ º º½ ÇÖ Ñ ÚÓ Æ ÔÖÚ ÙÚ Ñ Ò ÓÖ Ñ ÚÓ Ñ ú ÙØÓÖÝ ÓÙ º Ù ÐÝ Âº Ð Ú Ð Ò Ú Þ ½ µº Ò º½º ÚÓ {P,L} Ò ÞÚ Ñ ÓÖ Ñ ÚÓ ÔÓ Ù P Ø ÑÒÓú Ò Ó Ú ÖÓÚ Ò R 2 L ÑÒÓú Ò Ô Ñ Ú ÖÓÚ Ò R 2 ÔÐ Ø Ò Ð Ù ÔÓ Ñ Ò Ý µ ÈÖ Ò Ñ ÚÓÙ Ò ÖÓÚÒÓ úò Ô Ñ Þ L Ó Ú Pº µ ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ú Ö ÞÒ Ó Ý Þ P Ü ØÙ Ô Ñ Ú L Ø Ö Ñ ÔÖÓ Þ º µ ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ú Ö ÞÒ Ó Ý Þ P Ó Ý Ò Ø Ñ ØÓ Ó Ý Ô Ñ ÓÙ Ú Lº Úµ ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ú Ô Ñ Ý Þ L Ô Ñ ú Úõ ÒÝ Ó Ý Ñ Ó Ó ÓÙ Ø ØÓ Ô Ñ Ø ÒÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ô Ñ ÓÙ Ú Lº Úµ  ÓٹРl 1 l 2 Ô Ñ Ý Ú L Ô Ü ØÙ Ô Ñ l 3 Ú L ú Ó Ö Þ Ñ Ô Ñ Ý l 2 Ú Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø ÔÓ Ð Ô Ñ Ý l 1 º ÈÓÞÒ Ñ º½º Îõ ÒÝ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø Ú ÓÙÐ Ù Ò º½ Ù Ñ Ò ÞÚ Ø Þ Ð Ò Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ ÓÖ Ñ º Ý ÓÑ Ù Þ Ð ú ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ Ø Ò Ó ÔÓÑÓ ÖÙú Ø ÔÖ Ú Ø ÐÞ ÔÖÓÚ Ø ÑÒÓ Ó Ö ÞÒ ÓÒ ØÖÙ ÙÚ Ñ Ò Ô Ð Ò Ð Ù Ð ÑÑ º ½

25 l 2 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ l 1 l 3 Ç Ö Þ º½ Ó Ý µ ú Úµ Ò º½ Ä ÑÑ º½º Æ Ò Ô Ñ l Ó P º È ÑÓúÒ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ ØÖÓ Ø ÖÓÚÒÓ ú Ù Ô Ñ ÓÙ l ÔÖÓ Þ Ó Ñ P º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ ÊÓÚÒÓ ú P l 6 P 1 l P 2 P 4 l 1 l 5 l 2 l 3 l 4 P 3 Ç Ö Þ º¾ ÊÓÚÒÓ ú ÒÑ Ó Ñ Þº  ÓÙ ÒÝ Ô Ñ l Ó P º Æ Ô Ñ l ÞÚÓÐ Ñ Ð ÓÚÓÐÒ ¾ Ö ÞÒ Ó Ý P 1 P 2 º ÈÓ Ð Ò º½ µ Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø Ô Ñ Ù l 1 ÔÖÓ Þ Ó Ý P P 1 Ô Ñ Ù l 2 ÔÖÓ Þ Ó Ý P P 2 º ÈÓ Ð Úµ Ø ú Ò Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø Ô Ñ Ý l 3 l 4 Ó Ó Ö ÞÝ Ô Ñ l 1 l 2 Ú Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø ÔÓ Ð Ô Ñ Ý lº Ë ÚÝÙú Ø Ñ µ ÓÞÒ Ñ ÔÖ Ô Ñ l 3 l 4 Ó Ó P 3 º ÈÓ Ð µ Ô Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø Ô Ñ Ùl 5 ÔÖÓ Þ Ó ÝP 3 P º ÈÖ Ø ØÓ Ô Ñ Ý Ô Ñ ÓÙlÓÞÒ Ñ ÔÓ Ð µ Ó Ó P 4 º Æ Ð Ò ÚÝÙú Ø Ñ µ ØÖÓ Ñ Ó Ù l 6 Ý PP 4 º Æ ÓÒ ÞÓ Ö Þ Ò Ñ Ô Ñ Ý l Ú Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø ÔÓ Ð Ó Ý l 6 ÚÝÙú Ø Ñ Úµ Þ Ñ ÔÓú ÓÚ ÒÓÙ ÖÓÚÒÓ ú Ù Ô Ñ ÓÙ l ÔÖÓ Þ Ó Ñ P º ½

26 º¾ O¹ Ð Î Ø ØÓ Ø Ø Ø Ô ØÓÐÝ Ù ú Ñ Ð Ø Ö ÓÙ ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ º Ò º¾º ÈÓ ÑÒÓú Ò P ÖÓÚ ÒÝ R 2 ÙÞ Ú Ò Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ ÔÓ Ù Ü ØÙ ÑÒÓú Ò Ô Ñ L Ø ú {P,L} ØÚÓ ÓÖ Ñ ÚÓ º Ò º º ÅÒÓú ÒÙ P O ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø [0,0],[0,1] P O P O ÙÞ Ú Ò Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ò ÞÚ Ñ ÑÒÓú ÒÓÙ ÓÖ Ñ ØÖÓ Ø ÐÒ Ó º Ò º º ÅÒÓú ÒÓÙ Ð ÓÖ Ñ ÑÒÓú Ò F O = {α R; P 1,P 2 P O Ø ÓÚ ú α ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó P 1,P 2 }º ÈÓÞÒ Ñ º¾º Ð ÓÖ Ñ Ù Ñ Ð ÞÒ Ø O¹ Ð º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú Ñ ú Ñ ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ò Ø Ò ÒÓ Ø Þ Ò Ý Þ Ñ ú Ð 1, 1, 1,... ÓÙ O¹ Ð º O¹ ÐÝ ÓÙ Ò Ú Úõ Ò Ð Ú ØÚ ÖÙ n 1 n Nº Æ Ó Ö Þ Ù º ÞÒ ÞÓÖÒ Ò ÓÒ ØÖÙ Ð 1 ÔÓÑÓ 5 Ô Ñ Ý ÔÖÓ Þ Ó Ñ [0, 1 ] ÖÓÚÒÓ úò Ô Ñ ÓÙ ÒÓÙ Ó Ý [0, 5 ] [1,0]º 4 4 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ [0,1) [0, 3 ] 4 [0, 1] 4 [0,0] [0, 5 4 ] [0, 1 2 ] [ 1 5,0] [1,0] Ç Ö Þ º ÃÓÒ ØÖÙ Ð 1 5 Ð Ù ÞÙ ú ÓÙ Ø ÖÓÞ Ð O¹ Ð ÐÓ ÒÚ ÖÞÒ O¹ ÐÙ ÓÙ Ò ÔÓ Ð O¹ Ð ÓÙ Ø Ø ú O¹ Ð Ú Þ Ó Öº º µº Ñ ÚÓÙ ÙØ ÒÓ Ø ú ÒÙ Þ Ø O¹ Ð Ñ ú Ñ ÔÓÔ Ø ÚÝÙú Ø Ñ ÔÖ ÚÓ ¹ Ð ØÖÓ ÐÒ º Ì ØÓ Ø Ù Ñ Ú ÒÓÚ Ø Ú Þ ÝØ Ù Ø ØÓ Ô ØÓÐݺ Î Ø º¾º ÅÒÓú Ò O¹ Ð F O ÔÓÐ ÙÞ Ú Ò Ò ÓÔ Ö a 1+a 2 º Ø Ý ÔÓ Ù Ú ÞÑ Ñ ÐÓ a F O Ô 1+a 2 ÐÓ a F O µº Æ Ô Ð ÔÖÓ ÐÓ a = 3 Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø ÐÓ 10º ÐÓ 10 Ø Ý O¹ РѺ ½

27 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ [0,a] [0,0] ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ [0,1] [1,a] [b,a b] [1,0] [b,0] [a,1] [1,a 1 ] [0,0] [1,0] [a,0] Ç Ö Þ º ÃÓ ØÖÙ Ð a b ÚÐ ÚÓµ a 1 ÚÔÖ ÚÓµ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ Þº à ØÖÓ Ò Ð 1+a 2 ÚÝÙú Ñ ÚÐ ØÒÓ Ø ÔÖ ÚÓ Ð Ó ØÖÓ ÐÒ Ùº ÈÓ¹ Ù ØÖÓ Ñ ÔÖ ÚÓ Ð ØÖÓ ÐÒ Óú Ó Ú ÒÝ Ù ÓÙ Ñ Ø Ð Ý 1 a Ô Ô ¹ ÔÓÒ ØÓ ÓØÓ ØÖÓ ÐÒ Ù Ù Ñ Ø Ð Ù ÔÖ Ú 1+a 2 º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ [0,1] [0,0] [a,0] Ç Ö Þ º ÃÓÒ ØÖÙ Ð 1+a 2 ÆÝÒ Ú Ñ ú ÔÓÑÓ ÓÔ Ö 1+a 2 Ñ ú Ñ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø O¹ Ð º Ý ÓÑ Þ Ø Ð Ø Ö ÓÑ ØÖ ØÚ ÖÝ ÐÞ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ ÔÓØ Ù Ñ Ò Ø Úõ ÒÝ Þ ÝÐ ÓÔ Ö ÔÓÑÓ Ò ú Ñ ú Ñ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø O¹ Ð º Ò º º ÈÓÐ F 1+a2 Ò Ñ Òõ ÔÓ ÔÓÐ ÑÒÓú ÒÝ ÓÑÔÐ ÜÒ Ð ÙÞ Ú Ò Ò ÓÔ Ö a 1+a 2 º ÈÓ Ð Ú ØÝ º¾ Ú Ñ ú F 1+a 2 F Oº Î Ò Ð Ù Ú Ø Ù ú Ñ ú ÔÐ Ø Ó ÓÒ F 1+a 2 = F O º ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ú ÑÒÓú Ò O¹ Ð ÔÓÐ Ø Ö ÙÞ Ú Ò Ò ÓÔ Ö a 1+a 2 º Î Ø º º ÈÐ Ø F 1+a 2 = F Oº Þº  РÓú ÔÐ Ø F 1+a F O Þ Ú Ó Þ Ø ú F 2 O F 1+a2º ÅÙ Ñ Ø Ý Ù Þ Ø ú Ð ÓÚÓÐÒ O¹ ÐÓ ÐÞ ÚÝ Ø ÔÓÑÓ ÓÔ Ö ÓÔ Ö a 1+a2 º Ü ØÙ ÔÓÙÞ 4 ÞÔ Ó Ý ÔÓÑÓ Ü ÓÑ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ú Þ Ò º½µ ØÖÓ Ø ÒÓÚ ÓÖ Ñ Ó ÔÓÑÓ ú ØÖÓ Ò Ó Ô Ñ º ¾¼

28 µ Ë ØÖÓ Ò Ñ Ô Ñ Ý ÔÖÓ Þ Ó Ý P 1 P 2 Ø Ö ÔÖÓØÒ ÒÓÙ Ô Ñ Ù l Ú Ó (x, y)º µ Ë ØÖÓ Ò Ñ Ó Ý Ý Ò Ó Ý P 1 P 2 ú ÔÖÓØÒ Þ ÒÓÙ Ô Ñ Ù l Ú Ó (x, y)º µ Ë ØÖÓ Ò Ñ Ô Ñ Ý l 3 Ó Ó Ö ÞÙ Ô Ñ Ý l 2 Ú Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø ÔÓ Ð Ô Ñ Ý l 1 Ø Ö ÔÖÓØÒ ÒÓÙ Ô Ñ Ù l Ú Ó (x,y)º µ Ë ØÖÓ Ò Ñ Ó Ý o Ò Ó ÐÙ Ñú ÔÖ Ñ Þ ÒÓÙ Ô Ñ ÓÙ l Ó (x, y)º Ý ÓÑ Ù Þ Ð ú ÞÔ Ó µ ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ ÓÔ Ö a 1+a 2 Ù Ñ Ô ÔÓ Ð Ø ú Ó P 1 Ñ ÓÙ Ò [x 1,y 1 ]º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú ÑÒÓú Ò O¹ Ð ÙÞ Ú Ò Ò Ø Ò Ñ ú Ñ ÙÑ Ø Ø ÔÓ Ø ÓÙ Ø ÚÝ ÓÙ Ò Ó Ó Ù P 1 º Ó Ô ÚÓ Ò Ó Ø ÚÙ Ñ ú Ñ ÚÖ Ø Ø Ô Ø Ò Ñ Ú ØÓÖÙ (x 1,y 1 )º Ð ÓÞÒ ¹ Ñ ÓÙ Ò Ó Ù P 2 ÔÓ ØÓÑØÓ ÔÓ ÙÒÙØ Ó [x 2,y 2 ]º ÈÖÓØÓú ÑÒÓú Ò O¹ Ð ÙÞ Ú Ò Ò Ò Ó Ò Ò ÓÔ Ö 1+a 2 Ñ ú Ñ Ô ÔÓ Ð Ø ú Ó P 2 Ð ú Ò ÒÓØ ÓÚ ÖÙúÒ Ø Ñ Ú Ó P 1 º Ô Ø Ó Ô ÓÞ Ó Ø ÚÙ Ñ ú Ñ ÚÖ Ø Ø ÚÝÒ Ó Ò Ñ Ð Ñ ( ) x 2 2 +y2 2 y 2º = x x 2 ÇÞÒ Ñ ÒÝÒ ÓÙ Ò Ó Ù P 2 Ó [x 2,y 2]º Æ ÓÒ Ñ ú Ñ ÔÓÑÓ ÖÓØ ÙÑ Ø Ø Ó P 2 Ó Ó Ù [1,0]º Ô Ø Ó Ô ÓÞ Ó Ø ÚÙ Ô Ó Ø Ò Ñ ÔÓÑÓ ÖÓØ ÔÖÓ Ò ú ÔÐ Ø x = x 2 x + y 2 y y = y 2 x +x 2 yº ÈÓ Ø ØÓ ÔÖ Ú Ñ Ô Ñ ÔÖÓ Þ Ó Ý P 1 P 2 ÖÓÚÒ y = 0º Ë ÒÓÙ Ô Ñ ÓÙ l Ó ÖÓÚÒ ax+by+c = 0 Ñ Ô Ø ØÓ Ô Ñ ÔÖ Ó ÓÙ¹ Ò ( c,0) º Ì ÒØÓ Ó ÙÑ Ñ ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ ÓÔ Ö º Æ Ð Ò ÚÝÙú Ø Ñ a ( ) 2 y Úõ ÙÚ Ò ÖÓØ ÚÝÒ Ó Ò Ñ Ð Ñ x x 2 Ô Ø Ò Ñ Ú ØÓÖÙ (x1,y 1 ) Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø Ð Ò Ó º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ l [x,y] P 1 P 2 Ç Ö Þ º Þ Ú ØÝ º µ ÈÖÓ ÞÔ Ó µ ÔÓ ØÙÔÙ Ñ Ó Ó ÒÑ ÞÔ Ó Ñº Ø Ò ÚÓ Ó Ô ÞÙ ÞÔ Ó Ù µ Ñ ú Ñ Ô ÔÓ Ð Ø ú Ó P 1 Ú ÔÓ Ø Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÓÙ Ò Ó P 2 Ñ ÓÙ Ò [1,0]º Ç o Ý P 1 P 2 Ñ Ø Ý ÖÓÚÒ Ú ØÚ ÖÙ x = 1º ÈÖ 2 Ø ØÓ Ó Ý Ô Ñ ÓÙ l Ó ÖÓÚÒ ax+by +c = 0 Ñ Ø Ý ÓÙ Ò [ ] 1 2, 2c+a 2b º Ì ÒØÓ Ó ÙÑ Ñ ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ ÓÔ Ö º ÀÐ Ò Ó Ô ú Þ Ñ Ùú Ø Ñ Úõ ÙÚ Ò ÖÓØ ÚÝÒ Ó Ò ÔÓ ÙÒÙØ º È ÞÙ ÔÖÓ ÞÔ Ó µ ÞÚÓÐ Ñ ÔÓ ÙÒÙØ Ø Ö Ô ÔÖ Ù P Ô Ñ l 1 l 2 Ó Ó ÓÙ Ò [0,0]º Ð ÔÓÙú Ñ ÖÓØ Ø Ý Ô Ñ l 1 Ñ Ð ÖÓÚÒ y = 0º È Ñ l 2 Ñ Ø Ý ÖÓÚÒ Ú ØÚ ÖÙ y = ax Ô Ñ l 3 ØÙ ú ÖÓÚÒ Ú ØÚ ÖÙ y = axº È Ñ Ù l Ó ÖÓÚÒ dx + ey + f = 0 Ô Ô Ñ l 3 ÔÖÓØ Ò Ú Ó Ó ÓÙ Ò ¾½

29 ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ P 1 o [x,y] l P 2 Ç Ö Þ º Þ Ú ØÝ º µ [ f, af ae d d ae] º Ì ÒØÓ Ó Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ ÓÔ Ö Ð Ò Ó Ô ÔÓÙú Ø Ñ Ú Ó Ò ÖÓØ ÔÓ ÙÒÙØ º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ l 3 [0,0] l 1 [x,y] l 2 l Ç Ö Þ º Þ Ú ØÝ º µ Æ ÓÒ ÔÖÓ Þ ÞÔ Ó Ù µ ÓÞÒ Ñ Ô Ñ Ý Ò Ò ú Ð ú Ö Ñ Ò Ò Ó ÐÙ Ó Ô Ñ Ý l 1 l 2 Ð Ø Ö ØÝØÓ Ô Ñ Ý Ú Ö Ó Ð ϕº Î Ó ÒÑ ÔÓ ÙÒÙØ Ñ Ñ ú Ñ ÙÑ Ø Ø ÔÖ P Ó ÔÓ Ø Ù ÓÙ Ø ÚÝ ÓÙ Ò º Ð ÓÞÒ Ñ ÔÖ Þ Ò Ô Ñ Ý l Ô Ñ Ý l 1 Ó Ó Aº ËØ Ò Ó Ô ÞÙ ÞÔ Ó Ù µ Ñ ú Ñ ÞÚÓÐ Ø ÚÝÒ Ó Ò Ú Ó ÒÑ Ð Ñ Ò Ð Ò ÖÓØ Ø Ý Ñ Ð Ó A ÓÙ Ò [1,0]º ÆÝÒ ÓÞÒ Ñ ÔÖ Ô Ñ l l 2 Ó Ó B Ó ÓÙ Ò [b 1,b 2 ]º ÈÖÓ Ð ϕ ÔÐ Ø cotϕ = b 1 b2 sinϕ = b 2 º Å ú Ñ Ø Ý Ô Ø ÎÖ Þ b 2 1 +b 2 2 tg ϕ 1 cosx (1 cosx) 2 = 1+cosx = 2 1 cos2 x = 1 cosx sinx 1+ = b 2 1 +b 2 2 b 2 b 1 b 2 = 1+ ( b1 b 2 ) 2 b 1 b 2. = 1 sinx cotx = ( b 1 b 2 ) 2 b 1 b2 ÓÞÒ Ñ Ó ÚÖ Þ kº Ç o ÐÙ ϕ Ñ Ø Ý ÖÓÚÒ y = kx Ô Ñú ÐÓ k ÐÞ ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ ÓÔ Ö a 1+a 2 º ÊÓÚÒ Ô Ñ Ý ¾¾

30 l ú ÔÖÓ Þ Ó Ý A B Ñ ú Ñ Ô [ Ø Ú ØÚ ÖÙ b 2 x (b ] 1 1)y b 2 = 0º ÈÖ Ó Ý o Ô Ñ Ý l Ñ Ø Ý ÓÙ Ò ºÌ ÒØÓ Ó Ñ ú Ñ ØÖÓ Ø b 2, b 2 k b 2 b 1 k+k b 2 b 1 k+k ÔÓÑÓ ÓÔ Ö a 1+a 2 Ò Ð Ò ÔÓÑÓ Ò ÖÓØ ÚÝÒ Ó Ò Ú Ó ÒÑ Ð Ñ Ô Ø Ò Ñ Ô ÐÙõÒ Ó Ú ØÓÖÙ Þ Ñ Ð Ò Ó º ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ B l 2 P A l [x,y] o l 1 Ç Ö Þ º Þ Ú ØÝ º µ º ÃÓÒ ØÖÙ ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Î Ø ØÓ Ø Ô ØÓÐÝ Ù Ò õ Ñ Ð Ñ Ù Þ Ø ú Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ò Ñ õø Ò ÔÓ ÝØÙ ú ÒÓÙ Þ Ò Ú Ó Ù ÓÔÖÓØ Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ ú Þ Ò Ø ÓÚ Ú Ó Ý Ø ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ õø ÖÓÞõ غ à ÞÙ ÔÖÚÒ Ú ØÝ Ø ØÓ Ø Ø Ø Ô ØÓÐÝ Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø Ò Ð Ù Ð ÑÑ º Ä ÑÑ º º ÈÐ Ø n m (x a i b j ) = det(xi A B) i=1 j=1 n m (x a i b j ) = det(xi AB), i=1 j=1 A B ÓÙ Ñ Ø ØÝÔÙ mn mnº º½µ º¾µ Î Ò Ð Ù Ú Ø Ù Ñ ØÓØÓ Ð ÑÑ ÔÓØ ÓÚ Ø Ñ ÞÙ Ô Ñúa i b j Ù ÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ð º ÈÖÓ Þ Ð ÑÑ ØÙ Úõ Ú Ó Ò ÙÚ úóú Ø Ó Ò õ Ô Ô Ý a i b j Ù ÓÙ Ò Þ Ú Ð ÔÖÓÑ ÒÒ º ¾

31 Þº ÇÞÒ Ñ Ø ÔÓÐÝÒÓÑÝ P A (x) = P B (x) = n (x a i ) = i=1 m (x b j ) = j=1 n ( 1) k s k (a 1,,a n )x n k k=0 m ( 1) l s l (b 1,,b m )x n l, s i ÓÙ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑݺ Ð ÓÞÒ Ñ Ú ØÓÖ 1 a r a 2 r º a n 1 r bs a r b s V r,s = º ar n 1 b s º b m 1 s a r b m 1 s º l=0 a n 1 r b m 1 s Ñ Ø Ā ØÝÔÙ n n Ú ØÚ ÖÙ Ā = º º ººº ººº º ( 1) n+1 s n (a 1,,a n ) ( 1) n s n 1 (a 1,,a n ) s 1 (a 1,,a n ) ÈÓÑÓ Ñ Ø Ā Ñ ú Ñ Þ Ú Ø Ñ Ø A ØÝÔÙ mn mn Ú ØÚ ÖÙ Ā Ā 0 A = º º ººº º. 0 Ā Ó Ñ ¹Ð Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ P A (x) ÐÓ a r Þ Ñ ú ÈÐ Ø Ø Ý n k=0 P A (a r ) = ( 1) k s k (a 1,,a n )a n k r = n (a r a i ) = 0. i=1 n k=1 ( 1) k s k (a 1,,a n )a n k r +a n r = 0, ¾

32 ÔÖÓØÓ n a n r = ( 1) k+1 s k (a 1,,a n )a n k k=1 r. Ò ÐÓ Ñ ÞÔ Ó Ñ Ñ ú Ñ Þ Ú Ø Ñ Ø B Ù Þ Ø ú ÔÐ Ø b m s = m l=1 ( 1) l+1 s l (b 1,,b m )b m l s. ÄÞ Ò ÒÓ Ù Þ Ø ú ÔÐ Ø AV r,s = a r V r,s BV r,s = b s V r,s. Ë ÚÝÙú Ø Ñ Ø ØÓ ÖÓÚÒÓ Ø Ñ ú Ñ ÚÝ Ø (A+B)V r,s = AV r,s +BV r,s = a r V r,s +b s V r,s = (a r +b s )V r,s. ÎÖ Þ a r + b s Ø Ý ÚÐ ØÒ Ñ Ð Ñ Ñ Ø A + Bº ÈÖÓØÓú ÓÙ a i b j Ò Þ Ú Ð ÔÖÓÑ ÒÒ Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ det(xi A B) ØÙÔÒ mn ÔÖÓ ÚÔÓ Ø ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø A+B mn Ö ÞÒ õ Ò Ú ØÚ ÖÙ a r +b s Ø Ò Ó ÔÓÐÝÒÓÑ n m i=1 j=1 (x a i b j ) Óú ØÙÔ Ø Ø ú mnº ÈÖÓØÓú Ñ Ò Ú Ó ØÝØÓ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ú ÓÙ Ó ÒØ ÖÓÚ Ò 1 ÑÙ ÔÐ Ø Ø n i=1 j=1 Ñú Ó Þ Ò ÚÞØ º½µº Ð Ñ ú Ñ ÚÝ Ø m (x a i b j ) = det(xi A B), ABV r,s = Ab s V r,s = b s AV r,s = a r b s V r,s. Î ØÓÑØÓ Ô Ô mn Ö ÞÒ ÚÖ Þ Ú ØÚ ÖÙ a r b s ÚÐ ØÒ Ñ Ó ÒÓØ Ñ Ñ Ø AB Ø Ý Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ det(xi AB) ØÙÔÒ mnº Ø Ò ÚÓ Ó Ú Ô ÓÞ Ñ Ô Ô Ø Ý ÔÐ Ø n i=1 j=1 Ñú Ó Þ Ò ÖÙ Ø Ð ÑÑ ØÙº m (x a i b j ) = det(xi AB), ÆÝÒ ú Ñ ú Ñ ÓÖÑÙÐÓÚ Ø Ú ØÙ ú Ò Ñ Ù ÚÞØ Ñ Þ ÑÒÓú Ò Ñ O¹ Ð ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ Ðº Î Ø º º ÈÐ Ø F 1+a 2 F TRº ¾

33 Þº ÈÓ Ð Ò º ¾º½½ F 1+a 2 Ò Ñ Òõ ÔÓ ÔÓÐ ÑÒÓú ÒÝ ÓÑÔÐ ÜÒ Ð ÙÞ Ú Ò Ò ÓÔ Ö a 1+a 2 F TR ÑÒÓú Ò Ð Ö Ð ÔÖÓ Ò ú ÓÙ Úõ Ò Ð Ò Ñ ÓÒ Ù ÓÚ Ò Ö ÐÒ º Ý ÓÑ Ó Þ Ð ÔÐ ØÒÓ Ø Ø ØÓ Ú ØÝ Ø Ù Þ Ø ú ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ð a,b F TR ÓÙ Ð a,a 1, 1+a 2,a + b,a b ØÓ¹ Ø ÐÒ Ö ÐÒ º ÇÞÒ Ñ {a i } n i=1 Ð ÓÒ Ù ÓÚ Ò Ð Ñ a {b i } m i=1 Ð ÓÒ Ù ÓÚ Ò Ð Ñ bº à ÞÙ ú ÐÓ a ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ ÚÝÙú Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ q a (x) = n (x+a i ). i=1 Æ õ Ñ Ð Ñ Ù Þ Ø ú Úõ ÒÝ Ó ÒÝ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ p a (x) ØÓ ÓØÓ ÔÓ¹ ÐÝÒÓÑÙ Ø º Úõ ÒÝ Ó ÒÝ Ñ Ò Ñ ÐÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ Óú Ó ÒÝ ÓÙ Ð a i µ ÓÙ Ö ÐÒ º ÊÓÞÒ Ó Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a (x) Ó Ø Ú Ñ q a (x) = n (x+a i ) = i=1 n s j (a 1,...,a n )x n j, s j (a 1,...,a n ) ÓÙ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ØÚÓ Ò Ð ÒÝ a 1,...,a n º ÈÖÓ¹ ØÓú ÐÓ a ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑ q(x) = n i=1 (x a i) ÔÓ Ð Ò ¾º ¾º½½ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØÝ Ô Ñú ØÝØÓ Ó ÒØÝ ÓÙ ÔÖÓ Ð ÒÝx n j Ú ØÚ ÖÙ ( 1) j s j (a 1,...,a n ) s j (a 1,...,a n ) ÓÙ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ØÚÓ Ò Ð ÒÝ a 1,...,a n º ÇÞÒ Ñ p(x) Ñ Ò Ñ ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q(x)º ÈÖÓØÓú Ó ¹ ÒØÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q(x) Ú ØÚ ÖÙ ( 1) j s j (a 1,...,a n ) ÓÙ Ö ÓÒ ÐÒ ÓÙ Ó ÒØÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a (x) Ú ØÚ ÖÙ s j (a 1,...,a n ) ÒÙØÒ Ö ÓÒ ÐÒ º Æ Ú Þ Ñ ú ÐÓ a Ó Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a (x) ÔÖÓØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ p a (x) Ð q a (x)º ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ú Úõ ÒÝ Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p a (x) ÓÙ Þ ÖÓÚ Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a (x)º  РÓú ÐÓ a ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ Úõ Ò Ð a i Ò Ñ ÓÒ Ù ÓÚ Ò ÓÙ Ö ÐÒ º ÈÖÓØÓ Úõ Ò Ð a i Ø Ý Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a (x) ÓÙ Ö ÐÒ Ð Ø Ý Úõ ÒÝ Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p a (x) ÓÙ Ö ÐÒ Ð º ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ú ÐÓ a ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ º Þ ØÓ Ó ú ÐÓa 1 ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ ÔÖÓÚ Ñ Ø ÒÑ ÞÔ Ó Ñ Ô Ñú Ñ ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a (x) ÔÓÙú Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ ( n )( n ) q a 1(x) = (x a 1 i ) a i. i=1 ÇÞÒ Ñ p a 1(x) Ñ Ò Ñ ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a 1(x)º Î Ñ ú Ð a i ÓÙ Ö ÐÒ Ò Ú Ú Ñ ú ÓÙ Ó ÒÝ Ö Ù ÐÒ Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ ØÙ ú ÓÙ Ò ÒÙÐÓÚ Ý Ý Ó Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ ÝÐÓ ÐÓ0 ÝÐ Ý Ø ÓÚ ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ð Ø ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñh(x) = x ØÙ ú Ý ÝÐ Ö Ù ÐÒ µº ÃÓ ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a 1(x) ØÙ ú ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a 1(x) Ú ØÚ ÖÙ a 1 i ÓÙ Ø Ý Ø Ö ÐÒ º ÊÓÞÒ Ó Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a 1(x) Ó Ø Ú Ñ q a 1(x) = ( n i=1 (x a 1 i ) j=0 )( n ) ( n a i = i=1 j=0 i=1 )( n ) ( 1) j s j (a 1 1,...,a 1 n )xn j a i = i=1 = n ( 1) j s n j (a 1,...,a n )x n j. j=0 ¾

34 ËØ Ò Ó Ú Ô ÓÞ Ñ Ô Ô ÓÙ Ø Ý Ó ÒØÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ q a 1(x) Ö ÓÒ ÐÒ ÐÓ a 1 Ó Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p a 1(x) Úõ ÒÝ Ó ÒÝ ÔÓÐÝÒÓÑÙ p a 1(x) ÓÙ Ö ÐÒ Ð º ÐÓ a 1 ØÙ ú ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ º à ÞÙ ú ÓÙ ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ Ð a+b a b ÚÝÙú Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÝ q a+b (x) = q ab (x) = n i=1 j=1 n i=1 j=1 m (x a i b j ) m (x a i b j ). ÈÓ Ð ÚÞØ º½µ º¾µ Ð ÑÑ ØÙ º ÐÞ Ó ØÝØÓ ÚÞØ Ý ÚÝ Ø ÔÓÑÓ Ñ Ø A B Ó ÒØÝ ÓÙ Ù Ð 0 Ò Ó 1 Ò Ó Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐݹ ÒÓÑÝ ØÚÓ Ò Ò ÚÞ Ñ ÓÒ Ù ÓÚ ÒÑ Ðݺ Î Úõ Ô Ô Ó Ð Ö ÓÒ ÐÒ º ÈÓÐÝÒÓÑÝ q a+b (x) q ab (x) ÓÙ Ø Ý ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ö ÓÒ ÐÒ ÑÑ Ó ÒØݺ ÈÖÓØÓú ÓÙ Ð a i b j Ö ÐÒ ÓÙ Ó ÒÝ Ø ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö ÐÒ º Å Ò Ñ ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑÝ p a+b (x),p ab (x) Ø ØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÙ Ø Ý ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØÝ Ó ÒÝ ÓÙ Ö ÐÒ Ð Ò Ñ Þ Ó Ò ÐÓ a + b Ö Ô Ø Ú a bº Ð a + b a b ÓÙ Ø Ý ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ º Æ ÓÒ Ø Ù Þ Ø ú ÐÓ 1+a 2 ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ º ÍÚ úù Ñ ÔÓÐÝÒÓÑ q 1+a 2 (x) = n (x 2 1 a 2 i ). i=1 Ì ÒØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ ÝÑ ØÖ ÚÞ Ð Ñ a i º ÈÓ Ð Ú ØÝ ¾º½ ÑÓúÒ ÚÝ Ø ÔÓÑÓ Ð Ñ ÒØ ÖÒ ÝÑ ØÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú a i º Â Ó Ñ Ò Ñ ÐÒ ÔÓÐÝÒÓÑp 1+a 2(x) Ñ Ø Ý Ö ÓÒ ÐÒ Ó ÒØݺ ÐÓ 1+a 2 Ó Ó Ò Ñ ÔÖÓØÓú ÓÙ Ð a i Ö ÐÒ ÓÙ Ð 1 + a 2 i Ð Ò ØÙ ú ÓÙ Úõ ÒÝ Ó Ó ÒÝ Ú ØÚ ÖÙ 1+a 2 i Ö ÐÒ º ÐÓ 1+a 2 Ø Ý ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ º ÆÝÒ ú Ñ ú Ñ ÚÝ ÐÓÚ Ø Ú ØÙ ú Ò Ñ Ù Ú ÚÞØ Ñ Þ Þ Ð Ò Ñ ÓÖ Ñ Ó ØÖÙ ¹ Ñ Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ º Î Ø º º ÈÐ Ø F 1+a 2 = F TR F x. Þº Þ Ú ØÝ ÙÚ Ò Ú ½ º ÈÓÞÒ Ñ º º Î ØÙ ÑÓúÒ ÒØ ÖÔÖ ØÓÚ Ø Ø ú ú ÓÒ ØÖÙ ú ÐÞ ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ù Ð ÓÚ Ý ØÖÓ Ø ÐÒ º Ç Ö Ò ÑÔÐ Ò ÔÐ Ø º Â Ø Ý Ú Ø Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ò Ñ Ò Ô Ò õ ÓÔÖÓØ Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ ú Ò ÒÓÚ ÑÓúÒÓ Ø º ËÒ ÒÓ Ñ ú Ñ Ò Ô Ð Ù Þ Ø ú ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ò ÐÞ ÔÖÓÚ Ø ÙÔÐ ÖÝ Ð º Ã Ý Ý ØÓ ÝÐÓ ÑÓúÒ ÑÙ ÐÓ Ý ÔÐ Ø Ø 3 2 F 1+a 2 º ÌÓØÓ ÐÓ Ó Ò Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÙ x 3 2º Ðõ Ñ Ó ÒÝ ¾

35 ØÓ ÓØÓ ÔÓÐÝÒÓÑÙ Ø Ý ÐÝ Ø ÑØÓ Ð Ñ ÓÒ Ù ÓÚ ÒÑ µ ÓÙ ÓÑÔÐ ÜÒ Ð 3 2 ( 1 2 ± 3 2 i )º ÐÓ 3 2 Ø Ý Ò Ò ØÓØ ÐÒ Ö ÐÒ ØÙ ú Ò ØÖÓ Ø ÐÒ ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ º ¾

36 Ã Ô ØÓÐ Ü ÓÑ Ø Þ Ú Ò ÓÖ Ñ ÈÓ Ð ÔÓ Ð Ò Ú ØÝ Ô ÓÞ Ô ØÓÐÝ Ý Þ ÐÓ ú ÓÖ Ñ Ò Ñ Ò Ô Ò õ ú Ò ÒÓÚ ÑÓúÒÓ Ø ÓÔÖÓØ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø Ò Ñ Ò ÓÔ ÔÖ Ú ÓÙº ÍÚ Ò Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ØÓØ ú Ò ÔÓÔ Ù Úõ ÒÝ ÑÓúÒÓ Ø ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º Í ÞÙ ú ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ ÐÞ ÖÓÞõ Ø õø Ó Ðõ Ü ÓÑÝ ÔÖ Ú ØÝØÓ Ü ÓÑÝ Ò Ñ Ô Ò ÓÙ Þ Ò Ú Ó Ù Ú ÖÓÚÒ Ò ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò Ñ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø º Ð Ñ ØÚÖØ Ô ØÓÐÝ Þ Ú Ø ØÝØÓ Ü ÓÑÝ ÑÓÒ ØÖÓÚ Ø Ô ÒÓ Ò ÓÒ Ö ØÒ Ô Ð º º½ ÀÙÞ ØÓÚÝ Ü ÓÑÝ ÓÖ Ñ Ì ØÓ Ø ÞÔÖ ÓÚ Ò Ð ÚÒ Ð ½ º Ü ÓÑÝ ÓÖ Ñ Ò ÓÙ Ò Þ Ú ÀÙÞ ØÓÚÝ ÔÓ Ñ Ø Ñ Ø ÓÚ Ø Ö ÓÖÑÙÐÓÚ Ðº  ØÚ Ö Ò Ð Ù º HO 1 ÈÖÓ Ò Ú Ó Ý P 1,P 2 Ñ ú Ñ ÐÓú Ø Ô Ý Ô Ñ Ùµ ÔÖÓØ Ò Ó ØÝØÓ Ó Ýº HO 2 ÈÖÓ Ò Ú Ó Ý P 1,P 2 ÐÞ Ô ÐÓú Ò Ñ ÞÓ Ö Þ Ø Ó P 1 Ò Ó P 2 º HO 3  ÓٹРÒÝ Ú Ô Ñ Ý l 1,l 2 Ñ ú Ñ Ô ÐÓú Ò Ñ ÞÓ Ö Þ Ø Ô Ñ Ù l 1 Ò Ô Ñ Ù l 2 º HO 4 ÈÖÓ Ò Ó P Ô Ñ Ù l ÐÞ ÐÓú Ø Ô Ý ÓÐÑ Ò Ô Ñ Ù l ÔÖÓØ Ò Ó P º HO 5  ÓٹРÒÝ Ú Ó Ý P 1,P 2 Ô Ñ l Ñ ú Ñ ÐÓú Ø Ô Ý ÔÖÓ Þ Ó¹ Ñ P 2 Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ó P 1 Ò Ô Ñ Ù lº HO 6 ÈÖÓ Ò Ú Ó Ý P 1,P 2 Ò Ú Ô ÑÝ l 1,l 2 Ñ ú Ñ ÐÓú Ø Ô Ý Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ó P 1 Ò Ô Ñ Ù l 1 Ó P 2 Ò Ô Ñ Ù l 2 º HO 7  ¹Ð Ò Ó P Ú Ô Ñ Ý l 1,l 2 ÐÞ ØÖÓ Ø Ô Ý ÓÐÑ Ò Ô Ñ Ù l 2 Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ó P Ò Ô Ñ Ù l 1 º ÈÓ Ð Ò Ø ÀÙÞ ØÓÚÝ Ü ÓÑÝ ÓÙ ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÝ Ò Ó Ö Þ Ù º½º ¾

37 Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ P 1 P 2 P 1 l P ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 2 2 l ÈË Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 2 P l l 1 l 1 Ç Ö Þ º½ Ü ÓÑ Ø Þ Ú Ò ÓÖ Ñ Ü ÓÑÝ HO 5 ¹ HO 7 µ ÈÓÞÒ Ñ º½º Ü ÓÑ HO 2 ØÓ ÓØÓ Þ Ú Ò ÓÖ Ñ ÔÓÔ Ù ÓÒ ØÖÙ Ó Ý Ý P 1 P 2 º Ü ÓÑ HO 3 ÔÓÔ Ù Ó ØÖÙ Ó Ý ÐÙ Ø Ö Ú Ö Ô Ñ Ý l 1 l 2 ÔÓ Ù ÓÙ ØÝØÓ Ô Ñ Ý Ö ÞÒÓ úò º Î Ô Ô ú ÓÙ ØÝØÓ Ô Ñ Ý ÖÓÚÒÓ úò ÔÓÔ Ù Ò Ñ Ó HO 3 Ó ØÖÙ Ó Ý ÖÓÚ ÒÒ Ó Ô Ù Ò Ó Ø Ñ ØÓ Ô Ñ Ñ º ÀÐ ÚÒ Ð ÓÖ Ñ Úõ ÔÓ Ú Þ Ñ Ò Ú Ü ÓÑÙ HO 6 Ø Ö Ù ú Ñ Ò Ñ ÓÚÓÐ ÒÓ Ù Ñ ÞÔ Ó Ñ ØÖÓ Ø ÓÒ ØÖÙ Ø Ö Ò Ò ÑÓúÒ ØÖÓ Ø ÔÓÑÓ Þ Ð Ò ÓÒ ØÖÙ ÓÖ Ñ Ú Þ Ò º½ Ó ÓÒ Ò ÔÓÑÓ ÔÖ Ú Ø ÖÙú Ø º Ì ÒØÓ õ Ø Ü ÓÑ Ò Ñ ÒÓ ÔÓ Ú Ó Ú Ø Ð ÐÓ ÓÐ º º¾ È Ð Ý ÚÝÙú Ø ÀÙÞ ØÓÚ Ü ÓÑ ÖÙ Ø Ø ØÓ Ô ØÓÐÝ ÞÔÖ ÓÚ Ò ÚÝÙú Ø Ñ ½ ½ ½ Ý ÓÑ ÑÓÒ ØÖÓÚ Ð ÐÙ Ü ÓÑÙ HO 6 Ù ú Ñ ÒÝÒ Ò ÓÐ Ô Ð Ó ÚÝÙú Ø º Æ ÔÖÚ Ù Ñ Þ Ú Ø ØÖ ÐÙº ÌÖ ÐÙ Ò Ñ Þ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÖÓÚ Ùº Â Ñ ú ÙÚ Ð Ú ÚÓ Ò Ô ØÓÐ Ò ÐÞ ÔÖÓÚ Ø ÚÝÙú Ø Ñ ÖÙú Ø ÔÖ Ú Ø º Ü ØÙ Úõ Ò ÓÐ Ð ÓÖ ØÑ ÔÖÓÚ Ø ØÖ ÐÙ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º ÅÝ Ù ú Ñ Ú Þ Ò º ÙØÓÖ Ñ ÔÖÚÒ Ó Þ Ò ÔÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ì ÙÒ º È Ð º½º Ó Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ ØÖ ÐÙµ à ÔÖÓÚ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓØ Ù Ñ Ô Ô Ö Ú ØÚ ÖÙ ØÚ Ö ÚÖ ÓÐÝ ØÚ Ö ÓÞÒ Ñ A,B,C,D Ú Þ Ó Öº º¾µº ½µ Ë ØÖÓ Ñ Ð BAP Ø Ö Ù Ñ Ø Ø ÖÓÞ Ð Ø Ò Ó Ò Ðݺ ¾µ È ÐÓú Ò Ñ ØÖÓ Ñ Ô Ý EF ÖÓÚÒÓ úò ÓÙ ABº µ È ÐÓú Ò Ñ ÞÓ Ö Þ Ñ Ó A Ò Ó E Ñú Þ Ñ Ù GHº µ ËÐÓú Ñ Ô Ý Ø ÖÑ ÞÓ Ö Þ Ñ Ó A Ò Ù GH Ó E Ò Ù AP º Ì ÒØÓ Ô Ý Ò Ñ ÐÓú Ò Ô Ò Ò Ó Ý ÓÞÒ Ñ A,E º Ó Ò Ø Ö Ò Ñ Ø ÑØÓ Ô Ý Ñ ÞÓ Ö Þ Ó G ÓÞÒ Ñ G º µ È ÐÓú Ò Ñ ÞÓ Ö Þ Ñ Ó E Ò Ó A Ñú Þ Ñ Ù G Iº µ ÊÓÞÐÓú Ñ Ô Ô Ö Ó Ô ÚÓ Ò Ó ØÚ Ö Ù G I ÔÖÓ ÐÓÙú Ñ Ò Ù AIº µ Ó ÓÒ Ñ ØÖ ÐÙ ØÖÓ Ò Ñ Ý AJ Ø ÖÓÙ Þ Ñ Ô ÐÓú Ò Ñ Ý AB Ò Ù AIº ¼

38 Obrázek 4.2: Abeho trisek e úhlu (body 1-7) Dùkaz. Úseèka AJ je osou úhlu BAI viz bod 7), a proto BAJ = JAI. Podle bodu 3) platí AG = EG, a proto platí i A G = E G. Úseèka G I je tedy èástí osy úseèky A E, sestrojené v bodì 5). Prùnik této osy s úseèkou GH si oznaème jako bod K. Vzhledem k tomu, ¾e bod K le¾í na ose úseèky A E, platí KA = KE a také A KG = E KG. Velikost úhlu AKA mù¾eme vyjádøit jako AKA = π A KG a velikost úhlu AKE jako AKE = π E KG, a proto platí AKA = AKE. Úseèka AK je stranou trojúhelníkù AKA a AKE. Mù¾eme tedy øí t, ¾e tyto trojúhelníky jsou shodné podle vìty sus. Z této shodnosti vyplývá skuteènost, ¾e AA = AE, a proto bod A jistì le¾í na ose úseèky A E, a mù¾eme tedy øí t, ¾e bod 6) je zadán korektnì. Ze stejné shodnosti trojúhelníkù naví plyne shodnost úhlù JAI = IAP. Máme tedy JAI = BAJ, a tedy BAJ = 31 BAP. = IAP 31

39 Ç Ö Þ º Þ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ ÈÓÞÒ Ñ º¾º Î Ó ÓÙ Úõ ÙÚ Ò Ó Ð ÓÖ ØÑÙ Ó ÒÓ Ù Ó Øº Æ ÓÔ Ó Ò Ú Ó ÓÙ ÒÙØÒÓ Ø ÔÓÙú Ø ØÚ ÖÓÚ Ó Ô Ô ÖÙ ÙØ ÒÓ Ø ú ÐÞ ÔÓÙú Ø ÔÓÙÞ Ò ØÖ Ó ØÖ Ó ÔÖ Ú Ó ÐÙº ÙØÓÖ Ñ ÖÙ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö Ù ú Ñ Ö ÒÓÙÞ Ñ Ø Ñ Ø Â ÕÙ ÂÙ ¹ Ø Òº ÈÓÑÓ Ò Ù Ñ ÑÓ ÔÖÓÚ Ø ØÖ ØÙÔ Ó ÐÙ Ú Þ Ó Öº º µº È Ð º¾º ÂÙ Ø Ò Ú Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ ØÖ ØÙÔ Ó ÐÙµ ½µ Ë ØÖÓ Ñ ØÙÔ Ð AVB Ø Ö Ù Ñ Ø Ø ÖÓÞ Ð Ø Ò Ø Ó Ò Ðݺ ¾µ È ÐÓú Ò Ñ ØÖÓ Ñ Ô Ñ Ù p Ò Ò ú Ð ú Ö Ñ ÒÓ VA Ô Ñ Ù q Ò Ò ú Ð ú Ö Ñ ÒÓ VBº µ È ÐÓú Ò Ñ ØÖÓ Ñ Ô Ñ Ù r ÓÐÑÓÙ Ò Ô Ñ Ù p ÔÖÓ Þ Ó Ñ V º µ ÚÐÓÐ Ñ Ó X Ò ÔÓÐÓÔ Ñ VB Ó Y Ò ÔÓÐÓÔ Ñ ÓÔ Ò Ø ØÓ ÔÓÐÓ¹ Ô Ñ Ø ú XV = YV º µ È ÐÓú Ò Ñ Ô Ò Ñ Ó X Ò ÔÓÐÓÔ Ñ Ù ÓÔ ÒÓÙ ÔÓÐÓÔ Ñ VA Ó Y Ò Ô Ñ Ù rº Ì ØÓ ÚÞÒ ÐÓÙ Ô Ñ Ù ÔÓ Ñ ÒÙ Ñ sº µ È ÐÓú Ò Ñ ØÖÓ Ñ Ô Ñ Ù t ÓÐÑÓÙ Ò Ò Ô Ñ Ù s ÔÖÓ Þ Ó Ñ V º Æ Ø ØÓ Ô Ñ ÞÚÓÐ Ñ ÙÚÒ Ø ÐÙ AVB Ó P º ÈÐ Ø AVP = 1 3 AVB º Þº ÇÞÒ Ñ Ó X Ò Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ú Ó µ Ó Xº Ð ÓÞÒ Ñ Ó V Ò Ø Ö Ú Ø Ñú Ó ÞÓ Ö Þ Ó V Ó Y Ò Ø Ö Ú Ø Ò Ñ ÖÓ Ù Ô Ò Ó Y º ÈÓ Ð Ó Ù µ Þ Ñ ú ÓÙ Ý XX,VV YY ÓÐÑ Ò Ô Ñ Ù s Ø Ý ÓÙ Úõ ÒÝ ÖÓÚÒÓ úò º Ø Óú Ó Ù Ø ÔÐÝÒ XV = X V Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø Ó Ò ÞÓ Ö Þ Ò µº ØÝ ÐÒ XVV V ÔÖÓØÓ ÖÓÚÒÓÖ Ñ ÒÒÑ Ð Ó úò Ñ ÔÐ Ø X V V = V VX º Ð X VA Ô Ñ ÔÖÓØÓ X vx = π AVB º ÐÝ AVP V VX ÓÙ ÚÖ ÓÐÓÚ Ø Ý Ñ Ø ÒÓÙ Ú Ð Ó Øº Å ú Ñ Ø Ý Ô Ø V VX = AVP +π AVB º ¾

40 Obrázek 4.4: Justinova trisek e úhlu (body 1-6) Obrázek 4.5: Dùkaz Justinova algoritmu Trojúhelník X V Y je pravoúhlý s pravým úhlem u vr holu V, viz 3). Støed kru¾ni e opsané tomuto trojúhelníku le¾í na støedu jeho pøepony X Y, kterým je bod V, viz body 4) a 5). Proto¾e body V a X le¾í na té¾e kru¾ni i se støedem v bodì V, platí X V = V V. Trojúhelník X V V je tedy rovnoramenný a platí V X V = V V X = AV P. Proto mù¾eme vyjádøit X V V = π 2 AV P. Mù¾eme tedy porovnat AV P +π AV B = π 2 AV P a po jednodu hé úpravì dostáváme AV P = 31 AV B. Poznámka 4.3. Pøi Justinovu algoritmu nezále¾í na tvaru pou¾itého papíru. S vyu¾i- tím obou popsaný h algoritmù u¾ mù¾eme snadno øe¹it trisek i libovolného úhlu. Pro trisek i pøímého úhlu mù¾eme sestrojit jeho osu, èím¾ vzniknou dva pravé úhly. Podle Abeho algoritmu umíme sestrojit úhel o velikosti 23 jednoho z ni h, èím¾ získáme úhel o velikosti 13 velikosti pøímého úhlu. Stejným zpùsobem mù¾eme postupovat u nekonvexního úhlu. Sestrojíme-li jeho osu, získáme dva shodné tupé úhly. Sestrojením úhlu o velikosti 23 jednoho z ni h pak dokonèíme trisek i pùvodního úhlu. Nakone plný úhel mù¾eme rozdìlit libovolnou pøímkou pro házejí í jeho vr holem na dva pøímé úhly, u ni h¾ ji¾ umíme sestrojit 33

41 Ø Ø ÒÙº Ë ØÖÓ Ñ ¹Ð Ø Ø ÒÙ ÒÓ Ó Þ Ò ÞÓ Ö Þ Ñ ¹Ð ÒÓ Ö Ñ ÒÓ Ø ØÓ ÚÞÒ Ð Ó ÐÙ Ú Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø ÔÓ Ð ÖÙ Ó Ö Ñ Ò Ø Óú ÐÙ Þ Ñ Ð Óú Ú Ð Ó Ø Ù 1 ÔÐÒ Ó ÐÙº 3 ÈÓ Ð Ò Ñ Ô Ð Ñ Ø Ö Ù ú Ñ Ù õ Ò Ðõ Ó Þ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ñ Ø ÖÑ ÙÔÐ ÖÝ Ð º Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÔÖÓÚ Ø ÙÔÐ ÖÝ Ð Ó ¹ ÒÓØ ÓÚ Ñ Ó ÑÙ Ø ÙÑ Ø ØÖÓ Ø Ù Ó Ð 3 2º ÈÖÓ ØÖÓ Ò Ø ÓÚ Ý Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø ØÚ ÖÓÚ Ô Ô Ö ÖÓÞ Ð Ò Ò Ó Ò Ó ÐÒ Ýº Ú Ò ú Ù ú Ñ ÑÓØÒÓÙ ÙÔÐ ÖÝ Ð Ù ú Ñ Ø ÓÚ Ô Ô Ö Ò ÒÓ Ô ÔÖ Ú Øº Ç Ö Þ º ÊÓÞ Ð Ò ØÖ ÒÝ ØÚ Ö Ò Ø Ø ÒÝ Ó Ý ½ ¹ µ È Ð º º ÊÓÞ Ð Ò ØÖ ÒÝ ØÚ Ö Ò Ø Ø Òݵ ½µ È ÐÓú Ò Ñ ØÖÓ Ñ ÐÓÔ Ù AC ØÚ Ö ABCDº ¾µ È ÐÓú Ò Ñ ÞÓ Ö Þ Ñ Ó A Ò Ó D Ñú Þ Ñ Ó Ù Ý ADº ÈÖ Ø ØÓ Ó Ý ÓÙ AD ÓÞÒ Ñ Eº µ ËÐÓú Ñ Ô Ý ÔÖÓ Þ Ó Ý B Eº ÈÖ Ø ØÓ Ô Ñ Ý ÐÓÔ ÓÙ AC Ò ÞÚ Ñ Ó Ñ Xº µ È ÐÓú Ò Ñ ØÖÓ Ñ ÓÐÑ Ò Ù AB ÔÖÓ Þ Ó Ñ Xº  ÔÖ ÓÙ AB Ò ÞÚ Ñ Ó Ñ P º ÈÐ Ø AP = 1 3 AB º Þº ÇÞÒ Ñ Ð Ù a ØÖ ÒÝ ØÚ Ö ABCDº Ð ÓÞÒ Ñ x ÚÞ Ð ÒÓ Ø AP º Ë ØÖÓ Ñ ÓÐÑ Ò Ù AD ÔÖÓ Þ Ó ÑX Ó Ò Ñ ÔÖ Ù ¹ ÓÙ AD Ò ÞÚ Ñ Y º ØÝ ÐÒ APXY Ó Ö Þ Ñ ØÚ Ö ABCD Ú Ø ÒÓÐ ÐÓ Ø

42 Ç Ö Þ º Þ ÖÓÞ Ð Ò ØÖ ÒÝ ØÚ Ö Ò Ø Ø ÒÝ Ø Ñ Ú Ó A Ó ÒØ Ñ ÔÓ Ó ÒÓ Ø x Ø Ý Ø Ó ØÚ Ö º ÈÐ Ø a Ø AP = XP = XY = xº Ð BAD Ó Ò Ð Ñ BPX Ó ÓÙ ÔÖ Ú Ú Þ ½µ µµº ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú Ý AB XY ÓÙ ÖÓÚÒÓ úò ÔÐ Ø PBX = YXE ÓÙ Ð Ò Ðݵº Å ú Ñ Ø Ý Ø ú PBX YXEº ÔÓ¹ Ó ÒÓ Ø Ø ØÓ ØÖÓ ÐÒ ÚÝÔÐÚ ÖÓÚÒÓ Ø EY XY = XP PB. Ó Ñ ¹Ð EY = a 2 x, XY = x, XP = x PB = a x Ó Ø Ò Ñ a x 2 x = x a x. ÈÖÓØÓú x 0 a x Ñ ú Ñ Ó ØÖ ÒÝ Ø ØÓ ÖÓÚÒÓ Ø ÚÝÒ Ó Ø Ð Ñ x (a x) ÔÓ ÔÖ Ú Ó Ø Ò Ñ 3 a2 ax = 2 2. ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú a 0 Ñ ú Ñ Ó ØÖ ÒÝ ÖÓÚÒ Ð Ñ a ÚÝ Ð Ø ÔÓ ÔÖ Ú Ó Ô Ñ ÚÞØ Ù x = a 3. ÈÓÞÒ Ñ º º Æ õ Ñ Ð Ñ ÖÓÞ Ð Ø ØÚ Ö Ò Ø Ó Ò Ó ÐÒ Ýº Â Ò Ø ÓÚ Ò Ñ Þ ØÚ Ö Ó Ð Ô Ñ ØÖÓ Ò Ú Ó µº È Ý Ø Ö Ò Ñ Ô Ò Ó B Ò Ó P ÖÓÞ Ð Þ ÝÐÓÙ Ø ØÚ Ö Ñú Þ Ñ Þ ÝÐ Ú ÔÓØ Ò Ó ÐÒ Ýº ÆÝÒ ú Ñ ú Ñ Ô ØÓÙÔ Ø ÑÓØÒ ÙÔÐ ÖÝ Ð º ÈÓ ØÙÔ ÙÔÐ ÓÚ Ø ÖÝ Ð Ò ÓÐ º ÅÝ Ù ú Ñ Ø Ò Ò ÞÒ Ñ õ Óú ÙØÓÖ Ñ È Ø Ö Å Öº Â Ó Ð ÓÖ Ø¹ ÑÙ Ò Ñ ÙÑÓúÒ ÖÓÞ Ð Ø ØÖ ÒÙ ØÚ Ö Ò Ú Ø Ú ÔÓÑ ÖÙ 3 2 : 1 Ñú Ù ú Ñ ØÖÓ Ø ÐÒÓ Ø Ð 3 2 ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º

43 Ç Ö Þ º Å ÖÓÚ ÙÔÐ ÖÝ Ð È Ð º º Å Ö Ú Ð ÓÖ ØÑÙ ÙÔÐ ÖÝ Ð µ ÇÞÒ Ñ Ó Ý ØÚ Ö ÖÓÞ Ð Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ó ÐÒ Ý A,B,C,D,E,F,G,H Ú Þ Ó Öº º º ËÐÓú Ñ Ô Ý p Ø ÖÑ ÞÓ Ö Þ Ñ Ó B Ò Ù AD Ó F Ò Ù GHº Ó Ò Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ô ØÓÑØÓ ÖÓ Ù Ó B Ò ÞÚ Ñ Ó Ñ B º ÈÐ Ø DB : AB = 3 2 : 1º Ç Ö Þ º Þ Å ÖÓÚÝ ÙÔÐ ÖÝ Ð Þº ÇÞÒ Ñ Ó Ò Ø Ö Ò Ñ ÞÓ Ö Þ Ô ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò Ô Ý Ù p Ó F Ó Ó F º Ð ÓÞÒ Ñ ÔÖ P Ô Ñ Ý p ÓÙ ABº Æ ÓÒ ÓÞÒ Ñ ÚÞ Ð ÒÓ Ø DB = x, AB = y AP = zº È ÔÐ Ø AD = AB = x+yº ÈÖÓØÓú Ó B Ó Ö Þ Ñ Ó Ù B Ú Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø ÔÓ Ð Ô Ñ Ý p ÔÐ Ø PB = PB = x+y zº B F Ó Ö Þ Ñ Ý BF Ú Ø ú Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø º Æ Ú Ñ ÔÓÙú Ð Ô Ô Ö ÖÓÞ Ð Ò Ò Ø Ó Ò Ó ÐÒ Ý Ú Ñ Ø Ý B F = BF = x+y º Ð ÔÐ Ø 3 GB = DB DG = x x+y = 2x y. 3 3 ÐÝ PAB B GF ÓÙ ÔÖ Ú º ÈÓÙú Ø Ñ ÈÝØ ÓÖÓÚÝ Ú ØÝ Ú ØÖÓ ÐÒ Ù APB Ó Ø Ú Ñ y 2 +z 2 = (x+y z) 2 º ÈÓ ÙÑÓÒ Ò ÚÖ ÞÙ Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò Ø ØÓ ÖÓÚÒÓ Ø Ò Ð Ò ÔÖ Ú Ñ Ñ 2z(x + y) = x 2 + 2xyº ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú x,y ÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ø Ý Ð Ò Ð Ñ ú Ñ Ó ØÖ ÒÝ ÖÓÚÒÓ Ø ÚÝ Ð Ø ÚÖ Þ Ñ 2(x+y)

44 Ø Ñ Þ Ñ ÚÝ Ò z = x2 +2xy 2(x+y). ÇÞÒ Ñ ¹Ð APB = α Ô Þ ÓÙ ØÙ ÚÒ Ø Ò Ð ØÖÓ ÐÒ Ù APB ÔÐÝÒ AB P = π αº Ó ÓÚ ÓÙÑ ÖÒÓ Ø ÔÓ Ð Ô Ñ Ý p ÔÐÝÒ PBF = 2 PB F = πº 2 ÈÖÓØÓú Ð AB D Ô Ñ ÔÐ Ø ( π ) GB F = AB D AB P PB F = π 2 α π 2 = α. Å ú Ñ Ø Ý Ø ú APB GB F º Ë ÚÝÙú Ø Ñ Ø ØÓ ÔÓ Ó ÒÓ Ø ØÖÓ ÐÒ Ñ ú Ñ Ô Ø ÔÓ Ó Þ Ò 2x y 3 x+y 3 GB B F = AP PB, = x 2 +2xy 2(x+y). x+y x2 +2xy 2(x+y) ÈÖÓØÓú (x+y) Ø Ð Ò ÐÓ Ñ ú Ñ ØÙØÓ ÖÓÚÒÓ Ø ÙÔÖ Ú Ø Ò ØÚ Ö 2x y x+y = x 2 +2xy x 2 +2xy +2y 2. ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú ÚÖ ÞÝ Ú Ó ÓÙ Ñ ÒÓÚ Ø Ð ÓÙ Ø Ð Ò Ñ ú Ñ Ó ØÖ ÒÝ ÖÓÚÒÓ Ø ÚÝÒ Ó Ø Ó Ñ Ø Ñ ØÓ Ñ ÒÓÚ Ø Ð º ÈÓ Ò Ð Ò ÔÖ Ú ú Ó Ø Ò Ñ ÚÞØ x 3 = 2y 3 Ø Ý x = 3 2y.

45 Ã Ô ØÓÐ ÈÓ Ø ÓÚ ÓÖ Ñ Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ ØÖÙ Ò Ò Ø Ò Ñ Ñ ÞÔ Ó Ñ ÑÓúÒ ÚÝÙú Ú Ø ÚÔÓ ØÒ Ø ¹ Ò Ù Ô ÔÖ ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ Ô ÙØÓÑ Ø Ñ Ó ÞÓÚ Ò º º½ ÙØÓÑ Ø Ó ÞÓÚ Ò Ì ØÓ Ø ÝÐ Ò Ô Ò ÚÝÙú Ø Ñ Þ ÖÓ ½ ½ ½ º Â Ñ Ù Þ Ð Ú ØÚÖØ Ô ØÓÐ ÓÖ Ñ Ò Ñ Ô Ò õ ÓÔÖÓØ Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ¹ ØÖÙ Ñ ÒÓÚ ÑÓúÒÓ Ø º ÌÓ ÓÙ Ò Ø ÑÓúÒÓ Ø ÓÖÑÙÐÓÚ Ò ÒÓÚ Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ú Øº Ó ÞÓÚ Ò Ø ÓÚ Ú Ø ÖÙ Ò Ú ØÓ Ú ÐÑ ÐÓú Ø º ÈÖÓ ÞÖÝ Ð Ò Þ Ú ÓÑ ØÖ Ò Ò Ú ÓÑ ØÖ µ ÐÞ ÔÓÙú Ø ÚÔÓ ØÒ Ø Ò Ù ØÓ ØÞÚº Ù¹ ØÓÑ Ø ÑÙ Ó ÞÓÚ Ò º ÈÖÓ Ò ÖÓ ÒÓ Ø Ø ØÓ Ø ÓÖ ÙÚ Ñ ÔÓÙÞ Þ Ð Ò ÚÐ ØÒÓ Ø Ø Ö Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø ÔÖÓ ÑÓÒ ØÖ Ò Ô Ð º ÈÓ ÖÓ Ò Ø ØÓ Ø ÓÖ ÔÓ¹ Ô Ò Ú ½ º Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÔÖÓÚ Ø Þ Ò Ó ØÚÖÞ Ò Ø Ò ÓÑ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ¹ ÔÖÚ ÔÖ ÚÒ Ñ Ø Ñ Ø Ý ÔÓÔ Øº à ØÓÑÙ ÔÓØ Ù Ñ ÞÚÓÐ Ø ÓÙ Ø ÚÙ ÓÙ ÒÓÙº Î Øõ ÒÓÙ ÚÓÐ Ñ ÖØ Þ ÓÙ ÓÙ Ø ÚÙ ÓÙ ÒÓÙ ÔÓ Ø Ñ ÙÑ Ø ÒÑ Ø Ý ÓÖ¹ ÑÙÐ Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ ÝÐ Ó Ò ÒÓ Ùõõ º Ë ÚÝÙú Ø Ñ Ø ØÓ ÓÙ Ø ÚÝ ÓÙ Ò Ô ú Ñ ú Ñ ÚÝ Ø ÑÒÓú ÒÙ Ô ÔÓ Ð Ó ÞÓÚ Ò Ó ØÚÖÞ Ò {h 1 = 0,...,h n = 0} Þ Ú Ö ØÚÖÞ Ò c = 0 h 1 = 0,...,h n = 0,c ÓÙ Ø ÔÓÐÝÒÓÑݺ Æ õ Ñ Ð Ñ Ô Ó Þ Ø ØÚÖÞ Ò Ú ØÚ ÖÙ h 1 = 0 º h n = 0 c = 0 º½µ ÄÞ Ù Þ Ø ú ØÚÖÞ Ò Ú ØÚ ÖÙ º½µ ÔÖ Ú Ú ÔÐ Ø ¹Ð c I = h 1,...,h n º  ÒÑ ÐÓÚÝ Ñ ú Ñ ú ØÚÖÞ Ò ÔÖ Ú Ú ÔÓ Ù ÐÞ Ó Þ Ú Ö ÚÝ Ò ÖÓÚ Ø ÔÓÑÓ Ó

46 Ô ÔÓ Ð º à ÖÓÞ Ó ÓÚ Ò Þ ØÚÖÞ Ò ÔÖ Ú Ú Ø Ý Ò Þ Ò Ô Ð ÚÝÙú Ø Ö Ò ÖÓÚ Þ ú Ñ ÔÓÔ Ð Ú ÔÓ Ð Ò Ø ÖÙ Ô ØÓÐݺ ÈÖÓ Ò õ ÚÔÓ ØÝ Ù Þ Ò Ò Ð Ù Ú Ø º Î Ø º½º ÌÚÖÞ Ò Ú ØÚ ÖÙ º½µ ÔÖ Ú Ú ÔÖ Ú Ø Ý Ýú Ö Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ¹ ÖÓÚÓÙ Þ ÐÙ h 1,...,h n,1 uc ÑÒÓú Ò {1}º Þº Þ Ú ØÝ ÔÓÞ Ú ½ º ÈÓÞÒ Ñ º½º È Ñ Ò Ñ u Ú Ô ÓÞ Ú Ø ÞÒ Ñ ÒÓÚÓÙ ÓÖÑ ÐÒ ÔÖÓÑ ÒÒÓÙº  ÓÙ¹Ð Ø Ý ÔÓÐÝÒÓÑÝ h 1,...,h n ÔÖÚ Ý Ó ÖÙ Ù F[x 1,...,x k ] Ô h 1,...,h n,1 uc ÔÓ ÑÒÓú ÒÓÙ Ó ÖÙ Ù F[x 1,...,x k,u]º ÈÓ ÖÓ ÒÓ Ø ÐÞ Ò Ð ÞØ Ú ½ º ÈÖÓ Þ Ò Ó ØÚÖÞ Ò ÔÓ ÓÖÑÙÐ Ô ÐÙõÒ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Ù Ñ ÔÓÙú Ú Ø Ó ØÛ Ö Å Ø Ñ Ø Óú ÔÓÑÓ Ù Ñ ÑÓ ÒÓ Ùõ ÙÖ Ø Ô ÐÙõÒÓÙ Ö Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ÖÓÚÙ Þ º Ð ÔÓ ØÙÔ Ù ú Ñ Ò Ò Ð Ù Ñ Ô Ð Ùº È Ð º½º Ó úø ú Ø úò Ú Ð ÓÚÓÐÒ Ñ ØÖÓ ÐÒ Ù ÔÖÓØ Ò Ú Ò Ñ Ó º Þº Å Ñ ØÖÓ ÐÒ ABCº ËÓÙ Ø ÚÙ ÓÙ ÒÓÙ Þ Ú Ñ Ø ú ÚÖ ÓÐÝ ØÖÓ ÐÒ Ù Ù ÓÙ Ñ Ø ÓÙ Ò A = [0,0],B = [2a,0],C = [2b,2c]º Ð ÓÞÒ Ñ Ó Ý S a,s b,s C Ó Ø Ý ØÖ Ò ÔÓ µ BC,AC,AB ØÖÓ ÐÒ Ùº ÌÝØÓ Ø Ý Ñ ÓÙ Ò S a = [a + b,c],s b = [b,c],s c = [a,0]º ÊÓÚÒ Ø úò ØÖÓ ÐÒ ABC Ñ ØÚ Ö t a : cx (a+b)y = 0 t b : cx+(2a b)y 2ac = 0 t c : 2cx+(a 2b)y 2ac = 0 Ð ÙÚ úù Ñ Ó T Ó ÓÙ Ò T = [p,q]º Ý Ð ú Ð Ø ÒØÓ Ó Ò Ø úò Ò õ Ó ØÖÓ ÐÒ ÑÙ ÐÝ Ý ÔÐ Ø Ø ÖÓÚÒÓ Ø T t a : cp (a+b)q = 0 T t b : cp+(2a b)q 2ac = 0 T t c : 2cp+(a 2b)q 2ac = 0 Æ õ Ñ Ð Ñ Ù Þ Ø ú Úõ ÒÝ Ø Ø úò ÔÖÓØ Ò Ú Ò Ñ Ó º È ÔÓ Ð ¹ Ñ Ø Ý ú Ó T ÔÖ Ñ Ø úò t b t c º Ø Ð Ý ÓÑ Ù Þ Ø ú Ú Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ú Ø ÔÐ Ø T t a Ø Ý ú ÔÖ Ñ ÚÓÙ Ø úò ÑÙ ÔÖÓ Þ Ø Ø Ø Ø úò µº Ó ÞÙ Ñ Ø Ý ØÚÖÞ Ò Ú ØÚ ÖÙ cp+(2a b)q 2ac = 0 2cp+(a 2b)q 2ac = 0 } cp (a+b)q = 0

47 ÈÓ Ð Ú ØÝ º½ Ø Ý ÔÓØ Ù Ñ Ù Þ Ø ú Ö Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ÖÓÚÓÙ Þ ÐÙ cp+(2a b)q 2ac,2cp+(a 2b)q 2ac,1 u(cp (a+b)q) ÑÒÓú Ò {1}º Î ÔÖÓ Ö ÑÙ Å Ø Ñ Ø Ø Ý Þ Ñ Ô Þ ÖÓ Ò Ö {c p+(2 a b) q 2 a c,2 c p+(a 2 b) q 2 a c, 1 u (c p (a+b) q)},{p,q,u} Î Ô ÞÙ Ñ ÓÞÒ Ð Ò ÔÖÚ ÑÒÓú ÒÙ Ò Ö ØÓÖ ÐÙ Óú Ö Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö ¹ Ò ÖÓÚÙ Þ Ñ ÙÖ Ø Ò Ð Ò ÑÒÓú ÒÙ ÔÖÓÑ ÒÒ º ÈÓ Ô ÐÙõÒ Ñ ÚÔÓ ØÙ Ò Ñ ÔÖÓ Ö Ñ Ù ú Ò Ð Ù Ú ØÙÔ Ç Ö Þ º½ ÙØÓÑ Ø Þ ÔÓÑÓ Ó ØÛ Ö Å Ø Ñ Ø Â Ñ ú Ñ Ú Ø Ð ÒÓÙ Ö Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ÖÓÚÓÙ Þ Ò õ Ó ÐÙ ÑÒÓú Ò {1}º Ì Ñ Ñ Ù Þ Ð ú ÔÖ Ñ ÚÓÙ Ø úò ÔÖÓ Þ Ø úò Ø Ø Ø Ý ú ÔÖ Ò Ñ Úõ Ø Ø úò Ú ØÖÓ ÐÒ Ù Ò Ó º È Ð º¾º Â Ó ÖÙ Ô Ð Ù ú Ñ ÙØÓÑ Ø Þ Ð ÓÖ ØÑÙ ÖÓÞ Ð Ò ØÖ ÒÝ ØÚ Ö Ò Ø Ø ÒÝ Ú Þ Ô Ð º º ÍÚ úù Ñ Ð Ù ØÖ ÒÝ ØÚ Ö aº ËÓÙ Ò Ó Ú Þ Ô Ð º ÓÙ Ø Ý A = [0,0],B = [a,0],c = [a,a],d = [0,a],E = [0, a]º 2 ÐÓÔ AC Ñ ÖÓÚÒ x y = 0 Ô Ñ Ò Ó Ý B E Ô x+2y a = 0º Ó P Ñ ÓÙ Ò P = [p,0]º Ó X Ô Ñ ÓÙ Ò X = [p,q]º Æ õ Ñ Ð Ñ Ù Þ Ø ú p = 1 aº ÈÓú ÓÚ Ò Þ Ú Ö Ø Ý c : 3p a = 0º 3 ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú Ó X Ð ú Ò ÔÖ Ù ÐÓÔ Ý AC Ô Ñ Ý Ò Ó Ý B,D ÑÙ ÔÐ Ø Ø Ô ÔÓ Ð Ý Ú ØÚ ÖÙ h 1 : p q = 0 h 2 : p+2q a = 0º Ñ Ø Ý ÙÖ Ø Ö Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ÖÓÚÙ Þ ÐÙ p q,p+2q a,1 u(3p a) º È ÐÙõÒ Ú ØÙÔ ÔÖÓ Ö ÑÙ Å Ø Ñ Ø Ô Ò Ð Ù Ç Ö Þ º¾ ÙØÓÑ Ø Þ ÐÓ Ý Ô Ð Ù º Å ú Ñ Ú Ø ú Þ ÔÖÓ Ð Ð Ó Ú Ò Ó P Ø Ý Ð ú Ú Ò Ø Ø Ò ØÖ ÒÝ ØÚ Ö ABº ¼

48 º¾ ¹ÓÖ Ñ Ý Ø Ñ È ØÚÓÖ Ò Ð Ù Ø ÝÐÝ ÔÓÙú ØÝ Þ ÖÓ ½ ¾¼ ¾½ º ÈÖÓ ÑÓ ÐÓÚ Ò ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ú Ó Ò ¹ÓÖ Ñ Ý Ø Ñ Ð Ó µº Ì ÒØÓ Ý ¹ Ø Ñ Ð Ñ ÙÔ ÒÝ ËÝÑ ÓÐ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ê Ö ÖÓÙÔº Â Ó ÓÔÐÒ ÔÖÓ Ö ÑÙ Å Ø Ñ Ø Ø Ö ÔÓÞ Þ ÖÑ Ò Û Ù ØØÔ»»ÛÛÛº ¹ Ó ºÓÖ ¼ ¼» Ó º Ø ÑÓúÒ Ò Ø Ò ÚÓ Ø ÒØÓ ÓÔÐÒ ÔÙ Ø Ø ÔÖ ÚÒ Ò Ø Ú Ø Ò ÓÖÑ Ó ØÓÑØÓ ÓÔÐ Ù Ó Ó ÙØÓÖ º ÈÖÓ Ò õ ÐÝ Ù Ñ ÔÓÙú Ú Ø Ò Ø Ú Ò ÁÒ Ü Ø ÁÒØ Ö Ø ÓÒ Ð Ë ØÇÔØ ÓÒ Ë ÓÛÇÖ Ñ Ë ÓÛ Ö Ñ Ð Ô ½¼ Ë ØËÝ Ø Ñ ÙÖ Ý ÈÖÓ Þ Ò ÔÖÓ Ù Ð Ò ÓÖ Ñ ÔÓÙú Ñ Ô Þ ÒÇÖ Ñ Ì ÒØÓ Ô Þ Ò Ñ ÚÝ Ò ÖÙ Ó Ú ØÙÔ ØÚ Ö ABCDº Â Ó Ð ÞÒ ÞÓÖÒ Ò ÑÓ ÖÓÙ ÖÚÓÙº ÈÖÓÚ Ñ ¹Ð Ò Ð Ò Ô Ý ÔÓ Ø Ö Ñ Ù Ú Ø ÖÙ ÓÚ Ø Ô ÚÓ Ò Ó ØÚ Ö Ù Ø ØÓ Ø ÞÒ ÞÓÖÒ Ò Þ Ð ÒÓÙ ÖÚÓÙº ÎÝ Ò ÖÓÚ Ò ØÚ Ö Ñ ÖÓÞÑ ÖÝ 10 10º Å Ñ ¹Ð ÚÝ Ò ÖÓÚ Ò ØÚ Ö Ñ ú Ñ Ó Ò Ð ÓÚÓÐÒ ÙÑ Ø Ø ÔÓØ Ò Ó Ý Þ Ø Ö Ñ ÚÝ Þ Ø ÔÓÑÓ Ô ÞÙ Æ ÛÈÓ ÒØ X {a,b} X Ú ØÓÑØÓ Ô Ô ÓÞÒ Ò ÒÓÚ Ó Ó Ù Ð a,b Ó ÓÙ Ò º Æ Ð Ò ú Ñ ú Ñ Ô Ø ÑÓØÒ ÑÙ Ô Ò º à ØÓÑÙØÓ ÐÙ ÐÓÙú Ñ Ô Þ Ø Ö ÓÖ ÔÓÒ Ù Ñ ÀÙÞ ØÓÚÑ Ü ÓÑÝ ÓÖ Ñ ú Ñ Þ Ú Ð Ú ØÚÖØ Ô ØÓÐ º È ÞÝ ÓÙ Ò Ð Ù ÀÇ Q Ì ÖÓÙ {P 1,P 2 } Ó Ö Þ Ò Ó ÙX ÔÓÑÓ Ô Ý Ù ÔÖÓ Þ Ó Ó Ý P 1,P 2 º ÀÇ P 1,P 2 È Ý Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ó P 1 Ò Ó P 2 º ÀÇ l 1,l 2 È Ý Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ô Ñ Ù l 1 Ò Ô Ñ Ù l 2 º ÀÇ l Ì ÖÓÙ P È Ý ÓÐÑ Ò Ô Ñ Ù l ÔÖÓ Þ Ó Ñ P º ÀÇ P 1 l Ì ÖÓÙ P 2 È Ý ÔÖÓ Þ Ó Ñ P 2 Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ó P 1 Ò Ô Ñ Ù lº ÀÇ P 1 l 1 P 2 l 2 È Ý Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ó P 1 Ò Ô Ñ Ù l 1 Ó P 2 Ò Ô Ñ Ù l 2 º ÀÇ P l 1 l 1 È Ý ÓÐÑ Ò Ô Ñ Ù l 2 Ø Ö Ô Ò Ó P Ò Ô Ñ Ù l 1 º È ÑÓØÒ Ñ Þ Ú Ò Ô Úõ ÒÝ Ó Ý Þ Ú Ñ Ú ÙÚÓÞÓÚ º Î Ò Ø Ö Ô Ô ¹ Ñ ú Ø Ø ú Ò Ô Ý ÑÓúÒ ÔÖÓÚ Ø Ú ÞÔ Ó Ýº Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ½

49 Ò Ñ Ó ÞÓ Ö Þ Úõ n ÑÓúÒÓ Ø ÓÞÒ Ò ½ ú nº Ð Ø ÒÙ Þ Ø ØÓ ÑÓúÒÓ Ø ÚÝ Ö Ø Óú ÔÖÓÚ Ñ Ô ÐÙõÒÑ ÓÔÐÒ Ò Ñ Ô ÞÙº ÈÓ Ù Ò Ô Ð ÔÓÙú Ú Ñ õ Ø Ü ÓÑ Ñ ÞÚÓÐ Ø ÖÙ ÓÙ Þ Ò Þ Ò ÑÓúÒÓ Ø Ù Ô ÐÙõÒ Ô Þ ÀÇ P 1 l 1 P 2 l 2 ¾ Ñ ¹ÖÓÞÐÓú Ø ÔÓ Ð Ò ÐÓú Ò õø Ò ÖÓÞÐÓú Òµ Ô Ý Þ Ñ Ô Þ ÍÒ ÓÐ Ñ ¹Ð ÖÓÞÐÓú Ø Úõ ÒÝ Ô Ý Ý Þ Ñ Ô Þ ÍÒ ÓÐ ÐÐ Â Ó Ô Ð Ñ ú Ñ Ù Þ Ø ÑÓ Ð Ó Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ ØÖ Ó ØÖ Ó ÐÙ Ú Þ Ô ¹ Ð º½µº È ÐÙõÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ô Þ Ò Ð Ù ÒÇÖ Ñ Æ ÛÈÓ ÒØ È {3.7,10} ÀÇ Ì ÖÓÙ { A, P } ÍÒ ÓÐ Æ ÛÈÓ ÒØ {0,5.4} ÀÇ Ì ÖÓÙ ÍÒ ÓÐ ÀÇ ÍÒ ÓÐ ÀÇ ÁÀ È ÀÇ ÍÒ ÓÐ ÐÐ ÀÇ Ì ÖÓÙ { Q, R } ÍÒ ÓÐ ÀÇ É ½ ÍÒ ÓÐ Î ØÙÔ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÙ ÔÓØÓÑ Ö ÞÒ ÞÓÖÒ Ò ÒÓØÐ Ú ÖÓ Ú Þ Ó Ö Þ Ý º º º ÃÖÓÑ ØÓ Ó ú ÓÔÐÒ Ó Ú Ó ÒÑ Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÔÖÓ Ø Ñ ÑÓ ÐÓÚ Ò ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ø Ú ÐÑ Ó ÖÑ ÔÓÑÓÒ Ñ Ô ÙØÓÑ Ø Ñ Ó ÞÓÚ Ò º Â Ó Ú Ð ÓÙ Ú Ó ÓÙ ÙØ ÒÓ Ø ú Ó ú Ñ ÚÝÙú Ø Ñ ÔÖÓÚ Ò ÓÒ ØÖÙ ÚÝ Ò ÖÓÚ Ø ÑÒÓú ÒÙ Ô ÔÓ Ð Ø Þ Ú Ö Ó ÞÓÚ Ò Ó ØÚÖÞ Ò Ñú Ò Ñ Ùõ ¹ Ø ÔÖ Ô Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÔÓÔ ÓÚ Ò Ô ÐÙõÒ Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÖÓ Ð ÑÙº Ô Ó Ñ Ó Ò ÖÙ Ô ÐÙõÒ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ÔÓÔ Ò Ú ¾¼ º Ñ ¹Ð Ø Ý Ó Þ Ø Ò ØÚÖÞ Ò ÔÓØ Ù Ñ Ó Ú ØÙÔ ÔÓÙÞ ÔÖÓÚ Ø Ô ÐÙõÒÓÙ ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙ ÔÓÑÓ Ó Ò Ð Ò Þ Ø Ð Ø Ö ÑÙ Ñ Ó Øº ËÝ Ø Ñ Ó Ò Ð Ò ÚÝ Ò ÖÙ Ô ÐÙõÒ Ô ÔÓ Ð Ý Þ Ú Ö ÔÓÑÓ Ö Ò ÖÓÚ Þ ¾

50 Ç Ö Þ º ÌÖ ÐÙ ÔÓÑÓ Ó ¹ Ø ½ ÔÖÓÚ ÙØÓÑ Ø Þº Î ØÙÔ Ñ ÔÖÓ Ö ÑÙ Ô ÓÙ ÓÖ Ú Ò Ñú ÓÙ ÔÓÔ ÒÝ ÖÓ Ý Ø Ö Ó ÔÖÓÚ Ð Ò ÓÖÑ Þ ÝÐ Þ ÚÝÙú Ø Ñ Ö Ò ÖÓÚ Þ Ô õòº Â Ó Ô Ð Ù ú Ñ Þ Úõ ØÖÓ Ò Ó ØÖ Ó ØÖ Ó ÐÙº ÈÓ ÔÖÓÚ ¹

51 Ç Ö Þ º ÌÖ ÐÙ ÔÓÑÓ Ó ¹ Ø ¾ Ò ÓÒ ØÖÙ Ú Ý Ø ÑÙ Ó Ø Ô ÔÖ Ú Ø Ý Ø Ñ Ò Þº Æ Ð Ù Ô ÞÝ Ò Ñ Ô ÔÖ Ú ÓÖÑ Ø ÞÙ ÈÖÓÓ Ó ÓÖÑ Ø ÈÖÓÓ ËÙ Ø ÓÒ ½ ÈÖÓÓ Ó ÓÖÑ Ø Ó Ð ËÙ Ù Ø ÓÒ ½ ÆÝÒ ú Ñ ú Ñ ÔÓÔ Ø Ð Ó Ðµ Ò õ Ó ÞÙº Æ õ Ñ Ð Ñ Ù Þ Ø ú ÔÐ Ø ÖÓÚÒÓ Ø BAS = SAQ = QAP. ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú Þ ÚÒ Ó Ó ØÖ ÐÝ ÔÐ Ø ØÝØÓ ÖÓÚÒÓ Ø ÔÖ Ú Ø Ý Ýú ÓÙ ÖÓÚÒÝ Ø Ò ÒØÝ Ø ØÓ Ð º Ì ÒØÓ Ð Ô Þ Ñ ÔÓÑÓ Ô ÞÙ Ó Ð ÌÓÌ Ò ÒØ B, A, S ÌÓÌ Ò ÒØ S, A, Q ÌÓÌ Ò ÒØ Q, A, P ÈÓ Þ Ò Ð õø Ø Þ Ø Ñ ÔÙ Ó Ò Ú ØÙÔÙº ËÓÙ Ò Ó A,B,C,D ÓÙ ÙÖ ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÝ ØÚ Ö Ò Ú ØÙÔÙº Ð Ó P Ñ Ó Ò ÓÙ Ò [a,10] Ó E ÓÙ Ò [b,0]º ÌÝØÓ Ó Ý ÔÓÔ õ Ñ Ò Ð ÓÚÒ Ñ Ô { A {0,0}, B {10,0}, C {10,10}, D {0,10}, P {a,10}, E {0,b}} Æ Ð Ò ú Ñ ú Ñ Þ Ø Ô Þ ÔÖÓ ÔÖÓÚ Ò ÔÓú ÓÚ Ò Ó ÙØÓÑ Ø Ó ÞÙº

52 ÈÖÓÚ Ó ØÖ Å ÔÔ Ò Ñ Ô ÖÓ Ò Ö {ÅÓÒÓÑ ÐÇÖ Ö Ö Ä Ü Ó Ö Ô Ó ÒØ ÓÑ Ò Ê Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ } ÈÓ ÔÖÓÚ Ò ØÓ ÓØÓ ÔÓ Ð Ò Ó ÖÓ Ù ú Ú ØÙÔ Ñ Ý Ø ÑÙ ÔÓú ÓÚ Ò ÓÙ ÓÖ Þ Ñ Ú Þ Ó Öº º º Ç Ö Þ º Þ Ó ØÖ ÔÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ó ØÓ ÓØÓ Ú ØÙÔÙ Ô ØÖÒ ú ÔÓú ÓÚ Ò Þ ÔÖÓ Ð Ô õò º Æ Þ Ú Ö õø Úõ ÑÒ Ñ ú Ú Ô ÞÙ ÔÖÓ ÔÖÓÚ Ò ÞÙ ÔÖ Ù Ñ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØݺ Æ ØÙØÓ ÙØ ÒÓ Ø ÑÙ Ñ Ö Ø Ó Ð Ô Þ Ú Ò ÔÓú ÓÚ ¹ Ò Ó Ð º Ñ ¹Ð Ò Ô Ð Ó Ð ÞÙ ÚÝ Ø ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÚÓÙ Ó Ø ÔÖ ÓÚ Ø ÖÙ ÓÙ Ø ØÓ ÚÞ Ð ÒÓ Ø º ÈÓ Ù Ý ÓÑ Ø Ò Ù Ò Ð ÞÔ Ó Ð Ý ÓÑ ÚÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÚÓÙ Ó ÚÝ Ò ÔÓÑÓ ÖÙ Ó ÑÓÒ ÒÝ Ø Ó ÚÖ ÞÙ Ø Ý Ô ÐÙõÒ ÚÝ Ò Ò Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ð Ò ÑÙú Ý Þ Ò ÔÖÓ Ð ÔÖ ÚÒÑ ÞÔ Ó Ñº

53 Ã Ô ØÓÐ Æ ÚÖ Ø Ñ Ø Ó Ð Ù ÔÖÓ ÚÙ Ù Ò Ø Ò õ ÓÐ ÇÖ Ñ ÚÞ Ð Ñ Ú ÔÓÔÙÐ Ö Ø ÓØ Ú Ö ÔÓÑ ÖÒ Þ Ñ ÚÓÙ ÑÓúÒÓ Ø Ù ú Ø Ò õ ÓÐ ÔÖÓ ÐÓÙ Ø ÖÓÞõ Ø ÞÒ ÐÓ Ø Ú Ó Ð Ø Ò Ò ÔÐ Ò Ñ ØÖ Ò ÐÝØ ÓÑ ØÖ Ð Ð Öݺ ÃÖ Ø Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÖ Ñ Ý ÝÐÓ Ú Ó Ò Þ Ø Þ Ñ Ò Ú Ñ Ø Ñ Ø Ø ÝÑÒ Þ Ú Þ ÑÓÚ Ñ Ø Ñ Ø ÖÓÙú º Æ ÚÖ ÞÔÖ ÓÚ Ò Ø Ñ Ø Ó Ð Ù Ò Ð Ù Ì Ñ ÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ Ð Ë ÞÒ Ñ Ò ú Ü ÓÑ Ø Ñ Þ Ú Ò Ñ ÓÖ Ñ ÔÓÔ ÓÙÚ ÐÓ Ø Ñ Þ ÓÒ¹ ØÖÙ Ñ ÓÖ Ñ Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ ÓØ Ú Ø ÒÓÚÓÙ Ô Ö Ô Ø ÚÙ Ô õ Ò ÓÑ ØÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÚÓ Ò Þ Ð ÔÖ Ó ØÛ Ö Å Ø Ñ Ø Þ Ò ÔÓÚ ÓÑ Ó ÙØÓÑ Ø Ñ Ó ÞÓÚ Ò Ú ÓÑ ØÖ ÖÓÞÚÓ Ò ÐÝØ Ó ÑÝõÐ Ò ú º ÅÓØ Ú Â Ó ÑÓØ Ú ÔÖÓ Ò ÚÓÞ Ò ÓÖ Ñ ÓÑ ØÖ Ú Ó Ò ÞÒ Ñ Ø ú Ý ØÖÙ Ò ÓÒ ØÖÙ Ñ ÓÑ Þ ÒÑ ÔÖÓ Ø Ý Ú Þ ÖÙ Ø ÚÓ Ò Ô ØÓÐݵº ÚÐ õøò Ö Þ Ô Ð Ñ Ò Ù Ð ÓÚ ÓÒ ØÖÙ Ø Ö ú ú ÞÒ Þ ÚÝÙ¹ ÓÚ Ò º Ð ÔÓÔ õ Ñ Ø Ð ÔÖÓ Ð ÑÝ Ø ÖÓÚ Ù Ò Ø Ò Ñ ú ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ Ò ÖÓÞ Ð Ó Ù Ð ÓÚ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÐÒÓ Ø µ Ù ÓÙ Ò Ø Ö Þ Ò õ Ø ÐÒ º ÔÖ ÓÚ Ò ÈÓ ÙÚ Ò Ø Ñ ØÙ Ú Ó Ò Þ Ø Þ Ð Ò Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ ÓÖ Ñ Ú Þ Ø Ø Ô ØÓÐ µ Ô Ñú Ð Ñ Ö Þ Ò ØÓ Ý ÓÑ Ù Þ Ð ÓÙÚ ÐÓ Ø Ø ØÓ ÓÒ ØÖÙ Ù Ð ÓÚ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ñ º ÈÓØ ú ÑÓúÒ Þ Ú Ø ÓÖ Ñ ÔÓÑÓ ÀÙÞ ØÓÚ Ü ÓÑ Ù Þ Ø Ò Ô Ð Ò ÐÓÞ ØÖ Ó ØÖ Ó ÐÙµ Ô ÒÓ Ô Ò Ü ÓÑ º È ØÓÑØÓ Ú Ð Ù Ð ú Ø Ý ú ÓÒ ØÖÙ Ñ ÚÝÞ ÓÙõ Ð º ÈÓ Þ Ú Ò ÓÑ ØÖ ÓÖ Ñ ÔÓ Ó ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙ Ô Ò Ñ Ô Ô ÖÙ ú Ý ÑÓúÒ Ô Ø ÞÔÖ ÓÚ Ò ÓÖ Ñ ÚÝÙú Ø Ñ ÚÔÓ ØÒ Ø Ò Ý Ú Þ ÖÙ Ø Ô Ø Ô ØÓÐݵº Æ ÔÖÚ ÞÒ Ñ Ñ ú Ý ÓÒ ØÖÙ Ñ Ú Ý Ø ÑÙ Ó ÔÓÙ ú Ñ Ò ÓÖ ÔÓÒ Ò ÀÙÞ ØÓÚÑ Ü ÓÑݺ Æ Ð Ò Ò Ø Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ù Ó ÞÓÚ Ò Ú ÓÑ ØÖ ÔÓÔ õ Ñ Þ Ð Ý ÔÓØ Ò ÙØÓÑ Ø ÑÙ Ó ÞÓÚ Ò º Î Ð ÓÔй

54 Ò Ñ ÒÓ Ù Ñ Ô Ð Ý ú ú ÞÚÐ ÒÓÙ ÚÝÔÖ ÓÚ Ø Ñ ÚÝÙú Ø Ñ ÔÖÓ Ö ÑÙ Å Ø Ñ Ø Ø Ö ÚÝÞ Ú ÒÓÙ Ú Ó Ý ÙØÓÑ Ø Ó Ó ÞÓÚ Ò ÓÔÖÓØ ØÓÑÙ ÖÙ Ò ÑÙº Æ ÓÒ Ù ú Ñ ú Ñ ÞÔ Ó ÚÝÙú Ø Ý Ø Ñ Ó ÙØÓÑ Ø ÑÙ Ó ÞÓÚ Ò Þ Ö ÞÒ Ñ ú Ø ÒØÓ Ý Ø Ñ Þ Ò Ñ Ò ÖÙ Ô ÔÓ Ð Ý Þ Ú Ö Ñú Ò Ñ ØÓ Ú ÐÑ Ù Ò Ò ÔÖ º Ì ÒØÓ Ø ÞÒÓÚÙ ÓÐÓú Ñ Ú Ó ÒÑ Ô Ð Ýº ÆÝÒ Ù ú Ñ Ú Ô Ð Ý Ø Ö Ú Ó Ò Ñ Ú Ð Ù ÔÓÙú غ È Ð º½º Ó úø ú Ó Ý ØÖ Ò Ð ÓÚÓÐÒ Ó ØÖÓ ÐÒ Ù ÔÖÓØ Ò Ú Ò Ñ Ó º ÈÓÖÓÚÒ Ø Ø Ò Ö Ò ÔÓ ØÙÔ Ô ØÙÔ Ñ ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ ÓÑ ØÖ º Ì ÒØÓ Ô Ð Ú Ó Ò Þ Ø Ó Ò Þ ÔÖÚÒ Ð Óú Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ù Ø ÖÓÙ ú Þ ÔÐ Ò Ñ ØÖ Ó ÞÒ º Î Ð Ñ Ó Ò Þ Ó Ø úòó Ø Ô Ð Ó ÑÓÒ¹ ØÖ ÞÔ Ó ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò Ø ÙØÓÑ Ø ÑÙ Ó ÞÓÚ Ò º Æ ÔÖÚ ÔÖÓÚ Ñ ÝÞ ÓÙ ÓÒ ØÖÙ Ô Ð Ù ØÓ Ù Ð ÓÚ Ý Ø ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º Ø ÑÓ Ô Ù Ð ÓÚ ÓÒ ØÖÙ Ó Ý ØÖ ÒÝ ØÖÓ ÐÒ Ù ÑÙ Ñ ÔÓ ØÙÔÒ ØÖÓ Ø Ú Ú Ó Ò ÖÙúÒ ú ÔÓØ Þ Ñ Ó Ù ØÖ ÒÝ ØÖÓ ÐÒ Ù Ú Ò Ñ Ô Ñ Ý ÔÖ Ý Ø ØÓ ÖÙúÒ Ô ÓÖ Ñ ÓÒ ØÖÙ Ø ÐÓú Ø Ò Ô Ý Ø Ö ÞÓ Ö Þ Ò Ö Ò Ó ØÖ ÒÝ ØÖÓ ÐÒ Ù Ò ÖÙ º Ì Ñ Ù ú Ñ ú Ú Ò Ø Ö Ô Ô ÖÝ Ð õ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÔÓÑÓ ÓÖ Ñ º Ð Ô ØÓÙÔ Ñ ÞÒ ÞÓÖÒ Ò ÓÒ ØÖÙ ÔÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ó º Ò Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ ÓÒ ØÖÙ Ó ØÖ Ò ØÖÓ ÐÒ Ù Þ Ô õ Ñ Ú ØÚ ÖÙ ÒÇÖ Ñ Æ ÛÈÓ ÒØ E {6.3,7.6} ÀÇ D,Through { A, E } ÍÒ ÓÐ ÀÇ C,Through { B, E } ÍÒ ÓÐ ÀÇ A, B ÍÒ ÓÐ ÀÇ A, E ÍÒ ÓÐ ÀÇ B, E ÍÒ ÓÐ Æ Ó Ö Þ Ù º½ ÓÙ ÔÓ ØÙÔÒ Ú ØÙÔÒ ØÖÓ ÐÒ Ó M Ó ÔÖ Ó ØÖ Ò AB AE Ú Ð Ò ØÖÓ ÐÒ Úõ Ñ Ó Ñ ØÖ Òº ÈÓ ÔÖÓÚ Ò Úõ Ø ÞÔ Ó ÓÒ ØÖÙ Ñ ú Ñ Ô ØÓÙÔ Ø ÑÓÒ ØÖ ÙØÓÑ ¹ Ø Ó Ó ÞÓÚ Ò º Ò Ñ Þ Ñ ÚÝÙú Ø Ñ Ö Ù ÓÚ Ò Ö Ò ÖÓÚÝ Þ ÔÓÑÓ Ó ØÛ Ö Å Ø Ñ Ø º Æ ÔÖÚ ÔÖÓÚ Ñ Ò ÐÝØ ÔÓÔ ØÙ º ËÓÙ Ø ÚÙ ÓÙ ÒÓÙ Þ Ú Ñ Ø Ý ÚÖ ÓÐÝ ØÖÓ ÐÒ Ù ABC Ñ ÐÝ ÓÙ Ò A = [0,0],B = [2a,0],C = [2b,2c]º ÊÓÚÒ Ó ØÖ Ò ØÓ ÓØÓ ØÖÓ ÐÒ Ù ÓÙ Ò Ð Ù o a : (b a)x+cy +a 2 b 2 c 2 = 0

55 Ç Ö Þ º½ ÈÖ Ó ØÖ Ò o b : bx+cy b 2 c 2 = 0 o c : x a = 0 ÇÞÒ Ñ ¹Ð ÔÖ P = [p,q] Ó o b,o c Ô Ø ÔÐ Ø P o c : p a = 0, P o b : bp+cq b 2 c 2 = 0. Æ õ Ñ Ð Ñ Ù Þ Ø ú P o a Ø Ý ú (b a)p+cq +a 2 b 2 c 2 = 0º Ñ Ø Ý ÙÖ Ø Ö Ù ÓÚ ÒÓÙ Ö Ò ÖÓÚÙ Þ ÐÙ p a,bp+cq b 2 c 2,1 u[(b a)p+cq +a 2 b 2 c 2 ]. ÈÓ Þ Ò Ú ØÒ Ó Ô ¹ ÞÙ Ú ØÙÔ ÔÖÓ Ö ÑÙ Å Ø Ñ Ø Ò Ð Ù Ç Ö Þ º¾ ÙØÓÑ Ø Þ ¹ ÔÖ Ó ØÖ Ò Þ Ø Ý ÔÖÓ Ð Ð Ó Ú Ò º Æ Ò Ð Ù Ñ Ô Ð Ù Ù ú Ñ Ò Þ Ô ÒÓ ÓÖ Ñ ÓÑ ØÖ Ú Ó Ù Ù¹ ØÓÑ Ø Ó Ó ÞÓÚ Ò ÔÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ó º È Ð º¾º ÑÓÒ ØÖÙ Ø Ó úø ÔÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ó ú ÑÓúÒ Ò Þ Ð ÀÙÞ ØÓÚ Ü ÓÑ ÓÖ Ñ ÔÖÓÚ Ø ÙÔÐ ÖÝ Ð º ÈÖÓ Ò õ ÓÒ ØÖÙ Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø ØÚ Ö ÖÓÞ Ð Ò Ò Ø Ó Ò Ó ÐÒ Ýº à ØÓÑÙ ÚÝÙú Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ô Ð Ù º º Ñ Ø Ý ÔÓØ ÒÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ô Þ Ú ØÚ ÖÙ ÒÇÖ Ñ ÀÇ D Ì ÖÓÙ { A, C }

56 ÍÒ ÓÐ ÀÇ A, D ÍÒ ÓÐ ÀÇ A Ì ÖÓÙ { B, F } ÍÒ ÓÐ ÀÇ AD Ì ÖÓÙ H ÍÒ ÓÐ ÀÇ D, J ÍÒ ÓÐ Ð ú ÔÓ Ö Ù Ñ ÔÓ Ð Ô Ð Ù º º ÀÇ B, AD, I, LK ÀÇ A Ì ÖÓÙ { N, B } ÍÒ ÓÐ ÐÐ Æ Ó Ö Þ Ù º ÞÒ ÞÓÖÒ Ò ØÚ Ö ÖÓÞ Ð Ò Ò Ø Ó Ò Ó ÐÒ Ý Ò Ð Ò ú ÑÓØÒ ÞÒ ÞÓÖÒ Ò ÙÔÐ ÖÝ Ð º Ç Ö Þ º ÙÔÐ ÖÝ Ð ÔÓÑÓ Ó Ð Ñ Ò õ Ó ÞÙ Ù Þ Ø ú ÔÐ Ø DU = 3 2 AU º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ú Ò Ó ÓÙ ØÖ Ò Ø ØÓ ÖÓÚÒÓ Ø ÚÝ ÝØÙ ÚÖ ÞÝ ÔÓ ÖÙ ÓÙ Ó ÑÓÒ ÒÓÙ Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò ÚÖ Þ ÔÓ Ø Ø Ó ÑÓÒ ÒÓÙ Ø ÙÑÓÒ Ø Ó ØÖ ÒÝ ÖÓÚÒÓ Ø Ò õ ¹ ØÓÙ Ý ÓÑ Þ Ð ÚÖ Þ Ö ÓÒ ÐÒ Ñ Ó ÒØݺ ÈÖÓØÓú ÓÙ Ò Ó ÓÙ ØÖ Ò Ø Ò Þ ÔÓÖÒ Ð Ó ÚÞ Ð ÒÓ Ø µ Ñ ú Ñ ØÙØÓ ÔÖ ÚÙ ÔÖÓÚ Ø Ò ú Ý ÓÑ ÓÔÙ Ø Ð Ò Ò Ú Ú Ð ÒØÒÓ Ø º È Þ ÔÖÓ ÔÖÓÚ Ò ÞÙ Ù Ø Ý Ú ØÚ ÖÙ ÈÖÓÓ Ó ÓÖÑ Ø ÈÖÓÓ ËÙ Ø ÓÒ ½ ÈÖÓÓ Ó ÓÖÑ Ø Ó Ð ËÙ Ù Ø ÓÒ ½ Ó Ð Distance[ D, U ] 6 == (Distance[ A, U ] 6 ) 4 Ñ Ô { A {0,0}, B {10,0}, C {10,10}, D {0,10}} ÈÖÓÚ Duplikacekrychle,Mapping map,groebnerbasis {MonomialOrder DegreeLexicographic,CoefficientDomain RationalFunctions}

57 Î ØÙÔ ÔÖÓ Ö ÑÙ Ô ÞÒ ÞÓÖÒ Ò Ò Ó Ö Þ Ù º º Ç Ö Þ º Þ ÙÔÐ ÖÝ Ð ÔÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ó Å ú Ñ Ø Ý ÓÒ Ø ØÓÚ Ø ú Þ ÔÖÓ Ð Ô õò º Ø Þ Ö ÞÒ Ø ú Þ Ò Ý Ø Ñ Ó ÔÖÓÚ Ð Ò ÐÝØ ÔÓÔ ØÙ Ø Ö Ý ÔÖÓ ú Ý ÑÓ Ð Ø Ú ÐÑ Ò ÖÓ Òº ¼