Ø Ð Ý ÔÓ ÓÚ Ø Þ Ñ Ò Ô ÒÙ ÔÖÓ ÓÖÙ Ë ÑÓÒÓÚ Þ ÔÓÑÓ Ô Ô ÓÚ Ò Ø ØÓ ÔÖ Ô Ú ÖÓ Ò Þ Ñ Ø Ö ÐÒ ÔÓ ÔÓÖÙº

Transkript

1 ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ Ã ÄýàËÃý ÈÊý Ö Ó Ò Ð Ë ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò Ã Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ ÔÖÓ º ÊÆ Öº È ØÖ Ë ÑÓÒ Ö˺ Å Ø Ñ Ø Ç Ò Ñ Ø Ñ Ø ÈÖ ¾¼½

2 Ø Ð Ý ÔÓ ÓÚ Ø Þ Ñ Ò Ô ÒÙ ÔÖÓ ÓÖÙ Ë ÑÓÒÓÚ Þ ÔÓÑÓ Ô Ô ÓÚ Ò Ø ØÓ ÔÖ Ô Ú ÖÓ Ò Þ Ñ Ø Ö ÐÒ ÔÓ ÔÓÖÙº

3 ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ Ð ÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Òó Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ð Ó ÓÖÒ Þ ÖÓ óº ÖÙ Ò Ú ÓÑ ö Ò ÑÓ ÔÖ ÚÞØ Ù ÔÖ Ú ÔÓÚ ÒÒÓ Ø ÚÝÔÐÚ Þ Þ ÓÒ º ½¾½»¾¼¼¼ Ë º ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ Ú ÔÐ ØÒ Ñ ÞÒ Ò Þ Ñ Ò ÙØ ÒÓ Ø ö ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Ñ ÔÖ ÚÓ Ò ÙÞ Ú Ò Ð Ò Ò ÑÐÓÙÚÝ Ó Ùö Ø Ø ØÓ ÔÖ Ó ÓÐÒ Ó Ð ÔÓ Ð ï ¼ Ó Øº ½ ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ º Î ºººººººº Ò ºººººººººººº Ö Ó Ò Ð

4 Æ Þ Ú ÔÖ Ë ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò ÙØÓÖ Ö Ó Ò Ð Ã Ø Ö Ã Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Ý Î ÓÙ Ð ÔÖ ÔÖÓ º ÊÆ Öº È ØÖ Ë ÑÓÒ Ö˺ Ã Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø Ý Ñ Ø Ñ Ø ÐÓ Ý ØÖ Ø ÃÓÒ ØÖÙ ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ Þ Ô ÔÓ Ð Ù s a Ó ÚÞØ ÙÒ ØÒ Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò Ñ Ý Ø Ñó ÔÓ ÑÒÓö Ò ω Ò Ò ØÖ Ò ØÓÔÓÐÓ Ñ ÚÐ ØÒÓ Ø Ñ ω Ò ÖÙ ØÖ Ò º Í ÞÙ ö Ü Ø Ò ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ó Þ ÑÒ Ò ÔÖÓ Ò Ø Ö Ú Ð Ý Ø ÑÝ ÑÒÓö Ò Ô Ò ÔÖÓ ÓÔÐ Ý Ù Ø Ðó Ú Ú Ð ÒØÒ Ø Ñ ö ö ÑÒÓö Ò Ú ω 2 ω ¹ÑÒÓö Ò º Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ ÑÔÐ Ù Ø ØÓ Ú ØÚÖÞ Ò º Ã Ó ÓÒ ØÖÙ ÓÙ ÚÝÙö ØÝ Ò ÓÒ Ò ¹ ÓÑ Ò ØÓÖ ÚÐ ØÒÓ Ø Ý Ø Ñó ÑÒÓö Ò ÒÓÚ Ò Ò ωº ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ì ØÐ ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ö Ò Ñ ÒØ ÙØ ÓÖ Ö Ó Ò Ð Ô ÖØÑ ÒØ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÄÓ ËÙÔ ÖÚ ÓÖ ÔÖÓ º ÊÆ Öº È ØÖ Ë ÑÓÒ Ö˺ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ð ÄÓ ØÖ Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ô Ö Ð Å Ñ ÐÝ ÙÒ Ö Ø ÙÑÔØ ¹ ÓÒ s a Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ô Û Ø ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ý Ø Ñ Ó Ù Ø Ó ω ÓÒ Ø ÓÒ Ò Û Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ó ω ÓÒ Ø ÓØ Öº ÁØ ÓÛÒ Ø Ø Ø Ü Ø Ò Ó ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ö Ò Ñ ÒØ ÓÖ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ò Ð Ó Ù Ø Ó ω ÕÙ Ú Ð ÒØ Û Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø Ú ÖÝ ÒÓÛ Ö Ò Ø Ò ω 2 ω ¹ غ Ì Ü Ø Ò Ó ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ô Ö Ð Å Ñ ÐÝ ÑÔÐ Ø ØÛÓ ÙÑÔØ ÓÒ º ÁØ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÔÖÓ Ý Ñ Ò Ó ÓÑ Ò ØÓÖ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ý Ø Ñ Ó Ø Ò ÓÒ ωº à ÝÛÓÖ ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ö Ò Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø ÐÝ Ô Ö Ð Å Ñ ÐÝ

5 Ç ½ ÚÓ ¾ ½º½ À ØÓÖ ÔÖÓ Ð ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ½º¾ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ Æ Ø Ö Ö Ò ÐÒ Ö Ø Ö Ø Ý ÓÒØ ÒÙ ÙÒ ØÒ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò Ý Ø Ñó ÔÓ ÑÒÓö Ò ω Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ ½ ÌÓÔÓÐÓ ó Ð Ý Ú Ø Ó ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò Ú βω \ω ½ Ú Ö ¾½ ½

6 ½º ÚÓ ½º½ À ØÓÖ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ç Ø ÞÚ Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Óö Ü Ø Ò Ð ÚÒ Ñ Ø Ñ ¹ Ø Ñ Ø ØÓ ÔÖ ÔÓÔÖÚ Ó ÚÙ Ú Ð Ëº Àº À Ð Ö Ð Ý Ý Ò Ñ Ð Ó ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ø Û Ø ÔÔÐ ØÓÒ ÓÒ βω \ωº ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ ØÓØ ö Ô ÐÒ Ñ Ô Ô Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ó Ý Ø ÑÙ ÔÓ ÑÒÓö Ò ωº À Ð Ö Ú Ú ÔÖ Ó Þ Ð Ó Ü Ø Ò Þ Ô ÔÓ Ð Ù Å ÖØ ÒÓÚ Ü ÓÑÙº Æ Ó ÔÖ Ò Ú Þ Ð Ö Ë Ð Ñ ÚÑ Ð Ò Ñ º Î ØÓÑ ÔÓÐÓö Ò ÓØ Þ Þ ÐÞ Ó Þ Ø Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ ÔÓÙÞ Ú ÖÑ ÐÓ¹ Ö Ò Ð¹ Ó µº ÌÙØÓ ÑÓöÒÓ Ø ÖÓÞÚ Ð Ð Ö Ó Ð ÓÚ Ë ÑÓÒ ¹ Ú Þ Ø Ó Þ Ð Ó Ü Ø Ò Þ Ô ÔÓ Ð Ù Ø Ò ÖÓÚÒÓ Ø Ñ Þ Ö Ò ÐÒ Ñ Ò¹ Ú Ö ÒØÝ ÓÒØ ÒÙ º Î ÖÓ ¾¼½½ ÔÙ Ð ÓÚ Ð Ë Ð Ð Ò Ø Ö Ò Ð Ò ÖÓÞÚ Ð Å Ð Ò Ö ÖÓÚ Ê Ú Ò ËØ ÔÖ Ò Ú Ø Ö Ñ Ó Þ Ò Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ Þ Ô ÔÓ Ð Ù s a Ø Ö Ú Ó Ó Ù Ú ¹ ÒÝ Ô ÓÞ Ò ÓÒ Ò ¹ ÓÑ Ò ØÓÖ Ô ÔÓ Ð Ý ÔÓÙö Ú Ò Ô ÓÒ ØÖÙ ØÓ ÓØÓ Å Ý Ø ÑÙ Ø ö Ú Ø Ñ ÑÝ ÐÙ Ó Þ Ø Ñ Ò Ó Ò Ú Ð º Â Ò Ó Ø ÓÔÓ Ù Ú ØÓ ö Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Ý Ø ÑÙ ÓÒÞ Ø ÒØÒ Ø Ý Ü ÓÑÝ ÖÑ ÐÓ¹ Ö Ò ÐÓÚÝ Ø ÓÖ ÑÒÓö Ò ÓÔÐÒ Ò Ó Ü ÓÑ Ú ÖÙº ½º¾ Ò Ò ËÝÑ ÓÐ ω ÞÒ ÑÒÓö ÒÙ Ú Ô ÖÓÞ Ò Ðº È Ñ Ò ö Õ Ù ÓÙ ÞÒ Ø Ô ÖÓÞ Ò Ð Ú Ò Ú Ð Ô Ñ Ò Ù ÓÙ ÞÒ Ø Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ ωº [ω] ω ÞÒ ÑÒÓö ÒÙ Ú Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò Ô ÖÓÞ Ò Ðº ÃÓ Ò ØÒ ÑÒÓö Ò Ø ÓÚ ÔÓ ÑÒÓö Ò ω ö ÓÔÐÒ ÓÒ Òº Î ÓÔ Ò Ñ Ô Ô Ñ ö ÑÒÓö Ò Ó Ò Ò ØÒ º[X] ω ÞÒ Ú ÒÝ Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ X [ω] ω º ÃÓ Ò ØÒ ÑÒÓö Ò ÚÞ Ð Ñ [X] ω Ø ÓÚ ÔÖÚ Y [X] ω ÔÖÓ Ø Ö X \ Y < ωº Æ ð X,Y [ω] ω º ÈÓØÓÑ X 0 ÞÒ X X 1 ÞÒ ω \Xº Ð X Y ÞÒ Ñ Ò X \Y < ωº ËÝÑ ÓÐ ω ω ÓÞÒ Ù ÑÒÓö ÒÙ Ú ÙÒ Þ ω Ó ωº Æ Ø ØÓ ÑÒÓö Ò ÒÙ Ñ Ù ÔÓ Ò ØÓ Ø ö ÔÖÓ f,g ω ω f g ÔÓ Ù ÔÐ Ø {n ω : f(n) > g(n)} < ωº Ò Ò ( n : G(n)) G(n) Ò ÓÖÑÙÐ ÞÒ Ñ Ò ö ÑÒÓö Ò {n ω : G(n)} Ò ÓÒ Ò º ÈÓ Ó Ò ÚÖÓ ( n : G(n)) ÞÒ Ñ Ò ö ÑÒÓö Ò {n ω : G(n)} ÓÒ Ò º Ð ÝÑ ÓÐ fin ÞÒ Ð ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò ωº ÈÓØ Ò Ò Ð ÖÙ P(ω) Ñóö Ñ ØÓÖ ÞÓÚ Ø ÔÖ Ú ÔÓ Ð ÐÙ fin Ú Ð ÒÓÙ Ð ÖÙ Ù Ñ ÞÒ Ø P(ω)/finº  ÔÖÚ Ý ÓÙ Ø Ý Ú Ú Ð Ò Ò [ω] ω ØÓ Ø ÓÚ ö Ú ÔÖÚ Ý A,B [ω] ω ÓÙ Ú Ø Ò Ø ÔÓ Ù (A B) (B A)º ÆÙÐÓÚ ÔÖÚ ÓÙ Ô Ú ÒÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ ωº Î Ò Ø Ö ÓÒØ ÜØ Ò Ù Ñ ÓÖÑ ÐÒ ÖÓÞÐ ÓÚ Ø Ñ Þ ÔÓ ÑÒÓö ÒÓÙ ω Ô ÐÙ ÒÓÙ Ø ÓÙ Ú Ú Ð Ò º ¾

7 ¾º Æ Ø Ö Ö Ò ÐÒ Ö Ø Ö Ø Ý ÓÒØ ÒÙ Ã Ö Ò ÐÒ Ö Ø Ö Ø Ý ÓÒØ ÒÙ ÓÙ Ö Ò ÐÒ Ð Ð ö Ñ Þ ω 2 ω º ÌÝÔ ¹ Ý Þ Ú Ó Ò Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ò ØÖÙ ØÙÖÓÚ Ò Ý Ø Ñó ÔÓ ÑÒÓ¹ ö Ò Ô ÖÓÞ Ò Ðº Ý ØÓÑÙ Ò Ú ØÞÒº Ý Ø ÑÝ ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ü ØÙ º Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ ÒÙ Ñ ØÝ Ö Ò ÐÒ Ö Ø Ö Ø Ý Ø Ö Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø Ó ö Ñ Þ Ð Ò ÚÞØ Ý Ñ Þ Ò Ñ º Ò ¾º½º âø Ô ÐÓ s Þ Ò Ð Ó ÔÐ ØØ Ò ÒÙÑ Ö µº à Ò Ñ ö ÑÒÓö Ò S [ω] ω Ø Ô ÑÒÓö ÒÙ X [ω] ω ÔÓ Ù ÔÐ Ø ö S X = ω Þ ÖÓÚ X (ω \S) = ωº  ÒÑ ÐÓÚÝ ÔÓ Ù S 0 X = ω = S 1 X º S [ω] ω Ø Ô Ý Ø Ñ ÔÓ Ù ÔÐ Ø ( X [ω] ω )( S S)(S Ø Ô X)º âø Ô ÐÓ s Ô Ò Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ø Ô Ó Ý Ø ÑÙ ÒÑ ÐÓÚÝ s = min{ S : S [ω] ω S Ø Ô Ý Ø Ñ}º Ò ¾º¾º ÅÒÓö Ò P [ω] ω Ô Ù ÓÔÖóÒ ÓÙ ÓÖÙ {X α [ω] ω : α κ} ÔÓ Ù ÔÐ Ø ö ÔÖÓ ö α κ P X α º ËÓÙ ÓÖ {X α [ω] ω : α κ} Ø Þ ÔÓ Ù ÔÐ Ø ö ÔÖÓ ö α β κ X β X α º ÈÓÞÓÖÓÚ Ò ¾º½º à ö ÔÓ ØÒ Ø Þ Ñ Ô Ù ÓÔÖóÒ º ó Þº Ù {X n : n ω} Ò ÔÓ ØÒ Ø Þ º Â Ó Ô Ù ÓÔÖóÒ Ñ Ò Ô Ð Ð ØÓÖ Ò ÑÒÓö Ò { n k=1 X k : n ω}º Ì ØÓ ÙØ ÒÓ Ø Ú Ò Ð Ù Ò ÒÓÚ Ó Ö Ò ÐÒ Ó ÒÚ Ö ÒØÙ Ò ¾º º Ã Ö Ò ÐÒ ÐÓt Ò Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ø Þ Ø Ö Ò Ñ Ô Ù¹ ÓÔÖóÒ º Â Ø Ý Þ Ñ ö t > ωº ÌÚÖÞ Ò ¾º½º cf(s) > ωº ó Þº ËÔÓÖ Ñº Æ ð cf(s) = ωº ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ö Ü ØÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {γ n : n ω} ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø sup{γ n : n ω} = sº Î ÞÑ Ñ ÒÝÒ Ò Ø Ô Ý Ø Ñ S = {S α : α < s} ÒÙ Ñ ÑÒÓö ÒÝ S n = {S α S : α < γ n }º ÈÐ Ø S n < sº Ì Ñ Ô Ñ Þ Ò Ø Ô Ó Ð Ü ØÙ X 0 [ω] ω ö X 0 Ò Ò ÖÓÞ Ø Ô Ò ö ÒÓÙ Þ ÑÒÓö Ò Ú S 0 º Ð Ü ØÙ X 1 [X 0 ] ω Ø ÓÚ ö ö Ò ÔÖÚ ÑÒÓö ÒÝ S 1 Ò Ø Ô X 0 º Ã Ý Ý Ø ÓÚ ÑÒÓö Ò Ò Ü ØÓÚ Ð Ø S 1 Ø Ô Ý Ø Ñ Ò X 0 Óö ÑÒÓö Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø ω Ô ØÓÑ S 1 < sº ÁÒ Ù Ø Þ Ñ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò {X n : n ω} ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø X 0 X 1... X n X n+1..º Æ ð H = {h n : n ω} Ô Ù ÓÔÖóÒ ÓÙ ÓÖÙ {X n : n ω}º ÆÝÒ ÔÓÖÙ Ø Ù Þ Ø ö ö Ò ÑÒÓö Ò S S Ò ÖÓÞ Ø ÔÒ ÑÒÓö ÒÙ Hº Æ ð Ø ÓÚ S β Ü ØÙ º ÈÓØÓÑ Ü ØÙ γ k ö γ k βº ÌÓÑÙØÓ γ k Ó ÔÓÚ X k Ø Ö Ò Ò ÖÓÞ Ø Ô Ò S β º Ì ÔÐ Ø H X k ÔÖÓØÓö ( n > k : h n X n X k )º ÈÖÓØÓ ÔÐ Ø ö ÑÒÓö Ò S β Ò ÑÓ Ð ÖÓÞ Ø Ô Ø H ÔÖÓØÓö Ý Ø Ô Ð X k ¹ ÔÓÖº

8 ÈÐ Ø Ó ÓÒ ö cf(s) t Ú Ô ÓÞ Ñ ó ÞÙ ÐÓ Ó Ü Ø Ò Ô Ù ÓÔÖó¹ Ò Ù Ø Ò Ü ØÙ ÔÓ Ù Ñ Ô ÐÙ Ò Ø Þ ÑÓ ÙØÒÓ Ø < tº ÖÑÓ Ø Ó Ø Ú Ñ Ò Ð Ù ØÚÖÞ Ò ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º s t º Ò ¾º º Å ÐÓ a Þ Ò Ð Ó Å Ü Ñ Ð ÐÑÓ Ø Ó ÒØ µº à Ò ¹ Ñ ö ÑÒÓö ÒÝ A,B ω ÓÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÔÓ Ù ÔÐ Ø ö A B < ωº ËÝ Ø Ñ ÑÒÓö Ò A [ω] ω Ò ÞÚ Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ð Ò Ý Ø Ñ ÔÓ ¹ Ð Ò Ð Ó ÐÑÓ Ø Ó ÒØ µ ÔÓ Ù ö Ú ÔÖÚ Ý Ý Ø ÑÙ A ÓÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ A Ò ÓÒ Òº Å Ý Ø Ñ Ý Ø Ñ Ø Ö Ñ Ü Ñ ÐÒ ÚÞ Ð Ñ Ò ÐÙÞ º Ú Ú Ð ÒØÒ Ò ÓÒ Ò ÓÙ ÓÖ M [ω] ω Å Ý Ø Ñ ÔÓ Ù ( X [ω] ω )( M M) : M X = ωº ÐÓ a Ò Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø ÓÙ Ñóö Å Ý Ø Ñ Ñ Øº ÈÐ Ø Ø Ý ö ÔÓ Ù A [ω] ω Ð ÓÚÓÐÒ Ý Ø Ñ Ø ÓÚ ö A < a Ø ÔÓØÓÑ Ü ØÙ X [ω] ω ö ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ú Ñ A Aº Ò ¾º º ÇÑ ÞÙ ÐÓ b ÓÙÒ Ò ÒÙÑ Ö µº ÌÓØÓ ÐÓ ÔÓ Ð Ò ÞÚÙ Ó ÔÓÚ Ò Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø ÑÒÓö ÒÝ ÙÒ Þ ω Ó ω Ø Ö Ò Ò ÓÑ Þ Ò Ú ÑÝ ÐÙ Ù ÔÓ Ò º Â Ò ÒÓ b = min{ F : F ω ω h ω ω)( f F) ( n : f(n) h(n))}º ÌÚÖÞ Ò ¾º º b > ω ó Þº ËÔÓÖ Ñº Æ ð F = {f n : n ω} Ò ÓÑ Þ Ò ÑÒÓö Ò ÙÒ º ÒÙ ¹ Ñ ÙÒ g(m) = max(f n (m) : n < m)º ÈÖÓ g ÔÐ Ø ( n ω)( m : f n (m) g(m))º ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ n ω ØÓØ ö Ñ Ñ ( k > n)(g(k) f n (k))º ÙÒ g Ø ÓÑ ÞÙ ÑÒÓö ÒÙ F ¹ ÔÓÖº ÈÐ Ø Ø Ð Ô Ó ÌÚÖÞ Ò ¾º º b t ó Þº ÈÖÓ ÔÓÖ Ô ÔÓ Ð Ñ ö b < tº Ù F = {f α : α b} Ò ÓÑ Þ Ò ÑÒÓö Ò ÙÒ Þ ω ω ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ( α,β b)(α < β f α < f β )º ÒÙ Ñ Ý Ø Ñ ÑÒÓö Ò (B α : α b) Ñ Ó ÔÓÚ ÙÒ b α º B 0 = ω ÔÓ Ù Ñ Ñ ÒÓÚ Ò B α = {b m : m ω} Ø Ò ð b α (m) = b m º Ã Ø ØÓ ÙÒ Ò Ñ g F ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ( n : b α (n) < g(n)) Ø ØÓ n ÓÞÒ Ñ Nº ÆÝÒ ÔÓÐÓöÑ B α+1 = {ÔÖÚÒ b m > g(n) : n N}º ÈÖÓ Ð Ñ ØÒ α Ú ÞÑ Ñ Þ g ÙÒ Ø Ö Ò Ò Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò N Ú Ø Ò ö Ú ÒÝ b β : β < αº {B β : β < α} ØÚÓ Ø Þ Óö Ô Ù ÓÔÖóÒ P = {p m : m ω} ÔÓÙö Ñ Ú Ò B α = {ÔÖÚÒ p m > g(n) : n N}º Ð ÓÚ Ø Þ Ñ Ø Þ Ð Ý b < t Ø Ý ÑÙ Ñ Ø Ô Ù ÓÔÖóÒ º Ì Ò Ý ÓÚ Ñ Ó ÚÓ ÚÝ ÐÙ ÙÒ ÓÑ ÞÓÚ Ð ÑÒÓö ÒÙ Fº Î Ò Ð Ù Ñ ØÚÖÞ Ò Ù ö Ñ ö ÔÖÓ Å ÐÓ a ÔÐ Ø ÐÒ ÓÑ Þ Ò Þ ÓÐ ÌÚÖÞ Ò ¾º º b aº

9 ó Þº È ÔÓ Ð Ñ a < bº ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ö Ü ØÙ Å Ý Ø Ñ A ÑÓ Ùع ÒÓ Ø Ñ Ò Ò ö b Þ ØÓ Ó ÚÝÚÓ Ñ ÔÓÖ Ñ Ü Ñ Ð ØÓÙ Aº Î ÞÑ Ñ X n : n ω ÔÖÚ ó A ÒÙ Ñ ÙÒ {f A : A A\{X n : n ω}} Þ {X n : n ω} Ó ω Ø ö f A (n) = min(x n \(A max(x n A))º ÈÖÓØÓö ÓÙ ÓÖ f A : A A Ñ Ò Ò ö b Ø Ü ØÙ ÙÒ g ö f A g ÔÖÓ ö ÓÙ f A º Rng(g) Ô ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ú Ñ ÑÒÓö Ò Ñ A Aº ÁÒÚ Ö ÒØ b ÐÞ Ö Ø Ö ÞÓÚ Ø Ø ÔÓÑÓ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ó ωº ÁÒØ Ö¹ Ú ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ω ÑÒÓö Ò ØÚ ÖÙ I = {I n = [i n,i n+1 ) : i n : n ω ÖÓ ØÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ô ÖÓÞ Ò Ð}º Æ ÑÒÓö Ò Ú ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ó Ñóö Ñ ÒÓÚ Ø Ù ÔÓ Ò ØÓ Ø ö J I ÔÓ Ù ÔÐ Ø ( n)( k)(j k I n )º b Ú ØÓÑØÓ Ô Ô Ò Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø ÑÒÓö ÒÝ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ó ω Ø Ö Ò Ò ÓÑ Þ Ò Ú ÑÝ ÐÙ º ÌÚÖÞ Ò ¾º º b = min{ I : I ÑÒÓö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ó ω Ø Ö Ò Ò ÓÑ Þ Ò Ú ÑÝ ÐÙ }º ó Þº Å Ñ Ò ÔÖÚ ÑÒÓö ÒÙ ÙÒ F = {f α : α b}º Þ ÑÝ Ò Ó ÒÓ Ø Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ú ÒÝ ØÝØÓ ÙÒ ÓÙ Ó Ø ÖÓ ØÓÙ α b : f α (0) > 0º Ø ÓÚ ÑÒÓö ÒÝ ÚÝÖÓ Ñ ÑÒÓö ÒÙ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ó ØÓ Ø ö ÙÒ f α Ô Ñ ÖÓÞ Ð ω ÓÞÒ Ñ ÓI α ØÓ Ô Ô ÑI α = {I αn = [fα(0),f n α n+1 (0)) : n ω}º ÎÖ Þ f n (0) ÞÒ Ñ Ò f(f n 1 )(0) f 0 0 f 1 = fº Ð Ò ð Ò J = {J n : n ω} Ð ÓÚÓÐÒ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ωº ÒÙ Ñ ÙÒ g(n) = min(k : [n,k) Ó Ù Ð ÔÓ Ú ÑÒÓö ÒÝ Þ {J n : n ω})º Ã Ø ¹ ÓÚ ÙÒ ÔÓ Ð Ò F Ü ØÙ ÙÒ f F ö ( n : f(n) > g(n))º à ö n ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø f(n) > g(n) ÑÙ Ø Ó ö ÒÓ Ú Ò Ñ ÒØ ÖÚ ¹ ÐÙ ØÚ ÖÙ [f q (0),f q+1 (0)) q ωº ÈÖÓ ØÓØÓ n ÔÐ Ø n < f q+1 (0) Ø Ý g(n) < f(n) < f(f q+1 (0)) = f q+2 (0)º ØÓ Ó ÔÐÝÒ [n,g(n)) [f q (0),f q+2 (0)) ÒØ ÖÚ Ð [f q (0),f q+2 (0)) Ó Ù Ú ÑÒÓö ÒÝ J 1,J 2 Þ {J n : n ω}º Ì Ý Ð Ñ Ò Ñ ÐÒ Ò Þ ÒØ ÖÚ ÐóI 1 = [f q (0),f q+1 (0)),I 2 = [f q+1 (0),f q+2 (0)) Ó Ù ÒÙ Þ J 1,J 2 º ÓÒ ØÖÙ Ø ØÓ ÑÒÓö Ò Ø ÚÝÔÐÚ (I 1 J 1 ) (J 2 I 2 )º Ì Ý ( n)( k) : (J k I αn ) I α ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð Ô Þ Ò f = f α º ÌÓ Ð ÞÒ Ñ Ò ö ÖÓÞ Ð I α Ò Ò Ñ Ò Ò ö ÖÓÞ Ð Jº Æ ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙ Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ñ Ñ Ò ÓÑ Þ ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ I ÒØ ÖÚ ÐÓ¹ Ú ÖÓÞ Ð ó ÚÝØÚÓ Ñ Ø Ò Ú Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ ÙÒ ØÓ Ø ö ÔÖÓ I I ÒÙ Ñ f I (n) = i m+2 ÔÓ Ù ÔÐ Ø n [i m,i m+1 )º Î Ð Ò ÑÒÓö Ò ÙÒ {f I : I I} Ò ÓÑ Þ Ò Ò ð g Ð ÓÚÓÐÒ ÙÒ º g Ù Ð Ñ ÖÓÞ Ð G = {[g n (0),g n+1 (0)) : n ω}º ÈÖÓØÓö I Ò ÓÑ Þ Ò Ø Ü ØÙ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ¹ Ð J I ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ( n : [g n (0),g n+1 (0)) Ò Ó Ù ö ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ Þ Â)º ÆÝÒ ØÙ ÖÓÞÔ Ò Ú Ô Ô Ý Ò ð Ò Ú ÔÖÓ Ø ÓÚ n Ü ØÙ Ò¹ Ø ÖÚ Ð J k ö [g n (0),g n+1 (0)) J k º Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô g(g n (0)) < j k+1 < j k+2 = f J (g n (0))º Æ ð ÒÝÒ Ø ÓÚ J k Ò Ü ØÙ º ÁÒØ ÖÚ Ð [g n (0),g n+1 (0)) Ø Ó ö Ò Ú ÒÓ Ò ÚÓÙ ÒØ ÖÚ Ðó Þ J Ó Ú Ó Ô Ò Ú º Æ ð J k+1 Ø Ò Ø Ö Ó Ô Ò Ú Ò ÔÖ Ú ØÖ Ò Ø Ý [g n (0),g n+1 (0)) J k J k+1 º È ÔÐ Ø g(g n (0)) < j k+2 = f J (g n (0))º Ì Ý Ü ØÙ Ò ÓÒ Ò n ω ö ÔÐ Ø g(n) < f J (n) ÑÒÓö Ò ÙÒ {f I : I I} Ø Ò Ò ÓÑ Þ Ò º Ó Þ Ð Ñ ÚÐ ØÒ Ú º ÌÓØ ö ØÓ ö Ü ØÙ Ò ÓÑ Þ Ò ÑÒÓö Ò ÒØ ÖÚ ÐÓ¹ Ú ÖÓÞ Ð ó I Ò Ñ Ò ÑÓöÒ Ú Ð Ó Ø b ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ( ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð J)( I I) ö ( n)( k) : (J k I n )º

10 Ð Þ Ú Ñ Þ Ð Ò Ø Ô Ó Ð s Ú Þ ÝØ Ù Ô ØÓÐÝ Ù ö Ñ ö Ô ØÓØÓ Þ Ð Ò Þó Ø Ò Ø Ô ÐÓ Ø Ò º Ò ¾º º Ã Ö Ò ÐÒ ÒÚ Ö ÒØs ω,ω Ò Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ý Ø ÑÙ ÑÒÓö ÒS Þ [ω] ω ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ö ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒÓÙ ÔÓ ØÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ {A n : n ω} [ω] ω Ü ØÙ S S ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ( n : A n S 0 = ω) ( n : A n S 1 = ω)º ËÝ Ø ÑÙ ÑÒÓö Ò S Ù Ñ Ø ω,ω¹ Ø Ô º ÌÓ ÓÒÓ Þ Ð Ò ¹ Ò ö ö ω,ω¹ Ø Ô Ý Ø Ñ Ø Ø Ô Ø Þ {A n : n ω} ÚÞ Ø {X} Ò ÑÙ Ü ØÙ S Ú ω,ω¹ Ø Ô Ñ Ý Ø ÑÙ Ø Ö ÖÓÞ Ø ÔÒ Xµ Ø Ý ÔÐ Ø s ω,ω sº Î Ò Ð Ù Ó Ø Ú Ù ö Ñ ö Ü ØÙ ω,ω¹ Ø Ô Ý Ø Ñ ÑÓ ÙØÒÓ Ø s ÒÑ ÐÓÚÝ s ω,ω = sº ó Þ ÚÝ Þ Þ º ÌÚÖÞ Ò ¾º º È ÔÓ Ð Ñ s < b ÔÓØÓÑ s ω,ω = sº ó Þº Ó ÞÙ Ñ ÔÓÖ Ñ Ø Ý Ô ÔÓ Ð Ñ s ω,ω > sº Æ ð {S α : α s} Ø ÓÚ Ø Ô Ý Ø Ñ ÔÖÓ Ø Ö Ü ØÙ ÓÙ ÓÖ Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò {A n : n ω} Ø ö ÔÐ Ø ( α s)( i α {0,1}) : ( n : A n Sα iα )º Ð Ð ÑÑ ØÙ Ó ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò ÔÓÙö Ø Ñ Ò {A n : n ω} Ñóö Ñ Ô ÔÓ Ð Ø ö A n A m = ÔÖÓ n mº ÈÖÓ ö ÓÙ S α ÒÝÒ ÒÙ Ñ ÙÒ f α ω ω ØÓ Ò Ð Ù Ñ ÞÔó Ó Ñ Ú Ñ ö Ü ØÙ k ω ö ÔÖÓ Ú Ò n k Ù A n Sα 0 < ω Ò Ó A n Sα 1 < ωº Æ ð Ò Ø Ú ÖÙ ÑÓöÒÓ Øº ÒÙ Ñ Ø Ý f α (m) = 0 ÔÖÓ m < k ÔÖÓ m k Ñóö Ñ ÔÓÐÓö Ø f α (m) = max(a m Sα 1)º ÅÒÓö Ò {f α : α s} ÔÓ Ð Ô ÔÓ Ð Ù Ñ Ò Ò ö b Ø Ý Ü ØÙ ÙÒ f ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ( α s : f α f)º ÈÖÓØÓö ÓÙ ÑÒÓö ÒÝA n Ò ÓÒ Ò Ñóö Ñ ÔÖÓ ö n ω ÚÝ Ö Ø l n A n Ø ÓÚ ö l n > f(n) ÔÖÓØÓö ÓÙ ÑÒÓö ÒÝ A n ÙÒ ØÒ ÑÒÓö Ò L = {l n : n ω} Ò ÓÒ Ò º Ì Ý Ü ØÙ β s ö S β Ø Ô Lº Ð Þ f β f Ü ØÙ k ω ö ÔÖÓ n > k f(n) f β (n)º ÓÒ ØÖÙ f β Ø Ú Ñ ö Ü ØÙ m Ø ÓÚ ö ÔÖÓ n > m f β (n) = max(a n S 1 i β β )º ÎÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ö S 1 i β β L Ò ÓÒ Ò Ø Ü ØÙ q > max(k,m) ÔÖÓ Ø Ö l q S 1 i β β Þ Ò f β (q) = max(a q S 1 i β β º Ñ ÓØÓÚ ÒÝÒ Ñ Ñ l q f β (q) ÔÖÓØÓö l q A q S 1 i β β )º Ì ÔÐ Ø f β (q) f(q) < l q Óö ÔÓÖº È Ô b s ÓÑÔÐ ÓÚ Ò Þ Ú Ñ ÚóÐ Ò ÑÙ Ð Ú ÖÞ Ø Ô Ó Ý Ø ÑÙº Ò ¾º º ËÝ Ø Ñ ÑÒÓö Ò R [ω] ω Ò ÞÚ Ñ ÐÓ ¹ Ø Ô ÔÓ Ù ÔÐ Ù ö ÔÖÓ ö Ò ÓÒ Ò ÖÓÞ Ð ω Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ ÓÞÒ Ñ Ó{r n : n ω} Ü ØÙ R R ö ÔÐ Ø ( n : r n R) ( n : r n R = )º à Ò Ñ ö R ÖÓÞ Ø Ô Ð ÖÓÞ Ð {r n : n ω}º Æ Ñ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø ÐÓ ¹ Ø Ô Ó Ý Ø ÑÙ ÓÞÒ Ñ bsº ÃÓÒ Ò ÖÓÞ Ð Ý Ò ÓÙ ÔÖÓØ ÒØ ÖÚ ÐÓÚÑ ÖÓÞ Ð óñ ÔÐÒ Ú Ó Ò ÔÖÓ Ñ Ò ÔÙÐ ÔÖÓØÓ Ó ö Ñ ÔÓÞÓÖÓÚ Ò ö ÐÓ ¹ Ø Ô Ý Ø Ñ Ø ÓÚ ÓÚ Ø ÔÓÙ¹ Þ Ò ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð º ÈÓÞÓÖÓÚ Ò ¾º¾º ÈÓ Ù Ò ÓÙ ÓÖ R ÔÐ Ù ö ÔÖÓ ö ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ¹ Ð ω Ü ØÙ R R Ø Ö Ø ÒØÓ ÖÓÞ Ð ÖÓÞ Ø ÔÒ Ø ÔÓØÓÑ ÓÙ ÓÖ R ÐÓ ¹ Ø Ô º

11 ó Þº Å Ñ ÖÓÞ Ð A = {a n : n ω} Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Òݺ Åóö Ñ ÚÝØÚÓ Ø ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð G ØÓ Ø ö G 0 = [0,g 1 ) g 1 = min(k : [0,k) Ó Ù ÒÙ ÑÒÓö ÒÙ Þ A) Ð G n = [g n,g n+1 ) g n+1 = min(k : [g n,k) Ó Ù ÒÙ ÑÒÓö ÒÙ Þ A)º Ì ØÓ Þ Ñ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð Ò ö ÔÓ Ù R R ÖÓÞ Ø Ô ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð G Ô ÖÓÞ Ø Ô ÖÓÞ Ð Aº ÌÚÖÞ Ò ¾º º s bsº ó Þº Æ ð Ò Ð ÓÚÓÐÒ M [ω] ω Ò ð R ÐÓ ¹ Ø Ô Ý Ø Ñ ÑÓ¹ ÙØÒÓ Ø bsº M = {m(n) : n ω}º ÒÙ Ñ k(0) = [m(0),m(1)) k(n) = [m(n),m(n+1))º {k(n) : n ω} ÖÓÞ Ð ω Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Òݺ Ì Ý Ü ØÙ R R ö ÔÐ Ø Ò ( n : k(n) R) Ø ( n : k(n) R = )º ÌÓ Ð Ò ÞÒ Ñ Ò Ò Ò Ó Ò ö M R 0 = ω = M R 1 º ÌÚÖÞ Ò ¾º º b bs ó Þº Ó ÞÙ Ñ ÔÓÖ Ñ Ò ð Ø Ý Ü ØÙ ÐÓ ¹ Ø Ô Ý Ø Ñ R ÑÓ Ùع ÒÓ Ø < bº à ö R R Ó Ò Ò ØÒ Ý Ý ØÓØ ö ÝÐ Ó Ò ØÒ Ø Ý ÔÖÓ ö Ò ÖÓÞ Ð {a n : n ω} ÑÒÓö ÒÝ ω Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö ÒÝ Ò ÑÓ ÐÓ ÔÐ Ø Ø ( n : a n R = )º Åóö Ñ Ø Ý Ô ÔÓ Ð Ø ö Ú ÒÝ ÔÖÚ Ý R ÓÙ Ó¹ Ò Ò ØÒ º Ý ØÓÑÙ Ñ Ò Ð Ù Ò ÑÝ Ðº ÈÖÓ R R ÒÙ Ñ ÙÒ f R (n) = min(k : [n,k) R 0 [n,k) R 1 )º à ÑÒÓö Ò ÙÒ {f R : R R} Ü ØÙ Þ ÑÝ Ò Ó ÒÓ Ø ÖÓ ØÓÙ ÙÒ ö f R g ÔÖÓ Ú Ò R Rº ÈÓÑÓ ÒÙ Ñ ÖÓÞ Ð ω ØÓ Ø ØÓ g 0 = [0,g(0)) g n = [g n (0),g n+1 (0))º Ó Ý Ø ÐÓ Ý Ý Ò R R ÖÓÞ Ø Ô Ð {g n : n ω} Æ ð n Ø ¹ ÓÚ ö ÔÐ Ø ( m n) : (g(n) f R (n))º Ð Ò ð p ÔÖÚÒ ÐÓ ÔÖÓ Ø Ö g p (0) nº ÈÖÓ ö q p ÔÐ Ø [g q (0),f R (g q (0))) [g q (0),g q+1 (0))º [g q (0),f R (g q (0))) Ñ Ò ÔÖ Þ Ò ÔÖóÒ R 0 Ø R 1 Ø ÑÒÓö Ò R Ò ÑÓ Ð ÖÓÞ Ø Ô Ø {g n : n ω} ¹ ÔÓÖº ÌÚÖÞ Ò ¾º½¼º bs b s = max(b,s) ó Þº ÜÙ Ñ Ø Ô Ý Ø ÑS Ò ÓÑ Þ ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð ó I ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ( ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð J)( I I) ö ( n)( k(n)) : (J k(n) I n )º ÒÙ Ñ R(S,I) [ω] ω : S S,I I ØÓ Ø ö R(S,I) = {I n : n S}º ÆÝÒ Ø ÓÚ Ø ö ÓÙ ÓÖ {R(S,I) : S S,I I} ÐÓ ¹ Ø Ô º Æ ð Ò Ð ÓÚÓÐÒ ÒØ ÖÚ ÐÓÚ ÖÓÞ Ð Jº Ã Ò ÑÙ Ü ØÙ I I ö ( n)( k(n)) : (J k(n) I n )º Ì Ò ÓÒ Ò n ØÚÓ Ò ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ N [ω] ω º Ð Ü ØÙ S S ö S ÖÓÞ Ø ÔÒ Nº R(S,I) Ø Ó Ù Ò ÓÒ Ò ÒØ ÖÚ Ðó I n ÔÖÓ Ø Ö ( k) : (J k I n ) ØÓ Ñ ÔÐ Ø ÔÖÓ ω\r(s,i)º à ö Ø ÓÚ ÒØ ÖÚ Ð I n ÓÚ Ñ Ó Ù Ò J k Ø Ý R(S,I) ÖÓÞ Ø Ô J Óö Ñ Ø Ð Ó Þ Øº ÈÓ Ð Ò Ø ØÚÖÞ Ò Ú Ó ÖÓÑ Ý Ò Ð Ù ÌÚÖÞ Ò ¾º½½º bs = b s = max(b,s) ó Þº  ó Ð Ô ÓÞ Ø ØÚÖÞ Ò º ÆÝÒ Ø Ý Ñóö Ñ ÓÒ Ò Ô ÖÓ Ø ÖÙ Ø ó ÞÙ ØÚÖÞ Ò ö ÔÐ Ø s ω,ω = sº ÌÚÖÞ Ò ¾º½¾º Ô ÔÓ Ð Ù b s ÔÐ Ø s ω,ω = sº

12 ó Þº ÈÓ Ð Ô ÓÞ Ó ØÚÖÞ Ò Þ ÜÙ Ñ ÐÓ ¹ Ø Ô Ý Ø Ñ R Ø Ö Ú Ð sº Í ö Ñ ö Ø ÒØÓ Ý Ø Ñ ω,ω¹ Ø Ô º Æ ð Ò {A n : n ω} ÔÓ ØÒ ÑÒÓö Ò Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò ωº ÒÙ Ñ ÖÓÞ Ð ω Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö ÒÝ ÔÓÑÓ {A n : n ω} Ø ØÓ s 0 = {0,min(A 0 )} s n = {min(ω \ {s m : m < n})} {min(a i \ {s m : m < n}) : i n} Â Ò ö {s n : n ω} ÖÓÞ Ð ω Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Òݺ Ì Ý Ü ØÙ R R ö ( n : s n R 0 ) Ø ( n : s n R 1 )º s n ÓÙ ÙÒ ØÒ ( i)( n i : s n A i )º ØÓ Ó ÔÐÝÒ ö Ó ÓÒ ÔÐ Ø ( i)( A i R 0 = ω = A i R 1 )º Ë Ô Ð ÒÙØ Ñ ØÚÖÞ Ò ¾º º ó Þ s ω,ω = s Ó ÓÒ Òº Ç Ø Ø Ý Ñóö Ñ Ô ÔÓ Ð Ø ö ö Ø Ô Ý Ø Ñ ω,ω¹ Ø Ô º Æ ÖÓÚÒÓ Ø Ñ Þ Ö Ò ÐÒ Ñ ÒÚ Ö ÒØÝ ÖÒÙ Ò Ð Ù Ö Ñº ω >t > b > a > > s > bs

13 º ÙÒ ØÒ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò Ý Ø Ñó ÔÓ ÑÒÓö Ò ω Æ ð B [ω] ω Ò ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Òº ËÓÙ ÓÖ {φ(b) : B B} [ω] ω Ò ÞÚ Ñ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò Ñ ÓÙ ÓÖÙB ÔÓ Ù Ø ÒØÓ ÓÙ ÓÖ ÙÒ ØÒ ÔÐ Ø ( B B)(φ(B) B)º ÈÓ Ù ÓÙ ÓÖ {φ(b) : B B} ÔÓÙÞ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ø ØÓ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º Ò Ñ Ð ÑÑ Ó ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò Ø Ö ÔÓÔÖÚ Þ ÓÖÑÙÐÓÚ Ð Å Ò Ö ØÚÖ Ò Ð Ù ÌÚÖÞ Ò º½ Å Ò Öµº à ö ÔÓ ØÒ ÓÙ ÓÖ {A n : n ω} Ò ÓÒ Ò ÔÓ ¹ ÑÒÓö Ò ω Ñ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º ó Þº ÒÙ Ñ Ô ÖÓÞ Ò Ð {a n,m : n ω,m = 0...n} Ò Ù Ø ÚÒ Ò ¹ Ð Ù Ñ Ô Ô Ñ a 0,0 Ò ð ÔÖÚ A 0 Ð Ú n¹ø Ñ ÖÓ Ù ÒÙ Ñ ÔÖÓ k = 0...n a n,k Ó ÔÖÚ A k Ø Ö Ú Ø Ò ö Ú ÒÝ ÓÔÓ Ù ÚÝ Ö Ò º ÈÓ Ù ÔÓÐÓö Ñ φ(a k ) = ω n=k {a n,k} Ø Þ Ñ Ð Ò ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º Â Ð Ñ Ò ö Ý Ø Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò ω Ø Ö Ò ÔÓ ØÒ Ò Ñóö Ñ Ø ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º Åóö Ñ Ð ÔØ Ø Ò Ü Ø Ò ÓÖÓ ÙÒ Ø¹ Ò Ó Þ ÑÒ Ò Ø Ñ ÑÒÓö ØÚ Ð Ò Ó ÔÓÚ Ô Ú Ô Ú Ó Ø º Æ Ú Ý ÓÑ ÔÓØ ÓÚ Ð ÞÒ Ø Ò Ú Ø ÑÓöÒÓÙ ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ý Ø ÑÙº ÓÐ Ù Ø ÙÒ ØÒ Ó Ý Ø ÑÙ ØÓ ω Ø Ù Ý Ø ÑÙ ØÓ Ò Ú Ø ÑÓöÒ ÑÓ ÙØÒÓ Ø 2 ω º ËØÓ Þ Ø Ñ Ø ö 2 <ω = ωº ÌÚÖÞ Ò º¾º Ü ØÙ Ý Ø Ñ ÑÓ ÙØÒÓ Ø 2 ω º ó Þº ÈÖ Ù Ñ Ò Ó ÐÓÚ Ò ÑÒÓö Ò 2 <ω º ÒÙ Ñ A [2 <ω ] ω ØÓ Ø ö ÔÖÓ f 2 ω ÒÙ Ñ A f = {f n : n ω}º A f 2 <ω ÔÖÓ g 2 ω ö g f Ü ØÙ n : f(n) g(n)º ÈÓØÓÑ ÓÚ Ñ ÔÖÓ m > n ÔÐ Ø g m f m Ø Ý A f ÓÖÓ ÙÒ ØÒ A g º Ò º½º ÅÒÓö Ò H [ω] ω Ù Ø ÔÓ Ù ÔÐ Ø ( X [ω] ω )( H H)(H X)º Í ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ó Þ ÑÒ Ò Ø Ý Ò Ñ Ð Ñ ØÓÚ Ò ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ý Ø ÑÙ Ø Ö Ñ Þ Ñ ÓÚ Øº Æ Ø Ö ÔÓ ÖÓ Ð Ú ØÝ Ó ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò ÓÔ Ö Ó ØÖÙ ØÙÖÙ ÔÓ ÑÒÓö Ò ω Ù ÔÓ Ò Ø Ö Ò ÞÓÚÑ ØÖÓÑ Ñ Ò Ð P ω (ω) Óö ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Ò T [ω] ω Ò Ð Ù Ñ ÚРع ÒÓ ØÑ µ T, ØÖÓÑ Ò Ñ Ò ÑÓöÒ Ú Ý ÚÞ Ð Ñ ÚÐ ØÒÓ Ø Ñ (ii),(iii) ÓÞÒ Ñ hº µ Â Ó Ð ÒÝ ØÚÓ Å Ý Ø ÑÝ M α : α h Ó Ò Ô Ð ωº µ à ö ÚÖ ÓÐ Ñ 2 ω Ô Ñ Ò Ð Ò ó Ð ØÖÓÑ T Ù Ø ÔÓ ÑÒÓ¹ ö Ò [ω] ω º ÈÖÓ ÔÓ ÖÓ ÒÓ Ø Ó Ð Ò ØÖÙ ØÙÖÝ ÞÓÚ Ó ØÖÓÑÙ Þ Ò ÚÝÔÐÚ ØÚÖ¹ Þ Ò ÐÞ Ò Ð ÒÓÙØ Ó ½ ¾ º óð ö Ø ÚÐ ØÒÓ Ø ÞÓÚ Ó ØÖÓÑÙ Ø ö Ð ÒÝ Ó Å Ý Ø ÑÝ ÔÓ ØÙÔÒ Þ Ñ Ù Ú ÑÝ ÐÙ (α < β) ( M M β )( N M α )(M N)º

14 ÌÚÖÞ Ò º º ÈÓ Ù Ñ Ð ÓÚÓÐÒ ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Ò S [ω] ω ÑÓ ÙØÒÓ Ø Ñ Ò Ò ö 2 ω Ø ÔÓØÓÑ Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º ó Þº ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒÓÙ Ò ÓÒ ÒÓÙ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙM Ü ØÙ ÖÓÞ Ð ÚP(M)/fin Ò Å Ý Ø Ñ Ú Ð Ó Ø 2 ω ØÓ ÞÒ Ñ Ò ö ÑÒÓö Ò {S M : S S} Ò Ò Ú P(M)/fin Ù Ø Ø Ý Ü ØÙ A M ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø ( S S)( S \A = ω)º ÈÖÓØÓö M ÝÐÓ Ð ÓÚÓÐÒ Ø ÓÙ ÓÖ Ø ÓÚ ØÓ ÑÒÓö Ò Ù Ø Ú P(ω)/fin Ø Þ Ò ÐÞ ÚÝ Ö Ø Å Ý Ø Ñ A 0 º ÈÖÓ ö A A 0 Ñóö Ñ ØÙØÓ Ú Ù ÞÓÔ ÓÚ Ø Ò Ù Ø Ó Ø Ú Ñ Ý Ø Ñ Þ Ñ Ù ÖÓÞ Ð ó A n : n ω Ô Ñö ÔÐ Ø ö Ò n¹ø Ð Ò ö ÔÖÚ S S ÖÓÞÔ Ò 2 n Ú ÔÓ ¹ ÑÒÓö Ò Ú Ð ω Ô Ñö Ý Þ Ñ ÓÚ Ò Ð Ò Ø ÒØÓ ÖÓÞÔ Ó Ö ö ØÖÙ ØÙÖÙ ÒØÓÖÓÚ ØÖÓÑÙ ¹ Ú n¹ø Ñ ÖÓ Ù ØÓØ ö Ú ÙØ ÒÓ Ø Þ Ú Ñ 2 n Ø Þóº ÈÓ Ð Ñ ØÒ Ñ Ô Ó Ù Ô Ù ÓÔÖóÒ óñ Ø ÔÓ ö ÓÙ ÑÒÓö ÒÓÙ S Ñ Ñ 2 ω Ò ¹ ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò Ø Ö Ó ÖÓÑ Ý ØÚÓ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ý Ø Ñ Þ Óö ØÚÖÞ Ò Ò ÔÐÝÒ º ÈÖÓ Ý Ø ÑÝ ÑÓ ÙØÒÓ Ø ÓÒØ ÒÙ ØÙ Ò Ò Ø ÒÓ Ù ÓÒ ØÖÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ó Þ ÑÒ Ò Ú Ø ÒÓÙ Ú Ò ÖÓ Ò º Ç ÞÚÐ ð Ò ØÖ Ú ÐÒ Þ ¹ Ñ Ú Ò Ð Ù Ú Ð Ø Ö Ø ÔÓ Ø Ú Ò Ò ÚÐ ØÒÓ Ø ÞÓÚ Ó ØÖÓÑÙº ÌÚÖÞ Ò º º Ð Ö ÎÓ Ø µ à ö ÙÒ ÓÖÑÒ ÙÐØÖ ÐØÖ F Ò ω Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º ó Þº ó Þ Ú Þ ¾ º Ñ Ñ Ò ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò Þ ÖÙ ØÖ ÒÝ Ø Ý Ó ÐÞ Ø Ó ÓÙ ÓÖÙ ÑÒÓö Ò Ø Ö Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º Ò Ñ Ò ØÓ ö Ó ÑÒÓö ÒÝ ÓÙ Ù ÙÒ ØÒ Ò Ó Ú Ø Ñ ÑÝ ÐÙ Ú Ð ¹ ØÓØ ö ö ÓÙ Ø Ú Ð ö Ú Ò ØÓ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò ÐÞ ÒÓÚ Øº Ò º¾º Á Ð Ñ Ù Ñ Ò ÞÚ Ø ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Ò Þ P(ω) Ø Ö ÙÞ Ú Ò Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ ÓÒ Ò ÒÓ Ò Ú ÑÒÓö Ò Ó Ù Ú ÒÝ ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ ωº Ò º º Á Ð Ò ÖÓÚ Ò Ý Ø Ñ Ñº Æ ð A Ò Ý Ø Ñº ËÝÑ ÓÐ Ñ I(A) ÓÞÒ Ñ Ð Ò ÖÓÚ Ò Ø ÑØÓ Ý Ø Ñ Ñ ¹ Ø Ý ÑÒÓö ÒÙ Ú ÓÒ Ò ÒÓ Ò ÔÖÚ ó ÞA ÓÔÐÒ ÒÓÙ Ó ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ Ø ØÓ ÓÒ Ò ÒÓ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Òݺ ÈÓÞÓÖÓÚ Ò º½º  ¹Ð A Å Ý Ø Ñ ÔÓØÓÑ I(A) Ù Ø Ðº ó Þº ÈÖÓ X [ω] ω Ü ØÙ A A ö ÑÒÓö Ò X A Ò ÓÒ Ò º Ì ØÓ ÑÒÓö Ò Þ ÖÓÚ ÔÖÚ Ñ I(A) Ø Ø ÒØÓ Ð Ù Øº Å Ð ÑÒÓö ÒÝ ÓÙ ÔÖ Ú ÔÖÚ Ý Ò Ó ÐÙº ÌÓ ö ÓÙ ÑÒÓö ÒÝ C ÓÔÖ Ú¹ Ù Ú Ø Ñ ÑÝ ÐÙ Ú Ð Ó Ò Ð Ù Ó ØÚÖÞ Ò º ÌÚÖÞ Ò º º ÈÓ Ù Ñ ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Ò C [ω] ω ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò ÔÓØÓÑ Ü ØÙ Ù Ø Ð I Ø Ö ÙÒ ØÒ Cº ½¼

15 ó Þº Å Ñ Þ Ò ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Ò C Ó ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò A = {A c : c C}º Â Þ Ñ ö Ø ÚÝØÚÓ Ø Ù Ø Ð ÙÒ ØÒ Aº ÙÒ ØÒÓ Ø ÞÒ Ñ Ò ö ÓÒ Ò ÒÓ Ò ÑÒÓö Ò Þ I Ò Ý Ò Ó Ò ö Ò ÔÖÚ A Ô Ñö ÑÒÓö Ò O = ω \ A Ò Ò Þ Ñ ÔÖÓØÓö Ò Ð ö Ú Cº ÓÒ ØÖÙÙ Ñ Ý Ø Ñ M Ó ÒÓ Ò Å Ý Ø Ñó Ò A c Ô Ú Ò c Cº Æ ÓÒ ÖÓÞ Ñ Ø ÒØÓ Ý Ø Ñ Ò Å Ý Ø Ñº I(M) Ô Ù Ø Ð Ø Ø Ý ÓÚ Ø ö ÙÒ ØÒ Aº ÈÓ Ù Ý ÔÐ Ø ÐÓ ö Ò A c {M i : i < k,m i M} Ø M i ÓÙ Ù ÔÖÚ Ý Å Ý Ø Ñó Ò A C A ÔÓØÓÑ Ð Ò ÑÓ ÐÝ Ø Ó ÖÓÑ Ý ÓÖÓ ÐÓÙ A c Ò Ó Ô ÐÝ ÖÓÞ Ò Ñ M Ò Å Ý Ø Ñ ÔÓØÓÑ Ð Ò ÑÓ ÐÝ Ø Ò Ò ÓÒ ÒÓÙ Ø A c ÔÖÓØÓö Ô Ý Ò Þ Ò Ñ Ð Ò ÓÒ Ò ÔÖóÒ A c Ø Ý Ò Ñ ÔÖÚ Ñ Å Ý Ø ÑÙ Ò A c Ò ÑÓ Ð Ý Ø Ô ÖÓÞ ÓÚ Ò Ô ÔÙ Ø Ò º Ò ÓØ Þ ÞÒ Þ Ð Ô ÓÞ ØÚÖÞ Ò Ú Ú Ð Ò º Ç Ò ÓÖÑÙ¹ Ð ÞÒ Ø ØÓ Ñ Ñ Ò Ù Ø Ð I Ð Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò ÓÙ ÓÖÙ P(ω)\Iº ÈÓ Ù I ÔÖÚÓ Ð Ø Ù Ø ¹ Ð ÓÚÓÐÒ ÑÒÓö Ò Þ [ω] ω Ù Ô ÑÓ Ú I Ò Ó Ò ÓÙ ÑÒÓö ÒÓÙ Ñóö Ñ ÖÓÞ Ø Ô Ø ØÓ Þ ÖÙ Ü Ø Ò Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ Ú Iº ÔÖÓØÓö Ú Ô Ô ÔÖÚÓ ÐÙ P(ω)\I ÙÐØÖ ÐØÖ Ø Ú Ð Ð Ö ÎÓ Ø ¾ Ú ÔÖÓ ÔÖÚÓ Ð Ð ÒÓÙ Ó ÔÓÚ º Î Ó Ò Ñ Ô Ô ÔÖÓ Ð Ñ Ù Öö Ø Ò Ñ Ü Ñ ÐÒ ÓÖÓ ÙÒ ØÒÓ Ø Þ Ñ¹ Ò Ò Ô ÐÓÙ Ò Ù Ð Ý 2 ω ÐÞ ØÓ Ò Ñ Ò Þ Ø Þ Ô ÔÓ Ð Ù a = 2 ω º ÌÚÖÞ Ò º º Ô ÔÓ Ð Ù a = 2 ω ÔÐ Ø ö ÔÓ Ù ÔÖÓ ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Ò C Ü ØÙ Ù Ø Ð I ÙÒ ØÒ C Ø ÔÓØÓÑ Ñ ÓÙ ÓÖ C ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º ó Þº Ç ÐÙ Ñ C = {C α : α 2 ω }º φ(c 0 ) Ú ÞÑÙ ÔÖÚ I Ø Ö Ð ö ÔÓ C 0 º È ÔÓ Ð Ñ Ø Ý ö Ñ Ñ ÚÝ Ö ÒÓÙ {φ(c α ) : α < κ} Ø Ð Ý ÓÑ ÚÝ Ö Ø ÑÒÓö ÒÙ Þ C κ º ÌÓ ÓÚ Ñ Ôó Ò ÒÓ ¹ {φ(c α ) : α < κ} Ò Ñóö Ø ÚóÐ Ú Ñ Ð ÑÓ ÙØÒÓ Ø Å Ø Ú C κ Ü ØÙ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ú Ñ Ó Ù ÚÝ Ö ÒÑ {φ(c α ) : α < κ}º Î Ø ØÓ ÑÒÓö Ò Ô Ü ØÙ ÔÖÚ Þ I Ø Ö Ú ÞÑ Ñ Ó φ(c κ )º Ò º º Î Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÓÙ Úó Ù Ø ÑÙ ÐÙ I Ò ÞÚ Ñ ÑÒÓö ÒÙ Þ P(ω) \ Iº Î Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÓÙ Úó Ý Ø ÑÙ A Ò ÞÚ Ñ ÑÒÓö ÒÙ Ø ÖÓÙ ö Ò ÓÒ ÒÓÙ Ø Ò ÐÞ Þ Ô Ø Ó ÓÒ Ò ÒÓ Ò ÔÖÚ ó Þ Aº ÈÓ Ù Ý Ø Ñ A Å Ø Ó Ò ÔÐÚ º ËÓÙ ÓÖ Ú Ð ÑÒÓö Ò Ý Ø ÑÙ A Ù Ñ ÞÒ Ø I + (A)º Ç Ø Ø Ö Þ Ñ Ú ÔÓ Ù ÐI Ø Ó Ú Ð ÑÒÓö ÒÝ Ø ÞÚ Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñº Ò º º Å Ý Ø Ñ A ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ ÔÓ Ù Þ Ñ Ù ÚÓ Ú Ð ÑÒÓö ÒÝ Ø Ý ÔÓ Ù ÔÖÓ ö ÓÙ M I + (A) Ü ØÙ A A ö A Mº ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ú Ø Ñ ÑÝ ÐÙ Ú Ð Ò Ô Ð ÑÙ Ñ Ø Ú Ð Ó Ø 2 ω ÔÐÝÒ Þ ó ÞÙ Ò Ð Ù Ó ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º ÈÓÞÓÖÓÚ Ò º¾º Æ Ð Ù ÔÓ Ñ Ò Ý ÓÙ Ú Ú Ð ÒØÒ µ ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ü ØÙ º ½½

16 µ Ü ØÙ Å Ý Ø Ñ Óö ö Ú Ð ÑÒÓö Ò Ó Ù 2 ω Ó ÔÖÚ óº µ Ü ØÙ Å Ý Ø Ñ Óö ö Ú Ð ÑÒÓö Ò ÓÖÓ Ó Ù Ò Ó ÔÖÚ º Úµ Ü ØÙ Å Ý Ø Ñ Óö ö Ú Ð ÑÒÓö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖóÒ 2 ω Ó ÔÖÚ Ýº ó Þº (i) (ii) Æ ð A ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ù V Ó Ú Ð ÑÒÓö Ò º È V Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖóÒ ω ÑÒÓö Ò Ñ Þ A ÓÞÒ Ñ {B n : n ω}º à ö ÓÙ V B n ÖÓÞ ÐÑ Ò 2 n ÖóÞÒ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò Ø Ý V B n {Bn s : s 2n }º È { {Bn f n : n ω} : f 2 ω } ÓÙ ÓÖ 2 ω ÖóÞÒ Ú Ð ÑÒÓö Ò Ú ÑÒÓö Ò V Ø Ö Ñ Þ Ò ÔÐÒ Ô Ö Ð ØÝ Þ ÑÒ Ò º (ii) (iii) Ò º (iii) (iv) Ø Ò Ó (i) (ii)º (iv) (i) Ù M Å Ý Ø Ñ Þ ÔÓ Ñ Ò Ý Úµº ÈÖÓ ö ÓÙ Ú Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ X Ò Ñ M(X) M Ø Ö Ñ X Ò ÓÒ Ò ÔÖóÒ º Ý Ô ÔÓ Ð Ù Ñóö Ñ ÔÓö ÓÚ Ø (X Y M(X) M(Y))º ÈÓ Ù ÔÖÓ M(X) ÔÐ Ø ö M(X)\X Ò ÓÒ Ò Ø ÖÓÞ Ð Ñ Ò Ú ÑÒÓö ÒÝ ¹M(X) X M(X)\Xº ÈÓ Ù ÓÒ Ò Ø Ö Ñ Ó ÔÖ Þ ÒÓÙº ÒÙ Ñ Å Ý Ø Ñ A = {X M(X),M(X) \ X : X I + (M)} {M : M M(X) ÔÖÓ ö Ò X}º ËÒ ÒÓ ÓÚ ö Ó ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñº Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ ÔÓ Ò Ü Ø Ò ÓÖÓ ¹ ÙÒ ØÒ Ó Þ ÑÒ Ò Ò Ð Ù Ñ ØÚÖÞ Ò Ñ ÌÚÖÞ Ò º º P(ω) \ I Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò ÔÖÓ ö Ù Ø Ð I ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÔÖÓ ö Ù Ø Ð Ü ØÙ ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ A Iº ó Þº ÈÓ Ù ÔÖÓ Ò Ð I Ø ÓÚ ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ü ØÙ Ø ö ÓÙ ÚÓ Ú Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ Þ Ñ Ù 2 ω ÔÖÚ Ý Ø ÐÞ ÓÒÓ Þ ÑÒ Ò ÚÝ Ö Ø Ò Ù º ÇÔ ÒÓÙ ÑÔÐ Ó ö Ñ Ú Ò Ð Ù Ñ ØÚÖÞ Ò º ÇÔ Ò ÑÔÐ ØÓØ ö Ò Ò ó Ð Ó Ò Ó ØÚÖÞ Ò º ÀÙ Ø ÑÙ ¹ ÐÙ I ÐÞ ÔÓÑÓ ÓÖÒÓÚ Ð ÑÑ ØÙ Ô Ø Å Ý Ø Ñ M Óö Ú Ð ÑÒÓö ÒÝ ÓÙ Ñ ÑÓ Ò P(ω)\Iº È Ø Ý ÔÐ Ø ö P(ω)\I I + (M) Ø Þ Ñ Ø Ò Þ ÑÒ Ò I + (M)º ÌÚÖÞ Ò º º Æ Ð Ù ØÚÖÞ Ò ÓÙ Ú Ú Ð ÒØÒ µ ÈÖÓ ö Å Ý Ø Ñ M Ü ØÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò I + (M)º µ ÈÖÓ ö Å Ý Ø Ñ M Ü ØÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò I + (M) ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ñ Å Ý Ø Ñ Ñº µ Ü ØÙ ÞÓÚ ØÖÓÑT Óö ö ÓÙ Ð ÒÙ ØÚÓ ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñº ó Þº (iii) (ii) Ý Ù ØÓØ Ù ÔÓ Ò T Ñóö Ñ Þ Ó ÔÖÚ ó ÚÝ Ö Ø ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò M Ø Ö ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ñ Å Ý Ø Ñ Ñ Þ ØÓ Ó ØÚÖÞ Ò Ò ÔÐÝÒ º (ii) (i) ØÖ Ú ÐÒ º (i) (iii) Æ ð D = {B α : α h} Ò ÞÓÚ ØÖÓѺ ÁÒ Ù Ò Ñ Å Ý Ø ÑÝ A α ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ½¾

17 ½ ÈÖÓ ö α < h ÔÐ Ø ö A α Þ Ñ Ù B α º ¾ à ö A α+1 Ú Ð 2 ω Þ ÖÓÚ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò Ñ I + (A α ) ¹ Óö ÐÞ Ý (i)º ÈÖÓ ö α A A α ÚÝ ÖÑ Ò ÔÖÚ C(A) A Þ A α+1 ÔÓÐÓöÑ E = {C(A) : A α<h A α}º E Ù Ø ØÖÓÑ Ú Ù ÔÓ Ò ÑÒÓö Ò P(ω), º Ù ÒÝÒ D Ð ÓÚÓÐÒ Å Ý Ø Ñ ÐÓö Ò Þ ÔÖÚ ó E Ù V Ò Ó Ú Ð ÑÒÓö Ò º ÈÖÓ ö α ÒÙ Ñ A α (V) = {A A α D : A V = ω}º Ù ÒÝÒ λ < h ÔÖÚÒ ÓÖ Ò Ð ö α<λ A α(v) Ò ÓÒ Ò º Æ ð λ = β +1 A β (V) Ý ØÓÑÙ Ò ÓÒ Ò α<β A α(v) ÓÒ Ò º Ý ØÓÑÙ ÔÐ Ø ö ö A A β (V) Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖóÒ V = V \ α<β Aα (V) ÓÙ ÓÖ D ØÓØ ö ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÑÒÓö Ò V Ó Ú Ð ÑÒÓö Ò º V Ú Ð Úó A β Ø Ü ØÙ R A β+1 ö R V º È ØÓÑ R ÙÒ ØÒ ÔÖÚ Ý A α (V) : α < β Ø Ý Ò ÐÙÞ ÚÒ ÑÙ Ù ÔÓ Ò E ÔÐ Ø ö Ø Ò ÓÒ Ò D D Ø Ö ÔÖÓØÒ R Ó Ò ÓÖÓ Ò Ð ö D Rº Æ ð ÒÝÒ λ Ð Ñ ØÒ ÓÖ Ò Ð ÔÓ ØÒÓÙ Ó Ò Ð ØÓÙ Ø Ý λ = sup{α n : n ω}º ÈÖÓ ö α n < λ Ü ØÙ ÔÓÙÞ ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó ÔÖÚ ó C k n A α n (V) Ø Ö ÔÖÓØ Ò V Ú Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò Ø ÔÐ Ø V \{C 1 n... C k n} Ú Ð Úó A λ º È Ð Ñ ØÒ Ñ Ô Ó Ù Ø Ó Ø Ú Ñ Ø Þ Ú Ð ÑÒÓö Ò Úó A λ Þ ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º¾ ÚÝÔÐÚ Ü Ø Ò Ô Ù ÓÔÖóÒ Ù P V Ø Ö Ú Ð Úó A λ ö ÓÙ C k n Ñ ÔÓÙÞ ÓÒ Ò ÔÖóÒ º Ì Ý Ó Þ Ñ Ù Ò ÑÒÓö Ò Z A λ+1 º Ñ Ü Ñ ÐÒÓ Ø D Ü ØÙ Ó ÔÖÚ Ø Ö ÓÖÓ ÔÓ Aº D Ø ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ º Ý ØÓÑÙ ÐÞ ÚÝ Ö Ø ÒÓÚ ÞÓÚ ØÖÓÑ Þ ÔÓ ØÙÔÒ Þ Ñ Ù ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ ÖÓÞ Ð ó ωº ½

18 º Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ô Ú Ñ Ú Ð Ë Ð ÚÝÐ Ô Ò Å Ð Ò Ö ÖÓÚÓÙ Ê Ú Ò Ñ ËØ ÔÖ Ò Ñ ØÓØ ö ö ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ü ØÙ¹ Þ Ô ÔÓ Ð Ù s aº Æ ÔÖÚ Ò Ô ÚÒÓ Þ ÜÙ Ñ Ø Ô Ý Ø Ñ S = {S α : α s} Ø Ö Þ ÖÓÚ (ω,ω)¹ Ø Ô Ñº Ò Ñ ÑÝ Ð Ò ÓÙ ó ÞÙº ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ ÚÝÖÓ Ñ Ò Ù ÔÓ Ð ÔÓ ÑÒÓö Ò ωº Ù Ñ ÔÓ ØÙÔ¹ Ò ÔÖÓ Þ Ø Ú ÒÝ ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ ω ÔÓ Ù Ø Ò ö Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò Ú Ð Úó ö Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò ÑÙ Ý Ø ÑÙ Ø Ò ÑÙ Ô Ñ Ò ÓÙ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙº Æ ØÖ Ú ÐÒ ÓÐ ÔÓ Ú Ú Ò Ð Þ Ò Ø ÓÚ ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ Ø Ö Ý ÝÐ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ú Ñ ÑÒÓö Ò Ñ ö ÚÝØÚÓ Ò Ó Ý Ø ÑÙº ÎÖ Þ¹ ÒÓÙ ÔÓÑÓ Ò Ð Ù ØÚÖÞ Ò Ø Ö ÙÑÓöÒ Ò Ø Ú Ð ÓÚÓÐÒ Ú Ð ÑÒÓö Ò Ú ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ Ø Ö ÓÙ ÓÔ Ø Ú Ð º ÁØ ÖÓÚ Ò Ñ ØÓ ÓØÓ ÔÓ ØÙÔÙ Ô Ò Ñ Ó ÓÒ 2 ω Ú Ð ÔÓ ÑÒÓö Òº ÇÒÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÑÒÓö ÒÙ ØÓØ ö ÑÙ Ñ Úݹ Ö Ø Þ Ú Ð ÑÒÓö ÒÝ Úó ö ÒÓÚ Ò ÑÙ Ý Ø ÑÙ Ú Ñ Ð ÑÒÓö Ò Ý ÓÑ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÑÒÓö ÒÙ Ò Ò Ð º âø Ô Ý Ø Ñ Ú ØÓÑØÓ ÓÐÙ Ó Ú Ø ö ÔÖ Ú ÓÒ ØÝØÓ Ú ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ Ø ÓÒ Ö ØÒ Ú Ð ÑÒÓö ÒÝ ÚÝ ÖÓ ¹ ØÓ Ó Ò Ð Ù Ó ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º ÈÓÞÓÖÓÚ Ò º½º Æ ð A Ð ÓÚÓÐÒ Ý Ø Ñ V [ω] ω Ð ÓÚÓÐÒ Ú Ð ÑÒÓö Ò Úó Aº ÈÓØÓÑ Ü ØÙ β s ö Ó ÑÒÓö ÒÝ V Sβ 0,V S1 β ÓÙ Ú Ð Úó Aº ó Þº ÅóöÓÙ Ò Ø Ø Ú Ô Ô Ýº Ì Ò ÒÓ Ù ö Ü ØÙ N [V] ω Ø Ö ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ú Ñ ÔÖÚ Ý Aº Æ Ô Ð ÔÓ Ù Ü ØÙ ÔÓÙÞ ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó A A ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø A V = ωº ÈÓØÓÑ Ø Ü ØÙ S β S Ø Ö ÖÓÞ Ø Ô Nº V Sβ 0,V S1 β ÓÙ ÓÒÝ Ð Ò ÑÒÓö Òݺ ÖÙ Ô Ô Ò Ø Ú ÔÓ Ù Ü ØÙ ÓÙ ÓÖ ÑÒÓö Ò {A n : n ω,a n A} ö ( n ω)( A n V = ω)º ö Ñ Ø ÒØÓ ÓÙ ÓÖ Ò V Ò ð Ø Ý B n = A n V º ÈÓØÓÑ Ð Þ Ò (ω,ω)¹ Ø Ô Ó Ý Ø ÑÙ Ü ØÙ β s ö ( n : B n Sβ 0 = ω = B n Sβ 1 )º ÅÒÓö ÒÝ V Sβ 0,V S1 β ÓÙ Ú Ð Úó A ÔÖÓØÓö ö Ñ Ò ÓÒ Ò ÔÖóÒ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓ Ð ÒÝ Aº ÆÝÒ Ø Ó ö Ñ ÒÓ Ø Ò ØÚÖÞ Ò Ø Ö Ø Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Øº ÈÓÞÓÖÓÚ Ò º¾º Æ ð A Ð ÓÚÓÐÒ Ý Ø Ñ Ò ð {E n : n ω} ÓÙ ÓÖ Ú Ð ÑÒÓö Ò Úó A ö ÔÐ Ø E 1 E 2... E n...º ÈÓØÓÑ Ü ØÙ Ô Ù ÓÔÖóÒ E ÓÙ ÓÖÙ {E n : n ω} Ø Ö Ò Ú Ú Ð Úó Aº ó Þº Æ ð S 0 Ð ØÓÖ Ñ Ò {E n : n ω} S k Ð ØÓÖ Ñ Ò {E n \ k 1 l=0 S l : n ω \k 1}º ω k=1 S k Ô Ð Ò Ô Ù ÓÔÖóÒ Ø Ö Ú Ð Úó A Ø ÔÓö ÓÚ Ø Ý ÖóÞÒ Ð ØÓÖÝ ÚÝ Ö ÐÝ Ú ÔÖÚ Ý Þ ÖóÞÒ ÔÖÚ ó Aº âø Ô Ý Ø Ñ Ø Ý Ù Ñ ÔÓÙö Ú Ø Ñ Ð Ò Ù ÔÖÓØÓ Ò Ú Þ Ú Ñ ÞÒ Ò ÔÓÑÓ Ø Ö Ó Ù Ñ ÓÖ ÒØÓÚ Øº ÈÓ Ù Ô Ò Ù Ò ¹ Ö Þ Ñ Ò Ú Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ Ø ÔÓÑÓ Ø Ô Ó Ý Ø ÑÙ Ó ö Ñ Ò ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÑÒÓö ÒÙ Úó ö ÒÓÚ Ò ÑÙ Ý Ø ÑÙº ÌÓØÓ Ó Þ Ú Ò Þ Ø Ú ½

19 Ô sº ÈÖÓØÓ ö ÑÙ ÔÖÚ Ù A α A Ù Ó ÔÓÚ Ø ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø σ α 2 <s Ô ¹ Ñö Ù ÔÐ Ø Ø ( γ dom(σ α ))(A α Sγ σα(γ) )º ÃÓÒ Ò ÒÓ Ò Ø ÓÚ ÑÒÓö Ò Ù Ø Ð Ó Þ ÒÓ ÔÓÙÞ Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò ÔÖÓØÓ ÔÖÓ ö ÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø σ 2 <s ÒÙ Ñ Ð I σ = {M : ( γ dom(σ))(m Sγ σ(γ) )}º Æ Ñ Ð Ñ Ø Ý ÔÖÓÚ Ø Ò Ù Ø ö ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò Ý Ø Ñ A Ú ö Ñ ÖÓ Ù Ò Ú Ð ÑÒÓö Ò ØÞÒº ( A I + (A))( R [A] ω : R ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Úó A)º ÈÖ Ú ØÓÑÙ Ù ÔÓØ Ô ÔÓ Ð s aº ÈÖÓ σ,τ 2 <s ÒÙ Ñ σ τ ÔÓ Ù τ ÔÖÓ ÐÙöÙ σ σ τ ÔÓ Ù Ü ØÙ γ dom(σ) dom(τ) ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø σ(γ) τ(γ)º ÈÓ Ù σ τ Ø Ò Ñ ö ØÓ ÓÙ ÙÒ ØÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø º ÈÓÞÓÖÓÚ Ò º º σ,τ 2 <s º ÈÐ Ø µ ÈÓ Ù σ τ ÔÓØÓÑ ( K I σ )( L I τ )( K L < ω)º µ ÈÓ Ù σ τ ÔÓØÓÑ I τ I σ º ó Þº Ç ØÚÖÞ Ò ÒÓ Ù ÓÚ Þ Ò º ÀÐ ÚÒ Ø ó ÞÙ ÒÝÒ ÔÖÓÚ Ø ö Ú Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ Ú ω ÖÓ ÔÓ¹ ØÙÔÒ ÖÓÞ Ø Ô Ñ Ò 2 ω Ú Ð ÑÒÓö Ò Ô Ñö Ø Ô Ò Ù ÓÒØÖÓÐÓÚ ÒÓ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ ØÑ ÓÖ Ò ÐÒ Ð Ø Ö Þ Ø Ú ÔÓ sº È ÚÝ Ö Ñ Ø ÓÚÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ö Ú ÒÝ Ùö ØÖÓ Ò ÑÒÓö ÒÝ Ù ÓÙ Ú Ð ÙÒ ØÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ò Ó Ú Ð ÔÓ ÚÝ Ö ÒÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø º Ý ÓÑ Ú Ø ÒØÓ ÑÓ¹ Ñ ÒØ ÑÓ Ð ÙÔÐ ØÒ Ø Ô ÔÓ Ð s a Ø ÔÓØ Ù Ñ Ò Ù Ò Ô ÔÓ Ð ( A α,a β A)(σ α σ β ) A Ùö ØÖÓ Ò Ý Ø Ñº Ì ÒØÓ Ò Ù ¹ Ò Ô ÔÓ Ð Ô ÑÙ Ñ Þ ÓÚ Ø Ó Ð Ø Ö Ò Ù º ÆÝÒ Ù ö Ñ ö ØÓ ÑÓöÒ º ÇÞÒ Ñ Ø Ý A = {A α : α λ} ö ØÖÓ Ò Ý Ø Ñ P = {σ α : α λ} Ó ÔÓÚ ÑÒÓö ÒÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø º ÌÚÖÞ Ò º½º ÈÓ Ù ÔÐ Ø ( σ,τ P)(σ τ) Ø ÔÓØÓÑ ÔÖÓ ö M I + (A) Ü ØÙ B [M] ω σ B 2 <s ö µ B ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ú Ñ A A B I σb º µ ( τ P)(σ B τ)º ó Þº È Ñ Ò i,j Ù ÓÙ Úö Ý ÔÖÚ Ý {0,1}º ÈÓ Ð ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º½ Ò Ñ Ò Ñ Ò α 0 ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ö Ó ÑÒÓö ÒÝ M S 0 α 0,M S 1 α 0 ÓÙ Ú Ð Úó¹ Aº Ý ØÓÑÙ ö α 0 Ò Ñ Ò Ø Ü ØÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø τ 0 2 α0 Ø Ö ÓÒØÖÓÐÙ Ó Þ Ú Ò ÑÒÓö ÒÝ M Ø Ý ( γ α 0 )(τ 0 (γ) = i M \ S i γ I(A))º ÇÔ ØÓÚÒÑ ÔÓÙö Ø Ñ ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º½ Ó Ø Ò Ñ Ò Ñ Ò α 00 ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ö ÑÒÓö ÒÝ M S 0 α 0 S 0 α 00 M S 0 α 0 S 1 α 00 ÓÙ Ú Ð Úó Aº Ò ÐÓ Ý Ó Ø Ò Ñ Ò Ñ Ò α 01 ÔÖÓ Ø Ö ÓÙ ÑÒÓö ÒÝ M S 1 α 0 S 0 α 01 M S 1 α 0 S 1 α 01 Ú Ð Úó Aº à ÓÖ Ò ÐóÑ α 00,α 01 Ü ØÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø τ 00 τ 01 2 <s ÔÖÓ Ø Ö τ 0j (γ) = i M S j α 0 S i γ I + (A). º½µ α 0j Ò Ò Ó ÓÖ τ 0j º Ð ÔÐ Ø ö α 0j > α 0 ÔÖÓØÓö Ý Ý Ò Ø M S 0 α 0j M S 1 α 0j ÓÙ Ú Ð Úó A Ô ØÓÑ α 0j < α 0 Óö ÔÓÖ Ñ Ò Ñ Ð ØÓÙ α 0 º Æ Ñóö Ò Ø Ø Ò α 0j = α 0 ÔÖÓØÓö Ô Ý Ò Ô Ð M S 0 α 0 S 1 α 0j ÝÐ ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò Ø Ý Ý Ò ÝÐ Ú Ð Úó Aº Ø Ò Ó óúó Ù Ó Ø Ú Ñ ½

20 τ 0j > τ 0 º ÈÐ Ø Ó ÓÒ τ 0j (α 0 ) = j ÔÖÓØÓö Ð º½ ÔÐ Ø M Sα j 0 S τ 0j(α 0 ) α 0 I + (A)º È ÖÓ Ñ Ø Ý Ó Ò ÑÙ Ô Ô Ùº Æ ð 0 s 2 <ω τ s 2 <s,dom(τ s ) = α s º Ô ÓÞ Ò Ù Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ó ÑÒÓö ÒÝ M Sα i s ( {Sα τs(αt) t : t s}) i {0,1} ÓÙ Ú Ð Úó Aº ÜÙ Ñ iº ÇÔ Ø Ò Ñ Ò Ñ Ò α s i ö ÑÒÓö ÒÝ Sα j s i M Sα i s ( {Sα τs(αt) t : t s}) j {0,1} ÓÙ Ú Ð Úó Aº Ð Ò α s i ÒÙ Ñ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø τ s i (γ) = j ÑÒÓö Ò M Sα i s ( {Sα τs(αt) t : t s}) Sγ j Ú Ð Úó Aº ÇÔ Ø ÔÐ Ø α s i > α s Ø τ s i τ s iº Ì ØÓ Ñ Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ð ÑÒÓö ÒÝ {α s : s 2 <ω } {τ s : s 2 <ω }º ÈÖÚÒ ÑÒÓö Ò Ó ÔÓÚ Ò Ò Ñ Ó ÓÖóÑ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Þ ÖÙ ÑÒÓö ÒÝ Ô Ñö Ó ÑÒÓö ÒÝ Ó Ö ö ØÖÙ ØÙÖÙ ÒØÓÖÓÚ ØÖÓÑÙ 2 <ω º ÈÖÓ ö ÔÖÚ f 2 ω ÒÙ Ñ α f = sup{α f n : n ω} τ f = {τ f n : n ω}º Ý ØÓÑÙ ö Ó Ò Ð Ø s Ú Ø Ò ö ω Ú Ñ ö ( f 2 ω )(α f < s)º Ð ÔÖÓ g,f 2 ω : f g Ü ØÙ Ò Ñ Ò n ö f(n) g(n)º ÈÖÓ s = f n = g n ÔÐ Ø ö τ s 0 τ s 0 τ s 1 τ s 1 Ý ØÓÑÙ ÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø τ f,τ g ÙÒ ØÒ º ÅÒÓö Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø P Þ Ô ÔÓ Ð Ù Ñ Ò Ò ö 2 ω Ø Ý Ü ØÙ ÔÖÚ Þ 2 ω ö τ f Ò Ò ÔÖÓ ÐÓÙö Ò ö ÒÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Þ Pº ÓÒ ØÖÙ Ú Ñ ö ÑÒÓö ÒÝ E n = M ( {S τ f(α f m ) α f m : m < n}) ÓÙ Ú Ð Úó A ÔÖÓ ö n ωº Ð ÔÐ Ø M... E n E n+1... ÇÞÒ Ñ E Ô Ù ÓÔÖóÒ ÓÙ ÓÖÙ {E n : n ω} Ø Ö Ú Ð Úó Aº Ì ÓÚ Ô Ù ÓÔÖóÒ Ü ØÙ ÔÓ Ð ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º¾º Ø ØÓ Ú Ð ÑÒÓö ÒÝ Ý ÓÑ Ö ÚÝ Ö Ð Ð ÒÓÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÑÒÓö ÒÙº ÈÓö Ú Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ù ÔÐÒ Ò ¹ τ f Ò ÖÓÚÒ Ò Ò ÔÖÓ ÐÓÙö Ò ö ÒÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Þ Pº Ñ Ñ ÒÝÒ Ò ÓØ Þ Ù ÓÐ ÔÖÚ ó Þ A ÔÖÓØ Ò E Ú Ò ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò º ÇÞÒ Ñ G ØÝ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Þ P Ø Ö τ f ÔÖÓ ÐÙöÙ Ø Ý G = {σ : σ P σ < τ f }º ÈÖÓØÓö ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Þ P ÓÙ ÔÓ ÚÓÙ ÖóÞÒ Ø G α f < sº Ãö ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ B Ø Ý ÚÝ Ö Ñ Þ Eº ÈÓ Ð Ò ÔÓö Ú Ý B I τf º ÈÖÓ ö ξ < α f Ü ØÙ n ö ξ < α f n º τ f (ξ) = τ f n (ξ) Ø Ý ÑÒÓö Ò S 1 τ f(ξ) ξ ÓÙ ÓÖ F ξ [A] <ω ö S 1 τ f(ξ) ξ E n Ò Ò Ú Ð Úó Aº Ì Ý Ü ØÙ E n F ξ º ÔÖÓØÓö ÔÐ Ø E E n Ø ÔÖÓ E ÔÐ Ø S 1 τ f(ξ) ξ E F ξ º ÈÓÐÓöÑ F = {F ξ : ξ α f }º ÅÒÓö Ò F Ø Ñ Ò Ò ö sº Ó ÖÓÑ Ý Ó Ø Ú Ñ ö ÑÒÓö Ò G F Ñ Ò Ò ö sº È ÔÓ Ð Ñ s a Ý ØÓÑÙ Ñóö Ñ Þ E ÚÝ Ö Ø ÑÒÓö ÒÙ B Ø Ö ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ú Ñ ÑÒÓö Ò Ñ Þ G Fº Ë ÓÖÓ ÙÒ ØÒÓ Ø ÔÖÚ Ý Þ F Þ ÖÙ Ù ö B I τf º ÈÐ Ø ØÓØ ö ö B S 1 τ f ξ B (S 1 τ f ξ \ F ξ ) = B ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò º ËØ Ø Ý ÔÓÐÓö Ø σ B = τ f ÓÚ Ø ÓÖÓ ÙÒ ØÒÓ Ø ÔÖÚ Ý A\ {G F}º Ì Ð ÔÐÝÒ Þ ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º º ÔÖÓØÓö ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø τ f ÙÒ ØÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ð ÓÚÓÐÒ Ó ÔÖÚ Ù Þ A\ {G F}º Ì Ñ Ñ Ô ÔÖ Ú Ð Ð ÚÒ Ò ØÖÓ Ò Ò Ù Ø ÚÒ ÚÝØÚÓ Ò ÔÐÒ Ô Ö Ð¹ Ò Ó Å Ý Ø ÑÙ ÌÚÖÞ Ò º¾º Ô ÔÓ Ð Ù s a ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ü ØÙ º ó Þº Ç ÐÙ Ñ ÔÖÚ Ý [ω] ω = {N α : α c = 2 ω }º ÁÒ Ù Ø ÚÒ ÔÓ Ø ÚÑ Ý Ø Ñ A λ = {A α : α λ} Ó ÔÓÚ ÑÒÓö ÒÙ ÔÓ ÚÓÙ ÖóÞÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø P λ = {σ α : α λ} Ô Ñö ÔÐ Ø ö ( α λ)(a α I σα )º ÌÓ Ù Ð Ñ ÔÓÑÓ Ô ÓÞ Ó ØÚÖÞ Ò º Î ÖÓ Ù λ < c ÔÓ Ú Ñ Ò ÑÒÓö ÒÙ N λ º ÈÓ Ù Ú Ð ÚÞ Ð Ñ ö ØÖÓ Ò ÑÙ Ý Ø ÑÙ A λ Ø Ú Ò ÔÓÑÓ Ô ÓÞ Ó ØÚÖÞ Ò Ò Ñ ÑÒÓö ÒÙ A λ Ø ÖÓÙ Ô Ñ A λ º ÈÓ Ù N λ Ò Ò Ú Ð Úó A λ Ø ½

21 Ñ ØÓ Ò Ú ÞÑ Ñ ω ¹ Ø ÖÓÞ Ó Ò Ú Ð Úó A λ º Ë ØÖÓ Ò Ý Ø Ñ A c Ñ Ü Ñ ÐÒ Ø ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ ¹ ö ÓÙ Ú Ð ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ ÚÞ Ð Ñ A c Ñ ØÓØ ö ÑÙ Ð ÔÓØ Ø Þ ÑÒ Ø Ô Ò Ù ÔÓ Ð {N α : α c}º Ñ Ò Ù Ñóö Ñ ÔÖÚ Ý Ù ÓÙ Ó ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ ÚÝ Ö Ø Ò Ú Þ Ò Ó Ù Ø Ó ÐÙ Iº Ð Ö Ó Ð ÓÚ Ë ÑÓÒ Ó Þ Ð Ü Ø Ò ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Ó Å Ý Ø ÑÙ Þ Ô ÔÓ Ð Ù s = ω 1 b = d Ú Þ º Ã ö Þ Ø ØÓ Ô ÔÓ Ð ó ÑÔÐ Ù s aº ½

22 º ÌÓÔÓÐÓ ó Ð Ý Ú Ø Ó ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò Ú βω \ω Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Þ Ñ Ñ Ò ØÓÔÓÐÓ ÔÖÓ ØÓÖ βω \ω Ó ÔÖÓ Ò ÔÐÝÒ Þ Ò Ø Ö Ú Ø Ó ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò º Ò Ñ ÖÝ ÐÓÙ Ö Ô ØÙÐ Ó ØÓ βω\ω ÚÐ ØÒ º ÈÓ ÑÝ Þ ØÓÔÓÐÓ ÐÞ Ò Ð ÞØ Ò Ô º Ú ÔÓ Ñ ÙÐØÖ ÐØÖÙ Ú ½ º Ò º½º βω ÔÖÓ ØÓÖ Ú ÙÐØÖ ÐØÖó Ò ω ÓÔ Ø Ò ØÓÔÓÐÓ Ø Ö Ò ÖÓÚ Ò Þ B = {B : B ω} B ÑÒÓö Ò ÙÐØÖ ÐØÖó Ó Ù ÑÒÓö ÒÙ Bº  ÒÑ ÐÓÚÝ ÔÓ Ù p ÙÐØÖ ÐØÖ Ò ω Ø ÔÐ Ø p B B p ÈÖÓ A βω ÓÚ Ñ A ÞÒ ÙÞ Ú Ö ÑÒÓö ÒÝ A Ú βωº ω Ñóö Ñ Ô ÖÓÞ Ò ÞØÓØÓöÒ Ø ØÖ Ú ÐÒ Ñ ÙÐØÖ ÐØÖÝ ÔÖÓØÓ ÝÑ ÓÐ ω = βω\ω ÞÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ βω Ø Ö ØÚÓ Ò ÔÓÙÞ ÙÒ ÓÖÑÒ Ñ ÙÐØÖ ÐØÖݺ Ò ÐÓ Ý B ÞÒ ÑÒÓö ÒÙ Ú ÙÒ ÓÖÑÒ ÙÐØÖ ÐØÖó Ó Ù ÑÒÓö ÒÙ Bº Æ Ð Ù ØÚÖÞ Ò ÓÙ ÖÒ Ñ Þ Ð Ò Ò ÓÖÑ ØÓÔÓÐÓ Ò βω ÚÝÔ º ÌÚÖÞ Ò º½º A,B Úö Ý ÞÒ Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ Ô ÖÓÞ Ò Ðº µ ÈÐ Ø A B = A B A B = A B βω \A = ω \Aº µ A B A B A B A B º µ à ö ÑÒÓö Ò Þ B Þ ÖÓÚ ÙÞ Ú Ò º Úµ à ö ÓÙ ÙÞ Ú ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ ÐÞ Þ Ô Ø Ó ÔÖóÒ ÔÖÚ ó Þ Bº Úµ Æ ð P = {p o : o O} βωº ÈÓØÓÑ ÙÞ Ú Ö ÑÒÓö ÒÝ P ÑÒÓö Ò P = {q βω : q ÖÓÞ Ù ÐØÖ Ò ÖÓÚ Ò Ý Ø Ñ Ñ P}º ó Þº Ó Ý µ ö Úµ ÓÙ ØÖ Ú ÐÒ Úµ Ó ö Ñ Æ ÔÖÚ ÓÚ Ñ ö P ÒØÖÓÚ Ò Ý Ø Ñ ¹ ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ ÓÒ Ò ÔÓ Ø ÔÖÚ ó Þ P ÔÐ Ø ö Ð ö Ú ö Ñ ÙÐØÖ ÐØÖÙ Þ P Ø Ý ÔÖóÒ ÑÙ Ø Ò ÓÒ Ò Ð ö Ø Ú ö Ñ ÙÐØÖ ÐØÖÙ Ø Ý Ú P º Î Ñ ö P ÙÞ Ú Ò ÑÒÓö Ò Ø ö P ÐÞ Þ Ô Ø Ó P = {B i : i I}º ÅÒÓö Ò K = {q βω : q ÖÓÞ Ù ÐØÖ Ò ÖÓÚ Ò Ý Ø Ñ Ñ P} ÙÞ Ú Ò ÔÖÓØÓö ØÓ Ú ÙØ ÒÓ Ø ÑÒÓö Ò {Q : Q P}º Â Þ Ñ ö P Kº Ã Ó ÓÒ Ò ó ÞÙ Ô ÔÓ Ð Ñ ö Ü ØÙ Ñ Ò ÙÞ Ú Ò ÑÒÓö Ò Ó Ù P º Ì Ý ÝÐ Ó ö Ò Ú ÑÒÓö Ò ØÚ ÖÙ {Q : Q P} A A Ò Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò ωº ÈÖÓØÓö Ð A Ò Ò Ú P ÞÒ Ñ Ò ØÓ ö Ü ØÙ ÙÐØÖ ÐØÖ q P Ø Ö Ò Ó Ù Aº Ì ÒØÓ ÙÐØÖ ÐØÖ Ô Ò Ò Ò Ú {Q : Q P} Aº Ð ÙÚ Ñ Ò Ø Ö ÐÓ ÐÒ ÚÐ ØÒÓ Ø βωº ÌÚÖÞ Ò º¾º A ÓÔ Ø ÞÒ Ò ÓÒ ÒÓÙ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙ ωº ½

23 µ βω = 2 (2ω) Ø A = A = 2 (2ω) º µ ω Ù Ø Ú βω βω \ω ÙÞ Ú Ò ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖº µ βω À Ù ÓÖ óú ÓÑÔ ØÒ ÔÖÓ ØÓÖ ÓÑ ÓÑÓÖ Ò ¹ËØÓÒ ÓÚÓÙ Óѹ Ô Ø Ö ØÒ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ ωº ó Þº µ  ØÚÖÞ Ò ÞÒ Ñ Ó ÈÓ Ô ÐÓÚ Ú Ø ó Þ ÐÞ Ò Ø Ú ½ º µ ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒÓÙ Ò ÓÒ ÒÓÙ A ω ÔÐ Ø ö ØÖ Ú ÐÒ ÙÐØÖ ÐØÖ Ò ÖÓÚ Ò Ð ÓÚÓÐÒÑ ÔÖÚ Ñ Þ A Ð ö Ú A º ÖÙ Ø ØÚÖÞ Ò Þ Ñ º µ  ÞÒ Ñ Ø ó Þ Ò Þ Ò Ô Ð Ú ½¼ º Ì Ñóö Ñ Ô ÖÓ Ø ÓÒ Ñ Ú Ø Ñ Ó βω \ ω Ø Ö ÔÐÝÒÓÙ Þ Ú Ø Ó ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ñ Þ ÑÒ Ò º Ç Ø ÔÓ Ý Ù Ñ ÔÓÙÞ Ú ω = βω \ωº Ò º¾º Æ ð κ Ö Ò ÐÒ ÐÓº ÅÒÓö ÒÙ P ω Ò ÞÚ Ñ κ¹ñòóö ÒÓÙ ÔÓ Ù Ú ω Ü ØÙ κ ÔÓ ÚÓÙ ÙÒ ØÒ ÓØ Ú Ò ÑÒÓö Ò Ø ö P Ò Ð ö Ó ÙÞ Ú ÖÙ ö Þ Ò º ÌÚÖÞ Ò º º à ö Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ ω Ø Ý ö ÙÒ ÓÖÑÒ ÙÐØÖ ÐØÖ 2 ω ¹ Ó Ñº ó Þº ÌÚÖÞ Ò ÔÐÝÒ Þ Ü Ø Ò ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ó Þ ÑÒ Ò ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ ÙÒ ¹ ÓÖÑÒ ÙÐØÖ ÐØÖ Fº ÜÙ Ñ Ø Ý Ò ÙÒ ÓÖÑÒ ÙÐØÖ ÐØÖ F = {F α : α 2 ω } Ø Ó ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò {φ(f) : F F}º à ö ÓÙ φ(f) Ñóö Ñ ÖÓÞ Ð Ø Ò 2 ω ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÑÒÓö Ò Ø Ý φ(f) = {φ(f) α : α 2 ω }º Ð ÔÓÐÓöÑ U α = {(φ(f) α ) : F F}º ÅÒÓö ÒÝ (U α : α 2 ω ) ÓÙ ÓØ Ú Ò ÙÒ ØÒ ¹ ÔÓ Ù Ý ÔÖÓ α β Ü ØÓÚ Ð ÔÓÐ Ò ÙÐØÖ ÐØÖ Ð ö Ú U α Ø Ú U β Ô Ý Ø ÒØÓ ÙÐØÖ ÐØÖ Ô Ð Ó Ó ÓÙ Þ ÑÒÓö Ò Ò ÓÙ φ(f 1 ) α φ(f 2 ) β º ÌÝØÓ ÑÒÓö ÒÝ ÓÙ Ð ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Ò ÙÐØÖ ÐØÖ Ø Ý Ò Ñóö Ó ÓÚ Ø Ó º Ú ÓÚ Ø ö F Ð ö Ú ö U α º à ØÓÑÙ ÔÓ Ø Ù Þ Ø ö F ÖÓÞ Ù ö ÒØÖÓÚ Ò Ý Ø Ñ U α º Ã Ý Ý Ò ÖÓÞ ÓÚ Ð Ø Ü ØÙ F F ö ω\f Ð ö Ú U α º ÌÓ Ð ÔÓÖ ÔÖÓØÓö ω\f Ò ÑÓ ÓÙ Ó ÓÚ Ø ØÝ ÙÐØÖ ÐØÖÝ Ø Ö Ô ÐÝ Ó U α ÑÒÓö ÒÓÙ φ(f) α º ÖÙ Ø Ø Ô ØÓÐÝ Ú Ñ ö Þ Ô ÔÓ Ð Ù s a ÔÐ Ø ö ÔÖÓ ö Ù Ø Ð I Ü ØÙ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò [ω] ω \ Iº È ÔÓ Ð Ñ Ø Ý ö ØÓ ÔÐ Ø Ò Ô Ð Þ ÝÔÓØ ÞÝ ÓÒØ ÒÙ µº Ý ØÓÑÙ Ñóö Ñ Þ ÓÖÑÙÐÓÚ Ø Ó Ò Ú ÖÞ Ô ÓÞ Ó ØÚÖÞ Ò º ÌÚÖÞ Ò º º à ö ÑÒÓö Ò Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ ω 2 ω ÑÒÓö Ò º ó Þº Æ ð Ø Ý T Ò ÑÒÓö Ò º Ò Ó Ø Ü ØÙ Ù Ø Ð I = {M [ω] ω : M T = }º ËÓÙ ÓÖ [ω] ω \ I Ñ ÔÓ Ð Ô ÔÓ Ð Ù ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º ËØ Ò Ó Ú Ô ÓÞ Ñ ØÚÖÞ Ò ÒÙ Ñ ÑÒÓö ÒÝ U α : α κ κ Ú Ð Ó Ø ÑÒÓö ÒÝ [ω] ω \I Ø Ý 2 ω º U α ÓÙ ÓØ Ú Ò T U α Ù ö Ø Ò Ó Ú º Î ÔÐÒ Ó ÒÓ Ø ÐÞ ØÚÖÞ Ò Ó 2 ω ¹ÑÒÓö Ò Þ ÓÖÑÙÐÓÚ Ø Ø ØÓ ÌÚÖÞ Ò º º ÈÖÓ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙ T ω ÓÙ Ò Ð Ù ÔÓ Ñ Ò Ý Ú Ú Ð ÒØÒ µ ÅÒÓö Ò T 2 ω ¹ÑÒÓö Ò º ½

24 µ ËÓÙ ÓÖ M = {M ω : M T } Ñ ÓÖÓ ÙÒ ØÒ Þ ÑÒ Ò º ó Þº (i) (ii) Æ ð Ø Ý V ÓÙ ÓÖ 2 ω ÔÓ ÚÓÙ ÙÒ ØÒ ÓØ Ú Ò ÑÒÓö Òω ö T Ð ö Ú ÙÞ Ú ÖÙ ö Þ Ò º ÅÒÓö Ò M Ú Ð Ò Ú 2 ω Ø ö ö M M Ñóö Ñ Ô Ø V(M) V Ø ö V(M) V(N) ÔÖÓ N M Þ Mº ÅÒÓö Ò M V ÓØ Ú Ò Ò ÔÖ Þ Ò ØÓ ÔÐÝÒ Þ Ò ÔÖ Þ ÒÓ Ø M T Þ Ò ÐÙÞ T V º Ý ØÓÑÙ ÐÞ Ú ö M V(M) Ò Ø ÞÓÚÓÙ ÓØ Ú ÒÓÙ A(M) Ø Ö Ó ÔÓÚ Ò ÓÒ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò A(M) Mº ËÓÙ ÓÖ {A(M) : M M} Þ ÑÒ Ò Ñ M ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÔÖÓØÓö ö Ú Ó ÔÖÚ Ý A(M),A(N) ÓÙ ÔÓ ÙÒ ØÒ Ñ ÓØ Ú ÒÑ ÑÒÓö Ò Ñ V(M),V(N)º ÇÔ Ò ÑÔÐ Ó ö Ø Ò Ó Ô ÐÒ Ô Ô Ú Ô ÓÞ Ñ ØÚÖÞ Ò º ¾¼

25 º Ú Ö Ô ÔÓ Ð Ù s a ÔÓ ÐÓ ØÖ Ò Ò ØÒ Ò Ù Ô 2 ω Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñº ÃÓÒ ØÖÙ ÓÔ Ö Ð Þ Ð ÒÓÙ Ö Ø Ö Ø Ù Ð s Ó Ø Ô ØÖÓÑ Ø Ö Ø Ú Ð Þ Ø ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ø Ö ÙÖ ÓÚ ÐÝ ÖÓÞ Ø Ô Ð Ò Ú Ð ÑÒÓö Ò º Î ÓÒ ØÖÙ ÝÐ ÙÚ Ò Ô ÔÓ Ð ÔÓØ Ù Öö Ò ÑÓöÒÓ Ø ÖÓÞ Ò Ø Ú Ó Ý Ø ÑÙ Ó Ð ÓÖÓ ÙÒ ØÒ ÑÒÓö ÒÙº Ì ÒØÓ Ô ÔÓ Ð Ò ÑÙ Ø ÔÐÒ Ò Ó Þ Ð Ë Ð ÓÒ ØÖÙ ÑÓ ÐÙ ÔÐ Ø a < s ¹ Ú Þ º Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ý Ò ÐÓ ÚÝ Ö Ø ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ö ÒÓÚ Ò Ýö ØÓ Ó Ù Ò Ó ÐÓ Þ Ò Ó Ø Ò Ô ÔÓ Ð ó Ú Þ ØÙ a < s Ò ÔÓÑÓ Ó Ø Ò Ô ÔÓ Ð ó ÖÔ Þ Ë Ð ÓÚÝ Ô Ø ÓÖ º Â Ó Ú Ð Ñ ö ÔÐÒ Ô Ö ÐÒ Å Ý Ø Ñ Ü ØÙ Þ Ô ÔÓ Ð Ù 2 ω < ℵ ω º ¾½

26 Ä Ø Ö ØÙÖ ½ Ð Ö Ó Ù Ð Ú âø Ô Ò È ØÖº Ì ÓÖ ÑÒÓö Òº ½º ÚÝ Ò º ÈÖ ¹ Æ Ð Ø Ð ØÚ Ó ÐÓÚ Ò Ñ Ú ½ º ½ º ÁË Æ ½ ¹ ¾½¹¼¾¾¹ º ¾ Ð Ö Ó Ù Ð Ú ÎÓ Ø È Ø Öº ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ö Ò Ñ ÒØ Ó Ñ Ð Ó Ù ¹ Ø Ó Æ ÈÖÓ Ò Ó Ø Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ ØÝ ÚÓÐÙÑ ÒÙÑ Ö ½ ¼º ÁËËÆ ¼¼¼¾¹ ÓÒÒ Ø ÊÓ ÖØ ÅÓÒ Âº À Ò ÓÓ Ó ÓÓÐ Ò Ð Ö º Ñ Ø Ö Ñ ÆÓÖØ ¹ ÀÓÐÐ Ò ½ Ü Ü º ½ ¹ ½ ¼º ÁË Æ ¼¹ ¹ ½ ¾¹ º Ò Ð Ò ÊÝ Þ Ö º Ò Ö Ð ØÓÔÓÐÓ Ýº Ê Ú Ò ÓÑÔÐ Ø Ø ÓÒº ÖÐ Ò À Ð ÖÑ ÒÒ ½ º Ë Ñ Ö Ò ÔÙÖ Ñ Ø Ñ Ø ÚÓк º ÁË Æ ¹ ¹ ¼¼ ¹ º Ö È ÙÐ Ë Ð Ë ÖÓÒº Ë Ô Ö Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ñ ¹ Ð Ó Ø Á Ö Ð ÓÙÖÒ Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø ½¾ ÒÙÑ Ö ¾ ½ ¾º ÁËËÆ ¼¼¾½¹ ¾½ ¾ À Ð Ö ËØ Ô Òº Ð Ý Ò ÐÑÓ Ø¹ Ó ÒØ Ñ Ð Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ βn \N Á Ö Ð ÓÙÖÒ Ð Ó Ñ Ø Ñ Ø ½¾ ½ ½º ÁËËÆ ¼¼¾½¹¾½ ¾ Å Ð Ò Ö Ö À Ê Ú Ò Ð Ô ËØ ÔÖ Ò ÂÙÖ º ËÔÐ ØØ Ò Ñ Ð Ò ÓÑÔÐ Ø Ô Ö Ð ØÝ ÔÖ ÔÖ ÒØ ½¾¼ º½ ½¼ ¾¼½¾º Ë Ð Ë ÖÓÒº Å Ñ Ð Ò Ë Æ ÔÐ Ý Ö Ö Ú ¼ ¼ º¼ ½ ¾¼¼ º Ë ÑÓÒ È ØÖº ÒÓØ ÓÒ ÐÑÓ Ø Ó ÒØ Ö Ò Ñ ÒØ Ø ÍÒ Úº ÖÓÐ Ò ¹ Å Ø º Ø È Ý ½ º ½¼ ÏÓ Ó Ý ÏÓÐ Ò º ÇÒ Ø Ü Ø Ò Ó Ô¹ÔÓ ÒØ Ò ÓØ Ö ÙÐØÖ ÐØ Ö Ò Ø ËØÓÒ ¹ ¹ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ó Æº ÔÐÓÑ Ø Î ÒÒ ÙÒ Ú Ö ØÝ Ó Ø ÒÓÐÓ Ý ¾¼¼ º Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ÓºÍÒ ÚºÈÖÓ º Å ÖØ Ò ÓÐ Ø ÖÒ ¾¾