1 Základy práce s programem Maple
|
|
- Dominik Bezucha
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1 ZÁKLADY PRÁCE S PROGRAMEM MAPLE 1 Základy práce s programem Maple Počítačový algebraický systém Maple TM je produktem kanadské společnosti Maplesoft, Waterloo Maple Inc. Jedná se o špičkový produkt v kategorii programů CAS (Computer Algebra System), který je téměř každý rok aktualizován. V době vydání této knihy byla na trh uvedena verze Maple 14. Uživatel má k dispozici několik typů rozhraní pro komunikaci s programem a pro využívání jeho výpočetních prostředků. Dva základní módy práce s programem nabízejí uživatelská prostředí Standard worksheet a Classic worksheet. První z nich, Standard worksheet (generuje soubory s příponou mw), představuje plně grafické uživatelské rozhraní, v jehož pojetí se promítají nejnovější trendy ve vývoji komunikačních rozhraní mezi uživatelem a počítačovým programem. Konkrétně se jedná o snahu zprostředkovat uživateli možnost intuitivního ovládání programu, bez nutnosti znát syntax jeho příkazů. Konzervativním protipólem tohoto grafického uživatelského rozhraní je prostředí Classic worksheet (generuje soubory s příponou mws). To zachovává design charakteristický pro Maple již od jeho verze 5, zároveň však plně využívá nejnovější výpočetní jádro systému spolu se všemi jeho funkcemi. Zřejmou výhodou prostředí Classic worksheet jsou nižší nároky na velikost paměti počítače a rychlost jeho procesoru. Pro běžného uživatele, který nemá důvod pro investování do každoročního upgrade, je ještě významnějším plusem tohoto prostředí nadčasovost jeho vzhledu, stejně jako způsobu práce. Příklady v něm vytvořené jsou tak ve většině případů přenositelné mezi různými verzemi programu. Z tohoto důvodu jsou všechny řešené příklady i ukázky řešení dílčích problémů v tomto materilu realizovány v prostředí Classic worksheet Maple 13. Zevrubné informace o programu Maple, příklady jeho použití, instruktážní videa apod, stejně jako popisy dalších produktů firmy Maplesoft, najde zájemce na webové stránce Zadávání příkazů Na jednom řádku může být uvedeno více příkazů, každý z nich však musí být ukončen středníkem (;) nebo dvojtečkou (:) a řádek potvrzen klávesou Enter (bez ohledu na to, kde je v něm kurzor). Například 2 a 3 sečteme příkazem 2+3;. Příkaz ukončený středníkem se vykoná a jeho výsledek se zobrazí na následujícím řádku, příkaz ukončený dvojtečkou se rovněž vykoná, výsledek se však nezobrazí. Nový výpočet s proměnnými je vhodné zahájit příkazem restart;, který vymaže hodnoty všech proměnných. Vyhneme se tak případným komplikacím se starými hodnotami při opakování výpočtu. Pokud potřebujeme vymazat obsah konkrétní proměnné, například proměnné a, použijeme příkaz a:= a ;. Nápovědu ke konkrétnímu příkazu Maple vyvoláme zadáním příkazu ve tvaru?jméno (zde nemusíme ukončit středníkem, stačí Enter). Například, zadáním?plot získáme kompletní nápovědu k příkazu plot i s odkazy na příbuzná témata. Velkým zdrojem informací a inspirace jsou příklady konkrétního použití, které jsou součástí nápovědy ke každému příkazu. Příklady je možno pomocí Ctrl+C, Ctrl+V kopírovat do pracovního okna programu Maple, tam je vyzkoušet a následně třeba modifikovat pro potřeby našich výpočtů. 1
2 1.2 Přibližná hodnota výrazu 2 FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 1.2 Přibližná hodnota výrazu Maple pracuje v symbolickém režimu. Pokud potřebujeme přibližné vyjádření hodnoty nějakého výrazu desetinným rozvojem, můžeme použít příkaz evalf(výraz, počet cifer);. Například po zadání evalf(pi,20); dostaneme hodnotu π na 19 desetinných míst. Parametr počet cifer je nepovinný. Vyzkoušejte evalf(sqrt(2));. 1.3 Balíčky příkazů Velká část příkazů programu Maple je uložena v tzv. balíčcích (packages). Například příkazy pro počítání s vektory a maticemi jsou uloženy v balíčcích linalg a LinearAlgebra. Při zobrazování křivek a ploch pak využíváme příkazy z balíčků plots a plottools. Jsou dvě možnosti, jak se k takovým příkazům dostat. 1) Načíst do paměti celý balíček příkazem with. Například balíček linalg načteme příkazem with(linalg);. Ukončíme-li příkaz středníkem, je vypsán seznam všech příkazů z balíčku. Pokud o takový přehled nestojíme, ukončíme příkaz dvojtečkou. 2) Aniž bychom balíček otvírali, můžeme konkrétní příkaz v něm obsažený zavolat příkazem ve tvaru jméno balíčku[jméno funkce](parametry funkce);. Viz například volání příkazu linalg[genmatrix], které je uvedeno v partii věnované řešení soustav rovnic na straně 5. 2 Funkce jedné proměnné 2.1 Definice funkce Chceme-li definovat například funkci f : y = x 2 4x, máme možnost využít těchto dvou příkazů: > f:=x->x^2-4*x; nebo f:=unapply(x^2-4*x,x); Základním příkazem pro zobrazení grafu funkce je příkaz plot(f(x),x);. Podobu grafu můžeme ovlivnit jeho doplněním o další parametry a volby. Například graf s definovaným rozsahem os zobrazíme příkazem > plot(f(x),x=-5..5,y=-4..4); Všechny volby (options), kterými můžeme modifikovat výsledek příkazu plot, zobrazíme zadáním?plot,options. U nespojitých funkcí například oceníme volbu discont=true. Porovnejte příkazy: > plot(tan(x),x=-2*pi..2*pi,y=-4..4); > plot(tan(x),x=-2*pi..2*pi,y=-4..4,discont=true); 2.2 Derivace funkce První, respektive n-tá derivace funkce (výrazu) f(x) se vypočítá zadáním příkazu > diff(f(x),x); resp. diff(f(x),x$n); Chceme-li s derivací dále pracovat jako s funkcí, je vhodné zadat ji pomocí operátoru D. První, respektive n-tá derivace jako funkce proměnné x se potom vyjádří příkazem 2
3 2.3 Neurčitý a určitý integrál 3 FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH > D(f)(x); resp. (D@@n)(f)(x); 2.3 Neurčitý a určitý integrál Neurčitý, resp. určitý (s mezemi 2, 4) integrál funkce (výrazu) f(x) vypočítáme příkazem > int(f(x),x); resp. int(f(x),x=2..4); Vyzkoušejte příkaz pro výpočet objemu tělesa vzniklého rotací grafu funkce f(x) kolem osy x na intervalu 0, 5 (zobrazení tohoto rotačního tělesa je popsáno ne straně 8): > Int(Pi*f(x)^2,x=0..5)=int(Pi*f(x)^2,x=0..5); 2.4 Limita funkce Výpočet limity ve vlastním a nevlastním bodě, stejně jako výpočet jednostranné limity funkce f(x) ilustrují následující příklady: > limit(f(x),x=4); limit(f(x),x=infinity); > limit(f(x),x=4,right); > limit(f(x),x=4,left); 3 Funkce více proměnných 3.1 Definice funkce Opět máme dvě možnosti, jak definovat funkci, např. g : z = x 2 sin y: > g:=(x,y)->x^2*sin(y); nebo g:=unapply(x^2*sin(y),x,y); Graf funkce zobrazíme příkazem: plot3d(g(x,y),x=-5..5,y=-5..5); Pro zobrazení plochy dané rovnicí F (x, y, z) = 0, například x 2 y z 2 =0, použijeme příkaz implicitplot3d z balíčku plots: > plots[implicitplot3d](x^2-y^2-z=0,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5); Zobrazená plocha není příliš hladká. Vyzkoušejte přidat do výše uvedeného příkazu implicitplot3d jako nepovinný parametr volbu grid=[30,30,30]. Více informací o možnostech ovlivnit podobu grafu získáme zadáním?plot3d,options. 3.2 Derivace funkce Parciální derivace funkce g(x, y) podlex, respektive podle y, se určí příkazem > diff(g(x,y),x); resp. diff(g(x,y),y); Při použití operátoru D, který umožňuje nakládat s derivací jako s funkcí proměnných x, y, pak vypočítáme uvedené parciální derivace takto: > D[1](g)(x,y); resp. D[2](g)(x,y); 5 g Smíšená parciální derivace se potom zadá příkazem x 2 y3 > diff(g(x,y),x$2,y$3); nebo > D[1$2,2$3](g)(x,y); 3
4 4 ŘEŠENÍ ROVNIC 4 Řešení rovnic 4.1 Symbolické řešení K symbolickému řešení rovnice, např. x 2 4x 5=0,použijemepříkaz > Res:=solve(x^2-4*x-5,x); resp. Res:=solve(x^2-4*x-5,{x}); Výsledek potom dostaneme ve tvaru Res:=5,-1, resp. Res:={x=5},{x=-1}. Na jednotlivé kořeny rovnice se odkazujeme pomocí indexů, které odpovídají jejich pořadí ve výpisu výsledku příkazu solve, tj.příkazy: Res[1]; a Res[2]; Příkaz solve řeší rovnici v oboru komplexních čísel. Pokud nás zajímají jenom reálné kořeny, můžeme použít alternativní příkaz RealDomain[solve] z balíčku RealDomain. Pro ilustraci porovnejte výstupy následujících příkazů: > solve(x^3+2*x+1,x); a > RealDomain[solve](x^3+2*x+1,x); 4.2 Grafické řešení Při grafickém řešení rovnice oceníme příkazy lhs(rov) a rhs(rov) pro uchopení levé a pravé strany rovnice rov. Například rovnici x x = bychom graficky řešili touto posloupností příkazů: > rov:=x^x=0.75^0.75; plot({lhs(rov),rhs(rov)},x=-2..2); 4.3 Zkouška Důležitou součástí řešení rovnice je ověření jeho správnosti dosazením, tj. zkouška. Pro postupné dosazení jednotlivých řešení do rovnice r můžeme použít příkaz subs nebo příkaz eval. Podmínkou použití příkazu eval, které ilustruje následující příklad, je uzavření neznámé x v příkazu solve do složených závorek: > r:=x^3-2*x+1=0; solve(r,{x}); eval(r,res[1]); eval(r,res[2]); 4.4 Rozklad mnohočlenu Někdy potřebujeme provést rozklad mnohočlenu na jedné (např. levé) straně rovnice. Použijeme-li příkaz factor(lhs(r)), záhy zjistíme, že má své limity (viz?factor). Lepší službu vykoná následující série příkazů: > polytools[split](lhs(r),x); > convert(%,radical); Symbol % představuje jméno (systémové) proměnné, v níž je uložen výsledek naposledy vykonaného (tj. potvrzeného klávesou Enter) příkazu. Podobně symbol %% odkazuje na výsledek předposledního vykonaného příkazu. 4.5 Numerické řešení K numerickému řešení rovnice je určen příkaz fsolve. Pokud má rovnice více nulových bodů, je možné v tomto příkazu specifikovat bod, v jehož okolí chceme řešení hledat. Například výše uvedenou rovnici x x = bychom, po jejím grafickém řešení, kompletně numericky vyřešili následující posloupností příkazů: > rov:=x^x=0.75^0.75; fsolve(rov,x=0); fsolve(rov,x=1); 4
5 5 SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 5 Řešení soustavy lineárních rovnic. Operace s maticemi a s vektory. 5.1 Soustavy lineárních rovnic Řešme následující (regulární) soustavu lineárních rovnic: x + y +2z =1, 3x y z = 4, 2x +3y z = 6 Přímé řešení provedeme příkazem > solve({x+y+2*z=1,3*x-y-z=-4,2*x+3*y-z=-6},{x,y,z}); Ověření řešitelnosti (Frobeniova podmínka). Rozšířenou matici Aroz, matici soustavy A i vektor pravých stran b vytvoříme následujícími příkazy: > Aroz:=linalg[genmatrix]({x+y+2*z=1,3*x-y-z=-4,2*x+3*y-z=-6}, [x,y,z],flag); > A:=linalg[genmatrix]({x+y+2*z=1,3*x-y-z=-4,2*x+3*y-z=-6}, [x,y,z],b); Poznámka: Opakem příkazu genmatrix je příkaz geneqns. Hodnost matice A zjistíme příkazem linalg[rank](a);, Gaussovu eliminaci provedeme příkazem linalg[gausselim](a);, Gauss-Jordanovu eliminaci pak realizujeme příkazem linalg[gaussjord](a);. Eliminaci můžeme provádět i krok za krokem, například užitím příkazu pivot. Lineární soustavu můžeme řešit i užitím speciálního příkazu linsolve z knihovny linalg. Na tomto místě je třeba uvést, že balíček příkazů linalg je již staršího data a jeho obsah není nijak aktualizován. V novějších verzích Maple je sice nadále trpěn (s přívlastkem deprecated ), avšak jeho funkci přebírá balíček moderněji naprogramovaných příkazů LinearAlgebra (viz?linearalgebra). Řešení regulární soustavy užitím inverzní matice. Řešení soustavy AX = b můžeme vyjádřit vztahem X = A 1 b,kdea 1 je inverzní matice k matici A. Inverzní matici kmaticia získáme zadáním příkazu inverse(a);. Součin matic A 1 a b můžeme provést jedním z následujících dvou příkazů: > evalm(inverse(a)&*b); nebo linalg[multiply](inverse(a),b); Cramerovo pravidlo. Matice A 1,A 2,A 3 vytvoříme například pomocí příkazů submatrix a augment knihovny linalg. Determinant matice A potom vypočítáme příkazem linalg[det](a); Poznámka: Pokud používáme více příkazů z nějaké knihovny, vyplatí se jí otevřít příkazem with, v našem případě with(linalg):. Potom bude výpočet, např. pro neznámou x 2, vypadat následovně. Nejprve vytvoříme matici A 2 příkazem > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); 5.2 Zadání matice Matici M typu (2, 3) zadáme jedním z příkazů: 5
6 5.3 Operace s vektory 6 3D GRAFY V MAPLE > M:=linalg[matrix](2,3,[1,2,3,4,5,6]); > M:=linalg[matrix]([[1,2,3],[4,5,6]]); 5.3 Operace s vektory Vektory, např. u =(1, 2, 3) a v =(0, 5, 4), zadáme příkazy u:=[1,-2,3]; a v:=[0,-5,4]; Skalární, respektive vektorový součin vektorů u, v provedeme následující aplikací příkazu dotprod, resp.crossprod: > linalg[dotprod](u,v, orthogonal ); > linalg[crossprod](u,v); Normu (eukleidovskou) vektoru u spočítáme příkazem linalg[norm](u,2);. Pozor na záměnu s výpočtem absolutní hodnoty výrazu x. Taseurčípříkazem abs(x);. Úhel vektorů u, v spočítáme následující posloupností příkazů. První z nich otevře balíček příkazů linalg, druhý uvede velikost úhlu α v radiánech a pomocí třetího příkazu potom tento údaj převedeme na velikost úhlu ve stupních: > with(linalg): > alpha:=arccos(dotprod(u,v)/(norm(u,2)*norm(v,2))); > evalf(convert(alpha,degrees)); 6 3DgrafyvMaple V této příloze se budeme nejprve podrobně věnovat možnostem znázornění trojrozměrných křivek a ploch pomocí prostředků rozhraní Classic worksheet programu Maple. V závěru přílohy potom zmíníme dvě konkrétní aplikace programu Maple, které dovolují uživatelsky nenáročným způsobem, bez znalosti jakéhokoliv příkazu, konstruovat grafické znázornění ploch a provádět analýzu ploch druhého stupně. Jedná se o takzvané maplety. První z těchto mapletů, Interactive Plot Builder, je asistentem pro kreslení 3D grafů dodávaným spolu s programem. Takovýchto asistentů má uživatel programu Maple k dispozici více, pouze však v prostředí Standard worksheet (pro více informací stačí zadat?assistants ). Druhý z představených mapletů je příkladem uživatelsky naprogramované aplikace. Byl vytvořen v roce 2008 studentem Padagogické fakulty JU Markem Dvorožňákem. Pojetí této aplikace přesně odpovídá jejímu účelu, kterým je provedení kompletní analýzy zadané křivky spolu s jejím grafickým znázorněním. 6.1 Křivka Křivka zvaná šroubovice je dána parametrickými rovnicemi x = r cos ω, y = r sin ω, z = v 0 ω, kde r je poloměr příslušného otáčení, ω je úhel tohoto otáčení a v 0 je parametr šroubového pohybu, tzv. redukovaná výška závitu (posunutí podél osy rotace příslušné otočení o jeden radián). Zadáme parametrické rovnice, zvolíme si hodnoty r a v 0 a odpovídající šroubovici zobrazíme. > H:=omega->[r*cos(omega),r*sin(omega),v0*omega]; > r:=5: v0:=0.1: Pro grafické znázornění křivky H(omega) můžeme použít buď příkaz spacecurve z balíčku plots, nebopříkazplot3d. Zde jsou obě možnosti: 6
7 6.2 Plocha 6 3D GRAFY V MAPLE > plots[spacecurve](h(t),t=0..4*pi,axes=frame); > plot3d(h(t),t=0..4*pi,s=0..1,numpoints=10000); V druhém případě používáme kvůli dané syntaxi příkazu plot3d (očekává dva parametry) klamný parametr s, který s křivkou nijak nesouvisí. Výslednou podobu grafů můžeme opět ovlivnit prostřednictvím nepovinných parametrů, tzv. voleb (options). 6.2 Plocha Následují příklady různých způsobů zobrazení plochy v závislosti na jejím zadání. Použité příkazy jsou ve většině případů uvedeny v základním tvaru. Tomu může odpovídat kvalita výsledných grafů. Jejich podobu lze dále ovlivnit, a tím i vylepšit, řadou volitelných parametrů, jejichž kompletní přehled získáme zadáním?plot3d,options. Za vyzkoušení určitě stojí například volby grid, numpoints, style, caption a lightmodel Plocha daná rovnicí ve tvaru z = f(x, y) Plocha zvaná Plückerův konoid je dána rovnicí z = x2 y 2. K jejímu zobrazení můžeme x 2 + y2 použít buď příkaz plot3d: > z:=(x,y)->(x^2-y^2)/(x^2+y^2); > plot3d(z(x,y),x= ,y= ); nebo příkaz implicitplot3d z balíčku plots: > plots[implicitplot3d](z=(x^2-y^2)/(x^2+y^2),x=-2..2,y=-2..2, z=-2..2, grid=[40,40,10]); Plocha daná rovnicí ve tvaru F (x, y, z) =0 Trojosý elipsoid, daný rovnicí x 2 +2y 2 +5z 2 1 = 0, zobrazíme například pomocí příkazů > Kv:=x^2+2*y^2+5*z^2-1=0; > plots[implicitplot3d](kv,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1); Jak bylo řečeno v úvodu, můžeme příkazy pro kreslení grafu doplnit různými nepovinnými parametry ovlivňujícími kvalitu obrázku. Vyzkoušejte: > plots[implicitplot3d](kv,x=-1..1,y=-1..1,z=-1..1, grid=[20,20,20],style=patchcontour,color=red,lightmodel=light1, scaling=constrained); Plocha daná parametricky K zobrazení parametrického vyjádření plochy použijeme příkaz plot3d. Například kulovou plochu o středu S =[1, 2, 3] a poloměru r = 2 zobrazíme užitím parametrického grafu takto: > S:=[1,2,3]; r:=2; > plot3d([s[1]+r*cos(u)*cos(t),s[2]+r*cos(u)*sin(t),s[3]+r*sin(u)], t=0..2*pi,u=-pi/2..pi/2,axes=frame); 7
8 6.3 Rotační plochy - parametrický graf 6 3D GRAFY V MAPLE Plocha daná rozměry a souřadnicemi středu/vrcholu Balíček plottools obsahuje příkazy pro zobrazení různých rovinných křivek (mimo jiné elipsy a hyperboly) a trojrozměrných těles (např. koule, válec, rovnoběžnostěn, osmistěn apod.). Nás z nich na tomto místě mohou zajímat kužel, válec a koule, jejichž povrchy jsou částmi příslušných kvadratických ploch. Kulovou plochu o středu S =[1, 2, 3] a poloměru r = 2 tak můžeme zobrazit pomocí příkazu sphere ze zmíněného balíčku plottools takto: > Koule:=plottools[sphere]([1,2,3],2): > plots[display](koule,color=green,lightmodel=light2,axes=frame); Příkazy z balíčku plottools negenerují obrázky, ale pouze data potřebná pro jejich vykreslení, které potom musíme provést příkazem plots[display]. Podobně jako kulovou plochu bychom zobrazili také válec a kužel. Použili bychom příkazy plottools[cylinder] a plottools[cone]. Pro více informací viz?plottools. 6.3 Rotační plochy - parametrický graf Na straně 3 jsme počítali objem tělesa, které vznikne rotací grafu funkce f(x) =x 2 4x kolem osy x na intervalu 0, 5. Toto těleso lze snadno zobrazit (viz obrázek 1) pomocí parametrického grafu takto: > f:=x->x^2-4*x; > P:=[x,f(x)*cos(u),f(x)*sin(u)]; > plot3d(p,x=0..5,u=-pi..pi,scaling=constrained); Obrázek 1: Rotační plocha 6.4 Průnik ploch Průniková křivka kulové plochy s válcovou plochou, které jsou dány rovnicemi x 2 +y 2 +z 2 = 4r, (x r) 2 +y 2 = r 2, se nazývá Vivianiho křivka nebo též Vivianiho okno (viz obrázek 2). Nejprve zobrazíme příslušnou kulovou a válcovou plochu pro konkrétní hodnotu r. Průnikovou křivku těchto dvou ploch potom vyjádříme parametricky a zobrazíme ve stejném obrázku. Výsledek by měl zhruba odpovídat obrázku 2. Definujeme obě plochy a zvolíme hodnotu r =5: > Sph:=x^2+y^2+z^2=4*r^2; Cyl:=(x-r)^2+y^2=r^2; > r:=5: 8
9 6.4 Průnik ploch 6 3D GRAFY V MAPLE Výstupy příkazů implicitplot nezobrazíme (proto je ukončíme dvojtečkou), ale uložíme do proměnných SphG, CylG: > SphG:=plots[implicitplot3d](Sph,x= ,y= ,z= , color=grey): > CylG:=plots[implicitplot3d](Cyl,x= ,y= ,z= , color=pink): K jejich zobrazení do jedné soustavy souřadnic pak použijeme příkaz display z balíčku plots: > plots[display](sphg,cylg); Průnikovou křivku získáme řešením soustavy rovnic daných ploch. Pro získání kompletního řešení použijeme příkaz allvalues: > Sol:=allvalues(solve({Cyl,Sph},{x,y})); Abychom převedli obě řešení do tvaru uspořádaných trojic, použijeme příkaz eval následujícím způsobem: > VW1:=eval([x,y,z],Sol[1]); VW2:=eval([x,y,z],Sol[2]); K zobrazení použijeme příkaz spacecurve z balíčku plots. Opět výstup uložíme do proměnné a ukončíme dvojtečkou: > VWG:=plots[spacecurve]({VW1,VW2 },z= , color=red, thickness=3, numpoints=1000): Všechny tři objekty (dvě plochy a průnikovou křivku) zobrazíme do jedné soustavy souřadnic: > plots[display3d](sphg,cylg,vwg): Obrázek 2: Vivianiho okno Poznámka: Chceme-li dostat úplně stejný obrázek, jako je Obr.2, musíme příslušné plochy zadat parametricky: > SphG2:=plot3d([2*r*cos(t)*cos(u),2*r*cos(t)*sin(u),2*r*sin(t)], t=-pi..pi, u=0..2*pi, scaling=constrained): > CylG2:=plot3d([r*cos(u)+r,r*sin(u),t], t=-3*r..3*r, u=-pi..pi, scaling=constrained): > plots[display3d](sphg2,cylg2,vwg): 9
Užití Maple při řešení kvadrik
Kapitola 3 Užití Maple při řešení kvadrik 3.1 Základy práce s programem Maple Počítačový algebraický systém Maple TM je produktem kanadské společnosti Maplesoft, Waterloo Maple Inc. Jedná se o špičkový
Více3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK
106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme
Více3.4 Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple
3.4. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD 115 1 1 1 1 3 1 Obrázek 3.8: Část výsledné kuželové plochy 3.4 Řešení Příkladu 1 (str.55) v programu Maple Zadání: Vyšetřete kvadriku [], [5] 7x +6y +5z 4xy 4yz x +4y +z +3=. (3.1)
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
VíceSoustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda.
Úvod Soustavy nelineárních rovnic pomocí systému Maple. Newtonova metoda. Mnoho technických problémů vede na řešení matematických úloh, které se následně převedou na úlohy řešení soustav nelineárních rovnic
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceEkonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista
Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
VíceCo je obsahem numerických metod?
Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMatematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:
Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VíceMaturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008
Maturitní okruhy z matematiky - školní rok 2007/2008 1. Některé základní poznatky z elementární matematiky: Číselné obory, dělitelnost přirozených čísel, prvočísla a čísla složená, největší společný dělitel,
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VícePŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE
PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se
VíceMaturitní témata profilová část
Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,
Více1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
VícePožadavky ke zkoušce. Ukázková písemka
Požadavky ke zkoušce Zkouška z předmětu MATEMATIKA 1 má dvě části Písemná část: Písemná část se ještě dále rozděluje na praktickou část písemku a teoretickou část test. Písemka trvá 90 minut a je v ní
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna
Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
Více7 Analytické vyjádření shodnosti
7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +
VíceVIDEOSBÍRKA DERIVACE
VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceNezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.
Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory
VíceSystematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceOtázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
VíceMatematika I. dvouletý volitelný předmět
Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Matematika I O7A, C3A, O8A, C4A dvouletý volitelný předmět Cíle předmětu Tento předmět je koncipován s cílem usnadnit absolventům gymnázia přechod na vysoké školy
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
Vícevýsledek 2209 y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3.
Vypočtěte y (5) (x) y (4) (x) y (3) (x) 7y (x) 20y (x) 12y(x) (horní indexy značí derivaci) pro 1. y(x) = sin2x 2. y(x) = cos2x 3. y(x) = x sin2x 4. y(x) = x cos2x 5. y(x) = e x 1 6. y(x) = xe x 7. y(x)
Více= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
VíceSubstituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1
Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.
VícePřipomenutí co je to soustava lineárních rovnic
Připomenutí co je to soustava lineárních rovnic Příklad 2x 3y + z = 5 3x + 5y + 2z = 4 x + 2y z = 1 Soustava lineárních rovnic obecně Maticový tvar: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a
VíceMatematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry. TU v Liberci
Matematika 2 (Fakulta ekonomická) Cvičení z lineární algebry TU v Liberci Jiří Hozman 1. dubna 2010 Cvičení 2 Příklad 1. Rozhodněte, zda lze vektor x vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů u, v, w, v
Vícey ds, z T = 1 z ds, kde S = S
Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných
VíceDERIVACE. ln 7. Urči, kdy funkce roste a klesá a dále kdy je konkávní a
DERIVACE 1. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ) 4. Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2 x
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceNumerické metody a programování
Projekt: Inovace výuky optiky se zaměřením na získání experimentálních dovedností Registrační číslo: CZ.1.7/2.2./28.157 Numerické metody a programování Lekce 4 Tento projekt je spolufinancován Evropským
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceVZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
VíceVšechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat
Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2
6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje
VícePŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU
PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení
Více13. cvičení z Matematické analýzy 2
. cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VíceII. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.
Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceCAD_Inventor -cvičení k modelování a tvorbě technické obrazové dokumentace Spirála
Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: CAD druhý, třetí Petr Machanec 25.5.2013 Název zpracovaného celku: CAD_Inventor -cvičení k modelování a tvorbě technické obrazové dokumentace Spirála Spirála vrták s válcovou
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VíceLingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
VícePŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2
PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceM - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA
M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
Více