y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "y ds, z T = 1 z ds, kde S = S"

Transkript

1 Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných integrálů prvního druhu x T = x d, y T = y d, z T = z d, kde = d je obsah plochy. Abychom našli příslušné plošné integrály, nejprve napíšeme parametrické rovnice dané plochy. Jestliže za parametry zvolíme souřadnice x a y, lze psát kde množina je dána nerovnostmi x = x, y = y, z = x y, x, y R, x >, y >, x y >. Ještě musíme v této parametrizaci najít element plochy d. Postupně dostaneme t x =,,, t y =,,, n = t x t y =,,, n = 3. Tedy pro souřadnice těžiště platí x T = x 3 dx dy, y T = y 3 dx dy, z T = x y 3 dx dy, kde = 3 dx dy. Ještě musíme najít dvojné integrály přes množinu. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu ve tvaru plyne z Fubiniovy věty = < y < x, x > = < x, x > = < x <, 3 dx dy = 3 3x dx dy = 3 dx 3y dx dy = 3 dx 3 x y dx dy = 3 dx A tedy souřadnice těžiště dané plochy jsou x dx x x x dy = 3 3 x dx =, x dy = 3 3 x x dx = 6, 3 3 y dy = x dx = 6, 3 x y dy = x dx = x T = y T = z T = počtěte d, kde je hranice čtyřstěnu ohraničeného rovinou x y z = a x y souřadnicovými rovinami. Typeset by AM-TEX

2 Řešení: Plocha je sjednocení čtyř rovin,, 3, 4, kde : x =, y >, z >, y z <, : y =, x >, z >, x z <, 3 : z =, x >, y >, x y <, 4 : z = x y, x >, z >, x y <, a hran čtyřstěnu. Protože hrany čtyřstěnu mají míru nula, lze daný integrál můžeme tedy počítat jako d x y = d x y Parametrizace jednotlivých ploch jsou d x y 3 d x y 4 : x =, y, z = { y >, z >, y z < } ; d = dy dz, : y =, x, z = { x >, z >, x z < } ; d = dx dz, 3 : z =, x, y 3 = { x >, y >, x y < } ; d = dx dy, 4 : z = x y, x, y 4 = { x >, y >, x y < } ; d = 3 dx dy, kde jsme element plochy d s parametrickými rovnicemi z = zx, y počítali podle vztahu d = z z dx dy, y d x y. resp. z analogických vztahů pro plochy dané rovnicí x = xy, z nebo y = yx, z. Z toho dostaneme d x y = dy dz y dx dz x 3 dx dy x y 4 3 dx dy x y. Dvojné integrály snadno nalezneme podle Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru x >, y >, x y < = < y < x, < x <. Když ještě sloučíme první a druhý a třetí a čtvrtý integrál, dostaneme d x y = = z dz z dy y 3 x dy dx x y = dz 3 x dx = 3 3 ln 4. = ln 3 ln = Určete obsah plochy = { x, y, z R 3 ; x y = z ; < z < }. Řešení: Protože je plocha dána rovnicí z = x y, < z = lze počítat element plochy ze vztahu d = z x y < = < x y < 4, z dx dy = x y y dx dy

3 a výpočet plochy převést na dvojný integrál = d = x y dx dy, kde R je dána nerovností x y < 4. Protože je kruh se středem v počátku a poloměrem, je při výpočtu dvojného integrálu použít polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Z rovnice, která definuje množinu plyne x y < 4 = < r <, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme = dr r r dϕ = π r [ r dr = π r ] 3/ = 3 π Určete obsah plochy = { x, y, z R 3 ; x y z = R, x y < Rx, z > }. Řešení: Jestliže se rozhodneme počítat obsah plochy plošným integrálem prvního druhu, musíme najít nějaké její parametrické rovnice. Protože je z >, lze z rovnice, která definuje plochu vypočítat z = zx, y a za parametry zvolit x a y. Pak je z = R x y, x, y = { x y < Rx, x y R }. Při této volbě parametrických rovnic je Obsah plochy tedy je d = z = kde množina R je dána nerovnostmi z dx dy = y d = R dx dy R x y, R dx dy R x y. x y < Rx, x y R. Abychom našli dvojný integrál přes množinu, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V těchto souřadnicích dostaneme z rovnic x y < Rx, x y R = < r < R cos ϕ, cos ϕ > = π ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto platí = π/ R cos ϕ dϕ Rr dr π/ [ R R r = ] R cos ϕ R r = π/ = R sin ϕ dϕ = π R. 3 π/ R sin ϕ dϕ =

4 Vypočtěte plošný integrál x y d, kde je hranice tělesa x y z. Řešení: Plocha je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení =, kde : x y = z, z < ; : z =, x y. Proto platí x y d = x y d x y d. Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = zx, y s parametry a a y: : z = x y, x, y = { x y < } ; d = dx dy, : z =, x, y = { x y < } ; d = dx dy, kde jsme element plochy d počítali ze vztahu d = z z dx dy. y Protože = a výraz x y je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál x y d = x y dx dy x y dx dy = x y dx dy. Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v polárních souřadnicích je množina dána nerovností < r <, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty počtěte x y d = dr r 3 dϕ = π. xy d, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }. Řešení: Protože máme plochu vyjádřenou jako graf funkce z = zx, y, vezmeme za parametry proměnné x a y a za parametrickou rovnici plochy budeme považovat funkci z = x y, < x y < ; d = z Takto můžeme daný plošný integrál vyjádřit jako dvojný integrál xy d = xy 4x 4y dx dy, 4 z dx dy = 4x y 4y dx dy

5 kde R je dána nerovností x y <. Ve dvojném integrálu se nabízí zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar r <, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty xy d = dr [ = 4 sin ϕ ] π/ r 3 cos ϕ sin ϕ 4r dϕ = kde jsme při integraci použili substituci 4r = t. t t dt = 49 3, možná cos ϕ sin ϕ dϕ r 3 4r dr = počtěte moment setrvačnosti J z = x y d plochy vzhledem k ose z, je-li plocha hranicí tělesa V = { x, y, z R 3 ; x y < z, < z < }. Řešení: Plocha je až na množinu nulové dvourozměrné míry rovna sjednocení =, kde Proto platí : x y = z, < z < ; : z =, x y. J z = x y d = x y d x y d. Obě plochy můžeme parametrizovat jako graf funkce z = zx, y s parametry a a y: : z = x y, x, y = { x y < } ; d = dx dy, : z =, x, y = { x y < } ; d = dx dy, kde jsme element plochy d počítali ze vztahu d = z z dx dy. y Protože = a výraz x y je na obou plochách stejný, převedli jsme daný plošný integrál na dvojný integrál J z = x y dx dy x y dx dy = x y dx dy. Tento dvojný integrál snadno nalezneme v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v polárních souřadnicích je množina dána nerovností < r <, dostaneme podle věty o substituci a Fubiniovy věty J z = dr r 3 dϕ = π. Určete d x y, kde = { x, y, z R 3 ; x y z =, x >, y >, z > }. 5

6 Řešení: Protože je plocha parametrizována jako graf graf funkce z = x y, kde x >, y > a z = x y >, zvolíme za parametry proměnné x a y a d = z Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál kde R je definována nerovnostmi Když zapíšeme tyto nerovnosti ve tvaru z dx dy = 3 dx dy. d 3 dx dy x y = x y, x >, y > a x y <. < y < x, x > = < x, x > = < x < a použijeme k výpočtu dvojného integrálu Fubiniovu větu, dostaneme Určete d x 3 dy x y = dx x y = 3 x 3 dx = ln 4. x y d, kde je část šroubové plochy dané parametricky rovnicemi: x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = ϕ; < ρ <, < ϕ < π. Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, z = ϕ, ρ, ϕ = { < ρ <, < ϕ < π }, musíme najít element plochy d. Ten dostaneme takto: t ρ = cos ϕ, sin ϕ,, t ϕ = ρ sin ϕ, ρ cos ϕ, = n = t ρ t ϕ = sin ϕ, cos ϕ, ρ = = d = n dρdϕ = ρ dρdϕ. A protože ne ploše je x y = ρ, je plošný integrál roven dvojnému integrálu x y d = = π ρ ρ dρdϕ = dρ ρ ρ dϕ = ρ [ ρ dρ = π 3 ρ ] 3/ = π. 3 Určete xy yz xz d, kde je část kuželové plochy z = x y, která leží uvnitř válce x y < x. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, kde x, y, = { x, y R ; x y < x }, 6

7 najdeme element plochy d jako d = z Pak lze plošný integrál najít jako dvojný integrál z dx dy = dx dy. xy xz yz d = xy x y x y dx dy. Dvojný integrál přes množinu lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože nerovnosti, které definují množinu jsou v souřadnicích r a ϕ x y < x = < r < cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, je podle věty o substituci a Fubiniovy věty xy xz yz d = = 4 π/ π/ dϕ cos ϕ r cos ϕ sin ϕ r cos ϕ sin ϕ r dr = cos 5 ϕ sin ϕ cos 4 ϕ sin ϕ cos 5 ϕ = 4 [ 6 cos6 ϕ 5 cos5 ϕ ] π/ π/ dϕ = = Určete x y z d, kde = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > }. Řešení: Protože je podle zadání z >, lze plochu vyjádřit jako graf funkce Pak je element plochy z = R x y, x, y = { x, y R ; x y < R }. d = z z dx dy = a daný plošný integrál lze počítat jako dvojný integrál R dx dy R x y x y z d = x y R x y R dx dy R x y. Abychom našli dvojný integrál přes kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, 7

8 je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x y z d = R Vypočtěte plošný integrál dr u sin v, z = v; < u < a, < v < π. r cos ϕ r sin ϕ R r Rr dϕ R R r = πr r dr = πr 3. x d, kde je dána parametrickými rovnicemi x = u cos v, y = Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi { x = u cos v, y = u sin v, z = v, u, v = u, v R ; < u < a, < v < π}, najdeme nejprve element plochy d takto: t u = cos v, sin v,, t v = u sin v, u cos v, = n = t u t v = sin v, cos v, u = = d = n dudv = u dudv. Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako x d = u cos v u dudv a podle Fubiniovy věty platí x d = a du u cos v u dv = [ 3 u ] 3/ a a 3/ =. 3 Vypočtěte plošný integrál z d, kde je část kuželové plochy x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α; < r < a, < ϕ < π, kde α, π je konstantní. Řešení: Protože je plocha dána parametrickými rovnicemi najdeme nejprve element plochy d takto: x = r cos ϕ sin α, y = r sin ϕ sin α, z = r cos α, r, ϕ = { r, ϕ R ; < r < a, < ϕ < π }, t r =cos ϕ sin α, sin ϕ sin α, cos α, t ϕ = r sin ϕ sin α, r cos ϕ sin α, = = n = r cos ϕ cos α sin α, r sin ϕ cos α sin α, r cos α sin α = = d = n drdϕ = r cos α sin α drdϕ. Při této parametrizaci lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu jako z d = r cos α r cos α sin α drdϕ a podle Fubiniovy věty platí z d = cos 3 α sin α a dr 8 r 3 dϕ = πa4 cos 3 α sin α.

9 Najděte obsah části plochy az = xy, která leží uvnitř válce x y = a. Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy ve tvaru z = xy a, x y < a. lze plochu chápat jako graf funkce z = zx, y. Proto je element plochy d roven d = z Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál = d = z dx dy = x y a x a dx dx = y dx dy. a a x y dx dy = a a a x y dx dy, kde je kruh x y < a. Abychom našli integrál pře kruh je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty < r < a a < ϕ < π, = a a dr a r r ddϕ = π a a r a r dr = π a [ 3 a r ] 3/ a = 3 πa. Najděte obsah části plochy z = x y, která leží uvnitř válce x y = x. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, kde x, y, najdeme element plochy d jako d = = { x, y R ; x y < x }, z Pak lze obsah plochy najít jako dvojný integrál = d = z dx dy = dx dy. dx dy. Dvojný integrál přes množinu lze najít třeba pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože nerovnosti, které definují množinu jsou v souřadnicích r a ϕ x y < x = < r < cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, 9

10 je podle věty o substituci a Fubiniovy věty = dϕ π/ cos ϕ r dr = cos ϕ dϕ = π. π/ Najděte obsah části plochy x y = az, která leží uvnitř válce x y = a x y, x. Řešení: Jestliže napíšeme rovnici plochy ve tvaru z = x y a, x, y = { x, y R ; x y < a x y, x }, lze plochu chápat jako graf funkce z = zx, y. Proto je element plochy d roven d = z Tedy dané plochy lze najít jako dvojný Riemannův integrál = d = z dx dy = x y a x a dx dx = y dx dy. a a x y dx dy = a a a x y dx dy. Abychom našli integrál pře množinu je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Množina je v těchto souřadnicích definována nerovnostmi r < a cos ϕ sin ϕ, cos ϕ = < r < a cos ϕ, cos ϕ, π ϕ π = = < r < a cos ϕ, 4 π ϕ 4 π. Proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty = a π/4 π/4 dϕ a cos ϕ a r r dr = a Když v posledním integrálu použijeme rovnost dostaneme = a 3 π/4 π/4 = a 3 π/4 [ π/4 π/4 π/4 3 a r ] 3/ a cos ϕ dϕ = cos ϕ 3/ dϕ. cos ϕ = cos ϕ sin ϕ cos ϕ sin ϕ = cos ϕ, [ cos 3 ϕ dϕ = a sin ϕ 3 3 sin3 ϕ ] π/4 ϕ = a 3π. π/4 8 Najděte obsah části kulové plochy s poloměrem R omezené dvěma poledníky ϕ, ϕ rovnoběžkami θ, θ. a dvěma

11 Řešení: Počátek souřadnic umístíme do středu kulové plochy. Pak jsou její parametrické rovnice x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Najdeme element obsahu plochy d: t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθdϕ = R cos θ dθdϕ. Protože je dána množina, kterou probíhají parametry ϕ a θ vztahy je obsah dané části kulové plochy = d = ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, θ θ θ, θ dϕ R cos θ dθ = R ϕ ϕ sin θ sin θ. θ Najděte obsah anuloidu x = b a cos ψ cos ϕ, y = b a cos ψ sin ϕ, z = a sin ψ, ϕ π, ψ π, kde < a b. Řešení: Protože je anuloid dán parametrickými rovnicemi, určíme element plošného obsahu d: t ϕ = b a cos ψ sin ϕ, b a cos ψ cos ϕ,, t ψ = a sin ψ cos ϕ, a sin ψ sin ϕ, a cos ψ = = n = t ϕ t ψ = ab a cos ψ cos ψ cos ϕ, ab a cos ψ cos ψ sin ϕ, ab a cos ψ sin ψ = = d = n dϕ dψ = ab a cos ψ dϕ dψ. Protože parametry ϕ a ψ probíhají oba interval, π, je obsah anuloidu roven = d = dϕ ab a cos ψ dψ = 4π ab. Najděte hmotnost poloviny kulové plochy x y z M = [x; y; z] rovna ρx, y, z = z a. = a, z >, je-li její hustota v bodě Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu z M = ρx, y, z d = a d, protože v našem případě je ρ = z. Plocha je polovina kulové plochy a z = a x y, x, y = { x, y R ; x y < a }. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, lze najít element plošného obsahu jako d = z z dx dy = x y a y a x dx dy = y dx dy a x y.

12 Tedy hmotnost plochy je a x M = y a dx dy a a x y = protože množina je kruh s poloměrem a. dx dy = πa, Najděte statický moment xy = z d homogenní trojúhelníkové desky x y z = a, x, y, z. Řešení: Jestliže zvolíme za parametry x a y, pak lze plochu snadno parametrizovat jako graf funkce x = a y z, y, z, a y z. Pak je element plošného obsahu d roven d = y a plošný integrál lze zapsat jako dvojný integrál xy = z d = kde je množina R dána nerovnostmi dy dz = 3 dy dz z z 3 dy dz, z a y, y a. Jestliže při výpočtu dvojného integrálu použijeme Fubiniovu větu, dostaneme xy = a a y 3 a 3 3 dy z dz = a y dy = [ 3 a y3] a = 3 6 a3. Určete souřadnice těžiště homogenní plochy { = x, y, z R 3 ; Rz = h } x y, < z < h. Řešení: ouřadnice x T, y T a z T těžiště homogenní plochy lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů x T = x d, y T = y d, z T = z d, kde = d je velikost plochy. Protože je těleso symetrické vzhledem k rovinám yz a xz, tj. nezmění je při zaměně [x; y; z] [ x; y; z] a [x; y; z] [x; y; z] jsou jeho souřadnice x T = y T =. Obsah plochy a souřadnici těžiště z T najdeme pomocí integrálů. Protože je plocha dána jako graf funkce z = h R x y, < z < h = < x y < R, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu z z d = dx dy = h R h dx dy = dx dy. y R R

13 Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály = d = R h dx dy, R z d = h R h R x y dx dy, kde je kruh x y < R. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je v těchto souřadnicích dán kruh nerovnostmi dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty = d = < r < R a < ϕ < π, R h R z d = h R h R Tedy souřadnice těžiště daného tělesa jsou R dr R dr r dϕ = πr R h, r dϕ = 3 πrh R h. x T = y T =, z T = 3 h. Najděte souřadnici z T těžiště části homogenní plochy z = x y, která leží uvnitř plochy x y = ax. Řešení: ouřadnici z T těžiště homogenní plochy lze najít pomocí plošných integrálů prvního druhu ze vztahů z T = z d, kde = d je velikost plochy. Protože je plocha dána jako graf funkce z = x y, x y < ax, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu d = z z dx dy = dx dy. y Pak můžeme převést plošné integrály prvního druhu na dvojné integrály = d = dx dy, z d = x y dx dy, kde je množina x y < ax. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. Protože je v těchto souřadnicích množina dána nerovnostmi < r < a cos ϕ = cos ϕ > = π < ϕ < π, 3

14 dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty = dϕ π/ dϕ π/ a cos ϕ a cos ϕ r dr = r dr = 3 π/ π/ Tedy hledaná souřadnice těžiště je z T = 6 9π a. a cos ϕ dϕ = 4 πa, a 3 cos 3 ϕ dϕ = 3 a3[ sin ϕ 3 sin3 ϕ Určete moment setrvačnosti J z = x y d kulové plochy x y z = R. Řešení: Parametrické rovnice dané kulové plochy jsou = 4 π/ 9 a3. x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Najdeme element obsahu plochy d: t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθ dϕ = R cos θ dθ dϕ. Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme J z = x y d = ] π/ dϕ R cos θ R cos θ dθ = πr 4[ ] π/ sin θ 3 sin3 θ = 8 π/ π/ 3 πr4. Určete moment setrvačnosti J z = x y d plochy = { x, y, z R 3 ; Rz = h } x y, < z < h. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = h R x y, < z < h = < x y < R, najdeme element plošného obsahu d pomocí vztahu d = z z dx dy = y h dx dy = R Pak můžeme převést plošný integrál prvního druhu na dvojný integrál J z = x y d = R h x y dx dy, R R h dx dy. R kde je kruh x y < R. Abychom našli integrály pře kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. 4

15 Protože je v těchto souřadnicích dán kruh nerovnostmi dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete J z = R h R < r < R a < ϕ < π, R dr r 3 dϕ = π R3 R h. d x y z, kde = { x, y, z R 3 ; x y = R, < z < h }. Řešení: Abychom našli daný plošný integrál prvního druhu, budeme nejprve parametrizovat plochu. Rovnice x y = R má parametrické řešení x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, kde ϕ π. Proto jsou parametrické rovnice plochy například x = R cos ϕ, y = R sin ϕ, z = z, kde ϕ π, < z < h. Pro tuto parametrizaci musíme ještě najít element plošného obsahu d. Pro ten dostaneme t ϕ = R sin ϕ, R cos ϕ,, t z =,, = = n = t ϕ t z = R cos ϕ, R sin ϕ, = d = n dϕ dz = R dϕ dz. Protože ϕ π a < z < h je daný plošný integrál roven d x y z = h [ R dz dϕ R z = π arctg z ] h = π arctg h R R. tanovte hmotnost kulové plochy o poloměru R a středu v počátku, je-li hustota rozložení hmoty rovna ρx, y, z = x y. Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu M = ρx, y, z d = x y d, protože v našem případě je ρ = x y. Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy. Protože se jedné o kulovou plochu se středem v počátku a poloměrem R, můžeme zvolit parametrické rovnice jako x = R cos θ cos ϕ, y = R cos θ sin ϕ, z = R sin θ, < ϕ < π, π < θ < π. Element obsahu plochy d je při této parametrizaci t ϕ = R cos θ sin ϕ, R cos θ cos ϕ,, t θ = R sin θ cos ϕ, R sin θ sin ϕ, R cos θ = = n = t ϕ t θ = R cos θ cos ϕ, R cos θ sin ϕ, R cos θ sin θ = = d = n dθ dϕ = R cos θ dθ dϕ. Plošný integrál pak lze vyjádřit přes dvojný integrál a dostaneme M = x y d = dϕ R cos θ R cos θ dθ = πr 3 cos θ dθ = π R 3. π/ π/ 5

16 Určete x y z d, kde je hranice krychle,,,. Řešení: Povrch krychle je až na množinu dvojrozměrné míry nula roven disjunktnímu sjednocení jejich šesti stěn, tj. = , kde : x =, y, z,, =, : y =, x, z,, =, 3 : z =, x, y,, =, 4 : x =, y, z,, =, 5 : y =, x, z,, =, 6 : z =, x, y,, =, Tedy hledaný integrál je Určete x y z d = 6 x y z d = 3 k k= z d, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }. Řešení: Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, kde x y z d = y z dy dz x y z d = x z dx dz x y z d = x y dx dy 3 x y z d = y z dy dz 4 x y z d = x z dx dz 5 x y z d = x y dx dy 6 z = x y, < z < = < x y <, x y dx dy 3 x y dx dy = 9. je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. V takovém případě je element obsahu plochy d dán vztahem z z d = dx dy = 4x y 4y dx dy Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál z d = x y 4x 4y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli dvojný integrál přes kruh zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar < r <, < ϕ < π, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty z d = dϕ r 3 4r dr = π 6 5 t t dt = π 6 6 [ 5 t5/ 3 t3/] 5 = π 5 5, 6

17 kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = 4r. Najděte hmotnost části paraboloidu z = x y, z, jestliže je jeho hustota ρx, y, z = z. Řešení: Hmotnost M plochy, která má hustotu ρx, y, z je dána plošným integrálem prvního druhu M = ρx, y, z d = z d. Abychom našli tento plošný integrál, musíme nejprve najít parametrické rovnice plochy. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, kde z = x y, z = x y, je přirozené vybrat jako její parametry proměnné x a y. plochy d dán vztahem d = z V takovém případě je element obsahu z dx dy = x y y dx dy Při této parametrizaci je daný plošný integrál prvního druhu definován jako dvojný integrál M = x y x y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli dvojný integrál přes kruh zvolíme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Nerovnost, která definuje plochu, má v polárních souřadnicích tvar < r <, < ϕ < π, a proto je podle věty o substituci a Fubiniovy věty M = dϕ r r dr = π 3 t t dt = π kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = r. Určete F d, kde F = x, y, z a [ 5 t5/ 3 t3/] 3 = π 6 3, 5 = { x, y, z R 3 ; h x y = R z h, < z < h }. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Proto nejprve parametrizujeme plochu. Protože je z < h, plyne z rovnice, která definuje plochu z = h h R x y, < z < = < x y < R. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y je rozumné zvolit za parametry plochy proměnné x a y a psát parametrické rovnice plochy ve tvaru x = x, y = y, z = h h R x y, < x y < R. 7

18 V této parametrizaci spočítáme vektor normály k ploše. hx t x =,, R hy, t y =,, x y R = x y hx = n = t x t y = R x y, hy R x y, a skalární součin F n = Tedy hledaný plošný integrál je hx R x y hy R x y h h x y R = h. F d = h dx dy, kde je kruh x y < R. A protože jeho obsah je πr, je F d = πr h. Určete xz dx dy, kde je část roviny x y z =, která leží v prvním oktantu, x >, y > z >, orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, xz a plocha m8 rovnice z = x y, x >, y >, z = x y >. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y je rozumné ji parametrizovat pomocí proměnných x a y, tj. položit x = x, y = y, z = x y, x >, y > x y <. Při této parametrizaci najdeme vektor normály. Postupně dostaneme t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Normála první složku kladnou, tj.,,,, = >, a tedy orientuje plochu souhlasně se zadanou orientací. A protože n F = xz = x x y, je xz dx dy = kde množina R je dána nerovnostmi Tedy podle Fubiniovy věty je xz dx dy = dx x x y dx dy, < y < x, < x <. x x x y dy = x x dx = 4. 8

19 Určete y dy dz z dz dx, kde = { x, y, z R 3 ; x z =, x y < } Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = y, z,. Protože plocha má rovnici xz =, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = x, x y <. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože je daný plošný integrál roven F n = y, y dy dz z dz dx = y dx dy, kde je kruh x y <. Abychom našli tento dvojný integrál, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete y dy dz z dz dx = x dy dz y dz dx z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; je orientovaná tak, že n,, >. dr r sin ϕ dϕ =. x } a y b z c =, x >, y > Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = x, y, z. Protože je plocha částí elipsoidu, budeme ji parametrizovat pomocí souřadnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Z nerovností x > a y > plyne x >, y > = π < θ < π, < ϕ < π. Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. 9

20 Protože její první složka n = n,, = bc cos θ cos ϕ >, je zvolená parametrizace plochy souhlasná se zadanou orientací. A protože je hledaný plošný integrál roven Určete x dy dz y dz dx z dx dy = F n = abc cos θ, dϕ abc cos θ dθ = πabc. π/ xy dy dz yz dz dx xz dx dy, kde je část roviny x 3y z = 6, která leží v prvním oktantu, x >, y >, z >, a je orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = xy, yz, xz. Protože plocha má rovnici x 3y z = 6, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = 6 x 3y, x >, y >, z = 6 x 3y > = = x >, y >, x 3y < 6. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, 3 = n = t x t y =, 3,. Protože je první složka této normály n = n,, = >, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = xy 3y6 x 3y x6 x 3y = 6x 8y x 7xy 9y, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál xy dy dz yz dz dx xz dx dy = 6x 8y x 7xy 9y dx dy, kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete x >, y >, x 3y < 6 = < y < 6 x, < x < 3. 3 xy dy dzyz dz dxxz dx dy = F d, kde F =,, xz a Orientaci volte tak, že n,, >. 3 dx 3 x/3 = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > }. 6x8y x 7xy 9y dy = snad Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu. Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o polokouli, lze použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu

21 definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = zx, y = R x y. Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako x = x, y = y, z = R x y, x y < R. Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu t x =,, x, t y =,, R x y y = R x y x = n = t x t y = R x y, y R x y,. Protože její třetí složka n 3 = n,, = >, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = x R x y, je F d = x R x y dx dy, kde R je kruh x y < R. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete F d = R dr r cos ϕ R r r dϕ =. yz dy dz xz dz dx xy dx dy, kde je část roviny x y z = a, která leží v prvním oktantu, x >, y >, z >, orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = yz, xz, xy. Protože plocha má rovnici x y z = a, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = a x y, x >, y >, z = a x y > = = x >, y >, x y < a. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože je první složka této normály n = n,, = >, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = ya x y xa x y xy = ax ay x xy y, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál yz dy dz xz dz dx xy dx dy = ax ay x xy y dx dy,

22 kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete x >, y >, x y < a = < y < a x, < x < a. yz dy dz xz dz dx xy dx dy = y dy dz z dz dx x dx dy, kde Orientaci volte tak, že n,, >. a dx a x = { x, y, z R 3 ; x y = z, < z < h }. ax ay x xy y dy = a4 8. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = y, z, x. Ještě musíme najít parametrické rovnice plochy. Ty lze získat pomocí cylindrických souřadnic nebo tak, že vyřešíme rovnici, která definuje plochu, tj. napíšeme z = x y a plochu budeme parametrizovat jako graf funkce. Zvolím druhý postup. Za parametry vyberu proměnné x a y a parametrické rovnice budou x = x, y = y, z = x y, < z = x y < h = < x y < h. Pro tuto parametrizaci najdeme normálu t x =,, x, t y =,, x y y = n = t x t y = x y x x y, y x y,. Protože je třetí složka normály n 3 = n,, = >, orientuje tato normála plochu souhlasně se zadanou orientací. A protože xy F n = x y y x, je hledaný plošný integrál roven dvojnému integrálu y dy dz z dz dx x xy dx dy = x y y x dx dy, kde R je kruh x y < h. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < h a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty y dy dz z dz dx x dx dy = = h h dr r cos ϕ sin ϕ r sin ϕ r cos ϕ r dϕ = πr 3 dr = π 4 h4.

23 Určete x y z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; x y z = 4, x >, y >, z > } orientovaná tak, že normála má kladné složky. Řešení: Máme najít plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, x y z. Protože plocha má rovnici x y z = 4, vyjádříme z této rovnice z a za parametry budeme považovat proměnné x a y, tj. parametrické rovnice plochy budou x = x, y = y, z = 4 x y, x >, y >, z = 4 x y > = = x >, y >, x y < 4. Nyní najdeme normálu k ploše v této parametrizaci: t x =,,, t y =,, = n = t x t y =,,. Protože tato normála má všechny složky kladné, dostali jsme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = 4, lze hledaný plošný integrál najít jako dvojný integrál x y z dx dy = kde množina R je dána nerovnostmi Podle Fubiniovy věty pak je Určete 4 dx dy, x >, y >, x y < 4 = < y < 4 x, < x < 4. x dy dz y dz dx, kde orientovaná tak, že n,, >. x y z dx dy = 4 dx 4 x 4 dx dy = 3. = { x, y, z R 3 ; x y z = R, z > } Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y,. Najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o polokouli, lze k její parametrizaci použít sférické souřadnice nebo vyřešit rovnici, která plochu definuje a parametrizovat ji jako graf funkce z = zx, y = R x y. Protože se ve druhém případě lépe počítá normála, zvolíme druhý postup. Za parametry proměnné x a y a parametrické rovnice napíšeme jako x = x, y = y, z = R x y, x y < R. Pro tuto parametrizaci jednoduše najdeme normálu t x =,, x, t y = R x y,, y = R x y x = n = t x t y = R x y, y R x y,. 3

24 Protože její třetí složka n 3 = n,, = >, dostáváme orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože x y F n = R x y, je x dy dz y dz dx = x y dx dy, R x y kde R je kruh x y < R. Abychom našli integrál přes tento kruh, je výhodné zavést polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích dána nerovnostmi < r < R a < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty x dy dz y dz dx = R dϕ r 3 dr R R r = π kde jsme při výpočtu integrálu použili substituci t = R r. Určete x dy dz y dz dx z dx dy, kde = { x, y, z R 3 ; x y =, < z < }, R t t / dt = 4 3 πr3, která je orientovaná tak, že normála má pro x > a y > první složku kladnou. Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y, z. Najdeme parametrické rovnice plochy. To je nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic, kdy dostaneme parametrické rovnice Normála v těchto souřadnicích je x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = z, < ϕ < π, < z <. t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,. Protože pro x > a y > je < ϕ < π, dostali jsme orientaci souhlasnou s požadovanou orientací. A protože F n = cos ϕ sin ϕ =, je hledaný plošný integrál roven x dy dz y dz dx z dx dy = dϕ dz = π. Určete dy dz y dx dz, kde = { x, y, z R 3 ; z = x y, x y < } orientovaná tak, že n,, >. 4

25 Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =, y,, protože dx dz = dz dx. Plocha je dána jako graf funkce z = zx, y = x y. Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x, y = y, z = x y, x y <. V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše : t x =,, x, t y =,, y, n = t x t y = x, y,. Protože je třetí složka této normály n 3 = >, dává tato orientace plochy požadovanou orientaci. A protože F n = x y, lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu dz dy y dz dx = x y dx dy,, kde je kruh x y <. Integrál přes kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi < r <, < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete dz dy y dz dx = z dx dy, kde = dr { x, y, z R 3 ; která je orientovaná tak, že třetí složka normály je kladná. r cos ϕ r sin ϕ r dϕ = πr 3 dr = π. x } a y b z c = R, z >, Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =,, z. Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, je výhodné parametrizovat plochu pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Z nerovnosti z > pak plyne Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je sin θ > = < ϕ < π, < θ < π. t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. Protože pro θ, π je její třetí složka kladná, definuje tato normála orientaci plochy souhlasnou se zadanou orientací. A protože F n = abc sin θ cos θ, 5

26 je plošný integrál dán dvojným integrálem z dx dy = Z Fubiniovy věty pak dostaneme Určete z dx dy = dθ z dx dy x y dz dx, kde která je orientovaná tak, že n,, >. abc sin θ cos θ dϕ dθ. abc sin θ cos θ dϕ = πabc [ = πabc 3 sin3 θ = { x, y, z R 3 ; z = x y, < z < }, sin θ cos θ dθ = ] π/ = 3 πabc. Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F =, x y, z. Plocha je dána jako graf funkce z = zx, y = x y. Proto je přirozené vybrat za parametry proměnné x a y a za parametrické rovnice vzít x = x, y = y, z = x y, z = x y <. V této parametrizaci nalezneme odpovídající normálu k ploše : t x =,, x, t y =,, y, n = t x t y = x, y,. Protože je třetí složka této normály n 3 = >, dává tato orientace plochy požadovanou orientaci. A protože F n = yx y x y = x xy 3y, lze zapsat daný plošný integrál pomocí dvojného integrálu z dx dy x y dz dx = x xy 3y dx dy. kde je kruh x y <. Integrál přes kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v polárních souřadnicích definována nerovnostmi < r <, < ϕ < π, dostaneme z věty o substituci a Fubiniovy věty Určete z dx dy x y dz dx = = 4 dϕ xz dy dz x y dz dx y z dx dy, kde r cos ϕ r cos ϕ sin ϕ 3r sin ϕ r dr = cos ϕ sin ϕ dϕ = π. = { x, y, z R 3 ; x y =, x >, y >, < z < } 6

27 orientovaná tak, že n,, >. Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = xz, x y, y z. Najdeme parametrické rovnice plochy. To je v našem případě nejjednodušší pomocí cylindrických souřadnic. Z nich dostaneme x = cos ϕ, y = sin ϕ, z = z, < ϕ < π, z R. Z podmínek x >, y >, < z < = < ϕ < π, < z <. Odpovídající normála v těchto souřadnicích t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,, má na množině x >, tj. cos ϕ >, první složku kladnou, a tedy orientuje plochu souhlasně se zadanou orientací. Protože F n = z cos ϕ cos ϕ sin ϕ, je hledaný plošný integrál = xz dy dz x y dz dx y z dx dy = cos ϕ cos ϕ sin ϕ dϕ = dϕ z cos ϕ cos ϕ sin ϕ dz = 3 cos ϕ cos 4 ϕ dϕ = 3 π 3 4 π = 3π 6. Vypočtěte plošný integrál y b z c =. dy dz x dz dx y dx dy, kde je vnější strana elipsoidu x z a Řešení: Jedná je o plošný integrál druhého druhu F d, kde vektorová funkce F = x, y, z. Protože integrujeme přes elipsoid, je výhodné parametrizovat plochu pomocí rovnic x = a cos θ cos ϕ, y = b cos θ sin ϕ, z = c sin θ, π < θ < π < ϕ < π. Normála k ploše ve zvolené parametrizaci je t ϕ = a cos θ sin ϕ, b cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, b sin θ sin ϕ, c cos θ = = n = t ϕ t θ = bc cos θ cos ϕ, ac cos θ sin ϕ, ab cos θ sin θ. Protože například v bodě [a; ; ], kterému odpovídají hodnoty parametrů ϕ = θ =, je normála n = bc,,, a tedy směřuje vně elipsoidu, odpovídá tato orientace zadané orientaci. A protože F n = bc a cos θ ac b ab cos θ c cos θ = a b a c b c abc cos θ, je plošný integrál dán dvojným integrálem dy dz x dz dx y dx dy a b a c b c = z abc 7 cos θ dϕdθ.

28 Z Fubiniovy věty pak dostaneme dy dz x dz dx y dx dy = a b a c b c z abc = 4π a b a c b c abc. dϕ cos θ dθ = π/ Vypočtěte plošný integrál x dy dz y dz dz z dx dy, kde je vnější strana kulové plochy x a y b z c = R. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x, y, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. V daném případě je δv V div F = x y z a V je koule x a y b z c < R. Proto je x dy dz y dz dx z dx dy = x y z dx dy dz. V Integrál přes kouli V najdeme třeba pomocí sférických souřadnic. Protože jde o kouli se středem = [a; b; c], zvolíme souřadnice x = a r cos θ cos ϕ, y = b r cos θ sin ϕ, z = c r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. A protože je koule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x dy dz y dz dx z dx dy = = R Určete dr dθ π/ < r < R, π < θ < π, < ϕ < π, a b c r cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ r cos θ dϕ = 8 πa b c. 3 xz dy dzxy dz dxyz dx dy, kde je hranice čtyřstěnu x >, y >, z >, xyz <, která je kladně orientovaná, tj. normála směřuje vně. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V 8

29 V daném případě je div F = z x y a V je čtyřstěn x >, y >, z > a x y z <. Proto je xz dy dz xy dz dx yz dx dy = x y z dx dy dz. Integrál přes čtyřstěn najdeme pomocí Fubiniovy věty, když napíšeme nerovnosti ve tvaru Podle ní je počtěte integrál < z < x y, < y < x, < x <. xz dy dz xy dz dx yz dx dy = fd, kde fx, y, z = x, y, z a V x dx dy x y x y z dz = 8. = { x, y, z R 3 ; x y z = a, x >, y >, z > }, kde normála má všechny složky kladné. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Protože se jedná o část kulové plochy se středem v počátku a poloměrem a, jsou její parametrické rovnice a z nerovností x = a cos θ cos ϕ, y = a cos θ sin ϕ, z = a sin θ, π < θ < π, < ϕ < π x >, y > z > = < θ < π, < ϕ < π. Zbývá ještě najít odpovídající rovnice normály. Ty jsou t ϕ = a cos θ sin ϕ, a cos θ cos ϕ,, t θ = a sin θ cos ϕ, a sin θ sin ϕ, a cos θ = = n = t ϕ t θ = a cos θ cos ϕ, a cos θ sin ϕ, a cos θ sin θ. Protože v oboru hodnot parametrů θ a ϕ jsou složky této normály kladné, zadává tato normála orientaci souhlasnou se zadanou orientací. A protože f n = a 3 cos 3 θ cos ϕ a 3 cos 3 θ sin ϕ a 3 cos θ sin θ = a 3 cos θ, je daný plošný integrál fd = dϕ a 3 cos θ dθ = π a3. Vypočtěte integrál x dy dz z dx dy, kde je kladně orientovaná hranice krychle D = { x, y, z R 3 ; x, y, z }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x,, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V 9

30 V daném případě je div F = x z a V je krychle < x <, < y < a < z <. Tedy platí a podle Fubiniovy věty je Vypočtěte integrál x dy dz z dx dy = x z dx dy dz V x dy dz z dx dy = dx dz x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy, kde která je orientovaná tak, že n,, >. x z dy =. = { x, y, z R 3 ; x y z =, z }, Řešení: Jedná se o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = x 3, y 3, z 3 je spojitě diferencovatelná funkce. Kdyby byla plocha hranicí nějakého tělesa V, mohli bychom použít Gaussovu větu. Plocha je polovina kulové plochy x y z =, z. Jestliže plochu uzavřeme plochou, která je dána rovnicí z =, x y, dostaneme hranici polokoule V, na kterou již lze použít Gaussovu větu. Ta dává F d = F d F d = div F dx dy dz. V Protože je plocha kruh v rovině z = je její normála n =,,, a tedy ploše platí Proto je a platí Protože je F n = x 3, y 3,,, =. F d = F d = V div F dx dy dz. div F = 3 x y z, x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy = 3 x y z dx dy dz. V Pro výpočet integrálu přes polokouli V použijeme sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. A protože je polokoule V v těchto souřadnicích určena nerovnostmi < r <, < θ < π, < ϕ < π, 3

31 je podle věty o substituci a Fubiniovy věty x 3 dy dz y 3 dz dx z 3 dx dy = 3 dϕ cos θ dθ r 4 dr = 6 5 π. Poznámka: Podobné doplnění plochy na uzavřenou plochu lze použít i v některých dalších příkladech, ale nechtěl jsem to komplikovat. Vypočtěte integrál fd, kde f = x, y, z a je kladně orientovaná hranice tělesa D = { x, y, z R 3 ; x y, z }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu fd, kde f = x, y, z je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je fd = div f dx dy dz. V daném případě je δv V div f = z a V je část válce x y <, < z <. Proto je fd = z dx dy dz. Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. V x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty Vypočtěte integrál < r <, < ϕ < π, < z <, fd = dϕ dr z r dz = 3π. xz dy dz xy dz dx yz dx dy, kde je kladně orientovaná hranice tělesa D = { x, y, z R 3 ; x y R, z h, x, y }. Řešení: Protože se jedná o plošný integrál druhého druhu F d, kde F = xz, xy, yz je spojitě diferencovatelná funkce a = δv je uzavřená plocha, která je kladně orientovanou hranicí tělesa V, lze použít Gaussovu větu. Podle ní je F d = div F dx dy dz. δv V V daném případě je div F = z x y 3

32 a těleso V je část válce x y < R, x >, y >, < z < h. Proto je xz dy dz xy dz dx yz dx dy = x y z dx dy dz. Integrál přes válec V najdeme třeba pomocí válcových souřadnic. x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. A protože je V v těchto souřadnicích určeno nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty Vypočtěte xz dy dzxy dz dx yz dx dy = = h dz R < r < R, < ϕ < π, < z < h, h dz R r πz r dr = dr h V r cos ϕ r sin ϕ z r dϕ = 3 R3 4 πr z dz = hr 4 6R 3πh. fd, kde f = x, y, z a je část kuželové plochy x y = z, < z < h, která je orientovaná tak, že n,, <. Řešení: Nejprve najdeme parametrické rovnice plochy. Aby se mi snadno počítala normála, budu ji parametrizovat jako graf funkce z = zx, y = x y, tj. za parametry zvolím proměnné x a y. Parametrické rovnice pak jsou x = x, y = y, z = x y, < z = x y < h. V těchto souřadnicích je odpovídající normála x t x =,,, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. Ale protože je její třetí složka n 3 = >, definuje opačnou orientaci plochy než je požadovaná orientace. Protože f n = x3 y 3 x y x y, je x 3 y 3 fd = x y x y dx dy, kde je kruh x y < h. Integrál přes tento kruh najdeme například pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je kruh dán v polárních souřadnicích nerovnostmi < r < h a < ϕ < π, plyne z věty o substituci a Fubiniovy věty, že platí fd = h dr r cos 3 ϕ r sin 3 ϕ r r dϕ = π 3 h r 3 dr = π h4.

33 Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi yj zk stěnou kuželové plochy x y = z, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = x, y, z a plocha je dána vztahem x y = z, z h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu. To lze snadno udělat pomocí cylindrických souřadnic nebo tím, že plochu parametrizujeme jako graf funkce z = zx, y = x y. Abych dostal jednoduchý výpočet normály, zvolím druhý způsob. Parametry pak budou proměnné x a y a parametrické rovnice x = x, y = y, z = x y, z = x y h. Pro normálu při této volbě parametrizace dostaneme x t x =,,, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. A protože je v n = x y x y x y =, je tok vektoru v plochou roven Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi xzj xyk boční stěnou válce x y a, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = yz, xz, xy a plocha je dána vztahem x y = a, z h. Abychom převedli plošný integrál na dvojný, parametrizujeme plochu. Tu lze snadno najít pomocí válcových souřadnic a dostaneme x = a cos ϕ, y = a sin ϕ, z = z, < ϕ < π, < z < h. Normála v těchto souřadnicích je t ϕ = sin ϕ, cos ϕ,, t z =,, = n = t ϕ t z = cos ϕ, sin ϕ,. A protože je je v n = a z sin ϕ cos ϕ a z sin ϕ cos ϕ = a z cos ϕ sin ϕ, Φ = h dz a z cos ϕ sin ϕ dϕ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yzi xzj xyk povrchem válce x y a, z h. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je pole v = yz, xz, xy a plocha je povrch válce x y a, z h. Protože je plocha hranice tělesa V, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu vd = div v dx dy dz. V 33

34 V našem případě je a tedy to vektoru v povrchem válce je div v =, Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = xi yj zk plochou z = x y, z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x, y, z a plocha je kuželová plocha dána rovnicí z = x y, z. Protože je plocha dána jako graf funkce z = zx, y, použijeme jako parametry proměnné x a y. Parametrické rovnice plochy jsou v takovém případě x = x, y = y, z = x y, z = x y = x y. Odpovídající normála je t x =,, x, t y =,, x y y = n = t x t y = x x y x y, y x y,. A protože skalární součin v n = x y x y x y =, je tok vektoru v plochou dán dvojným integrálem Φ = dx dy, kde je kruh x y <. Poslední integrál je obsah tohoto kruhu, a tedy Φ = π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x i y j z k částí kulové plochy x y z =, která leží v prvním oktantu, tj. x, y, z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x, y, z a plocha je část kulové plochy x y z =, x, y, z. Abychom mohli použít k výpočtu integrálu Gaussovu větu, uzavřeme plochu čtvrtkruhy x, y a z se středem v počátku a poloměrem, kde x : x =, n x,,, v n x = x = = vd =, x y : y =, n y,,, v n y = y = = vd =, y z : z =, n z,,, v n z = z = = vd =. z Protože x y z = δv, 34

35 kde V je osmina koule x y z <, x, y, z >, je podle Gaussovy věty vd = vd = div v dx dy dz. Protože δv V div v = x y z, je tok roven Φ = x y z dx dy dz. V Trojný integrál přes osminu koule V najdeme nejsnáze pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. Naše osmina koule V je v těchto souřadnicích dána nerovnostmi < r <, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Φ = = = dθ dθ dϕ r 3 cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos θ dr = cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos θ dϕ = cos θ π sin θ cos θ dθ = π π = π. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = yi zj xk povrchem čtyřstěnu, který je omezen rovinami x y z = a, x =, y = a z = a >. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = y, z, x a plocha je hranice čtyřstěnu V, který je definován nerovnostmi x >, y >, z > a x y z < a. Protože plocha = δv je hranicí čtyřstěnu V můžeme pro výpočet plošného integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je Φ = vd = div v dx dy dz. A protože pro dané vektorové pole v je je jeho tok povrchem čtyřstěnu δv V div v =, Φ =. Nechť i, j, resp. k, jsou jednotkové vektory ve směru osy x, y, resp. z. Najděte tok vektoru v = x 3 i y 3 j z 3 k kulovou plochou x y z = z. Řešení: Tok Φ vektorového pole v plochou je dán plošným integrálem druhého druhu Φ = vd. V příkladu je vektorové pole v = x 3, y 3, z 3 a plocha je hranice koule V definované nerovností x y y < z, lze při výpočtu integrálu použít Gaussovu větu. Podle ní je Φ = vd = div v dx dy dz. 35 V

36 Divergence daného vektorového pole je a tedy div v = 3 x y y, Φ = 3 x y z dx dy dz. V Trojný integrál přes kouli V najdeme pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je koule dána nerovnostmi < r < sin θ, < ϕ < π = sin θ > = < θ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak dostaneme Φ = 3 dθ sin θ dr = 6 5 π sin 5 θ cos θ dθ = π 5. r 4 cos θ dϕ = 6π dθ sin θ r 4 cos θ dr = 36

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.

F n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3. Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Matematika pro chemické inženýry

Matematika pro chemické inženýry Matematika pro chemické inženýry Drahoslava Janovská Plošný integrál Přednášky Z 216-217 ponzorováno grantem VŠCHT Praha, PIGA 413-17-6642, 216 Povinná látka. Bude v písemkách a bude se zkoušet při ústní

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz

U V W xy 2 x 2 +2z 3yz E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 V.5. Gaussova-strogradského věta Má-li vektorováfunkce f (U,V,W spojitévšechn parciálníderivacevotevřenémnožině G E 3, pak skalární

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich

Více

1. Přirozená topologie R n

1. Přirozená topologie R n Příklady PŘÍKLADY A CVIČENÍ. Přirozená topologie R n. Dokažte, že čtverec M = {(x, y) R n ; x + y } je kompaktní množina. Řešení: Stačí ukázat, že množina M je uzavřená a ohraničená. Uzavřenost lze dokázat

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z

Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku. x = y + 2 = 1 z Diferenciální počet příklad Napište rovnici tečné roviny ke grafu funkce fx, y) = xy, která je kolmá na přímku x + = y + = 1 z Řešení: Směrový vektor dané přímky je n p =, 1, 1). Na ploše dané rovnicí

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.

KLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

12. Křivkové integrály

12. Křivkové integrály 12 Křivkové integrály Definice 121 Jednoduchou po částech hladkou křivkou v prostoru R n rozumíme množinu bodů [x 1,, x n ], které jsou dány parametrickými rovnicemi x 1 = ϕ 1 t), x 2 = ϕ 2 t), x n = ϕ

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 2 PŘÍKLADY K MATEMATICE ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměnných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k), Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako

Více

V. Riemannův(dvojný) integrál

V. Riemannův(dvojný) integrál V. Riemannův(dvojný) integrál Obsah 1 Základní pojmy a definice 2 2 Podmínky existence dvojného integrálu 4 3 Vlastnosti dvojného integrálu 4 4 Výpočet dvojného integrálu; převod na dvojnásobný integrál

Více

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1

verze 1.3 x j (a) g k 2. Platí-li vztahy v předchozím bodu a mají-li f, g 1,..., g s v a diferenciál K = f + j=1 1 Úvod Vázané extrémy funkcí více proměnných verze 1. Následující text popisuje hledání vázaných extrémů funkcí více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT1 na Univerzitě Hradec

Více

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.

SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala. Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb. SBÍRKA PŘÍKLADŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY 3 Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky, VŠB TU Ostrava jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala 2000 3 Předmluva Tato sbírka doplňuje přednášky z Matematické

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Matematika 2 (2016/2017)

Matematika 2 (2016/2017) Matematika 2 (2016/2017) Co umět ke zkoušce Průběh zkoušky Hodnocení zkoušky Co umět ke zkoušce Vybrané partie diferenciálního počtu funkcí více proměnných Vybrané partie integrálního počtu funkcí více

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

Křivkový integrál vektorového pole

Křivkový integrál vektorového pole Kapitola 7 Křivkový integrál vektorového pole 1 Základní pojmy Křivkový integrál vektorového pole je modifikací křivkového integrálu skalární funkce, která vznikla z potřeb aplikací ve fyzice, chemii a

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu

verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34.

18. x x 5 dx subst. t = 2 + x x 1 + e2x x subst. t = e x ln 2 x. x ln 2 x dx 34. I. Určete integrály proved te zkoušku. Určete intervl(y), kde integrál eistuje... 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. e d substituce t = ln ln(ln ) d substituce t = ln(ln ), dt = ln 3 e 4 d substituce

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx. VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta

I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace

Více

2 Odvození pomocí rovnováhy sil

2 Odvození pomocí rovnováhy sil Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

3 Křivkové integrály, Greenova věta Křivkové integrály Greenova věta Důsledky Greenovy věty... 20

3 Křivkové integrály, Greenova věta Křivkové integrály Greenova věta Důsledky Greenovy věty... 20 Matematická analýza 3 1 Obsah 1 Afinní prostor 2 2 Křivky 10 3 Křivkové integrály, Greenova věta 15 3.1 Křivkové integrály................. 15 3.2 Greenova věta.................... 18 3.3 Důsledky Greenovy

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE

3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE 3.3. ANALYTICKÁ GEOMETRIE KRUŽNICE A KOULE V této kapitole se dozvíte: jak popsat kružnici a kruh v rovině; jak určit vzájemnou polohu bodu nebo a kružnice, resp. bodu a kruhu; jakými metodami určit vzájemnou

Více

PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTEGRÁL PLOŠNÝ A KŘIVKOVÝ INTERÁL JAN MALÝ Obsah 1. Plochy a křivky 1 2. Křivkový a plošný integrál prvého druhu 1 3. Křivkový integrál druhého druhu 3 4. Elementy teorie pole 4 5. Plošný integrál kodimenze 1

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

) (P u P v dudv, f d p na ploše Q E 3, která je orientována. x = u, y = v, z = a, (P u P v dudv = B

) (P u P v dudv, f d p na ploše Q E 3, která je orientována. x = u, y = v, z = a, (P u P v dudv = B E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II 6 V.4. Plošný integrál vektorové funkce Necht je jednoduchá hladká plocha orientovaná v bodech X jednotkovým vektorem normál n o X. Necht

Více

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému

0 = 2e 1 (z 3 1)dz + 3z. z=0 z 3 4z 2 + 3z + rez. 4. Napište Fourierův rozvoj vzhledem k trigonometrickému systému periodickému 2 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 1 2 Jméno a příjmení: ID.č. 9.5.2016 1. Řešte diferenciální rovnici: y + 2xy x 2 + 3 = sin x x 2 + 3. y = C cos x x 2 + 1 2. Vypočtěte z 2 e z dz, kde je křivka

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE

KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.

8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R. Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy Matematika

ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy Matematika ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy Matematika Peter Dourmashkin MIT 6, překlad: Jan Pacák (7) Obsah 1 MATEMATICKÝ APAÁT POUŽITÝ V KUZU 11 SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY ÚLOHA 1: SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY

Více