ARABSKÁ MATEMATIKA. Muhammad (kolem ) narozen v Mekce, během cest přišel o kontaktu s židovkým a

Transkript

1 ARABSKÁ MATEMATIKA Muhammad (kolem ) narozen v Mekce, během cest přišel o kontaktu s židovkým a křest anským náboženstvím a pod jejich vlivem vytvořil vlastní formu náboženství 622 (=začátek arabského letopočtu hidžra ): musí prchnout z Mekky do Jasribu (dnešní Medína, Město Prorokovo) před svými náboženskými a politickými protivníky; zde založil muslimskou obec, prohlášen za Alláhova proroka, oženil se s 9 ženami, sjednotil arabské kmeny v okolí 630 slavný návrat do Mekky; zakládá vlastní muslimský stát, připravuje vojenskou expanzi proti sousedům umírá, jeho nástupci chalífové hned zahajují dobyvačná tažení do okolních zemí pod heslem svaté války s nevěřícími; násilné šíření islámu.

2 529 na příkaz císaře Justiniána zavřena aténská akademie neoplatoniků 7 filosofů žilo několik let u dvora perského vládce Chusrana Anóšarvána; do syrštiny a perštiny přeloženo mnoho řeckých filozofických a vědeckých prací; v Egyptě působily následníci někdejší alexandrijské školy Dobývání: Sýrie a Palestina Egypt 640 Mezopotámie 643 Alexandrie Pyrenejský poloostrov (název: Džabal-al-Táriq = hora Táriqova na počest arab. vojevůdce) 718 zastaveni u Cařihradu 732 zastaveni na Pyrenejích, v Číně byli na Sicílii kontakty evropských vojsk, učenců, obchodníků s Araby

3 718 Chalíf Umar II. ( ) přikázal přestěhovat učence alexanrijského Musea o Antiochia, později byla škola přeložena o Bagdádu, který se stal prvním vědeckým centrem, centrum obchodu, vědy, umění (1258 dobyt Mongoly) konec 8., poč. 9. stol.: v Bagdádu se soustřeilo mnoho učenců a překladatelů ze Sýrie, Íránu a Mezopotámie (Židé, křest ané); řada chalífů poporovala rozvoj přírodních věd včetně matematiky chalíf Harun Ar-Rašíd dal opatřit a přeložit řecké knihy

4 Základní rysy arabské matematiky Velmi úzký vztah matematiky a astronomie (navigace, zavodňování, astrologie výpočet pohybů nebeských těles) Trigonometrie (rovinná i sférická) aparát pro astronomii Převzetí a šíření desítkové poziční soustavy (pravděpodobně převzali z Indie, kde vznikla, přenesli do Evropy dlouhý proces) Rozvoj počtářství: výpočetní algoritmy, astronomické a trigonometrické výpočty Snahy o zdokonalení Eukleidových Základů (V. postulát teorie rovnoběžek lze vynechat? apod. Převádění geometrických úloh o algebraické podoby ( rovnice to, co my dnes řešíme rovnicemi, oni slovně)

5 Muhammad al Chwárizmí (780? 850?) matematik, astronom, geograf Působil v 9. století v Bagdádu 827 vedl měření Země 1 poledníku Algorithmi de Numero Indorum (jen latinská verze ze 13. stol.) Vykládá aritmetiku pole indického způsobu Desítkový poziční systém Dixit Algorizmi (v originále slovo algoritmus)

6 Z hlediska vývoje algebry měl zcela mimořádný význam jeho spis Krátká kniha o počtu algebry a al muqábaly. Práce se skládá ze tří částí: vlastní algebraická část geometrická kapitola s aplikacemi algebry rozsáhlá kapitola věnovaná závětím. Spis se dochoval v arabském rukopisu a v latinských překladech, kde je ale pouze první část. Cílem knihy bylo sestavit příručku pro řešení problémů každodenní praxe.

7 Algebra je nauka o řešení kvadratických a lineárních rovnic s celočíselnými koeficienty. Al Chwárizmí klasifikuje rovnice do šesti skupin a ukazuje způsoby jejich řešení. 1. ax 2 = bx 2. ax 2 = c 3. ax = c 4. ax 2 + bx = c 5. ax 2 + c = bx 6. bx + c = ax 2.

8 Každá rovnice musí být upravena tak, aby měla tvar jednoho z těchto typů. Jestliže se v rovnici objevuje odečítaný člen, zbavíme se ho operací al-džabr, tedy přičtením tohoto členu k oběma stranám rovnice. Dále se všechny členy stejného řádu slučují v jeden pomocí operace al-muqábala. Rovnici ax 2 = bx chápe al Chwárizmí jako rovnici lineární a nulový kořen neuvažuje, protože v úlohách, které řeší, nehraje žádný význam. Řešení jednotlivých typů kvadratických rovnic je demonstrováno na konkrétních příkladech, nicméně řešení mají obecný charakter. Pravidla, která al Chwárizmí používá, geometricky dokazuje. Koeficienty jeho rovnic jsou čísla racionální a kořeny velmi často čísla celá. Kromě kvadratických rovnic se v knize objevují i soustavy rovnic o dvou neznámých (lineární i kvadratické) a rovněž rovnice s parametrem.

9 Není známo, zda autor vykládá výsledky své, nebo jiných autorů. Otázka pramenů není vyřešena. Řešení rovnice x x = 39, která procházela desítkami arabských a evropských středověkých učebnic, prováděl al Chwárizmí takto: nejprve sestrojuje hledaný čtverec o obsahu x 2, k jehož stranám se připojují obdélníky s výškou 10. Obrazec se v rozích 4 doplňuje čtyřmi malými čtverci o straně 10. Obsah takto vzniklého 4 velkého čtverce je roven 39+4 ( ) = 64, pro délku jeho strany platí x = 8, takže x = 3. 4 Tyto geometrické úpravy odpovídají tomuto postupu pro rovnici x 2 + px = q: ( ) ( ) p p 2 ( ) p 2 x x + 4 = q + 4, 4 4 ( x + 2. p 2 ( ) p 2 = q + 4, 4) 4 x + 2. p ( ) p 2 q 4 = + 4, 4

10 a tedy ( ) p 2 x = q + 4 p 4 2. Druhý geometrický důkaz spočívá v rovnosti x p ( p 2 ( ) p 2 2 2) x + = q +. 2

11 Abu Kamil ( ) Pokračovatel al Chwárizmího algebraického díla Velmi obratně manipuloval s iracionálními výrazy. Například používal vzorec a ± b = a + b ± 2 ab Na rozdíl od al Chwárizmího již nepožadoval homogenitu algebraických veličin.

12 S těmito vztahy pak pracoval a je možno říci, že vytvořil algebru mnohočlenů. Další pokrok: al Karadží ( ) První jasně vymezil předmět algebry, která je dle něj vědou, která učí, jak vypočítat neznámé veličiny pomocí veličin známých. Ve svém díle Al Fahrí předložil následující vztahy pro neznámé veličiny 1 x : 1 x 2 = 1 x 2 : 1 x 3 =, 1 x. 1 m x = 1 n x, m+n 1 x m.xn = xn x m.

13 Kromě toho odvodil al Karadží celou řadu výsledků pro konečné řady, např.: Další krok vpřed: n n k 3 = ( k) 2. k=1 al-samaval ( ) k=1 Autor spisu Al Bahir. Zde jako první systematicky vykládá pravidla pro počítání se zápornými veličinami, jako např. ( ax n ) = ax n nebo ax n (bx n ) = (a + b)x n. Protože správně definoval x 0 = 1, mohl již své vzorce, např. x m.x n = x m+n používat pro libovolná celá čísla m, n. Nicméně i on stále vše vyjadřoval slovně bez symboliky.

14 Další oblastí zájmu arabských matematiků byly kubické rovnice. Narazili na ně při pokusech o řešení trisekce úhlu, zdvojení krychle ap. Protože tyto úlohy nejsou řešitelné pomocí pravítka a kružítka, začali arabští matematikové hledat řešení pomocí kuželoseček. Alhazen ( ) Řešil rovnici typu x 3 + a 2 b = cx jako průsečík paraboly x 2 = ay a hyperboly y(c x) = ab. Při řešení problémů optiky narazil i na rovnice čtvrtého stupně.

15 Omar Chajjám ( ) Matematik, astronom, filosof, básník (4verší) Reformoval perský kalendář (1074) Přistoupil k řešení kubických rovnic systematičtěji. Také on se nejprve pokusil definovat pojem algebra. Podle něj jde o nauku řešení rovnic, ve kterých jsou obě strany rovnice mnohočleny. Třebaže se mu nepodařilo vyřešit kubické rovnice v radikálech, vyjádřil přesvědčení, že se to jednou podaří. Klasifikoval kubické rovnice na 14 typů a pro každý typ našel odpovídající dvojici kuželoseček, které použil k řešení. Když například řešil rovnici x 3 + ax = b, převedl ji nejprve (v zájmu homogenity) na tvar x 3 + p 2 x = p 2 q. Poté ji řešil jako průsečík kružnice x 2 + y 2 = qx a paraboly x 2 = py. Chajjám se zabýval i podmínkami řešitelnosti kubických rovnic v množině kladných reálných čísel. Např. ukázal že rovnice x 3 + a = cx 2 nemá řešení pro 3 a c.

16 Podobné otázky si kladl i Násiruddín Túsí ( ), který pro tuto rovnici určil jako podmínku řešitelnosti b3 a2 0. Túsí byl 27 4 jedním z matematiků, kteří již znali metodu Hornerovu-Ruffiniho. Al-Káší ( ) Řešil rovnici x 3 +q = px za předpokladu, že kořen je velmi malý, iterační metodou. Položil x 1 = q a pak použil formuli p která konverguje velmi rychle. x n = q + x3 n 1, p