1.4. VEKTOROVÝ SOUČIN

Transkript

1 .4. VEKTOROVÝ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: definici vektorového (také vnějšího) součinu, jeho vlastnosti a geometrický význam; co rozumíme pravotočivou ortonormální nebo ortogonální bází; definici smíšeného součinu vektorů, jeho vlastnosti a geometrický význam; definici dvojného součinu vektorů a jeho základní vlastnosti. Klíčová slova této kapitoly: vektorový (vnější) součin, pravotočivá kolmost vektorů, pravotočivá ortonormální a ortogonální báze, antikomutativnost, smíšený součin, dvojný součin. Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 0,75 hodiny (teorie + řešení příkladů)

2 Vektorový součin. Nechť je dán třídimenzionální vektorový prostor V s ortonormální bází { i, j, k }. Vektorovým (také vnějším) součinem vektorů a= ai+ aj+ a3k, b= bi+ bj + b3k rozumíme vektor ( ab ab ) ( ab ab ) ( ab ab) a b= i+ j+ k a) Vektorový součin se značí, jak už bylo ukázáno, křížkem, na rozdíl od skalárního součinu, který se značí tečkou. Není možno tyto symboly zaměňovat jako u součinu dvou čísel. b) Vektorový součin je definován pouze v třírozměrném prostoru, jedná se o daleko méně obecný pojem, než je skalární součin, který lze zavést v libovolně rozměrném prostoru. Geometrická definice vektorového součinu. V rámci geometrického pohledu je možné ekvivalentně definovat vektorový součin a b jako vektor, který je pravotočivě kolmý k vektorům a, b a jehož velikost je rovna obsahu rovnoběžníku určeného vektory a, b, tzn. platí a b = sinγ, kde γ je úhel mezi vektory a, b. Vzorec v předchozí definici je pak možno chápat jako výpočetní vztah pro vektorový součin v ortonormální pravotočivé bázi. a) Výraz pravotočivě kolmý znamená, že směr výsledného vektoru je dán pravidlem pravé ruky: položíme pravou ruku malíkovou hranou na rovinu vektorů a, b tak, že prsty vymezují ostrý úhel od vektoru a k vektoru b ; pak vztyčený palec pravé ruky ukazuje směr a orientaci vektoru pravotočivě kolmého k oběma vektorům, např. vektorového součinu a b. Je zřejmé, že záleží na pořadí vektorů a, b. b) Ortonormální nebo ortogonální bázi { b, b, b 3} prostoru fyzikálních nebo geometrických vektorů nazýváme pravotočivou (v uvedeném pořadí vektorů báze), jestliže platí, že vektor b 3 je pravotočivě kolmý k vektorům b, vektor b je pravotočivě kolmý k vektorům b 3 a vektor b je pravotočivě kolmý k vektorům b3. Vlastnosti vektorového součinu. Pro libovolné třídimenzionální vektory a, b, c a skalár k platí: a b= b a (antikomutativnost). a) ( ) b) ( k ) = k( ) (asociativnost násobení skalárem).

3 c) a ( b+ c) = a b+ a c (distributivnost). d) vektorový součin není asociativní, tzn. může být a ( b c) ( a b) Smíšený součin. Smíšeným součinem třídimenzionálních vektorů,, jej [ abc ]. c nazýváme číslo ( ) Pro smíšený součin libovolných třídimenzionálních vektorů a, b, c platí: [ abc] = [ bca] = [ cab] = [ acb] = [ cba] = [ bac ]. c a značíme Slovně řečeno, při cyklické rotaci pořadí vektorů a, b, c se hodnota smíšeného součinu nemění, při vzájemné záměně dvou vektorů se změní znaménko smíšeného součinu. Absolutní hodnota smíšeného součinu [ abc ] udává objem rovnoběžnostěnu daného vektory a, b, Dvojný součin. Dvojným součinem třídimenzionálních vektorů,, c. c nazýváme vektor ( ) a) Dvojný součin lze vyjádřit i bez vektorového násobení: a ( b c) = ( a c) b ( a b) b) Protože vektorový součin není asociativní (ve většině případů a ( b c) ( a b) c), není možné závorky ve dvojném součinu přehodit nebo vynechat.

4 Shrnutí kapitoly: Vektorový součin třídimenzionálních vektorů a= ai+ aj+ a3k, b= bi+ bj + b3k, kde { i, j, k } je ortonormální báze, je definován jako vektor a b= ( ab ab ) i+ ( ab ab ) j+ ( ab ab) k Ekvivalentní geometrická definice definuje vektorový součin geometrických nebo fyzikálních vektorů jako vektor pravotočivě kolmý k vektorům a, b s velikostí rovnou ploše rovnoběžníka daného těmito vektory, tzn. a b = sinγ, kde γ je úhel mezi vektory a, b. Předchozí vzorec má pak význam výpočetní formule pro vektorový součin v pravotočivé ortonormální bázi. Pravotočivou ortonormální nebo ortogonální bází nazýváme takovou ortonormální nebo ortogonální bázi s daným pořadím vektorů, kdy každý vektor je pravotočivě kolmý ke dvěma předchozím vektorům (míněno cyklicky). Vektorový součin je antikomutativní, distributivní a asociativní vzhledem k násobení skalárem, ale není asociativní (viz také dvojný součin). Vektorový součin figuruje ve dvou odvozených typech součinů vektorů, smíšeném součinu a dvojném součinu. Smíšeným součinem třídimenzionálních vektorů a, b, c nazýváme číslo [ abc] = a ( b c ). Absolutní hodnota smíšeného součinu [ ] rovnoběžnostěnu daného vektory a, b, abc udává objem Dvojným součinem třídimenzionálních vektorů,, a b c. Je zajímavé, že dvojný součin může být jednoduše vyjádřen i bez vektorového násobení. Dvojný součin není asociativní, tzn. závorky v jeho definici nemůžeme přehodit nebo vynechat. c nazýváme vektor ( ) Otázky: Jakou formulí je definován vektorový součin v ortonormální bázi? Jaká je ekvivalentní geometrická definice vektorového součinu? Co znamená výraz pravotočivě kolmý vektor a pravotočivá báze? Jaký geometrický význam má velikost vektorového součinu a jakým vzorcem ji lze spočítat? Jaké základní vlastnosti má vektorový součin? Kterými dvěma vlastnostmi se výrazně odlišuje od číselného součinu? Jak je definován smíšený součin? Jaké jsou jeho základní vlastnosti a geometrický význam? Definujte dvojný součin. Záleží na umístění závorek v definici? Proč? Lze dvojný součin vyjádřit i bez použití vektorového součinu? Jak?

5 Příklad : Vypočtěte vektorový součin vektorů a, b. Určete také obsah S rovnoběžníka určeného těmito vektory. Vektory jsou dány svými souřadnicemi v pravotočivé ortonormální bázi. a) a = (, 0, 0), b = (,, ) ; b) a = (,, 0), b = (,, ). Příklad : Určete objem V rovnoběžnostěnu daného vektory a, b, Vektory jsou dány svými souřadnicemi v pravotočivé ortonormální bázi. a) a = (, 0, ), b = (,, 3), c = (0,, ) ; b) a = (4, 3, ), b = (,, ), c = (0, 3, ). Řešení příkladů: a) = ( 0,, ), S = = ; b) = (,, 0) a) V = [ abc ] = 3 = 3; b) V = [ ] = 3 = 3, S = a b =. abc. Další zdroje:. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I.. vyd. Praha: Prometheus, POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II.. vyd. Praha: Prometheus, REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 995. ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]